最新2021考研数学高数备考复习知识点：中值定理与导数的应用
高等数学第三章中值定理与导数的应用
1 0. 当 x 0 时 0 , 因此由上式得 cos
0? 问是否可由此得出 lim cos 1 x
x0
不能 !
因为 ( x) 是依赖于 x 的一个特殊的函数.
x 0 表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
备用题 1. 设 f ( x) 在 [0,1] 连续， (0 ,1) 可导，且 f (1) 0 ,
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
矛盾, 故假设不真!
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f ( x)
使
f ( x) sin ln x ,
F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e) f (1) f ( ) , (1, e ) 因此 F (e) F (1) F ( ) 1 cos ln 即
1
分析:
例5. 试证至少存在一点 法2 令 f ( x) sin ln x sin1 ln x
使
则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件, 因此存在 使
1 1 f ( x) cos ln x sin1 x x
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
3 15 4 . _____
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.
中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用从第二章第一节的前言中已经知道,导致微分学产生的第三类问题是“求最大值和最小值”. 此类问题在当时的生产实践中具有深刻的应用背景,例如,求炮弹从炮管里射出后运行的水平距离(即射程),其依赖于炮筒对地面的倾斜角(即发射角). 又如,在天文学中,求行星离开太阳的最远和最近距离等. 一直以来,导数作为函数的变化率,在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义,因而在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到广泛的应用.在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.本节主要内容1罗尔定理2拉格朗日中值定理3柯西中值定理讲解提纲：一、罗尔定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在区间端点的函数值相等, 即).()(b f a f = 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ使得 .0)(='ξf注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.罗尔定理中)()(b f a f =这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导. 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ拉格朗日中值公式反映了可导函数在],[b a 上整体平均变化率与在),(b a 内某点ξ处函数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.拉格朗日终值定理可改写为).10()(0<<∆⋅∆+'=∆θθx x x f y 称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位,有时也称这个定理为微分中值定理. 在某些问题中,当自变量x 取得有限增量x ∆而需要函数增量的准确表达式时,拉格朗日中值定理就突显出其重要价值.推论1 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零, 那末)(x f 在区间I 上是一个常数.三、柯西中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在(a , b )内每一点处,0)(≠'x g . 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得)()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=-- 显然, 若取,)(x x g =则,1)(,)()(='-=-x g a b a g b g 因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定理又称为广义中值定理.例题选讲：罗尔定理的应用例1 对函数()x x f sin ln =在区间[]5,ππ上验证罗尔定理的正确性. 解:21sin ln )65()6(==ππf f ，0)2('=πf . 例2 设()x f 在[]b a ,上连续, ()x f '在[]b a ,连续. 且()()()0,0,0<><b f c f a f ,c 介于a,b 之间. 证明: 存在()b a ,∈ξ, 使()0='ξf 成立.证明:函数在[]b a ,内连续.在[]c a ,内由条件根据介值定理可推得存在一点1ξ，使得 ()01=ξf .同理, []b c ,内存在一点2ξ，使得()02=ξf .在[]21,ξξ内满足罗尔定理存在()b a ,∈ξ, 使()0='ξf 成立.拉格朗日中值定理的应用例3证明 ).11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π证明:令x x x f arccos arcsin )(+=；则11,0)('<<=x x f .所以f(x)为一常数设为f(x)=c,又因为2)1(,2)1(,2)0(πππ=-==f f f , 故).11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π例4 证明当0>x 时,.)1ln(1x x xx <+<+ 证明:设)1ln()(x x f +=，则函数在区间[0，x]上满足拉格朗日中值定理得条件，有 x x f f x f <<-=-ξξ0),0)(()0()(' 因为x x f f 1)(,0)0('==，所以ξ+=+1)1ln(x x ，又因为x <<ξ0 所以 .)1ln(1x x xx <+<+ 柯西中值定理的应用例5 设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使)].0()1([2)(f f f -='ξξ证明:只需令2)(x x g =即可课堂练习1. 试举例说明罗尔定理的条件缺一不可.2. 若)(x f 是[a , b ]上的正值可微函数, 则有点)1,0(∈ξ使()()()()().lna b f f a f b f -'=ξξ罗尔（Rolle ，1652~1719）简介：罗尔是法国数学家。
2021考研数学高数必背定理：中值定理与导数的应用
2021考研数学高数必背定理：中值定理与导数的应用1、定理（罗尔定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b），那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a2、定理（拉格朗日中值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a3、定理（柯西中值定理）如果函数f（x）及F（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且F’（x）在（a，b）内的每一点处均不为零，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使的等式[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）成立。
4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么：（1）如果在（a，b）内f’（x）如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’（x）=0的根及f’（x）不存在的6、函数的极值如果函数f（x）在区间（a，b）内有定义，x0是（a，b）内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的定理（函数取得极值的必要条件）设函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’（x0）=0.定理（定理（函数取得极值的第二种充分条件）设函数f（x）在x0处具有二阶导数且f’（x0）=0，f’’（x0）≠0那么：（1）当f’’（x07、函数的凹凸性及其判定设f（x）在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[（x1+x2）/2][f（x1）+f（x1）]/2，那么称f（x）定理设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在（a，b）内f’’（x）0，则f（x）在判断曲线拐点（凹凸分界点）的步骤（1）求出f’’（x）；（2）令f’’（x）=0，解出这方程在区间（a，b）内的实根；（3）对于（2在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。
4.中值定理导数的应用
二、拉格朗日中值定理
如果函数 f(x) (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; 那么在(a,b)内至少有一点 ξ(a < ξ < b),使不等式
f (b) f (a) f ( )(b a)
成立. 注意: 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b). f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
2 t 2
x2
例 设函数y = y(x)由方程 y ln y x y 0
确定, 试判断曲线y = y(x)在点(1, 1)附近的凹凸性
例 设 a e ,0 x y
y x
2 x 求证 a a (cos x cos y )a ln a
例 证明不等式
1 1 1 （当 x < 1 且 x 0 ) x ln(1 x )
例 已知f (x)在(−∞,+∞)内可导，且 lim f ( x) e， x x xc lim lim[ f ( x) f ( x 1)] ,求c 的值. x x c x
例 求函数 f ( x) ( x t )e dt 的单调区间与极值。 1
( 定义 使导数为零的点即方程 f ( x ) 0 的实根)叫 做函数 f ( x ) 的驻点.
点 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 , 但函数的驻点却不一定 是极值点.
