讲解数列通项公式的求法-待定系数法-特征根法

最全的数列通项公式的求法

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。做题时要不断总结经验，多加琢磨。 总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.

1.直接法

2.公式法

3.归纳猜想法

4.累加（乘）法

5.取倒（对）数法

6.迭代法

7.待定系数法

8.特征根法

9.不动点法10.换元法11.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法

◆一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。

例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式： 1、1.3.7.15.31………2、1,2,5,8,12………3、2121

2,1,

,,,3253

………4、1,-1,1,-1………5、1、0、1、0……… ◆二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21

11n S S n S a n n

n 求解.

(注意：求完后一定要考虑合并通项)

例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式.

②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n

S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.

③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

公式。

③解析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴

q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2

13

21，故数列{}n b 是等比数列，)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ， ∴ )1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n

◆三、归纳猜想法

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再

用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。

例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列*),0,(N n x A n n ∈，其中01=x ，)0(2>=a a x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，…

（1） 写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式（3≥n ）。

（2） 设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测{}n a 的通项公式，并加以证明。 解析：（1）∵ n A 是线段32--n n A A 的中点， ∴)3(2

2

1≥+=

--n x x x n n n

（2）a a x x a =-=-=0121，

2122322x x x x x a -+=

-==a x x 21

)(2112-=--，

3233432

x x x x x a -+=

-==a x x 41

)(2123=--，

猜想*)()

2

1

(1

N n a a n n ∈-=-，下面用数学归纳法证明

01 当n=1时，a a =1显然成立；

02 假设n=k 时命题成立，即*)()2

1

(1N k a a k k ∈-=-

则n=k+1时，k k k k k k x x x x x a -+=

-=++++2

1121=k k k a x x 21)(211-=--+ =a a k k )21

()21)(21(1-=---

∴ 当n=k+1时命题也成立，∴ 命题对任意*

N n ∈都成立。

变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）

设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，… （Ⅰ）求a 1，a 2；（Ⅱ）｛a n ｝的通项公式

◆四、累加（乘）法

对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。 解析：由n a a n n +=+1得n a a n n =-+1，所以

11-=--n a a n n ，221-=---n a a n n ，…，112=-a a ，

将以上各式相加得：1)2()1(1+⋅⋅⋅+-+-=-n n a a n ，又31=a 所以 n a =

32

)

1(+-n n 例5.

在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*

N n ∈），求通项n a 。

解析：由已知

n n n a a 21=+，112--=n n n a a ，2212---=n n n a a ，…，21

2=a a

，又11=a ， 所以n a =1-n n a a ⋅⋅--21n n a a …

1

2a a 1a ⋅=⋅-12n ⋅-2

2n …12⋅⋅=2)

1(2-n n ◆五、取倒（对）数法

a 、r

n n pa a =+1这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解