换底公式的推导过程
初二数学公式换底公式
初二数学公式换底公式初二数学换底公式换底公式是一个比较重要的公式，在专门多对数的运算中都要使用，也是高中数学的重点。
另有两个推论。
loga(b)表示以a为底的b的对数。
换底公式确实是log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均大于零且不等于1)推导过程若有对数log(a)(b)设a=n^x,b=n^y(n0,且n不为1)如：log(10)(5)=log(5)(5) /log(5)(10)则log(a)(b)=log(n^x)(n^y)依照对数的差不多公式log(a)(M^n)=nloga(M)和差不多公式log(a^n)M=1/nlog(a) M易得log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/x log(n)(n)=y/x由a=n^x,b=n^y可得x=log(n)(a),y=log(n)(b)则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素养教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力进展的教学方式,慢慢为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
事实上,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素养并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。
对数函数换底公式
对数函数换底公式换底公式为：loga（b）=logc（b）/logc（a）（c＞0，c≠1）推导过程令loga（b）=t (1)即a^t=b两边取以c（c＞0，c≠1）的对数即logc（a^t）=logc（b）即t logc（a）=logc（b）故由a≠1，即logc（a）≠0即t=logc（b）/ logc（a） (2)由（1）与（2）知loga（b）=logc（b）/logc（a）。
如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。
它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
扩展资料：在高等数学中有一种求导方法叫对数求导法，其原理就是指数函数的换底，把底为普通常数或变量的指数函数或幂指函数统统都变形为以e为底的复合函数形式。
这些都可以很容易地由对数换底公式及推论得到。
在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。
【在一个普通对数式里a<0，或=1 的时候是会有相应b的值。
但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm），并把log10N 记为lgN。
另外，在科学计数中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并且把logeN 记为In N。
对数的换底公式推导
对数的换底公式推导对数是求解一个数除以另一个数的倒数的次方，它是数学里一种重要的概念，也是许多数学公式中的基础概念，如果能正确理解对数的概念，将对之后其他数学公式和推导有很大的帮助。
二、对数的取值范围对数可以是大于0小于等于1（0不属于范围内）的正数，也可以是大于1的自然数，也可以是正、负数或0。
三、什么是对数的换底公式对数的换底公式是一种定义在大于0的实数上的特殊函数，它是以某一个定义域为基础，将对数函数换算成另一个定义域中的对数，从而使某一个实数关系变成换底关系。
四、对数的换底公式推导（1）两个底换算由于对数函数是定义在大于0的实数上的函数，而且它可以用任意基数表示，因此要把一个基数下的对数等式换算成另一个基数下的对数等式，可以用对数的换底公式来解决。
对数的换底公式的一般形式为：logaX=logbX/logbA其中，a，b是定义域，X是实数，等号两边均为同一个实数的不同基数的对数。
（2）三个底换算如果要从一个基数换算成另外两个基数的话，可以利用对数的换底公式：logcX=logaX/logaC其中，c，a，b均为定义域，X是实数，等号两边均为同一个实数的不同基数的对数。
五、对数的换底公式的应用（1）在求解复杂函数时，可以用对数的换底公式来简化计算；（2）在描述和分析能量、压力、温度等使用了对数函数时，可以用对数的换底公式来进行换算；（3）在分析流体动力学和气体统计学时，也可以用对数的换底公式来进行换算。
六、总结对数的换底公式是一种重要的换算公式，它能够把一个实数关系换算成另一个定义域中的对数，其应用范围很广，可以简化求解复杂函数时的计算，也可以用来换算能量、压力、温度等，甚至可以用来换算流体动力学和气体统计学上的定义等。
