8组合变形
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8组合变形2
max M y max 6 M z max 6 M y max max 2 Wz Wy bh bh2
3)危险点位置 最大拉应力位于固定端截面上 边缘和后边缘的交点d，即梁的危 险截面是固定端截面，危险点为 截面的d角点。
6 1.5 106 6 1.2 106 MPa MPa 8.8 MPa 2 2 100 150 150 100
max max
2
△
最大切应力和最大正应力为
max T
Wp
max
M max Wz
A
3、强度准则 d A截面上、下边缘点有最大正应力和 B 切应力，是危险点。其应力状态如图。 D 塑性材料在弯、扭组合变形的二向应 l F 力状态下，应用第三、第四强度理论的强 M'=FD/2度准则进行强度计算。其强度准则为：
2.斜弯曲强度准则：
max
本课节小结
三、拉 (压)与弯曲组合变形 1.拉弯组合 外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用线 仍在纵向对称平面内，梁将发生拉 (压)与弯曲组合变形。
2.拉弯组合强度设计准则为：
max
M z max M y max [ ] Wz Wy
FN M max [ ] A Wz
F‘=F
xd 3 2 4 2 [ ]
xd 4 2 3 2 [ ]
T
M
M'
Fl
x
x
将弯曲正应力 max = Ｍ max/ Ｗ z 和扭转 切应力 max =T/ＷP代入上式，用圆截面 Wz 代替 WP ， WP=2Wz ，即得到圆轴的弯 、扭组合时的强度准则为
Mz y M y z k z y Iz Iy 2.斜弯曲的强度计算
3)危险点位置 最大拉应力位于固定端截面上 边缘和后边缘的交点d，即梁的危 险截面是固定端截面，危险点为 截面的d角点。
6 1.5 106 6 1.2 106 MPa MPa 8.8 MPa 2 2 100 150 150 100
max max
2
△
最大切应力和最大正应力为
max T
Wp
max
M max Wz
A
3、强度准则 d A截面上、下边缘点有最大正应力和 B 切应力，是危险点。其应力状态如图。 D 塑性材料在弯、扭组合变形的二向应 l F 力状态下，应用第三、第四强度理论的强 M'=FD/2度准则进行强度计算。其强度准则为：
2.斜弯曲强度准则：
max
本课节小结
三、拉 (压)与弯曲组合变形 1.拉弯组合 外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用线 仍在纵向对称平面内，梁将发生拉 (压)与弯曲组合变形。
2.拉弯组合强度设计准则为：
max
M z max M y max [ ] Wz Wy
FN M max [ ] A Wz
F‘=F
xd 3 2 4 2 [ ]
xd 4 2 3 2 [ ]
T
M
M'
Fl
x
x
将弯曲正应力 max = Ｍ max/ Ｗ z 和扭转 切应力 max =T/ＷP代入上式，用圆截面 Wz 代替 WP ， WP=2Wz ，即得到圆轴的弯 、扭组合时的强度准则为
Mz y M y z k z y Iz Iy 2.斜弯曲的强度计算
第8章 组合变形(土木)
F F
350
F
350
M
FN
y1
A 15000 mm 2 z0 75mm z1 125 mm
I y 5.31 10 7 mm 4
y
z0
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 50 FN F M F 350 75 10 3
425 F 10 3 N.m
危险点在1，2点。
max
b 9cm
h 2b 18cm
屋 顶 桁 架 结 构 的 简 化
例: 图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的应力；
(2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
C C P=2kN y
t .max 667 F t
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 45000N 45kN F
FN
c. max
Mz1 FN Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
FN
（4）求压力F
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从虎克定律;
2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠 加计算,且能保证与加载次序无关. 图示纵横弯曲问题,横截面上内 力为
350
F
350
M
FN
y1
A 15000 mm 2 z0 75mm z1 125 mm
I y 5.31 10 7 mm 4
y
z0
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 50 FN F M F 350 75 10 3
425 F 10 3 N.m
危险点在1，2点。
max
b 9cm
h 2b 18cm
屋 顶 桁 架 结 构 的 简 化
例: 图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的应力；