定理2(第一充分条件) 设函数f (x)在x0处连续,且 在x0某去心邻域内可导. (1)如果 x ( x0 , x0 ) ,有 f ( x) 0 ,而 x ( x0 , x0 ),
则称
则称
第三章 中值定理与导数的应用-13页word资料
第三章 中值定理与导数的应用教学目的：1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6、 知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。
教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。
§3. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)),那么f '(x 0)=0.罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立.(2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是所以f '(x )=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ), 使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f '(ξ)=a b a f b f --)()(,定理的证明: 引进辅函数令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-a b a f b f --)()((x -a ).容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-a b a f b f --)()(.根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即f '(ξ)-a b a f b f --)()(=0.由此得 a b a f b f --)()(= f '(ξ) ,即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ).定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立.拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而 f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数.例2. 证明当x >0时, x x x x <+<+)1ln(1.证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。
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中值定理及导数的应用(一)
的极大值点
中值定理及应用
2、若对于该邻域内任意的x(x x0 )
总有f (x) f (x0). 则称 f (x0)为函数
f (x) 的极小值，并称点 x0是 f (x)
的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函 数的极值，极大值点与极小值点统
称为函数的极值点。
D、若函数 f (x)在点 x0 连续，则 f (x0)
一定存在
中值定理及应用
四、函数的最大值与最小值
定义
设函数y f (x) 在闭区间[a,b]上有定
义，设 x0 [a,b], 若对于任意 x [a,b], 恒有f (x) f (x0)[或f (x) f (x0) ]，则称 f (x0)
为函数f (x)在闭区间[a,b]上的最大(小) 值。称 x0为f (x) 在闭区间[a,b]上的最
x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极大值 f (x0 );
2、若当 x (x0 , x0)时，f (x) 0, x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极小值 f (x0 );
中值定理及应用
3、若当x (x0 , x0 ) 和 x (x0, x0 ) 时，f (x) 的符号相同，则函数 f (x)
故函数 y x 4 的单调区间是
x (2,0),(0,2)
应选D
中值定理及应用
用函数的单调性证明不等式是一种 常用的方法。
一般步骤为： 假设证明 f (x) g(x)(x D)成立。
1、设 F(x) f (x) g(x) 2、求导数F ( x)并根据已知条件
判断F ( x)的正负。 从而判断 F ( x)的增减性。
第三章中值定理与导数的应用
lim
x
正确做法：
x sin x sin x lim lim(1 ) 1 x x x x
三、其它不定型 0 1 0
0 0
例8： lim x ln x
n x 0
( x 0)
0 型
1 ln x n x 解： lim ln x lim lim x x 0 x 0 1 x 0 n x xn lim 0 x 0 n
几何意义：在 (a, b)内存在平行于 x轴的切线
y
a
f ( x)
o
a
x
b
注：三个条件缺一个时，定理不一定成立
x 0 x 1 例：f ( x) x 1 0
在(0,1)可导，在x 1处不连续
y
f (0) 0 f (1)
f ' ( x) 1 0 x (0,1)
例 10：求 lim (sin x)
x 0
x
0型
解：y (sin x)
x
ln y x ln(sin x)
ln sin x lim ln y lim x ln sin x lim x 0 x 0 x 0 1 x cos x
x sin x lim lim ( ) x cos x 0 x 0 1 x0 sin x 2 x
例1：验证罗尔定理对函数y ln sin x在区间
5 [ , 的正确性 6 6 ] 5 解： y ln sin x在[ , ]上连续 6 6
y ln sin x在(
5
6 , 6
)上可导
1 5 且f ( ) ln f ( ) 6 2 6
中值定理与导数的应用-§3.1 中值定理
于是对于x0 x U ( x0 ) ,有 f ( x0 x) f ( x0 )
微积分 第3章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
f ( x0 x ) f ( x0 ) 当 x 0 时, 0; x f ( x0 x ) f ( x0 ) 0. 当 x <0 时, x 根据函数 f ( x ) 在 x0 处可导及极限的保号性得
微积分 第3章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
同理可知,方程还有两个根 2 , 3分别属于区间 2,3 及
3,4 . 因此，有且仅有三个实根，它们分别属于区间 1, 2 , 2, 3 及 3, 4 .
例3 若 f ( x )在区间 [a , b]上连续，在 ( a , b ) 内可导，且 满足 f ( x ) 0，及 f (a ) f (b) 0 ， 证明方程 f ( x ) 0
三、柯西中值定理
柯西中值定理 设函数 f ( x ) 及 F ( x ) 满足条件： (1）在闭区间 [a , b] 上连续； （2）在开区间( a , b ) 内可导, 且 F ( x ) 在 ( a , b ) 内每一点处均不为零. 则在 ( a , b ) 内 至少有一点 (a b), 使得
微积分 第3章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
（2）若 M m ， 由于 f (a ) f (b), 所以 M 和 m 至少有一个不 等于 f ( x ) 在区间 [a , b] 端点处的函数值.不妨设 M f (a ) ， 则必定在 (a, b) 有一点 使 f ( ) M . 因此任取 x [a, b] 均有 f ( x ) f ( ) ， 从而由费马引理有 f ( ) 0 . 证毕
中值定理与导数的应用
f (ξ + ∆x) − f (ξ ) 若 ∆x > 0, 则有 ≤0 ; ∆x
若 ∆x < 0, 则有
f (ξ + ∆x) − f (ξ ) ≥0 ; ∆x f (ξ + ∆x) − f (ξ ) ∴ f−′(ξ ) = lim ≥0 ; ∆x→−0 ∆x
f (ξ + ∆x) − f (ξ ) f+′(ξ ) = lim ≤ 0 ; Q f ′(ξ )存在, ∆x→+0 ∆x
ξ
分析 原式等价于 ξ f ′(ξ ) + f (ξ ) = 0， 即等价于
[ xf ( x)]′ x=ξ = 0.
因此构造辅助函数 ϕ( x) = xf ( x), 并对ϕ( x) 在[a, b] 定理. 上使用 Rolle 定理
证明 令ϕ( x) = xf ( x). 由题意知， ( x) 在[a, b] ϕ 由题意知， 又因为 f (a) = b, f (b) = a, 上连续， 内可导， 上连续，在(a, b)内可导， 所以 ϕ(a) = af (a) = ab = bf (b) = ϕ(b),
证明 结论可变形为
f ′(ξ ) f (1) − f (0) f ′(ξ ) . = 2 = ( x )′ x =ξ 1− 0 2ξ
设 g( x) = x2 ,
则 f ( x), g( x) 在 0,1]上满足柯西中值定理的 [ 条件,
∴在(0,1)内至少存在一点ξ , 有
f (1) − f (0) f ′(ξ ) = ， 即 f ′(ξ ) = 2ξ[ f (1) − f (0)]. 1− 0 2ξ
(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b) 内至少有一点 内每一点处均不为零， ξ(a < ξ < b),使等式
第四章中值定理与导数的应用1
例14. 求 lim n ( n n 1). 0型
则至少存在一点 (a, b) , 使得 f ( ) 0 .
y y f (x)
A
B
Oa
bx
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
费马(Fermat)引理：
且
存在
(或 )
证：设
则
0 0
y O x0 x
y y f (x)
注意：
O a
bx
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如，
A
Oa
弦 AB 的方程： y f (a) f (b) f (a) (x a)
ba
bx
利用罗尔中值定理 证明
注1：在[a, b]内的任意闭区间 [ x1, x上2 ],拉格朗日中值 定理均成立.
特别地, 若 x 与 x +Δx为区间(a, b)内的任意两点,则有
y f (x x) f (x) f (x x)x (0 1)
(化简)
lim
x0
2 cos3
x
2
连续使 用罗必 达法则
下面的介绍的是利用倒数法 或取对数法将其它的不定型 转化为可以运用罗必达法则 计算的例题 .
例8 求 lim x ln x . 0
x0
用另一种形式 颠倒行不行 ?
