第20讲 滑移线应力场理论
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滑移线理论及应用
证明：设α、β线上任一点的曲率半径分别为R α 、R β ，由 曲率半径的定义知：
1/ R / S 和 1/ R / S ΔSβ沿弧S α的变化率为：
d (S ) dS
d (R ) dS
R S
R
S
根据汉盖第一定理有，
d (S dS
)
R S
当曲线四边形单元趋近无限小时
tg
Am AB
沿β2线从点B→点C
pB 2kB pc 2kc
于是，得沿路径A→B→C和静水压力差
同理
PC PA 2k(A C 2B )
PC PA 2k(2D A C ) 由上两式可得
C B D A
同理
pC pB pD pA
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始 位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点 所移动的路程（如dSα）。 1
线的方向。
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代 替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑 移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p 和角。
根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类。
1）特征线问题 这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线
滑移线的曲率变化量（如dRβ ）等于该点所移动的路程（如dSα）； • 同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.5 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
1）自由表面 塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面，如平冲头压入半无限体工件（见
图 8-10a）。因为自由表面（设为 x 轴）上的法向应力（ n y 0 ）和切 应力（ k 0 ）。根据式（8-3），可知滑移线性边界点上的k 角和静水压力别
滑移线法
理想刚塑性体的平面应变问题1金属塑性加工变形的特点：材料的塑性变形很大弹性变形可以忽略冲模对金属块状材料的作用（塑性成形）塑性极限状态的荷载理论分析方法：滑移线法213滑移线的几何性质当滑移线沿着与之相交的另一族滑移线过渡到同族的另一条滑移线时，和的变化为常量。
θσHencky 第一定理：沿滑移线性质：9沿着滑移线平均应力的变化与夹角的变化成比例θσ9当滑移线为直线，均沿着滑移线为常数θσ9在被两根滑移线所截的另一族滑移线中，若某一段为直线，则被截的所有滑移线段都为直线简单滑移线场1. 均匀滑移线场αβ和线为两族相互正交的直线，代表均匀应力状态2. 中心扇形滑移线场滑移线场为同心圆族和在圆心共点的直线族组成，代表简单应力状态18滑移线场求解问题的例题1. 刚性平冲头压入半平面的极限荷载2. 单边受压力的楔形体3. 两侧带缺口板条的拉伸19212. Geiringer 速度方程速度场满足的条件：0=⋅+⋅dy dv dx dv y x 沿线：αβ沿线：0tan =⋅+y x dv dv θ0cot =⋅−y x dv dv θ沿线：αβ沿线：0=⋅−θβαd v dv 0=⋅+θαβd v dv Geiringer 方程几何意义：沿滑移线方向线应变率为零23 应力场必须满足平衡条件塑性区的应力满足屈服条件;刚性区应力点不在屈服面之外 应力要满足应力边界条件¾塑性区速度和应变率是连续的, 而在刚性区应变率为零;¾体积不可压缩¾速度满足速度边界条件¾在力边界，速度使外力所做的功大于零塑性区应力和应变率满足Levy-Mises 方程解的性质。
材料加工与制备 9.5 滑移线场理论
m 2k C ( )
(沿
线)
当滑移线场确定、即各点转角φ确定后，若已知 某条滑移线上一点的平均应力，则沿该条滑移线上 任一点的平均应力可求。进而，应力场可求。
8.5.3 滑移线的性质
1) 同一条滑移线上任意两点间平均应力的变化 Δσm与该两点之间滑移线转角的变化Δφ成正比。
以α线为例，沿线任取两点A、B，由汉盖应力方 程，
4
p 3
4
4
3
4
4
8.5.4 塑性区的应力边界条件
3) 接触表面单位摩擦力达到最大值的接触表面 （τf=k ）
此时， 接触表面与工具粘着，而接触表面以下单 元体之切应力为k（屈服），所以有τf=k。
p m
f k
m
k
xy k cos 2 k
0,
2
m
k
0
m
k
2
8.5.4 塑性区的应力边界条件
1G 3G yG xG 2k
3G 2k
mG
1 2
(1G
3G )
k
在O点，
O
G
4
2
4
沿α线ONMG， mO 2kO mG 2kG
mO
mG
2k (O
G )
k
2k( 4
) 4
k(1 )
在O点，
yO
mO
k
sin 2O
k(1 )
k
sin
2( )
4
k(1 )
k
k(2
)
x
m
k
sin
2
y m k sin 2
xy k cos 2
x
x
yx
y
第4章 滑移线场理论
点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量 （如dRβ）等于该点所移动的路程（如dSα）。
11
4.3 塑性区应力边界条件：
自由表面