(2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
C C P=2kN y
t .max 667 F t
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 45000N 45kN F
FN
c. max
Mz1 FN Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
FN
（4）求压力F
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从虎克定律;
2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠 加计算,且能保证与加载次序无关. 图示纵横弯曲问题,横截面上内 力为
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学课件第8章组合变形zym
§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4
材料力学- 8组合变形
l/2 l/2
D
A P
C
d
B
Q
l/2
D
l/2
解：
B
A P
mA
C
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
B
（1）受力分析与计算简 图：将载荷Q向轮心平移 （2）内力分析，画出弯 矩图和扭矩图；找出危险 面和危险点：危险面在中 点C处 （3）代公式：求最大安 全载荷Q
d
T
QD/2
r3
设计中常采用的简便方法：
因为偏心距较大，弯曲应力 是主要的，故先考虑按弯曲强 度条件 设计截面尺寸
M Wz 6000 6 35 10 d 3 32
解得立柱的近似直径 取d=12.5cm,再代 入偏心拉伸的强 度条件校核
d 0.12 m
15000 6000 3.14 0.1252 3.14 0.1253 4 32 32.4 106 32.4MPa 35MPa
M 2 T2 [ ] Wz
l/2
D
l/2
Ql Q M 0.8 0.2Q 4 4
B
A P
mA
C
d
T
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
QD Q 0.36 0.18Q 2 2
r3
B
M 2 T2 [ ] Wz
Wz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
32
T
QD/2
（1）计算内力
将立柱假想地截开，取上段为 研究对象，由平衡条件，求出 立柱的轴力和弯矩分别为
F
N
FN P 15000 N M Pe 15000 0.4 6000N m
D
A P
C
d
B
Q
l/2
D
l/2
解：
B
A P
mA
C
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
B
（1）受力分析与计算简 图：将载荷Q向轮心平移 （2）内力分析，画出弯 矩图和扭矩图；找出危险 面和危险点：危险面在中 点C处 （3）代公式：求最大安 全载荷Q
d
T
QD/2
r3
设计中常采用的简便方法：
因为偏心距较大，弯曲应力 是主要的，故先考虑按弯曲强 度条件 设计截面尺寸
M Wz 6000 6 35 10 d 3 32
解得立柱的近似直径 取d=12.5cm,再代 入偏心拉伸的强 度条件校核
d 0.12 m
15000 6000 3.14 0.1252 3.14 0.1253 4 32 32.4 106 32.4MPa 35MPa
M 2 T2 [ ] Wz
l/2
D
l/2
Ql Q M 0.8 0.2Q 4 4
B
A P
mA
C
d
T
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
QD Q 0.36 0.18Q 2 2
r3
B
M 2 T2 [ ] Wz
Wz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
32
T
QD/2
（1）计算内力
将立柱假想地截开，取上段为 研究对象，由平衡条件，求出 立柱的轴力和弯矩分别为
F
N
FN P 15000 N M Pe 15000 0.4 6000N m
材料力学——8组合变形
A
F m
B
T 15kN m
M max 20kN m
W
15kN· m
D 3
32
(1 )
4
+
r3
20kN· m
-
M2 T2 157.26MPa [ ] W
例题8 传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩
m=1kN· m，皮带轮直径 D=300mm，皮带轮紧边拉力为 F1，松边拉力为F2。且F1=2F2，L=200mm，轴的许用 应力[]=160MPa。试用第三强度理论设计轴的直径
例3 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, []=100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度。 解：拉扭组合,危险点应力状态如图 T P A T P
P 450 10 3 6.37 MPa A 0.12
T 167000 35 .7MPa 3 Wn 0.1
P
P
1
1
a a
a a
未开槽前 立柱为轴向压缩