解
倒数法
lim
x0
x ln
x
lim
x0
ln x 1
x
行 , 但繁些 .
f (1) f (2 ) f (3) 0 . 其中, 1 (a, b) , 2 (b, c) , 3 (c, d ) ,
即 f (x) 0 至少有三个实根.
f (x) 是四次多项式, f (x) 是三次多项式,
中值定理与导数的应用2
中值定理与导数的应用237第三章中值定理与导数的应用一、内容提要1．中值定理罗尔中值定理如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且)()(b f a f =,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)(=ξ'f .拉格朗日中值定理如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使得))(()()(a b f a f b f -ξ'=-或 )()()(ξ'=--f ab a f b f .注意 1o拉格朗日中值定理在b a >时仍然成立；2o拉格朗日中值公式也可写为x x x f x f x x f θ+'=-?+)()()(000 )10(<θ<,称为函数的有限增量公式.推论1 若)(x f 在),(b a 内可微,且0)(≡'x f ,则)(x f 为常数.推论2 若)(x f 与)(x g 在),(b a 内可微,且)()(x g x f '=',则在),(b a 内有C x g x f +=)()(,其中C 为常数.柯西中值定理如果函数)(x f 及)(x g 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且)(x g '在),(b a 内每一点处均不为零,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使得)()()()()()(ξ'ξ'=--g f a g b g a f b f .拉格朗日中值定理又称微分中值定理,在微积分学中占有重要的地位.它表明函数在一个区间上的平均变化率等于函数在该区间上某一瞬时变化率.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形))()((b f a f =,而柯西中值定理又是它的推广.泰勒中值定理如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到1+n 阶的导数,则当),(b a x ∈时,)(x f 可以表示为0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x fx x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=其中)(x R n 为余项, 10)1()()!1()()(++-+ξ=n n n x x n f x R (ξ介于0x 与x 之间). 当)()1(x f n +为有界函数时,])[()(0n n x x o x R -= )(0x x →. 当00=x 时的泰勒公式)(!)0(!2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+= 称为麦克劳林公式.利用麦克劳林公式,可得常用的六个函数的展开式如下:38 )(!!212n nxx o n x x x e +++++= , ),(+∞-∞∈x ;)()!12()1(!7!5!3sin 2212753++++-++-+-=n n n x o n x x x x x x ,),(+∞-∞∈x ; )()!2()1(!6!4!21cos 122642++-++-+-=n n n x o n x x x x x , ),(+∞-∞∈x ; )(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x , ]1,1(-∈x ; )(1112n n x o x x x x+++++=- , )1,1(-∈x ; )(!)1()1(!2)1(1)1(2n nm x o x n n m m m x m m mx x ++--++-++=+ ,)1,1(-∈x .2．洛必达法则定理(0型) 设①当a x →时,函数)(x f 及)(x F 都趋于零;② 在点a 的某去心邻域内,)(x f '及)(x F '都存在且0)(≠'x F ; ③ )()(limx F x f ax ''→存在(或为无穷大); 那么 )()(lim )()(limx F x f x F x f a x ax ''=→→. 注意 1o定理中,将""a x →改为""+∞→x ,""-∞→x 或者""∞→x ,在相应的条件下,结论也成立.2o对""a x →或""∞→x 时的未定式∞∞""型,亦有相应的洛必达法则.3．函数的性态函数单调性的判别法设函数)(x f y =在],[b a 上连续,在),(b a 内可导.若在),(b a 内)0)((0)(<'>'x f x f ,则函数)(x f y =在],[b a 上单调增加(减少).定理1（极值的必要条件）设函数)(x f 在点0x 处可导,且在0x 处取得极值,则0)(0='x f .定理2（极值的第一充分条件）设函数)(x f 在0x 的某一邻域内可导,且0)(0='x f .如果在该邻域内:① 当0x x <时0)(<'x f ；当0x x >时0)(>'x f ,则)(x f 在0x 处取得极小值.② 当0x x <时0)(>'x f ；当0x x >时0)(<'x f ,则)(x f 在0x 处取得极大值.③ 当0x x <或0x x >时,)(x f '不改变符号,则)(x f 在0x 处不取得极值.定理3（极值的第二充分条件）设函数)(x f 在0x 的某一邻域内二阶39可导,且0)(0='x f ,而0)(0≠''x f ,则① 当0)(0>''x f 时,)(x f 在0x 处取得极小值. ② 当0)(0<''x f 时,)(xf 在0x 处取得极大值. 函数最值的求法设)(x f 在],[b a 上连续,n x x x ,,,21 是)(x f 的驻点或使)(x f '不存在的点,则)(),(,),(),(1b f x f x f a f n 中最大(小)者为)(x f 在],[b a 上的最大(小)值.凹凸性定义设)(x f 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点21,x x ,恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 那么就称)(x f 在区间I 上的图形是凹的（或凹弧）;如果恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 那么就称)(x f 在区间I 上的图形是凸的（或凸弧）.凹凸性的判定方法定理设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内二阶可导,那么① 若在),(b a 内0)(>''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的. ② 若在),(b a 内0)(<''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的. 拐点的判定方法设函数)(x f y =在0x 的某一邻域内二阶可导,且0)(0=''x f (或不存在),如果在该邻域内:①)(x f ''在0x 点的左右两侧异号,则))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点. ②)(x f ''在0x 点的左右两侧同号,则))(,(00x f x 不是曲线)(x f y =的拐点.函数渐近线的求法①若∞=→)(lim 0x f x x ,则0x x =是函数)(x f y =的垂直渐近线.②若0)(lim y x f x =∞→,则0y y =是函数)(x f y =的水平渐近线.③若b ax x f a xx f x x =-≠=∞→∞→])([lim ,0)(lim,则b ax y +=是函数)(x f y =的斜渐近线.曲率公式设曲线的直角坐标方程是)(x f y =,且)(x f 具有二阶导数,则曲率232)1(y y K '+''= 二、例题解析1．中值定理40 例 3.1 对函数x x f sin )(=及x x x F cos )(+=在区间]2,0[π上验证柯西中值定理的正确性.证明函数)(x f 与)(x F 在区间]2,0[π上连续,在区间)2,0(π内可导,且)),2,0(( 0sin 1)(π∈≠-='x x x F 即满足柯西中值定理的条件.,221201)0()2()0()2(-π=-π-=-π-πF F f f ).24cot(sin 1cos )()(x x x x F x f -π=-='' 令)()()0()2()0()2(x F x f F F f f ''=-π-π,即=-π22).24cot(x -π由于),1,0(22∈-π解得)2,0(22arctan 22π∈-π-π=x .