四点共圆问题(强方法)
第8讲-四点共圆常用技巧1
第8讲-四点共圆常用技巧1
第8讲-四点共圆常用技巧1
在平面几何中，我们经常会遇到四点共圆的问题。
四点共圆是指四个
点在同一个圆上，也就是说，可以通过这四个点画出一个圆。
在解决四点
共圆问题时，我们可以运用一些常用的技巧，下面我将介绍其中的一些。
1.利用公共切线：当四个点给出时，可以通过画出各个点之间的公共
切线来确定它们是否共圆。
如果这些切线是相互相交的，那么这四个点共圆；如果这些切线平行或重合，那么这四个点不共圆。
通过利用公共切线
的方法，可以很方便地判断四个点是否共圆。
2.利用垂直关系：当四个点给出时，如果其中三个点在同一条直线上，并且与第四个点垂直，那么这四个点共圆。
这是因为，如果三个点在同一
条直线上，并且与第四个点垂直，那么这四个点可以看作是一个直角梯形
的四个顶点，而一个直角梯形的底边与顶边垂直的两条边所在的两个圆心，与底边和顶边所在的直线垂直。
因此，这四个点共圆。
3.利用角平分线：当四个点给出时，可以通过画出各个点之间的角平
分线来确定它们是否共圆。
如果这些角平分线是相互相交的，那么这四个
点共圆；如果这些角平分线平行或重合，那么这四个点不共圆。
通过利用
角平分线的方法，也可以很方便地判断四个点是否共圆。
4.利用圆心角：当四个点给出时，可以通过计算各个点所对应的圆心
角来确定它们是否共圆。
如果四个点所对应的圆心角相等，那么这四个点
共圆；如果四个点所对应的圆心角不相等，那么这四个点不共圆。
通过利
用圆心角的方法，可以用来判断四个点是否共圆。
证明四点共圆的方法
证明四点共圆的方法四点共圆是指四个点可以在同一个圆上。
要证明四点共圆，可以利用静态几何学的基本定理和性质，下面将介绍三种常用的方法。
方法一：利用圆的定义和性质对于任意圆，其上的所有点到圆心的距离都是相等的。
因此，我们可以通过计算四个点到圆心的距离来判断它们是否共圆。
设四个点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，圆心为O(x0,y0)。
若四个点共圆，则AO=BO=CO=DO。
利用距离公式得到：AO²=(x1-x0)²+(y1-y0)²BO²=(x2-x0)²+(y2-y0)²CO²=(x3-x0)²+(y3-y0)²DO²=(x4-x0)²+(y4-y0)²若AO=BO=CO=DO，那么AO²=BO²=CO²=DO²，即(x1-x0)²+(y1-y0)²=(x2-x0)²+(y2-y0)²=(x3-x0)²+(y3-y0)²=(x4-x0)²+(y4-y0)²。
通过比较以上等式，我们可以判断四个点是否共圆。
方法二：利用圆的定理和性质若四个点共圆，则它们可以共同对应一个圆。
根据圆的定理和性质，我们可以利用以下定理进行推导和证明：1.三角形的外接圆：如果一个三角形的三个顶点都位于一些圆上，那么这个圆叫做这个三角形的外接圆。
2.交角的异弦：如果两条弦分别交于一个圆的两点，那么它们所夹的两个交角相等。
3.切割定理：规定公式pA×pB=pC×pD，其中p是代表点到圆心的距离，A、B、C、D分别是点到圆心的两条弦所分割的两部分。
根据以上定理和性质，我们可以进行推导和证明四点共圆。
方法三：利用方程推导和证明利用坐标系中的几何图形的方程进行计算和推导是另一种证明四点共圆的常用方法。
四点共圆的证明方法
四点共圆的证明方法
要证明四个点共圆，我们可以使用以下方法：
通过三角形的外接圆证明：首先选择任意三个点，构成一个三角形。
如果这个三角形的三个顶点在同一个圆上，那么我们可以得出结论：第四个点也在这个圆上。
为了验证这一点，我们可以计算这个三角形的外接圆心，并检查第四个点是否也位于该圆上。
利用圆的性质证明：如果我们已经知道了另外三个点在同一个圆上，那么我们可以利用圆的性质来证明第四个点也在该圆上。
例如，可以证明四个点共圆的方法之一是通过证明这四个点构成的两个弦相交于同一点，或者证明这四个点构成的两个弧的度数和等于360度。
利用向量的性质证明：我们可以将四个点表示为向量的形式，并利用向量的性质进行证明。
如果我们能够证明这四个点所对应的向量满足某种关系，比如共线、平行或垂直等，那么我们就可以得出结论：这四个点共圆。
利用解析几何的方法证明：假设这四个点的坐标分别为A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y ₃)，D(x₄, y₄)。
我们可以利用解析几何的方法，通过计算这四个点所构成的三角形的外接圆方程，来判断这四个点是否共圆。
如果这四个点满足外接圆方程，那么它们就在同一个圆上。
无论采用哪种方法，我们需要根据具体问题的条件和要求选择合适的证明方法。
1。
四点共圆的7种判定方法证明
四点共圆的7种判定方法证明要证明四个点共圆，可以使用以下七种判定方法。
方法1：使用相交弧的性质假设四个点A、B、C、D共圆。
我们可以通过观察四个点连线所形成的相交弧的性质来进行判定。
即如果从A到B的弧和从C到D的弧的起点和终点重合，或者从B到C的弧和从D到A的弧的起点和终点重合，或者从C到D的弧和从A到B的弧的起点和终点重合，则可以证明四个点共圆。
方法2：使用余弦定理假设四个点A、B、C、D共圆，并且以A为圆心，AB为半径做圆，那么可以使用余弦定理证明。
首先，假设O为C到D的中点，我们可以根据余弦定理得出：AC² = AO² + OC² - 2 * AO * OC * cos∠AOC，同样地，我们可以得出：BD² = BO² + OD² - 2 * BO * OD * cos∠BOD。
由于共圆的性质，我们可以得到∠AOC = ∠BOD，因此AC² = BD²，从而可以证明四个点共圆。
方法3：使用向量运算假设四个点A、B、C、D共圆，我们可以使用向量运算进行证明。
首先，我们可以构建向量AB和向量AC，然后计算它们的叉乘，得到一个向量N。
同样地，我们可以构建向量AD和向量AC，并计算它们的叉乘，得到另一个向量M。