N P P P 1 2 A A (2a) 4a2
开槽后 立柱危险截面为偏心压缩;
P
1
P
1
a a
a a
P
1
Pa/2
1
N M P Pa 2 2P 2 2 A W 2 a a 1 2a 2 a a 6 2 P a2 开槽后立柱的最大压应力 8 2 P 4a 未开槽前立柱的最大压应力
2、相当应力计算 第三强度理论,计算相当力
2 0
r 3 1 3 2 4 2
第四强度理论,计算相当应力
r 4 2 3 2
3、强度校核
F m
B
T 15kN m
M max 20kN m
W
15kN· m
D 3
32
(1 )
4
+
r3
20kN· m
-
M2 T2 157.26MPa [ ] W
例题8 传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩
m=1kN· m，皮带轮直径 D=300mm，皮带轮紧边拉力为 F1，松边拉力为F2。且F1=2F2，L=200mm，轴的许用 应力[]=160MPa。试用第三强度理论设计轴的直径
例3 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, []=100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度。 解：拉扭组合,危险点应力状态如图 T P A T P
P 450 10 3 6.37 MPa A 0.12
T 167000 35 .7MPa 3 Wn 0.1
P
P
1
1
a a
a a
未开槽前 立柱为轴向压缩
N P P P 1 2 A A (2a) 4a2
开槽后 立柱危险截面为偏心压缩;
P
1
P
1
a a
a a
P
1
Pa/2
1
N M P Pa 2 2P 2 2 A W 2 a a 1 2a 2 a a 6 2 P a2 开槽后立柱的最大压应力 8 2 P 4a 未开槽前立柱的最大压应力
2、相当应力计算 第三强度理论,计算相当力
2 0
r 3 1 3 2 4 2
第四强度理论,计算相当应力
r 4 2 3 2
3、强度校核
武汉理工大学材料力学课件8 组合变形及连接部分的计算--JK
9
若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直 接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点 的位置。 D D
1 1
z
z D2 y 中性轴
D2
y
中性轴
强度条件：
（）若 [ t ] [ c ] [ ], 则 1 （2）若 [ t ] [ c ], 则
t ,max [ t ] ,
z
c ,max
FN M max [ c ] A Wz
(1)若F 的作用点在杆的一对称轴上， F M 则强度条件为： [ t ] t , max A Wz 其中 M Fe
c ,max
F M [ c ] A Wz
23
(2) 若F 的作用点不在杆的任一对称轴上
FN My A Iz
z
c ,max
(2)若 t ] [ c ] [ ] , [
则
FN M max [ c ] A Wz
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
20
[例8-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T YA 择工字梁型号。 Ty XA D
另外， 和 的正负号可由My和 Mz引起的变形是拉 8 还是压直接判断。
sin cos 则，F引起的应力为： M ( I z I y) y z
二、中性轴的位置 令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有： 显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线， 设其与z轴的夹角为α，则有：
A Tx
C
B F
A
30° 2m
C
1m
若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直 接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点 的位置。 D D
1 1
z
z D2 y 中性轴
D2
y
中性轴
强度条件：
（）若 [ t ] [ c ] [ ], 则 1 （2）若 [ t ] [ c ], 则
t ,max [ t ] ,
z
c ,max
FN M max [ c ] A Wz
(1)若F 的作用点在杆的一对称轴上， F M 则强度条件为： [ t ] t , max A Wz 其中 M Fe
c ,max
F M [ c ] A Wz
23
(2) 若F 的作用点不在杆的任一对称轴上
FN My A Iz
z
c ,max
(2)若 t ] [ c ] [ ] , [
则
FN M max [ c ] A Wz
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
20
[例8-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T YA 择工字梁型号。 Ty XA D
另外， 和 的正负号可由My和 Mz引起的变形是拉 8 还是压直接判断。
sin cos 则，F引起的应力为： M ( I z I y) y z
