(好)巧做平行线构造相似
巧作平行线构造相似三角形(含答案)
巧作平行线构造相似三角形解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD .过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF AF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BEEC的值．过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P .求证：BP CP ＝BDEC.过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D .求证：BC ＝2CD .参考答案1．解：如图，连接DF ，∵E ，F 是边BC 上的两个三等分点， ∴BE ＝EF ＝FC .∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD . ∴DF 是△ACE 的中位线． ∴DF ∥AE ，且DF ＝12AE .∴DF ∥PE . ∴∠BEP ＝∠BFD . 又∵∠EBP 为公共角， ∴△BEP ∽△BFD .∴BE BF ＝BPBD.∵BF ＝2BE ，∴BD ＝2BP .∴BP ＝PD .∴DF ＝2PE . ∵DF ∥AE ，∴∠APQ ＝∠FDQ ，∠P AQ ＝∠DFQ . ∴△APQ ∽△FDQ .∴PQ QD ＝APDF .设PE ＝a ，则DF ＝2a ， AP ＝3a . ∴PQ QD ＝AP DF ＝3 2. ∴BP PQ QD ＝53 2.(第1题) (第2题)2．解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G . ∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G . 又∵D 为CF 的中点，∴CD ＝DF .在△ADF 和△GDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠G ，∠ADF ＝∠CDG ，DF ＝CD ，∴△ADF ≌△GDC (AAS )．∴AF ＝CG . ∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5 2.∵AB ∥CG ，∴∠CGE ＝∠BAE ，∠BCE ＝∠ABE . ∴△ABE ∽△GCE .∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52.(第3题)3．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ， ∴∠PFC ＝∠PDB ，∠PCF ＝∠PBD . ∴△PCF ∽△PBD .∴BP CP ＝BDCF .∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC . ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED .∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP .∴EC ＝CF . ∴BP CP ＝BD EC.(第4题①)4．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF ∥AB ，交DE 于点F ， ∴∠FCD ＝∠B . 又∵∠D 为公共角， ∴△CDF ∽△BDE . ∴CF BE ＝CD BD. ∵点M 为AC 边的中点， ∴AM ＝CM . ∵CF ∥AB ， ∴∠A ＝∠MCF . 又∵∠AME ＝∠CMF ， ∴△AME ≌△CMF . ∴AE ＝CF .∵AE ＝14AB ，BE ＝AB －AE ，∴BE ＝3AE .∴AE BE ＝13.∵CF BE ＝CD BD， ∴AE BE ＝CD BD ＝13，即BD ＝3CD . 又∵BD ＝BC ＋CD ， ∴BC ＝2CD .(第4题②)(方法二)如图②，过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ， ∴AE AF ＝AM AC. 又∵点M 为AC 边的中点， ∴AC ＝2AM .∴2AE ＝AF .∴AE ＝EF . 又∵AE AB ＝14，∴BF EF ＝2.又∵CF ∥DE ，∴BF FE ＝BCCD ＝2.∴BC ＝2CD .(第4题③)(方法三)如图③，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，∴∠AEF ＝∠B . 又∵∠A 为公共角， ∴△AEF ∽△ABC . ∴EF BC ＝AE AB ＝AF AC. 由AE ＝14AB ，知EF BC ＝AE AB ＝AF AC ＝14， ∴EF ＝14BC ，AF ＝14AC .由EF ∥CD ，易证得△EFM ∽△DCM ， ∴EF CD ＝MF MC.又∵AM ＝MC ，∴MF ＝12MC ，∴EF ＝12CD .∴BC ＝2CD .(第4题④)(方法四)如图④，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ， ∴∠F ＝∠D ，∠F AE ＝∠B . ∴△AEF ∽△BED . ∴AE BE ＝AF BD. ∵AE ＝14AB ，∴AE ＝13BE .∴AF ＝13BD .由AF ∥CD ，易证得△AFM ∽△CDM . 又∵AM ＝MC ，∴AF ＝CD . ∴CD ＝13BD .∴BC ＝2CD .点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．。
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-相似三角形(原卷版)
