基本不等式高考历年真题
基本不等式专题训练试卷
基本不等式专题训练试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a,b∈ R，且ab > 0，则下列不等式中，恒成立的是（）A. a + b≥slant2√(ab)B. (1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))C. (b)/(a)+(a)/(b)≥slant2D. a^2+b^2>2ab解析：- 选项A：当a <0，b <0时，a + b≥slant2√(ab)不成立，因为a + b<0，2√(ab)>0。
- 选项B：当a <0，b <0时，(1)/(a)+(1)/(b)<0，(2)/(√(ab))>0，所以(1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))不成立。
- 选项C：因为ab>0，则(b)/(a)>0，(a)/(b)>0，根据基本不等式(b)/(a)+(a)/(b)≥slant2√(frac{b){a}×(a)/(b)} = 2，当且仅当a = b时取等号，该式恒成立。
- 选项D：当a=b时，a^2+b^2=2ab，所以a^2+b^2>2ab不恒成立。
所以答案是C。
2. 已知x>0，y>0，且x + y=1，则(1)/(x)+(1)/(y)的最小值为（）A. 2B. 2√(2)C. 4D. 2 + 2√(2)解析：因为x + y = 1，x>0，y>0，则(1)/(x)+(1)/(y)=(x + y)/(x)+(x +y)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)。
根据基本不等式(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2√(frac{y){x}×(x)/(y)}=2，当且仅当x=y=(1)/(2)时取等号。
所以(1)/(x)+(1)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2 + 2=4，答案是C。
3. 设a>0，b>0，若√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(1)/(a)+(1)/(b)的最小值为（）A. 8B. 4C. 1D. (1)/(4)解析：因为√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(√(3))^2=3^a×3^b=3^a + b，所以a + b = 1。
高中数学不等式高考真题精选和解析
高中数学不等式高考真题精选和解析1.(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．2.(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4.4.(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.5.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．6.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a的值．答案解析1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解； 当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112. 综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76.3. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.4. 证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋ca abc＝1a ＋1b ＋1c . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3 3(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.5.(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤12，－x ＋2≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，3x ≤x ＋3，解得－12≤x ≤32，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤32. (2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x ≤12，3x ，x >12，可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. 设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}， 则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥32，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|，所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，74. 故实数m的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |14≤m ≤74.6.解 (1)由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≥1，x ＋2，－12<x <1，－3x ，x ≤－12.当x ≥1时，由f (x )≥3得3x ≥3，解得x ≥1；当－12<x <1时，由f (x )≥3得x ＋2≥3，解得x ≥1， 这与－12<x <1矛盾，故舍去；当x ≤－12时，由f (x )≥3得－3x ≥3，解得x ≤－1.综上可知，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，B (1,3)， ∴k AB ＝3－321＋12＝1，∴直线y ＝x ＋a 与直线AB 平行．若要围成多边形，则a >2.易得直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象交于两点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，3a 4，则|CD|＝2·|a2＋a4|＝324a，平行线AB与CD间的距离d＝|a－2|2＝a－22，|AB|＝322，∴梯形ABCD的面积S＝322＋324a2·a－22＝32＋34a2·(a－2)＝92(a>2)，即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4.故所求实数a的值为4.。