如果向量N和向量M垂直（即内积等于0），那么可以证明四个点共圆。
方法4：使用角平分线的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且AC和BD相交于点P。
那么根据角平分线的性质，我们可以得知∠APC=∠BPD。
同样地，由于共圆的性质，我们可以得到∠APC=∠BPC，因此∠BPD=∠BPC。
这意味着点P在角BPD的角平分线上，所以我们可以得出AD与BC也相交于点P，从而可以证明四个点共圆。
方法5：使用Miquel点的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且以AC为直径作圆，那么D一定在这个圆上。
同样地，以BD为直径作圆，C也一定在这个圆上。
4点共圆的证明方法
4点共圆的证明方法嘿，咱今儿个就来唠唠这四点共圆的证明方法。
你说这四点共圆，就像是四个小伙伴手牵手围成了一个圈，多有意思呀！咱先来说说第一种方法，对角互补法。
你想想啊，如果四边形的对角加起来正好是 180 度，那不就像两个好朋友，一个爱热闹，一个爱安静，他俩凑一起，刚刚好，这四点不就共圆了嘛！比如说有个四边形，一个角是 60 度，那另一个对角就得是 120 度，这样它们不就互补了嘛，那这四点大概率就是共圆的啦。
还有一种方法呢，叫外角等于内对角法。
这就好比是一个人在外面的表现和他在家里的性格一样，那多特别呀！如果一个四边形的外角等于它不相邻的内对角，那这四点也能共圆哦。
就好像外角是个调皮的孩子，内对角是个稳重的大人，他俩一对应，嘿，四点共圆的关系就出来了。
再来说说同弧所对的圆周角相等法。
这就好像一群人围着一个大蛋糕，同一块蛋糕上的人角度都一样呢！如果在同一个圆里，同一弧所对的圆周角都相等，那这几个点不就共圆了嘛。
最后还有一种方法，叫到定点等距离法。
你可以把这个定点想象成一个温暖的家，这几个点到这个家的距离都一样，那不就像都回到了温暖的怀抱嘛，它们当然就是共圆的啦。
你看，这四点共圆的证明方法是不是很神奇呀！就像是解开一道谜题的钥匙，每一种方法都能打开一扇通往四点共圆世界的大门。
咱学习这些方法，不就像是探险家去探索未知的领域嘛，充满了乐趣和挑战。
咱在做题的时候，遇到那些好像能四点共圆的图形，就可以用这些方法去试试呀，说不定就能找到答案呢！这就像在大海里捞针，你得有耐心，有方法，才能把那根针捞出来呀。
所以呀，大家可别小瞧了这四点共圆的证明方法，它们可是数学世界里的宝贝呢！学会了它们，咱就能在数学的海洋里畅游啦，那感觉，多棒呀！咱可得好好掌握这些方法，让它们成为我们学习数学的得力助手。
怎么样，是不是对四点共圆的证明方法有了更深的了解啦？加油哦，让我们一起在数学的道路上越走越远！。
四点共圆的判定方法
四点共圆的判定方法四点共圆是指四个点在同一圆周上，这种情况在几何学中经常会遇到。
那么如何判断四个点是否共圆呢？本文将介绍四种方法，包括解析几何法、向量法、余弦定理法和三角形面积法。
以下是详细的方法：一、解析几何法1. 假设已知四个点的坐标分别为A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3,y3）和D（x4, y4）。
2. 计算出AB、AC和AD三条线段的长度，分别记作a、b和c。
3. 根据勾股定理可以求出三角形ABC、ABD和ACD的面积S1、S2和S3。
4. 如果S1+S2+S3等于ABC三角形的面积，则说明四个点共圆。
二、向量法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 分别计算出向量AB、AC和AD的叉积，得到三个向量的模长，分别记作a、b和c。
3. 计算出向量AB与AC之间的夹角α，向量AB与AD之间的夹角β，以及向量AC与AD之间的夹角γ。
4. 如果α+β+γ等于180度，则说明四个点共圆。
三、余弦定理法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 计算出AB、AC、AD、BC、BD和CD三对线段之间的夹角，分别记作α、β和γ。
3. 根据余弦定理可以求出三个角的余弦值cosα、cosβ和cosγ。
4. 如果cosα+cosβ+cosγ等于0，则说明四个点共圆。
四、三角形面积法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 构造三角形ABC和ABD，分别计算出它们的面积S1和S2。
3. 构造三角形ACD和BCD，分别计算出它们的面积S3和S4。
4. 如果S1+S2等于S3+S4，则说明四个点共圆。
总结：以上就是判断四点共圆的四种方法，其中解析几何法比较简单易懂，适用于初学者；向量法需要一些向量知识，但计算较为简便；余弦定理法需要一些三角函数知识，但也比较容易掌握；三角形面积法则需要计算多个三角形的面积，稍微有些繁琐。
根据实际情况选择合适的方法进行判断即可。
四点共圆问题
§5四点共圆问题“四点共圆”是平面几何证题中一个十分有利的工具. 四点共圆这类问题一般有两种形式:(1)证明某四点共圆或以四点共圆为基础证明若干点共圆;(2)通过某四点共圆得到一些重要的结果,进而解决问题.下面先给出与四点共圆有关的一些基本知识.(1)若干个点与某定点的距离相等,则这些点在同一圆周上;(2)在若干个点中有两点,其他点对这两点所成线段的视角均为直角,则这些点共圆;(3)若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角,则这四点共圆;(4)若点C、D在线段AB的同侧, 且∠ACB=∠ADB ,则A、B、C、D四点共圆;(5)若两线段AB、CD相交于点E, 且AE·EB=CE·ED,则A、B、C、D四点共圆;(6)若相交线段PA、PB上各有一点C、D,且PA·PC=PB·PD, 则A、B、C、D四点共圆.