专题22相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即a cb d(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【考点总结】二、相似三角形【技巧归纳】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．角三角形的应用比例线段的性质(1)基本性质：a b ＝c d ad ＝bc ；(2)合比性质：a b ＝c d a ＋b b ＝c ＋d d ；(3)等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，则线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．3．子母型．4．旋转型．【类型】一、平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC ＝BD·AC ；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【类型】二、相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DO CO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．【类型】三、子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF .【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE .技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BFAF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC .【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.技巧3：证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE·CF ＝BF·EC.2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，求证：AB·DF ＝BC·EF.【类型】二、三点定型法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.求证：DC AE ＝CF AD .4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F.求证：BF BE ＝AB BC .9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MN AC .【类型】六、等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD ⊥于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝AC AB .【类型】七、等线段代换法11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF.12．如图，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB·PC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且CD BD ＝32，则CE CA 的值为（）A ．35B ．23C ．45D ．32【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【题型】三、相似三角形的判定例3、如图，已知DAB CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定A ABC DE ∽△△的是（）A ．AB AC AD AE =B ．AB BC AD DE =C ．B D ∠=∠D ．C AED∠=∠【题型】四、相似三角形的性质例4、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（）A ．30B ．25C ．22．5D ．20【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ，如图所示．若测得BE ＝90m ，EC ＝45m ，CD ＝60m ，则这条河的宽AB 等于()A ．120mB ．67.5mC ．40mD ．30m【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA ∶OD =1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm相似三角形（达标训练）一、单选题1．如图，已知∥DE BC ，12AD BD ，则ADE V 与ABC 的周长之比为（）A ．1:2B ．1:4C ．1:9D ．1:32．如图，在ABC 中，高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．16B ．14C ．13D ．124．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（）A ．C BAD∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠C ．AC AD BC AB =D ．2AB BD BC=⋅5．已知ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，若8AD =，12A D ''=，则ABC 与A B C ''' 的面积比是（）A ．2：3B ．4：9C ．3：2D ．9；4二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高为1.5m ，测得AB ＝3m ，AC ＝10m ，则建筑物CD 的高是_____m ．7．如图所示，要使ABC ADE ～，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）三、解答题8．