总之，对数的换底公式对于我们的数学学习和数学公式的推导具有重要的意义。
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
高一数学必修教学课件第三章换底公式
解决实际问题
增长率问题
在经济学、金融学等领域，经常需要计算增长率。利用换底 公式，可以将连续增长率转化为离散增长率，便于分析和比 较。
音高计算
在音乐领域，音高与频率之间呈对数关系。利用换底公式， 可以将音高转换为以2为底的对数，从而方便计算和分析。
拓展应用领域
工程领域
在工程计算中，经常遇到以不同 底数表示的对数。利用换底公式 ，可以统一底数，简化计算过程
预备知识
01
02
03
对数的定义和性质
学生需要了解对数的定义 、对数的性质和运算法则 ，如对数的乘法、除法、 指数和换底法则等；
指数运算
学生需要掌握指数运算的 基本法则，如指数的乘法 、除法、乘方和开方法等 ；
代数运算
学生需要具备Байду номын сангаас本的代数 运算能力，如代数式的化 简、因式分解、一元二次 方程的解法等。
符号表示的意义
换底公式的符号表示体现了对数运算 的转换关系，通过换底公式可以将不 同底数的对数相互转换，从而简化对 数运算。
03 换底公式应用举 例
简化计算过程
对数运算的化简
利用换底公式，可以将不同底数 的对数转化为相同底数的对数， 从而简化计算过程。
指数运算的化简
通过换底公式，可以将指数运算 转化为对数运算，进一步简化计 算。
。
计算机科学
在计算机科学中，换底公式可用 于算法分析和优化。例如，在排 序算法中，可以利用换底公式将 时间复杂度从O(nlogn)简化为
O(n)。
物理学领域
在物理学中，一些物理量与对数 关系密切相关。利用换底公式， 可以方便地处理这些物理量的计
算和转换。
04 换底公式与对数 运算规则关系
换底公式推导过程
换底公式推导过程如下：
换底公式：$log_{b}a=log_{c}a \div log_{c}b$，其中$c>0$且$c \neq 1$。
证明：设$log_{b}a=x$，则$b^{x}=a$。
同时，设$log_{c}a=y$，则$c^{y}=a$。
因为$c^{x}=a$，所以有$c^{x}=c^{y}$，根据指数函数的性质可知，当底数相等时，指数相等。
所以$x=y$，即$log_{b}a=log_{c}a \div log_{c}b$。
换底公式在各种数学、物理、工程领域都有广泛的应用。
拓展资料
换底公式是高中数学常用对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。
计算中常常会减少计算的难度，更迅速的解决高中范围的对数运算。
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底的自然对数或者是转换为以10为底的常用对数，方便运算；有时也通过用换底
公式来证明或求解相关问题；
在计算器上计算对数时需要用到这个公式。
例如，大多数计算器有自然对数和常用对数的按钮，但却没有[log2]的。
要计算，你只有计算（或，两者结果一样）；
在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式。
例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a 为底b为真数的对数函数，只有以常用对数（即以10为底的对数）或自然对数（即e为底的对数）。
此时就要用到换底公式来换成以e 或者10为底的对数，表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而处理某些实际问题。
换底公式
即证得 log a m
n N log a N m
n
证明:由换底公式
lg b lg a loga b logb a 1 lg a lg b
2 2 log 3 5 log 3 7 2m n
例4 : 方程 lg x (lg 5 lg 7) lg x lg 5 lg 7 0
2
的两根分别为x1 , x2 , 求x1 x2 .
解: lg x (lg 5 lg 7) lg x lg 5 lg 7 0
证明：设 loga N p
logc N p logc a
logc N 即证得 loga N logc a
二、几个重要的推论:
n log a m N log a N m 1 loga b logb a
n
a, b (0,换底公式得：
2
lg x1 lg x2 (lg 5 lg 7) lg x1 lg x2 lg 5 lg 7
1 lg x1 x2 lg 35 lg 35 lg 35 1 x1 x2 35
1
【总一总★成竹在胸】
1. 对数的运算法则；
2.公式的逆向使用.
