专题12 概率统计选填题【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类(全国通用版)：导数选填题(解析版)
专题 03 导数选填题
一、选择题
1．(2022 年全国甲卷理科·第 6 题)当 x 1 时，函数 f (x) a ln x b 取得最大值 2 ，则 f (2) ( ) x
A. 1
B． 1 2
C．
1 2
D．1
【答案】B
解析：因为函数
f
x
定义域为
故选：C．
【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的最值\具体函数的最值问题 【题目来源】2022 新高考全国 I 卷·第 7 题
3．(2021 年新高考Ⅰ卷·第 7 题)若过点 a,b 可以作曲线 y ex 的两条切线，则( )
A． eb a
B． ea b
C． 0 a eb
D． 0 b ea
4．(2021 年高考全国乙卷理科·第 10 题)设 a 0 ，若 x a 为函数 f x a x a2 x b 的极大值点，
则( )
A. a b
B． a b C． ab a2
D． ab a2
【答案】D
解析：若 a b ，则 f x a x a3 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 a ¹ b ．
【答案】D
解析:在曲线 y ex 上任取一点 P t,et ，对函数 y ex 求导得 y ex ，
所以，曲线 y ex 在点 P 处的切线方程为 y et et x t ，即 y et x 1 t et ，
由题意可知，点 a,b 在直线 y et x 1 t et 上，可得 b aet 1 t et a 1 t et ，
因此，所求切线的方程为 y 1 2 x 1 ，即 y 2x 1．
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
高考数学真题专题分类汇编专题十二 概率统计(学生版
专题十二概率统计真题卷题号考点考向2023新课标1卷9 样本的数字特征样本的平均值、中位数、标准差、极差21独立事件的概率、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列与数字特征求独立事件的概率、互斥事件的概率、求离散型随机变量的期望（概率与数列的综合应用）2023新课标2卷3 随机抽样分层抽样12 独立事件的概率求独立事件的概率19 频率分布直方图、概率与函数的综合应用利用频率分布直方图求概率、概率与函数的综合应用2022新高考1卷5 古典概型古典概型及其计算20 独立性检验、条件概率独立性检验、条件概率的计算、新定义问题2022新高考2卷13 正态分布正态分布求概率19 概率统计的综合应用频率分布直方图、求对立事件的概率、求条件概率2021新高考1卷8 独立事件独立事件的判断9 样本的数字特征求样本的平均数、中位数、标准差、极差18 离散型随机变量的分布列、期望求离散型随机变量的分布列及期望并作出决策2021新高考2卷6 正态分布求正态分布的概率9 样本的数字特征研究样本数据的离散程度与集中趋势21 离散型随机变量的期望求离散型随机变量的期望、及期望的范围问题及期望的实际意义2020新高考1卷6 事件间的关系事件间的关系及运算19 古典概型、独立性检验古典概型的概率计算、独立性检验2020新高考2卷9统计图表 折线图中的数据分析 19古典概型、独立性检验古典概型的概率计算、独立性检验【2023年真题】1.（2023·新课标II 卷 第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有 A. 4515400200C C ⋅种B. 2040400200C C ⋅种C. 3030400200C C ⋅种D. 4020400200C C ⋅种2. （2023·新课标I 卷 第9题）（多选）一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则( ) A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差3.（2023·新课标II 卷 第12题）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1;α−发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1.β−考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码;三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)αβ−−B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ−C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ−+−D. 当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率4. （2023·新课标I 卷 第21题）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率. (2)求第i 次投篮的人是甲的概率.(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且111(1)1(0)P X P X q ==−==，1i =，2， ，n ，则11().nni i i i E X q ===∑∑记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ，求().E Y5.（2023·新课标II 卷 第19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为().q c 假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()().f c p c q c =+当[95,105]c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,105]的最小值.【2022年真题】6.（2022·新高考I 卷 第5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( ) A.16B.13C.12D.237.（2022·新高考II 卷 第13题）随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，若(2 2.5)0.36P x <=…，则( 2.5)P X >=__________.8.（2022·新高考I 卷 第20题）一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好 病例组 40 60 对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为.R()i 证明：(|)(|).;(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =()ii 利用该调查数据，给出(|)P A B ，(|)P A B 的估计值，并利用()i 的结果给出R 的估计值.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++，2()P K k …0.050 0.010 0.001 k 3.8416.63510.8289.（2022·新高考II卷第19题）在某地区进行某种疾病调查，随机调查了100位这种疾病患者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组数据用该区间的中点值作代表)(2)估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001).【2021年真题】10.（2021·新高考I卷第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球、甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立11.（2021·新高考II卷第6题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是( )A. σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等12.（2021·新高考I 卷 第9题）（多选）有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中(1,2,,)i i y x c i n =+= ，c 为非零常数，则 A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同13.（2021·新高考II 卷 第9题）（多选）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是( ) A. 样本12,,,n x x x 的标准差 B. 样本12,,,n x x x 的中位数 C. 样本12,,,n x x x 的极差D. 样本12,,,n x x x 的平均数14.（2021·新高考I 卷 第18题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。
集合-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第2题
6．(2021年新高考Ⅰ卷·第1题)设集合 ， ，则 ()
A． B． C． D．
【答案】B
解析:由题设有 ，故选B．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第1题
7．(2020年新高考I卷(山东卷)·第1题)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()
【解析】 或 ， ，
故 ，故选A．
【点评】本题主要考查一元二次不等式，一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题．
本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第1题
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第1题
11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第2题)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=()
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： ．
A．{−2，3}B．{−2，2，3}C．{−2，−1，0，3}D．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A
解析：由题意可得： ，则 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第1题
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题)已知集合 ， ，则 中元素的个数为()
【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类(全国通用)：数列客观题(原卷版)
