[关键词]角平分线和尺规作图教案

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沪科版数学八年级上册《角平分线及其画法》教学设计

沪科版数学八年级上册《角平分线及其画法》教学设计一. 教材分析《角平分线及其画法》是沪科版数学八年级上册第三章“几何变换”中的一个知识点。

本节课主要介绍了角平分线的定义、性质及画法。

教材通过生活中的实例引入角平分线的概念，接着引导学生探究角平分线的性质，最后学习角平分线的画法。

本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了七年级的数学知识，对图形的变换和性质有一定的了解。

他们在学习过程中善于观察、思考，并能运用已有的知识解决实际问题。

但是，对于角平分线的概念和性质，学生可能初次接触，需要通过实例和活动加深理解。

此外，学生在画角平分线方面可能存在一定的困难，需要教师进行有针对性的指导。

三. 教学目标1.理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质。

2.学会用尺规作图法画一个角的平分线。

3.能够运用角平分线的性质解决实际问题。

四. 教学重难点1.角平分线的定义和性质。

2.尺规作图法画角平分线。

五. 教学方法1.情境导入：通过生活中的实例引入角平分线的概念，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究：引导学生观察、思考，发现角平分线的性质。

3.合作交流：分组讨论，让学生在合作中解决问题，培养团队精神。

4.示范讲解：教师用尺规作图法演示画角平分线的过程，引导学生动手操作。

5.练习巩固：设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固知识。

6.拓展延伸：引导学生运用角平分线的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括角平分线的定义、性质和画法的讲解。

2.准备尺规作图的工具，如直尺、圆规等。

3.准备练习题及答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如剪刀的剪切角，引入角平分线的概念。

引导学生观察、思考，提出问题：“什么是角平分线？”2.呈现（10分钟）呈现角平分线的性质，引导学生自主探究，发现角平分线的性质。

教师讲解并演示角平分线的画法，让学生初步了解尺规作图法。

1.4第1课时角平分线-北师大版八年级下册数学教案

（2）掌握角平分线的性质：学生可能难以理解并运用角平分线的性质解决问题。
解决方法：通过大量例题，引导学生发现角平分线性质的规律，培养学生的几何直观能力。
（3）尺规作图画出一个角的平分线：在尺规作图过程中，学生可能对作图步骤和方法掌握不熟练。
解决方法：教师分步骤演示作图过程，学生跟随练习，同时鼓励学生之间互相交流，提高作图技能。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角平分线的定义和性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角平分线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何使用尺规作图画出一个角的平分线。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）角平分线的定义：准确理解角平分线的概念，掌握角平分线将角分为两个相等角的特点。
举例：解释什么是角平分线，如何用图形表示，强调角平分线上的点到角的两边的距离相等。
（2）角平分线的性质：熟练掌握角平分线的性质，并能够运用性质解决相关问题。
举例：通过具体图形，展示角平分线的性质，如角平分线上的点到角的两边的距离相等。
五、教学反思
在本次《角平分线》的教学中，我发现学生们对于角平分线的定义和性质的理解存在一定的困难。在讲授过程中，我尽量用简单的语言和生动的例子来解释这些概念，但感觉效果并不如预期。这可能是因为我对学生的前置知识掌握情况估计不足，导致讲解的深度和广度不够。
在实践活动中，学生们分组讨论和实验操作的环节较为顺利。他们能够积极参与，互相交流，展示自己的成果。但我也注意到，有些学生在操作过程中仍然对尺规作图不够熟练，这需要我在今后的教学中加强个别辅导，帮助他们掌握作图技巧。

七年级数学上册《角平分线》教案、教学设计

（二）讲授新知
1.概念讲解：介绍角平分线的定义。
教师讲解：“角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。”
2.尺规作图：演示和讲解如何用尺规作图方法作出角的平分线。
教师演示并讲解：“首先，画出角的两边；然后，在角的顶点处分别作两条射线，使这两条射线分别与角的两边相交；最后，连接这两个交点，即可得到角的平分线。”
5.自主学习能力：鼓励学生在课后进行拓展学习，提高对角平分线知识的理解和应用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生的几何审美观念，让他们感受到几何图形的美；
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，激发学生对数学学科的兴趣；
3.培养学生严谨、踏实的科学态度，让他们认识到数学知识的严密性和逻辑性；
4.培养学生的创新意识，鼓励他们在解决问题时尝试不同的方法和思路；
3.教师点评：对学生的讨论成果给予肯定和指导。
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对本节课所学内容，设计具有梯度性的练习题。
练习题包括：基本概念题、尺规作图题、性质应用题等。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导。
3.选取部分学生进行板演，展示解题过程。
4.针对学生的解答，教师进行点评和讲解。
（五）总结归纳
2.教学策略：
（1）情境创设：以实际问题为背景，创设教学情境，让学生感受角平分线的应用；
（2）逐步引导：从简单的例子入手，逐步引导学生理解和掌握角平分线的性质；
（3）分层教学：针对不同学生的学习水平，设计不同难度的题目，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（4）总结反思：在课后组织学生进行总结反思，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
2.创设情境：以校园环境为背景，提出实际问题。

《角平分线》教案

《角平分线》教案第1课时教学目标知识与技能：1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法；2、理解角的平分线的性质并能初步运用．过程与方法：通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力．情感态度与价值观：培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情．教学难重点教学重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用．教学难点：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2、对于性质定理的运用．教学过程一、创设情景生活中有很多数学问题：小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连．问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看．二、探究体验要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线．出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线．学生口述，用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线．O B多媒体展示实验过程．把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC=DC ，从几何作图角度怎么画？让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕．问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕．让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等）结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用．三、合作交流判断正误，并说明理由：（1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE=PF ．（2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则PE=PF ．（3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ．让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题：问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？四、例题讲解例：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．求证：EB=FC ． A O B P E F 图2图3 ABP E AO B PEF 图1变题1：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BD=DF ，求证：CF=EB ．变题2：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，BC=8，BD=5，求DE ．五、课堂小结这节课你本节课学习了哪些知识？学会了什么方法？第2课时教学目标掌握三角形三条角平分线的性质定理，会用这个定理解决一些简单问题．教学重难点三角形三条角平分线的性质定理；教法、学法讲练结合，动手操作教具、学具小黑板．教学过程：一、动手操作，导入新课让学生把准备好的三角形拿出来，分别折出三个角的角平分线，然后观察三条角平分线有什么性质？二、展示目标AFC D B E AFC D B E AF C D BE掌握三角形三条角平分线的性质定理，会用这个定理解决一些简单问题．三、学生自学1、探究：三角形的三条角平分线性质定理．学生动手用直尺和圆规画一个三角形，然后画出三条角平分线，观察这三条角平分线有什么性质，和折出来的三条角平分线是不是有类似的性质？两位学生到黑板上写出它们完整的证明过程，包括写出已知，求证和证明．其他学生在练习本上完成．四、尝试练习1、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A、三条中线的交点B、三条高的交点C、三条边的垂直平分线的交点D、三条角平分线的交点2、如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A、1处B、2处C、3处D、4处3、如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．五、点拨讲解1、注意提醒学生和三角形三条线段垂直平分线的性质类比思考．2、以黑板上学生的证明为样本，讲解三角形三条角平分线的性质定理．六、达标测试1、如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于（）A、4B、3C、2D、12、如图，点P在∠AOB的平分线上，PE丄0A于E，PF丄OB于F，若PE=3，则PF= （）．3、如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：（1）PE=PF；（2）点P在∠BAC的角平分线上．。