四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题,而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介.例1、已知PQRS是圆内接四边形,∠PSR=90°,过点Q作PR、PS的垂线,垂足分别为点H、K.求证:HK平分QS.证法1 :如图1,设HK与QS交于点T,则∠TSK=90°-∠RSQ=90°-∠RPQ=∠TKS.所以,TS=TK.又∠TQK=90°-∠TSK=90°-∠TKS=∠TKQ,所以,TQ=TK.故TS=TQ,即HK平分QS.说明:证法1是观察到T是Rt△QSK斜边上的中点,从而去证明TS =TK及TS=TQ.此题也可从另一个角度去考虑,平行四边形的对角线互相平分,于是有证法2.证法2:如图2,分别延长KH和SR交于点G,联结QG.因为∠QHP=∠QKP=90°,所以,Q、H、K、P四点共圆.于是,∠QKH=∠QPH=∠QSR.因此,Q、K、S、G四点共圆.故四边形QKSG是矩形.从而,HK平分QS .例2、给定锐角△ABC ,以AB为直径的圆与边AB上的高线CC′及其延长线交于点M、N ,以AC为直径的圆与边AC上的高线BB′及其延长线交于点P、Q. 证明:M、P、N、Q四点共圆.证明:如图3,由于AB和AC是两圆的直=∠A+∠B+∠C=180°.如图6,作点P关于BC的对称点P′,联结BP′、CP′.于是,∠BQC+∠BP′C=180°.所以,B、Q、C、P′四点共圆.又因∠P′BC=∠PBC=∠QCB,则BP′∥QC.故BQ=P′C.所以,BQ=CP.说明:∠BQC和∠CPB是对线段BC的两个视角, 当点P、Q在线段BC的两侧时,B、Q、P、C四点共圆;当点P、Q在BC的同侧时,常常作对称点,然后便有四点共圆了,这会给解题带来极大方便.例6、在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=BD=1,AB=AC,CD<1,且∠BAC+∠BDC=180°.求CD的长.解:如图7,作点D关于BC的对称点E, 联结AE、BE、CE.设AE与BC交于点F.由AD∥BC,知点A、E 到BC的距离相等,所以,AF=FE.设CD=CE=x,AF=FE=m.由∠BAC+∠BDC=180°,得∠BAC+∠BEC=180°.所以,A、B、E、C四点共圆.由AB=AC,得∠ABC=∠ACB.所以,∠1=∠ACB =∠ABC =∠2.又∠EBF =∠EAC,于是,△BFE ∽△ACE.所以, .BE AE FE CE= 从而,22m =AE ·FE =BE ·CE =x. ① 由角平分线的性质知1.BF BE CF CE x ==又BF +CF =1 ,所以, 11BF x =+, 1x CF x =+. ② 由式②及相交弦定理得2m =AF ·FE =BF ·FC =2(1)x x + ③ 将式③代入式①得 22(1)x x +=x .解得x=. 因此,CD. 例7、在锐角△ABC 中,AB ≠AC,AD 是高,H 是AD 上一点,联结BH 并延长交AC 于点E,联结CH 并延长 交AB 于点F.已知B 、C 、E 、F 四点共圆.问:点H 是否一定是△ABC 的垂心?证明你的结论. 解:答案是肯定的.如图8,在AD 或其延长线上取一点G,使得AH ·AG =AF ·AB =AE ·AC.(1)若点G 、D 不重合,则∠AFH =∠AGB,∠AEH =∠AGC.因为B 、C 、E 、F 四点共圆,所以,∠BFC =∠CEB .从而,∠AFH =∠AEH.因此,∠AGB =∠AGC.于是,AB =AC,矛盾.(2)若点G 、D 重合,则∠AFH =∠ADB =90°,∠AEH =∠ADC =90°.所以,点H 一定是△ABC 的垂心.例8、已知△ABC 的重心G 关于边BC 的对称点是G ′.证明:A 、B 、G ′、C 四点共圆的充分必要条 件是2222AB AC BC +=.证明:如图9,设AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线.由于点G ′与点G 关于BC 对称,则有∠BGC =∠BG ′C.(1)若A 、B 、G ′、C 四点共圆,则∠BG ′C +∠BAC =180°.又因∠EGF =∠BGC =∠BG ′C,所以∠EGF +∠EAF =180°.故A 、F 、G 、E 四点共圆.于是,∠BGF =∠BAC.因此,∠BGC =180°-∠BGF =180°-∠BAC =∠ABC +∠ACB .过点G 作射线GS 交边BC 于点S,使得∠CGS =∠ABC.则∠BGS =∠ACB.由于∠CGS =∠ABC =∠FBS,所以,B 、F 、G 、S 四点共圆.由∠BGS =∠ACB =∠ECS,知C 、E 、G 、S 四点共圆.由割线定理得BF ·BA =BG ·BE =BS ·BC,CE ·CA =CG ·CF =CS ·CB .则BF ·BA +CE ·CA =BC(BS +CS),即2222AB AC BC +=.(2)若2222AB AC BC +=,如图9,延长AD 到点K,使得DK =DG,联结BK 、CK.则四边形BGCK 是平行四边形.从而,∠BKC =∠BGC.又由重心性质知 DK =DG =13AD. 因为AD 是△ABC 的中线,所以, 2222221222.2AB AC AD BD AD BC +=+=+ 结合2222AB AC BC +=,得2234AD BC =. 则221131.3344AD DK AD AD BC BC BD DC ==⨯== 从而,A 、B 、K 、C 四点共圆.故∠BKC +∠BAC =180°.又∠BKC =∠BGC =∠BG ′C,所以, ∠BG ′C +∠BAC =180°.因此,A 、B 、G ′、C 四点共圆.练习题1.设D 是等腰Rt △ABC 底边BC 的中点,过C 、D 两点(但不过点A )任作一圆交直线AC 于点E ,联结BE 交此圆于点F. 