为 1,且对任意 k ≤ 2m , a1,a2, , ak 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m 4 ,则不同的“规范 01 数列”共有
()
A．18 个 B．16 个
C．14 个
D．12 个
15．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第 3 题)已知等差数列 an 前 9 项的和为 27， a10 =8 ，则 a100 = ( )
水平距离称为步，垂直距离称为举，图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 DD1,CC1, BB1, AA1 是
举， OD1, DC1,CB1, BA1 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
DD1 OD1
0.5,
CC1 DC1
k1,
BB1 CB1
k2,
AA1 BA1
k3 ．已知 k1, k2 , k3
则{an} 的公差为( )
A．1
B． 2
C． 4
D． 8
12．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第 9 题)等差数列 an 的首项为1，公差不为 0 ．若 a2 , a3, a6 成等比数
列，则an 前 6 项的和为( )
A． 24 B． 3
C． 3
D． 8
13．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第 3 题)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七
10．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第 12 题)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激
发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学
问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是 20 ,接下来的两项是 20 , 21 ,再接下来的
函数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
专题02函数
一、选择题
1．(2022年全国乙卷理科·第12题)已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ，则 ()
A． B． C． D．
2．(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数 的定义域为R，且 ，则 ()
A． B． C．0D．1
A． B． C． D．
12．(2021年高考全国甲卷理科·第4题)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为()( )
A．1．5B．1．2C．0．8D．0．6
27．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第3题)函数 的图象大致为()
A． B． C． D．
24．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第5题)函数 在 的图象大致为()
25．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7题)函数 的图象大致为()
26．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题)已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则 ()
A． B．0C．2D．50
13．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题)若 ，则()
A． B． C． D．
14．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则()
【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类(全国通用)：概率统计解答题(原卷版)
问题回答正确得 20 分，否则得 0 分：B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明 能正确回答 A 类问题的概率为 0．8，能正确回答 B 类问题的概率为 0．6，且能正确回答问题的概率与 回答次序无关．
(1)若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
PK2 k
0．050
0．010
0．001
k
3．841
6．635
10．828
5．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第 21 题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为 第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代……，该微生物每代繁殖的个数是相 互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数， P(X i) pi (i 0,1, 2,3) ． (1)已知 p0 0.4, p1 0.3, p2 0.2, p3 0.1 ，求 E(X ) ； (2)设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程： p0 p1x p2 x2 p3x3 x 的一个最小正实根，求证：当 E(X ) 1时， p 1 ，当 E( X ) 1时， p 1； (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
位： m3 )，得到如下数据：
样
本
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
号
ｉ
根 部 横 截
0．04 0．06 0．04 0．08 0.08
面 积 xi
0．05 0．05 0．07 0．07 0．06 0．6
导数选填题-【2023高考必备】2013-2022十年高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
16．(2022新高考全国I卷·第12题)已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，则()
A． B． C． D．
17．(2022新高考全国I卷·第10题)已知函数 ，则()
A． 有两个极值点B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心D．直线 是曲线 的切线
三、填空题
18．(2022年全国乙卷理科·第16题)已知 和 分别是函数 ( 且 )的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题03导数选填题
一、选择题
1．(2022年全国甲卷理科·第6题)当 时，函数 取得最大值 ，则 ()
A B． C． D．1
2．(2022新高考全国I卷·第7题)设 ，则()
A． B． C． D．
3．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点 可以作曲线 的两条切线，则()
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
22．(2021年高考全国甲卷理科·第13题)曲线 在点 处的切线方程为__________．
23．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第13题)曲线 在点 处的切线方程为．
24．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第14题)曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ．
14．(2013高考数学新课标2理科·第10题)已知函数 ，下列结论中错误的是()
A．
B．函数 的图象是中心对称图形
C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．若 是 的极值点，则
15．(2013高考数学新课标1理科·第11题)已知函数 = ，若| |≥ ，则 的取值范围是()
高考数学概率统计历年真题全解2024
高考数学概率统计历年真题全解2024一、概率统计概述概率统计是数学的一个分支，研究的是随机事件的发生规律以及对这些规律进行推断和分析的方法。
在高考中，概率统计是一个重要的考点，占据了相当的比重。
为此，我们整理了2024年高考数学概率统计部分的历年真题，并进行全面解析，以便同学们更好地复习备考。
二、选择题1. (2024年高考数学试题第一题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第一题内容省略)2. (2024年高考数学试题第二题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第二题内容省略)三、填空题1. (2024年高考数学试题第三题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第三题内容省略)2. (2024年高考数学试题第四题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第四题内容省略)四、解答题1. (2024年高考数学试题第五题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第五题内容省略)2. (2024年高考数学试题第六题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第六题内容省略)五、综合题(2024年高考数学试题第七题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第七题内容省略)六、总结通过对2024年高考数学概率统计部分的历年真题全面解析，我们可以发现在这一部分考题中，题目类型多样，涉及了选择题、填空题、解答题以及综合题等。
因此，考生在备考过程中需要对每种题型进行充分的练习和掌握，掌握基础知识的同时，也要注重解题技巧的积累和应用。
在准备概率统计部分考试的过程中，同学们还需要注重对知识点的理解和记忆，同时进行大量的习题练习，做到理论联系实际。
此外，注意解题过程中科学合理地运用公式和数学方法，同时要善于归纳总结，使得问题的解决更加精准和高效。
最后，祝愿同学们在高考中取得优异的成绩，实现自己的梦想！。
【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类(全国通用版)：导数解答题(原卷版)
(1)讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性；
(2)证明： f (x) 3 3 ； 8
(3)设 n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ 3n 4n
.
