数值传热学第五章作业

5-2

解：根据课本p158式（5—1a ）得一维稳态无源项的对流－扩散方程如下所示：

22x x u ∂∂Γ=∂∂φφρ （取常物性）

边界条件如下：

L L x x φφφφ====,;,00

由（5—2）得方程的精确解为：

1

1)/(00--=--⋅Pe L x Pe L e e φφφφ Γ=/uL Pe ρ 将L 分成15等份，有：∆=P Pe 15

对于中心差分、一阶迎风、混合格式和QUICK 格式分别分析如下：

1） (CD)中心差分

节点离散方程： 2

)5.01()5.01(11-∆+∆++-=

i i i P P φφφ 10,2 =i 2） 一阶迎风 节点离散方程： ∆-∆++++=

P P i i i 2)1(11φφφ 10,2 =i

3） 混合格式 当1=∆P 时，节点离散方程：2

)5.01()5.01(11-∆+∆++-=i i i P P φφφ ，10,2 =i 当10,5=∆P 时，节点离散方程： 1-=i i φφ ， 10,2 =i

4） QUICK 格式，节点离散方程：

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++++=+-∆

∆

-∆∆+∆)336(81221211111i i i i i i P P P P P φφφφφφ， 2=i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++++++=

+--∆∆

-∆∆+∆)35(812212112111i i i i i i i P P P P P φφφφφφφ， 2≠i

用matlab 编程如下：（本程序在x/L=0-1范围内取16个节点进行离散计算，假设y(1)= 0φ=0,y(16)=L φ=1,程序中Pa 为∆P ，x 为题中所提的x/L 。由于本程序假设y(1)=0φ=0,y(16)=L φ=1，所以y y y y y y L =--=--=--0

10)1()16()1(00φφφφ） Pa=input('请输入Pa=')

x=0:1/15:1

Pe=15*Pa;

y=(exp(Pe*x)-1)/(exp(Pe)-1)

plot(x,y,'-*k') %精确解

hold on

y(1)=0,y(16)=1;

for i=2:15

y(i)=((1+0.5*Pa)*y(i-1)+(1-0.5*Pa)*y(i+1))/2;

end

plot(x,y(1:16),'-or') %中心差分

hold on

for i=2:15

y(i)=((1+Pa)*y(i-1)+y(i+1))/(2+Pa);

end

plot(x,y(1:16),'-.>g') %一阶迎风

hold on

for i=2:15

if Pa==1

y(i)=((1+0.5*Pa)*y(i-1)+(1-0.5*Pa)*y(i+1))/2;

else

y(i)=y(i-1)

end

end

plot(x,y(1:16),'-+y') %混合格式

hold on

for i=2:15

if i==2

y(i)=y(i+1)/(2+Pa)+(1+Pa)*y(i-1)/(2+Pa)+(Pa/(2+Pa))*(6*y(i)-3*y(i-1)-3*y(i+1))/8 else

y(i)=y(i+1)/(2+Pa)+(1+Pa)*y(i-1)/(2+Pa)+(Pa/(2+Pa))*(5*y(i)-y(i-1)-y(i-2)-3*y(i+1))/8 end

end

plot(x, y(1:16),'-

hold on

legend('精确解','中心差分','一阶迎风','混合格式','QUICK 格式')

运行结果如下图所示：当 1=∆P ：

当5=∆P ：

当10=∆P ：

5－3 解：根据课本式(5-19)得： 乘方格式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤≤--+≤≤->=∆∆

∆∆∆∆∆∆10,010,

)1.01(100,)1.01(10,055P P P P P P P P D a e E

当1.0=∆P 时有：

951.0)1.01.01()1.01(55=⨯-=-=∆P D a e

E 301.0/3)()()()()()(===Γ=Γ=∆e

e e e e e e e e P u x u u x D ρδρρδ 5297.2830951.0951.0=⨯==e E D a 由系数关系∆=-P D a D a e

E w W 可得： 53.3130)951.01.0()(=⨯+=⨯+=∆w e

E W D D a P a

根据式（5-51g ）得： 205

.01.010

=⨯=∆∆=t x

a P p ρ 根据式（4-12）得： 0P W E P a fa fa a ++= （本题方程中无源项）

当采用隐式时1=f ，则得到：

0597.62253.315297.280=++=++=P W E P a fa fa a

即：1.0=∆P 时，5297.28=E a ，53.31=W a ，20=p a ，0597.62=P a 当10=∆P 时，按照以上算法得出： 0=E a ，3=W a ，20

=p a ， 5=P a