热学气体分子热运动速率和能量分布
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•在气体动理论方面，他还提出气体分子 按速率分布的统计规律。
统计规律性
分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分 子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动 （在动力学支配下）是无规则的，存在着极大 的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律 性。（例：理想气体压强）
人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为 的规律性称为统计规律性
1）少数分子谈不上概率分布
偶然事件少了，或分子数少了，就不能表现出稳定的统计特性。
例如，抛两分的硬币，抛的次数越多，币制和国徽朝上的次数才 更加接近相等，否者将有很大差异。
2）统计规律表现出涨落
所谓涨落就是对稳定的统ຫໍສະໝຸດ Baidu结果的偏差，统计规律必然伴随着涨 落。例如，在某一速率v附近dv间隔内求出的比值dN/N是0.06， 表示有6%的分子，它们的速率取值分布在（v，v+dv）内，但并 不 是 说 ， 每 时 每 刻 就 一 定 是 0.06 ， 也 有 可 能 是 0.05998 ， 0.0601，…等等，但长时间的平均值仍是0.06。
1
引言：
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分 子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分 子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大 量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守
一定的统计规律——气体速率分布律。
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年 在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学 中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率 分布的统计规律。
物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数
的概率，或概率密度。
f (v)dv dN N
dN
v2
＝
f
(v )dv
N v1
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率
表示速率分布在v1→v2内的分 子数占总分子数的概率
N
0
dN N
0
f vdv
1
归一化条件
应注意的问题:
分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微 观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以：
统计规律.
.. ..
.. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.. ..
. .
.. .. .. .. .. .. .. .. .
i 设 Ni为第 格中的粒子数 .
粒子总数 N Ni
i
i
lim
N
Ni N
i 概率 粒子在第 格中
出现的可能性大小 .
归一化条件
i
i
Ni iN
单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是
速率v的函数，称为速率分布函数。
f (v) dN Ndv
速率分布函数
理解分布函数的几个要点：
1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的； 2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv；
3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
§1、气体分子的速率分布律
1、速率分布函数 速率分布函数的定义：
一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区间
v~v+dv内的分子数， dN/N表示分布在此区间内的分子数占
总分子数的比率。 实验规律：
•在不同的速率附近，给定的速率间隔dv内，比值dN/N是
不同的。容易想见，速率间隔越大， dN/N？
速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的 概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：1。由于分子受 到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子 具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔
内出现的概率；2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是100ms-
1，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200
• dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与
区间大小成正比。
dN
为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 Ndv，这样，比 值 dN 就 反 映 出 了 随 速 率 v的 改 变 而 改 变 。 为 此 我 们 规 定 Ndv ；
定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v附近的
ms-1和500-600 ms-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的
来说速率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等 的。比如，速率接近为0的可能性很小，速率非常大的可能性 也很小，而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我 们自然要问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是 有的，这个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入 速率分布函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规 律。
3－1 麦克斯韦气体速率分布律
第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不 能得到深刻的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强 和温度的微观本质，对平衡态下分子热运动的规律有了初步认 识，我们有一个基本的统计公理（假设）。这个公理只解决了 分子热运动速度方向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率 大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。分子热运动情况 是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概 率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从0到∞，这个 取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概 率都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是一个大数 量偶然微观运动的集体效应的问题，既统计的问题，对应的规 律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复杂，我们以 理想气体为基础来开展讨论。
对于由大 量分子组成的 热力学系统从 微观上加以研 究时，必须用 统计的方法 .
小球在伽 尔顿板中的分 布规律 .
............ ........... ............ ........... ............ ........... ............
统计规律 当小球数 N 足够大时小球的分布具有
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论，预言了以光速传播 的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿时代的 《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。
统计规律性
分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分 子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动 （在动力学支配下）是无规则的，存在着极大 的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律 性。（例：理想气体压强）
人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为 的规律性称为统计规律性
1）少数分子谈不上概率分布
偶然事件少了，或分子数少了，就不能表现出稳定的统计特性。
例如，抛两分的硬币，抛的次数越多，币制和国徽朝上的次数才 更加接近相等，否者将有很大差异。
2）统计规律表现出涨落
所谓涨落就是对稳定的统ຫໍສະໝຸດ Baidu结果的偏差，统计规律必然伴随着涨 落。例如，在某一速率v附近dv间隔内求出的比值dN/N是0.06， 表示有6%的分子，它们的速率取值分布在（v，v+dv）内，但并 不 是 说 ， 每 时 每 刻 就 一 定 是 0.06 ， 也 有 可 能 是 0.05998 ， 0.0601，…等等，但长时间的平均值仍是0.06。
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引言：
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分 子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分 子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大 量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守
一定的统计规律——气体速率分布律。
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年 在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学 中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率 分布的统计规律。
物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数
的概率，或概率密度。
f (v)dv dN N
dN
v2
＝
f
(v )dv
N v1
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率
表示速率分布在v1→v2内的分 子数占总分子数的概率
N
0
dN N
0
f vdv
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归一化条件
应注意的问题:
分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微 观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以：
统计规律.
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i 设 Ni为第 格中的粒子数 .
粒子总数 N Ni
i
i
lim
N
Ni N
i 概率 粒子在第 格中
出现的可能性大小 .
归一化条件
i
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Ni iN
单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是
速率v的函数，称为速率分布函数。
f (v) dN Ndv
速率分布函数
理解分布函数的几个要点：
1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的； 2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv；
3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
§1、气体分子的速率分布律
1、速率分布函数 速率分布函数的定义：
一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区间
v~v+dv内的分子数， dN/N表示分布在此区间内的分子数占
总分子数的比率。 实验规律：
•在不同的速率附近，给定的速率间隔dv内，比值dN/N是
不同的。容易想见，速率间隔越大， dN/N？
速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的 概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：1。由于分子受 到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子 具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔
内出现的概率；2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是100ms-
1，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200
• dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与
区间大小成正比。
dN
为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 Ndv，这样，比 值 dN 就 反 映 出 了 随 速 率 v的 改 变 而 改 变 。 为 此 我 们 规 定 Ndv ；
定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v附近的
ms-1和500-600 ms-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的
来说速率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等 的。比如，速率接近为0的可能性很小，速率非常大的可能性 也很小，而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我 们自然要问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是 有的，这个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入 速率分布函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规 律。
3－1 麦克斯韦气体速率分布律
第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不 能得到深刻的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强 和温度的微观本质，对平衡态下分子热运动的规律有了初步认 识，我们有一个基本的统计公理（假设）。这个公理只解决了 分子热运动速度方向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率 大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。分子热运动情况 是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概 率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从0到∞，这个 取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概 率都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是一个大数 量偶然微观运动的集体效应的问题，既统计的问题，对应的规 律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复杂，我们以 理想气体为基础来开展讨论。
对于由大 量分子组成的 热力学系统从 微观上加以研 究时，必须用 统计的方法 .
小球在伽 尔顿板中的分 布规律 .
............ ........... ............ ........... ............ ........... ............
统计规律 当小球数 N 足够大时小球的分布具有
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论，预言了以光速传播 的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿时代的 《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。