11．(2020 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第 21 题)设函数
(2)若 x 0 是 f x 的极大值点，求 a ．
16．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第 21 题)(12 分) 已知函数 f (x) ex ax2 ．
(1)若 a 1 ，证明：当 x ≥ 0 时， f (x)≥1 ；
(2)若 f (x) 在 (0, ) 只有一个零点，求 a ．
三个交点的横坐标成等差数列．
3．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第 22 题)已知函数 f (x) (x 1)ex ax2 b ．
(1)讨论 f (x) 的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明： f (x) 有一个零点
① 1 a e2 ,1 ,b 2a ． 2
(1)
f
(
x)
在区间
1,
2
存在唯一极大值点；
(2) f (x) 有且仅有 2 个零点．
15．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第 21 题)已知函数 f x 2 x ax2 ln 1 x 2x ．
(1)若 a 0 ，证明：当 1 x 0 时， f x 0 ，当 x 0 时， f x 0 ；
4．(2021 年新高考Ⅰ卷·第 22 题)已知函数 f x x 1 ln x ．
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)设 a ， b 为两个不相等的正数，且 b ln a a ln b a b ，证明： 2 1 1 e ． ab
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 概率(原卷版)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 概率（原卷版）一，选择题1．(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻地概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．452．(2021年高考全国乙卷理科)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74地概率为( )A ．79B ．2332C ．932D ．293．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在一组样本数据中,1,2,3,4出现地频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本地标准差最大地一组是( )A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====4．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物地变化．每一“重卦”由从下到上排列地6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“——”,右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻地概率是( )A ．516B ．1132C ．2132D ．11165．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)某群体中地每位成员使用移动支付地概率都为p ,各成员地支付方式相互独立,设X 为该群体地10位成员中使用移动支付地人数, 2.4DX =,()()46P X P X =<=,则p =( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.36．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想地研究中得到了世界领先地成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2地偶数可以表示为两个素数地和”,如30723=+．在不超过30地素数中,随机选取两个不同地数,其和等于30地概率是( )A ．112B ．114C ．115D ．1187．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究地几何图形。
历年(2019-2023)高考数学真题专项(概率与统计选择题及填空题)汇编(附答案)
历年（2019-2023）高考数学真题专项（概率与统计选择题及填空题）汇编考点01：排列组合与二项式定理一选择题：1．(2023年新课标全国Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．二、填空题1．(2023年天津卷)在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________． 2．(2021年高考浙江卷·)已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科)262()x x+的展开式中常数项是__________(用数字作答)．4．(2020年浙江省高考数学试卷)设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 +a 3=________．5．(2022新高考全国I 卷·)81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中26x y 的系数为________________(用数字作答)． 6．(2021高考天津)在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．7．(2021高考北京)在341()x x-的展开式中，常数项为__________．8．(2020天津高考)在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．9．(2019·浙江·)在二项式9)x +的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．10．(2019·天津·理·)83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 ．.的考点02 事件概率1．(2023年天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．3．(2022年高考全国乙卷数学(理))从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．4．(2021高考天津·)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．5．(2020天津高考·)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．6．(2020江苏高考·)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____．7．(2019·上海·)某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .考点03 随机事件分布列1．(2020年浙江省高考数学试卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．的2．(2022年浙江省高考数学试题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==__________，()E ξ=_________．3．(2019·全国Ⅰ·理·)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．4．(2021年高考浙江卷)袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E ξ=___________．5．(2022新高考全国II 卷)．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________．参考答案考点01：排列组合与二项式定理一选择题：1．(2023年新课标全国Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 【答案】64【答案解析】：(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种； (2)当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种； 综上所述：不同的选课方案共有16242464++=种． 故答案为：64．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种． 【答案】36【答案解析】： 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C = 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A = 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种 故答案为：36． 二、填空题1．(2023年天津卷)在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．【答案】60【答案解析】：展开式的通项公式()()6361841661C 212C kkk kk kk k T x x x ---+⎛⎫=-=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 令1842k -=可得，4k =，则2x 项的系数为()4644612C 41560--⨯⨯=⨯=．故答案为：60．2．(2021年高考浙江卷·)已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.【答案】(1)． 5; (2)． 10．【答案解析】:332(1)331x x x x -=-+-， 4432(1)4641x x x x x +=++++，所以12145,363a a =+==-+=，34347,110a a =+==-+=，所以23410a a a ++=故答案为5,10．3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科)262()x x+的展开式中常数项是__________(用数字作答)．【答案】240【答案解析】： 622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项： ()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r rr r xC x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=．故答案为：240．【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．4．(2020年浙江省高考数学试卷)设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 +a 3=________．【答案】(1)．80 (2)．122【答案解析】：5(12)x +的通项为155(2)2rr r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，580a ∴=；113355135555222122a a a C C C ∴++=++=5．