求证:AF ⊥BE.2.AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上且OC ⊥AB,P 为⊙O 上一点,位于点B 、C 之间,直线CP 与AB 的延长线交于点Q,过Q 作直线与AB 垂直,交直线AP 于点R. 求证:BQ =QR.3.如图10,在△ABC 中,AD ⊥BC,BE ⊥CA,AD 与BE 交于点H,P 为边AB 的中点,过点C 作CQ ⊥PH,垂足为Q.求证:2PE =PH ·PQ.(提示:联结QE 、CH.易知∠ABE =∠ACH.注意到AP =BP =EP,所以,∠ABE =∠PEB.从而,∠PEB =∠ACH.又易知C 、H 、E 、Q四点共圆,所以,∠EQH =∠ACH.从而,∠EQH =∠PEB =∠PEH.又∠QPE =∠EPH,所以,△EPH ∽△QPE.故2PE =PH ·PQ.)4.凸四边形ABCD 的内切圆,切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为1111,,,A B C D ,联结11111111,,,A B B C C D D A ,点E 、F 、G 、H 分别为11111111,,,A B B C C D D A 的中点.证明:四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆(提示:如图11,易知点H 在AI 上,且AI ⊥11A D . 又1ID ⊥11A D ,由射影定理可知IH ·IA =1ID =2r ,其中r 为内切圆半径.同理,IE ·IB =2r .于是,IE ·IB =IH ·IA.故A 、H 、E 、B 四点共圆.所以,∠EHI =∠ABE.类似地,可证∠IHG =∠ADG,∠IFE =∠CBE,∠IFG =∠CDG.将这四个式子相加得∠EHG +∠EFG =∠ABC +∠ADC.所以, A 、B 、C 、D 四点共圆的充要条件是E 、F 、G 、H 四点共圆.而熟知一个四边形的各边中点围成的四边形是平行四边形, 平行四边 形为矩形的充要条件是该四边形的四个顶点共圆. 因此, EFGH 为矩形的充要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.) 5.在Rt △ABC 的每一条边上,都向外作一个正方形,这三个正方形的中心分别记为D 、E 、F. 试证△DEF 与△ABC 的面积之比值(1)大于1;(2)不小于2.(提示:如图12,先证明A 、F 、C 、B 四点共圆,则∠FBC =∠FAC =45°. 易知FB ⊥DE.由此得BF 、AD 与CE 互相平行.(1)由于BF >BG,所以,DBF S >ABG S , EBF S >CBG S .故DEF S >ABC S .(2)设K 是△ABC 的外接圆和DE 的另一交点.易知FG =GK.如K 与B重合,则FB =FG +GB =GK +GB =2GB;如B 与K 不重合,则FB =FG +GB =GK +GB >2GB.综上知FB ≥2GB.故DEF S ≥2ABC S .)。
初三：第14课 四点共圆
第14课 四点共圆一、基本结论与方法：判断四点共圆的方法有：1.到定点等距离的几个点在同一个圆上；2.同斜边的直角三角形的各顶点共圆；3.同底同侧张角相等的三角形的各顶点共圆；4、如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；5、如果四边形的一个外角等于它的内对角，则它的四个顶点共圆；6、四边形的对角线相交于点P ，且PA•PC=PB•PD,那么四个顶点共圆；7、四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线交于点P ，若PA•PB=PC•PD, 那么四个顶点共圆.托勒密定理：圆内接四边形的对边之积的和，等于对角线之积。
即：如图，四边形ABCD 内接于圆，求证：BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.DB二、例题与习题例1、如图，ABCD 是等腰梯形，求证：BD 2=AB•CD+BC 2.CD 例2、△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:4,:求证：BC AC AB 111=+A D例3、在边长为1的正七边形中，对角线AD=a,BG=b,求证：22)()(ab b a b a =-+.C 例4、两圆相交于A 、B,P 是BA 延长线上一点，PCD 、PEF 分别是两圆的割线，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。
F例5、由圆外定直线上任意点，引圆的两条切线，求证：两切点的连线必经过某定点。
CA例6、点P 是正三角形外接圆的劣弧AB 上一点，连接PC 交AB 于D ，求证：(1)PA+PB=PC;(2)111PA PBPD +=.例7、P为△ABC内一点，D、E、F分别在三角形的边上，已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。
例8、设凸四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为E,证明：点E关于AB、BC、CD、DA 的对称点也共圆。
A例9、两个圆彼此相交，从它们的对称中心引出两条射线交圆周于不在同一直线上的四个点，证明：这四个点共圆。
例10、梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰围直径作圆，点K位于两圆之外，证明：由K向两圆所作的切线长度相等。
辅助圆——四点共圆问题
辅助圆——四点共圆知识点：常见的四点共圆的模型：（一）到同一个点距离相等的四个点。
（二）四边形对角互补，四边形的四个定点在共圆上。
（三）共斜边的直角三角形——四点共圆且斜边为圆的直径。