数学教案角的平分线

数学教案角的平分线一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解角平分线的定义和性质。

掌握角平分线的尺规作图方法。

能够运用角平分线的性质解决简单的几何问题。

2、过程与方法目标通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，培养学生的动手能力、合情推理能力和逻辑思维能力。

让学生经历探究角平分线性质的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感态度与价值观目标通过对角平分线的学习，激发学生对数学的兴趣，增强学生的自信心。

培养学生勇于探索、敢于创新的精神，以及合作交流的意识。

二、教学重难点1、教学重点角平分线的定义和性质。

角平分线的尺规作图方法。

2、教学难点角平分线性质的证明和应用。

三、教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课展示一个角，然后提出问题：如何将这个角平均分成两部分？引导学生思考，引出角平分线的概念。

2、讲授新课（1）角平分线的定义结合图形，给出角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

强调角平分线是一条射线。

（2）角平分线的性质让学生通过折纸的方法，探索角平分线的性质。

引导学生发现：角平分线上的点到角两边的距离相等。

提出问题：如何证明这个性质呢？引导学生写出已知、求证，并进行证明。

证明：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E。

已知：∠AOC ＝∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB。

求证：PD ＝ PE。

证明：∵OC 是∠AOB 的平分线∴∠AOC ＝∠BOC∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO ＝∠PEO ＝ 90°在△PDO 和△PEO 中∠PDO ＝∠PEO∠AOC ＝∠BOCOP ＝ OP∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD ＝ PE（3）角平分线的尺规作图演示角平分线的尺规作图方法，并让学生跟着一起做。

强调作图的步骤和注意事项。

步骤：①以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N。

《角平分线的尺规作图》示范教学方案

第十五章轴对称图形与等腰三角形15.4角的平分线第1课时角平分线的尺规作图一、教学目标1．理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线；2．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；3．在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．二、教学重点及难点重点：角平分线及垂线的尺规作法；难点：角平分线的尺规作法的正确性的证明．三、教学用具多媒体课件．四、相关资料无．五、教学过程【情景引入】回顾：作出下面图形的对称轴插入轴对称图形什么是角平分线？问题：怎样作∠AOB的平分线呢？①折纸法；②度量法．如果用尺规作图，该怎么做呢？本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了利用尺规作图作一个角的平分线，并证明了这种作法的科学性.若需使用，请插入微课【知识点解析】作一个角的平分线. 【合作探究】教师将学生分成组布置任务，小组讨论得出结果再向全班汇报，并根据实际情况分别给各组打分．任务：请在图中作出线段AD ，使其平分∠BAC 且长度等于m .要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论．【探究新知】解析：首先以A 为圆心，任意长为半径作弧，交射线AB 、AC 于E 、F ，然后以E 、F为圆心，大于12EF 长为半径作弧，交于点M ，那么AM 就是∠BAC 的角平分线，只需在射线AM 上截取AD ＝m 即可．答案：已知：线段m ，∠BAC ；如图所示．方法总结：此题主要考查的是角平分线的作法，难度不大．作一个角的平分线是基本的作图．尺规作图时，应该遵循作图必需的正确步骤．【典型例题】例题：如图，分别过点P作线段MN的垂线．解析：利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法分别作各条线段所在的直线的垂线即可．答案：如图，(1)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(2)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(3)延长MN，过点P作MN所在直线的垂线；(4)延长NM，过点P 作NM所在直线的垂线．方法总结：过一点作线段的垂线，就是作线段所在直线的垂线．【新知应用】课本练习P143页1，2【随堂检测】1.如图，已知直线l及其两侧两点A、B.(1)在直线l上求一点O，使到A、B两点距离之和最短；(2)在直线l上求一点P，使P A＝PB；(3)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.解析：(1)根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB交直线l于点O，则O为所求点；(2)根据线段垂直平分线的性质连接AB，再作出线段AB的垂直平分线即可；(3)作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，由三角形全等的判定定理得出△BDQ≌△B′DQ，再由全等三角形的性质可得出∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB.答案：(1)如图①，连接AB，线段AB交直线l于点O，∵点A、O、B在一条直线上，∴O点即为所求点；(2)如图②，连接AB，分别以A、B两点为圆心，以大于12AB的长度为半径作弧，两弧相交于C、D两点，连接CD与直线l相交于P点，连接BD、AD、BP、AP、BC、AC，∵BD＝AD＝BC＝AC，即C、D两点都在AB的垂直平分线上，∴CD是线段AB的垂直平分线，∵P是CD上的点，∴P A＝PB；(3)如图③，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，∵B与B′两点关于直线l对称，∴BD＝B′D，DQ＝DQ，∠BDQ＝∠B′DQ，∴△BDQ≌△B′DQ，∴∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB.方法总结：本题考查的是两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解答此题的关六、课堂小结直角三角形中30°角的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．设计意图：将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识．七、板书设计第十五章轴对称图形与等腰三角形15.3等腰三角形第3课时直角三角形中30°角的性质定理直角三角形中30°角的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．。

角平分线及其画法教学设计

角的平分线
一：教材分析
1.教材的地位及作用：
本节课是选自沪科版八年级上册第十五章第四节的内容，是在学习过尺规作图的基础上进行教学的，主要学习如何作出角的平分线及简单探索角平分线作法的原理，是尺规作图的再次利用和强化。

为初三的学习做好铺垫，可以为如何用尺规作图作出三角形的内接圆做铺垫，具有承上启下的作用，因此本节课在教材中有着重要的作用！
2、学习目标：
（1）.会用尺规作图作角平分线，并会用语言描述作法；
（2）.通过操作、观察、证明所作射线是角平分线；
（3）.了解尺规作图的依据，会进行简单的应用.
3、教学重难点
重点：会用尺规作图作出角平分线
难点：会过一点作已知直线的垂线
二、学教过程：。

134尺规作图3作已知角的平分线教案

13.4尺规作图3. 作已知角的平分线1. 掌握尺规的基本作图：画角平分线；2.进一步学习解尺规作图题，会写已知、求作和作法，以及掌握准确的作图语言.分析实际作图问题，运用尺规的基本作图，写出作图的主要画法．一、导入新课二、推进新课新知探究问题1:实验探索：已知∠AOB，用直尺和圆规准确地画出已知∠AOB的平分线.请各小组同学讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.分析：讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AO B的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．分析：去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．观察、概括【作一个角的角平分线的理论依据是全等判定方法中的“边边边”公理.】特别注意: 角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．例题讲解:例已知∠α与∠β，求作一个角，使它等于(∠α+∠β)的一半.已知：求作：作法：课堂练习把一个角分成两部分，使这两部分的度数之比为1：3.分析：本题可在原角内作一个角等于原角的14，故将原角平分后再次平分即得. 答案:已知：如图，已知∠AOB.求作：射线OC,使∠AOC:∠COB=1:3作法：（1）作∠AOB 的平分线OP ；（2）作∠AOP 的平分线OC ；射线OC,将∠AOB 分成1:3的两部分.三、本课小结1. 三角形的角分线是一条线段，角的平分线是一条射线；2. 基本作图：用尺规作一个角的角平分线；3. 作一个角的角平分线的理论依据是全等判定方法中的“边边边”公理；4. 解决尺规作图问题，先作出符合条件的图形草图，再确定具体的作图方法.A OBC P。

