东北大学高数下试题2010-2013_年

n1 1 an
八、(6 分)设有一半径为 R 的球体，P0 是此球表面上的一个定点，球体上任 一点的密度与该点到 P0 的距离成正比 (比例系数 k > 0)，求球体对于点 P0 的转 动惯量.
2
解答 2011-2012
一、1.【解】应选择 D。
f x (x, y), f y (x, y)在(x0 , y0 )连续 f (x, y)在(x0 , y0 )可微。
D
对 f (x, y) xy f (x, y)dxdy 两边在区域 D 上做重积分
D
f (x, y)dxdy xydxdy Adxdy
D
D
D
可得
A xydxdy A dxdy
D
D
A 1 A A1
12 3
8
因此, f (x, y) xy 1 8
.
f (x, y)在(x0 , y0 )可微 f (x, y)在(x0 , y0 )连续 .
f (x, y)在(x0 , y0 )可微 f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 )存在 . 2．【解】应选择 B
设切点为(
x(t
0
),
y(t0
),
z(t
0
));
切向量为(
x(t0
h 部分的外侧. 五 (8 分 ) 在 抛 物 面 : z x2 y2 1 上 求 一 点
M 0 (x0 , y0 , z0 ) (x0 0, y0 0, x02 y02 1) ， 使 在 点 M 0 处 的 切 平 面 与 柱 面
y 1 x2 及三个坐标面在第一卦限所围立体的体积最大. 六、(8 分)已知 L 是第一象限中从点(0, 0)沿圆周 x2 + y2 = 2x 到点(2, 0), 再沿
),
y(t
0
),
z
(t0
))

(1,2t0
,3t
2 0
)
由题设知11 2 2t0 ,1 3t02
0 解得 t0
1,或t0

1 3
在点 (1,1,1)或(1 , 1 , 1 )处的切线与 平面 x + 2y + z = 4 平行 3 9 27
3．【解】应选择 D
设 A f (x, y)dxdy
2
4
8
4．将 f (x) 1 展开为关于 x 2 的幂级数时，其收敛域为 [
].
1 x
(A) (1, 5)； (B) (1, 1)； (C) (2, 4)； (D) (2, 2).
二. 填空题 （每题 4 分，共 16 分）
1．过点(3, 1, 4)且与 y 轴相交，又与平面 y + 2z = 0 平行的直线方程为_______________.
1．已知 u f x2 y2 ,exy ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 u ， 2u . x xy
2．计算 (2x 3y z)dv ， 是由半球面 z 2 x2 y2 和旋转抛物面
z x2 y2 围成的立体.
3．求平行于平面 6x + y + 6z + 5 = 0，而与三个坐标面所构成的四面体体积 为 1 个单位的平面方程.
[
].
(A) ③ ② ① ；(B) ③ ④ ①；(C) ③ ① ④；(D) ② ③ ①.
2．在曲线 x = t , y = t2, z = t3 的所有切线中，与平面 x + 2y + z = 4 平行的切
线[
].
(A) 只有 1 条； (B) 只有 2 条； (C) 至少 3 条； (D) 不存在.
圆周 x2 + y2 = 4 到点(0, 2)的曲线段，计算曲线积分 I 3x2 ydx (x3 x 2y)dy . L

七、(8 分) 设 an > 0 (n = 1, 2, ), 数列{an }单调减少，且级数 (1)n an 发散பைடு நூலகம் n1

判断级数 (
1
)n 的敛散性.
3．设 f (x, y)是连续函数，D 是由 y = x2, y = 0, x = 1 所围的区域，且 f (x, y)满
足恒等式
则 f (x, y) =[
f ( x, y) xy D
].
f( ,x )y d，x d y
(A) xy + 1； (B) xy 1 ； (C) xy 1 ； (D) xy 1 .
4 ． 设 f (x) 是 以 2 为 周 期 的 周 期 函 数 ， 其 在 一 个 周 期 上 的 表 达 式 为
2,
f
(
x)


x2
,
1 x 0, 则 f (x)的 Fourier 级数在 x = 1 处收敛于____________. 0 x 1
1
三. 计算下列各题 （每题 6 分，共 30 分）
4．求幂级数 (1)n1 x2n1 的收敛域与和函数. n1 2n 1
5．求 (x y z)dS ，式中 是平面 y + z = 5 被柱面 x2 y2 25 所截得的有
限部分.
四、(8 分) 计算积分 I x3dydz y2dzdx zdxdy ， 是柱面 x2 + y2 = a2 在 0 z
2．设 f (x, y)是连续函数，交换积分次序：
1
2 xx2
2
2x
0 dx0
f (x, y)dy dx
f (x, y)dy 为_____ _____________.
1
0
3．设 L 为圆周 x = acost, y = asint (0 t 2), 则 (x2 y2 )3 ds = _______________. L
2011-1012 学年第二学期试题
一. 单项选择题 （每题 4 分，共 16 分） 1． 函数 f (x, y) 有如下 4 条性质:
① f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处连续； ② f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处两个偏导数连续；
③ f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处可微； ④ f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处两个偏导数存在. 若 用 “ PQ ” 表 示 由 性 质 P 推 出 性 质 Q ， 则