Principle of Metal Forming
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
接触表面之：
摩擦切应力为零
摩擦切应力为某中间值
Principle of Metal Forming
13
摩擦切应力为最大值
7
由称Saint-Venant塑性流动方程
Principle of Metal Forming
8
4.2 滑移线的性质
4.2.1 H.Hencky方程 也称沿线特性，描述滑移线上各点的平均应力变化规律。
Principle of Metal Forming
由上式知，任一族中任一条滑移线上 两点的平均应力符合下列关系式：
一条滑移线（如β1或β2 ）相交两点的倾角差和静水压力变化量均保
Principle of Metal Forming
持不变。
若单元三个节点角ω、σm知，则第四点知。 推论： 异族截区内，一直皆直。
10
4.2.3 H.Hencky第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动
Principle of Metal Forming
Principle of Metal Forming
14
4.2 常见的滑移线场类型
正交直线 １ ） 直 线 型
Principle of Metal Forming
２ ） 简 单 型
奇点
有心扇形：直线＋圆弧 无心扇形：包络＋渐开
15
３ ） 直 简 组 合 型
Principle of Metal Forming
滑移线理论及应用PPT课件
a b cd const mab mdc const
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另 一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个 交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数， 如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线 的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x
2k c os2
x
sin2
y
0
m
x
2k s in2
x
cos2
y
0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另 一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个 交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数， 如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线 的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x
2k c os2
x
sin2
y
0
m
x
2k s in2
x
cos2
y
0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。
工程弹塑性力学教学课件第十一章滑移线场理论
y S
0
p
2R
cos
x
sin
y
0
S
S
S
S
p* 2R C p* 2R C
（3）γ＝0和φ＝0代入(3.10)并积分可得:
（沿线） （沿线）
p* p cosx sin y R K (或 C)
S
(p
2R )
0
( p 2R ) 0
S
p 2R C （沿线） p 2R C （沿线）
4.滑移线基本性质
滑移线上的剪应力等于岩土的抗剪强度 两族滑移线间的夹角与屈服准则有关 对所有岩土材料,重力的存在不影响两族滑移线间 的夹角,但对其形状有影响。对c-φ型岩土材料,粘 聚力的存在不影响两族滑移线的形状和夹角。
4.滑移线基本性质…
（1）Henky第一定律：如果由一条滑移线 α1（或β1 ）转到另一条滑移线α2 （或β2）， 则沿任何一条β族 （或α族）的滑移线，α线 （或β线）的方向与x轴的夹角的变化值保持 常量。如图1，得：
RA )( p
A)
sin(
2 )( x p
x A
)
cos(
2 )(
yp
yA)
sin 2( pp pB ) (Rp RB )( p B ) sin( 2)(xp xB ) cos( 2)( yp yB )
yp
yA
tg
(
p
A 2
)( x p
xA )
yp
yB
tg
(
p
B 2
)( x p
自由表面上 n 0, n 0 。周界处处不 与滑移线方向相重合。自由表面附近的 应力场与自由表面的形状有关。如果自 由表面是平面，其影响区域将如图7-2.
第20讲 滑移线应力场理论
沿β 2从（1，2），（2，2）
m 1, 2 m 2 , 2 -2 K ( 1, 2 2 , 2 )
沿α 1从（1，1），（1，2）
m 1,1 m 1, 2 2 K ( 1,1 1, 2 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 + 2 , 2 -2 2 ,1 )
第四章 塑性成形问题工程解法
第二节 滑移线方法
第一讲 滑移线应力场理论
平面应变的特点
滑移线基本概念 滑移线的主要特点 滑移线场的建立
平面应变问题的特点
主应力特点
2
K
1 3
2
m
1
2 3
m m m
K
1 3
2
K
平面应变问题的特点
