1.4.2单位圆与周期性
单位圆与周期性
高中数学必修4导学案2014-2015学年第一学期 高二年级 班 姓名： 编写者： 使用时间2018-9-2课题 ：§1.4.2单位圆与周期性 1 课时 学习目标：1、知识与技能（1）理解正弦函数、余弦函数的几何意义；（2）会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 2、过程与方法通过研究正弦函数、余弦函数的几何意义，利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 3、情感态度与价值观通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力.学习重点：周期性及一般函数周期性的定义. 学习难点：会求简单函数的周期性. 基础达标：1、终边相同的角的正、余弦值间的关系（1）sin(2) ,()x k k Z π+=∈； （2）cos(2) ,()x k k Z π+=∈． 2、周期函数的定义（1）一般地，对于函数()f x ，如果存在 ，对定义域内的 值，都有 ，则称()f x 为周期函数， 称为这个函数的周期．（2）特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称 是正弦函数、余弦函数的周期．其中 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为 ．合作交流：1、求值：（1）sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750cos 495-︒︒+-︒︒+︒（2）2317cos()34ππ-+2、若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1f =，(2)2f =，求(3)(4)f f -的值．思考探究：1、由于sin()sin 424πππ+=，所以2π是()sin f x x =的一个周期，对吗？2、所有的周期函数都有最小正周期吗？达标检测：1、下列说法不正确的是（ ） A.只有个别的x 值或只差个别的x 满足()()f x T f x +=或不满足都不能说T 是()y f x =的周期B.所有周期函数都存在最小正周期C.周期函数的周期不止一个，若T 是周期，则kT()k N +∈一定也是周期D.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界2、25sin 6π=（ ）A.12-B.32C.12 D.32-3．下列说法中正确的是( ) A ．当2x π=时，sin()sin 6x x π+≠，所以6π不是()sin f x x =的周期 B ．当512x π=时，sin()sin 6x x π+=，所以6π是()sin f x x =的一个周期 C ．－2π不是y ＝sin x 的周期 D ．π是y ＝cos x 的一个周期4、角α的终边经过点(,4)P b -且3cos 5α=-，则b 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 3± D. 5 5、下列函数是周期函数的是（ ） ①()f x x =；②()2x f x =；③()1f x =；④1,()0为有理数，为无理数x f x x ⎧=⎨⎩.A.①②B.③C.③④D.①②③④6、角α的终边上有一点()(,),0且P a a a R a ∈≠，则cos α的值是（ ）A.22 B.22- C.22± D.1 7、sin390 ︒=，cos390 ︒=，390°终边与单位圆交点P 的坐标为________．8、若偶函数()y f x =是以4为周期的函数，且在区间[]6,4--上是减函数，则在上[]0,2的单调性是学习小结：学后反思：。
高中数学 1.4.2 单位圆与周期性课件1(新版)北师大版必修4
分别是O P 1 、O P 2 .
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题型三 利用三角函数线求角的范围
解析：如图所示，先作出直线 y 3 ，与单位圆
2
有两个不同的交点P1、P2，则满足条件α的终边有两
个 ，分别是 OP1、OP2，在
. 或 2 33
y
3 2
0 2 内，yα的值 为
P2
P1
M2 O M1
x
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3） 有向线段OM是余弦线.
4） 设单位圆与x轴的非负半轴交于点A(1,0)，过点A作
垂线与角α的终边（或其反向延长线）交于点T，则有
向线段AT就是正切线.
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题型二 利用三角函数线比较函数值的大小
例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小
(1) s i n 5 与 s i n 7 (2) c o s 5 与 c o s 7(3) t a n 5 与 t a n 7
46
46
46
y
解：
T1
M2 M1
P2
o
T2
Ax
(1)
sin5
4
sin7
6
(2) cos5 cos7
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自主探究
1.在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段 的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看 成是线段的比呢？
不能，因为任意角的三角函数有正负.
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自主探究
2.在三角函数定义中，是否可以在角 α的终边上 取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简 单？ 可以，特殊点取角α的终边与单位圆的交点.