例题赏析：如图，E 是正方形ABCD 的边AB 上的一点，过点E 作DE 的垂线交ABC ∠的外角的平分线于点F ，求证：DE FE =分析：本题若用全等三角形的知识也可以解决问题，但相对较为复杂。
观察可得：若连结BD ，易得︒=∠90DBF ，符合四点共圆的条件，所以尝试用四点共圆的方法证明本题。
证明：连结BD 、DF在正方形ABCD 中，︒=∠90ABCBF 是正方形外角的平分线∴︒=∠45DBC ，︒=∠45CBF︒=∠∴90DBF又︒=∠90DEF∴D 、E 、B 、F 四点共圆︒=∠=∠∴45DBE DFEDEF ∆∴为等腰直角三角形EF DE =∴练习1：已知等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90A ，D 为BC 中点，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且满足︒=∠90EDF ，求证：DE=DF几何语言： OD OC OB OA === ∴A 、B 、C 、D 四点共圆 几何语言： ︒=∠+∠180D A ∴A 、B 、C 、D 四点共圆几何语言：︒=∠=∠90D C∴A 、B 、C 、D 四点共圆练习2：如图，ABC ∆中，BC AD ⊥于点D ，AC DN ⊥于点N ，AB DM ⊥于点M ，求证：B ∠=∠1练习3：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠30ACB ，在ADC Rt ∆中，︒=∠90ADC ，︒=∠45ACD ，若6=AB ，求BD 的长。
练习4：如图，在四边形ABCD 中，AC 是BAD ∠的平分线，若︒=∠+∠180D B ，求证：CD BC =练习5：如图，BE 、CF 为ABC ∆的高，且交于点H ，连接AB 并延长交BC 于点D ，连结EF（1）求证：21∠=∠；（2）求证：BC AD ⊥。
奥数-圆-四点共圆22
四点共圆的判定方法有哪些？证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）方法3 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理)方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=180度，B+D=180度，以上判定方法是四点共圆性质的逆定理，可用反证发、同一法给予证明。
四点共圆有什么性质这个四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB至E，AC、BD交于P，则A+C=180度，B+D=180度，角ABC=角ADC（同弧所对的圆周角相等）。
角CBE=角D（外角等于内对角）△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）。
四点共圆的六种判定方法
2 过点B作BG AC于点G,得到GBC=45 解RtABG、RtBCG，求得AC的值
判断方法二
练习3：如图，在四边形ABCD中，ABC ADC=90， CAD=26，则ABD的度数为__6_4_°__
常见的四点共圆模型
亦墨数学 小派老师
若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若一个凸四边形的一组对角互补，则这个边形的四个顶点共圆。
共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆 相交弦定理的逆定理： 若AB、CD两条线段相交于点P，且PA PB PC PD,则A、B、C、D四点共圆 割线定理的逆定理： 若AB、CD两条线段延长后相交于点P，且PA PB PC PD,则A、B、C、D四点共圆 托勒密定理的推广： 若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆
判断方法三
共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆
如图，ACD与 BCD，A B， 则A、B、C、D四点在一个圆上。
判断方法三
练习5：如图，若正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是DC边上的一点，DAE=30， 过点D作DF AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 ______
分析：由题可知AFD AOD=90，故A、O、F、D四点共圆。 由四点共圆可得AFO=45，构造直角三角形求出OF的长度。
判断方法三
练习5：如图，若正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是DC边上的一点，DAE=30， 过点D作DF AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 ______
证明四点共圆的方法
证明四点共圆的方法四点共圆的五种基本判定方法：1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2.若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆。
3.若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。
4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。
5.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
下面对这五种判定方法分别说明：1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
