九章算术中的立体几何(讲座)

唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为教科书。到了 北宋，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻（1084），这 是世界上最早的印刷本数学书。 在现传本《九章算术》中，最早的版本乃是上述北宋本的南 宋翻刻本（1213），现藏于 上海图书馆（孤本，残，只余 前五卷）。
《九章算术》的成就
它是中国古代第一部数学专著， 是《 算经十书》中最重要的一种。 该书内容十分丰富，系统总结了战国、 秦、汉时期的数学成就。
高考题一定会继续发掘我国古代数学的精髓， 九章算数、杨辉三角、秦九韶算法都是我 国数学界的瑰宝，但是现代学生对这些知 识知之甚少，所以高考题一定会加入古代 数学的元素让学生了解更多的中国古代数 学之美。
内容安排
一、《九章算术》是一本什么样的书 二、《九章算术》中的立体几何问题 三、高考题、模拟题题例及分析 四、学习建议
主要修订内容 1.完善考核目标。结合高考评价体系框架、学科特点和核心 素养的要求，在考试大纲中对考核目标的内涵进行修订， 在考试说明中对各个考核目标进行具体解析，并补充试题 样例，以进一步说明考核目标要求，便于考生理解和复习 备考。 2.调整考试内容。在强调共同基础的前提下，合理设置选考 模块，满足高校人才选拔要求，契合课程标准的修订方向。 比如，语文将文学类文本阅读、实用类文本阅读均设为必 考内容，适应高校对新生基本能力和综合素质的要求，呼 应中学教学的意见;数学减少选考模块“几何证明选讲”， 物理将模块3-5列为必考，顺应课程标准修订的趋势。
内容阐释
第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算 方法。涉及了方田，即正方形和长方形；圭田，即三角形； 箕田，即梯形；圆田，即圆形；弧田，即弓形。本章还叙述 了分数的加减乘除四则运算的方法，以及求分子分母最大公 约数等方法，与现代的分数计算方法基本一致。 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法， 称为今有术； 第三章“衰分”：比例分配问题。程大位在《算法统宗》 中，解释衰分问题时说：“衰者，等也。物之混者，求其等 而分之。以物之多寡求出税，以人户等第求差役，以物价求 贵贱高低者也。”用现代的术语来说，就是配分比例问题。
于振玺青岛市名师工作室 公益讲座
《九章算术》
中的立体几何问题
山东省平度第一中学 王尊甫
2017年普通高考考试大纲修订
修订基本原则
坚持整体稳定，推进改革创新。处理好继承与发展、
稳定与创新的关系，在保证考试大纲总体框架不变的前提 下，进一步巩固考试内容改革成果，确保高考内容改革的 顺利推进。 优化考试内容，着力提高质量。把提升考试大纲的 科学性和公平性作为修订工作的核心，依据高校人才选拔 要求和国家课程标准，科学设计考试内容，增强基础性、 综合性、应用性和创新性，适应经济社会发展对多样化高 素质人才的需要。 提前谋篇布局，体现素养导向。做好与新课程标准 理念的衔接，在高考考核目标中适当体现核心素养的要求， 梳理“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”的层 次与关系。
内容阐释
第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈 适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及 若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。 这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。
第八章“方程”：介绍了联立一次方程组的消元解法。 这与现代数学中，通用的方法实质上是一样的。这是世界上 最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由 莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和 使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现 今代数中法则完全相同；这是世界数学史上一项重大的成就， 第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印 度的婆罗摩及多才认识负数。
数学全国卷试题的四大变化值得关注： 一是弘扬社会主义核心价值观，试题渗透中 国古代数学文化，强调中国古代数学文化 的传统特色。 二是加强逻辑内容的考查。 三是加强应用能力的考查。 四是加强对数学本质的考查。
数学文化是人类文明的优秀部分，它体现了人类文 化的理性精神和人文精神。 由过去的高考试题中偶尓涉中华优秀传统文化的考 核内容，到明确设置为考核内容，是一种自觉。 此次高考数学考纲修订，增加了中华优秀传统文 化的考核内容，应是新课标新课程修订的互动， 重视核心素养的先导。 这更要求我们数学的学习与教学中，追求理性思维 以及其中的社会活动文化活动的人文知识。
内容阐释
第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和 径长等；介绍了 开平方、 开立方的方法。 第五章“商功”：土石工程、体积计算；包括“方土保 土寿”，就是立方体和长方体；“圆土保土寿”，就是圆柱 体；“方锥、方亭”，就是平截头的方锥体； “圆亭”， 就是平截头的圆锥体；“堑堵”，就是正三角柱；“阳马”， 就是一棱和底面垂直的方锥；“鳖臑”，就是直角三角锥； “刍童”，就是平截头的长方 锥；“羡除”，就是楔形体 等等。 第六章“均输”：用衰分术解决赋役的合理负担问题。 今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、 反比 例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西 方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。