陕西省西安市第一中学北师大版高中数学必修4教案：1.4.2单位圆与周期性
§4.2 单位圆与周期性教学目标1．知识与技能（1）会利用单位圆认识和理解正弦函数、余弦函数的周期性；（2）理解周期函数的定义。
2.过程与方法由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，利用单位圆的独特性，充分理解正弦函数和余弦函数的周期性。
同时感受利用单位圆研究三角函数是高中数学中的一种重要方法。
3.情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的三角函数推广到任意角的三角函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
教材分析在直角坐标系的单位圆中，角α的终边与单位圆的交点P的位置随α的变化而变化，由此可看出正弦函数、余弦函数的周期性。
教材在分析了正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化而呈周期性变化后，归纳出了周期函数的概念，并给出了定义。
教材重点研究了正弦函数、余弦函数的周期性，而对一般的周期函数不作研究。
教学重点1．任意角的三角函数两个定义的应用；2.周期函数的概念教学难点1.三角函数定义的灵活应用；2. 理解周期函数的概念教学方法与手段学生对三角函数定义的灵活应用有一定难度，教师应以数形结合为引导，启发学生利用定义解题的关键是求出角α终边与单位圆的交点坐标。
另外，周期函数的概念的理解对学生有较高的要求，建议教师从特殊出发，引导学生自己独立发现规定自变量的任意性的合理性。
教学过程一、复习回顾：1．任意角的三角函数是如何定义的？体现什么数学思想？2．利用单位圆定义任意角的三角函数的正、余弦函数有什么优点？体现什么数学思想？从中可以发现正、余弦函数有什么关系？利用角α终边上一点(5,12)P -分别求sin ,cos ,tan ααα来回答问题1和问题2.（1）改为已知角α终边上一点(5,12)(0)P k k k ->，如何求ααcos ,sin ？（2）改为已知角α终边上一点(5,12)(0)P k k k -<，如何求ααcos ,sin ？（3）改为已知角α终边上一点(5,12)(0)P k k k -≠，如何求ααcos ,sin ？3．正弦、余弦函数的定义域是什么？你是如何得到三角函数定义域的？4．正弦、余弦函数在四个象限的符号是怎样的？正弦一二为正三四为负，余弦一四为正二三为负。
高中数学北师大版必修4《第1章44.2单位圆与周期性》课件
2
1．任意角的正弦、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义 在直角坐标系中，以_坐__标__原__点__为圆心，以 _单__位__长__度___为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设 α 是任意角，其顶点与原点重合，始边与 x 轴 _非_负__半__轴__重合，终边与单位圆 O 交于点 P(u，v)，那么：
[提示] 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．
1．已知 P(3,4)是终边 α 上一点，则 sin α 等于( )
3
4
A.4
B.3
4
3
C.5
D.5
C [∵r＝ 32＋42＝5，∴sin α＝45.]
9
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin
23π，cos
23π，则角
α的
最小正值为( )
18
所以 kπ＜α＜kπ＋2π(k∈Z)． 当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，有 2mπ＜α＜2mπ＋π2(m∈Z)； 当 k 为奇数时，设 k＝2m＋1(m∈Z)， 有 2mπ＋π＜α＜2mπ＋32π(m∈Z)．所以 α 为第一或第三象限角．又 由 cos α＜0，可知 α 为第三象限角．
数学人教版 高中数学
4.2 单位圆与周期性
学习目标
核心素养
1.通过学习任意角的正弦、余弦 1.理解任意角的正弦、余弦的定
的定义及周期函数的定义，培养 义及其应用．(重点)
数学抽象素养． 2．掌握同角的正弦、余弦函数
2．通过正弦、余弦定义的应用 值间的关系．(重点)
及同角的正弦、余弦函数值间的 3．理解周期函数的定义．(难点)
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＝f－π3＋fπ4
＝－fπ3＋fπ4
2020-2021学年北师大版数学必修4课件：1.4.2-1.4.3单位圆与周期性余弦函数基本性质
必备知识·自主学习
1.终边相同的角的正、余弦函数的关系怎样? 导思 2.周期性是怎么定义的?
