中考数学：求阴影部分面积的几种常见方法

阴影部分面积的几种常见方法

在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这类试题大多数都是求不规则图形的面积,具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法,显得尤为重要．本文举例介绍解决这类问题的常见方法．

一、直接求解法

例1 如图1,有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB 边上，AD变到AD1位置,折痕为AE．再将△AED1以D1E为折痕，向右折叠，AE变到A1E 位置,且A1E交BC于点F．求图中阴影部分的面积．

分析因为阴影部分是一个规则的几何图形Rt△CEF，故根据已知条件可以直接计算阴影部分面积．

解如图1,根据对称性可得

AD＝AD1＝A1D1＝6．

由已知条件易知：

EC＝D1B＝4,BC＝6;

Rt△FBA1∽Rt△FCE．

设FC为x，则FB＝6－x．

二、间接求解法

例2 如图2,⊙O1与⊙O2外切于点C，且两圆分别和直线l相切于A、B两点,若⊙O1半径为3cm；⊙O2半径为1cm，求阴影部分面积．

分析这是求一个不规则图形的面积,没有现成的面积公式，因此应采用间接的方法,设法转化为规则图形的面积的和或差去计算．

三、整体合并法

例3 如图3，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求三个阴影部分面积之和．

分析所求的阴影部分面积是三个扇形面积之和，因为三个扇形圆心角度数不知道,所以无法单独求解，但仔细观察发现，三个扇形的圆心角分别是△ABC的三个内角,其和为180°，而扇形半径都相等，所以三个扇形能合并成一个半圆．于是问题获解．解如图3,因为三个圆的半径相等，三个扇形圆心角之和是180°，所以其面积就是半圆面积．

四、等积变换法

例4 如图4,A是半径为R的⊙O外一点，弦BC为3R,OA∥BC，求阴影部分面积．

分析本题的阴影部分是不规则的图形,求其面积较困难,

但灵活运用等积变换，就可以把它的面积转化为扇形OBC的面

积，从而获解．

解连接OC，OB，

五、分割法

例5 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2,分别以AC、BC为直径画半圆，求阴影部分面积．

分析阴影部分图形不规则，不能直接求面积，可以把它分割成几个部分求面积的和．解如图5，连接CD．

∵AC、BC是直径,

∴∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴A、D、B三点共线．

设阴影部分面积被分割为S1、S2、S3、S4四部分．

则

六、转化法

例6如图（1),大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB＝4cm,求阴影部分面积．

分析如果想直接求阴影部分面积，无法求解，因为它不是规则图形．但要采取转化思想，把小半圆平移到与大半圆的圆心重合的位置，作OE⊥AB于点E．连接OB，可知BE＝2cm,阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆的面积．

解如图(2)，将小半圆O1移至与大半圆圆心重合，作OE⊥AB于点E，则

BE＝1

2

AB＝2cm．

设大圆半径为R，小圆半径为x,在Rt△OEB中，有七、割补法

例7 如图7，点P（3a，a）是反比例函数y＝12

x

与⊙O在第一象限内的一个交点，求

阴影部分的面积．

分析阴影部分分两部分，难于逐一求解,但考虑反比例函数的对称性,结合割补原理，问题变得特别简单．

解如图7，把右上角的S1部分分割下来,移到左下方补在S3处,与S2就组成了一个扇形OAB．

易知:

∵P(3a，a)在反比例函数y＝12

x

的图象上，

∴3a＝12

a

．

解得:a1＝2,a2＝－2（舍去）．∴P坐标为(6，2)．

连接OP,作PC⊥x轴于点C,得：八、方程建模法

例8如图8，正方形边长为a,以每边为直径在正方形内画四个半圆，求阴影部分的面积．

分析本题直接求阴影部分面积较复杂，但观察图形特点引入方程的思想，问题变得非常简单．

解正方形由四个阴影花瓣和四个空白图形组成，如图8，设一个阴影花瓣面积为x，一个空白图形面积为y．

根据题意得:

因此阴影部分面积为．

2

2

2

a

a

π

-．