材料力学习题册-第13章 能量法

第 十三 章 能 量 法

一、选择题

1．一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其（ A ）。 A 应变能相同，自由端扭转角不同； B 应变能不同，自由端扭转角相同； C 应变能和自由端扭转角均相同； D 应变能和自由端扭转角均不同。

（图1）

2．图2所示悬臂梁，当单独作用力F 时，截面B 的转角为θ，若先加力偶M ，后加F ，则在加F 的过程中，力偶M （ C ）。

A 不做功；

B 做正功；

C 做负功，其值为θM ；

D 做负功，其值为

θM 2

1

。 3．图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：第一种为F 、M 同时按比例施加；第二种为先加F ，后加M ；第三种为先加M ，后加F 。在线弹性范围内，它们的变形能应为（ D ）。 A 第一种大； B 第二种大； C 第三种大； D 一样大。

4．图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方向相反的力F 作用。若已知杆的拉压刚度为EA ，材料的泊松比为μ，则由功的互等定理可知，该杆的轴向变形为EA

Fl

μ，l 为杆件长

度。（提示：在杆的轴向施加另一组拉力F 。） A 0； B EA

Fb

； C

EA

Fb μ； D 无法确定。

（图2） （图3）

二、计算题

1．图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为EA 相等。试求节点C 的水平位移。

解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与P 力方向一致，所以可以用这种方法。 由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。

(

)()

EA

a

P EA

Pa EA Pa P C 22222212

2

2

2++=∆

可得出：()

EA

Pa

C 122+=

∆

解法2-卡氏定理或莫尔积分，这两种方法一致了。

则C 点水平位移为：()

EA

Pa

C 122+=∆

2．图示刚架，已知各段的拉压刚度均为EA ，抗弯刚度均为EI 。试求A 截面的铅直位移。

解：采用图乘法，如果不计轴向拉压，在A 点施加单位力，则刚架内力图和单位力图如图所示。

h Fl Fl l h Fl l l Fl EI A 233

1

3221+=⋅⋅+⋅⋅=

∆

EA Fh

dx EA F dx EA N N dx EA N N h h BC BC l

AB AB AN

=--+=+=∆⎰⎰⎰20

2010)1)((0

故A 点总的铅直位移为：

EA

Fh

EI h Fl Fl A ++=∆3323

3．试求图示悬臂梁B 截面的挠度和转角（梁的EI 为已知常数）。

B

解：应用图乘法，在B 点分别加单位力和单位力偶。它们的内力图如图所示。

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⋅⋅

=∆4642

313

2

a l qa a l qa a EI B

6

12313

2qa qa a EI B =⋅⋅=θ

4．图示刚架，已知EI 及EA 。试用莫尔积分法或图乘法计算B 截面的垂直位移w B 和转角θ

B 。

解：应用图乘法，如果不计轴向拉压，在B 点分别加单位力和单位力偶。它们的内力图如图所示。

852432314

22qa a a qa a qa a EI B =⋅⋅+⋅⋅=∆

3

21212313

22qa a qa qa a EI B =⋅⋅+

⋅⋅=θ

如果考虑轴向拉压，解法同第2题，略。

5．如图所示刚架受一对平衡力F 作用，已知各段的EI 相同且等于常量，试用图乘法求两端A 、B 间的相对转角。

Fa

B

A

Fa

Fa

1

1

解：应用图乘法，在A 、B 点加一对单位力偶。它们的内力图如图所示。

221212

1

Fa a Fa a Fa EI AB =⋅⋅+⋅⋅⋅=

θ

6．图示刚架，已知各段的抗弯刚度均为EI 。试计算B 截面的水平位移和C 截面的转角。

P

A

Pl Pl-M

解：应用图乘法，在B 截面加一水平单位力，在C 截面加一单位力偶，它们的内力图如图所示。

()2331

232213221Ml Pl l l M Pl l l Pl l l Pl EI B -=⋅⋅-+⋅⋅+⋅⋅=∆ ()()l M Pl l M Pl EI AB

-=⋅⋅-=3

1

3221θ