(2022新高考全国I 卷·)81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中26x y 的系数为________________(用数字作答)． 【答案】‐28【答案解析】：因为()()()8881=y y x y x y x y x x⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭， 所以()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x-=-， ()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为‐28故答案为：‐28 6．(2021高考天津)在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160.的【答案解析】：6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrrr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 令1846r -=，解得3r =， 所以6x 的系数是3362160C =．故答案：160．7．(2021高考北京)在341()x x-的展开式中，常数项为__________．【答案】4- 【答案解析】：的展开式的通项令1240r -=，解得， 故常数项为．8．(2020天津高考)在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【答案解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r rr r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．故答案为：10．9．(2019·浙江·)在二项式9)x +的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．【答案】，5【答案解析】9)x展开式的通项为919(0,1,2,,9)r r r r T C x r -+== ，当0r =时，可得二项式9)x +展开式的常数项是0919T C =．若系数为有理数，则(9)r -为偶数即可，故r 可取1,3,4,5,7,9，即246810,,,,T T T T T 共5项．10．(2019·天津·理·)83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 ．【答案】28【答案解析】：83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为2268311(2)286428864C x x ⎛⎫⋅⋅-=⨯⨯= ⎪⎝⎭． 考点02 事件概率1．(2023年天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．为的【答案】①． 0.05 ②．35##0.6 【答案解析】：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6n n n ，所以总数为15n ， 所以甲盒中黑球个数为40%52n n ⨯=，白球个数为3n ； 甲盒中黑球个数为25%4n n ⨯=，白球个数为3n ； 甲盒中黑球个数为50%63n n ⨯=，白球个数为3n ；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A ，所以，()0.40.250.50.05P A =⨯⨯=；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B ， 黑球总共有236n n n n ++=个，白球共有9n 个， 所以，()93155n P B n ==．故答案为：0.05；35． 2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 【答案】635． 【答案解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===．故答案为：635．3．(2022年高考全国乙卷数学(理))从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310【答案解析】：从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10= 甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P = 故答案为：3104．(2021高考天津·)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________． 【答案】①．23 ②． 2027【答案解析】：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253⨯=； 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：23；2027．5．(2020天津高考·)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 【答案】 (1)．16 (2)． 23【答案解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23．故答案为：16；23．6．(2020江苏高考·)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____． 【答案】19【答案解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个． 点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个． ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==．故答案为：19．7．(2019·上海·)某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.【答案】27100【答案解析】法一：100271031923110=⋅⋅=C C C P (分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字) 法二：100271013310110=+-=P C P (分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同) 8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . 【答案】710的【答案解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中不含女生的方法有3种，因此所求概率为371=1010－．考点03 随机事件分布列1．(2020年浙江省高考数学试卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______． 【答案】(1)．13(2)． 1 【答案解析】：因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以1111(0)4433P ξ==+⨯=， 随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=．2．(2022年浙江省高考数学试题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==__________，()E ξ=_________． 【答案】 ①．1635， ②． 127##517【答案解析】:从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有37C 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有112424C C C +种，所以11242437C C C 16(2)C 35P ξ+===，由已知可得ξ的取值有1，2，3，4，2637C 15(1)C 35P ξ===，16(2)35P ξ==，，()()233377C 31134C 35C 35P P ξξ======所以15163112()1234353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=,故答案为：1635，127．3．(2019·全国Ⅰ·理·)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．【答案】0.18 【答案解析】：因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，且第5场为甲胜，前面4场比赛甲输一场，若第1场或第2场输1场，则12120.60.40.50.60.072P C =⨯⨯⨯⨯=， 若第3场或第4场输1场，则21220.60.50.50.60.108P C =⨯⨯⨯⨯=，所以甲以4：1获胜的概率是120.18P P +=．4．(2021年高考浙江卷)袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E ξ=___________．【答案】 (1)． 1 (2)． 89【答案解析】:2244224461(2)366m n m n m n C P C C C ξ++++++====⇒=，所以49m n ++=， ()P 一红一黄114244133693m m n C C m m m C ++⋅====⇒=, 所以2n =, 则1m n -=． 由于11245522991455105(2),(1),(0)63693618C C C P P P C C ξξξ⋅⨯========== 155158()2106918399E ξ∴=⨯+⨯+⨯=+=．故答案为1；89．5．(2022新高考全国II 卷)．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________．【答案】0.14 【答案解析】 因为()22,X N σ ，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=． 故答案为：0.14．。
专题12 概率与统计(文)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)(原卷版)