取22arctan22-π-π=ξ, 就有,)()()0()2()0()2(ξ'ξ'=-π-πF f F F f f 且)2,0(π∈ξ.所以,对]2,0[π上的)(x f 与)(x F 柯西中值定理是正确的.注意凡是验证定理正确与否的命题,一定要验证两点:①定理的条件是否满足;②若条件满足,求出定理结论中的ξ值.例 3.2 若方程01110=+++--x a x a x a n n n 有一个正根0x x =,证明: 0)1(12110=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根.证明设x a x a x a x f n n n 1110)(--+++= ,可见0)0(=f ,又依题意,有0)(0=x f .并注意到12110)1()(---++-+='n n n a x n a nx a x f ,于是)(x f 在],0[0x 上满足罗尔定理条件,故存在),0(0x ∈ξ,使得0)(=ξ'f ,即0)1(12110=++-+---n n n a x n a nx a 有根),0(0x ∈ξ.例3.3 证明方程015=-+x x 只有一个正根. 证明设1)(5-+=x x x f . (1) 根的存在性因为)(x f 在[0,1]上连续,而且01)1(,01)0(>=<-=f f ,故由闭区间上连续函数的零点定理可知,存在)1,0(∈ξ,使得0)(=ξf .(2) 根的唯一性假设有两个根21x x ≠,不妨设21x x <,由于)(x f 在],[21x x 上连续, ),(21x x 内可导.由罗尔定理,存在),(21x x ∈ξ,使得0)(=ξ'f .而=ξ')(f 0154≠+ξ,矛盾.故)(x f 的根唯一.41综上所述,结论成立. 另证根的唯一性因015)(4>+='x x f ，即)(x f 在),(+∞-∞上单增，故0)(=x f 最多有一根.综上，015=-+x x 只有一个正根.例3.4 设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导,且0)1()0(==f f , 1)2 1(=f .试证明至少存在一个)1,0(∈ξ使1)('=ξf . 分析此类证明题的关键是由题目中的结论构造出罗尔定理中的函数)(x F ，方法如下：由1)(=ξ'f 得1)(='x f 进而得x x f =)(于是有0)(=-x x f . 令x x f x F -=)()(证明令x x f x F -=)()(显然，)(x F 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导.又02121)21()21(,011)1()1(>=-=<-=-=f F f F由零点定理可知，存在一个)1,21(∈η，使0)(=ηF .又00)0()0(=-=f F ,对)(x F 在],0[η上用罗尔定理，至少存在一个),0(η∈ξ)1,0(?，使得0)(=ξ'F ，即1)(=ξ'f .例3.5 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ，证明至少存在一个),(b a ∈ξ，使0)()()(=ξ'?ξ+ξ'g f f .分析要证0)()()(=ξ'?ξ+ξ'g f f ,只需证0)]()()([)(=ξ'?ξ+ξ'ξg f f e g ,也即只需证0])([)(='ξ=x x g e x f .故可令)()()(x g e x f x F =.证明作辅助函数)()()(x g e x f x F =，则0)()(==b F a F .易验证)(xF 在],[b a 上满足罗尔定理的条件，故至少存在一点),(b a ∈ξ, 使0)(=ξ'F , 即0)()()()()(=ξ'ξ+ξ'ξξg g e g f e f .又0)(≠ξg e ,故0)()()(=ξ'?ξ+ξ'g f f .例3.6 )(x f 在],0[a 上连续,在),0(a 内可导,且0)(=a f ,证明:存在),0(a ∈ξ,使0)()(=ξ'ξ+ξf f .分析要证0)()(=ξ'ξ+ξf f ,只需证0])([='ξ=x x xf ,故可令)()(x xf xF =. 证明设)()(x xf x F =,则)(x F 在],0[a 上连续,在),0(a 内可导,且0)()(,0)0(===a af a F F ,由罗尔定理知:存在),0(a ∈ξ,使得0)(=ξ'F .即0)()(=ξ'ξ+ξf f .故结论成立.例3.7 假设函数)(),(x g x f 在],[b a 上存在二阶导数,并且)(x g ''0≠,===)()()(a g b f a f 0)(==b g ,试证:(1) 在开区间),(b a 内0)(≠x g ;(2) 在开区间),(b a 内至少存在一点ξ,使)()()()(ξ''ξ''=ξξg f g f .42 证明 (1)用反证法.若存在点),(b a c ∈,使0)(=c g ,则对)(x g 在[a ,c ]和[c ,b ]上分别用罗尔定理，知存在),(),,(21b c c a ∈ξ∈ξ,使0)()(21=ξ'=ξ'g g .再对)(x g '在],[21ξξ上应用罗尔定理,知存在),(213ξξ∈ξ,使0)(3=ξ''g .这与题设0)(≠''x g 矛盾.故在),(b a 内0)(≠x g .(2)分析要证)()()()(ξ''ξ''=ξξg f g f ,只需证0)()()()(=ξ''ξ-ξ''ξf g g f , 亦即0)()()()()()()()(=ξ''ξ-ξ'ξ'-ξ'ξ'+ξ''ξf g g f g f g f , 即 0])()()()([=''-'ξ=x xg x f x g x f .证明令)()()()()(x g x f x g x f x F '-'=.易知0)()(==b F a F .由罗尔定理知,存在),(b a ∈ξ,使0)(=ξ'F .即0)()()()(=ξξ''-ξ''ξg f g f .因为0)(,0)(≠ξ''≠ξg g ,故得)()()()(ξ''ξ''=ξξg f g f . 例 3.8 设)(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明至少存在一点),(b a ∈ξ，使)()()()(ξ'ξ+ξ=--f f a b a af b bf .分析令k ab a af b bf =--)()(可得ka a af kb b bf -=-)()(显然，这是一个对称式（a 与b 互换等式不变）,可作辅助函数kx x xf x F -=)()(.证明令x ab a af b bf x xf x F ---=)()()()(,显然，)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导,且0)()(=-a F b F .由罗尔定理,至少存在一个),(b a ∈ξ,使0)(=ξ'F .即0)()()()(=---ξ'ξ+ξab a af b bf f f . 亦即)()()()(ξ'ξ+ξ=--f f ab a af b bf .另证令)()(x xf x F =，在],[b a 上应用拉格朗日定理知，存在),(b a ∈ξ，使)()()(ξ'=--F a b a F b F ，即)()()()(ξ'ξ+ξ=--f f ab a af b bf .小结欲证结论: 至少存在一个),(b a ∈ξ,使得k F n =ξ)()((不为0的常数)及其代数式,常见证题方法有二种:(1)作辅助函数)(x F ,验证)(x F 满足罗尔定理条件, 由定理即得所证结论;(2)作辅助函数)(x F ,对)(x F 应用拉格朗日定理可得结论.例 3.9 若)(x f 在),(b a 内具有二阶导数,且)()(21x f x f =)(3x f =,其中b x x x a <<<<321,证明:在),(31x x 内至少有一点ξ,使得0)(=ξ''f .分析若用罗尔定理证明0)(=ξ''f ,只要证明)(x f '有两个不同的零点. 证明由于)(x f 在],[21x x 与],[32x x 上都满足罗尔定理的条件,从而在),(21x x 与),(32x x 内分别存在1ξ与1ξ(即32211x x x <ξ<<ξ<),使得430)(1=ξ'f ，0)(2=ξ'f .据题设条件知,导函数)(x f '在],[21ξξ上连续且可导,因此对)(x f '在],[21ξξ上使用罗尔定理,得知:存在),(),(3121x x ?ξξ∈ξ,使得0)(=ξ''f .例 3.10 已知)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内)(x f ''存在，又连结))(,(a f a A ,))(,(b f b B 两点的直线交曲线)(x f y =于))(,(c f c C ，且b c a <<,试证在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(=ξ''f .