如图1，若OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点共圆，如图2.对于这种判定方法，借助于圆的定义即可说明。
2.若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆。
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）.证明：用反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’(如图3），据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外.类似地可证C不可能在圆内.∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆.3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。
证明方法同2，把外角等于内对角的情况转化为一组对角互补4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。
已知：如图4，BC同侧△ABC和△CBD，且∠A=∠D.求证：A、B、C、D四点共圆.证明：假设四点不在同一圆上，作△ABC外接圆，则D点不在圆上，∵∠A,∠D共用弧AB，∴∠A≠∠D，与实际不符，∴D点在△ABC外接圆上，故A、B、C、D四点共圆。
5.同斜边的直角三角形的顶点共圆.证明方法：取斜边的中点，再连接斜边中点和直角顶点,利用斜边中点等于斜边一半即可说明。
4点共圆的判定
4点共圆的判定介绍在平面几何中，共圆是指多个点位于同一个圆上的情况。
当给定4个点时，我们需要判断它们是否共圆。
本文将介绍判定4点共圆的方法和原理，以及具体的计算步骤和示例。
1. 方法一：使用圆的方程1.1 圆的方程圆的方程可以表示为：(x−a)2+(y−b)2=r2其中，(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
1.2 判断四点共圆的步骤1.假设给定的四个点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)。
2.分别计算AB、AC、AD的中垂线的方程，得到它们的斜率和截距。
3.确定中垂线的方程后，求解得到中垂线的交点，即为圆心的坐标。
4.计算四个点到圆心的距离，如果它们的距离都相等，即满足共圆的条件。
2. 方法二：使用向量叉乘2.1 向量叉乘的性质在二维空间中，向量的叉乘可以用来判断三个点是否共线。
如果三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)共线，那么向量AB和向量AC的叉乘为0。
2.2 判断四点共圆的步骤1.假设给定的四个点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)。
2.分别计算向量AB和向量AC的叉乘，以及向量AB和向量AD的叉乘。
3.如果两个叉乘的结果都为0，则四个点共圆。
3. 示例假设有四个点A(0, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，D(1, 1)。
我们将使用上述两种方法来判断它们是否共圆。
3.1 使用圆的方程1.计算AB的中垂线的方程为：y = -0.5x + 0.52.计算AC的中垂线的方程为：y = 0.5x + 0.53.解方程得到两个中垂线的交点为(0.5, 0.5)，即圆心的坐标。
4.计算四个点到圆心的距离，可以得到：AB = AC = AD = BD = 0.5。
因此，四个点共圆。
3.2 使用向量叉乘1.计算向量AB和向量AC的叉乘：(1-0)(1-0) - (0-0)(0-1) = 12.计算向量AB和向量AD的叉乘：(1-0)(1-0) - (0-0)(1-1) = 13.由于两个叉乘的结果都为1，因此四个点共圆。
证四点共圆的方法
证四点共圆的方法嘿，咱今儿个就来聊聊证四点共圆的那些事儿！你说这四点共圆，就好像四个小伙伴要手牵手围成一个圈儿，那怎么才能确定它们真的牵上手了呢？先来说说第一个方法，那就是看这四个点到一个定点的距离是不是相等。
这就好比啊，有个中心点，这四个点就像四颗星星，要是它们到这个中心点的距离都一样，那它们不就乖乖地在一个圆上啦？这不是很明显嘛！还有呢，要是能发现这四个点中，相对的两个角加起来是 180 度，那也能说明它们共圆哦！这就好像是两对好朋友，它们之间的关系特别铁，加起来就是个完美的整体，这不就是在圆里了嘛！再说说看，如果有一条线段在这四个点所构成的四边形的一边上，并且它所对的角是直角，嘿，那这四个点大概率也是共圆的哟！这就像是有根线把它们串起来了一样，绕成了一个圆。
另外啊，如果两个三角形有一条公共边，并且这两个三角形在公共边同侧的顶点连线和公共边所对的角相等，那这四个点也能共圆呢！这就好像是两个小团队，它们有着特殊的联系，最后就组成了一个圆的团队。
你想想看，这四点共圆是不是挺有意思的？就像是在玩一个找伙伴的游戏，得找到各种线索和特征才能确定它们真的是一伙儿的。
这在数学里可重要啦，很多问题都得靠这个来解决呢！比如说在一些几何图形里，要证明某些线段相等或者角相等，要是能发现这几个点共圆，那问题不就迎刃而解了嘛！就像是找到了一把钥匙，一下子就打开了难题的大门。
所以啊，咱可得把这证四点共圆的方法好好记住，说不定啥时候就能派上大用场呢！这就跟咱生活里的小窍门一样，关键时刻能帮咱解决大问题。
咱学数学不就是这样嘛，在看似复杂的图形和关系中找到那一丝线索，然后解开谜题，多有成就感呀！你说这四点共圆的方法是不是很神奇？是不是很值得我们好好研究研究？以后再碰到相关问题，可别傻眼哦，要把这些方法都用上，让那些难题都乖乖投降！这就是数学的魅力呀，充满了挑战和惊喜！。
