圆切线证明的方法

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切线证明法

切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径

切线的性质定理的推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 切线的性质定理的推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线,如果已知直线过圆上的某一个点,那么作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径.

【例1】如图1,已知AB 为⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD =

OB ,点C 在圆上,∠CAB =30º.求证:DC 是⊙O 的切线.

思路:要想证明DC 是⊙O 的切线,只要我们连接OC ,证明∠OCD =90º即可.

证明:连接OC ,BC .

∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =90º.

∵∠CAB =30º,∴BC =21

AB =OB .

∵BD =OB ,∴BC =2

1

OD .∴∠OCD =90º.

∴DC 是⊙O 的切线.

【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论,特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线. 【例2】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接

OC ,弦AD ∥OC .求证:CD 是⊙O 的切线.

图1

图2

思路:本题中既有圆的切线是已知条件,又证明另一条直线是圆的切线.也就是既要注意运用圆的切线的性质定理,又要运用圆的切线的判定定理.欲证明

CD 是⊙O 的切线,只要证明∠ODC =90º即可.

证明:连接OD .

∵OC ∥AD ,∴∠1=∠3,∠2=∠4. ∵OA =OD ,∴∠1=∠2.∴∠3=∠4. 又∵OB =OD ,OC =OC ,

∴△OBC ≌△ODC .∴∠OBC =∠ODC .

∵BC 是⊙O 的切线,∴∠OBC =90º.∴∠ODC =90º. ∴DC 是⊙O 的切线.

【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过C 点的切线互相垂直,垂足为D .求证:AC 平分∠DAB .

思路:利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径.

证明:连接OC .

∵CD 是⊙O 的切线,∴OC ⊥CD . ∵AD ⊥CD ,∴OC ∥AD .∴∠1=∠2. ∵OC =OA ,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3. ∴AC 平分∠DAB .

【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的.在解决有关圆的切线问题时,辅助线常常是连接圆心与切点,得到半径,那么半径垂直

图3

切线.

【例4】如图1,B、C是⊙O上的点,线段AB经过圆心O,连接AC、BC,过点C作CD⊥AB于D,∠ACD=2∠B.AC是⊙O的切线吗?为什么?

解:AC是⊙O的切线.

理由:连接OC,

∵OC=OB,

∴∠OCB=∠B.

∵∠COD是△BOC的外角,

∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B.

∵∠ACD=2∠B,

∴∠ACD=∠COD.

∵CD⊥AB于D,

∴∠DCO+∠COD=90°.

∴∠DCO+∠ACD=90°.

即OC⊥AC.

∵C为⊙O上的点,

∴AC是⊙O的切线.

【例5】如图2,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB 的延长线上的一点,AE⊥DC交DC的延长线于点E,且AC平分∠EAB.求证:DE是⊙O的切线.

证明:连接OC,则OA=OC,

∴∠CAO=∠ACO,

∵AC平分∠EAB,

∴∠EAC=∠CAO=∠ACO,

∴AE∥CO,

又AE⊥DE,

∴CO⊥DE,

∴DE是⊙O的切线.

二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段,证明此垂线段的长等于半径

【例6】如图3,AB=AC,OB=OC,⊙O与AB边相切于点D.

证明:连接OD,作OE⊥AC,垂足为E.

∵AB=AC,OB=OC.

∴AO为∠BAC角平分线,∠DAO=∠EAO

∵⊙O与AB相切于点D,

∴∠BDO=∠CEO=90°.∵AO=AO

∴△ADO≌△AEO,所以OE=OD.

∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径.

∴⊙O与AC边相切.

【例7】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC 于E,B为切点的切线交OD延长线于F.

求证:EF与⊙O相切.

证明:连结OE,AD.

∵AB是⊙O的直径,

∴AD⊥BC.

又∵AB=BC,

∴∠3=∠4.

⌒⌒

∴BD=DE,∠1=∠2.

又∵OB=OE,OF=OF,

∴△BOF≌△EOF(SAS).

∴∠OBF=∠OEF.

∵BF与⊙O相切,

∴OB⊥BF.

∴∠OEF=900.

∴EF与⊙O相切.

说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的

【例8】如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.

求证:PA与⊙O相切.

证明一:作直径AE,连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD,∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB,∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E,∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径,

∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900.

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