3.正、余弦函数的性质有哪些?
1.终边相同的角的正、余弦函数 (1)sin(x+k·2π)=_s_i_n___x_,k∈Z. (2)cos(x+k·2π)=_c_o_s___x_,k∈Z.
3.正、余弦函数的周期性 正、余弦函数都是以_2_k_π__(k∈Z,k≠0 )为周期的周期函数,最小正周期为 _2_π__.
【思考】 正弦、余弦函数有多少个周期? 提示:正弦、余弦函数都有无数个周期.
4.单位圆与正、余弦函数的性质
定义域 值域
最小正周期
正弦函数y=sin x R
_[_-_1_,_1_]_ _2_π__
【补偿训练】
设f(x)是定义域为R,最小正周期为 则f (15) 的值等于 ( )
3 2
的函数,若f(x)=
cos x( x 0)，
2
sin x（0 x ），
4
A.1
B. 2
C.0
2
D. 2 2
【解析】选B.f (15) =f [3 （ 3） 3]
4
2
4
f( 3) sin 3 2 .
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)2kπ(k∈Z)是正弦、余弦函数的周期.
()
(2)对正弦函数f(x)=sin x有 f( ) f( )， 所以 是f(x)的周期.
42 4
2
()
(3)正弦函数的最大值是1,最小值是-1. ( )
(4)正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的. ( )
高中数学第一章三角函数1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件北师
分,挖掘不透均会导致错误.如本例中用到了三角形中的最小角,需要
在记住三角形内角和为π的基础上,推导出最小角的范围 .
2.图像的利用
在求解函数的值域时,结合单位圆,能避免出错,如本例中x∈ 时(0,，]
最大值与最小值的求解,作出单位圆后,结果就很清晰了.
3
第三十四页，共34页。
以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数.
第十九页，共34页。
【变式训练】(2015·长春高一检测(jiǎn cè))sin 的值是 ( ) 【解析】选C.
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类型二 正弦(zhèngxián)、余弦函数的基本性质
【典例】1.(2015·济南高一检测)函数y=
的定义域为____.
2.函数y=cosx在区间
上的值域为______.
第二十一页，共34页。
【解题探究】1.题1中开偶次方根(fānggēn)时,对被开方数有什么要求?
提示:开偶次方根(fānggēn)时要求被开方数为非负数.
2.余弦函数在区间
上[ 的,单2调] 性是怎样的?
提示:在区间 上是减少3 的3.
[ , 2] 33
第十二页，共34页。
知识点2 正弦、余弦函数的基本性质 观察图形,回答下列问题:
问题:正弦、余弦函数的基本性质与其(yǔqí)周期性有什么关系?
第十三页，共34页。
【总结提升】 对正弦(zhèngxián)、余弦函数性质的四点说明 (1)正、余弦函数的性质是利用正弦(zhèngxián)、余弦函数的定义结合 单位圆直观观察得来的. (2)这些性质适用于整个函数,而不仅仅是在[0,2π]上的性质.
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易错案例 正、余弦函数基本性质的应用(yìngyòng) 【典例】若x是三角形的最小内角,则正弦函数y=sinx的值域为_____.