角的平分线数学教案

角的平分线数学教案
标题：《探索角的平分线》
一、教学目标
1. 知识与技能目标：理解并掌握角的平分线的概念，能够熟练地运用尺规作图法作出任意角的平分线。

2. 过程与方法目标：通过观察、思考、实践，提高学生的空间观念和逻辑思维能力。

3. 情感态度价值观目标：培养学生对几何学习的兴趣，增强他们解决问题的信心。

二、教学重点和难点
重点：理解和掌握角的平分线的概念，掌握尺规作图法作出任意角的平分线的方法。

难点：理解和应用角的平分线的性质。

三、教学过程
1. 导入新课：通过实例引入角的平分线的概念，引发学生的好奇心和求知欲。

2. 新课讲授：
(1) 角的平分线的概念：讲解角的平分线的定义，并让学生自己画出一些角的平分线，加深理解。

(2) 尺规作图法：详细解释如何使用尺规作图法作出任意角的平分线，包括步骤和注意事项。

(3) 角的平分线的性质：引导学生通过实验、讨论等方式发现角的平分线的一些性质，如等腰三角形的判定定理等。

3. 巩固练习：设计一些习题，让学生在实践中巩固所学知识。

4. 总结反思：回顾本节课的主要内容，鼓励学生分享他们的学习体验和收获。

四、作业布置
设计一些题目，要求学生在家中完成，以检验他们对角的平分线的理解和掌握程度。

五、教学评价
根据学生在课堂上的表现和作业完成情况，对学生的学习效果进行评估。

六、教学反思
教师应反思自己的教学方法是否有效，是否有需要改进的地方，以便更好地满足学生的学习需求。

2019-2020学年八年级数学《角平分线(尺规作图)》教案新人教版.doc

2019-2020学年八年级数学《角平分线（尺规作图）》教案新人教版一.教学过程（简案）：1.复习提问：三角形中有那些重要的线段？学生回答：三角形的高、中线、角平分线，（老师强调角平分线与三角形角平分线的区别）。

2.新课：例1.在∠AOB边OA、OB上取OM=ON,MC⊥OA,NC⊥OB,MC与NC交于点C.求证:∠MOC=∠NOC(学生自己动手证明，并让学生板书证明过程)老师提问：你做完此题后有何启示？经过学生讨论后，他们认为利用这种方法可作角平分线。

例2.角平分仪器操作原理：若A B=AD，BC=CD。

则AC平分∠DAB和∠BCD，为什么？学生们发现△ADC和△ABC全等，所以AC平分∠DAB和∠BCD。

例3.利用尺规作∠AOB的平分线（学生动手操作）老师强调两点：第一，以O为圆心适当长度为半径画弧交OA、OB于M、N。

第二，分别以M、N为圆心时，半径应大于MN的一半长度。

练习：作出∠AOB的平分线？二、对教学案例的分析这一教学案例当然不能被看作是培养学生创新意识的初中数学课堂教学的范例 ,其中许多环节还需要进一步改进完善。

但其较为真实地反映了目前数学课堂教学的一些情况 , 一些教学环节的处理还是值得肯定的。

1. 突出了数学课堂教学中的探索性关于尺规作角的平分线的引出 , 在本教学案例上没有像教材那样直接给出作法 , 而是利用《几何画板》采取了让学生动手画一画 , 量一量的方式 , 使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想 , 自己去发现结论 , 并用命题的形式表述结论。

关于例1.例2的证明 , 没有采用教师给学生演示角平分线的尺规作法 , 而是引导学生证明猜想 , 并做了进一步的完善。

这种探索性的数学教学方式在其后的例题讲解中亦得到了进一步的贯彻。

这样既调动了学生学习数学的积极性和主动性 ,增强了学生参与数学活动的意识 , 又培养了学生的动手实践能力。

同时 , 也向学生渗透了实践 ---- 认识 ---- 再实践 ---- 再认识的辩证观点。

1.4.2角平分线教案2021-2022学年北师大版八年级数学下册

课题1.4角平分线（2）学习目标1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。

2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。

3.培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。

重点难点重点：角的平分线的性质，综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。

难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。

教法选择自主探究、合作学习课型新授课课前准备课件是否采用多媒体是教学时数2课时教学时数第 2 课时备课总数第课时教学设计思路及其意图本节设计对学生能力的要求较高，教师要善于利用典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。

教师可以让学生自己证明，自己写出角平分线性质定理的逆命题，并写出已知、求证，写出证明过程，角平分线性质定理中的“距离”是点到线的距离，教学中教师要加以强调。

这样设计教学，既符合教材的逻辑，也符合学生的认知。

课堂教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、复习旧知，探究新知1.如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE=DF，∠EDB= 60º，则∠EBF= 度，BE= .2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的__________，AE+DE=____.学生回忆角平分线的性质和判定定理的相关知识，自主完成.3.尺规作图：作∠AOB的平分线.学生回忆角平分线尺规作图的作法，在练习本上自主完成.提出要求：尺规作图三角形的三个内角的角平分线，并仔细观察所作的图形，你有什么发现呢?二、设置问题，引入新课问题：通过作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什出示问题，鼓励学生采用不同方法证明此问题。

并对学生的说理给予肯定.对全班学生做出讲解，并书写证明过程.小组合作，相互讨论，完成所提出的问题.独立思考问题，根据定理写出已知、求证，全班交流.么?能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．三、合作学习，自主探究（一）探究三角形的的角平分线性质定理并仔细观察所作的三角形的三个内角的角平分线的图形，你发现了什么?学生观察讨论得出结论：“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．提问：你能证明自己发现的结论一定正确吗？请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．证明过程如下：已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点分别做AB、BC、AC的垂线PD、PE、PF,垂足分别为D、E、F.∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴ PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理，PE=PF.∴ PD=PE=PF.∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即：∠A的平分线经过点P.在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．归纳总结：三角形角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．几何语言：如图，在△ABC中∵ AE、BF、CN是△ABC的三条角平分线且PD⊥AB、PM⊥AC、 PO ⊥BC(已知)∴ AE、BF、CN相交于一点P且PD=PM=PO(三角形角平分线的性质定理)下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等二、展示思维过程，构建探究平台求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM和角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别是D,E,F.求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF.DFEMNC BAP三、例题讲解例如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ．(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C=90°，DE ⊥AB ．∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到角两边的距离相等)． ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°，∴∠B=12 ×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE 中BD=cm DE 2422=(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=cm )244(+．(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt △ACD ≌Rt △AED(HL)∴AC=AE. ∵BE=DE=CD ，∴AB=AE+BE=AC+CD ．四、巩固练习1.完成课本P31 随堂练习五、本课小结指导学生理解题意，并疏通证明思路.出示问题，巡查学生完成情况，并个别讲解.对于例题的第一问，着重讲解，并板书解题过程，对做得好的学生给予表扬和鼓励.引导学生完成本节课所学内容的小结.理解题意，并独立思考解题过程小组合作，相互讨论，完成例题。