证明由题意，可对)(x f 在],[c a ，],[b c 上分别利用拉格朗日中值定理，于是有),(,)()()(11c a a c a f c f f ∈ξ--=ξ'; ),(,)()()(22b c cb c f b f f ∈ξ--=ξ'A.B.C 三点在同一直线上,ab a f b fc b c f b f a c a f c f --=--=--∴)()()()()()( 故)()(21ξ'=ξ'f f , 因而)(x f '在],[21ξξ上满足罗尔定理的条件. 于是至少存在一点),(),(21b a ?ξξ∈ξ, 使得0)(=ξ''f .例 3.11 若)(x f 在]1,0[上有三阶导数,且0)1()0(==f f ,设)()(3x f x x F =,试证在)1,0(内至少存在一点ξ,使0)('''=ξF .证明写出)(x F 在0=x 处的二阶泰勒展开式为32)(!31)0(!21)0()0()(x F x F x F F x F ξ'''+''+'+=,)()(3)(32x f x x f x x F '+=' ,)()(6)(6)(32x f x x f x x xf x F ''+'+='',0)0()0()0(=''='=∴F F F .于是3)(!31)(x F x F ξ'''= .又0)1()1(==f F , 0)(!31=ξ'''∴F .故0)(=ξ'''F .思考该题也可用罗尔定理做，留给读者完成.小结欲证结论:至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)()(=ξn f .常见证题方法有二种:(1)验证)()1(x f n -在],[b a 上满足罗尔定理条件,由定理即可得命题的证明;(2)用泰勒公式证.例 3.12 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,证明:存在),(b a ∈ξ,使得)()()()()()()()()(ξ'ξ'-=g a g f a f a b b g a g b f a f . 分析欲证结论,只需证)]()()()()[()()()()(ξ'-ξ'-=-f a g g a f a b b f a g b g a f即 )]()()()([)]()()()([a f a g a g a f b f a g b g a f ---ξ])()()()()[(='--=x x f a g x g a f a b44 证明作辅助函数)()()()()(x f a g x g a f x -=?,则)(x ?在],[b a 上满足拉格朗日中值定理,因此存在),(b a ∈ξ,使得)()()()(ξ?'-=?-?a b a b ,即为结论.例 3.13 证明:若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式)()(x f x f =',且1)0(=f ,则x e x f =)(.分析欲证x e x f =)(,只需证1)(=-x e x f ,即证0])([='-x e x f . 证明设x e x f x -=?)()(,则))(()()('+'=?'--x x e x f e x f x 0)()(=-'=--x x e x f e x f . 由拉格朗日中值定理推论得C x ≡?)(.又1)0(=f ,得1)0()0()(0==?≡?e f x .即x e x f =)(.例 3.14 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,b a <<0,证明必存在),(,b a ∈ηξ,使得)(2)(η'η+=ξ'f ba f . 证明设2)(x x g =.因为b a <<0, 所以),(,02)(b a x x x g ∈≠='. 显然)(),(x g x f 在],[b a 上满足柯西中值定理条件,于是存在),(b a ∈η,使得ηη'=--2)()()(22f ab a f b f , 即)(2)()(η'η+=--f ab a b a f b f 又因)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理，故存在),(b a ∈ξ,使得)()()(ξ'=--f a b a f b f .于是,可得),(,),(2)(b a f ba f ∈ηξη'η+=ξ'. 例 3.15 设不恒为常数的函数)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且)()(b f a f =.证明至少存在一个),(b a ∈ξ,使0)(>ξ'f .证明因为)()(b f a f =且)(x f 不恒为常数,所以至少存在一点),(b a c ∈, 使得)()()(b f a f c f =≠.不妨设)()()(b f a f c f =>.显然)(x f 在],[c a 上满足拉格朗日中值定理条件,于是至少存在一个),(),(b a c a ?∈ξ,使 0)()()(>--=ξ'ac a f c f f .同理可证)()()(b f a f c f =<的情形. 例3.16 证明下列不等式：（1）)0( ln >>-<<-b a bb a b a a b a ；（2）b a b a -≤-arctan arctan ；（3）当1>x 时,ex e x >.分析 (1)由于b a baln ln ln -=,所以可以构造函数x x f ln )(=,然后利用中值定理.(2),(3)中所用函数显而易见.证明 (1)设x x f ln )(=,由于)(x f 在],[a b 上满足拉格朗日中值定理条件,45故存在),(a b ∈ξ,使得ba b ab a b f a f f -=--=ξ=ξ'ln)()(1)(. 由于a b <ξ<<0,故ba 111<ξ<,于是,得b b a b aa 1ln1<-<,即)0( ln >>-<<-b a bba b a a b a ,（因为0>-b a ）. (2)不妨设b a >.令x x f arctan )(=,则)(x f 在],[a b 上满足拉格朗日中值定理条件,故存在),(a b ∈ξ,使得ba b f a f f --=ξ+=ξ')()(11)(2.于是1)()(1102<--=ξ+<ba b f a f ,又b a >,故有b a b f a f -<-<)()(0.综上可得b a b a -≤-arctan arctan .当b a <时,同理可证结论成立.(3)设x e x f =)(,任意10>x ,则)(x f 在],1[0x 上满足拉格朗日中值定理条件,故存在),1(0x ∈ξ,使得11)1()()(0000--=--==ξ'ξx ee xf x f e f x .而e e f >=ξ'ξ)((因为1>ξ),故)1()1)((000->-ξ'=-x e x f e e x .即00ex e x >.由0x 的任意性,故对1>x ,有ex e x >.注意本例的(2),(3)两题也可以利用函数的单调性证明.例3.17 设20,π<<<>y x e a ,证明: a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.分析原不等式等价于a a xy a a x xy ln cos cos -<--,由不等式左端形式,可知用柯西中值定理证明命题可能会成功.证明令t t g a t f t cos )(,)(==.由题设条件可知:)(),(t g t f 在)20(],[π<<<="">件.故有)()()()()()(ξ'ξ'=--g f x g y g x f y f即ξ-=--ξsin ln cos cos a a x y a a x y , 20π<<ξ<<="" bdsfid="450" p="" x="">所以ξ-=-ξsin 1ln )cos (cos a a y x a a x y a a y x a a y x x ln )cos (cos ln )cos (cos ->->ξ.例3.18 设)(),(x g x f 都是可导函数,且)()(x g x f '<',证明:46 当a x >时,)()()()(a g x g a f x f -<-.分析既然问题与两个函数有关,可尝试用柯西中值定理来解决.证明因为)(),(x g x f 可导,且由0)()(≥'>'x f x g 得0)(≠'x g ,故)(),(x g x f 满足柯西中值定理条件,因此,在区间],[x a 上,有)( )()()()()()(x a g f a g x g a f x f <ξ<ξ'ξ'=--由条件1)()(<''x g x f ,及0)(>'x g ,故1)()()()(<--a g x g a f x f ,即)()()()(a g x g a f x f -<-.又由拉格朗日中值定理得)( )()()()(11x a g a x a g x g <ξ<ξ'-=-,而0)(>'x g ,于是0)()(>-a g x g ,从而有 )()()()(a g x g a f x f -<- (a x >).