不等式(原卷版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题14不等式1．【2022年全国乙卷】若x ，y 满足约束条件+O2,+2N4,O0,则=2−的最大值是（）A ．−2B ．4C ．8D ．122．【2021年乙卷文科】若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为（）A ．18B ．10C ．6D ．43．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x xy -=+D ．4ln ln y x x=+4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称5．【2019年新课标2卷理科】若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │6．【2022年新高考2卷】若x ，y 满足2+2−B =1，则（）A ．+≤1B ．+≥−2C ．2+2≤2D ．2+2≥17．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D≤8．【2020年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.9．【2020年新课标2卷文科】若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．10．【2020年新课标3卷理科】若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．11．【2020年新课标3卷理科】关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．12．【2019年新课标2卷文科】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z =3x –y 的最大值是___________.13．【2018年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．14．【2018年新课标2卷理科】若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最大值为__________．15．【2018年新课标3卷文科】若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________．。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。
不等式高考试题及答案
不等式高考试题及答案一、选择题1. 若不等式3x+2>7成立，则x的取值范围是：A. x < -1B. x > -1C. x < 1D. x > 1答案：D2. 已知不等式2(x-1) > 3(x+2)，则x的取值范围是：A. x < -7/5B. x > -7/5C. x < -1D. x > -1答案：C3. 若x<y，则对x+y，下列不等式成立的是：A. x + y < 2xB. x + y < 2yC. x + y > 2xD. x + y > 2y答案：C4. 若不等式5x+3y > 6成立，下列不等式中一定成立的是：A. 10x + 6y > 12B. 5x + 6y > 12C. 5x + 3y > 6D. 10x + 3y > 6答案：D5. 下列不等式组中，解集与其他三个不同的是：A. {x | -2 < x < 3}B. {x | 0 < x < 5}C. {x | 1 < x < 4}D. {x | -3 < x < 2}答案：B二、填空题1. 若不等式2x - 1 > 5成立，则x的取值范围为________。
答案：x > 32. 若不等式-3(x - 1) < 2(x + 3)成立，则x的取值范围为________。
答案：x < 13/53. 已知不等式2x - 3 < 5x + 4，则x的取值范围为________。
答案：x > -7/34. 若不等式x + 5 > 2x - 3成立，则x的取值范围为________。
答案：x < 85. 若不等式3x - 2 > 5成立，则x的取值范围为________。
答案：x > 7/3三、解答题1. 解不等式组{x | 2x + 3 > 5, x - 1 < 4}，并将解表示在数轴上。
新高考数学-基本不等式30题解析
一、多选题1．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知正实数,x y 满足2x y xy +=，则（）A ．16xy ≥B ．29x y +≥C ．6x y +>D ．1831x y+≥-2．（21-22高一下·全国·开学考试）下列不等式一定成立的是（）A ．()21lg lg 04x x x ⎛⎫+≥> ⎝⎭B ．()lgeln 21lg x x x+>>C ．()21012x x x ≥>D ．()1121x x <∈R3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知,a b 均为实数，则()222a b a b ab+++的可能值为（）A ．43B ．34C ．1D ．24．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）若62,63a b ==，则下列不等关系正确的有（）A2B ．114a b+>C ．2212a b +>D ．14ab <5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知位于第一象限的点(),a b 在曲线1x y+=上，则（）A ．()()111a b --=-B ．4ab ≥C ．49a b +≤D ．221223a b +≥6．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知p q ､为函数()lg f x x t =-的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（）A ．222p q +<B ．228p q +>C ．33log log 0p q ⋅<D ．1pq =由图可知，当0t >时，直线设p q <，则01p q <<<，由由()lg 0f q q t =-=，可得lg 对于A 选项，222p q pq +>=对于B 选项，2222p q p ++>对于C 选项，33log log 1p <=对于D 选项，由上可知1pq =故选：CD.7．（2024高三·全国·专题练习）已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A ．22x y x =+B ．2y =C ．13y x x=-D ．411y x x =-+【答案】ACD号取不到；因为函数－在上单调递增，所以3－≥2；因为x ≥1＋＝＋－2≥4).故选8．（2024高三·全国·专题练习）(多选)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b ＝1，且a 2－c 2＝2，则下列结论正确的是（）A ．a ＜32B ．tan A ＋3tanC ＝0C ．角B 的最大值为3πD ．△ABC 的外接圆面积的最小值为π9．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，在ABC 中,4BC =，且M 点为BC 边的中点，则下列结论正确的有（）A ．设G 是AM 的中点，则0GA GB GC ++=C ．若π3BAC ∠=，则AM 的最小值为D ．若π6BAM ∠=，则AC 边的最小值为2【详解】对于B ，分别在ABM 和ACM △中由正弦定理可得sin sin sin sin AMB BAMAC CM AMC CAM ⎧=⎪⎪∠∠⎨⎪=⎪∠∠⎩，因为2πBM CM AMB AMC ==⎧⎨∠+∠=⎩，则sin sin AB CAMAC BAM ∠=∠，正确；对于C ，在ABC 中，由余弦定理可得2216b c bc +-=，所以22162b c bc bc +=+≥，则16bc ≤，当且仅当4b c ==时取等，又2AB AC AM +=，所以AM AM ===，当且仅当4b c ==时取等，故AM 最大值为对于D ，在ABM 中，由正弦定理可得242πsin 6R==，故ABM 的外接圆圆O 的半径为2R =，则点A 在优弧 BM上运动，则AC 的最小值为2OC R R -=-=-，正确.故选：BD10．（2024·贵州毕节·二模）已知252100a b ==，则下列式子中正确的有（）A ．211a b+=B ．121a b+=C ．8ab >D ．