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 , 2 2 2 ,1 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 1, 2 2 , 2 )
图解法和数值积分法
例题
如图所示光滑平冲头压入半无限高坯料，刚
性冲头的宽度为2b，长度远大于宽度，冲头 两侧为自由表面，按图所建立的滑移线场求 流动应力p。
2b
X
在a 点：
2b
X
a
4
3 p
在b点：
b
4
1 3 2K
1 0
m 1, 2 m 2 , 2 -2 K ( 1, 2 2 , 2 )
沿α 1从（1，1），（1，2）
m 1,1 m 1, 2 2 K ( 1,1 1, 2 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 + 2 , 2 -2 2 ,1 )
第四章 塑性成形问题工程解法
第二节 滑移线方法
第一讲 滑移线应力场理论
平面应变的特点
滑移线基本概念 滑移线的主要特点 滑移线场的建立
平面应变问题的特点
主应力特点
2
K
1 3
2
m
1
2 3
m m m
K
1 3
2
K
平面应变问题的特点
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 , 2 2 2 ,1 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 1, 2 2 , 2 )
图解法和数值积分法
例题
如图所示光滑平冲头压入半无限高坯料，刚
性冲头的宽度为2b，长度远大于宽度，冲头 两侧为自由表面，按图所建立的滑移线场求 流动应力p。
2b
X
在a 点：
2b
X
a
4
3 p
在b点：
b
4
1 3 2K
1 0
滑移线理论_弹塑性力学讲稿
R ` R R
R
"
S R S
B B`
S `
`
S
`
`
R `
A S
A`
R
`
证明：由于
1 R S 1 R S
（定义）
又可写为
R ` S R ` S
o
★ 屈服条件：（Mises）
（4-37）
化简后为
（4-38）
于是，在塑性区内主应力为
（4-39）
（4-40）
（4-41）
这就是说，在塑性区内任一点 的应力状态，可用静水压力 o 与
o
纯剪应力 两个分量来表示，
如图示。
o o
o o
o
★ 在不计体力的情况下，平衡方程为：
可解出
xm,m1 , ym,m1
（d) 重复计算可得出ABP范围内的塑性应力场。
(3) 第二边值问题（黎曼问题）
已知边界上某一点的两条正交的滑移线，其各点的、 已知，如图示： 求：区域AoBC内的塑性应力场。 步骤： （a) 分网，如图示 （b)求、，由汉基第 y B
(0,n) (o,2) (0,1) (m,0) (1,1) (m-1,n)
沿这两组滑移线分别有一一相
等的值和一一相等的值。而所有
也必相等，应力是均匀分布的，即称为均匀应力场。
例：图示直线边界上 n const, n 0 则
n k sin 2( ) 常数 p n k cos 2( ) 0
n
即
将上式代入（4-51（a)式得：
n k sin 2( ) n k cos 2( )
(塑性成形力学)4滑移线场理论及应用
沿速度不连续线的法线方向的速度是连续的。
速度不连续性：
V’at-V’‘at＝c（常数） 切向速度不连续量沿速度不连续线是一常数。
速度不连续性：（小结） 1. 在塑性区及刚性区的边界上一定存在着速度不连续线； 2. 沿速度不连续线的法线方向的速度是连续的； 3. 速度不连续线的方向和滑移线的方向重合；
(塑性成形力学)4滑移线场理论及应用
教学目的和要求
通过本章的学习，掌握滑移线法的基本理论、基 本特点和解题步骤，并能运用该理论解决实际问题。
内容
4.0 前言 4.1 滑移线场的基本概念 4.2 汉基应力方程 4.3 滑移线场的几何性质 4.4 盖林格尔速度方程和速端图 4.5 滑移线场求解的应力边界条件和步骤 4.6 滑移线场的绘制 4.7 滑移线场求解问题实例
度）的方向）。
4.7 滑移线场求解问题实例
4.7.1 光滑平冲头压入半无限体 4.7.2 粗糙平冲头压入半无限体
4.7.1 光滑平冲头压入半无限体
•绘制滑移线 •作速端图
Vα＝0 Vβ＝
y
o
x
图4.22为开始压入瞬间的滑移线场。
单位压力公式
pD
检查塑性变形功
式(4.1)
y
o
x
φ=π/4，p=k φ=3π/4
式(2.72)
式(4.2)
dp
tanφ
tanφ
式(4.4)
（α线）
1
tanφ
2kdφ
汉基应力方程：
沿α线 沿β线
φ角按弧度值计算。
式(4.12) 式(4.13)
4.3 滑移线场的几何性质
性质1 在同一滑移线上，由a点到b点，静水压力 的变化与滑移线的切线的转角成正比。
7-1 滑移线概念及应力场理论
1 m K 2 m 3 m K
x m K sin 2 y m K sin 2 xy K cos 2
τ
σy
+K
O σ3
σ2
2ω x σx
－K σ2=σm
tan 2 x y 2 xy
其中：ω为最大切应力τmax方向与坐标ox轴的夹角。
y
σ1
σ
金属塑性成形原理
过点P并标注其应力分量的微分面称为物理平面。 ➢应力莫尔圆上一点对应一个物理平面； ➢应力莫尔圆上两点之间的夹角为相应物理平面间 夹角的两倍。
将一点的代数值最大的主应力的指向称为第一主 方向( σ1作用线)。由第一主方向顺时针转π/4所确定 的最大切应力，符号为正，其指向称为第一剪切方 向。另一最大切应力方向的指向称为第二剪切方向， 两者相互正交。
由坐标轴ox正向转向第一剪切方向的角度ω称为 第一剪切方向的方向角(也就是以后提到的滑移线的 方向角)，由ox轴正向逆时针转得ω为正。