例 3.19 设)(x f 在),(b a 内二阶可导,且0)(≥''x f .证明对于),(b a 内任意两点21,x x 及10≤≤t ,有)()()1(])1[(2121x tf x f t tx x t f +-≤+-.证明设021)1(x tx x t =+-，)(x f 在0x 点的一阶泰勒展开式为20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -ξ''+-'+=(ξ介于x 与0x 之间)显然 ))(()()(000x x x f x f x f -'+≥,于是 ))(()()(01001x x x f x f x f -'+≥ (1)))(()()(02002x x x f x f x f -'+≥ (2)(1)×(1-t )+(2)t 得))(()())(()1()()1()()()1(020*******x x x f t x tf x x x f t x f t x tf x f t -'++-'-+-≥+- )]())(1)[(()(020100x x t x x t x f x f -+--'+= ])1)[(()(20100tx x x t x f x f +--'+=)(0x f =.命题得证.2．洛必达法则例3.20 求下列极限:xb a x x x -→0lim )1(; θ-πθπ→θ2sin lim; 2cos lim)3(x bx x ∞→;x x x x sin 1sinlim)4(20→; n n n ln lim)5(∞→; (6) xx x s i n 0l i m +→; (7)nx xn xx x n a a a ]/)[(lim 11211+++∞→ (其中0,,21>n a a a );(8) 3220)1(22lim-+-+→x xx x x x e e e xe xe ; (9) )]1 1ln([lim 2xx x x +-∞→(1) 解 x b a x b a x x x xx x ''-=-→→)(lim lim 00b a b b a a x x x ln ln 1ln ln lim 0-=-=→ 常见错解 )(lim lim 00'-=-→→xb a x b a xx x x x x ='--'-=→2)()(limx x b a x b a x x x x x错误原因第一个等号是错的,洛必达法则不是对商求导.(2) 解因为 0s i n 2l i m 2=θθ-ππ→θ, 所以∞=θ-πθπ→θ2sin lim 2.常见错解 02cos lim )2()(sin lim 2sin lim222=-θ='θ-π'θ=θ-πθπ→θπ→θπ→θ. 错误原因分子θsin 在2π→θ时,极限为1.故所求极限不是未定式,不满足洛必达法则的条件.(3) 解因∞→x 时, 01,22→∞→xx ,而1cos ≤bx 为有界量,由无穷小的性质知0cos 1limcos lim22=?=∞→∞→bx xxbx x x .常见错解 xbxb x bx x bx x x x 2sin lim)()(cos limcos lim22-=''=∞→∞→∞→2sin lim 2bbx bx b x -=-=∞→. 错误原因 bx cos 在∞→x 时,极限不存在,不满足洛必达法则的第一个条件.另外,1sin lim =∞→bxbxx 也是错误的.(4) 解 x x x x x x x x x 1sin sin lim sin 1sinlim020?=→→0011sin lim sin lim 00=?=?=→→xx x x x x . 常见错解 )(sin )1sin (lim sin 1sin lim2020''=→→x x x x x x x x xx x x x cos 1cos 1sin 2lim 0-=→. 因为当0→x 时,x1cos 无极限,故原极限不存在.错误原因 )()(lim x g x f ''不存在(非∞型),不能推出)()(lim x g x f 不存在;(5) 解因为 01lim )()(ln lim ln lim==''=+∞→+∞→+∞→x x x xx x x x ,所以0ln lim =∞→n nn .48 常见错解 01lim )()(ln lim ln lim==''=∞→∞→∞→nn n n n n n n .错误原因对于数列的极限,不能直接用洛必达法则来求. (6) 解 x x x xx x e e exxx x xx ln 0ln sin 0lim lim ln sin 0sin 0lim lim +→+→===+→+→10lim )(lim 21101ln 0====-+→+→'e e e xxx xxx L()(L '表示该步骤用了洛必达法则)另解令x x y sin =,则x x y ln sin ln =.于是0tan lim cot 1lim csc ln lim ln sin lim ln lim 2020)(000=-=-===+→+→'+→+→+→x x x x x x x x y x x L x x x 所以 1lim 0sin 0==+→e x x x .(7) 解 nxxn xxx na a a )(lim 11211+++∞→ nxxx x x na a a x e)ln(11211lim +++∞→=u na a a n x u u n u u u eln )ln(lim 1210-+++?=→=n nun u u a a a a a a n L e++++?'→= 1110ln ln lim )(n na a n a a a en21ln ln 1==++?.也可类似于（6）给出另解.(8) 解因0→x 时,1-x e ～x ，故616lim 31lim 321lim )22(lim )22(lim)1(22lim0)(2020)(3033220=-+=-+=-++=+-+=+-+?=-+-+→'→→'→→→x e xe e x e xe x e xe e x e x xe x e x xe e e e e xe xe x x x x L x x x x x x x L x x x x x x x x xx x x x616lim 31lim 321lim )22(lim )22(lim)1(22lim0)(2020)(3033220=-+=-+=-++=+-+=+-+?=-+-+→'→→'→→→x e xe e x e xe x e xe e x e x xe x e x xe e e e e xe xe x x x x L x x x x x x x L x x x x x x x x xx x x x(9) 解 )]11ln(1[lim )]11ln([lim 22xx x x x x x x +-=+-∞→∞→492012)1ln(lim 1)11ln(1lim t t t x x x t xt x +-=+-=→=∞→ 21)1(21lim 2111lim 00)(=+=+-=→→'t t t t t L 注意此题也可用泰勒展开公式做.小结用洛必达法则应注意的事项:①运用洛必达法则时,一定要注意条件.当∞→x 时,极限中含有x x cos ,sin ; 或当0→x 时,极限式中含有xx 1cos ,1sin 时,不能用法则.②只要满足洛必达法则的条件,洛必达法则可一直用下去; ③每用完一次法则，要将式子整理化简;④为简化运算经常将法则与等价无穷小结合使用;⑤用变量代换使求导运算简单，从而使洛必达法则更有效. 例3.21 设)(0x f ''存在,证明)()(2)()(lim 020000x f hx f h x f h x f h ''=--++→. 证明 20000)(2)()(lim h x f h x f h x f h --++→hh x f h x f h L 2)()(lim000)(-'-+'=→' -'--'+'-+'=→h x f h x f h x f h x f h 2)()(2)()(lim 00000 )()(21)(21000x f x f x f ''=''+''=. 3. 函数的单调性、凹凸性、极值等问题例3.22 求下列函数的单调区间.(1) )0(2>-=a x ax x y ; (2)x x y 2sin +=. 解 (1) 函数的定义域为],0[a .,2)43(2432)2(2222x a x a x xax x ax x ax x a x x ax y --=--=--+-='在],0[a 上，当a x 43=时,0='y .因此,考虑把],0[a 分成两个区间)43,0(a ,),43(a a . 在)43,0(a 内, 0>'y ,函数单调增加;在),43(a a 内, 0<'y ,函数单调减少.50 即函数)0(2>-=a x ax x y 的单调增加区间为]43,0[a ,单调减少区间为],43[a a . (2) )( ,2,2sin ,2,2sin Z k k x k x x k x k x x y ∈??π+π≤≤π+π≤≤π-π-=,2,2c o s 21,2,2c o s 21??