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且AD :AB =AE :AC =2:3．(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若DE =4，求BC 的长．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD 中，点E 在AD 边上，EF ∥CD ，交对角线BD 于点F ，则下列结论中错误的是（）A ．DE DF AE BF =B ．EF DF AD DB =C ．EF DF CD BF =D ．EF DF CD DB=2．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．今以DE 为折线将B 点往右折后，BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点，如图2所示．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 的长度为多少？（）A ．7B ．8C ．9D ．103．如图，在平面直角坐标系中有A ，B 两点，其中点A 的坐标是（-2，1），点B 的横坐标是2，连接AO ，BO ．已知90AOB ∠=︒，则点B 的纵坐标是（）A ．B ．4CD ．24．如图，D 是ABC △的边上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（）A ．AD AF BD EF =B ．AF DF AE EB =C ．=AD AE AB AC D ．CAF FE DE B =二、填空题5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长BD 为4m ，墙上的影子CD 长为1m 1m 的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m ，则树的高度为______m ．6．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BC AD =，点F 在BC 的延长线上，AF 与BD 相交于点E ，与CD 边相交于点G ．如果2AD CF =，那么DEG ∆与CFG ∆的面积之比等于______．三、解答题7．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，连接AF 交CG 于点K ，H 是AF 的中点，连接CH ．(1)求tan ∠GFK 的值；(2)求CH 的长．8．如图所示，BEF 的顶点E 在矩形ABCD 对角线AC 的延长线上，13BC AB AE ==，，与FB 交于点G ，连接AF ，满足ABF ∽CEB ，其中A 对应C B ，对应E F ，对应B(1)求证：30FAD ∠=︒．(2)若13CE =，求tan FEA ∠的值．。
作平行线构造相似教师版
相似构造技巧——作平行线题型一 过中点、等分点作平行线构造双A 模型1．（2020•崇明县期中）如图，直线DE 交AC 、AB 于D 、F ，交CB 的延长线于E ，且BE ：BC ＝2：3，AD ＝CD ，求AF ：BF 的值．【解析】解：过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，∵AD ＝CD ，∴DG =12AB ，BG ＝GC ，∵BE ：BC ＝2：3，∴BE ：BG ＝2：1.5＝4：3，∴EB EG=BF DG=47，∴BF AB=4：14，∴AF ：BF ＝10：4＝5：2．2．（2020•西城区校级期中）如图，在△ABC 中，AM ：MD ＝4，BD ：DC ＝2：3，则AE ：EC ＝ 8：5 ．【点睛】如图，过点D 作DF ∥BE 交AC 于点F ．由平行线分线段成比例和比例的性质求得EF ：FC ＝BD ：DC ＝2：3．AM ：MD ＝AE ：EF ＝4：1，由此求得AE ：EC ＝8：5．【解析】解：如图，过点D 作DF ∥BE 交AC 于点F ．∴EF ：FC ＝BD ：DC ，AM ：MD ＝AE ：EF ．∵BD ：DC ＝2：3，∴EF ：FC ＝BD ：DC ＝2：3．设EF ＝2a ，则CF ＝3a ．∵AM ：MD ＝AE ：EF ，∵AM ：MD ＝4：1 ∴AE ：EF ＝4：1∴AE ＝8a ∴AE ：EC ＝8a ：5a ＝8：5． 故答案是：8：5．题型二 过中点、等分点作平行线构造双A+X 模型3．（2020•雨城区校级月考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点．射线CF 交AB 于点E ，且AE EB=16，则AFFD等于13．【解析】解：如图：过点D 作DG ∥EC 交AB 于G ，∵AD 是BC 边上的中线，∴GD 是△BEC 的中位线，∴BD ＝CD ，BG ＝GE ．∵AE EB=16，∴AE EG=13∵DG ∥EC ，∴AE EG=AF FD=13．故答案是：13．4．（2020•汝州市校级月考）如图已知：△ABC 中，F 分AC 为1：2两部分，D 为BF 中点，AD 的延长线交BC 于E ，求：BE ：EC ．【解析】解：过F 作FO ∥BC 交AE 于O ，则∠FOD ＝∠BED ，∵D 为BF 中点， ∴FD ＝BD ，在△FDO 和△BDE 中{∠ODF =∠EDB∠FOD =∠BED FD =BD∴△FDO ≌△BDE ，∴FO ＝BE ，∵FO ∥BC ，∴△AOF ∽△AEC ，∵AF ：FC ＝1：2，∴OF EC=AF AC=13，∴BE EC=13，题型三 过等分点作平行线构造双X 模型5．（2020•浦东新区期中）如图，已知在△ABC 中，AE ：EB ＝CD ：CB ＝1：3，AD 与CE 相交于点H ，求EH HC的值．【解析】解：过点D 作DF ∥AB ，交CE 于点F ，∵CD ：CB ＝1：3，∴DF ：BE ＝1：3，CF ：CE ＝1：3，又∵AE ：EB ＝1：3，∴AE ＝DF ，∴DF ：AE ＝HF ：EH ＝1：1，设HF ＝EH ＝x ，则EF ＝2x ，CF ＝x ，故可得EH HC=12．6．