有理数及其运算知识点及练习

一对一授课讲义
左边。

例1.如果数a和b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是()
(A) a b (B) a b (C ab 0 (D) - 0 bO a
b
例2.已知a是最小的正整数，b的相反数还是它本身，c比最大的负整数大3,计算(2a+3c) b 的值
知识点3:绝对值
1.
2. 绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。

数a 的绝对值记作|a|。

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。

a(a 0)
a(a 0)
|a| 0(a 0)或|a| \ :
a(a 0) a(a 0)
越来越大.
----------- ・■・■亠・■・■ A
1 I H I I I I -3 -
2 -1 0 1 2 3
3.绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数(除0外)的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a| >0
4.比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。

比较两个负数的大小的步骤如下:
①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小;
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判
断。

5.绝对值的性质:
①对任何有理数a,都有|a| >0;②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然；③若|a|=b，则a=± b;④对任何有理数a,都有|a|=|-a|
例1.实数a, b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a b| a的结果为
T_I ------- •~A
() b 0 a
知识点7:有理数的乘法
㈠有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与 0相乘，积仍为0。

㈡如果两个数互为倒数，贝卩它们的乘积为 1。

㈡乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。

㈣有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号； ②求出各因数的绝对值的积。

㈤乘积为1的两个有理数互为倒数。

注意：①零没有倒数②求分数的倒数，就是把分 数的分子分母颠倒位置。

一个带分数要先化成假分数。

③正数的倒数是正数，负数的 倒数是负数。

例1.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2,求a b xy 1c 的
2
3
值
例2.已知：a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，m =5,求：m( a+b ) +xy-2m
知识点&有理数的除法 ㈠有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

②0除以任何非0的 数都得0。

0不可作为除数，否则无意义。

4
3 求- -a b m - cd ，9
例2.用字母x , y , z 表示任一数，若x v 0,
y
例1.已知a , b 互为相反数，c , d 互为倒数, y
>0,则 x ( ) 0
z z
知识点9:有理数的乘方n个a
例3.已知非零的有理数a,b,c,满足「
|a I b 1,则
abc
(
abc
㈠有理数的乘方
㈡注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51;
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。

㈢乘方的运算性质：①正数的任何次幕都是正数；②负数的奇次幕是负数，负数的偶
次幕是正数；③任何数的偶数次幕都是非负数；④i的任何次幕都得1，0的任何次
幂都得0;⑤-1的偶次幂得1 ；-1的奇次幂得-1 :⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幕的绝对值。

例 1. （1）已知：x 5 \ （y 6）20, z216,求（x - y）2008z 的值
（2）已知|x| 3，y的平方等于16,求x2 y2的值
例 2.若x2 ( 4)2, y3 ( 2)3,|a | | 2 |，求代数式5x+4y-2a 的值
5
知识点10：有理数的混合运算及科学记数法
㈠有理数混合运算法则：①先算乘方，再算乘除,最后算加减。

②如果有括号，先算括号里面的。

㈡科学记数法：一般地，一个大于10的数可以表示成a x 10n的形式，其中1<a<10, n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。

例1.(1) (- 10 2)5315
(4) 5
39399 (2) 21122112
3235
(3)
279
912
3
1124
知识点9:有理数的乘方n个a
1123412
5 6
正整数集合：（）
负整数集合：（）
正分数集合：（）
3 2.在数轴上距离原点为2的点所对应的数为（），它们互为（）
3.已知m与n互为倒数，a与b互为相反数，c的绝对值为3,求amn-5c+b的值
知识点9:有理数的乘方n个a 随
22
19
5. 用科学记数法表示下列各数
1.把下列各数填到相应的大括号里
1
-1 , 4.3 , +72, 0, 3 , -6.4 , -12 ,
整数集合： …… 正数集合： …… 负数集合： ……
非负整数集合：
… 自然数集合： …… 正分数集合：
…… 负整数集合： ……
2. 的相反数大于本身， 的相反数等于本身， 的相反数小于本身.
3. 如图，是数轴的是()
-- • - « ----- —• - • ---- • A
―• « «_»
---- • •_►
2
-1 0
1
-1 0 1
2 3
(A) (B) (C) (D)
4. (1) -7 x
22 7 22 7
⑵-1 4 1 0.5
1 2 7
3 2
2
(3)- 3 21
!|2 1
3
3
3
(1) 3 690 000
(2) 0.097 (3) 300 000 000
2
164
4
课 后 作 业
7 19
22
19
4. 如果数a和b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是()“3
b 0 a
(A) a b (B) a b (C) ab 0 (D) a 0
b
5. 女口果| a，那么a是_____ ，如果|a| a，那么a 是______________ .
6. 若a WO,贝卩冋_______ ；若a》O,贝则a 1| ______________ .
7. 设a | 1，b |1|, c是1的相反数，贝则a,b,c的大小关系是()
(A) a b c (B) a b c (C) a b c (D) a b c
8.若一个数a的绝对值是3,且a在数轴上的位置如图所示，试求的相反数.
9. 若a 2，给出下面4个结论：①a a :②a a :③1 a :④1 a .其中不正确的有
a a
10. 若|m 1| m 1,则m 1 ;若|m 1 m 1，则m _________ 1 ；
若ix 14|，贝yx ______________ ；若| x 1，贝yx_______________ . b oa c *__
11. 已知|a| 2, b 2, c 3，且有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，计算b c的值.
12. 已知|X 5，|y 3，且|x y x y，求x y 的值.
13. 若|a| 3,忖2,贝H |a b\____________________ .
14. (1)若m 0,n 0，则m n 0; (2)若m 0,n 0，则m n 0;
(3)若a 0,b 0，且a b，则a b 0;
(4)若a 0, b 0，且a |b，贝Sa b _____________ 0.
15. 已知 a b 0，且 a 0 b，贝S a b .
16. 已知|a 2 b 3 0，则a b的相反数___________________
17. 若a,b互为相反数，c,d互为倒数，则a b 2 a b cd cd ____________________
18.(1) 1 1 1 1 1 1
2 2
3 3 4
1 1 2007 2008
(3). 0
12 11 16
3 2
7
7
18. (用 “〉” “V”或“=”号填空）如果0,b 0，那么卫 b
0;如果a 0,b 0 ,
那么a
0;如果a 0,b 0，那么-
0.
b 一
b
19.当 a
时,
a a
1 ；当a 时H 1.
a
a
20. 若
ab
0，则回 b 1 ・
a l
b l
21. (1)
23
2
3
2
1 ；
(2
1 1
2 1 3
,99
/ 100
1 1
08
O
09
O
7
00
2
6
2
5 - 6
1
- 2
2
3
^
1
4
2 5 2
4
^
1
3
5
2 0
24
3 4
2
1 3
3 8
4
1
2
2
4
1
2 3
2
3 2
⑵.
3 5 0.125。