29a b +>【答案】BCD 【分析】由指对互化得到25log 100a =，2log 100b =，进而结合对数运算性质和基本不等式的应用即可求解.【详解】11．（2024·江苏·一模）已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则()A ．y x >B ．1x y +>C ．14xy <D <【答案】ACD 【分析】用对数表示x ，y ，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案．【详解】12．（23-24高一下·安徽宿州·开学考试）若正实数,a b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．122a b->C ．14a b+的最小值是10D【答案】AB 【分析】利用均值不等式和“1”的妙用判断ACD ，由12a b b -=-讨论b 的范围判断B 即可.【详解】选项A ：因为,a b 为正实数，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，所以ab 有最大值14，A 说法正确；选项B ：由1a b +=可得12a b b -=-，因为,a b 为正实数，所以01b <<，1121b -<-<，所以1212222a b b --<=<，B 说法正确；选项C ：由题意可得()14144559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a =，即13a =，23b =时等号成立，所以14a b +的最小值是9，C 说法错误；选项D ：由A 得212a b =++=+≤，误；故选：AB13．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列各函数中，最小值为2的是（）A ．2610y x x =-+B ．3y x =-+C ．1y xx=+D ．2y =14．（23-24高三下·广东·阶段练习）若0a >，0b >，8a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A 4≤B 4+≥C ．2232a b +≥D ．1498a b +≥【详解】15．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）已知0x >，0y >，且24x y +=，则（）A ．ln ln ln2x y +≤B ．248x y +<C ．1294x y +≥D ．324e e x x y-≥16．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）下列函数中，最小值是4的有（）A ．()134x f x x=++B ．()f x =C ．()()31011f x x x x=+<<D ．()f x =则（）A ．413x y +≥B ．9xy ≤C ．2218x y +≤D ．1123x y +≥18．（2024·贵州贵阳·一模）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A ．22a b+≥B ．112a b+≥C ．22log log 1a b +≤D ．222a b +≥19．（2024·河南信阳·一模）已知正数,m n满足322m n+=，则（）A．12mn≥B．222m n+≥C．32m n+≥D．2,(0,),()2m nm n mnmn-∃∈+∞≥20．（23-24高一上·广东茂名·期中）下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“x ∃∈R ，使20x ax a ++<”是假命题，则实数a 的取值范围为04a ≤≤C ．不等式21x>的解集是(),2-∞D ．设a +∈R ，则24a a+的最小值为4.21．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a ba b >++B ．2ab a b +22．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知0a b >>，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是（）A ．22()(1)a b b +>+B ．11b b a a ->-2223．（23-24高一上·浙江·期末）设正实数,a b满足2a b+=，则（）A．11a b+的最小值为2B．1122a b a b+++的最大值为23C2D．3ab b-的最大值为1424．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（）A ．111a b+=B ．25ab b+³C ．4a b +≥D ．228a b +≥25．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知3824a b ==，则a ，b 满足的关系是（）A ．111a b+=B ．112a b+=C ．()()22112a b -+-<D ．()()22112a b -+->26．（23-24高一上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．44ππcos sin 882-=27．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若,m n 均为正数，且满足22m n +=，则（）A ．mn的最大值为12B ．11m n+的最小值为3+C ．24m n +的最小值为4D ．2mm n+的最小值为1+28．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知0a b >>，下列说法正确的是（）A ．11a b b a+>+B ．2b a a b+>C ．若0c >，则b b ca a c+<D ．若c d >，则a c b d->-29．（23-24高三上·海南·期末）已知0,0a b >>，且4a b ab +-=，则（）A ．3a b +≥B ．104ab <≤或94ab ≥C ．221(1)(1)2a b -+-≤D ．11413a b <+≤或114a b+≥30．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知0,0a b>>，且1a b+=，则（）A．41ab>B．2728a b+≥C．41912a b+≥D2≤。
基本不等式高考真题汇总
基本不等式高考真题汇总1．(2022·福建，5)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析 取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C. 答案 C2．(2022·湖南，10)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析 ∵x ，y ∈R 且xy ≠0， ∴(x 2＋1y 2)·(1x2＋4y 2)＝5＋1x 2y2＋4x 2y 2≥5＋2×2＝9，当且仅当1x 2y2＝4x 2y 2，即xy ＝±22时，取得最小值9. 答案 93．(2022·重庆，3)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9B.92C ．3D.322解析 ∵－6≤a ≤3，∴3－a ≥0，a ＋6≥0. 而(3－a )＋(a ＋6)＝9， 由基本不等式得：(3－a )＋(a ＋6)≥2（3－a ）（a ＋6）， 即9≥2（3－a ）（a ＋6），∴（3－a ）（a ＋6）≤92，并且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．答案 B4．(2022·重庆，7)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72B ．