专题12概率与统计（文）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：回归分析2022年高考全国乙卷数学（理）真题2023年天津高考数学真题2024年上海夏季高考数学真题2024年天津高考数学真题统计学是“大数据”技术的关键，在互联网时代具有强大的社会价值和经济价值，在高考中受重视程度越来越大，未来在考试中的出题角度会更加与实际生活紧密联系，背景新颢、形式多样．考点2：信息图表处理2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（理）真题考点3：频率分布直方图与茎叶图2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考天津数学高考真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：古典概型与几何概型2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题考点5：平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差2023年高考全国乙卷数学（理）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题考点6：独立性检验2022年高考全国甲卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年上海夏季高考数学真题考点1：回归分析1．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积i x 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y ===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数iii=122iii=1i=1( 1.896 1.377)()()nnnx x y y r x x y y --=≈--∑∑∑．2．（2023年天津高考数学真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm ），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为0.8642r =，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为 0.75010.6105y x =+，根据以上信息，如下判断正确的为（）A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系B．花瓣长度和花萼长度负相关C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cmD．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.86423．（2024年上海夏季高考数学真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势4．（2024年天津高考数学真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（）A．B．考点2：信息图表处理5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）频数61218302410根据表中数据，下列结论中正确的是（）A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间6．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差考点3：频率分布直方图与茎叶图7．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[]95,105的最小值．8．（2022年新高考天津数学高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A ．8B ．12C ．16D ．189．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A ．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B ．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C ．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D ．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6考点4：古典概型与几何概型10．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．11．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y x y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A ．18B ．16C ．14D ．1212．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A ．56B ．23C ．12D ．1313．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．2314．（2022年新高考全国I 卷数学真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．2315．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A ．15B ．13C ．25D ．23考点5：平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差16．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．(1)求z ，2s ；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果2210s z ≥则不认为有显著提高）17．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A ．2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B ．2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C ．2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D ．2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差考点6：独立性检验18．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.63519．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果(1)1.65p p p p n->+150件产品的数据，能否认为生15012.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820．（2024年上海夏季高考数学真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5优秀5444231不优秀1341471374027(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d -=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）。
2022年高考数学真题分类汇编专题12：统计与概率及答案
2022年高考数学真题分类汇编专题12：统计与概率一、单选题1．（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）A．12种B．24种C．36种D．48种2．（2022·全国乙卷）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（ ）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.63．（2022·全国甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（ ）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差4．（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）A．15B．13C．25D．235．（2022·全国乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大6．（2022·北京）若(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=（ ）A．40B．41C．-40D．-41 7．（2022·新高考Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A．16B．13C．12D．23二、填空题8．（2022·浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)= ，E(ξ)= ．9．（2022·浙江）已知多项式(x+2)(x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2= ，a1+a2+a3+a4+a5= ．10．（2022·新高考Ⅱ卷）已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)= ．11．（2022·全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．12．（2022·全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．13．（2022·新高考Ⅰ卷）(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作答).14．（2022·上海）在(x3+1x )12的展开式中，含1x4项的系数为 15．（2022·上海）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为 三、解答题16．（2022·新高考Ⅱ卷）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间 [20，70) 的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间 [40，50) 的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 [40，50) ，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）17．（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．18．（2022·全国甲卷）甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A 24020B21030附： K 2=n(ad−bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)，P (K 2⩾k )0.1000.0500.010k2.7063.8416.635（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？19．（2022·全国乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： m 2 ）和材积量（单位： m 3 ），得到如下数据：样本号i 12345678910总和根部横截面积 x i 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量 y i0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10i =1x 2i =0.038，10i =1y 2i =1.6158，10i =1x i y i =0.2474 ．附：相关系数 r =n (x i −x )(y i −y )，1.896≈1.377 ．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186m 2 ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．20．