二、中性轴的位置 令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有： 显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线， 设其与z轴的夹角为α，则有：
A Tx
C
B F
A
30° 2m
C
1m
《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
工程力学-第8章组合变形
斜弯曲也称为双向平面弯曲。 一、强度计算：
外力分解： Py Pcos
内力计算： Pz Psin
MzPyxPcosxMco;s MyPzxPsinxMsin;
应力计算：
返. 回 下一张 上一张 小结
最大应力：
ma x M Izzym ax M Iyyzma x M W zzM Iyy;
强度条件：
m axM Wzz
返. 回 下一张 上一张 小结
二、计算： 以挡土墙为例。
自重作用使任意截面产生轴向
压力N(x)；对应各点产生压应力：
N(x);
N
A
土压力作用使截面产生弯矩
M(x)；对应点产生正应力：
M(x)y;
M
Iz
X截面任意点应力：
k
N(x)M(x)y;
A
Iz
ma x N(x)M(x);
min
A
W z
挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，
返. 回 下一张 上一张 小结
3. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩） （4） 弯扭组合
二、计算方法 ： 组合变形若忽略变形过程中各基本变形间的互相影
响，则可依据叠加原理计算。
1. 叠加原理 ：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独 作用所产生的应力、变形等互不影响，可叠加计算。
设计 W z ： M [m ]a x12c0 m 3;
查表 1号 6选工字 W z 钢 14 c， 1 m 3,A2,6 1 cm 2;
校核 m a | xN A ： M W m z | a1 x .4 0 M 0 1 P 0 0 0 a [] 5;
因此，可选16号工字钢。
建筑力学第8章组合变形
• ■一、内力计算
• 根据前面所学的力的平移定理，可将偏心力P向截面形心简化，得到 一个轴向压力P和一个力偶矩M＝P·e的力偶［图８-７（ｂ）］。
• 在承受偏心压力的直杆中，各横截面上的内力相等，由截面法可求得 内力
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• FＮ＝P • M＝P·e • 可见，偏心压缩是轴向压缩和平面弯曲的组合。
• 将两种荷载作用下的横截面正应力进行叠加得 • σ＝FＮ/A±M·y/Iｚ • 强度条件为σｍａｘｍｉｎ＝FA±Mｍａｘ/Wｚ≤［σ］ｍａｘｍｉｎ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• 作用在直杆上的外力作用线与杆轴平行而不重合，有一偏心距，此时 杆件就受到偏心压缩（拉伸）。如图８-７（ａ）中柱子受到上部结 构传来的荷载P，其作用线与柱轴线间的距离为e，柱子就产生了偏 心压缩变形。此处的P叫作偏心力，e叫作偏心距。
• ■二、应力计算和强度条件
• 在横截面上任取一点 • K，其应力是轴向压缩应力σＮ和弯曲应力σＭｚ的叠加。 • σＮ＝－P/A • σＭｚ＝±Mｚ·y/Iｚ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• K点的总应力为 • σＫ＝σＮ＋σＭｚ＝－P/A±Mｚ·y/Iｚ（８-３） • 式中，σＭｚ的正负号可由K点所在的变形区域判定：当K点处于受拉
第八章 组合变形
• 第一节 组合变形的概念 • 第二节 斜弯曲 • 第三节 轴向拉（压）和弯曲 • 第四节 偏心压缩（拉伸）
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第一节 组合变形的概念
• 前面各章已经讨论了杆件在各种基本变形时的强度和刚度问题。实际 工程中杆件的受力情况较复杂，所引起的变形不是单一的基本变形， 而是几种基本变形的组合。如图８-１（ａ）所示的烟囱，在承受自 身重力发生轴向压缩变形的同时，又因承受风荷载而引起弯曲变形； 如图８-１（ｂ）所示的厂房牛腿柱，所受吊车梁的压力与柱的轴线 不重合，即受到偏心压力作用，使支柱产生压缩和弯曲两种基本变形 。
• 根据前面所学的力的平移定理，可将偏心力P向截面形心简化，得到 一个轴向压力P和一个力偶矩M＝P·e的力偶［图８-７（ｂ）］。
• 在承受偏心压力的直杆中，各横截面上的内力相等，由截面法可求得 内力
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• FＮ＝P • M＝P·e • 可见，偏心压缩是轴向压缩和平面弯曲的组合。
• 将两种荷载作用下的横截面正应力进行叠加得 • σ＝FＮ/A±M·y/Iｚ • 强度条件为σｍａｘｍｉｎ＝FA±Mｍａｘ/Wｚ≤［σ］ｍａｘｍｉｎ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• 作用在直杆上的外力作用线与杆轴平行而不重合，有一偏心距，此时 杆件就受到偏心压缩（拉伸）。如图８-７（ａ）中柱子受到上部结 构传来的荷载P，其作用线与柱轴线间的距离为e，柱子就产生了偏 心压缩变形。此处的P叫作偏心力，e叫作偏心距。