当相邻点无限接近时，这两条折线就成了相互正 交的光滑曲线，这就是滑移线。它连续，并一直延伸 到塑性变形区边界。通过塑性变形区内的每一点都可 得到这样两条正交的滑移线，在整个变形区域可得到 有两族互相正交的滑移线组成的网络，即滑移线场。
滑移线与滑移线场
金属塑性成形原理
两族滑移线： 一族称为 α 滑移线，另一族称为 β 滑移线。
塑性区内各点的最大切应力K为材料常数，而
应力状态的区别在于σm不同。
O
b d
a c
ωb
ωa
x
金属塑性成形原理
亨盖（ Hencky ）应力方程是滑移线场理论中很重要的公式，根据亨盖应 力方程可推导出滑移线场的一些主要特性。
沿α线 m 2K 沿β线 m 2K
塑性加工理论滑移线法
3
m k
O
1
k
m 3
m
图 9-19 无摩擦的接触表面
n=m 摩 擦 切 应 力
=k
为k 的接触面
O
xy k cos 2 0,
1 k m 3
n=m 摩 擦 切 应 力
=k
为k 的接触面
O
4
3 k m 1
k m
O
m
k
k
O
m
m
k
3
k m
1
（a）
1 m k 3 （b）
图 9-20 摩擦切应力达最大值 k 的接触表面
β β
β
O
α
O′
α
α
a) 中心扇形场 b) 无中心扇形场 图 9-23 简单滑移线场
（3）滑移线场由两族互相正交的光滑曲 线构成
属于这一类的滑移线场有以下几种
（a）当圆形界面为自由表面或作用有均 匀载荷时,其滑移线场为两族正交的对数 螺线所构成(如图9-24a所示)；
β α
(a)对数螺旋线场
（b）在粗糙平行刚性模板间压缩 时, 相应于接触面上摩擦切应力达 到最大值的那一段滑移线场为正 交的圆摆线(如图9-24b所示)
1 arccos xy 1 arccos f
2
k2
k
y
=xy
0
y
m
xy k
m k
x
O xy
xy
x
k
k m
m
xy
y
（a）
y
r
y
3
1 O
xy
2 x
x
m
（b）
图 9-21 当 0 f k 时的接触表面
塑性成形原理-70-滑移线场理论简介
51
二、速度间断、速度间断线、速度间断面 速度间断面两侧法向速度分量相等，切向
速度分量可以间断！
52
三、速度矢端图（速端图）
1） 对于平面应变问题，工件各点只有x、y两 个方向的速度；
2） 同一条滑移线上各点有不同的速度值；
3） 以x、y两个方向的速度为坐标轴，从坐标 原点开始按同一比例画出滑移线上各点的 速度矢量，并将速度矢量端点连接成线即 得速度矢端曲线和速度矢端图；
13
二、滑移线场理论的基本内容
● 应力场理论：确定塑性变形区内的应力分 布，以及与模具接触面上的 应力分布。
● 速度场理论：确定塑性变形区内的速度分 布。
14
三、适用范围 严格地说，这种方法仅适用于理想刚塑性
体的平面应变问题。但在一定的条件下，也可 推广到平面应力、轴对称问题及硬化材料。
15
四、求解方法 针对具体的塑性成形过程，首先建立滑移
33
注意：分析上模边缘处工件的应力状态 ↓
应力奇异点！
34
2、已知顶部被削平的楔体，承受均布载荷q的
作用而产生塑性变形，若楔体夹角为 2 ，
且 AB 2a ，求均布载荷q的大小。 35
分析：本题目中当 2 ＝180度的情况。 36
3、足够长厚壁圆筒内半径为r，外半径R，在内 压p 的作用下产生塑性变形。已知其滑移线
v (v dv ). cos(d) (v dv ).sin(d)
49
由于 d 很小，前式化简得：
dv v.d 0 同理 dv v.d 0
(沿线)
(沿线)
上式即为 H.Geiringer速度方程。
50
推论：
1） 若某条滑移线为直线，则该线上各点的速 度为一常数；
二、速度间断、速度间断线、速度间断面 速度间断面两侧法向速度分量相等，切向
速度分量可以间断！
52
三、速度矢端图（速端图）
1） 对于平面应变问题，工件各点只有x、y两 个方向的速度；
2） 同一条滑移线上各点有不同的速度值；
3） 以x、y两个方向的速度为坐标轴，从坐标 原点开始按同一比例画出滑移线上各点的 速度矢量，并将速度矢量端点连接成线即 得速度矢端曲线和速度矢端图；
13
二、滑移线场理论的基本内容
● 应力场理论：确定塑性变形区内的应力分 布，以及与模具接触面上的 应力分布。
● 速度场理论：确定塑性变形区内的速度分 布。
14
三、适用范围 严格地说，这种方法仅适用于理想刚塑性
体的平面应变问题。但在一定的条件下，也可 推广到平面应力、轴对称问题及硬化材料。
15
四、求解方法 针对具体的塑性成形过程，首先建立滑移
33
注意：分析上模边缘处工件的应力状态 ↓
应力奇异点！
34
2、已知顶部被削平的楔体，承受均布载荷q的
作用而产生塑性变形，若楔体夹角为 2 ，
且 AB 2a ，求均布载荷q的大小。 35
分析：本题目中当 2 ＝180度的情况。 36
3、足够长厚壁圆筒内半径为r，外半径R，在内 压p 的作用下产生塑性变形。已知其滑移线
v (v dv ). cos(d) (v dv ).sin(d)
49
由于 d 很小，前式化简得：
dv v.d 0 同理 dv v.d 0
(沿线)
(沿线)
上式即为 H.Geiringer速度方程。
50
推论：
1） 若某条滑移线为直线，则该线上各点的速 度为一常数；
第四章-材料成形力学-滑移线场理论及其应用-多媒体课件
塑性区
v 0
v 2v0
AC v0 v AF v AC cos 45 v AC
1 2
(3) 单位压力公式
pD 2kD pC 2kC
pC D 2k(C D )
D
p
4
pD k
C
3p
4
pC
k
2k(3p
4
p)
4
k(1 p )
y
pC
k sin 2C
k(1 p )
k sin 3p
② 同族滑移线必须具有 相同方向的曲率.