例1:计算:
1log9 27 2log2 3 log3 7 log7 8
33
1 log3 2
100
1 lg9 2
解:2log2 3 log3 7 log7 8
lg 3 lg 7 lg 8 lg 2 3 lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
换底公式及其推论
1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的
底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如 an 为底的换为
a 为底．
2．换底公式的推论：（1）logab＝logac·logcb；
(2) logam
bn
n m
loga
b(a
0且a
1，b
0)
1．式子 log916·log881 的值为
A．18
B.118
解：
log2 3 a,
1 a log3 2
又
log3 7 b
log
42
56
log3 56 log3 42
log3 7 3 log3 2 log3 7 log3 2 1
b 3
b
1
a 1
ab 3 ab a 1
a
§2.7.3 换底公式及其推论
例3计算：
(1)
51log0.2 3
(2) log4 3log9 2 log1 4 32
(a
0且a
1，m
0且m
1，N
0)
2.两个常用的推论:
(1) loga b logb a 1, loga b logb c logc a 1
(2) logam
bn
n m
loga
b(a
0且a
1，b
0)
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读书破万卷，下笔如有神--杜甫
2) log a 1 0 (a 0 , a 1) 3) log a a 1 (a 0 , a 1)
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4) aloga N N(a 0 , a 1, N 0)
5) loga aN N(a 0, a 1)
§2.7.3 换底公式及其推论
对数 换底公式(一)
对数换底公式(一)
对数换底公式
什么是对数换底公式？
对数换底公式是指将一个对数的底换成另一个底的公式，用于简化和计算对数运算。
对数换底公式的基本形式
若a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0，且c≠1，则对数换底公式的基本形式为： logab = logcb / logca
对数换底公式的推导
对数换底公式的推导基于对数的定义和指数法则。
对数的定义
对数的定义是：如果ax=b，则称x为以a为底b的对数，记为logab. 这里的a被称为对数的底，b为对数的真数。
指数法则
指数法则是一组用于简化指数运算的公式。
- ax * ay = ax+y （乘法法则） - (ax)y = axy （幂法则） - a0 = 1 （零指数法则）等等
对数换底公式的例子
下面是一些对数换底公式的实际例子。
•log28 = log108 / log102：将底换成10，可以使用常用的对数计算。
•log39 = loge9 / loge3：将底换成自然对数e，适用于计算自然对数的场景。
•log525 = log725 / log75：将底换成任意不同的数值，适用于任意对数计算。
通过对数换底公式，我们可以轻松地将一个对数的底换成另一个底，简化对数运算，并根据不同的场景选择合适的底数进行计算。
希望以上对数换底公式的介绍能对你有所帮助！。
log的换底公式的推导
log的换底公式的推导好的，以下是为您生成的关于“log 的换底公式的推导”的文章：在咱们数学的奇妙世界里，log（对数）可是个让人又爱又恨的家伙。
今天咱们就来好好唠唠 log 的换底公式，这玩意儿看似复杂，其实只要咱一步步拆解，那也是小菜一碟！咱们先来说说为啥要整出个换底公式。
就拿咱平时做题来说吧，有时候题目给的底数和咱想要的底数不一样，这可咋整？这时候换底公式就派上用场啦，能让咱们把不同底数的对数换成相同底数的，方便计算和比较。
比如说，咱有个对数logₐb，想把底数换成 c，那换底公式就是logₐb = logₐc / logₐc。
那这公式咋来的呢？咱们来推导推导。
假设logₐb = x，那根据对数的定义，就有 a^x = b。
接下来，咱两边同时取以 c 为底的对数，就得到logₐc(a^x) = logₐc b。
因为logₐc(a^x) = x logₐc a，所以x logₐc a = logₐc b。
最后把 x 解出来，x = logₐc b / logₐc a，这不就是咱们要的换底公式嘛！我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别迷糊，一直问我为啥要这么换来换去的。
我就给他举了个例子，说假如你有一堆苹果，你想知道这堆苹果能分给几个人，但是一开始给你的计算方式不太顺手，咱们就得换个更方便的计算方式，这个换底公式就相当于那个更方便的计算方式。
咱们再深入瞅瞅这个公式的应用。
比如说，要计算 log₂5，直接算不太好弄，那咱们就可以换成以 10 为底，也就是 log₂5 = log₁₀5 / log₁₀2。
然后通过查对数表或者用计算器，就能算出结果啦。
在实际解题中，换底公式还能帮助咱们证明一些等式或者不等式。
比如说，要证明logₐb × logₐc = logₐ(bc)，咱们就可以利用换底公式把左边都换成以同一个底数的对数，然后通过化简就能证明出来啦。
总之，log 的换底公式就像是一把万能钥匙，能帮咱们打开很多数学难题的大门。
高一数学对数的换底公式及其推论
马王堆汉墓的年代.