• ■二、应力计算和强度条件
• 在横截面上任取一点 • K，其应力是轴向压缩应力σＮ和弯曲应力σＭｚ的叠加。 • σＮ＝－P/A • σＭｚ＝±Mｚ·y/Iｚ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• K点的总应力为 • σＫ＝σＮ＋σＭｚ＝－P/A±Mｚ·y/Iｚ（８-３） • 式中，σＭｚ的正负号可由K点所在的变形区域判定：当K点处于受拉
第八章 组合变形
• 第一节 组合变形的概念 • 第二节 斜弯曲 • 第三节 轴向拉（压）和弯曲 • 第四节 偏心压缩（拉伸）
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第一节 组合变形的概念
• 前面各章已经讨论了杆件在各种基本变形时的强度和刚度问题。实际 工程中杆件的受力情况较复杂，所引起的变形不是单一的基本变形， 而是几种基本变形的组合。如图８-１（ａ）所示的烟囱，在承受自 身重力发生轴向压缩变形的同时，又因承受风荷载而引起弯曲变形； 如图８-１（ｂ）所示的厂房牛腿柱，所受吊车梁的压力与柱的轴线 不重合，即受到偏心压力作用，使支柱产生压缩和弯曲两种基本变形 。
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
工程力学8组合变形
最大拉应力 最大压应力
σt max
P 425×7.5P = + MPa 15 5310
P 425×12.5P = − MPa 15 5310
′ σcmax = σ′ +σc′max
由抗拉强度条件
σt max ≤ [σt ] = 30 MPa
由抗压强度条件
P ≤ 45.1 kN P ≤171.3 kN
A =15×10 m , zo = 7.5 cm , 4 I y = 5310 cm
2
−3
求内力(作用于截面形心 求内力 作用于截面形心) 作用于截面形心
10
几何参数
A =15×10 m , zo = 7.5 cm , 4 I y = 5310 cm
2
−3
求内力(作用于截面形心 求内力 作用于截面形心) 作用于截面形心 取研究对象如图
23
i
2 z
+
i
2 y
= −1
当压力作用点在直线 上移动时 当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保 直线 上移动时， 点的应力保 持为零。 持为零。 中性轴通过C点，但方位不断变化。 中性轴通过 点 但方位不断变化。 截面核心的确定 截面核心的确定 设AE为中性轴 为 中性轴的截距为a 中性轴的截距为 y, az， 由：
b h 2 i = , iz = 12 12
2 y
2
2
设AB为中性轴 为中性轴
a点坐标 点坐标
h AB直线的截距为： ay = − , az = ∞ 直线的截距为： 直线的截距为 2 2 2 iy iz h 由：ya = − , z = − ya = , za = 0 a ay az 6
26
材料力学第8章 组合变形
b.未通过轴线或形心主惯性轴，向其分解
注意：荷载分解、简化的前提是不改变研究段的内力。
（2）内力分析方法
用截面法计算任意截面的内力，通过内力确定变形的组成
z
Fsz My
Ty
Fsy
M z FN
FN
T
x M z , Fsy M y , Fsz
轴向拉、压 扭转 x,y面内的平面弯曲 x,z面内的平面弯曲
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
F sin
F cos F
（2）求B点的应力
MB FN
WA
12.32103 25103
0.1 0.22
0.1 0.2
6
B
17.23 MPa
（3）求B点30º斜截面上的正应力
300 cos2 30 17.23 cos2 30 12.99 MPa
（4）求B点的主应力
1 0 2 0 3 17.23 MPa
z
面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称 轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上
Mz
的最大正应力发生在截面的棱角处。于是
，可根据梁的变形情况，直接确定截面上
My
最大拉、压应力点的位置，而无需定出其
y
中性轴。
因危险点为单向应力状态（忽略弯曲切应力的影响）， 故，强度条件为：
max
M y max Wy
F sin
12.32kN m
F cos F
例： 如图示一矩形截面折杆，已知F＝50kN，尺寸如图所示， α＝30°。（1）求B点横截面上的应力；（2）求B点α＝30°截
面上的正应力；（3）求B点的主应力σ1、 σ2、 σ3。
FN
B
MB 100mm
材料力学-第八章组合变形
M z y M y sin
Iz
Iz
x
M y z M z cos
Iy
Iy
x
y
z
y
z
M
y sin
z
cos
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横 截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示， 然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
A