（2020•卢湾区一模）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD ＝2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．【解析】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，∴EFBC =AFAB，∵AF：BF＝1：2，∴AFAB=13，∴FEBC=13，即FE=13BC，∵BC：CD＝2：1，∴CD=12BC，∵FE∥BD，∴FNND=FECD=13BC12BC=23．即FN：ND＝2：3．证法二、连接CF、AD，∵AF：BF＝1：2，BC：CD＝2：1，∴BFAB =BCBD=23，∵∠B＝∠B，∴△BCF∽△BDA，∴FCAD =BCBD=23，∠BCF＝∠BDA，∴FC∥AD，∴△CNF∽△AND，∴FNND=CFAD=23．巩固练习1．（2020•双清区期末）一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米．则这个建筑的高度是 24 m ．【解析】解：设建筑物的高度为x ，由题意得，实际长与影长的比例为46=23，所以x36=23，解得x ＝24m ．故填24．2．（2020•孝义市期末）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD BD=12，则AE AC= 13．【解析】解：∵DE ∥BC ，∴AD BD=AE EC=12，∴AE AC=13．故答案为13．3．（2020•长安区校级月考）如图所示，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝6厘米，CD ＝9厘米．求EF ．【解析】解：在△ABC 中，因为EF ∥AB ，所以EF ：AB ＝CF ：CB ①， 同样，在△DBC 中有EF ：CD ＝BF ：CB ②，①+②得EF ：AB +EF ：CD ＝CF ：CB +BF ：CB ＝1③． 设EF ＝x 厘米，又已知AB ＝6厘米，CD ＝9厘米，代入③得 x ：6+x ：9＝1，解得x =185．故EF =185厘米．4．（2020•相山区二模）如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．若DE EF=25，AC ＝14，（1）求AB 的长．（2）如果AD ＝7，CF ＝14，求BE 的长．【解析】解：（1）∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC=DE EF=25，∴AB AC=22+5=27，∵AC ＝14，∴AB ＝4，（2）过点A 作AG ∥DF 交BE 于点H ，交CF 于点G ，如图所示：又∵AD ∥BE ∥CF ，AD ＝7，∴AD ＝HE ＝GF ＝7，∵CF ＝14，∴CG ＝14﹣7＝7，∵BE ∥CF ，∴BH CG=AB AC=27，∴BH ＝2，∴BE ＝2+7＝9．5．（2020•房山区校级月考）如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ．（1）求证：AF ：FD ＝AD ：DB ；（2）若AB ＝15，AD ：BD ＝2：1，求DF 的长．【点睛】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF ∥CD 得到AFFD=AE EC，由DE ∥BC 得到AD BD=AE EC，然后利用等量代换可得到结论；（2）根据比例的性质由AD ：BD ＝2：1可计算出AD ＝10，则利用AF ：FD ＝AD ：DB 得到AF ＝2DF ，然后利用2DF +DF ＝10可计算出DF ．【解析】（1）证明：∵EF ∥CD ，∴AF FD=AE EC，∵DE ∥BC ，∴AD BD=AE EC∴AFFD=AD BD．（2）∵AD ：BD ＝2：1，∴BD =12AD ，∴AD +12AD ＝15，∴AD ＝10，∵AF ：FD ＝AD ：DB ，∴AF ：FD ＝2：1，∴AF ＝2DF ， ∵AF +DF ＝10，∴2DF +DF ＝10，∴DF =103． 6．（2020•嘉定区一模）已知：如图，点D 、F 是△ABC 的AB 边上的两点，满足AD 2＝AF •AB ，连接CD ，过点F 作FE ∥DC ，交边AC 于E ，连接DE ．求证：DE ∥BC ．【点睛】首先根据平行线分线段成比例定理得到AD AF=AC AE，结合已知得到AD AF=AB AD．从而得到ABAD=AC AE，再根据平行线分线段成比例定理的逆定理证明平行． 【解析】证明：∵AD 2＝AF •AB ，∴AD AF=AB AD．∵FE ∥DC ，∴AD AF=AC AE．∴ABAD=AC AE．∴DE ∥BC ．。
(好)巧做平行线构造相似
平行与相似
1、如图，已知△ABE, D为BC中点，E, F为AB边三等分点，AD分别交C巳CF丁点M N,则AM MN: ND 等丁.
E F B
2、如图，在△ ABC中，D为BC边的中点，点E在线段AD上，BE的延长线交AC 边丁点F,若AE: ED=1 3, AF=2求线段FC的长.
3、如图，在△ ABC中，AB=AC EF交AB丁点E,交AC的延长线丁点F,交BC 丁点D,且BE=CF求证：DE=DF.
4、如图，△ ABC 中,M 为AC 边的中点，E 为AB 上一点，且AE=1/4AB,连接EM 并延长 交BC 的延长线丁 D,求证：BC=2CDig 用4种方法解决).
5、如图，在 △ ABC 中(AB > AC)的边 AB 上取一点 D ,在边 AC 上取一 点 E, 使 AD = AE ,直线 DE 和 BC 的延长线交于点 P .求证：BP : CP =BD : CE .
6、如图过ZXABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交丁点F 和点E. 求证：AE ： EE> 2AF ：
FB.
证法一 *
证法二t 还法三十
作业：构造相似三角形法
1 .如图，在△ ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E,交BC的延长线丁点F, 求证：AE・g BF・EC.