（2022·北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上（含9.50m ）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80， 9.70， 9.55， 9.54， 9.48， 9.42， 9.40， 9.35， 9.30， 9.25；乙：9.78， 9.56， 9.51， 9.36， 9.32， 9.23；丙：9.85， 9.65， 9.20， 9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（I ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（II ）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X 的数学期望 EX ；（III ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）21．（2022·新高考Ⅰ卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 不够良好良好病例组4060对照组1090附： K 2=n (ad−bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )P(K 2 ≥ k)0.0500.0100.001K3.8416.63510.828（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，P (B∣A )P (B∣A ) 与 P (B∣A )P (B∣A )的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明：R P (A∣B )P (A∣B )⋅P (A∣B )P (A∣B )； (ii)利用该调查数据，给出 P (A|B )，P (A∣B ) 的估计值，并利用(i)的结果给出R 的估计值.答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】D8．【答案】1635；1279．【答案】8；-210．【答案】0.1411．【答案】63512．【答案】31013．【答案】-2814．【答案】6615．【答案】1716．【答案】（1）解：平均年龄 x =(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9 （岁）（2）解：设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20，70）}，则P(A)=1−P(A )=1−(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1−0.11=0.89（3）设B={任选一人年龄位于区间 [40，50) }，C={任选一人患这种族病}， 则由条件概率公式，得 P(C∣B)=P(BC)P(B)=0.1%×0.023×1016%=0.001×0.230.16=0.0014375≈0.001417．【答案】（1） 解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A ，B ，C ，所以甲学校获得冠军的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC )=0.16+0.16+ 0.24+0.04 =0.6.（2）解：依题可知，X 的可能取值为 0，10，20，30 ，所以， P (X =0)=0.5×0.4×0.8=0.16 ，P (X =10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44 ，P (X =20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34 ，P (X =30)=0.5×0.6×0.2=0.06 .即X 的分布列为X 0102030P0.160.440.340.06期望 E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=1318．【答案】（1）解：由表中数据可知，A 共有班次240+20=260次，准点班次有240次，设A 家公司长途客车准点事件为M ，则 P(M)=240260=1213；则A 家公司长途客车准点的概率为1213；B 共有班次210+30=240次，准点班次有210次，设B 家公司长途客车准点事件为N ，则 P(N)=210240=78.B 家公司长途客车准点的概率为 78.（2）解：列联表 准点班次数未准点班次数合计A 24020260B 21030240合计45050500K 2=n(ad−bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d) = 500×(240×30−210×20)2260×240×450×50≈3.205>2.706 ，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 19．【答案】（1）解：样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x=0.610=0.06样本中10棵这种树木的材积量的平均值y=3.910=0.39据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2，平均一棵的材积量为0.39m3（2）解：r 10(x i−x)(y i−y)=10x i y i−10xy=0.2474−10×0.06×0.39(0.038−10×0.062)(1.6158−10×0.392)=0.01340.0001896≈0.01340.01377≈0.97则r≈0.97（3）解：设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.060.39=186Y，解之得Y=1209m3．则该林区这种树木的总材积量估计为1209m320．【答案】（I）由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A：比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有：9.80，9.70，9.55，9.54 四个，所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P（A）=0.4；（II）X所有可能取值为0，1，2，3甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P（A）=0.4乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B，则P（B）=0.5丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则P（C）=0.5P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4P(X=2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1X0123P0.150.40.350.1E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4（III）甲的平均数：(9.80+9.70+9.55+9.54+9.48+9.42+9.40+9.35+9.30+9.25)×0.1=9.479乙的平均数：(9.78+9.56+9.51+9.36+9.32+9.23)÷6=9.457丙的平均数：(9.85+9.65+9.20+9.16)×0.25=9.465甲的方差：S2=[(9.8―9.479)2+⋯+(9.25―9.479)2]÷10=0.172乙的方差：S2=[(9.78―9.457)2+⋯+(9.23―9.457)2]÷6=0.0329丙的方差：S2=[(9.85―9.465)2+⋯+(9.16―9.465)2]÷4=0.086在校运动会铅球比赛中，乙获得冠军的概率估计值最大.21．【答案】（1）K2=200×(40×90−10×60)2100×100×50×150=24>6.625所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）用局部估计总体(i) RP(B∣A)÷P(B∣A)P(B∣A)=P(B∣A)⋅P(B∣A)P(B∣A)⋅P(B∣A)=P(AB)P(A)⋅P(BAP(A)P(BA)P(A)⋅P(BA)P(A)=P(BAP(BA)⋅P(BA)=P(AB)P(B)⋅P(BA)P(B)P(BA)P(B)⋅P(BA)P(B)=P(A∣BP(A∣B)⋅P(A∣B)(ii) P(A∣B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=40100， P(A∣B)=P(ABP(B)n(ABn(B)=90100P(A∣B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=60100， P(A∣B)=P(ABP(B)=n(ABn(B)=10100R=40×9060×10=6故R的估计值为6。
2013年高考数学必做客观题――概率统计-11页文档资料
2013年高考数学必做客观题――概率统计随机抽样（★★★★）必做1 某校有4000名学生，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高二抽取的学生人数为_______.精妙解法依表知x+y+z=4000-2000=2000，=0.2，于是x=800，故高二的学生人数为y+z=1200，那么在高二抽取的学生人数为1200×=30名.极速突击进行分层抽样时应注意以下几点：（1）分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且不重叠；（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性要相同；（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法.（1）常见的随机抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，都是不放回抽样，它们之间的联系和区别如表2所示.（2）解决有关随机抽样问题，首先要深刻理解各种抽样方法的特点和实施步骤，其次要熟练掌握系统抽样中被抽个体号码的确定方法及分层抽样中各层人数的计算方法；抽样方法经常交叉起来使用，如分层抽样，若每层中的个体数量仍很大，则可辅之以系统抽样，系统中的每一均衡的部分，又可采用简单随机抽样.用样本估计总体（★★★）必做2 某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3，则购鞋尺寸在[39.5，43.5）内的顾客所占百分比为________.[0.0875][0.0375][频率组矩] [35.5][37.5][39.5][41.5][43.5][45.5][尺寸]图1精妙解法：后两个小组的频率为（0.0375+0.0875）×2=0.125×2=0.25，所以前3个小组的频率为1-0.25=0.75.又前3个小组的面积比为1∶2∶3，所以第三小组的频率为×0.75=0.375，第四小组的频率为0.0875×2=0.175，所以购鞋尺寸在[39.5，43.5）的频率为0.375+0.175=0.55=55%.极速突击（1）在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1；（2）每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量；（3）在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率除以组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率.变量的相关性（★★★）必做3 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验. 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程[^][y]=0.67x+54.9.