四点共圆的四种证明方法
四点共圆的四种证明方法
证明四点共圆是数学中最富有挑战性的证明。
现将四点共圆的四种证明方法做一介绍，以供参考。
首先，证明四点共圆的最直接、简单的方法就是直接应用牛顿公式。
牛顿公式定义了一个圆周上任意两点之间的平方和，可以快速证明四点在同一圆上，特别是在多边形圆周构成和四边形构成这两种情况下。
其次，可以利用射影原理证明四点共圆。
这一原理把一个大圆的一小部分映射到另一个圆表面上，证明四点共圆的关键思想是：如果四点共圆，那么只要给定两个点，就可以将剩下的点映射到圆上；否则，这两个点的另外两个相邻点就不能映射在同一个圆上。
第三种方法，可以用三点法证明更多的四边形是由四个共圆外心组成的。
在这种方法中，一般使用三点法，将一个提供的外心与另外三个圆心连线，如果三点在同一个圆内，那么四个点就必然共圆。
最后，可以使用贝塞尔三角形证明四个点是否共圆，贝塞尔三角形由两个圆心控制，根据三角形面积可以判断这三点是否在同一圆上，从而证明四点共圆。
总之，四点共圆的四种证明方法有利于我们对数学的深入研究，提升了我们的数学能力。
因此，我们要认真学习这类方法，一定可以将一个不可能变成可能。
四点共圆的证明的所有方法
四点共圆的证明的所有方法证明：“四点共圆”的概念是指四个点在同一个圆上。
下面将介绍六种不同的方法来证明四个点共圆的情况。
方法一：通过圆的定义证明1.过给定的四个点中任意三个点相互连接得到三条线段。
2.如果这三条线段的两个线段互相垂直，则可以得出结论：它们共同交于同一个圆心，因此四个点在一个圆上。
方法二：通过圆锥曲线性质证明1.给定四个点A、B、C、D，假设A、B为直径。
2.将直径完全平分，将A、B两点之间的弦平分。
3.如果C、D两点相等于刚才的这两个点之间的任意一点，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法三：通过三角形内角平分线性质证明1.给定四个点A、B、C、D，选择其中任意两个点A、B，并通过这两个点画出一个与直线CD平行的线段DE。
2.根据三角形的内角平分线性质，线段DE将角ADC与角BDC平分成两个相等的角。
3.如果这两个相等的角的顶点分别为A和B，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法四：通过周重圆定理证明1.给定四个点A、B、C、D。
2.假设AB与CD相交于点E，并假设AC与BD相交于点F。
3.如果EF垂直于CD，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法五：通过正交变换证明1.给定四个点A、B、C、D，假设A、B为直径。
2.进行适当的正交变换，将这个圆形变换为一个单位圆，使得A点位于单位圆的正上方并成为圆心，B点位于单位圆的负下方。
3.如果C、D两点与单位圆有相同的距离，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法六：通过托勒密定理证明1.给定四个点A、B、C、D，假设B、D两点在圆内，且BD为这个圆的直径。
2.根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD。
3.如果AB×CD+AD×BC=AC×BD成立，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
综上所述，我们介绍了六种不同的方法来证明四个点共圆的情况。
通过不同的几何定理和性质，可以找到不同的路径来达到证明的目的。
平面几何讲义之四点共圆(内容很详实)
BB高中数学联赛平面几何讲义之四点共圆平面几何中证四点共圆的几个基本方法 方法一：平面上有四点A B C D 、、、,若A D ∠=∠, 则A B C D 、、、四点共圆方法二 线段AC BD 、交于E ,若AE EC BE ED ⋅=⋅,则方法三 线段AC BD 、交于E ,若AE BE CE ED ⋅=⋅, 则A B C D 、、、四点共圆方法四：若四边形ABCD ,180A C ∠+∠=︒， 则A B C D 、、、四点共圆DCBPB方法四、已知 AD 是ABC △内角或外角平分线，AB AC ≠,且BD DC =,则A B C 、、证明 设BAD α∠=,因为AD AD DB DC =,所以sin sin sin sin B C BAD CAD=∠∠，所以sin sin B C =，内角时180B C +=︒,外角时B C =，所以A B C D 、、、四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD 是圆O 内接四边形,则AD •BC+AB •CD=AC •BD证明 在AC 上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD ∼△EDC,△ADE ∼△BDC ，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD •BC+AB •DC=AE •BD+BD •CE=AC •BD例1、（等角共轭点性质）已知 点D E 、在ABC ∆内，ABD CBE ∠=∠,BAE CAD ∠=∠.求证ACD BCE ∠=∠.BCBB证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）作E关于BC AB AC、、对称点P R Q、、,易知BRD∆≌BPD∆,ARD∆≌AQD∆,于是DP DR DQ==,所以DCP∆≌DCQ∆,得到PCD QCD∠=∠,进而BCE ACD∠=∠.证明（二）作BDS∆外接圆交AD延长线于S,可知ASC DBC ABE∠=∠=∠,得到ABE∆∽ASC∆,所以ABS∆∽AEC∆,得到ACE ASB DSB∠=∠=∠,所以BCE ACD∠=∠.南京潘成华）E是ABC∆内一点，点D在BC上，且BAE DAC∠=∠,EDB ADC∠=∠.