4C.92D ．5解析 ∵2y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b＝5＋4a b ＋b a，又∵a >0，b >0， ∴2y ≥5＋24a b ·ba＝9，∴y min ＝92，当且仅当b ＝2a 时“＝”成立．答案 C5．(2022·上海，15)若a ，b ∈R ，且ab >0.则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋ab≥2解析 由ab >0，可知a 、b 同号．当a <0，b <0时，B 、C 不成立；当a ＝b 时，由不等式的性质可知，A 不成立，D 成立． 答案 D6．(2022·上海，5)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解析 ∵x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时取“＝”，∴x 2＋2y 2的最小值为2 2. 答案 2 27．(2022·天津，14)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．解析 因为a ＋b ＝2，所以a ＋b2·12|a |＋|a |b ＝a ＋b22|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b ＝a4|a |＋1， 当a >0时，a 4|a |＋1＝54，12|a |＋|a |b ≥54；当a <0时，a 4|a |＋1＝34，12|a |＋|a |b ≥34，当且仅当b ＝2|a |时，等号成立．因为b >0，所以原式取最小值时b ＝－2a .又a ＋b ＝2，所以a ＝－2时，原式取得最小值． 答案 －28．(2022·浙江，16)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 解析 依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105. 当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 达到最大值2105. 答案21059．(2022·山东，12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C.94D ．3解析 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2－3xy ＋4y 2z ＝1≥2x 2·4y 2－3xy z，即xy z≤1，当且仅当x 2＝4y 2时成立， 又x ，y 为正实数，故x ＝2y .此时将x ＝2y 代入x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得z ＝2y 2， 所以2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，2x ＋1y －2x取得最大值为1，故选B.答案 B。
高中不等式试题及答案
高中不等式试题及答案1. 若不等式\(ax^2 + bx + c > 0\)的解集为\((-1, 2)\)，则下列哪个选项是正确的？A. \(a < 0\)且\(b^2 - 4ac < 0\)B. \(a > 0\)且\(b^2 - 4ac > 0\)C. \(a < 0\)且\(b^2 - 4ac > 0\)D. \(a > 0\)且\(b^2 - 4ac < 0\)答案：C2. 如果\(x^2 - 5x + 6 < 0\)，那么\(x\)的取值范围是？A. \(x < 2\)或\(x > 3\)B. \(2 < x < 3\)C. \(x < 3\)或\(x > 2\)D. \(3 < x < 2\)答案：B3. 已知\(a\)和\(b\)是正数，且\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。
A. \(\frac{1}{4}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(1\)D. \(\frac{1}{3}\)答案：A4. 若不等式\(|x - 1| < 2\)成立，求\(x\)的取值范围。
A. \(-1 < x < 3\)B. \(-2 < x < 2\)C. \(-1 < x < 1\)D. \(1 < x < 3\)答案：A5. 已知\(y = x^2 - 4x + 3\)，求\(y\)的最小值。
A. \(-1\)B. \(0\)C. \(3\)D. \(4\)答案：A6. 若不等式\(\frac{x}{x - 1} > 0\)成立，求\(x\)的取值范围。
A. \(x < 0\)或\(x > 1\)B. \(x < 1\)或\(x > 0\)C. \(x < 1\)或\(x > 2\)D. \(x < 0\)或\(x > 2\)答案：A7. 已知不等式\(3x^2 - 6x + 2 > 0\)，求\(x\)的取值范围。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
高考数学解不等式基本训练题及参考答案
高考数学解不等式基本训练题及参考答案一、选择题(1)不等式6x 2+5x <4的解集为（ ） A (-∞,-34)∪(21,+∞) B (- 34,21) C (- 21,43) D (-∞,-21)∪(34,+∞) (2)a >0,b >0,不等式a >x1>-b 的解集为（ ） A -b 1 <x <0或0<x <a 1 B - a 1<x <b1 C x <-b 1或x >a 1 D - a 1<x <0或0<x <b 1 (3)不等式11+x (x -1)(x -2)2(x -3)<0的解集是（ ） A (-1,1)∪(2,3) B (-∞,-1)∪(1,3)C (-∞,-1)∪(2,3)D R(4)若a >0,且不等式ax 2+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（）A Δ<0B Δ=0C Δ≤0D Δ>0(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *∩A=∅,则有（ ）A p >-2B p ≥0C -4<p <0D p >-4(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（ ） A m <-5或m >3 B 3<m <9 C m =0或m =8 D m =8(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2+2x +3)在x =49时成立,则不等式的解集为 A {x |1<x <2} B {x |2<x <25} C {x |1<x <25} D {x |2<x <5} (8)设0<b <21,下列不等式恒成立的是（ ） A b 3>b 21B l o g b (1-b )>1 C cos(1+b )>cos(1-b ) D (1-b )n <b n ,n ∈N (9)若不等式x 2-l o g a x <0在(0,21)内恒成立,则a 满足（ ） A 16≤a <1 B 16<a <1 C 0<a ≤161 D 0<a <161 (10)不等式112+<-x x 的解集是（ ）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D -1,1］ (11)不等式112)21(--<x x 的解集是（ ） A B (1,2) C (2,+∞) D (1,+∞) (12)不等式(x -1)2+x ≥0的解集是（ ） A {x |x >1} B {x |x ≥1或x =-2} C {x |x ≥1} D {x |x ≥-2且x ≠1}(13)函数f (x )=822--x x 的定义域为A ,函数g(x )=a x --11的定义域为B ,则使A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（ ） A {a |-1<a <3} B {a |-2<a <4}C {a -2≤a ≤4}D {a |-1≤a ≤3}(14)关于x 的不等式22x a -<2x +a (a >0)的解集为（ ） A (0,a ) B (0,a ］ C ∞)∪(-∞,-54 a ) D ∅ 二．