表3[零件个数x（个）＼&10＼&20＼&30＼&40＼&50＼&加工时间y（min）＼&62＼&＼&75＼&81＼&89＼&]现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________ .精妙解法由已知可得==30，代入[^][y]=0.67x+54.9，得=75，设模糊数据为m，由=75，得m=68.极速突击线性回归方程过点（，）.（★★★★）必做4 一场“厉行节约，反对浪费”的“光盘行动”悄然展开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘行动”，得到如下的列联表：表4[＼&做不到＼&能做到＼&男＼&45＼&10＼&女＼&30＼&15＼&]表5[P（K2≥k）＼&0.10＼&0.05＼&0.025＼&k＼&2.706＼&3.841＼&5.024＼&]附：K2=参照附表，得到的正确结论是A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘行动’与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘行动’与性别无关”C. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘行动’与性别有关”D. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘行动’与性别无关”精妙解法由已知条件可得K2==3.030，因为3.030>2.706，所以有90%的把握认为“市民性别与支持该活动有关系”，故选C.（1）求线性回归直线方程的步骤是：作出散点图，判断两个变量是否线性相关；如果是，利用公式求出[a][^]与[b][^]的值，写出回归直线方程；再利用求出的方程进行估计.（2）利用独立性检验可以考查两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，具体做法是：根据观测数据，计算由公式K2=所给出的检验随机值k，并且k的值越大，说明“两个变量有关系”的可信度越大.古典概型（★★★）必做5 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（）A. B.C. D.精妙解法设正方形的4个顶点为A，B，C，D，从中任选两个顶点连成直线，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种不同选法，故甲、乙各从正方形四个顶点中任选两个顶点连成直线，共有基本事件6×6=36个.设甲、乙两人各取两个顶点连成直线，所得两条直线互相垂直的事件为M，则M所包含的基本事件如下表：表6[甲＼&AB＼&BC＼&CD＼&AD＼&AC＼&BD＼&乙＼&BC＼&AD＼&AB＼&CD＼&AD＼&BC＼&AB＼&CD＼&BD＼&AC＼&]共包含10个基本事件，所以P（M）==，故选C.极速突击对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的结果数m，再利用公式P（A）=求出事件的概率. 对一些情景较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可计算随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意，计算时要严防遗漏，绝不重复.（★★★★）必做6 设函数f（x）=ax+，若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，则f（x）>b恒成立的概率是________.[牛刀小试]精妙解法 f（x）=ax+=ax++1=a（x-1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，所以f（x）min=（+1）2，于是f（x）>b恒成立就转化为（+1）2>b 成立.设事件A：“f（x）>b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），共10个，由古典概型得P（A）==.（★★★★）必做7 从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为A. B. C. D.[牛刀小试]精妙解法法1：从正方体的8个顶点中任取3个有C=56种取法，可构成的三角形有56种可能，正方体有6个表面和6个对角面，它们都是矩形（包括正方形），每一个矩形中的任意3个顶点可构成4个直角三角形，共有12×4=48个直角三角形，故所求的概率P==，选D.法2：从正方体的8个顶点中任取3个有C=56种取法，可构成的三角形有56种可能，所有可能的三角形分为直角三角形和正三角形两类，其中正三角形有8种可能（每一个顶点对应一个），故所求的概率P==，选D.极速突击对于某些稍复杂的事件的古典概型问题，一般要把复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件解决，同时通过排列、组合知识完成计算，这也是考查同学们分析问题、解决问题能力的重要环节.几何概型（★★★★）必做8 在长度为1的线段内任取两点，将线段分成三段，则它们可以构成三角形的概率为________.精妙解法设线段被分成的三段长分别为x，y，1-x-y，则0[O][c][a][A][D][C][F][B][E][图2]所以关于x的方程ax2+2x+c=0有实根的概率为P==.相互独立事件、独立重复试验及互斥事件的概率（★★★★）必做10 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，则（1）甲以4比1获胜的概率为______；（2）乙获胜且比赛局数多于5局的概率是______.精妙解法由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.（1）记“甲以4比1获胜”为事件A，则P（A）=C（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.因为乙以4比2获胜的概率为P1=C乙以4比3获胜的概率为P2=C=，所以 P（B）=P1+P2=.极速突击用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：（1）用恰当字母表示题中有关事件；（2）根据题设条件，分析事件之间的关系；（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个乘积之和（相互乘积的事件之间必须满足相互独立）；（4）利用乘法公式计算概率.（★★★★）必做11 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E 运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路. 统计表明：汽车走公路I堵车的概率为，不堵车的概率为；走公路II堵车的概率为，不堵车的概率为. 若甲、乙两辆汽车走公路I，第三辆汽车丙由于其他原因走公路II运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响，则三辆汽车中至少有两辆堵车的概率是_______. [牛刀小试]精妙解法记“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A，“汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B，“汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C. 于是甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为P=P（A?B?）+P（A??C）+P（?B?C）+P（A?B?C）=××+××+××+××=.极速突击在解此类题时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的含义，以免混淆. 理解事件的相互独立性并熟练运用公式是解此类问题的关键.（★★★）必做12 某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是________.[牛刀小试]精妙解法本题是独立重复实验B4，，P（k=2）=C22=.极速突击独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验. 在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.（★★★★）必做13 设10件产品中有4件不合格，从中任意取2件，试求在所取得的产品中发现有一件是不合格品的条件下，另一件也是不合格品的概率是（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5精妙解法记事件A为“有一件是不合格品”，事件B为“另一件也是不合格品”，n（A）=CC+C=30，n（AB）=C=6，所以P（B|A）==0.2.极速突击条件概率问题是高中新课程新增知识，同时也是一个冷点，复习时一定要引起注意.（1）在解决互斥事件与相互独立事件的概率问题时，首先要注意互斥事件与相互独立事件的区别和运用场合. 善于将复杂的事件分解为互斥事件的和与独立事件的积是解题的关键.（2）如果一个问题包含的正面情况比较多，反面情况比较少，则一般利用对立事件求解，即先求出欲求概率事件的对立事件的概率，再得到欲求事件的概率，一般地，“至少”“至多”等问题往往会用到这种方法求解.离散型随机变量的分布列、期望和方差（★★★★）必做14 如图3，已知长方形ADEH是由三个边长为1的正方形拼接而成的，从A，B，C，D，E，F，G，H这八个点中任取三个点组成的图形面积记为ξ，且当三点共线时ξ=0，则数学期望Eξ的值为________.[E F G H][A B C D]图3[牛刀小试]精妙解法ξ=0，，1，，P（ξ=0）==，Pξ=P（ξ=1）==，Pξ=所以Eξ=0×+?+1?+?===.极速突击求离散型随机变量ξ的期望的步骤为：（1）理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；（2）计算出ξ取每一个值时的概率；（3）写出ξ的分布列；（4）利用公式Eξ=ξ1p1+ξ2p2+…+ξnpn，求出期望.（★★★）必做15 根据新交规的要求，某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为：从10个备选测试项目中随机抽取4个，只有选中的4个项目均测试合格，科目二的培训才算通过. 已知甲对10个测试项目测试合格的概率均为0.8，则甲最后通过测试项目的期望值是________.[牛刀小试]精妙解法：甲的测试项目合格数为ξ，则ξ～B（4，0.8），所以Eξ=4×0.8=3.2.极速突击当断定随机变量服从两点分布或二项分布时，可不用列出分布列，直接用公式求出Eξ与Dξ.（1）求离散型随机变量的概率分布表的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.（2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.（3）注意应用概率之和为1这一性质检验解答是否正确.正态分布（★★★）必做16 设随机变量ξ服从正态分布N（2，22），则P（23），又曲线与x轴之间的面积为1，所以2P（2希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：：1、世事忙忙如水流，休将名利挂心头。
十年高考理数真题专题 概率和统计(原卷)