2 .如图，已知/XABC勺边AB上有一点D,边BC的延长线上有一点E,且AE> CE DE交AC于点F,试证明：AB・DR BC・EF.。
合理添加平行线构造相似三角形.完美版PPT
H(1)试找出图中的相似三角形? 结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF
⊿BCF∽ ⊿BAC. ∴tan∠CAD＝∠ABC=
⊿ADE∽ 合理添加平行线构造相似三角形
BD=CD
⊿ABC
∽
⊿DBH
(2)若AE:AC=1:2,则DE:BC=_______;
(2)若AE:AC=1:2,则DE:BC=1：___2____;
BF=4
结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF
2、CD²=AD×BD BC²=BD×AB AC²=AD×AB
用一用
（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上 的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m，
问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
（1）∵⊿BDA∽⊿BAC
yA
∴∠CAD＝∠ABC ∴tan∠CAD＝∠ABC= ∵BC=4
3 4
B(-3,0) O
D
∴AC=BC·tan ∠ABC=3 ∴CD=AC·tan ∠CAD=3×
3=
4
9 4
C(1,0) x ∴OD=OC+CD=1+ 9 = 1 3
合理添加平行线构造相似三角 形
问题
给你一个△ABC和平行于BC边的一条直 线MN；
你能用直线MN去截AB与AC边，使截得 的 三角形与原三角形相似吗？
基本图形1
A型
E M
（及两边的延长线）
平行于三角形一边的直线和其他两 边相交，所构成的三角形与原三角 形相似。
A D
N
B M
巧作平行线构造相似形解一道几何计算题
巧作平行线构造相似形解一道几何计算题作者：马先龙来源：《理科考试研究·初中》2019年第05期摘要：一道求三角形边长的几何计算题，经过三角形一边的中点或三角形的顶点作平行线构造相似三角形求解，能达到化未知为已知，化难为易的目的.本文给出该题的八种解法.关键词：中点;顶点;平行线;相似三角形近日，教学中遇到一道已知三角形的中线、角平分线长，求三角形边长的几何计算题.因直接求解非常困难，故想到了添加辅助线.经过仔细观察图形，排除图形干扰[l]，发现此题可以通过巧作平行线，构造相似三角形，进而运用相似三角形的性质等相关知识求解.现摘录其中的八种解法，供读者参考.题目如图1，已知AD、BE分别是AABC的中线和角平分线，ADIBE，垂足为点F，AD =BE =4，求AC的长.1 过AABC边BC的中点D作平行线构造相似三角形求解评注此解法首先通过△ABF≌△DBF，得到AF= DF =2.然后，过△ABC边BC的中点D 作BE的平行线，巧妙地构造了两对相似三角形：△CDG∽△CBE.△AFE∽△ADG.运用相似三角形的性质，不但顺利得到AC与AE间的数量关系，还求出了EF的长，这就为运用勾股定理求AE的长创造了重要条件.求出AE的长，旋即得到AC的長.解法2 如图2，过点D作DH//CA交BE于点H.由DH//CA，得△BDH∽△BCE.评注此解法过△ABC边BC的中点D作AC的平行线后，巧妙地构造了一对相似三角形和一对全等三角形（相似三角形的特例）：△BDH∽△BCE，△AEF：△DHF.运用相似三角形、全等三角形的性质，顺利得到AC与AE间的数量关系以及EF的长.运用勾股定理求出AE 的长，旋即得到AC的长.2 经过AABC的各个顶点作平行线构造相似三角形求解解法3 如图3，过点C作CM//BE交AD的延长线于点M.评注对于解法3-解法7，就构图而言，解法3是过AABC的顶点G作BE的平行线，巧妙地构造了一对全等三角形（相似三角形的特例）和一对相似三角形：△BFD∽△CMD，△AEF∽△ACM;解法4是过AABC的顶点C作AD的平行线，巧妙地构造了两对相似三角形：△BDF∽△BCN，△AEF∽△CEN;解法5是过AABC的顶点A作BE的平行线，巧妙地构造了两对相似三角形：△DBF∽△DPA，△CEB∽△ACAP：解法6是过AABC的顶点A作BC的平行线，巧妙地构造了一对全等三角形和一对相似三角形：△AFQ≌△DFB，△AQE∽△CBE;解法7是过AABC的顶点B作AC的平行线，巧妙地构造了一对全等三角形和一对相似三角形：△ACD≌△RBD.△AEF∽△RBF.以上各种解法，运用相似三角形、全等三角形的性质后，都比较顺利地得到了AC与AE 间的数量关系以及EF的长.再运用勾股定理求出AE的长，旋即得到AE的长.解法8 如图8，过点B作BS//AD交CA的延长线于点S，则∠SBE= ∠AFE =90°.评注解法8是过AABC的顶点B作AD的平行线，巧妙地构造了两对相似三角形：△CAD∽△CSB，△EAF∽△ESB.先由前一对相似三角形，运用性质得到AC =AS以及SB的长;再运用勾股定理求出ES的长;之后，由后一对相似三角形，运用性质得到EA的长，这样，AS的长便唾手可得，旋即得到AE的长.实践表明，作平行线构造相似三角形是解决此类问题的常用方法.运用这种方法，建立了未知量和已知量之间的关系，达到了化未知为已知，化难为易的目的.一题多种解法，不但能体会作辅助线的好处，还能培养思维的发散性、广阔性和深刻性[2]，从而提升灵活解题和创新解题的能力.参考文献：[1]马先龙.构造“K型图”速解题[J].中学生数学，2014（10）：43 - 44.[2]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2008.。
作平行线构造相似学生版