填空题(15)不等式1≤|x -2|≤7的解集是(16)不等式x1>a 的解集是 (17)不等式lg|x -4|<-1的解集是(18)不等式xb c -<a (a >0,b >0,c >0)的解集是 (19)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = (20)不等式1lg -x <3-lg x 的解集是(21)函数f (x )=l o g 2(x 2-4),g(x )=2k x 2-(k <-1),则f (x )g(x )的定义域为 三、解答题（22）解下列不等式(1)(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2；(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；(3)45820422+-+-x x x x ≥3（23）设不等式(2x -1)>m (x 2-1)对满足|m |≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围解不等式练习题参考答案：1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 13．D 14．B15．［-5,1］∪［3,9］16．a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a 1或x >0 17．{x |4<x <1041或1039<x <4} 18．{x |x <b 或x >b -ac } 19．4 20．10≤x <100 21．［2k -2)∪(2,+∞) 22．解:(1)当x ≠-5时,(x +5)2>0,两边同除以(x +5)2得x +4>3x -2, 即x <3且x ≠-5；∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}(3)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x 0)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞) 23．解:①若x 2-1=0,即x =±1,且2x -1>0,即x >21时,此时x =1,原不等式对|m |≤2恒成立;②若x 2-1>0,要使1122--x x >m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x >2,即 ⎩⎨⎧->->-22120122x x x 得1<x 23 ③若x 2-1<0时,要使1122--x x <m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x <-2,即 ⎩⎨⎧+->-<-22120122x x x 得271+-<x <1 综合①②③得,所求x 的范围为271+-<x 23。
不等式--历届高考真题解析版
不等式--历届高考真题一、单选题1．（2019·全国高考真题（文））记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩…表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+…；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+„.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④【答案】A2．（2012·全国高考真题（理））已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7 B ．5 C ．5- D ．7-【答案】D3．（2017·全国高考真题（文））设x,y 满足约束条件{2x+3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0 ，则z =2x +y 的最小值是( ) A ．−15 B ．−9 C ．1 D ．9【答案】A4．（2018·天津高考真题（文））（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤5,2x −y ≤4,−x +y ≤1,y ≥0, 则目标函数z =3x +5y 的最大值为 A ．6 B ．19 C ．21 D ．45 【答案】C5．（2018·全国高考真题（理））已知集合A ={x |x 2−x −2>0 }，则∁R A = A ．{x |−1<x <2 } B ．{x |−1≤x ≤2 }C ．{x|x <−1}∪ {x|x >2}D ．{x|x ≤−1}∪ {x|x ≥2} 【答案】B6．（2018·全国高考真题（理））设a =log 0.20.3，b =log 20.3，则 A ．a +b <ab <0 B ．ab <a +b <0 C ．a +b <0<ab D ．ab <0<a +b【答案】B7．（2016·北京高考真题（理））袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C8．（2017·浙江高考真题）若x,y 满足约束条件x 0{x+y-30 z 2x-2y 0x y ≥≥=+≤，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞） 【答案】D9．（2017·山东高考真题（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A ．()21log 2a b a a b b +<<+B ． ()21log 2a b a b a b <+<+ C ． ()21log 2a b a a b b +<+< D ． ()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B10．（2017·山东高考真题（文））已知x ,y 满足约束条件250{302x y x y -+≤+≥≤,则z =x +2y 的最大值是A ．-3B ．-1C ．1D ．3 【答案】D11．（2017·天津高考真题（理））已知函数()23,1,{ 2, 1.x x x f x x x x-+≤=+>设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C．2⎡⎤-⎣⎦ D．3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A12．（2017·全国高考真题（文））设x ，y 满足约束条件{x +3y ≤3,x −y ≥1,y ≥0, 则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D13．（2015·上海高考真题（文））下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）. A ．B ．C ．D ．【答案】B14．（2015·广东高考真题（文））若变量x ，y 满足约束条件22{04x y x y x +≤+≥≤，则23z x y=+的最大值为（ ） A ．10 B ．8C ．5D ．2【答案】C15．（2015·浙江高考真题（文））有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ） A ．ax by cz ++ B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++【答案】B16．