③ 如果一族滑移线是直 线，那么与其正交的 另一族滑移线将具有 如图所示的4种类型
A 平行直线场
B 有心扇形场
C 一般简单应力场
边
界
线
D 具有边界线的简单应力场
均匀应力状态区的相邻区域一定是简单应力 状态的滑移线场。
线 S
B
线 A
L
o C
B 线
线 A
4.4 盖林格尔速度方程与速端图
x
y
1 4
x
y
2
2 xy
1
max
1 2
1
3
1 4
x
y
2
2 xy
2
屈服时
1 2
p
p
k
3 p k
4.1.2 基本假设
假设变形材料为各向同性的刚－塑性材料 即 假设塑性区各点的变形抗力是常数
4.1.3 基本概念 (1) 滑移线、滑移线网和滑移线场
max
1 4
4.3 滑移线场的几何性质
性质1 在同一条滑移线上，由点a 到点b，静水压力的变化与 滑移线的切线的转角成正比.
滑移线方法
根据质点的变形趋势判断
滑移线法就是针对具体的变形工序或变形过 程，建立滑移线场，然后利用其某些特性， 来求解塑性成形问题，如确定变形体内的应 力分布、计算变形力、分析变形和决定毛坯 的合理外形、尺寸等。
塑性加工理论及应用
6 滑移线法
6.2 汉基（Hencky）应力方程
料常数，故只要能找到沿滑移线上的 σm的变化规律，即可求得整个变形体（或变 形区）的应力分布。这就是应用滑移线法求解平面问题的实质。 汉基应力方程给出了滑移线场内平均应力的变化与滑移线转角的关系式。其推 导过程如下 已知平面应变时的平衡方程为
对于理想刚塑材料，材料的屈服切应力k为常数。因此塑性变形区内各点莫 尔圆半径（即最大切应力 ）等于材料常数k。
由图6-2可知，滑移线的微分方程为：
dy tg dx
对 线
dy tg( /) ctg dx
对
线
图6-2 x-y坐标系与滑移线网络
滑移线基本概念
滑移线的判断
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。 ma mb 2K (a b )
沿α 1从（1，1），（1，2）
m1,1 m1,2 2K (1,1 1,2 )
沿β 2从（1，2），（2，2）
上述已知，平面塑性应变状态下的应力分量完全可由σm和K来表示，而K为材
x xy 0 x y y xy 0 y x
塑性加工理论及应用
6 滑移线法
滑移线法解题步骤::
1 建立滑移线场,确定x,y坐标轴: 2 在自由表面取一点,分析应力状态:
【精品】滑移线法
【关键字】精品第二十章滑移线法返回目录本章内容：滑移线法原理及应用。
本章重点：滑移线场的合理建立。
滑移线：塑性变形物体内各质点的最大切应力迹线特点：滑移线（成对出现，相互正交）→滑移线场适用范围：理想刚塑性材料的平面变形问题，再适当推广满足条件：静力学+运动学（速度场条件）第一节基本概念平面变形的应力状态塑变屈服时为：第二节最大切应力迹线——滑移线变形平面xoy，取点P1及邻近点P2，P3，……P6为P1点最大切应力方向为P2（为P1P2折线）当P1P2无限邻近时，曲线变为光滑曲线即滑移线。
一1) 图7-32）3）二滑移线方程Hencky 方程：平面应变应力平衡微分方程为：将屈服准则式代入有未知数：，，但难求。
变换坐标系：取滑移线本身作坐标轴注意：此坐标系具有当沿α线运动时值不变，即坐标系轴是弯曲的！在点无限近处有：因此变为：积分后得：此式即汉基应力方程（Hencky）第三节滑移线特性一沿线特性沿线：沿线：证：设一条线上有a、b两点沿同一滑移线，平均应力的变化与角度的变化成正比二跨线特性（）证明：先沿线，A→B有沿线B→C有：（a）再沿A→D（β1线）D→C（沿）（b）由于（a）,（b）式相等或上式即汉基第一定理同一族的一条滑移线转到另一条滑移线时，则沿另一族的任意一条滑移线角度的变化和平均应力的变化为常数。
即在滑移线网格中，若已知三个结点的m σ、ω值则第四个结点m σ、ω值可以求出。
推论1：如滑移线场为正交直线，则为均匀应力场推论2：如一族某一段为直线，则被另一族所截的相应区域的皆为直线。