作业：课本P75的11,12
补充：1．求值：
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2 ,求m
3．若log
8
Байду номын сангаас3=p,
log
3
5=q ,
用p,q表示 lg 5
； / 河源整形医院 河源整形美容 河源激光整形美容 河源医学整形整容 望都无法实现，冰凝真是对自己又恨又恼，但她更痛恨这受制于人的王府生活。望着跳跃的烛火，冰凝感慨万千：只壹年的时间，竟然早已物 是人非，沧海桑田，自己从壹各无忧无虑的小姑娘，变成壹各处处受气的小老婆。这么大的落差，实在是需要她用很长、很长的壹段时间来消 化，来适应。无论做啥啊、想啥啊，冰凝仍是无法让自己的心情好起来，于是她狠狠地甩甩头，企图把这些不愉快的事情都甩掉，因为她实在 不想再在这各问题上转圈圈。那就想点儿别的事情吧！可是，无论她怎么转念，这念想都要转到宝光寺上面。去年施粥的情景还历历在目，宝 光寺残垣断壁的样子时时地浮现眼前。她太惦记宝光寺咯：庙宇重建得好不好？僧人们的生活苦不苦？香客们去得多不多？越想，却越是觉得 不踏实。现在的她，无论有啥啊想法都是无济于事，被禁锢在王府中，既不能送去她的关心，也无法表达她的问候，她唯壹能做的，只是在这 京城里，遥遥地为宝光寺祈福而已。王爷是参惮礼佛之人，因此王府里建有专门的佛堂――万安堂。看看沙漏，三更天都快要过完咯，佛堂应 该没有人咯吧。于是冰凝唤来吟雪，两各人穿戴整齐，她要去佛堂给宝光寺烧几柱香。壹路走，她壹路怀念此前三各月独住府里的生活，只有 她壹各主子，不用担心遇见这各，碰见那各，不用小心翼翼地怕被人寻咯短处。哪像现在，即使去各佛堂还要小心翼翼，躲到深更半夜。自由 自在的日子真是越想越惬意，越想越令她怀念。顶着寒风，主仆两人深壹脚浅壹脚，相扶相伴地来到佛堂，果然不出冰凝所料，这各时辰，佛 堂里壹各人都没有。自从众人从园子里回来，也只有在深更半夜，冰凝才能自由自在地做壹回自己。虔诚地焚上香，冰凝跪拜在佛祖面前，真 诚地送上自己的祝福：祈求佛祖大慈大悲，祈求菩萨格外施恩，保佑寺院，保佑僧侣，保佑香客，保佑天底下所有的生灵……远远地见到佛堂 里有人影晃动，王爷很是诧异，这各时辰，居然还会有人？怀着万分诧异的心情，待走近之后仔细定睛壹看，门口站着的，居然是怡然居的大 丫环吟雪！他不是冰凝，作为政治嗅觉异常灵敏的他，在生活中也将这种物质发挥到咯极至，因此每壹各人他接触过的人，都会记得很清楚， 即使是各丫环，他都记得。只是这各结果实在是大大出乎他的意料：竟然会是年氏在里面！犹豫咯壹下，最终还是决定进来，他是爷，难道他 还需要怕啥啊人，还需要躲着谁吗？不过，他仍是先嗽咯壹下嗓子，算是提醒壹下她吧。他没有吓唬人的嗜好，而且，隐约地，他觉得像年氏 这么柔弱的人，似乎只是壹阵风就能将她吹倒，假如凭白地受咯惊吓，估计就会立即晕倒在他的眼前咯。她要是昏倒咯，就需要他去扶她，甚 至
对数换底公式
对数换底公式1. 简介对数换底公式是高中数学中的重要概念之一，它可以用来化简计算对数运算。
在数学中，对数是指一个数以另一个数为底的幂，换底公式可以用来将某个底数下的对数转换为另一个底数下的对数。
2. 对数换底公式的表达式对数换底公式可以用以下的数学表达式表示：log<sub>a</sub>b = log<sub>c</sub>b / log<sub>c</sub>a在上述公式中，a，b，c 是正实数，且a ≠ 1，b ≠ 1。
3. 对数换底公式的意义对数换底公式的意义在于可以将一个底数为 a 的对数转化为一个底数为 c 的对数。
换底公式的出现极大地方便了对数的计算，使得不同底数的对数可以互相转换，从而简化了运算过程。
4. 对数换底公式的证明对数换底公式的证明可以通过以下步骤进行：步骤 1:假设 a、b 和 c 是正实数，且a ≠ 1，b ≠ 1。
步骤 2:令 x = logab，y = logcb。
步骤 3:根据对数的定义，可以得出以下两个等式：a^x = b (1)c^y = b (2)步骤 4:将方程 (1) 和方程 (2) 的左右两边同时取对数，得到：log<sub>c</sub>(a^x) = log<sub>c</sub>b (3)log<sub>a</sub>(c^y) = log<sub>a</sub>b (4)步骤 5:根据对数的性质，可以将方程 (3) 和方程 (4) 进一步化简：x * log<sub>c</sub>a = log<sub>c</sub>b (5)y * log<sub>a</sub>c = log<sub>a</sub>b (6)步骤 6:通过方程 (5) 和方程 (6)，可以得出：x = log<sub>c</sub>b / log<sub>c</sub>ay = log<sub>a</sub>b / log<sub>a</sub>c步骤 7:由于 x = logab，y = logcb，所以可以得出：log<sub>a</sub>b = log<sub>c</sub>b / log<sub>c</sub>a即为对数换底公式。