人教新课标版数学高一学案必修4练习1.4.2单位圆与周期性
4.2 单位圆与周期性一、基础过关 1．sin 390°等于( )A.32B ．－32C ．－12D.12 2．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π6，5π6C.⎣⎡⎦⎤π6，2π3D.⎣⎡⎦⎤5π6，π 3．比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.54．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3B.⎝⎛⎭⎫0，π3C.⎝⎛⎭⎫5π3，2πD.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 5．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________. 6．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第______象限． 7．求函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为______．8．解三角不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0.二、能力提升 9．下列命题正确的是( )A ．α、β都是第二象限角，若sin α>sin β，则cos α<cos βB ．α、β都是第三象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin βC ．α、β都是第四象限角，若sin α>sin β，则cos α>cos βD ．α、β都是第一象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin β10．已知点P (sin α－cos α，sin αcos α)在第一象限，在[0,2π)内，求α的取值范围是________．11．求函数f (x )＝log (1－2cos x )(2sin x ＋1)的定义域．12．已知f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．三、探究与拓展13．设π2>α>β>0，求证：α－β>sin α－sin β.答案1．D 2.B 3.C4.D5.⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π 6.四7.⎣⎡⎦⎤kπ－π4，kπ＋π4，k∈Z8．解由⎩⎪⎨⎪⎧sin x≥0，2cos x－1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x≥0，cos x>12，如图所示，由三角函数线可得：∴⎩⎪⎨⎪⎧2kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，2kπ－π3<x<2kπ＋π3(k∈Z).此交集恰好为图形中的阴影重叠部分，即2kπ≤x<2kπ＋π3，k∈Z.故不等式组的解集为{x|2kπ≤x<2kπ＋π3，k∈Z}．9．C10.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，54π11．解依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x＋1>01－2cos x>01－2cos x≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x>－12cos x<12cos x≠0.如图利用单位圆，得函数的定义域是(2kπ＋π3，2kπ＋π2)∪(2kπ＋π2，2kπ＋76π)，k∈Z. 12．证明∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且4是它的一个周期．13．证明如图所示，设单位圆与角α、β的终边分别交于P1、P2，作P1M1⊥x轴于M1，作P2M2⊥x 轴于M2，作P2C⊥P1M1于C，连接P1P2，则sin α＝M1P1，sin β＝M2P2，α－β＝P1P2，∴α－β＝P1P2>P1P2>CP1＝M1P1－M1C＝M1P1－M2P2＝sin α－sin β，即α－β>sin α－sin β.。
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4、2 单位圆与周期性(导学案)
使用说明：
1．先精读教材，勾画出本节内容的基本概念，找出问题并进行标注，然后再精读教材完成本学案；2.要求独立完成预习案.
【学习目标】
⒈理解周期性概念的形成。
⒉周期函数概念的加深理解。
⒊正弦、余弦函数的周期性。
【学习重点和难点】
重点：正弦、余弦函数的周期性。
难点：求函数的最小正周期。
【预习案】
复习知识
当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号：象限
三角函数
第一象限第二象限第三象限第四象限α
sin
α
cos
教材助读
1.终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等，即_________________________，_________________________。
2.课前自主学习
⑴一般地，对于函数
()x f，如果存在非零实数T，对定义域内的_______________一个x值都有_________________________，我们就把
()x f称为周期函数，____________称为这个函数的周期。
如果在周期函数
()x f的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做()x f的最小正周期。
⑵若周期函数
()x f的一个周期是T（T≠0），则___________________也为()x f的周期。
⑶正弦函数、余弦函数的周期为_____________________，最小正周期为________________。
预习自测
1.函数
()2x
x
f=满足()()3
f
6
3
f-
=
+
-，这个函数是不是以6为周期的周期函数，为什么？
2.函数sinx
y=是周期函数，且
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
4
f
2
4
f
π
π
π
，为什么2
π
不是它的周期？
【探究案】
基础知识探究
1.已知函数)
(x
f)
(R
x∈是周期为3的奇函数，且f(-1)＝a,则f(7)＝_________
2.已知函数)
(x
f是R上的奇函数，且f(1)＝2,f(x+3)＝f(x) ,求f(8).
3.已知角α为第二象限角，求：（1）角2
α
是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。
综合应用探究
4.函数)
(x
f对于任意的实数x满足条件：
)
(
1
)2
(
x
f
x
f=
+，若5
)1(-
=
f，则
=
))
5(
(f
f________________
5.f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，且f(2)＝0,则方程f(x)=0在区间（0,6）内解得个数的最小值是（）
A.2
B.3
C.5
D.4
复习检测
我的收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。