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN (a)
500
解：
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
（1）分析载荷 如图b所示
5 kN
12 kN (b)
T 1.5 kN m
（2）作内力图 x
如图c、d、e、f 所示
(c)
MC MD
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
FN A
F (2a)2
1 4
F a2
（2）开槽后的正应力
My
FN F
My
Fa 2
FN
2
max
FN A
My Wy
F 2a2
Fa / 2 2a2 a2 /
6
2
F a2
2a
2a
z
a
所以：
2
1
8
y
§8.3 斜弯曲
F1
材料力学刘鸿文第六版最新课件第八章 组合变形
667 667
F c 160 106 171300N
934 934
许 可 压 力 为 F 45000N 45kN
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆 的强度。
4、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c ,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN
My
Байду номын сангаас
|z| 0
A
Iy
| z | FN I y A M y
+_
（-z y)
y -_
z
_
_
+
|z|
第三组
圆截面、弯扭组合变形
§8-4 扭转与弯曲的组合
扭转+双向弯曲
求合弯矩
M
2
M
2 y
M
2 z
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题1 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按 第三强度理论设计轴的直径d。
§8-1 组合变形和叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
F c 160 106 171300N
934 934
许 可 压 力 为 F 45000N 45kN
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆 的强度。
4、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c ,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN
My
Байду номын сангаас
|z| 0
A
Iy
| z | FN I y A M y
+_
（-z y)
y -_
z
_
_
+
|z|
第三组
圆截面、弯扭组合变形
§8-4 扭转与弯曲的组合
扭转+双向弯曲
求合弯矩
M
2
M
2 y
M
2 z
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题1 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按 第三强度理论设计轴的直径d。
§8-1 组合变形和叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
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第8章 组合变形的强度分析
压弯组合变形
第8章 组合变形的强度分析
拉弯组合变形
第8章 组合变形的强度分析
弯扭组合变形
第8章 组合变形的强度分析
拉（压）弯曲组合变形 弯扭组合变形
8.1 拉（压）、弯组合变形
m
m
e
F
m
m
M FN
F
FN F
FN F N A A
B
+
B
N
A
A
F Fe A A W
A 2m
FAy M FAx
C 1m FC C
B F
A
B F
x
FN
12KN.m x
24KN
8.1 拉（压）、弯组合变形
例8-2 F=12kN， []=100MPa
解： FCy 18kN, FCx 24kN 危险截面为C截面 按弯曲强度条件可得： M 12 103 3 W 120cm 6 100 10
求：1）画出轴的受力简图 2）画出扭矩图与弯矩图 3）按第3强度理论校核 解： 1）受力简图如图 求约束力
FCy 17.5kN
y FAy A MB B FCy M 14kN D x FCz C D z y 400mm B A 10kN C 400mm
200mm
D
C
x
4kN
4kN
10kN
z FAz M 0: 0.8 F 14 1 0 z Cy
D 3
1 32
4
8.2 弯扭组合变形
计算简图
8.2 弯扭组合变形
例8-3：转轴如图所示。
y
80MPa，D 800mm，d 80mm。
300mm
150mm
5kN x
5kN
试用第三强度理论校核轴的强度。 解：转轴受力如图所示。 扭矩： T MC 10 5 0.4 2kN m
B F
8.2 弯扭组合变形
l
l MF=Fa
a F
F
8.2 弯扭组合变形
y
l
MF
z
x
MF=Fa
F
T MF
F
x
M x
Fl
8.2 弯扭组合变形
y y
危险截面
MF x
T M
z
F
T MF
x
πD3 Wz 32
M Wz
T
WP
M x
πD3 WP 16