对数换底公式总结
对数换底公式总结对数换底公式，也称为换底公式，是对数的一种恒等变形，用于将一个对数转换为以不同底数表示的形式。
这个公式在数学、物理学和工程学等多个领域有着广泛的应用。
换底公式的基本形式是 log(a)(b) = log(c)(b) / log(c)(a)，其中 a、b、c 都是正数，且a ≠ 1，b ≠ 1，c ≠ 1。
这个公式可以用来将任何底数 a 的对数转换为以底数 c 为底的对数，只要满足上述条件。
在换底公式中，log(a)(b) 表示以 a 为底 b 的对数，log(c)(b) 表示以 c 为底b 的对数，log(c)(a) 表示以 c 为底 a 的对数。
通过这个公式，我们可以将任何底数的对数转换为以任意大于零且不等于 1 的数为底的对数。
换底公式的推导过程可以通过对数的定义和性质进行证明。
首先，根据对数的定义，我们有 log(a)(b) = ln(b) / ln(a)，其中 ln 表示自然对数。
然后，我们可以通过换元法，令 t = ln(b)，得到 log(a)(b) = e^t / ln(a)，其中 e 是自然对数的底数。
接着，我们可以将 e^t 替换为以 c 为底 b 的对数，得到 log(a)(b) = log(c)(b) / log(c)(a)。
通过对数换底公式，我们可以解决一些与对数相关的问题，例如求解对数方程、计算对数的运算性质等。
同时，换底公式还可以用于简化对数的计算过程，例如将一个复杂的对数表达式转换为更简单的形式。
需要注意的是，在对数的换底公式中，换底的底数不能为 1 或 0，因为这两个值不符合对数的定义。
此外，在对数换底公式中，等号成立的条件是 a、b、c 都是正数且a≠1，b≠1，c≠1。
如果这些条件不满足，换底公式可能不成立。
总之，对数换底公式是数学中一个重要的恒等式，它可以将一个对数转换为以任意大于零且不等于 1 的数为底的对数。
这个公式在解决与对数相关的问题时非常有用，可以简化计算过程并得到更简单的结果。
换底公式
教材： 换底公式目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
过程：一、复习：对数的运算法则导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ 二、换底公式：aNN m m a log log log =( a > 0 , a ≠ 1 ) 证：设 log a N = x , 则 a x = N两边取以 m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N N m m a log log log =两个较为常用的推论：1︒ 1log log =⋅a b b a 2︒ b m n b a n am log log =（ a , b > 0且均不为1）证：1︒ 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅ba ab a b b a2︒ b m n a m b n ab b a m n nam log lg lg lg lg log === 三、例一、计算：1︒ 3log 12.05- 2︒ 421432log 3log ⋅解：1︒ 原式 =15315555531log 3log 52.0===2︒ 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅例二、已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示） 解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 1218log 1818 ∴log 18 2 = 1 - a∵ 18 b = 5 ∴ log 18 5 = b∴ a b a -+=++==22l o g 15l o g 9l o g 36log 45log 45log 181818181836 例三、设 1643>===t z y x 求证：yx z 2111=-证：∵1643>===t z y x ∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，∴ y t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-例四、若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5解：∵ log 8 3 = p ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p 又∵ q ==3lg 5lg 5log 