初中数学画角平分线教案

初中数学画角平分线教案教学目标：1. 知识与技能：了解角的平分线的概念，学会用尺规作图的方法画出一个角的平分线。

2. 过程与方法：通过实际操作，培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

教学重点：1. 角的平分线的概念。

2. 尺规作图的方法画角的平分线。

教学难点：1. 理解角的平分线的性质。

2. 熟练运用尺规作图的方法画角的平分线。

教学准备：1. 尺子、圆规、直尺、橡皮擦等作图工具。

2. 教学PPT或黑板。

教学过程：一、导入新课1. 引导学生回顾之前学过的知识，如角的概念、角的分类等。

2. 提问：同学们，你们知道如何画一个角的平分线吗？二、探究新知1. 讲解角的平分线的概念：角的平分线是将一个角平分成两个相等角的直线。

2. 演示如何用尺规作图的方法画角的平分线：a. 以角的顶点O为圆心，任意长为半径画一个圆弧，交角的两边AB和AC于点M和N。

b. 以点M和N为圆心，大于MN长为半径画两个圆弧，分别交角的两边于点P和Q。

c. 连接点P和Q，线段PQ即为所求的角的平分线。

3. 让学生分组合作，尝试自己画出几个角的平分线，并观察平分线与角的两边的关系。

三、巩固新知1. 提问：同学们，你们能总结出角的平分线的性质吗？2. 引导学生归纳角的平分线的性质：a. 角的平分线将角平分成两个相等角。

b. 角的平分线与角的两边垂直。

c. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

3. 举例说明角的平分线的性质在实际问题中的应用。

四、课堂练习1. 让学生独立完成练习题，巩固画角的平分线的方法。

2. 引导学生相互讨论，解决练习题中的问题。

五、总结1. 回顾本节课所学的内容，让学生再次确认角的平分线的概念和画法。

2. 强调角的平分线在实际问题中的应用价值。

教学反思：本节课通过引导学生回顾旧知识，引入新概念，让学生通过实际操作，掌握画角的平分线的方法。

角平分线尺规作图.4.1角平分线尺规作图教案

第 1 课时角均分线的尺规作图【学习目标】 1、会画已知角的均分线 2、能经过逻辑推理考证所作图形是角均分线【学习要点】掌握尺规作已知角的均分线的作法【学习难点】从作图过程中找到已知条件，经过逻辑推理考证所作图形为角均分线【教课流程】学习流程（教课流程）学法指导（个性改正）一、新课导入：师：同学们，请大家察看我手中的三角形，假如我要将此中一个角分红两个相等的角，你有哪些方法？生：用量角度量、翻折、用直尺和圆规师：①本节课我们就学惯用没有刻度的直尺和圆规画已知角的均分线（出示课题），这节课我们要掌握哪些知识呢？让我们一同来认识一放学习目标。

②若学生说不出用尺规作图 , 则这样指引 : 前面我们学习了用尺规作图的方法能够画一条线段等于已知线段 , 画一个角等于已经角 , 那么用尺规作图的方法能否画这个角的均分线呢 ?这就是我们今日要学习的内容 .二、展现目标：（大家齐读一遍，教师解读目标）1、掌握尺规的基本作图三：画已知角的均分线2、能经过逻辑推理考证所作图形是角均分线过渡：为了达成学习目标，同时培育大家的学习能力，今日，我们的讲堂要改变传统的方式，今日的讲堂由同学们作主，同学们就是小老师，此刻就请指导：边作图边口述作各个小组的同学依据老师提早分给你们的任务，进行对学、群学和预展，为图步骤和作法。

展现做好充足的准备。

（能否要规准时间）三、学习导引：1、引出角均分线作法。

过渡：方才的这一环节每个组的同学都表现得特别好，因此老师要给每个组加上满分 4 分，此刻就有请PK 小组决出输赢。

下边掌声有请第一个展现小组为大家展现“利用尺规如何作一个角的角均分线。

”师：方才这位老师已经为我们展现了整个作图的过程，那么，我们能够把这个过程分红几步呢？生：多媒体演示作图过程，学生口述作法BC师：在第二步时为何要取大于线段长的一半为半径画弧呢？指导：倒推法进行分析，由问题下手倒推到已知条件。

生：充足思虑，议论沟通，抽学生登台演示小于一半不可以产生交点。

《角平分线的判定》教案精品 2022年数学

第2课时角平分线的判定一、教学目标〔一〕知识与技能1.了解角的平分线的判定定理；2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.〔二〕过程与方法在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步开展学生的推理证明意识和能力.〔三〕情感、态度与价值观在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；难点：角的平分线的判定.三、教法学法自主探索,合作交流的学习方式.四、教学过程〔一〕复习、回忆1. 角平分线的作法〔尺规作图〕①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达：〔角的平分线上的点到角的两边的距离相等〕如下图，∵OP平分∠MON〔∠1＝∠2〕，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．〔二〕合作探究角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO〔HL〕∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：〔到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．〕如下图，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2〔OP平分∠MON〕【典型例题】例1. ：如下图，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：〔1〕∠ABC＝∠ABC′；〔2〕BC＝BC′〔要求：不用三角形全等判定〕．分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可翻开思路．证明：〔1〕∵∠C＝∠C′＝90°〔〕，∴AC⊥BC，AC′⊥BC′〔垂直的定义〕．又∵AC＝AC′〔〕，∴点A在∠CBC′的角平分线上〔到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上〕．∴∠ABC＝∠ABC′．〔2〕∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－〔∠C＋∠ABC〕＝180°－〔∠C′＋∠ABC′〕即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′〔角平分线上的点到这个角两边的距离相等〕．例2. 如下图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，此题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE〔角平分线上的点到角的两边的距离相等〕．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC〔到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上〕．〔三〕稳固训练〔四〕小结请你说说本课的收获与困惑.〔五〕作业第3课时多项式1．理解多项式的概念；(重点)2．能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数； 3．能正确区分单项式和多项式．(重点)一、情境导入列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a 、b ，那么长方形的周长是________； (2)图中阴影局部的面积为________；(3)某班有男生x 人，女生21人，那么这个班的学生一共有________人．观察我们所列出的代数式，是我们所学过的单项式吗？假设不是，它又是什么代数式？二、合作探究探究点一：多项式的相关概念【类型一】单项式、多项式与整式的识别指出以下各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x 2＋y 2，－x ，a ＋b3，10，6xy ＋1，1x ，17m 2n ，2x 2－x －5，2x 2＋x，a 7.解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．解：2x 2＋x ，1x的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．单项式有：－x ，10，17m 2n ，a 7；多项式有：x 2＋y 2，a ＋b3，6xy ＋1，2x 2－x －5；整式有：x 2＋y 2，－x ，a ＋b3，10，6xy ＋1，17m 2n ，2x 2－x －5，a 7. 方法总结：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．【类型二】确定多项式的项数和次数写出以下各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式． (1)23x 2－3x ＋5； (2)a ＋b ＋c －d ；(3)－a 2＋a 2b ＋2a 2b 2.解析：根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．解：(1)23x 2－3x ＋5的项数为3，次数为2，二次三项式；(2)a ＋b ＋c －d 的项数为4，次数为1，一次四项式；(3)－a 2＋a 2b ＋2a 2b 2的项数为3，次数为4，四次三项式．方法总结：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．【类型三】根据多项式的概念求字母的取值－5x m ＋104x m －4x m y 2是关于x 、y 的六次多项式，求m 的值，并写出该多项式．解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m ＋2＝6，解得m ＝4，进而可得此多项式．解：由题意得m ＋2＝6，解得m ＝4，此多项式是－5x 4＋104x 4－4x 4y 2.方法总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．【类型四】与多项式有关的探究性问题假设关于x 的多项式－5x 3－mx 2＋(n －1)x －1不含二次项和一次项，求m 、n 的值．解析：多项式不含二次项和一次项，那么二次项和一次项系数为0. 解：∵关于x 的多项式－5x 3－mx 2＋(n －1)x －1不含二次项和一次项， ∴m ＝0，n －1＝0，那么m ＝0，n ＝1.方法总结：多项式不含哪一项，那么哪一项的系数为0.探究点二：多项式的应用如图，某居民小区有一块宽为2a 米，长为b 米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a 米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？解析：四个角围成一个半径为a 米的圆，阴影局部面积是长方形面积减去一个圆面积．解：花台面积和为πa2平方米，草地面积为(2ab－πa2)平方米．所以需资金为[100πa2＋50(2ab－πa2)]元．方法总结：用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言表达中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序．三、板书设计多项式：几个单项式的和叫做多项式．多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项．常数项：不含字母的项叫做常数项．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称整式．这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快90%以上的学生都可以理解、掌握．虽然单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好，但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了．事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自己阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约．。