第十二章概率和统计一．基础题组1.【2014课标Ⅰ，理5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（） A ．81 B ．83 C ．85 D ．87 2.【2013课标全国Ⅰ，理3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样3.【2011全国新课标，理4】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为() A ．13B ．12C ．23D ．344.【2012全国，理15】(某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．5. 【2014课标Ⅰ，理18】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .附：15012.2≈ 若()2~,Z Nμσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=。
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【答案】C
【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 ，则其与该校学生人数之比为 ．故选C．
另解：记看过《西游记》的学生为集合A，看过《红楼梦》的学生为集合B．则由题意可得韦恩图：
则看过《西游记》的人数为70人，则其与该校学生人数之比为 ．故选C．
【点评】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．根据容斥原理或韦恩图，利用转化与化归思想解题．但平时对于这类题目接触少，学生初读题目时可能感到无从下手。
方差为 ；
对于D选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ．
因此，B选项这一组 标准差最大．
故选：B．
【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
【题目栏目】概率\离散型随机变量的均值、方差
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题
11．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()
A．62%B．56%
C．46%D．42%
【答案】C
解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，
则 ， ， ，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 ．故选：C．
【题目栏目】概率\事件与概率\事件的关系及运算
爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“——”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机
取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()
A．
B．
C．
D．
【答案】答案：A
解析：所有的重卦共有 个，而恰有3个阳爻的重卦有 个，所以所求概率为 ．
【题目栏目】概率\古典概型与几何概型\古典概型
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第6题
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关．选项A判断错误．故选：D
【题目栏目】概率\相互独立事件\相互独立事件同时发生的概率
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第10题
3．(2022新高考全国I卷·第5题)从2至8 7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()
A B． C． D．
【答案】D
解析:从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 种不同的取法，
故选：C．
【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值．注意各组的频率等于 ．
【题目栏目】统计\用样本估计总体\频率分布直方图
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第2题
2．(2022年全国乙卷理科·第10题)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则()
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
10．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 ，且 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()
A． B．
C． D．
【答案】B
解析：对于A选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于B选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于C选项，该组数据的平均数为 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件 对应的区域面积，即可顺利解出．
【题目栏目】概率\古典概型与几何概型\几何概型
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第8题
9．(2021年高考全国甲卷理科·第2题)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入 调查数据整理得到如下频率分布直方图：
【点评】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解．可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．
【题目栏目】统计\用样本估计总体\用样本的数字特征估计总体的数字特征
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第5题
14．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第6题)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题12概率统计客观题
一、选择题
1．(2022年全国甲卷理科·2题)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
该地农户家庭年收入低于4．5万元的农户的比率估计值为 ,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10．5万元的农户比率估计值为 ,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4．5万元至8．5万元之间的比例估计值为 ,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 (万元)，超过6．5万元，故C错误．
综上，给出结论中不正确的是C．
【答案】D
解析：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 ，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即 ， ，
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大．选项D判断正确；选项BC判断错误；
若两数不互质，不同的取法有： ，共7种，
故所求概率 ．故选：D．
【题目栏目】概率\古典概型与几何概型\古典概型
【题目来源】2022新高考全国I卷·第5题
4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第6题)某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是()
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B． 越小，该物理量在一次测量中大于10 概率为0．5
【点评】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
【题目栏目】统计\用样本估计总体\用样本的数字特征估计总体的数字特征
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第6题
13．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第5题)演讲比赛共有 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 个原始评分中去掉 个最高分、 个最低分，得到 个有效评分． 个有效评分与 个原始评分相比，不变的数字特征是()
【答案】C
解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，
则 ， ， ，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 ．故选：C．
【题目栏目】概率\事件与概率\事件的关系及运算
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10．01的概率与小于9．99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，所以一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误,故选D．
【题目栏目】概率\正态分布
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第6题
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为 ，
讲座前问卷答题的正确率的极差为 ,所以 错．
故选:B．
【题目栏目】统计\用样本估计总体\用样本的数字特征估计总体的数字特征
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第2题
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
解析: ，
故选B．
【题目栏目】概率\事件与概率\事件的关系及运算
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第8题
6．(2020年新高考I卷(山东卷)·第5题)某中学的学
生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()
A．该地农户家庭年收入低于4．5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10．5万元 农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6．5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4．5万元至8．5万元之间
【答案】C
解析：因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率．样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值．
【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第5题
8．(2021年高考全国乙卷理科·第8题)在区间 与 中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为()
A． B． C． D．
【答案】B
解析：如图所示：
设从区间 中随机取出的数分别为 ，则实验的所有结果构成区域为 ，其面积为 ．
设事件 表示两数之和大于 ，则构成的区域为 ，即图中的阴影部分，其面积为 ，所以 ．