3 ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pqpq 3135lg +=以下例题备用：例五、计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++解：原式452133222log )2log 2)(log 3log 3(log 232-++=45)2l o g 212)(l o g 3l o g 313l o g 21(3322+++=254545452l o g 233l o g 6532=+=+⋅= 例六、若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m 求 m解：由题意：218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ∴3lg 21lg =m ∴3=m 四、小结：换底公式及其推论 五、作业：1． 求下列各式的值：1︒ 65353log 9--+ )(41-2︒ 7log 15log 1864925+ (10)3︒ )5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++ )(414︒ )243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++ )(12252． 已知 )23lg(lg )23lg(2++=-x x x 求 222l o g x 的值。
换底公式
解法一：
解法二：
7 7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 3 7 7 2 lg 14 lg( ) lg 7 lg 18 lg(2 7) 2 lg 3 3 2 lg 7 lg( 2 3 ) 14 7 lg 7 2 lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) ( ) 18 3 lg 7 (lg 2 2 lg 3) lg 1 0 0
1 2 例2 : 设4 5 100, 求2( )的值. a b a b
a b
解: 4 5 100 2 a log 4 100 log 2 10 log 2 10
b log 5 100 log 5 5 4
2
2
2 log 5 4 2 2 log 5 2 1 1 2 1 2( ) 2 log 10 1 log 2 a b 2 5
log a 解（2）
x2 y
3
z
log a ( x 2 y ) log a z
1 2
1 2
1 3
log a x 2 loga y log a z
1 3
1 1 2 log a x log a y log a z 2 3
讲解范例
7 (1) lg 14 2 lg lg 7 lg 18 例3计算： 3
讲解范例
lg 243 例3计算： ( 2) lg 9
lg 243 lg 35 5 lg 3 5 解： ( 2) 2 2 lg 3 lg 9 lg 3 2
练习 1.求下列各式的值：
对数的运算换底公式
应用于科学计算
在科学计算中，对数运算被广泛 应用于工程、物理、生物和医学 等领域。
金融和投资领域
在金融和投资领域，对数函数被 用来计算复利、折现等价值计算 问题。
换底公式的地位和作用
将不同底数的对数进行转换
01
换底公式可以将不同底数的对数进行转换，使得对数的计算更
推广到其他数学分支中的对数运算
离散数学
将对数运算推广到离散数学中，可以处理在离散数学中的计数、组合等问题 ，例如使用对数方法求解排列组合问题。
概率统计
在概率统计中，对数运算有着广泛的应用，例如使用对数变换将非线性问题 转换为线性问题，方便进行统计分析。
05
换底公式的实际应用
在金融领域中的应用
利率转换
在物理领域中的应用
声速计算
在物理学中，声速c与绝对温度T的关系为 c=331.3+0.6T，其中T是绝对温度的十进对数。使用 换底公式可以方便地计算出不同温度下的声速。
电阻计算
在电路分析中，电阻R的数值可以通过欧姆定律计算 得出，其中电流I的单位是安培（A），电压U的单位 是伏特（V），长度l的单位是米（m），电阻率ρ的单 位是欧·米（Ω·m），截面积S的单位是平方米（m²） 。公式为R=ρl/S，使用换底公式可以将电阻率的单位 转换为欧姆·米（Ω·m）或欧姆²/米（Ω²/m）。
任意精度
通过定义任意精度的对数函数，可以实现任意精度的数学计算，为高精度计算提 供了更大的灵活性。
推广到复数域的对数运算
复数域的对数
将对数运算推广到复数域，可以处理在复 数域中的数学计算问题，例如求解复数方 程等。
VS
换底公式
要注意对底数的合理先去，本题也可以取常用对
数或自然对数.
换底公式
【公式的拓展】
利用换底公式证明：
(1)
logam
b
1 mlogb
a
;
(2) logambmlogab.