一、《九章算术》是一本 什么样的书
《九章算术》的作者
《九章算术》，作者不可考。一般认为它是经历代各家的增 补修订，而逐渐成为现今定本的。西汉的张苍、 耿寿昌 曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟 在东汉前期。现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四 年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。
背景介绍
高考数学的新大纲在在能力要求内涵方面，增加了 基础性、综合性、应用性、创新性的要求，增加 了对数学文化的要求，对能力要求进行了加细 说明，使能力要求更加明确具体。 同时，在现行考试大纲三个选考模块中删去“几何 证明选讲”，其余2个选考模块的内容和范围都不 变。考生从“坐标系与参数方程”、“不等式选 讲”2个模块中任选1个作答。
清华附中校长王殿军认为，此次修订明确提出了从 三个方面考查学生的数学学习情况，即数学思想 方法、数学能力、数学的科学与人文价值。 “这体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的 精神，特别是明确提出了在数学考试中增加数学 文化的要求，有利于引导中学数学教学更加注重 思想性、文化性和灵活性，有利于实现全面提升 和培养学生综合的数学素养。”
内容阐释
第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。叙 述了勾股定理的应用和相似直角三角形的解法。古人称直角 三角形的短直角边为勾，长直角边为股，斜边为弦。在西方， 毕达哥拉斯、 欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情 况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章 算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是 近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到 19世纪末才由美国的 数论学家迪克森得出。
链接：刘徽的贡献
刘徽的第一大贡献是创立了“割圆术”。为圆周率的推算建 立了严密的理论和完善的方法，开创了圆周率研究的新阶段。 《九章算术》用的是周三径一的比率，这是很不精密的。其 后，数学家们进行了许多探索。西汉的刘歆，采用的圆周率 是3.1547，东汉的张衡在天文计算 中，采用的圆周率相当 于3.1466；在球体积计算时，又用过10的平方根，相当于 3.1622。这些圆周率的数值，比周三径一有一些进步，但还 不够精密，特别是没有说明理论依据。 刘徽的“割圆术”认为：当圆内接正多边形边数无增加时， 其周长就越逼近圆周长，其周长的极限即为圆周长，面积的 极限即为圆面积。 刘徽从圆内接正六边形算起，边数逐步加倍，求到192边形 的面积，求得π的近似值为3.14。他又继续求到圆内接正 3072边形的面积，验证前面的结果，并得出更精确的圆周率 近似值π＝3.1416。这是当时世界上圆周率的最佳数据。
《算经十书》：
《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提
到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方 程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减 运算法则。
它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应 用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整
的体系。
刘徽与《九章算术》
由于《九章算术》以问题集的形式成书。它的叙述体例是先 列一个或几个问题，然后再归纳求解问题的方法或直接做出 结论。这样，就产生了一大缺点，即对解法与结论缺少必要 的解释与说明。而对解法与结论所依据的理论，几乎没有任 何系统的探讨。 刘徽的《九章算术注》，正是为了弥补这个缺陷而著述。在 《九章算术注》中，他精辟地阐明了各种解题方法的理论， 通过简要的证明，论述了书中解法的正确性,指出了一些近 似解法的精确程度和个别解法的错误。刘徽的注文，进行了 创造性的工作，增加了许多新的理论，远远超出了原著。可 以毫不夸张地说：刘徽的数学理论阐述，为建立具有独特风 格的我国古代数学理论体系打下了坚实的基础。
二、九章算术中的立体几 何问题
《九章算术》中的“商功”
术语介绍
同名:同号 异名:异号 相益:相加 相除:相减 方田:正方形 圭田:三角形 箕田:等腰梯形 邪田:梯形 圆田:圆形 弧田:弓形
在考试内容与范围方面，删去了选修4-1里的“几何证明选 讲”。删去的理由：几何证明选讲考察的是初中平面几何 的知识，作为基础知识，可以在立体几何、解析几何知识 中考察，不需要再单独设置专题考察，同时在以前的教学 大纲和2017年修订的课程标准中都不包含。 选考模块的试题由三道变为两道，可以说减轻了师生备考的 负担，对于大多数学生来讲，可以从原来面对平面几何题 较为尴尬的境地解放了出来！可以更具有针对性的复习备 考另外两个选考模块。
刘徽《九章算术注》的第二项贡献是“齐同术”。“齐同术” 就是分数加减法中的通分法。 刘徽说：“凡母互乘子，谓之齐，群母相乘，谓之同。同者， 相与通共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。”就 是说分母相同，分数才能相加减。刘徽还把“齐同术”用于 一元联立方程组的解法中，提出了互乘相消法，使消元过程 简化明晰。
近代，有的学者将刘徽分析证明斜解长方形所得阳马和鳖臑 的体积成2∶1的理论，称为刘徽原理。