三 应力和曲率间断面的概念 奇点：滑移线场中应力不确定的点 曲率间断面：曲率不连续的面 第四节 应力边界条件一般在边界上 已知正应力n σ切应力τ，需转化为边界处m σ、ωω的确定：由于有：ωτ2cos k xy±=因此有：()k τω121cos -±= m σ的确定：分以下五种：一 自由表面自由表面、法向n σ，切向τ均为0。
《金属塑性成形原理》习题库(附答案及解析)
《金属塑性成形原理》试题库一、填空题：1、在外力作用下使金属材料发生塑性变形而不破坏其完整的能力称为塑性。
2、晶内变形的主要方式是滑移和孪生，其中滑移变形是主要的。
3、一般来说，滑移总是沿着原子密度最大的晶面和晶向发生。
4、体心立方金属滑移系为12 个；面心立方滑移系为12 个；密排六方滑移系为3 个。
5、孪生是晶体在切应力作用下，晶体的一部分沿着一定的晶面和一定的晶向发生均匀切变，变形部分与未变形部分构成了镜面对称关系。
6、在多晶体材料中，晶间变形的主要方式是晶体之间的相互滑动和转动。
7、多晶体塑性变形的特点：一是晶粒变形的不同时性；二是各晶粒变形的相互协调性；三是晶粒与晶粒之间以及晶粒内部与晶界附近区域之间变形的不均匀性。
8、晶体滑移时，滑移方向的应力分量为τ=σμ，μ=cosθcosλ，μ称为取向因子。
9、通常把取向因子μ=0的取向称为硬取向；把μ=0.5的取向称为软取向。
10、固溶体塑性变形时，由于位错应变能的作用，溶质原子会偏聚在位错附近形成特定的分布，这种分布现象称为“柯氏气团”或“溶质气团”。
11、随着变形程度的增加，金属的强度和硬度增加，而塑性韧性降低，这种现象称为加工硬化（或形变强化）。
12、去应力退火是回复在金属中的应用之一，既可保持金属的加工硬化（或形变强化），又可消除残余应力。
13、实验研究表明，晶粒平均直径d与屈服强度σs的关系（Hall-Petch关系）可表达为：σs＝σ0+Kd-1/2。
14、由于塑性变形使得金属形成晶粒具有择优取向的组织，称为形变织构。
15、增大静水压力能抵消由于不均匀变形引起的附加拉应力，从而减轻其所造成的拉裂作用。
16、材料在一定的条件下，其拉伸变形的延伸率超过100% 的现象叫超塑性。
17、金属的超塑性分为细晶超塑性和相变超塑性两大类。
18、冷变形金属加热到更高的温度后，在原来变形的金属中会重新形成新的无畸变的等轴晶，直至完全取代冷变形组织，这个过程称为金属的再结晶。
滑移线理论
( ) ⎧⎪σmax = σ x + σ y 2 +
⇒⎨
( ) ⎪⎩σmax = σ x + σ y 2 −
( ) σ x −σ y
2
2
+
τ
2 xy
( ) σ x −σ y
2
2
+τ
2 xy
τα0 = 0 ∴ 极值正应力就是主应力
( ) dτα ( ) dα
=0=
σx −σy
cos 2α1 − τxy sin 2α1 = 0 ⇒ tan 2α1 =
第四章 滑移线理论
4.1 基本假设和应力基本方程 4.2 滑移线的概念 4.3 应力方程的特征线解法 4.4 滑移线的性质 4.5 简单滑移线场 4.6 塑性区边界条件 4.7 基本边值问题 4.8 楔体的极限荷载
教师：徐平 下载：ftp://202.197.185.21:2007 TEL:13733189057
∂τ yx + ∂σ y = 0 ∂x ∂y
( ) σ x −σ y
2
+
4τ
2 xy
= 4C2
上述三式就是传统塑性力学(或称金属塑性力学)滑移线场理 论中的应力基本方程。
在以后的分析中，为了区分屈服条件不同的材料，将满足 Mohr-Coulomb屈服条件的材料简称为Coulomb材料。将满足 Tresca屈服条件的材料简称为Tresca材料。不排水条件下饱和土体 的内摩擦角 ϕ = 0 ，属于Tresca材料。而 ϕ ≠ 0 的土体属于 coulomb材料，或称为 c −ϕ 材料。
) ∂x
∂Sα
+ cos
(α
+2µ
) ∂y
∂Sα
滑移线理论及应
上式表明，沿滑移线的静水压力差（ pab ）与滑移线 上相应的倾角差（ ab ）成正比。故式表明了滑移线的 沿线性质。
汉盖应力方程不仅体现了微分平衡方程，同时也满足 了塑性条件方程。
.
