双曲线经典练习题

双曲线经典习题

一、选择题

1．(2009年全国卷Ⅱ)双曲线x 26－y 2

3＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝

( )A

A.3 B ．2 C ．3 D ．6

2．(2009年江西卷)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1、F 2、

P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )B

A.32 B ．2 C.5

2

D ．3 3．(2009年福建卷)若双曲线x 2a 2－y 2

3＝1(a ＞0)的离心率为2，则a 等于( )D

A ．2 B. 3 C.3

2

D ．1

4．(2008年重庆卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝kx (k ＞0)，离

心率e ＝5k ，则双曲线方程为( )C

A.x 2a 2－y 24a 2＝1

B.x 2a 2－y 2

5a 2＝1 C.x 24b 2－y 2b 2＝1 D.x 25b 2－y 2

b

2＝1 5．“ab ＜0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( )C A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件

6、过双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点F 作垂直于x 轴的直线，交双曲线的渐

近线于A 、B 两点，若OAB ∆（O 为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为（ D ） A 、

33 B 、3

32 C 、3 D 、36 二、填空题

（3）以椭圆13

42

2=+y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________________ 6．(2008年上海春招)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2

9

＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方

程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若||PF 2＝3，则||PF 1＝______.5

7．(2008年海南宁夏卷)双曲线x 29－y 2

16

＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲

A B

C

P

O

x

y

线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为__________．32

15

8．已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x

轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________．(1,1＋2)

9、已知F 是双曲线112

42

2=-y x 的左焦点，A(1,4),P 是双曲线右支上的动点，则｜PF ｜+｜PA ｜的最小值为_____________

10、已知双曲线

19

162

2=-y x 的左右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线与该双曲线的右支相交于A 、B 两点，若|AB|=5，则1ABF ∆的周长为（ ）D

A 、16

B 、20

C 、21

D 、26

[例1 ] (广东) 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线

122

22=-b

y a x 上， 依题意得a=680, c=1020，

1340

5680340568010202

2

22222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为

用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,

10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 【新题导练】

1. （吉林省长春市2008年高中毕业班第一次调研）设P 为双曲线112

2

2

=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）B

A ．36

B ．12

C ．312

D ．24

2. (2008广州二模文)如图2所示，F 为双曲线116

9:

2

2=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，

则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ）C A ．9 B ．16 C ．18 D ．27

3. (广州市越秀区2009 届高三摸底测试) P 是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 左支上的一

点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ）A （A ）a -

（B ）b -

（C ）c -

（D ）c b a -+

[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162

x －4

2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线

C 的方程． 122

x －82y ＝1. 【新题导练】

4.已知双曲线的渐近线方程是2

x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；

[解析]设双曲线方程为λ=-2

2

4y x ， 当0>λ时，化为

14

2

2

=-

λ

λ

y x ，20104

52

=∴=∴λλ

， 当0<λ时，化为14

22

=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为

221205

x y -=或12052

2=-x y 5. 以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为

___________________.13

92

2=-y x 6. 已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( ) B

A ．22

1(1)8y x x -=<- B ．22

1(1)8

y x x -=> C ．1822

=+y x （x > 0） D ．22

1(1)10

y x x -=>