2024～2025学年度八年级数学上册第1课时角的平分线的性质教学设计

12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质教学步骤师生活动教学目标课题12.3第1课时角的平分线的性质授课人素养目标1.能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析及作图能力.2.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，并能运用这个定理解决相关问题，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的推理能力.教学重点尺规作图：作一个角的平分线，探索并证明角平分线的性质定理及应用．教学难点角平分线的性质定理的探索过程.教学活动教学步骤师生活动活动一：旧知回顾，新课引入设计意图回顾角的平分线的概念及作法，并设问为引入角平分线的尺规作图及其性质做铺垫.【复习引入】问题1：想一想，我们学过的角的平分线的概念是什么？答：问题2：我们在练习本上画一个角，怎样得到它的平分线？答：用量角器度量，或者用折纸的方法.我们已经能用尺规作一个角等于已知角了，那能否用尺规作一个角的平分线呢？角的平分线除了平分角之外，还具有其他的性质吗？让我们在这节课中展开探索吧.【教学建议】教师提问，选取学生代表进行回答，对于问题2，学生也可动手尝试，活跃气氛，在进入新课前进行实操演练．教师最后用总结结束回顾，以提问的方式引发学生思考，从而过渡到新课的内容.活动二：动手操作，交流新知设计意图通过实际情境引入角的平分线的尺规作图方法，并引导学生动手作图，加深学生对于作已知角的平分线的理解，加强作图能力.探究点1角的平分线的作法思考如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？答：在△ABC 和△ADC 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS).∴∠BAC ＝∠DAC.∴AE 是∠BAD 的平分线.【教学建议】这里由一种平分角的仪器的工作原理引入了作一个角的平分线的尺规作图．与作一个角等于已知角的尺规作图类似，它们依据的都是全等三角形的“边边边”判定方法．教师可演示这种角平分仪，从而加深学生的直观感受．通过实验启发引入角平分线的尺规作图方法后，学生交流探究，自主动手画图．注意该作图属这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法，如下所示：请按这种方法自己动手试试看，然后与同伴交流操作心得，并回答下列问题：问题1：作图步骤(2)中，为什么要以“大于12MN 的长”为半径画弧？答：以“大于12MN 的长为半径画弧”是因为以小于12MN 的长为半径画弧，两弧没有交点，以等于12MN 的长为半径画弧不易操作.问题2：作图步骤(2)中，两弧的交点一定在∠AOB 的内部吗？答：若分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧的交点可能在∠AOB 的内部，也可能在∠AOB 的外部．而我们要作的是角的平分线，角的平分线在角的内部，所以交点应在∠AOB 内部寻找，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了.【对应训练】教材P 50练习第1题.于基本的尺规作图，课标有所要求，需要学生加以掌握．通过实践操作，按各种情况动手画一画，就能清楚地解释左栏问题1和问题2.教师注意跟学生强调作图步骤(3)中的“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为“连接OC”得到的是线段，而角的平分线是射线，不是线段.【教学建议】设置练习是为了强化学生的基本作图能力，尺规作图可以不写作法，但最后一定要说明所求作的内容，作图痕迹必须保留因为可以据此看出作图思路.设计意图使学生经历探索角的平分线的性质定理的过程，并利用三角形全等证明角的平分线的性质定理，归纳证明几何命题的一般步骤，并通过例题与练习加深对于角的平分线的性质定理的理解.探究点2角的平分线的性质思考如图，任意作一个角∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC ，在OC 上任取一点P ，过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记垂足为D ，E ，测量PD ，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？答：PD ＝PE.在OC 上再取几个点试一试，发现上述结论依然成立.于是我们猜想角的平分线有以下性质：【教学建议】设置思考可以让学生通过作图、测量来猜想角的平分线的性质．为了让学生准确推断该性质的内容，并且确信他们推出的性质具有一般性，教师需在学生作图时强调：(1)所作的角应为任意大小的；(2)在角的平分线上取的点应是任意位置的；(3)过角的平分线上一点向角的两边所作的与两边相交的线段必须是垂线教学步骤师生活动拓展：几何画板演示角的平分线的性质：如图，点P在∠AOB的平分线上：下面，我们利用三角形全等证明这个性质．首先，要分清其中的“已知”和“求证”．显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证.如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OBPD＝PE.一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；师生活动活动三：综合运用，巩固新知设计意图综合考查角的平分线的性质与三角形的面积，强化角的平分线的性质定理的运用能力.例如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E.若△ABC 的面积为70，AB ＝16，DE ＝5，求BC 的长.解：如图，过点D 作DF ⊥BC 于点F.∵BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DF ＝DE ＝5.∵S △ABD ＝12AB·DE ＝12×16×5＝40，S △ABC ＝70，∴S △BCD ＝S △ABC －S △ABD ＝70－40＝30.又S △BCD ＝12BC·DF ＝12BC×5＝30，∴BC ＝12.【对应训练】如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，AF 是△ABC 的中线，AB ＝16，AC ＝8，DE ＝5.求△ADF 的面积.解：如图，过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M.∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，DM ⊥AB ，∴DM ＝DE ＝5，∴S △ABD ＝12AB·DM ＝12×16×5＝40，S △ACD ＝12AC·DE ＝12×8×5＝20，∴S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ＝40＋20＝60.∵AF 是△ABC 的中线，∴S △ACF ＝12S △ABC ＝12×60＝30，∴S △ADF ＝S △ACF －S △ACD ＝30－15＝15.【教学建议】角平分线的性质定理可以得到垂线段相等，所以角平分线跟三角形的面积结合时，往往能分割出等高的三角形，于是面积问题就转化为了边长问题．解答此类题目，当题干中出现角平分线时，要首先想到是否可利用角的平分线的性质定理解题，有时候也需要添加辅助线，一般是过角的平分线上一点向角的两边作垂线段．活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是角的平分线？你能用尺规作一个角的平分线吗？2.角的平分线的性质是什么？你能证明吗？能运用角的平分线的性质解题吗？3.证明一个几何命题的一般步骤是什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P51～52习题12.3第2，4，5，6题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质1.尺规作图：作已知角的平分线.2.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3.证明几何命题的一般步骤．教学步骤师生活动教学反思本节课采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．教学中需要注意：学生对定理的图形语言认识不足出现混淆，如把角平分线上的点到角两边的距离错当成过此点与角平分线垂直(或相交)的直线与角两边相交所得的线段的长.解题大招一与尺规作图有关的推理题作一个角的平分线是课标要求的尺规作图，学生不仅要能够作图，还要了解作图的原理，而最直观的体现就是通过作图痕迹去判断作图目的．例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝5，P为AB上一动点，则DP的最小值为5.解析：由尺规作图可知：AE是∠CAB的平分线，由垂线段最短可知：当DP⊥AB时，DP最小．∵AE是∠CAB的平分线，DP⊥AB，∠C＝90°，∴DP＝CD＝5.故DP的最小值为5.解题大招二文字类几何命题的证明方法1．根据命题的题设结合图形写出已知，根据命题的结论结合图形写出求证．2．为了便于分清命题中的已知和求证，可以将命题改写成“如果……那么……”或“若……则……”的形式．例2求证：两角和其中一角对应的角平分线分别相等的两个三角形全等．分析：首先将文字命题用符号表示成已知和求证，然后进行证明．解：已知：如图，AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的角平分线，且AD＝A′D′，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：∵AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的角平分线，∴∠1＝12∠BAC，∠2＝12∠B′A′C′.∵∠BAC＝∠B′A′C′，∴∠1＝∠2.在△ABD和△A′B′D′B＝∠B′，1＝∠2，＝A′D′，∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)．∴AB＝A′B′.在△ABC和△A′B′C′B＝∠B′，＝A′B′，BAC＝∠B′A′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．解题大招三与角的平分线的性质有关的线段证明(不作辅助线)当题目中要证相等的一组线段分别与一个角的两边垂直，且它们的公共点在这个角的平分线上时，可利用角平分线的性质定理直接得证(学过角平分线的性质定理后，不要再使用先证三角形全等再利用性质去解题，那样会使过程繁琐)，所有证明条件的收集都应围绕这个“两垂直，一平分”进行展开，这样可以明确解题思路．例3如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N.求证：PM＝PN.证明：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.在△ABD 和△CBD ＝CB ，ABD ＝∠CBD ，＝BD ，∴△ABD ≌△CBD(SAS )．∴∠ADB ＝∠CDB.∴∠ADP ＝∠CDP ，即DP 平分∠ADC.∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN.解题大招四利用角的平分线的性质作垂线解题利用角的平分线的性质解决问题的关键是确定角的平分线上的点到角的两边的垂线段，若已知条件中存在一条垂线段，则考虑通过作辅助线作出另一条垂线段；若已知条件中不存在垂线段，则考虑通过作辅助线作出两条垂线段．1．作一条垂线例4如图，点P 在∠AOB 的平分线上，过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C.若PC ＝8，点P 到直线OB 的距离为8.解析：如图，过点P 作PD ⊥OB 于点D.∵点P 在∠AOB 的平分线上，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴PD ＝PC ＝8，即点P 到直线OB 的距离为8.例5如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，E 为AC 上一点，且∠ECD ＝∠EDC.(1)求证：DE ∥BC ；(2)若∠A ＝90°，S △BCD ＝26，BC ＝13，求AD 的长．(1)证明：∵CD 平分∠ACB ，∴∠ECD ＝∠BCD.又∠ECD ＝∠EDC ，∴∠BCD ＝∠EDC ，∴DE ∥BC.(2)解：如图，过点D 作DF ⊥BC 于点F.∵∠A ＝90°，DF ⊥BC ，CD 平分∠ACB ，∴AD ＝DF.∵S △BCD ＝26，BC ＝13，∴12×13DF ＝26，∴DF ＝4，∴AD ＝4.2．作两条垂线例6如图，∠AOB ＝90°，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA ，OB 交于点C 和点D.求证：PC ＝PD.证明：如图，过点P 分别作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，∴∠PEC ＝∠PFD ＝90°.∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE ＝PF.∵∠AOB ＝90°，∠CPD ＝90°，∴∠PCE ＋∠PDO ＝360°－90°－90°＝180°.又∠PDO ＋∠PDF ＝180°，∴∠PCE ＝∠PDF.在△PCE 和△PDF PCE ＝∠PDF ，PEC ＝∠PFD ，＝PF ，∴△PCE ≌△PDF(AAS )，∴PC ＝PD.培优点与角的平分线的性质有关的探究题例(1)如图①，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∠MDN 的两边分别与AB ，AC 相交于M ，N 两点，且DM ＝DN ，求证：∠BAC ＋∠MDN ＝180°；(2)如图②，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，∠BAC ＋∠MDN ＝180°，试判断AM ，AN ，AC 之间的数量关系，并说明理由．分析：(1)先利用角的平分线的性质得到DE ＝DF ，再利用“HL ”证明Rt △DEM ≌Rt △DFN ，于是可得∠MDE ＝∠NDF ，进一步利用角的和差得∠MDN ＝∠EDF ，最后再结合四边形的内角和为360°可得结论．(2)先结合已知、四边形的内角和为360°及角的和差可得∠MDE ＝∠NDC ，再根据角的平分线的性质得DE ＝DC ，同时易知AE ＝AC ，然后利用“ASA ”证明△MDE ≌△NDC ，于是得EM ＝CN ，最后再根据线段的和差可得结论．(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEM ＝∠DFN ＝90°，DE ＝DF.在Rt △DEM 和Rt △DFN ＝DN ，＝DF ，∴Rt △DEM ≌Rt △DFN(HL )，∴∠MDE ＝∠NDF.∴∠MDE ＋∠EDN ＝∠NDF ＋∠EDN ，即∠MDN ＝∠EDF.∵四边形AEDF 的内角和是360°，且∠AED ＋∠AFD ＝90°＋90°＝180，∴∠BAC ＋∠MDN ＝∠BAC ＋∠EDF ＝360°－(∠AED ＋∠AFD)＝180°.(2)解：AM ＋AN ＝2AC.理由如下：如图②，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∴∠AED ＝∠DEM ＝90°，∴∠BAC ＋∠CDE ＝360°－∠AED －∠C ＝360°－90°－90°＝180°.又∠BAC ＋∠MDN ＝180°，∴∠MDN ＝∠CDE ，∴∠MDN －∠EDN ＝∠CDE －∠EDN ，即∠MDE ＝∠NDC.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC ，且易得AE ＝AC.在△MDE 和△NDC DEM ＝∠C ＝90°，＝DC ，MDE ＝∠NDC ，∴△MDE ≌△NDC(ASA )，∴EM ＝CN.∴AM ＋AN ＝(AE ＋EM)＋(AC －CN)＝(AE ＋AC)＋(EM －CN)＝2AC.模型提炼：如图，∠1＝∠2，AP ＝CP ，∠PCB ＋∠BAP ＝180°，BF ＝12(AB ＋BC)，这四个条件可知二推二．。