证明:(1) logamblo loggbbabmmlo1gba (2) logambmllo og ga aa bm mm m llo og ga aa blogab
换底公式
知识点换底公式换底公式定义根据相等的两个正数的同底对数相等若nbloglogloglog换底公式要点诠释一个数的对数等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个同底对数的商
知识点——
换底公式
换底公式
【定义】
根据相等的两个正数的同底对数相等,若N=bx ，
【典型例题】
计算：(1) ㏒927 ；(2) ㏒89·㏒2732
活动:学生观察题目，思考讨论，互相交流，教 师适时提示，使用换底公式统一底数；根据题目 的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来， 可以化成常用对数或自然对数，当然以2为底或 以3为底的对数也可.在讲授时可通过实物展示台 放映学生解答过程.分析解答情况.
换底公式
【变式训练】
解法二：对已知条件取以6为底的对数，得：
a log 6 3 2， b log 6 2 1
21a源自log 63, b
log 6
2
2 a
1 b
log 6
3
log 6
2
1
点评：本题考查对数的性质，一个等式的两边取
对数，是一种常用的技巧，一般地说，给出的等
高中数学课件换底公式的推导教学片断(揭阳一中)精选ppt课件
x
log1.01
18的值。 13
问题1：如何求 x
log1.01
18的值？
13
探究：根据对数的定义，由x
1.01x
18
log1.01
18 13
得
13
对式子两边取10以 为底的常用对数，得到
lg1.01x
lg18 13
即xlg1.01
lg18 13
所x以 llg 1g 1 1 .03 81 ，l 即 o1.0g11 13 8llg 1g 1 1 .03 81
bx N
两边取以 a 为底的对数，得
loag bx loagN
由于 b 0,所以可得
xloabgloaNg
又由b于 1,所以可得
x
loga N loga b
即 logb N
loga loga
N b
三.换底公式
lo g bN llo o g g a aN b(其 中 a ， b 0 ， a ， b 1 ， N 0 )
问题2：如果 a 0且a 1,你能用 a为 以底的对数式
探究：示lo设 1g.01l1138o 1 吗 .0g11 1 ？3 8x，1. 则 0x11 13 8
对式子两边同取以a为底的对数可得:
loag1.01x loag1138
x
log a 1.01
log a
18 13
x
log a
换底公式推导
（人教A版章第2.2.1节）
一.提出问题
截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能 将人口年平均增长率控制在1%，求我国人口达到18亿 的年份。
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换底公式的推导过程
摘要：
一、换底公式简介
1.什么是换底公式
2.换底公式的应用场景
二、换底公式的推导过程
1.指数函数的定义
2.对数函数的定义
3.换底公式推导
三、换底公式在实际问题中的应用
1.常见函数的换底计算
2.实际问题中的换底应用
正文：
一、换底公式简介
换底公式，又称换底对数公式，是数学中一种重要的公式。
它可以将一个以某个底数为底的指数函数或对数函数转换为以任意底数为底的指数函数或对数函数。
换底公式广泛应用于各种数学问题，尤其是涉及到对数和指数运算的问题。
二、换底公式的推导过程
1.指数函数的定义：设a>0 且a≠1，函数f(x)=a^x (x∈R)，称为以a 为底的指数函数。
2.对数函数的定义：设a>0 且a≠1，函数g(x)=log_a x (x>0)，称为以
a 为底的对数函数。
3.换底公式推导：设y=f(x)=a^x，我们想要找到一个与f(x) 等价的函数，即h(x)=b^x，其中b 为任意正实数且b≠1。
我们可以通过对f(x) 取对数，然后用g(x) 表示，即：
log_b y = log_b (a^x) = x * log_b a
这样我们就得到了h(x) = b^x，即：
h(x) = b^(x * log_b a)
因此，我们可以用h(x) 替代f(x)，使得以b 为底的指数函数与以a 为底的指数函数等价。
三、换底公式在实际问题中的应用
1.常见函数的换底计算：在实际问题中，我们常常需要将一个函数表示为另一种底数的函数。
例如，将自然指数函数表示为以2 为底的指数函数，可以使用换底公式：
2^x = e^(x * log_e 2)
2.实际问题中的换底应用：在物理学、化学和工程等领域，换底公式经常用于计算各种物理和化学常数的对数。
例如，在计算气体定律问题时，我们需要计算气体的体积、温度和压强等参数的对数，这时可以使用换底公式将底数为自然常数e 的对数转换为底数为任意正实数的对数，以便进行计算。