两个函数中的存在性和任意性问题的辨析

两个函数中的存在性和任意性问题的辨析

安徽省太和县太和中学 岳 峻 236600

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高考中经常出现两个变量的任意性或存在性问题，是高考的热点之一．此类问题中，特别是全称量词“任意()∀”和特称量词“存在()∃”插足函数，使得函数问题扑朔迷离，意深难懂，同时题目也因此显得富有变化和新意，往往让学生们混淆不清、不知所措．

事实上，揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，需要深刻理解问题的本质，善于运用数形结合、转化与化归的思想，利用函数与导数的相关知识，可以把相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数最值大小的比较，从而转化为我们熟悉的问题．

本文通过研究具体函数及其图象，谈谈函数中有关任意性和存在性问题的转化策略，将任意性与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系，并得到双变量的存在性和任意性问题的辨析方法，希望对同学们有所启发．

类型1.任意x ，使得()()f x g x >，只需()()min ()min 0.h x f x g x =->⎡⎤⎣⎦其等价转化的基本思想是：给定任意一个x 的值，函数()y f x =的对应函数值都大于()y g x =的对应函数值.（如图1）

类型2.存在x ，使得()()f x g x >，只需()()max ()max 0h x f x g x =->⎡⎤⎣⎦.其等价转化的基本思想是：存在一个x 的值，函数()y f x =的对应函数值大于()y g x =的对应函数值.（如图2）

【例1】（2014年陕西理科21改编）设函数()()()ln 1,(),()f x x g x axf x f x ''=+=是()f x 的导函数.

（1）若对于任意0x ≥，总有()(),f x g x ≥求实数a 的取值范围； （2）若存在0x ≥，使得()(),f x g x ≥求实数a 的取值范围. 【解析】（1）设()()()()()ln 10.1ax

h x f x g x x x x

=-=+-

≥+ ()()()

22

11.111a x a h x x x x +-'=

-=+++ 当1a ≤时，()0.h x '≥()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()min 00,h x h ==所以，()0h x ≥在[)0,+∞上恒成立，即()()f x g x ≥在[)0,+∞上恒成立；

当1a >时，对于()0,1x a ∈-有()0.h x '<()h x 在()0,1a -上单调递减，()()100,h a h -<=此时存在0x >，使得()0h x <，即()()f x g x ≥在[)0,+∞上不恒成立；

综上可知，实数a 的取值范围(],1-∞.

（2）由（1）可知，当1a ≤时，存在0x ≥，使得()()f x g x ≥； 当1a >时，(

)100

1001.a

h e

e

-=

必存在0x ≥，使得()()f x g x ≥； 综上可知，实数a 的取值范围(),.-∞+∞

类型3.若1122,x D x D ∃∈∃∈，使得()()12f x g x =等价于函数()f x 在1D 上的值域A 与()g x 在2

D 上的值域B 的交集不空，即.A

B ≠Φ其等价转化的基本思想是：函数()y f x =的某一个函数值等于函

数()y g x =的某一个函数值，即两个函数有相等的函数值. （如图3）

图3

图4

类型4.对1122,x D x D ∀∈∃∈,使得()()12f x g x =等价于函数()f x 在1D 上的值域A 是()g x 在

2D 上的值域B 的子集，即.A B ⊆其等价转化的基本思想是：函数()y f x =的任意一个函数值都等于函

数()y g x =的某一个函数值，即函数()y f x =的函数值都在函数()y g x =的值域之中. （如图4）

【例2】（2014年天津文科19改编）已知函数2

3

2(),0,.3

f x x ax a x R =-

>∈ ()()

21

.1g x x x =

-

（1）若(]121,1,,2x x ⎛⎫

∃∈-∞-∃∈-∞- ⎪⎝⎭

，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围. （2）当3

2

a =

时，证明：对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()f x g x =. 【解析】（1）因为23

23f x x ax ，所以22221f x x ax x ax .

令0f x 得0x 或1

a

.

因为当0x 时，f x 单调递减，当10x a 时，f x 单调递增，当1

x a 时，f x 单调递减，

3

02f f a

.

所以，f x 在,1上单调递减，f x 在,1上的值域为21,.3

a

又()()21.1g x x x =-()()()

2222332313232.1x x x g x x x x x x x '--⎛

⎫'=== ⎪-⎝⎭-- 当1

2

x

时，0,g x ()g x 单调递增，()18

.23

g x g ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭()g x 在

1

,

2

上的值域为8,

.3

若(]121,1,,2x x ⎛⎫

∃∈-∞-∃∈-∞-

⎪⎝

⎭

，使得()()12f x g x =，则：2851,.332

a a 故实数a 的取值范围50,

.2

（2）因为23f x

x x ，所以2

22333

f x x x x

x .