§8.3 滑移线的几何性质
一、汉盖第一定理 同族的两条滑移线与加族任意一条滑移线相
交两点的倾角差和静水压力变化量均保持不变。 二、汉盖第二定理
人生太短，聪明太晚(4)
然而，生活总是一直变动，环境总是不可预知，现实 生活中，各种突发状况总是层出不穷。身为一个医生， 我所见过的死人，比一般人要来得多。这些人早上醒 来时，原本预期过的是另一个平凡无奇的日子，没想 到一个意料之外的事；交通意外、脑溢血、心脏病发 作等等。剎那间生命的巨轮倾覆离轨，突然闯进一片 黑暗之中。那么我们要如何面对生命呢？我们毋需等 到生活完美无瑕，也毋需等到一切都平稳，想做什么， 现在就可以开始做起。
图8-2 x-y坐标系与滑移经网络
.
滑移线理论法
滑移线理论法是一种图形绘制与数值计算相结合 的方法，即根据平面应变问题滑移线场的性质绘 出滑移线场，再根据精确平衡微分方程和精确塑 性条件建立汉盖（Hencky）应力方程，求得理想 刚塑性材料平面应变问题变形区内应力分布以及 变形力的一种方法。
.
§8.2 汉盖（Hencky）应力方程——
人生太短，聪明太晚(7)
一句瑞典格言说：「我们老得太快，却 聪明得太迟。」 不管你是否察觉，生命 都一直在前进。
人生并未售来回票，失去的便永远不再 得到。
将希望寄予「等到方便的时间才享受」
.
人生太短，聪明太晚(8)
我们不知失去了多少可能的幸福 不要再等待有一天你「可以松口气」，或是「麻烦都
Z2 (xy)/2 m p
汉盖应力方程不仅体现了微分平衡方程，同时也满足 了塑性条件方程。
.
§8.3 滑移线的几何性质
一、汉盖第一定理 同族的两条滑移线与加族任意一条滑移线相
交两点的倾角差和静水压力变化量均保持不变。 二、汉盖第二定理
人生太短，聪明太晚(4)
然而，生活总是一直变动，环境总是不可预知，现实 生活中，各种突发状况总是层出不穷。身为一个医生， 我所见过的死人，比一般人要来得多。这些人早上醒 来时，原本预期过的是另一个平凡无奇的日子，没想 到一个意料之外的事；交通意外、脑溢血、心脏病发 作等等。剎那间生命的巨轮倾覆离轨，突然闯进一片 黑暗之中。那么我们要如何面对生命呢？我们毋需等 到生活完美无瑕，也毋需等到一切都平稳，想做什么， 现在就可以开始做起。
图8-2 x-y坐标系与滑移经网络
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滑移线理论法
滑移线理论法是一种图形绘制与数值计算相结合 的方法，即根据平面应变问题滑移线场的性质绘 出滑移线场，再根据精确平衡微分方程和精确塑 性条件建立汉盖（Hencky）应力方程，求得理想 刚塑性材料平面应变问题变形区内应力分布以及 变形力的一种方法。
.
§8.2 汉盖（Hencky）应力方程——
人生太短，聪明太晚(7)
一句瑞典格言说：「我们老得太快，却 聪明得太迟。」 不管你是否察觉，生命 都一直在前进。
人生并未售来回票，失去的便永远不再 得到。
将希望寄予「等到方便的时间才享受」
.