（2015·湖南高考真题（文））某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A．8π9B．827πC．24(√2−1)2πD．8(√2−1)2π【答案】A17．（2015·安徽高考真题（文））已知x，y满足约束条件0 {401x yx yy-≥+-≤≥，则的最大值是（）A．-1 B．-2 C．-5 D．1【答案】A18．（2015·湖南高考真题（文））若变量x，y满足约束条件{x+y≥1y−x≤1x≤1，则z=2x−y的最小值为（）A．−1B．0 C．1 D．2【答案】A19．（2015·湖南高考真题（理））某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（=新工件的体积材料利用率原工件的体积）（）A ．89πB ．169πC ．31)πD ．31)π【答案】A20．（2015·四川高考真题（文）） 设实数x ，y 满足{2x +y ≤10x +2y ≤14x +y ≥6 ，则xy 的最大值为( ) A ．252B ．492C ．12D ．14【答案】A21．（2015·重庆高考真题（文））若不等式组{x +y −2≤0x +2y −2≥0x −y +2m ≥0 ,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（ ）A ．-3B ．1C ．43D ．3【答案】B22．（2015·天津高考真题（文））设变量x,y 满足约束条件,则目标函数的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．14【答案】C23．（2015·天津高考真题（理））（2015天津，文2）设变量x,y 满足约束条件{x +2≥0x −y +3≥02x +y −3≤0 ，则目标函数z =x +6y 的最大值为( ) A ．3 B ．4C ．18D ．40【答案】C24．（2015·山东高考真题（理））已知x ，y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝ ( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3【答案】B25．（2015·福建高考真题（理））若变量x,y 满足约束条件{x +2y ≥0,x −y ≤0,x −2y +2≥0, 则z =2x −y的最小值等于 （ ） A ．−52B ．−2C ．−32D ．2【答案】A26．（2014·四川高考真题（理））已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（其中O 为坐标原点），则ΔABO 与ΔAFO 面积之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．17√28D ．√10【答案】B27．（2014·全国高考真题（文））设x ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ） A ．5- B ．3C ．5-或3D ．5或3-【答案】B28．（2014·山东高考真题（理））已知 x y ，满足约束条件10{230x y x y --≤--≥，当目标函数()0? 0z ax by a b =+>>，在约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ） A ．5 B ．4 CD ．2【答案】B29．（2014·北京高考真题（理））若x，y满足2020x ykx yy+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x=-的最小值为4-，则k的值为（）A．2B．2-C．12D．12-【答案】D30．（2014·重庆高考真题（文））若的最小值是A．B．C．D．【答案】D31．（2011·广东高考真题（文））已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．4【答案】B32．（2011·湖北高考真题（文））（5分）（2011•湖北）直线2x+y﹣10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【答案】B33．（2011·重庆高考真题（理））已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【答案】C34．（2011·重庆高考真题（文））（5分）（2011•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A．1+B．1+C．3 D．4【答案】C35．（2013·重庆高考真题（文））关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（）A．B．C．D．【答案】A36．（2011·湖北高考真题（理））已知向量=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]【答案】D37．（2011·浙江高考真题（理））设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14 B．16 C．17 D．19【答案】B38．（2011·山东高考真题（文））设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（）A．11 B．10 C．9 D．8.5【答案】B39．（2012·广东高考真题（理））已知变量满足约束条件，则的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．-1【答案】B40．（2013·浙江高考真题（文））（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2【答案】C41．（2013·湖北高考真题（文））（2013•湖北）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元【答案】C42．（2010·安徽高考真题（文））设x,y满足约束条件{2x+y−6≥0,x+2y−6≤0,y≥0,则目标函数z=x+y的最大值是A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C43．（2013·山东高考真题（文））设正实数满足，则当zxy 取得最大值时，x+2y −z的最大值为( )A．0B．98C．2D．94【答案】C44．（2013·山东高考真题（理））设正实数x,y,z满足x2−3xy+4y2−z=0,则当取得最大值时，的最大值为( )A．0B．1C．D．3【答案】B45．（2013·全国高考真题（理））已知a＞0，x，y满足约束条件1{3(3)xx yy a x≥+≤≥-,若z=2x+y的最小值为1，则a=A．B．C．1 D．2【答案】B46．（2013·安徽高考真题（理））已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（）A．B．C ．{x|lg 2x >-}D ．{x|lg 2x <-}【答案】D47．（2010·陕西高考真题（理））“a =18”是“对任意的正数x ，2x +ax≥1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A48．（2010·天津高考真题（文））设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤3,x −y ≥−1,y ≥1, 则目标函数z=4x+2y 的最大值为A ．12B ．10C ．8D ．2 【答案】B49．（2012·江西高考真题（理））某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为 A ．50,0 B ．30.0C ．20,30D ．