[关键词]角平分线和尺规作图教案

[文件] sxcbk0024.doc

[科目] 数学

[关键词] 初二几何/教学结构/尺规作图/角平分线

[标题] 角平分线和尺规作图

[内容]

角平分线和尺规作图

【教学结构】

一角平分线

1.定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。这个定理说明了角平分线上的点的性质，是角平分线的性质定理。

2.定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。这个定理是制定某一个点是否在角的平分线上，是角平分线的判定定理。它是定理1的逆定理。

3.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。这里包含两层意思，在一个角内，到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上；反过来，角的平分线上的点到角的两边距离都相等。

4.利用定理1和定理2可以证明两条线段相等或两个角相等。因此，在证题时，应注意直接应用这两个定理解决问题，避免绕远路，仍去找全等三角形，结果相当于重新证一次定理。

5.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

6.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。

7.定理作为一个命题一定有逆命题，由于逆命题不一定都是真命题，因此并不是所有的定理都有逆定理。例如：“对顶角相等”的逆命题是假命题，所以，“对顶角相等”这个定理没有逆定理。

二基本作图

1.尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，叫做尺规作图。（直尺应设有刻度）

2.基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图。

3.五种常用的基本作图：

(1)作一条线段等于已知线段；

(2)作一个角等于已知角；

(3)平分已知角；

(4)经过一点作已知直线的垂线；

(5)作线段的垂直平分线。

4.掌握以下几何作图语句：

(1)过点×、点×作直线××；或作直线××，或作射线××；

(2)连接两点×、×；或连结××；

(3)在××上截取××=××；

(4)以点×为圆心，××为半径作圆（或弧）；

(5)以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×；

(6)分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点××；

(7)延长××到点×，或延长××到点×，使××=××。

5.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述就可以了，如：

(1)作线段××=××；

(2)作∠×××=∠×××；

(3)作××（射线）平分∠×××；

(4)过点×作××⊥××，垂足为×；

(5)作线段××的垂直平分线××。

【解题点要】

例1：判断题：

1.三角形的角平分线是射线（）

2.三角形的三条角平分线的交点和三个顶点的距离相等（）

3.原命题是真命题，它的逆命题也是真命题（）

4.因为每个命题都有逆命题，所以每个定理也都有逆定理（）

5.命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题（）

解：第1题：“×”。因为三角形的角平分线是三角形一个角的平分线和这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。它是线段而不是射线。一个角的平分线才是射线。

第2题：“×”。因为三角形的三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等。

第3题：“×”。因为原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题，例如：“对顶角相等”的逆命题：“相等的角是对顶角”就是假命题。

第4题：“×”。因为每一个命题都有逆命题是对的。但是一个定理的逆命题经过证明是真命题，它才能叫做这个定理的逆定理。所以每个定理不一定有逆定理。

第5题：“×”。“全等三角形的对应角相等”的逆命题是：“三个角分别相等的两个三角形全等”显然是错误的。

例2 已知：如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于

点O，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D、E、F分别是

垂足。

求证：点O在∠A的平分线上。

分析：此题要注意区分何时用判定定理，何时用性质定

理。

证明：∵点O在∠B的平分线上（已知）

又∵OD⊥AB，OE⊥BC（已知）

∴OD=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等）

同理：OD=OF

∴OE=OF

∴点O在∠A的平分线上（到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）例3下列各语句为作图范句的画“√”，不是作图范句的画“×”。

1.过P作直线PA（）

2.过点P，点A，作直线PA（）

3.连结两点ＭＮ（）

4.延长ＡＢ到ＡＤ（）

5.延长ＡＢ到Ｄ（）

6.延长ＡＢ到Ｄ，使ＢＤ＝ＡＢ（）

7.在ＡＤ上截取ＡＥ＝a （ ）

8.以点P 为圆心，以m 为半径作圆（ ）

解：1.过一点可以作无数条直线∴“×”

2.因为两点确定一条，∴“√”

3.连结两点MN ，得到线段MN ，∴“√”

4.应为延长AB 到D 点∴“×”

5.“√”

6.“√”

7.“√”

8.“√”

例4 已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60，AD

为∠BAC 的平分线，D 到AB 的距离为5.6cm

求：BC 的长

分析：此题要充分利用角平分线的性质定理，避免绕远

路，去证三角形全等。

证明：在Rt △ABC 中，∵∠CAB=60°∴∠B=30°（直

角三角形两锐角互余）

∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）

∴∠1 = 12

∠CAB=30°（角平分线定义） ∴∠1 = ∠B ∴AD = DB

∵D 到AB 的距离为5.6cm 即DE=5.6cm

∴CD = DE =5.6cm

∵Rt △DEB 中 ∵∠B=30°，DE=5.6cm

∴DB = 2DE=11.2（Rt △中30°角所对边等于

斜边的一半）

∴BD = 11.2

∴BC = CD + DB =5.6+11.2=16.8(cm)

【同步练习】

一、选择题

1.已知：如图1，B E ，C F 是△ABC 的角平分线，B E ，CF 相交于D ，若∠A=50°，则∠BDC=（ ）

A. 70°

B.120°

C.115°

D.130°

2.已知：如图2，△ABC 中，AB = AC ，BD 为∠ABC 的平

分线，∠BDC = 60°，则∠A =（ ）

A. 10°

B. 20°

C. 30°

D. 40°

3.三角形中，到三边距离相等的点是（ ）

A.三条高线交点

B.三条中线交点

C.三条角平分线的交点

D.三边的垂直平分线的交点

4.已知P 点在∠AOB 的平分线上，∠AOB = 60°，OP = 10 cm ，那么P 点到边OA 、