相似构造技巧——作平行线题型一 过中点、等分点作平行线构造双A 模型1．（2020•崇明县期中）如图，直线DE 交AC 、AB 于D 、F ，交CB 的延长线于E ，且BE ：BC ＝2：3，AD ＝CD ，求AF ：BF 的值．题型二 过中点、等分点作平行线构造双A+X 模型3．（2020•雨城区校级月考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点．射线CF 交AB 于点E ，且AE EB=16，则AFFD等于 ．4．（2020•汝州市校级月考）如图已知：△ABC 中，F 分AC 为1：2两部分，D 为BF 中点，AD 的延长线交BC 于E ，求：BE ：EC ．题型三 过等分点作平行线构造双X 模型5．（2020•浦东新区期中）如图，已知在△ABC 中，AE ：EB ＝CD ：CB ＝1：3，AD 与CE 相交于点H ，求EH HC的值．6．（2020•卢湾区一模）如图，已知点F 在AB 上，且AF ：BF ＝1：2，点D 是BC 延长线上一点，BC ：CD ＝2：1，连接FD 与AC 交于点N ，求FN ：ND 的值．巩固练习1．（2020•双清区期末）一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米．则这个2．（2020•孝义市期末）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD BD=12，则AE AC= ．3．（2020•长安区校级月考）如图所示，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝6厘米，CD ＝9厘米．求EF ．4．（2020•相山区二模）如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．若DE EF=25，AC ＝14， （1）求AB 的长．（2）如果AD ＝7，CF ＝14，求BE 的长．5．（2020•房山区校级月考）如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ．（1）求证：AF ：FD ＝AD ：DB ；（2）若AB ＝15，AD ：BD ＝2：1，求DF 的长．6．（2020•嘉定区一模）已知：如图，点D 、F 是△ABC 的AB 边上的两点，满足AD 2＝AF •AB ，连接CD ，过点F 作FE ∥DC ，交边AC 于E ，连接DE ．求证：DE ∥BC ．。
巧用平行出相似(1)
第七讲、相似形判定巧用平行线
★巧作平行线证明相似：
1．如图，在正方形ABCD 中，F 是AD 的中点，BF 与AC 交于点G ，
则△BGC 与四边形CGFD 的面积之比是_____________．
2.如图，在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，F 为AD 上任意一点，直线CF 交AB 与E ，求证AE:AB=EF:FC
3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥,,,AD m BC n ==,E F 分别是AD BC 、的中点，AF 与BE 相交与点G ，CE 与DF 相交于点H ，求GH 的长.
4．如图，已知△ABC 中，AE ︰EB ＝1︰3，BD ︰DC ＝2︰1，AD 与CE 相交于F ，求
FC EF ＋FD
AF 的值．
5．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为边向外作正方形BEDC ，连结AE 交BC 于F ，作FG ∥BE 交AB 于G ．求证：FG ＝FC ．
6.如图，矩形PQMN 内接于△ABC ，矩形周长为24，AD ⊥BC 交PN 于E ，且BC ＝10，
AE＝16，求△ABC的面积．
7.如图(1),AD∥EF∥BC,若=1, 则EF与AD、BC的数量关系是______________.
如图(2),AD∥EF∥BC,若=, 试探索EF与AD、BC的数量关系,并证明你的结论。
8.（1）阅读下列材料，补全证明过程：
已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G 是线段BC的一个三等分点．。
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平行与相似
1、如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM： MN： ND等于________．
2、如图，在△ABC中，D为BC边的中点，点E在线段AD上，BE的延长线交AC 边于点F，若AE：ED=1：3，AF=2，求线段FC的长．
3、如图，在△ABC中，AB=AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC 于点D，且BE=CF.求证：DE=DF.
4、如图,△ABC中,M为AC边的中点,E为AB上一点,且AE=1/4AB,连接EM并延长交BC的延长线于D,求证：BC=2CD(请用4种方法解决).
5、如图，在△A B C中（A B＞A C）的边A B上取一点D，在边A C上取一点E，使A D＝A E，直线D E和B C的延长线交于点P．求证：B P∶C P ＝B D∶C E．
6、如图过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E. 求证：AE∶ED＝2AF∶FB.
(第6题)
作业：构造相似三角形法
1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.
(第1题)
2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，试证明：AB·DF＝BC·EF.
(第2题)。