《角平分线的性质教案》教案 (公开课获奖)

角平分线的性质教学目标1．体会角的对称性，掌握角平分线的性质和判定；2．能用尺规作图，作出已知角的平分线；3．运用角平分线的性质解决实际问题。

教学重难点重点：角平分线的性质难点：运用角平分线的性质解决实际问题教学手段多媒体，小黑板等教学课时第一课时教学过程个人复备【自主学习】活动一：探索角的轴对称性探索交流画∠AOB，折纸使OA、OB重合，折痕与∠AOB有什么关系？小结：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。

活动二：用尺规画角的平分线自学课本作图，完成以下问题，小组交流已知：∠BAC，求作：∠BAC的平分线AP作法：1、以为圆心，以为半径画弧，分别交这个角的两边于D、E两点，2、分别以D、E为，以为半径画弧，两弧交于点P，3、作射线AP,结论：学生动手操作：用折叠的方法验证尺规作图的正确性。

活动三：角平分线的性质学习课本第51-52页实验与探究，自主完成，交流结果。

结论：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。

引导学生掌握数学语言强调说明：在上面结论中，有两个条件（1）OC 是∠AOB 的平分线；（2）点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，才能得出PD ＝PE ，两者缺一不可.下图中PD ＝PE 吗？各缺少了什么条件？活动四：思考：在角的内部到角的两边距离相等的点位置上有什么特征？因此处还没有学直角三角形的判定方法：HL ，所以只能用折叠来验证。