π+π≤≤π+π≤≤π-π-='k x k x k x k x y . 令0='y ，即由,2,02cos 21,2,02cos 21??π+π≤≤π=+π≤≤π-π=-k x k x k x k x 得3π+π=k x 及6 π-π=k x ，由于π=-π22k ,29-,故y 在??+32,2上单调增加，在π+ππ+π22,32k k 上单调减少. 例3.23 求函数232)5()1(-+=x x y 的极值. 解函数的定义域为),(+∞-∞.)5()1(2)5(1323223-++-+='x xx x y 313)12)(5(4+--=x x x令0='y ,得5,21==x x.又当1-=x 时,y '不存在.51故函数在1-=x ,5=x 处有极小值0;在21=x 处有极大值318881. 例3.24 求数列}{n n 的最大值. 解设xx x f 1)(=,则)(x f 在),0(+∞上连续且可导:2ln ln ln 1)(x x e e x f xx x x -='=', 令0)(='x f ，得驻点e x =.在],0(e 上,0)(>'x f ,)(x f 单调增加,于是)2()1(f f <;在),[+∞e 上,0)(<'x f ,)(x f 单调减少,于是 >>)4()3(f f ,因此,}{nn 的最大值为{}33133)3(),2(m ax ==f f .例3.25 证明下列不等式：（1）α≤+-αtt1 其中t ),,1(+∞-∈α在0与α之间；（2）22x x > )4(>x .证明 (1) 令α-+-α=ttt f 1)()(,0)1(1)(2t f t t f ∴<+α--=' 单调减少.又α-=α=)(,0)0(f f ,∴01≤α-+-α≤α-t t 或α-≤α-+-α≤t t10, 即α≤+-α≤t t 10或01≤+-α≤αt t ,故α≤+-αtt1.(2) 由于22x x >等价于x x ln 22ln >,可设x x x f ln 22ln )(-=,则xx f 22ln )(-=',在),4[+∞上单调增加,于是,当4>x 时,04ln 21422ln )4()(>=-='>'ef x f ,从而)(x f 在),4[+∞上单调增加, 当4>x 时,有 04ln 22ln 4)4()(=-=>f x f , 即 x x ln 22ln >. 亦即 22x x >.例3.26 设1,10>≤≤p x ,证明不等式:1)1(211≤-+≤-p p p x x .证明令p p x x x f )1()(-+=则 =')(x f ])1([)1()1(1111------=--+p p p p x x p x p px])1()[1( )1)(1()1()(2222-----+-=--+-=''p p p p x xp p x p p x p p x f52 令 0)0(='f ,得21=x , 于是)1( ,0])21()21)[(1( )21(22>>+-=''--p p p f p p故 )(x f 在21=x 处取得极小值.121)21(,1)1()0(-===p f f f ,)(x f ∴在]1,0[上的最大值为1,最小值为121-p .故 1)1(211≤-+≤-p p p p x .例3.27 证明不等式:)(22y x e e e yx yx ≠>++ 证明令te tf =)(,0)(>=''t e t f ,∴t e t f =)(在),(y x 或),(x y 区间内是凹的,于是)2()]()([21y x f y f x f +>+,即)(22y x e e e yx yx ≠>++. 例3.28 设0)0(,0)(=<''f x f ，证明：对任何0,021>>x x 有)()()(2121x f x f x x f +<+. 证明由拉格朗日中值定理得1111110 ),()0()()(x f x f x f x f <ξ<ξ'=-= 211221221 ),()()(x x x f x x f x x f +<ξ<ξ'=-+不妨设21x x ≤,从而21ξ≤ξ,)(,0)(x f x f '∴<'' 单调减少,因而)()(12ξ'<ξ'f f 故 ),()()()(111221x f f x x f x x f =ξ'<-+ 即 )()()(2121x f x f x x f +<+.小结要证明由初等函数构成的不等式)()(x x ψ>?在某区间I 内成立,基本方法有四个:其一,令)()()(x x x f ψ-?=,利用)(x f 在I 上的单调性质,证明在I 上0)(≥x f ;其二，若)(x f 在I 上不是单调的，则证明)(x f 的最小值0≥，从而得0)(≥x f ；其三，若题设中的函数具有二阶或二阶以上可导的性质，且最高阶导数的大小或上下界可知时，可用泰勒展开式（或麦克劳林展开式）证明；其四，利用中值定理证明.例3.29 证明方程0253=--x x 只有一个正根.证明设25)(3--=x x x f ,则)(x f 在),0[+∞上连续且可导,53)(2-='x x f ,令0)(='x f ,则在区间),0[+∞内, )(x f 有一个驻点35=x .53由35=x 把),0[+∞分成两个单调区间]35,0[和),35[+∞,由于0235310)35(,02)0(<-?-=<-=f f ,故)(x f 在]35,0[上无零点;又+∞=+∞→)(lim x f x ,而0)35(<="" 在该区间上的单调性,故)(x="">5[+∞上有唯一零点. 从而原方程有一正根,且正根唯一.例3.30 试讨论方程)0(>=-a a xe x 的实根.解令a xe x f x -=-)(,则方程a xe x =-的实根的个数相当于)(x f 的零点的个数.为此研究)(x f 的单调性及极值（或最值）. 令0)1()(=-='-x e x x f 得1=x ,列表:1=x 是)(x f 唯一驻点，a e f -=)1(为),(+∞-∞上的极大值，因此也是最大值，以下就a e f -=-1)1(与x 轴的相对位置讨论)(x f 的零点. (1)若a e f -=-1)1(<0,即),1(1a e --位于x 轴下方,由表可知, )(x f 与x 轴不会有交点,因此)(x f 没有零点;(2)若a e f -=-1)1(=0,即),1(1a e --位于x 轴上,由表可知, )(x f 与x 轴除点),1(1a e --外再不会相交,因此)(x f 只有唯一零点;(3)若a e f -=-1)1(>0,即),1(1a e --位于x 轴上方,由表可知, )(x f 在)1,(-∞内“↗”,且-∞=-=--∞→-∞→)(lim )(lim a xe x f x x x ,可知)(x f 在)1,(-∞内有且仅有唯一零点;而)(x f 在),1(+∞内“↘”,且0)(lim <-=+∞→a x f x ,可知)(x f 在),1(+∞内也有且仅有唯一零点.总之,在这种情况下)(x f 在),(+∞-∞内有且仅有二个零点.综上所述,当a e --1<0,即1->e a 时,方程没有实根;当1-=e a 时,方程有唯一实根;当1-<="">例3.31 求曲线23x xy -=的拐点及凹凸区间.解函数的定义域为3±≠x .222)3(3x x y -+=', 322)3()9(2x x x y -+=''在定义域内令0=''y ,得0=x .因此可得下表:54间为)3,(--∞∪)3,0[.例3.32 求曲线323,t t y t x +==的拐点.分析先注意所给曲线的横坐标x 与纵坐标y 的函数关系.由于任意取定0>x ,对应于两个参数x t ±=,于是对应了两个y 值,即y 是x 的双值函数.因此,所给曲线实际上是两个单值函数y = )(1x y 与y =)(2x y 的曲线,并且两条曲线在点(0,0)处相联结,所以应在两条曲线上分别找拐点.解由t t t t dtdx dt dydx dy 23232332+=+==,得32224)1(3)2323()(t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d -=?+==, 令022=dxy d ,得1±=t ,即得到点)4,1(±.对点(1,4),相应于1=t ,有: 当,1<="">2x 即1>t ,有022>dxy d ,故点(1,4)是拐点;对点(1,–4),相应于1-=t ,有: 当,1t 有022x 即,1-<="">022>dx y d ,故点(1,–4)也是拐点.注意拐点是位于xoy 平面曲线上的点,对参数方程来说,不能用参数的大小来判定拐点,而应该以自变量x 的大小来判定,即在y ''的零点(或y ''不存在的点)0x 的两侧，而不是在相应参数0t 的两侧确定y ''的符号而判定))(,(00x f x 是否为拐点.例3.33 综合填空：(1) 设在[0,1]上0)(>''x f ，则)0()1(),1(),0(f f f f -''或-)0(f )1(f 的大小顺序是_____________.(a) )0()1()0()1(f f f f ->'>'; (b) )0()0()1()1(f f f f '>->';(c) )0()1()0()1(f f f f '>'>-; (d) )0()1()0()1(f f f f '>->'. 解∴>'',0)(x f 在]1,0[上)(x f '单增. 又),()0()1(ξ'=-f f f )10( <ξ<,可知)1()()0(f f f '<ξ'<',于是 (b)入选.55(2) 设在),(+∞-∞内,0)0(,0)(≤>''f x f 则函数xx f )(_______. (a) 在)0,(-∞内单调减少,在),0(+∞内单调增加;(b) 在)0,(-∞∪),0(+∞内单调减少;(c) 在)0,(-∞内单调增加,在),0(+∞内单调减少; (d) 在)0,(-∞∪),0(+∞内单调增加.解 2)()()(x x f x f x x x f -'=',令)()()(x f x f x x F -'=, )()()()()(x f x x f x f x x f x F ''='-''+'='因为在),(+∞-∞内0)(>''x f ,所以当0>x 时,0)(>'x F ;当0<x 时,=""0)(<'x="" f="" 又)0)0((="" ,0)0()0(0)0(≤≥-'?="f" .故在)0,(-∞及),0(+∞内均<="" p="" bdsfid="965">。
