数值传热学第五章作业

5-2
解：根据课本p158式（5—1a ）得一维稳态无源项的对流－扩散方程如下所示：
22x x u ∂∂Γ=∂∂φφρ （取常物性）
边界条件如下：
L L x x φφφφ====,;,00
由（5—2）得方程的精确解为：
1
1)/(00--=--⋅Pe L x Pe L e e φφφφ Γ=/uL Pe ρ 将L 分成15等份，有：∆=P Pe 15
对于中心差分、一阶迎风、混合格式和QUICK 格式分别分析如下：
1） (CD)中心差分
节点离散方程： 2
)5.01()5.01(11-∆+∆++-=
i i i P P φφφ 10,2 =i 2） 一阶迎风 节点离散方程： ∆-∆++++=
P P i i i 2)1(11φφφ 10,2 =i
3） 混合格式 当1=∆P 时，节点离散方程：2
)5.01()5.01(11-∆+∆++-=i i i P P φφφ ，10,2 =i 当10,5=∆P 时，节点离散方程： 1-=i i φφ ， 10,2 =i
4） QUICK 格式，节点离散方程：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++++=+-∆
∆
-∆∆+∆)336(81221211111i i i i i i P P P P P φφφφφφ， 2=i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++++++=
+--∆∆
-∆∆+∆)35(812212112111i i i i i i i P P P P P φφφφφφφ， 2≠i
用matlab 编程如下：（本程序在x/L=0-1范围内取16个节点进行离散计算，假设y(1)= 0φ=0,y(16)=L φ=1,程序中Pa 为∆P ，x 为题中所提的x/L 。

由于本程序假设y(1)=0φ=0,y(16)=L φ=1，所以y y y y y y L =--=--=--0
10)1()16()1(00φφφφ） Pa=input('请输入Pa=')
x=0:1/15:1
Pe=15*Pa;
y=(exp(Pe*x)-1)/(exp(Pe)-1)
plot(x,y,'-*k') %精确解
hold on
y(1)=0,y(16)=1;
for i=2:15
y(i)=((1+0.5*Pa)*y(i-1)+(1-0.5*Pa)*y(i+1))/2;
end
plot(x,y(1:16),'-or') %中心差分
hold on
for i=2:15
y(i)=((1+Pa)*y(i-1)+y(i+1))/(2+Pa);
end
plot(x,y(1:16),'-.>g') %一阶迎风
hold on
for i=2:15
if Pa==1
y(i)=((1+0.5*Pa)*y(i-1)+(1-0.5*Pa)*y(i+1))/2;
else
y(i)=y(i-1)
end
end
plot(x,y(1:16),'-+y') %混合格式
hold on
for i=2:15
if i==2
y(i)=y(i+1)/(2+Pa)+(1+Pa)*y(i-1)/(2+Pa)+(Pa/(2+Pa))*(6*y(i)-3*y(i-1)-3*y(i+1))/8 else
y(i)=y(i+1)/(2+Pa)+(1+Pa)*y(i-1)/(2+Pa)+(Pa/(2+Pa))*(5*y(i)-y(i-1)-y(i-2)-3*y(i+1))/8 end
end
plot(x, y(1:16),'-<b') %QUICK 格式
hold on
legend('精确解','中心差分','一阶迎风','混合格式','QUICK 格式')
运行结果如下图所示：当 1=∆P ：
当5=∆P ：
当10=∆P ：
5－3 解：根据课本式(5-19)得： 乘方格式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤≤--+≤≤->=∆∆
∆∆∆∆∆∆10,010,
)1.01(100,)1.01(10,055P P P P P P P P D a e E
当1.0=∆P 时有：
951.0)1.01.01()1.01(55=⨯-=-=∆P D a e
E 301.0/3)()()()()()(===Γ=Γ=∆e
e e e e e e e e P u x u u x D ρδρρδ 5297.2830951.0951.0=⨯==e E D a 由系数关系∆=-P D a D a e
E w W 可得： 53.3130)951.01.0()(=⨯+=⨯+=∆w e
E W D D a P a
根据式（5-51g ）得： 205
.01.010
=⨯=∆∆=t x
a P p ρ 根据式（4-12）得： 0P W E P a fa fa a ++= （本题方程中无源项）
当采用隐式时1=f ，则得到：
0597.62253.315297.280=++=++=P W E P a fa fa a
即：1.0=∆P 时，5297.28=E a ，53.31=W a ，20=p a ，0597.62=P a 当10=∆P 时，按照以上算法得出： 0=E a ，3=W a ，20
=p a ， 5=P a。