Fl
WP 2Wz
8.2 弯扭组合变形
F Fa/4 \m
解：(1)
FN M F Fa 4 2 A W a a a a 2 2 6 (2)
8F a 2 4F a 2
2
F
a
a/2 a/2
FN F 0 2 A a
8F a 8 2 0 F a
8.1 拉（压）、弯组合变形
例8-2 图示起重机的最大吊重F=12kN，许用应力 []=100MPa ，试为横梁AB选择合适的工字钢。
解：根据横梁AB的受力图， 由平衡方程可得：
1.5m
M A ( F ) 0 : FCy 18kN, FCx 24kN
作弯矩图和轴力图，危险截面 为C截面。 注意：求工字钢截面几何尺 寸时，因为A、W不可能同时 获得，所以不能同时考虑弯 矩与轴力条件，可先按弯曲 强度条件试算，再按弯压组 合进行强度校核。
M0
A B
C
z
y FAy
10kN
FBy
MC
弯矩：M z、M y 分别如图所示
M zB 0.75kN m
M yB 2.25kN m
M0 FAz A z
T Mz My
x
FBz
B
5kN 15kN
2kN· m
MB
2 M zB
2 M yB
0.75kN•m
2.37kN m
2.25kN•m
M0 FAz A z
T Mz My
x
FBz
B
5kN 15kN
2kN· m
M 2 T 2 106 r3 23702 20002 W 50.24 61.72MPa 80MPa
0.75kN•m
转轴安全
2.25kN•m
8.2 弯扭组合变形
例8-4：转轴如图，两皮带轮 的直径D=500mm，轴的直径 d=80mm，[σ]=80MPa
8.2 弯扭组合变形
例8-3：转轴如图所示。
y
80MPa，D 800mm，d 80mm。
300mm
150mm
5kN x
5kN
试用第三强度理论校核轴的强度。 解：
M0
A B
C
T 2kN m
M B 2.37kN m
z
y FAy
10kN
FBy
MC
3 3.14 π D W 0.083 50.24cm3 32 32
y MF y
x
M
Mn
z
F
r3 2 4 2
M W z
2
T 4 W P
2
πD3 Wz 32
M 2 T 2 Wz
M Wz
T
WP
πD3 WP 16
r4 2 3 2
14kN
M
y
0:14 0.4 0.8FCz 0
FCz 7kN
8.2 弯扭组合变形
D=500mm，d=80mm， [σ]=80MPa
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FCy 17.5kN, FCz 7kN
解：2）扭矩图与弯矩图 危险截面为B截面
MB M M
2 zB 2 yB
y
FAy
MB
B
FCy M 14kN D x
x
1.4kN•m
2.8kN•m
拉伸(压缩)+弯曲
拉伸（压缩）
弯
曲
弯曲＋扭转
Mz
扭转
M T
My
FN
M
单向应力状态
复杂应力状态
强度理论 强度条件
max
r
1.5m A 2m
FAy FAx
C 1m FC C
B F
A
M 查型钢表，可选用16号钢 注意：求工字钢截面几何尺 x 3 2 W 141cm ,W A 26.1cm 寸时，因为 A、 不可能同时 12KN.m FN 获得，所以不能同时考虑弯 按弯压组合强度条件，可知 C截面下边缘 x 矩与轴力条件，可先按弯曲 各点压应力最大： 24KN 强度条件试算，再按弯压组 FN M max C max 94.3MPa 合进行强度校核。 A W 说明所选工字钢合适。
z
2 2
A FAz
FCz C
D
2.8 1.4
14kN
T 1.5kN•m
TB (10 4)
r3
3）强度校核
D 1.5kN m 2
3.13kN m
x
My A
B
C
D
x
2.8kN•m
1 2 MB TB2 Mz W 32 2 2 3130 1500 d3 69.9MPa < [ ] 转轴安全
WP 2Wz
M 2 0.75T 2 Wz
8.2 弯扭组合变形
塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形
1 2 2 M T [ ] 第三强度理论： r 3 W 1 2 2 M 0 . 75 T [ ] 第四强度理论： r 4 W
W
d
3
32
W
M Fe M Fe M W W
B
M
A
F Fe A W
=
B
max
max
N M
8.1 拉（压）、弯组合变形
例8-1 具有切槽的正方形木杆，受力如图。求： （1）m-m截面上的最大拉应力σ+和最大压应力 σ-； \m （2）此σ+是截面削弱前的σ+值的几倍？
压弯组合变形
第8章 组合变形的强度分析
拉弯组合变形
第8章 组合变形的强度分析
弯扭组合变形
第8章 组合变形的强度分析
拉（压）弯曲组合变形 弯扭组合变形
8.1 拉（压）、弯组合变形
m
m
e
F
m
m
M FN
F
FN F
FN F N A A
B
+
B
N
A
A
F Fe A A W
A 2m
FAy M FAx
C 1m FC C
B F
A
B F
x
FN
12KN.m x
24KN
8.1 拉（压）、弯组合变形
例8-2 F=12kN， []=100MPa
解： FCy 18kN, FCx 24kN 危险截面为C截面 按弯曲强度条件可得： M 12 103 3 W 120cm 6 100 10
求：1）画出轴的受力简图 2）画出扭矩图与弯矩图 3）按第3强度理论校核 解： 1）受力简图如图 求约束力
FCy 17.5kN
