圆切线证明的方法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
切线证明法
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
切线的性质定理的推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 切线的性质定理的推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线,如果已知直线过圆上的某一个点,那么作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径.
【例1】如图1,已知AB 为⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD =
OB ,点C 在圆上,∠CAB =30º.求证:DC 是⊙O 的切线.
思路:要想证明DC 是⊙O 的切线,只要我们连接OC ,证明∠OCD =90º即可.
证明:连接OC ,BC .
∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =90º.
∵∠CAB =30º,∴BC =21
AB =OB .
∵BD =OB ,∴BC =2
1
OD .∴∠OCD =90º.
∴DC 是⊙O 的切线.
【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论,特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线. 【例2】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接
OC ,弦AD ∥OC .求证:CD 是⊙O 的切线.
图1
图2
思路:本题中既有圆的切线是已知条件,又证明另一条直线是圆的切线.也就是既要注意运用圆的切线的性质定理,又要运用圆的切线的判定定理.欲证明
CD 是⊙O 的切线,只要证明∠ODC =90º即可.
证明:连接OD .
∵OC ∥AD ,∴∠1=∠3,∠2=∠4. ∵OA =OD ,∴∠1=∠2.∴∠3=∠4. 又∵OB =OD ,OC =OC ,
∴△OBC ≌△ODC .∴∠OBC =∠ODC .
∵BC 是⊙O 的切线,∴∠OBC =90º.∴∠ODC =90º. ∴DC 是⊙O 的切线.
【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过C 点的切线互相垂直,垂足为D .求证:AC 平分∠DAB .
思路:利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径.
证明:连接OC .
∵CD 是⊙O 的切线,∴OC ⊥CD . ∵AD ⊥CD ,∴OC ∥AD .∴∠1=∠2. ∵OC =OA ,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3. ∴AC 平分∠DAB .
【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的.在解决有关圆的切线问题时,辅助线常常是连接圆心与切点,得到半径,那么半径垂直
图3
切线.
【例4】如图1,B、C是⊙O上的点,线段AB经过圆心O,连接AC、BC,过点C作CD⊥AB于D,∠ACD=2∠B.AC是⊙O的切线吗?为什么?
解:AC是⊙O的切线.
理由:连接OC,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B.
∵∠COD是△BOC的外角,
∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B.
∵∠ACD=2∠B,
∴∠ACD=∠COD.
∵CD⊥AB于D,
∴∠DCO+∠COD=90°.
∴∠DCO+∠ACD=90°.
即OC⊥AC.
∵C为⊙O上的点,
∴AC是⊙O的切线.
【例5】如图2,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB 的延长线上的一点,AE⊥DC交DC的延长线于点E,且AC平分∠EAB.求证:DE是⊙O的切线.
证明:连接OC,则OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∵AC平分∠EAB,
∴∠EAC=∠CAO=∠ACO,
∴AE∥CO,
又AE⊥DE,
∴CO⊥DE,
∴DE是⊙O的切线.
二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段,证明此垂线段的长等于半径
【例6】如图3,AB=AC,OB=OC,⊙O与AB边相切于点D.
证明:连接OD,作OE⊥AC,垂足为E.
∵AB=AC,OB=OC.
∴AO为∠BAC角平分线,∠DAO=∠EAO
∵⊙O与AB相切于点D,
∴∠BDO=∠CEO=90°.∵AO=AO
∴△ADO≌△AEO,所以OE=OD.
∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径.
∴⊙O与AC边相切.
【例7】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC 于E,B为切点的切线交OD延长线于F.
求证:EF与⊙O相切.
证明:连结OE,AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC.
又∵AB=BC,
∴∠3=∠4.
⌒⌒
∴BD=DE,∠1=∠2.
又∵OB=OE,OF=OF,
∴△BOF≌△EOF(SAS).
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切,
∴OB⊥BF.
∴∠OEF=900.
∴EF与⊙O相切.
说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的
【例8】如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.
求证:PA与⊙O相切.
证明一:作直径AE,连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD,∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB,∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E,∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径,
∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900.