隐圆与几何最值训练题

隐圆及几何最值训练题

一、利用“直径是最长的弦”求最值

1.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为（ ） ．

2.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，D 为AC 的中点，过点D 作DE ⊥DF ，DE 、DF 分别交射线AB 、AC 于点E 、F ，则EF 的最小值为 .

二、利用“定点定长存隐圆”求最值

3．（2012年市中考）在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值围是_________．

4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值围是.

5．正方形ABCD 中，BC=4，E ，F 分别为射线BC ，CD 上两个动点，且满足BE=CF ，设AE ，BF 交于G ，则DG 的最小值为（ ）。

E

6.（2013年市中考）如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是

7.（2015年中考）如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中

点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM

8.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是

AD 将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A 'MN ，连接A 'C ，则A 'C

长度的最小值是

. 9.（2013年中考）如图，圆A 与圆B 外切于点D ，PC 、PD 、PE 分别是圆的切线，C 、D 、E

是切点，若∠CDE ＝x °,∠ECD ＝y °，⊙B 的半径为R ，则弧DE 的长度是( ) A.

90

)90(R

x -π B.

90

)90(R

y -π

C.180)180(R x -π

D.180

)180(R y -π

10.在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （-2，0），点B （0，2），点E ，点F 分别为OA ，OB

的中点.若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形

OE ’D ’F ’，若直线AE ’与直线BF ’相交于点P.

（1）求∠PAO 的最大值 （2）点P 运动的路径长

B 第16题图

N

M

A'

D C

B A

三、利用“对角互补存隐圆”求最值

11.如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，求PM 长度的最大值

四、利用“定弦定角存隐圆”求最值

12.（2014年市元调）．如图，扇形AOD 中，∠AOD ＝90°，OA ＝6，点P 为弧AD 上任意一点（不与点A 和D 重合），PQ ⊥OD 于Q ，点I 为△OPQ 的心，过O ，I 和D 三点的圆的半径为r . 则当点P 在弧AD 上运动时，r 的值满足（ ）

A ．0＜r ＜3

B ．r=3

C ．3＜r ＜3 2

D ．r=3 2

13.如图, 边长为3的等边△ABC , D 、E 分别为边BC 、AC 上的点, 且BD ＝CE , AD 、BE 交于

P 点, 则CP 的最小值为

14.如图，点A 与点B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点P 是该直角坐 标系的一个动点． （1）使∠APB=30°的点P 有 个；

（2）若点P 在y 轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P 的坐标；

（3）当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时 ∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．

I

O

A

D

P

y A

B

五、利用“两边和差”求最值

15.如图, 已知边长为2的正△ABC, 两顶点A 、B 分别在直角∠MON 的两边上滑动, 点C 在∠MON 部, 则OC 的长的最大值为 .

16.（2013年市四调）如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ).

A ．3

B ．6 C

D

．

17．△ABC 中，∠ACB=900，AC=4，BC=2，当点A 在x 轴上运动时，C 点也在y 轴上随之运动，求OB 的最大值

18．△ABC 中，∠ACB=900，AC=BC= 5 ，BP= 2 ，将CP 绕C 点顺时针旋转900得到线

段CD ，当P 点绕B 点旋转一周时，D 点也随之运动，求BD

19．△ABC 中，∠ACB=900， BC=6，AC=12，D 在AC 上，AD=8，把线段AD 绕A 点旋转

到AD ’位置，设F 为BD ’的中点，，求CF 的最大值 A

20．如图，PA=2，PB=4，将线段PA 绕P 点旋转一周，以AB 为边作正方形ABCD ，求PD 的最大值

21.△ABC 中，AB=2，BC=4，以AC 为边作等边三角形ACD ，当∠ABC 大小变化时，求BD 的最大值。

六、利用“同侧差最大，异侧和最小”求最值

22.如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 在直径AB 的同侧半圆上，∠AOC ＝96°，∠BOD ＝36°，动点P 在直径AB 上，则CP ＋PD 的最小值是（ ） A ．2R B ．3R C ．2R D ．R

23.正方形ABCD 的边长为4，点E 在BC 上，且CE=1，长为 2 的线段MN 在AC 上滑动，

C

A A