练习：课本53页练习【课堂小结】谈谈你本节课的收获【学以致用】1、如右图所示，在一次军事演习中，红方侦查员发现蓝方指挥部在A 区内，并且该指挥部到公路（实线）、铁路（虚线）的距离相等，距公路和铁路的交叉处B 点700m ，如果你是红方的指挥员，请你在右所示的作战地图上标出蓝方指挥部的位置。

（比例尺为1:40000）2、某市农副产品集散地M 位于三个村庄A 、B 、C 之间，其位置到三条公路AB 、AC 、BC 的距离相等，你能找到M 的位置吗？【巩固提升】1.在线段、角、圆、正方形这四种几何图形中，是轴对称图形的有（） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，且DE 垂直平分斜边AB 于E.ABCA OBC D EPP E DC B OA(1)请你在图形中找出至少两对相等的线段，并说明它们为什么相等？(2)如果BC=6,AC=8,则△BDC的周长为多少？【达标检测】1.到三角形的三条边距离相等的点是（）。

2022人教版数学《角平分线的性质》配套教案(精选)

角平分线的性质教学内容本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．教学目标1．知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．2．过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．3．情感、态度与价值观激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．重点难点1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．2．难点：两个互逆定理的实际应用．教具准备投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理．教学过程一、创设情境，导入新课【问题探究】（投影显示）如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗？【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题．操作观察：已知：∠AOB ．求法：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M ，交OB 于N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC•即为所求（课本图11．3─2）．12【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．【媒体使用】投影显示学生的“画图”．【教学形式】小组合作交流．二、随堂练习，巩固深化课本P19练习．【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD 与直线AB 是互相垂直的．【探研时空】（投影显示）如课本图，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．”论证如下：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4）求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，∴△PDO ≌△PEO （AAS ）∴PD=PE【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．三、情境合一，优化思维【问题思索】（投影显示）如课本图11．3─5，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线．证明如下：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上．证明：经过点P 作射线OC ．∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，∴Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ）∴∠AOC=∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的平分线．【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．四、范例点击，应用所学【例】如课本图11．3─6，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P•到三边AB ，BC ，CA 的距离相等．【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P 到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．证明：过点P 作PD 、PE 、PF 分别垂直于AB 、BC 、CA ，垂足为D 、E 、F ．∴BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上．∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P 到边AB 、BC 、CA 的距离相等．【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．五、随堂练习，巩固深化课本P50练习1、2．六、课堂总结，发展潜能1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，•说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．七、布置作业，专题突破课本P51习题12．3第1、2、3题．板书设计把黑板分成三部分，左边部分板书概念、定理等，中间部分板书探究，右边部分板书例题，重复使用时，中间部分和右边部分板书练习题．第1课时单项式与单项式、多项式相乘一、新课导入1.导入课题：有一块长方形的大型画布，它的长为5×103cm，宽为3×102cm，你能计算出它的面积吗？画布的面积是(5×103)×(3×102)cm2，你能计算出它的结果是多少吗？2.学习目标：（1）能叙述出单项式乘以单项式,单项式乘以多项式的运算法则.（2）灵活地运用法则进行计算和化简.3.学习重、难点：重点：单项式乘单项式及单项式乘以多项式的运算法则及应用.难点：单项式乘单项式及单项式乘以多项式的运算法则的应用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究单项式乘以单项式的运算法则.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：采用“计算、观察、比较、归纳”的学习方法获取结论.（4）自学参考提纲：①怎样计算（5×103）×（3×102）？计算过程中用到哪些运算律及运算性质？（5×103）×（3×102）=5×3×103×102运用了乘法交换律.=（5×3）×（103×102）运用了乘法结合律.=15×105=1.5×106.运用了乘法的运算.②如果将上式中不是指数的数字改为字母，能得到怎样的算式，写出试试看.计算ac5·bc2=ab·c7; 3a2b·2ab3=6a3b4.③通过刚才的尝试，能归纳出单项式与单项式相乘的运算法则吗？④完成教材第99页“练习”第2题.2.自学：学生结合自学参考提纲进行自主探究.3.助学：（1）师助生：①明了学情：抽查不同层次的学生，了解学生完成探究的过程和结果是否正确.②差异指导：引导学困生复习回顾幂的乘方、同底数幂的乘法，积的乘方法则及运算律.（2）生助生：学生之间相互交流帮助解决疑难问题.4.强化：（1）单项式与单项式相乘的法则.（2）计算：(1)2c5·5c2；（2）(-5a2b3)·(-4b2c).解：（1）10c7；（2）20a2b5c1.自学指导：（1）自学内容：教材第98页例4.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真观察例4解题的过程，注意符号变化和运算顺序.（4）自学参考提纲：①请你回忆同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的法则.②计算(2x)3·(－5xy2)时，先算（2x）3，再与(-5xy2)相乘.为什么？因为有理数的混合运算法则为：①先算乘方，再乘除，最后加减;②同级运算，从左到右进行;③如有括号按小括号、中括号、大括号依次进行.③计算：3x2·5x3=15x5；2ab·5ab2·3a2b=30a4b4；4y·（－2xy2）=-8xy3；（a3b）2·（a2b）3=a12b5.2.自学：结合自学指导，研读课本例题.3.助学：（1）师助生：①明了学情：抽查不同层次学生的计算情况，了解存在的主要问题.②差异指导：对理解运算顺序的确定有困难的学生进行指导.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：交流与总结：①运算顺序；②运算符号.1.自学指导：（1）自学内容教材第99页到教材第100页例5上面.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真看书，重要的内容打上记号，有疑问的地方做上记号.（4）自学参考提纲：①等式p(a+b+c)=pa+pb+pc，是根据矩形的面积关系得出来的，你能根据分配律得到这个等式吗？②等式p(a+b+c)=pa+pb+pc提供了单项式与多项式相乘的方法，你是如何理解的？③单项式乘以多项式应用了乘法的什么运算律？乘法分配律.④试标出单项式乘以多项式的运算法则中的关键字词.⑤试一试：－2x(x+y)=-2x2-2xy;3ab(a+b)=3a2b+3ab2;－(m－n+2)=-m+n-2.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师采取交谈、抽查方式了解自学进度及存在的问题.②差异指导：强调法则要点：“乘多项式的每一项”，“把所得的积相加”，并注意符号法则.（2）生助生：生生互相交流帮助解决疑难.4.强化：（1）运算法则:①文字表达：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.②式子表达：p（a+b+c）=pa+pb+pc.（2）单项式乘以多项式中的每一项，不要漏掉任何一项，并要注意符号的确定，合并同类项之前的项数与多项式的项数相同.（3）计算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）.=-6a3b2+10a3b31.自学指导：（1）自学内容：教材第100页例5.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真观察例5的计算过程的依据，要注意去括号后的符号变化.（4）自学参考提纲：①标出例5题目中的单项式和多项式.②通过例5尝试归纳单项式乘多项式的计算步骤.③单项式乘以多项式的运算法则，就是把单项式乘以多项式的问题转化为单项式乘以单项式的问题.④思考：结合例5，你能说说当式子中含有负号时的简化方法吗？2.自学：结合自学参考提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生是否领会单项式乘多项式的方法和依据.②差异指导：重点对第（1）、（2）小题符号问题进行指导.（2）生助生：学生之间互助交流解决疑难.4.强化：（1）将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式的乘法，将新知识转化为已学过的知识.（2）计算：①(－2a)·(2a+1) ②2x2(3x2－5y) ③3a(5a－2b)=-4a2-2a =6x4-10x2y =15a2-6ab（3）根据提示填空：计算：(12ab2－13a2b－6ab)·(－6ab)方法一：原式=12ab2·（－6ab）+（-13a2b）·（－6ab）+（-6ab）·（－6ab）＝-3a2b3＋2a3b2＋36a2b2方法二：原式=12ab2·（－6ab）-13a2b·（－6ab）－6ab·（－6ab）.＝-3a2b3＋2a3b2＋36a2b2三、评价1.学生的自我评价：各小组组长汇报本组的学习情况，总结经验、收获和不足.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法、收效及不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学应由学生根据已有知识（如乘法分配律法则等）自主推导出单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，充分体现学生课堂上的主体作用，再结合具体问题的解答，由学生间互相交流，体会法则计算的本质，以便灵活应用于解题之中.一、基础巩固（第1题25分，第2题20分，第3题15分，共60分）1.细心填一填.（1）（-2a2b3）（-3ab）=6a3b4;（2）（4×105）·(5×104)=2×1010;（3）（-2ab2）2·（-a2b)3=-4a8b7;（4）(x2-2y)·(-xy)=-x3y+2xy2;（5）(-a2)·(ab+abc)=-a3b-a3bc.2.认真选一选.（1）化简x(2x－1)－x2(2－x)的结果是（B）A.－x3－x 3－x C.－x2－1 3－1（2）化简a(b－c)－b(c－a)+c(a－b)的结果是（B）A.2ab+2bc+2ac －2bc D.－2bc（3）如图是L形钢条截面，它的面积为（B）A.ac+bcB.ac+(b-c)cC.(a-c)c+(b-c)cD.a+b+2c+(a-c)+(b-c) （4）下列各式中计算错误的是（C）A.2x·(2x3+3x－1)=4x4+6x2－2xB.b(b2－b+1)=b3－b2+bC.－12x(2x2－2)=－x3－xD.23x(32x3－3x+1)=x4－2x2+23x3.计算：(3x2+12y－23y2)·(－12xy)3解：原式=(3x2+12y-23y2)·(-18x3y3)=-38x5y3-116x3y4+112x3y5.二、综合应用（每题10分，共20分）4.某地有一块梯形实验田，它的上底为m （m），下底为n （m），高是h （m）.（1）用m、n、h表示这块梯形的面积S；（2）当m=8m，n=14m，h=7m时，求S.解：（1）S=12(m+n)h（2）S=12×（8+14）×7=77（m2）5.某商家为了给新产品做宣传，向全社会征集广告用语及商标图案，结果下图商标中标，求此商标图案阴影部分的面积.解：S阴影=14πa2+2a·a-12·3a·a=1 4πa2+12a2三、拓展延伸（每题10分，共20分）6.已知：单项式M、N满足2x(M+3x)=6x2y2+N，求M、N. 解：2x(M+3x)=6x2y2+N,2x·M+6x2=6x2y2+N∴N=6x22x·M=6x2y2M=3xy27.若（a m+1b n+2）·(a2n-1b2m)=a5b3,求m+n的值.解：(a m+1b n+2)(a2n-1b2m)=a5b3a m+2n b2m+n+2=a5b3m+2n=52m+n=3-2∴3m+3n=6∴m+n=2.角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质1．（二）能力训练要求1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．教学难点角的平分线的性质1教学方法引导发现、讲练结合法．教具准备多媒体课件教学过程一．提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点P到直线l的距离？导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二．合作交流探究新知探究1想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB 和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．[生3]我们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．试一试：老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC 即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．点拨：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．探究2：做一做1[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．[师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．做一做2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．[生甲]噢，对，我知道了．[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、用一用:1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．巩固所学及时点拨四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一3、采用角平分线性质解题强调三个条件。

