基本不等式高考历年真题

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【考点20】基本不等式

2009年考题

1.（2009天津高考）设0,0.a b >>若11

333a b a b

+是与的等比中项，则的最小值为（ ）

A 8

B 4

C 1

D 14

【解析】选B. 因为333=⋅b a ，所以1=+b a ，

1111()()2224b a b a a b a b a b a b a b

+=++=++≥+⋅=， 当且仅当

b a a b =即2

1

==b a 时“=”成立，故选择B. 2.（2009天津高考）设y

x b a b a b a R y x y

x

1

1,32,3,1,1,,+=+==>>∈则

若的最大值为（ ） B.

23 D.2

1 【解析】选C. 因为3log ,3log ,3b a y

x y x b a ====，

1)2

(log log 11233=+≤=+b a ab y x （当且仅当a=b=3时等号成立）.

3.（2009重庆高考）已知0,0a b >>，则

11

2ab a b

++的最小值是（ ） A ．2

B ．22

C ．4

D ．5

【解析】选C. 因为

11112222()4ab ab ab a b ab ab

++≥+=+≥当且仅当11a b =，

且

1

ab ab

=，即a b =时，取“=”号。 4.（2009湖南高考）若x ∈(0,

2π)则2tanx+tan(2

π

-x)的最小值为 . 【解析】由(0,)2x π∈，知1

tan 0,tan()cot 0,2tan παααα

>-==>所以

1

2tan tan()2tan 22,2tan πα

ααα

+-=+≥当且仅当2tan 2α=时取等号，即最小值是22。 答案：22

5.（2009湖南高考）若0x >，则2

x x

+的最小值为 . 【解析】

0x >222x x ⇒+≥，当且仅当2

2x x x

=⇒=时取等号.

答案：22

6.（2009湖南高考）若0x >，则2

x x

+

的最小值为 . 【解析】选0x >222x x ⇒+≥，当且仅当2

2x x x

=⇒=时取等号.

答案：22

7.（2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m

m a

+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a

+.如果一个人

对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为12h h .现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当3

5

A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设3

5

A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【解析】(1)

当3

5

A B m m =时，235

35(20)(5)125

B B B B

B B B m m m h m m m m =

⋅=++++甲

235320(5)(20)3

5

B

B B B B B B m m m h m m m m =

⋅=++++乙,

h 甲=h 乙

（2）当3

5

A

B m m =时， 2211

=,20511(20)(5)(1)(1)100()251B B B B B B B

m h m m m m m m ==++++++甲

由111

[5,20][,]205B B m m ∈∈得

，故当1120

B m =即20,12B A m m ==时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为

10

。 （3）由（2）知：0h =10 由010=

125A B A B m m h h m m ⋅≥=++甲得：1255

2A

B A B m m m m ++⋅≤， 令

35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5

(14)(1)2

x y ++≤。 同理，由010h h ≥=

乙得：5

(1)(14)2

x y ++≤ 另一方面，1[,1]4x y ∈、141x x +∈+∈5、1+4y [2,5],、1+y [,2],2

55(14)(1),(1)(14),22

y x y ++≤++≤当且仅当1

4x y ==，

即A m =35B m 时，取等号。由（1）知A m =35B m 时h 甲=h 乙

所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立。

8.（2009湖北高考）围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）。