则180AEC BED∠+∠=︒证明先证明AB BEAC EC=,过E作AB AC BC、、垂线EF EG EL、、交AB AC BC、、分别于F G L、、，直线EL AD、交于J,取AF中点K,易知B F E L、、、四点共圆，E G C L、、、四点共圆，所以sinsinFLAB C FL CEBEAC B LG LG BECE===⋅(1),(B C、是ABC∆的内角)，因为EDB ADC∠=∠，所以EL LJ=,于是//KL AJ,易知A F E G、、、四点共圆，B圆心是K，BAE DAC∠=∠,所以AD FG⊥,进而//KL FG，得到KL是FG中垂线，所以FL LG=，(1)得AB BEAC EC=下面我们证明180AEC BED∠+∠=︒，因为sin sin,ACAEC EACAE∠=∠sin sin,ABBAE BAEBE∠=∠,两式相除得sin sin sinsin sin sinAEC EAC BADBAE BAE DAC∠∠∠==∠∠∠sin sinsin sinAB BAD EC BD EC BEDAC DAC BE CD BE DEC∠∠=⋅=⋅=∠∠,因为360AEC BAE BED DEC∠+∠+∠+∠=︒所以，180AEC BED∠+∠=︒证明（二）在AB取H,使得AHB PDB∠=∠,所以AHD∆∽APC∆,易知H P D B、、、四点共圆，所以180APC BPD BHD AHD∠+∠=∠+∠=︒例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是ABC∆底边BC上任一点，P是形内一点，满足12∠=∠，34∠=∠。
(完整版)四点共圆的判定与性质
四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
CADC7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
证明四点共圆方法
四点共圆证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。
那么这四点共圆）方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理)方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆．方法6同斜边的两个RT三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径判定与性质：圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O 的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。
角CBE=角ADE（外角等于内对角）△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）四点共圆的图片EB*EA=EC*ED（割线定理）EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理）（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）弦切角定理四点共圆的判定定理：用反证法证明现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。
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证明四点共圆的方法
理论依据：不共线的三点确定一个圆。
重点问题：四点共圆。
其它问题：多点共圆（超过四点，一般考虑先用不共线的三点/四点共圆，之后证明其它点在此圆上）。
思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上.
思路二：四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆.
思路三：运用有关定理或结论
（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径.
（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆.
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆.
（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，
PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆.
（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，
PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆.
（6）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD ，
BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅⇔四点共圆.
图（3） 图（4） 图（5）
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇒四点共圆.
证明：用反证法
过A ，B ，D 作圆O ，假设C 不在圆O 上，
则C 在圆外或圆内， 若C 在圆外，设BC
交圆O 于C '，连结D C '，根据圆内接四
边形的性质得∠A +∠D C 'B =180°，
∵∠A +∠C =180°∴∠D C 'B =∠C .
故假设错误，原命题成立. A B C D A B C D P A B C D P。