y FAy A MB B FCy M 14kN D x FCz C D z y 400mm B A 10kN C 400mm
200mm
D
C
x
4kN
4kN
10kN
z FAz M 0: 0.8 F 14 1 0 z Cy
D 3
1 32
4
8.2 弯扭组合变形
计算简图
8.2 弯扭组合变形
例8-3：转轴如图所示。
y
80MPa，D 800mm，d 80mm。
300mm
150mm
5kN x
5kN
试用第三强度理论校核轴的强度。 解：转轴受力如图所示。 扭矩： T MC 10 5 0.4 2kN m
B F
8.2 弯扭组合变形
l
l MF=Fa
a F
F
8.2 弯扭组合变形
y
l
MF
z
x
MF=Fa
F
T MF
F
x
M x
Fl
8.2 弯扭组合变形
y y
危险截面
MF x
T M
z
F
T MF
x
πD3 Wz 32
M Wz
T
WP
M x
πD3 WP 16
Fl
WP 2Wz
8.2 弯扭组合变形
F Fa/4 \m
解：(1)
FN M F Fa 4 2 A W a a a a 2 2 6 (2)
8F a 2 4F a 2
2
F
a
a/2 a/2
FN F 0 2 A a
8F a 8 2 0 F a
8.1 拉（压）、弯组合变形
例8-2 图示起重机的最大吊重F=12kN，许用应力 []=100MPa ，试为横梁AB选择合适的工字钢。
解：根据横梁AB的受力图， 由平衡方程可得：
1.5m
M A ( F ) 0 : FCy 18kN, FCx 24kN
作弯矩图和轴力图，危险截面 为C截面。 注意：求工字钢截面几何尺 寸时，因为A、W不可能同时 获得，所以不能同时考虑弯 矩与轴力条件，可先按弯曲 强度条件试算，再按弯压组 合进行强度校核。
M0
A B
C
z
y FAy
10kN
FBy
MC
弯矩：M z、M y 分别如图所示
M zB 0.75kN m
M yB 2.25kN m
M0 FAz A z
T Mz My
x
FBz
B
5kN 15kN
2kN· m
MB
2 M zB
2 M yB
0.75kN•m
2.37kN m
2.25kN•m
M0 FAz A z
T Mz My
x
FBz
B
5kN 15kN
2kN· m
M 2 T 2 106 r3 23702 20002 W 50.24 61.72MPa 80MPa
0.75kN•m
转轴安全
2.25kN•m
8.2 弯扭组合变形
例8-4：转轴如图，两皮带轮 的直径D=500mm，轴的直径 d=80mm，[σ]=80MPa
8.2 弯扭组合变形
例8-3：转轴如图所示。
y
80MPa，D 800mm，d 80mm。
300mm
150mm
5kN x
5kN
试用第三强度理论校核轴的强度。 解：
M0
A B
C
T 2kN m
M B 2.37kN m
z
y FAy
10kN
FBy
MC
3 3.14 π D W 0.083 50.24cm3 32 32
y MF y
x
M
Mn
z
F
r3 2 4 2
M W z
2
T 4 W P
2
πD3 Wz 32
M 2 T 2 Wz
M Wz
T
WP
πD3 WP 16
r4 2 3 2
14kN
M
y
0:14 0.4 0.8FCz 0
FCz 7kN
8.2 弯扭组合变形
D=500mm，d=80mm， [σ]=80MPa
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FCy 17.5kN, FCz 7kN
解：2）扭矩图与弯矩图 危险截面为B截面
MB M M
2 zB 2 yB
y
FAy
MB
B
FCy M 14kN D x
x
1.4kN•m
2.8kN•m
拉伸(压缩)+弯曲
拉伸（压缩）
弯
曲
弯曲＋扭转
Mz
扭转
M T
My
FN
M
单向应力状态
复杂应力状态
强度理论 强度条件
max
r
1.5m A 2m
FAy FAx
C 1m FC C
B F
A
M 查型钢表，可选用16号钢 注意：求工字钢截面几何尺 x 3 2 W 141cm ,W A 26.1cm 寸时，因为 A、 不可能同时 12KN.m FN 获得，所以不能同时考虑弯 按弯压组合强度条件，可知 C截面下边缘 x 矩与轴力条件，可先按弯曲 各点压应力最大： 24KN 强度条件试算，再按弯压组 FN M max C max 94.3MPa 合进行强度校核。 A W 说明所选工字钢合适。
z
2 2
A FAz
FCz C
D
2.8 1.4
14kN
T 1.5kN•m
TB (10 4)
r3
3）强度校核
D 1.5kN m 2
3.13kN m
x
My A
B
C
D
x
2.8kN•m
1 2 MB TB2 Mz W 32 2 2 3130 1500 d3 69.9MPa < [ ] 转轴安全
WP 2Wz
M 2 0.75T 2 Wz
8.2 弯扭组合变形
塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形
1 2 2 M T [ ] 第三强度理论： r 3 W 1 2 2 M 0 . 75 T [ ] 第四强度理论： r 4 W
W
d
3
32
W
M Fe M Fe M W W
B
M
A
F Fe A W
=
B
max
max
N M
8.1 拉（压）、弯组合变形
例8-1 具有切槽的正方形木杆，受力如图。求： （1）m-m截面上的最大拉应力σ+和最大压应力 σ-； \m （2）此σ+是截面削弱前的σ+值的几倍？