高中物理八大解题方法之五：极值法

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高中物理解题方法之极值法

江苏省特级教师 戴儒京

高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。

一、 二次函数求极值

二次函数a

ac

b a b x a

c bx ax y 44)2(222

--+=++=，当a b x 2-=时，y 有极值

a

b a

c y m 442

-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。

例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。

设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。碰撞以后的速度分别为'1V 和'

2V 。假使这四个速度都在一条直线上。

根据动量守恒定律有：'

+'=+22112211V m V m V m V m （1）

如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为

V m m V m V m '+=+)(212211，即2

12

211m m V m V m V ++=

' （2）

现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。 碰撞中动能损失为

ΔE k =(

)2

2

()222

2

22

112

22211'+

'-+v m v

m v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:

由（1）得：v 2ˊ=2

112211)

(m v m v m v m '

-+ （4）

将（4）代入（3）得：

k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2

222112

222112)(22m v m v m v m v m +-

+] 二次函数求极值,

- 2 - 当v 1ˊ=

)

()

(212211m m v m v m ++ （5） 时

∆E k 有极大值。

回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=

)

()

(212211m m v m v m ++

此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。 二、 由公式0)(2≥-b a 得ab b a 22

2

≥+ 当b a =时，2

2

b a +有极小值ab 2，若b

a 1

=

，此时极小值为2。 同理，ab 的极大值为2

2

2b a +。

例2 求弹性正碰中m 1所传递给m 2的动能最大或最小的条件。

设一个质量为m 1，动能为Ek 的物体与一个质量为m 2的不动的物体正碰，假定发生的是弹性碰撞，试讨论m 1传递给m 2动能最大或最小的条件。

设m 1原来的速度为V 1，碰撞后两物体的速度分别为'1V 和'

2V ，根据弹性正碰中的动量守恒和动能守恒，有方程组：

⎪⎩⎪⎨⎧+'='+'=2

'2221121

122111121212

1V m V m V m V m V m V m

解此方程得：121211V m m m m V +-=

'

， 12

1122V m m m V +='

m 1传递给m 2动能，即为m 2获得的动能：

Ek m m m m V m m m m V m Ek 2

21212121122222)

(4)2(2121

+=+='='。 现在求'

2Ek 的极值条件和极值。

Ek m m m m Ek m m m m m m Ek 1

2212

2

212

12

122424++=

++=

'

当m 1= m 2时

1

221m m m m +

有极小值2，所以当m 1= m 2时，'

2Ek 有极大值Ek ，即m 1

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传递给m 2动能最大的条件是二者质量相等。此时m 1的全部动能传递给m 2，也就是说：碰撞之后'1V =0，12V V ='

。这在物理学史上有一段趣闻，在成立不久的英国皇家学会的一次例会上，一位工程师的表演引起了与会者的极大兴趣：两个质量相同的钢球A 和B ，分别吊在细绳上，静止时紧靠在一起，使A 球偏开一个角度后放开，它回到原来的位置时撞上B 球，碰撞后A 球静止下来，B 球摆到与A 求原来高度几乎相等的高度。惠斯通通过对此现象的研究和解释中确定了动能的定义。

此问题可扩大到第二个物体原来不静止的情况。设m 2碰前的速度为V 2，则方程组变

为： ⎪⎩⎪

⎨⎧'+'=+'+'=+22

221122221122'2122112121212

1V m V m V m V m V m V m V m V m

其解为：2212

12121'

12V m m m V m m m m V +++-=

22

11

2121122V m m m m V m m m V +-++=

'

则2

222'22222

121V m V m Ek Ek Ek -=-'

=∆，将'2V 的表达式代入此式，并且以Ek 1代入

21121V m ，以2Ek 代入2

222

1V m ，得： 212

2121212122121)

()(2)()(4V V m m m m m m Ek Ek m m m m Ek +---+=∆，当m 1= m 2时，因后项为零，前项取最大值，故Ek ∆取最大值。此时，m 1把原来m 2多的那部分动能全部传递给m 2。

三、 三角函数求极值：

三角函数x y sin =，当0=x 时，y 取最小值0，当2

π

=x 时，y 取最大值1，（x 在

0到

2

π

范围内），同理，0,cos ==x x y 时，y 取最大值1，2π=x 时，y 取最小值0。

例3 在倾角θ=300的斜面上，放置一个重量为200牛顿的物体，物体与斜面间的滑

动摩擦系数为3

3

=

μ，要使物体沿斜面匀速向上移动，所加的力至少要多大？方向如何？ 设所加的外力F 与斜面夹角为a ，物体受力情况如图所示。

N F