热学气体分子热运动速率和能量分布

1）少数分子谈不上概率分布
偶然事件少了，或分子数少了，就不能表现出稳定的统计特性。
例如，抛两分的硬币，抛的次数越多，币制和国徽朝上的次数才 更加接近相等，否者将有很大差异。
2）统计规律表现出涨落
所谓涨落就是对稳定的统计结果的偏差，统计规律必然伴随着涨 落。例如，在某一速率v附近dv间隔内求出的比值dN/N是0.06， 表示有6%的分子，它们的速率取值分布在（v，v+dv）内，但并 不 是 说 ， 每 时 每 刻 就 一 定 是 0.06 ， 也 有 可 能 是 0.05998 ， 0.0601，…等等，但长时间的平均值仍是0.06。
ms-1和500-600 ms-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的
来说速率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等 的。比如，速率接近为0的可能性很小，速率非常大的可能性 也很小，而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我 们自然要问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是 有的，这个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入 速率分布函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规 律。
单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是
速率v的函数，称为速率分布函数。
f (v) dN Ndv
速率分布函数
理解分布函数的几个要点：
1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的； 2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv；
3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论，预言了以光速传播 的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿时代的 《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。
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引言：
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分 子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分 子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大 量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守
一定的统计规律——气体速率分布律。
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年 在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学 中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率 分布的统计规律。
§1、气体分子的速率分布律
1、速率分布函数 速率分布函数的定义：
一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区间
v~v+dv内的分子数， dN/N表示分布在此区间内的分子数占
总分子数的比率。 实验规律：
•在不同的速率附近，给定的速率间隔dv内，比值dN/N是
不同的。容易想见，速率间隔越大， dN/N？
3－1 麦克斯韦气体速率分布律
第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不 能得到深刻的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强 和温度的微观本质，对平衡态下分子热运动的规律有了初步认 识，我们有一个基本的统计公理（假设）。这个公理只解决了 分子热运动速度方向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率 大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。分子热运动情况 是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概 率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从0到∞，这个 取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概 率都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是一个大数 量偶然微观运动的集体效应的问题，既统计的问题，对应的规 律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复杂，我们以 理想气体为基础来开展讨论。
物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数
的概率，或概率密度。
f (v)dv dN N
dN
v2
＝
f
(v )dv
N v1
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率
表示速率分布在v1→v2内的分 子数占总分子数的概率
N
0
dN N
0

f vdv
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归一化条件
应注意的问题:
分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微 观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以：
对于由大 量分子组成的 热力学系统从 微观上加以研 究时，必须用 统计的方法 .
小球在伽 尔顿板中的分 布规律 .
............ ........... ............ ........... ............ ........... ............
统计规律 当小球数 N 足够大时小球的分布具有
速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的 概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：1。由于分子受 到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子 具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔
内出现的概率；2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是100ms-
1，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200
•在气体动理论方面，他还提出气体分子 按速率分布的统计规律。
统计规律性
分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分 子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动 （在动力学支配下）是无规则的，存在着极大 的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律 性。（例：理想气体压强）
人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为 的规律性称为统计规律性
• dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与
区间大小成正比。
dN
为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 Ndv，这样，比 值 dN 就 反 映 出 了 随 速 率 v的 改 变 而 改 变 。 为 此 我 们 规 定 Ndv ；
定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v附近的
统计规律.
.. ..
.. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.. ..
. .
.. .. .. .. .. .. .. .. .
i 设 Ni为第 格中的粒子数 .
粒子总数 N Ni
i
i
lim
N
Ni N
i 概率 粒子在第 格中
出现的可能性大小 .
归一化条件
i
i
Ni iN