0,50【答案】B50．（2011·浙江高考真题（文））若实数x y 、满足不等式组250{2700,0x y x y x y +-≥+-≥≥≥,则34x y+的最小值是 A ．13B ．15C ．20D ．2851．（2010·重庆高考真题（理））已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A．3 B．4 C．92D．112【答案】B52．（2010·重庆高考真题（文））设变量满足约束条件则的最大值为A．0 B．2C．4 D．6【答案】C53．（2010·全国高考真题（文））已知Y ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在Y ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是A．（-14，16）B．（-14，20）C．（-12，18）D．（-12，20）【答案】B54．（2010·浙江高考真题（理））若实数,x y满足不等式330{23010x yx yx my+-≥--≥-+≥，且x y+的最大值为9，则实数m=（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】C55．（2010·福建高考真题（文））若1,,{230xx y R x yy x≥∈-+≥≥，则2z x y=+的最小值56．（2008·江西高考真题（文））若01x y <<<，则 A ．33y x < B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．1144x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C57．（2008·福建高考真题（理））若实数x 、y 满足10,{0,x y x -+≤>则yx的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(]0,1C ．(1,+∞)D ．[)1,+∞【答案】C58．（2008·湖北高考真题（理））函数f (x )=的定义域为A ．(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］B ．(-4,0) ∪(0,1)C ．［-4,0］∪（0，1）］D ．［－4，0∪（0，1）【答案】D59．（2008·广东高考真题（理））若变量,x y 满足则32z x y =+的最大值是 A ．90 B ．80 C ．70 D ．40【答案】C60．（2015·四川高考真题（理））如果函数f(x)=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0 ，n ≥0)在区间[12，2]上单调递减，则mn 的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．812【答案】B61．（2014·湖北高考真题（理））由不等式组确定的平面区域记为，内的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D62．（2011·重庆高考真题（理））设m ，k 为整数，方程mx 2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（ ） A ．﹣8 B ．8C ．12D ．13【答案】D63．（2010·北京高考真题（理））设不等式组{x +y −11≥03x −y +3≥05x −3y +9≤0 表示的平面区域为D ，若指数函数y=a x 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 A ．(1,3] B ．[2,3] C ．(1,2] D ．[ 3,+∞] 【答案】A64．（2011·全国高考真题（理））下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是A ．a ＞b +1B ．a ＞b −1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3 【答案】A65．（2007·辽宁高考真题（理））已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）A ．965⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U ，，C ．(][)36-∞+∞U ，，D ．[36]，【答案】A66．（2009·天津高考真题（理））已知0<b<1+a ，若关于x 的不等式（x －b ）2>（ax ）2的解集中的整数恰有3个，则（ ） A ．－1<a<0 B ．0<a<1C ．1<a<3D ．3<a<6【答案】C二、填空题67．（2019·天津高考真题（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________. 【答案】92. 68．（2019·天津高考真题（理））设0,0,25x y x y >>+=最小值为______.【答案】69．（2018·浙江高考真题）若x,y 满足约束条件{x −y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2, 则z =x +3y 的最小值是___________，最大值是___________． 【答案】 -2 870．（2018·天津高考真题（文））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 【答案】1471．（2018·全国高考真题（理））若x ，y 满足约束条件{x −2y −2≤0x −y +1≥0y ≤0 ，则z =3x +2y的最大值为_____________． 【答案】672．（2017·全国高考真题（理））已知实数,x y 满足0{20 0x y x y y -≥+-≤≥，则34z x y =-最小值为________． 【答案】1-73．（2017·山东高考真题（理））已知,x y 满足30{350 30x y x y x -+≤++≤+≥，则2z x y =+的最大值是__________． 【答案】574．（2017·全国高考真题（文））设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________. 【答案】1(,)4-+∞75．（2017·天津高考真题（理））若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________. 【答案】476．（2017·江苏高考真题）76．（2017·江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】3077．（2017·山东高考真题（文））若直线xa+yb =1(a ＞0，b ＞0)过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 【答案】878．（2016·全国高考真题（文））若x,y 满足约束条件{2x −y +1≥0,x −2y −1≤0,x ≤1, 则z =2x +3y −5的最小值为_________. 【答案】−1079．（2016·全国高考真题（文））若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0,x +y −3≥0,x −3≤0, 则z=x−2y 的最小值为__________. 【答案】−580．（2016·上海高考真题（文））设a ＞0,b ＞0. 若关于x,y 的方程组{ax +y =1，x +by =1无解，则a +b 的取值范围是 . 【答案】(2,+∞)81．（2016·江苏高考真题）已知实数x,y 满足{x −2y +4≥0，2x +y −2≥0，3x −y −3≤0，则x 2+y 2的取值范围是 .82．