《结构力学》龙驭球第7章_位移法2

例7-1、试用位移法分析图示刚架。
q=20 kN/m
A 4I0 B E 5I0 C 4I0 D 4m
⑴ 基本未知量 B 、 C ⑵ 杆端弯矩Mi j ql 2 20 42 F M BA 40kNm 8 8 ql 2 F M BC 41.7kNm 12
F MCB 41.7kNm
座的侧移不作为基本未知量）。
⑵ 杆件刚度（转角位移）方程中要考虑线位移的影响。 ⑶ 在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。
1、基本未知量的选取
结点角位移数：
结构上可动刚结点数即为位移法的结点角位移数。 结构独立线位移： 为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设： ⑴ 忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长；
3i F M AB M AB h 3i M CD h
⑶ 位移法方程及求解：
3i F M AB l 3i qh2 h 8
q
h
FQBA
x 0
FQBA
求剪力的通用公式：
FQAB
M AB M BA 0 FQAB l
FQBA FQDC 1.5qh 0 3i 3i 3 2 qh FQDC 2 h 8 h
M BA M BC M BE 0 M CB M CD M CF 0
10 B 2 C 1.7 0 2 B 9 C 41.7 0
⑷ 解方程 3i M F 3 40 M CB 4 C 2 B 41.7 M BA AB B BA B 梁 B 1.15 C 4.89 (相对值)
M BC 4 B 2 C 41.7
M BE 4 M EB 3 B 3 B 4 3 2 B 1.5 B 4
M CD 3 C
M CF 4 1 C 2 C 2 1 2 C C 2
柱
M FC
⑶ 位移法方程
MB 0 MC 0
h1
I2
D
h2
I3
F
⑶ 位移法方程
E C FP A FQCD
x 0
FP FQ1 FQ2 FQ3 0
FQEF
i3 i1 i2 FP 3( 2 2 2 ) 0 h1 h2 h3 FP FP i3 i i1 i2 3( 2 2 2 ) 3 2 h h1 h2 h3
§7-3 无侧移刚架的计算
如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
FP=20kN B A 3m EI 3m B B
q=2kN/m
B 6m C
1、基本未知量B
2、固端弯矩 F l 20 6 F M BA P 15kN m 8 8
F M AB 15kN m
FQAB
EI 6i B 3i 3 4 FQBA 杆端弯矩作用的剪力 6 1.5i B 0.75i l F'
⑷ 解位移法方程：
10i B 1.5i 4 0 (1) 6i B 3.75i 24 0 (2)
⑸ 求杆端弯矩，作弯矩图。 M AB 2i B 1.5i 4 0.737 7.58 -13.896 kN· i m 1.5 4 = 2i i i MBA = - 4.422 kN· m MBC = 4.422 kN· m MDC = -5.685 kN· m 13.896
M BC 4 B 2 C 41.7
M CD 3 C
⑸ 杆端弯矩及弯矩图 3 1 M CF 4 C 2 C M BE 4 B 3 B 4 kN 柱 M BA 3iAB B mBA 3 B 40 3 1.15 40 43.52 m M BC B 3 C 41.7 B 1.15 2 M FC 41.7 46.9kN m 4.89 2 1 C C M EB 4 2 2 B 1.5 4 2 4 3 43.5 46.9 24.5 14.7 M BE 4 4 B 3.45kN m D A B C 9.8 M 4 1 9.8kN m C 3.45 CF 2 1.7
E M 图（kN m）
4.89 F
小
结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程； 2、单元分析、建立单元刚度方程是基础； 3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。 P q M q C M MCB MCD
侧移刚架的计算
刚架中除有刚结点转角外，还有结点线位移，称为有侧移刚架。 计算的思路与无侧移刚架基本相同，但在具体作法上增加一些新内容： ⑴ 基本未知量中，包括结点线位移（铰结点、铰支座的转角，定向支
3I0
F
3I0
2m 4m
4m
5m
i AB
EI AB E 4 I 0 1 l AB 4
计算线性刚度i，设EI 0=1，则
iBC 1, iCD 1, iBE
3 1 , iCF 4 2
梁
F M BA 3iAB B M BA 3B 40
M CB 4 C 2 B 41.7
6i F M AB l
M AB 2iB 1.5i 4
⑶ 位移法方程： MBC B MBA B FQBA
M BA 4iB 1.5i 4
M DC 0.75i
MB 0
M BA M BC 0 (1a) 10i B 1.5i 4 0 ( 1 )
例7-2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。 解：⑴ 基本未知量： ⑵ 各柱的杆端弯矩和剪力： 各柱的线刚度： FP A EI 3 EI 2 EI1 i2 i3 i1 h2 h3 h1 I1 M BA 3i1 , M DC 3i2 , M FE 3i3 h1 h2 h3 B FQAB 3i1 2 , FQCD 3i2 2 , FQEF 3i3 2 h2 h3 h1 C E
C FQCD
Fx 0
FQBA FQCD 0 (2a)
6i 3.75i 24 0 ( 2 )
MBA
B 如何求杆端剪力? M M BA 0 求剪力的通用公式： FQAB AB FQAB l MBA MAB q MAB MBA FQBA
q=3kN/m
M FE
FQEF
i3 h3 i h2 i FP 32 h3 i h2 FP
⑸ 根据杆端弯矩作M图。 剪力分配法 ⑹ 讨论：
各柱柱顶剪力 FQ 与
架柱的侧移刚度) 成正比。根据这一 性质，可用下述方法求排架的内力：
( 称为排 h2
FP
结点荷载FP 作为各柱总剪力，按各柱 的侧移刚度的比例分配给各柱，得各 柱剪力，即可作出弯矩图。
0.737 B i
B 4.422 4.422
7.58 i
C
A B
5.685 M图（kN· m） 1.42 0.553
D
⑹ 求杆端剪力，作剪力图。 M M BA 0 FQAB AB FQAB l 13.9 4.42 3 4 4.58 6 10.58kN 4 2 FQBA 4.58 6 1.42kN
FQAB
h3

⑷ 杆端弯矩和剪力：
FP i 3 2 h
M BA 3i1
, FQAB 3i1 2 , h1 h1
M BA
FQAB
i1 h1 , i h2 i FP 12 h1 , i h2 FP
M DC
FQCD
i2 h2 , i h2 i FP 22 h2 , i h2 FP
M BC
6 3i 9 11.57kN m 7i
16.72 11.57 30
M 图（kN m）
9
3.21
15.85
位移法的基本作法：先拆散，后组装。 组装的原则：
① 在结点处各杆件的变形协调一致（变形连续条件）
② 组装好的结点要满足平衡条件，列出位移法基本方程。
⑵ 变形后的曲杆长度与其弦等长。 上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。
如何确定结构的独立线位移?
① 用观察的方法判定：
C
C
D
D


2
1
A
B
② 用几何构造分析的方法确定： 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系 的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余 联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位
MBA
MDC M图
MFE

B
i1

D
练习2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的变形。 解：⑴ 基本未知量： ⑵ 单元分析： M AB 4i A 2i B 6i h
i
A
i
C
B FQBA
D FQDC
qh 2 M AB 6i M BA h 12 M CD 6i M DC h
FQCD
C 1.42
10.58 5.685 0 1.42kN 4
A
FQ图（kN）
D
1.42
F=1.5qh B i
A
i1

D
练习1：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。 解：⑴ 基本未知量：Δ ⑵ 单元分析： M AB 3i A
i
C
F =1.5qh B
D FQDC
移数。
2、基本方程的建立
用位移法分析图示刚架： 2i B C q=3kN/m i i 4m MBC B MBA q=3kN/m C