中值定理导数的应用知识点
一、四个中值定理பைடு நூலகம்关系
推 广 推 广
罗 拉格朗日定理 柯
尔 特例 推 特例 特例 西
定 广 定
理 理
泰勒定理
二、微分中值定理
名称
条件
结论
罗尔定理
在 内存在
使得
拉格朗日定理
在 内存在
使得
推论1
在定理条件下，若
则 （ 为常数）
推论2
若 都满足定理条件，
且
则
（ 为常数）
柯西定理
、
、 在 内存在
使得
三、洛比达法则
类型
条件
结论
或
型
1若 时， （或 ）；
2在 内， 和 都存在，且
③ （有限或 ）（ 可以是 ）
四、其他不定型转化为 或
不定型
转 化 过 程.
；或
五、泰勒公式
分 类
定 理
泰勒公式
设 在含有 的某开区间 内具有直到 阶的导数，则 其中 。
麦克劳林公式
六、可导函数单调性的判定
若 ，又 存在，则
是 的一条斜渐近线
九、弧微分
1. 时，
2. 时，
3. 时，
定理（判别法）
设 ，在 内可导，则
① 上单调递增
② 上单调递减
七、曲线凹凸性的判定定理
定理
补充说明
设 ， 在 上存在， 为凹弧
设 ， 上可导， 为凹弧 在 内上升。
曲线为凹弧 切线斜率
单调递增
八、曲线的渐近线
铅直渐近线
若 或 ，则 是
的铅直渐近线（ 可以是 ）
水平渐近线
若 或 ，则 是
的水平渐近线
斜渐近线
中值定理与导数应用
x 0 x 1
满足12，但不满足3
g(x) 0
x1
4, R Th的三个条件是充分的 但非必要的如：
x 23 1 x 3
但g( x)在 x 2处有平行于 x 轴的切线。
9
例：验证f ( x) cos x
在[0，2 ]上R Th的正确性
证：显然cos x在[0,2 ]上满足1、2，
且f (0) f (2 ) 1,满足(3)
至少一点x0 a,b f x0 0,再证唯一性: 用反证法 若还有x1 x0, x1 a,b有f x1 0， 不妨设x1 x0,则在[x0, x1]上f ( x)满足R Th [x0, x1] a,b
至少一点 （x0, x1） f ( ) 0矛盾 f ( x)的零点唯一
13
例
证：显然f x、F x在[1，2]上连续，1，2内可导， 且Fx 2x 0
f F
2 2
f F
1 1
81 52
7 3
f F
3 2 2
3
2
14 1,2
9
38
例 设 在[a, b]上可导，又 ab>0.试证 分析：
39
所以如令 对它们在[a, b]上应用柯西中值定理即可。 请同学们自己完成证明过程。
满足 R Th的条件，至少一点 0, x0 使 f ( ) na0 n1 n 1a1 n2 an1 0
11
例： 不用求出f ( x) x 1x 2x 3x 4的导数，
说明方程 f x 0有几个实数根，
并指出他们所在的区间
解 :易见 f ( x)在[1，2]，[2，3],[3,4]上满足R Th的条件,且 f (1) f (2) f (3) f (4) 0,所以由R Th f ( x) 0
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2021考研数学高数备考复习知识点：中值定理与导数的应用
1、定理（罗尔定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b），那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a
2、定理（拉格朗日中值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a
3、定理（柯西中值定理）如果函数f（x）及F（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且F’（x）在（a，b）内的每一点处均不为零，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使的等式[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）成立。
4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么：（1）如果在（a，b）内f’（x）>0，那么函数f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果在（a，b）内f’（x）
如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’（x）=0的根及f’（x）不存在的点来划分函数f（x）的定义区间，就能保证f’（x）在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f （x）在每个部分区间上单调。
6、函数的极值如果函数f（x）在区间（a，b）内有定义，x0是（a，b）内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f （x）f（x0）均成立，就称f（x0）是函数f（x）的一个极小值。
在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点（导数为0的点），但函数的驻点却不一定是极值点。
定理（函数取得极值的必要条件）设函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’（x0）=0.定理（函数取得极值的第一种充分条件）设函数f（x）在x0一个邻域内可导，且f’（x0）=0，那么：（1）如果当x取x0左侧临近的值时，f’（x）恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f’（x）恒为负，那么函数f（x）在x0处取得极大值；（2）如果当x 取x0左侧临近的值时，f’（x）恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f’（x）恒为正，那么函数f（x）在x0处取得极小值；（3）如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’（x）恒为正或恒为负，那么函数f（x）在x0处没有极值。
定理（函数取得极值的第二种充分条件）设函数f（x）在x0处具有二阶导数且f’（x0）=0，f’’（x0）≠0那么：（1）当f’’（x0）0时，函数f（x）在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。
7、函数的凹凸性及其判定设f（x）在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[（x1+x2）/2][f（x1）+f（x1）]/2，那么称f（x）在区间Ix上图形是凸的。
定理设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在（a，b）内f’’（x）>0，则f（x）在闭区间[a，b]上的图形是凹的；（2）若在（a，b）内f’’（x）
判断曲线拐点（凹凸分界点）的步骤（1）求出f’’（x）；（2）令f’’（x）=0，解出这方程在区间（a，b）内的实根；（3）对于（2）中解出的每一个实根x0，检查f’’（x）在x0左右两侧邻近的符号，如果f’’（x）在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0，f（x0））是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0，f（x0））不是拐点。
在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。