人生太短，聪明太晚(8)
我们不知失去了多少可能的幸福 不要再等待有一天你「可以松口气」，或是「麻烦都
Z2 (xy)/2 m p
第七章_滑移线场理论简介
1 2K 3 2K p;
ma
1 ( 1 3 ) K p 2
根据亨盖应力方程
ma mb 2K
K p ( K ) 2 K ( p 2 K (1
) 4 4
2
)
平面变形挤压
平面变形挤压：挤压 前后的宽度不变。挤 压的程度用挤压前后 的面积比来表示，称 为挤压比。对于平面 变形挤压，可由挤压 前后料厚度之比表示。
xy 0
cos 2 0
4
4
τ=0 β
自由表面 α β
τ=0
4
4
自由表面 β
4
α σm K K σm
σm
K
K
σm
σ1
σm K K
σ1=2K
代数值最大的 主应力σ1的作用线
σ3
σm K K
σ3=-2KLeabharlann σmσmαα
1 2 K , 3 0
代数值最大的主应力 σ1(=0)的作用线
m 2k 沿线 m 2k 沿 线
, 在同一条滑移线上为常数
ma mb 2k (a b ) 正号用于 线，负号 线
ma mb 2k (a b )
若滑移线场已经确定，且已知一条滑移线上任一点 的平均应力，则可确定该滑移线上各点的应力状态
一族滑移线与表面相切，另一族与之正交
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
α
0 β α α σm σ3 σ3 K β β
0
σm K σ1 α
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滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 , 2 2 2 ,1 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 1, 2 2 , 2 )
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理推论1
同族滑移线中有一条为直线的话，则这族滑移线的其他 各条滑移线必然全是直线。由于直线滑移线的倾角差为零， 所以直线滑移线上的静水压力保持恒定。
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理推论2
一族的一条滑移线的某一段为直线，则被另一族滑移线 所截的该族的滑移线的所有相应的段均为直线。
ma mb 2 K ( a b )
沿α 2从（2，1），（2，2）
m 2 , 1 m 2 , 2 2 K ( 2 ,1 2 , 2 )
沿β 1从（1，1），（2，1）
m 1 ,1 m 2 ,1 2 K ( 1 ,1 2 ,1 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 , 2 2 2 ,1 )
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。
ma mb 2 K ( a b )
图解法和数值积分法
例题
如图所示光滑平冲头压入半无限高坯料，刚
性冲头的宽度为2b，长度远大于宽度，冲头 两侧为自由表面，按图所建立的滑移线场求 流动应力p。
2b
X
在a 点：
2b
X
a
4
3 p
在b点：
b
4
1 3 2K
1 0
1 2K p
ma K p
滑移线基本概念
滑移线:两条正交的最大切应力方向的轨迹线 称为滑移线。 α线：沿第一剪切方向的滑移线 β线：沿第二剪切方向的滑移线 滑移线场：由滑移线构成的正交网络成为滑移 线场。 滑移线族：同一方向的滑移线组成滑移线族。
滑移线基本概念
滑移线的判断
第一主方向顺时针转450，得到α.
滑移线的主要特点
( 1 ,1 2 , 2 2 2 , 1 ) ( 1 ,1 2 1 , 2 2 , 2 ) 0 1 ,1 2 , 2 2 ,1 1 , 2 0
1 , 2 2 , 2 1 ,1 2 ,1
应力摩尔圆
x m k sin 2
y
m k sin 2
xy k sin 2
平面应变问题的特点
基本概念
第一主方向:代数值最大的主应力方向. 第一剪切方向:第一主方向顺时针转450所确定的最大切应 力的正方向. 剪切方向方向角:由坐标轴正向转向第一剪切方向的角度.
第四章 塑性成形问题工程解法
第二节 滑移线方法
第一讲 滑移线应力场理论
平面应变的特点
滑移线基本概念 滑移线的主要特点 滑移线场的建立
平面应变问题的特点
主应力特点
2
K
1 3
2
mLeabharlann 1 2 3m m m
K
1 3
2
K
平面应变问题的特点
mb
ma
2 K ( a b )
滑移线的主要特点
1、Hencky应力方程推论2
m 2 K (沿 线 ) m 2 K (沿 线 )
如果滑移线场确定，且已知一条滑移线上 任一点的平均应力，则可以确定滑移线场中各 点的应力。
滑移线的主要特点
沿β 2从（1，2），（2，2）
m 1 , 2 m 2 , 2 2 K ( 1 , 2 2 , 2 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 1, 2 2 , 2 )
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理推论3
单元网络节点上，三个节点已知，可求另一个。
滑移线场的建立
边界建立——自由表面
1 ) 1 2 K , 3 0 2 ) 1 0 , 3 2 K
滑移线场的建立
边界建立——粘着摩擦接触表面
xy K
滑移线场的建立
由屈服准则
1 3 2K
ma mb 2 K ab
p 2 K (1
3 2 K
mb K
2
)
如果两族滑移线场为直线，各点的应力状 态相同，称为均匀应力场；
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。
ma mb 2 K ( a b )
沿α 1从（1，1），（1，2）
m 1 ,1 m 1 , 2 2 K ( 1 ,1 1 , 2 )
1、Hencky应力方程
m 2 K (沿 线 ) m 2 K (沿 线 )
滑移线的主要特点
1、Hencky应力方程推论1
m m
2 K (沿 线 ) 2 K (沿 线 )
ma mb
2Ka 2Kb
边界建立——滑动摩擦接触表面
x y
m m
k sin 2 k sin 2
xy k sin 2
1 3
2
2
m
K
1 3
2
0
xy
K 1 2 cos
1
xy
K
滑移线场的建立
特殊滑移线场
直线滑移线场：
简单滑移线场：
滑移线场的建立
沿β 2从（1，2），（2，2）
m 1, 2 m 2 , 2 -2 K ( 1, 2 2 , 2 )
沿α 1从（1，1），（1，2）
m 1,1 m 1, 2 2 K ( 1,1 1, 2 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 + 2 , 2 -2 2 ,1 )
1、Hencky应力方程推论3
m 2 K (沿 线 ) m 2 K (沿 线 )
如果滑移线场为直线，则此直线上各点的 应力状态相同；
滑移线的主要特点
1、Hencky应力方程推论4
m 2 K (沿 线 ) m 2 K (沿 线 )