八年级数学上册《角平分线》教案、教学设计

（2）作业完成情况：评价学生对知识点的掌握程度，以及对尺规作图的熟练程度；
（3）单元测试：通过测试，了解学生对角平分线知识点的掌握情况，以及运用知识解决问题的能力；
（4）课后访谈：了解学生在学习过程中遇到的困难和问题，及时调整教学策略。
4.教学资源：
（1）教材：充分利用课本资源，结合教学目标进行教学设计；
（2）反思自己在学习过程中的收获和不足，为下一节课的学习做好准备。
作业要求：
1.认真完成作业，保持卷面整洁；
2.思考题要结合所学知识，进行深入分析和研究；
3.遇到问题及时与同学、老师交流，提高解决问题的能力；
4.作业提交时间：下周一下午放学前。
（4）应用：设计有针对性的例题和练习，让学生运用角平分线知识解决问题，巩固所学；
（5）拓展：引导学生思考角平分线在其他几何问题中的应用，培养学生的发散思维；
（6）总结：对本节课的知识点进行梳理，强调重难点，帮助学生巩固记忆。
3.教学评价：
（1）课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度、积极性和合作精神；
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
（1）对本节课的知识点进行梳理，强调重点和难点；
（2）学生分享学习收获和感受，教师给予鼓励和评价；
（3）布置课后作业，巩固所学知识。
2.教学内容：
（1）总结角平分线的定义、性质和判定方法；
（2）回顾尺规作图的方法，强调注意事项；
（3）明确角平分线在实际问题中的应用价值。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，培养学生的几何思维和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
（1）完成课本第十五章第二节课后练习题1、2、3；
（2）运用尺规作图，作出给定角的平分线，并简要说明作图过程；

八年级数学上册《角平分线及其画法》教案、教学设计

（3）反馈式教学：在学生完成任务后，及时给予评价和反馈，指导学生总结经验，调整学习方法。
3.教学步骤：
（1）导入新课：通过展示生活中的实例，引导学生关注角平分线，为新课学习做好铺垫。
（2）自主探究：让学生自主阅读教材，了解角平分线的定义和性质，尝试运用尺规作图法画角平分线。
（3）课堂讲解：针对学生在探究过程中遇到的问题，进行详细讲解，帮助学生掌握重点知识。
3.培养学生具备严谨、细致、踏实的科学态度，提高他们面对困难和挑战时的自信心和毅力。
教学设计：
一、导入新课
1.利用多媒体展示生活中含有角平分线的实物图片，引导学生观察、思考，激发他们的学习兴趣。
2.提问：“什么是角平分线？它在几何图形中有什么作用？”引导学生回顾相关知识，为新课学习做好铺垫。
二、自主探究
这时，我会在黑板上画出一个任意角，让学生思考并尝试回答。在学生回答的基础上，我会引导他们注意到，如果有一条线能够将这个角恰好分成两个相等的部分，那么这条线就是今天我们要学习的角平分线。通过这个实际问题的引入，学生可以直观地感受到角平分线的概念，为新课的学习打下直观的基础。
（二）讲授新知，500字
为了加深学生的理解，我会结合具体的例子，讲解如何利用尺规作图法来画出角平分线。在这个过程中，我会逐步引导学生认识到几何图形的严谨性和美感，并让他们体会到数学在解决问题中的实用性。
四、巩固练习
1.学生完成教材中的练习题，巩固所学知识。
2.教师精选典型例题，引导学生运用角平分线性质解决问题，提高他们的问题解决能力。
五、课堂小结
学生总结本节课所学内容，分享学习心得，教师给予评价和鼓励。
六、课后作业
布置适量的课后作业，巩固学生对角平分线的理解和运用。