（2016·上海高考真题（理））设若关于x,y 的方程组{ax +y =1，x +by =1无解，则的取值范围是____________．【答案】（2，+∞）83．（2015·浙江高考真题（文））已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ．【答案】1584．（2015·山东高考真题（文））定义运算“⊗”：x ⊗y =x 2−y 2xy（x ，y ∈R,xy ≠0）.当x >0，y >0时，x ⊗y +(2y)⊗x 的最小值是 . 【答案】√285．（2015·湖北高考真题（文））若变量x, y 满足约束条件{x +y ≤4,x −y ≤2,3x −y ≥0, 则3x +y 的最大值是_________． 【答案】10．86．（2015·山东高考真题（文））若x,y 满足约束条件{y −x ≤1x +y ≤3y ≥1 ,则z =x +3y 的最大值为 . 【答案】787．（2015·上海高考真题（文））若满足，则目标函数的最大值为 . 【答案】388．（2015·全国高考真题（理））若x ,y 满足约束条件{x −1≥0,x −y ≤0,x +y −4≤0, 则yx 的最大值 ． 【答案】389．（2015·天津高考真题（文））已知a >0,b >0,ab =8,则当a 的值为 时log 2a ⋅log 2(2b)取得最大值. 【答案】490．（2015·浙江高考真题（理））已知函数223,1(){lg(1),1x x f x x x x +-≥=+<，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ．【答案】，.91．（2014·四川高考真题（理））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是 ． 【答案】592．（2014·陕西高考真题（文））设，且，则的最小值为______.93．（2014·全国高考真题（文））设函数113,1(){,1x e x f x x x -<=≥，则使得()2f x ≤成立的x的取值范围是_______________. 【答案】(,8]-∞94．（2014·湖北高考真题（文））某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为（1）如果不限定车型，，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时.【答案】（1）1900；（2）10095．（2014·全国高考真题（理））设x,y 满足约束条件{x −y ≥0x +2y ≤3x −2y ≤1 ，则z =x +4y 的最大值为 . 【答案】5.96．（2014·浙江高考真题（理））当实数,x y 满足240{101x y x y x +-≤--≤≥时,14ax y ≤+≤恒成立,则实数a 的取值范围是 .【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦97．（2014·浙江高考真题（文））若、满足和240{101x y x y x +-≤--≤≥，则的取值范围是________. 【答案】98．（2014·辽宁高考真题（文））对于0c >，当非零实数,a b 满足22420a ab b c -+-=且使2a b +最大时，124a b c++的最小值为________. 【答案】1-99．（2014·湖南高考真题（理））若变量满足约束条件，且的最小值为，则【答案】−2100．（2011·重庆高考真题（文））（5分）（2011•重庆）若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则c 的最大值是 ． 【答案】2﹣log 23101．（2013·全国高考真题（文））若x y 、满足约束条件0,{34,34,x x y x y ≥+≥+≤则z x y =-+的最小值为 ． 【答案】0．102．（2013·广东高考真题（文））已知变量,x y 满足约束条件30{111x y x y -+≥-≤≤≥，则z x y=+的最大值是 ． 【答案】5103．（2008·山东高考真题（理））若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是104．（2008·广东高考真题（理））(不等式选讲选做题)已知,a ∈R 若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 。
基本不等式--历年高考题汇编-含详细解析
基本不等式--历年高考题汇编一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.已知过点(1,3)的直线l的倾斜角为135°，设点(x,y)是直线l在第一象限内的部分上的一点，则1x +4y的最小值是()A. 92B. 2 C. 94D. 42.已知正数x，y满足x+4y=2，则x+40y+43xy的最小值为()A. 852B. 24C. 20D. 183.设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x()A. 都大于4B. 至少有一个大于4C. 至少有一个不小于4D. 至少有一个不大于4二、填空题（本大题共13小题，共65.0分）4.设x，y∈R+且1x +4y=2，则x+y的最小值为______．5.若2a+b=2(a>0,b>0)，则1a +1b的最小值是______．6.函数y=x2+6x2+1的最小值是______．7.已知x>0，y>0，x+2y=1，则2x +1y的最小值为______．8.已知a>3，则4a−3+a−316的最小值为______．9.已知m+n=2，其中mn>0，则1m +1n的最小值为______．10.若正数a，b满足ab−2a−b=0，则ab的最小值为______．11.已知a+b=4，则2a+2b的最小值为______．12.设a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b的最小值为______．13.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=3，则x+2y的最小值为______．14.已知x，y∈R+，求z=(x+2y)(2x +4y)的最值．甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：z=(x+2y)(2x+4y)=2+4x y+4y x+8≥18乙：z=(x+2y)(2x +4y)≥2√2xy⋅2√8xy=16①你认为甲、乙两人解法正确的是______．②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．15.已知a，b∈R，且a−2b+8=0，则2a+14b的最小值为______．16.若a，b均为正实数，则ab+ba2+b2+1的最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.已知a，b为正整数，且a+b=1，求证：1a +1b≥4．18.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ=m⋅2t+21−t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．19.已知函数f(x)=m−|2−x|，且f(x+2)>0的解集为(−1,1)．(1)求m的值；(2)若正实数a、b，满足a+2b=m.求1a +12b的最小值．20.已知函数f(x)=|x−1|−|x+a|(a∈N∗)，f(x)≤2恒成立．(1)求a的值；(2)若正数x，y满足1x +2y=a.证明：1xy+x+12y≥√2答案和解析1.【答案】C【解析】解：过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：y −3=−(x −1)，化为：x +y =4． 设点(x,y)是直线l 在第一象限内的部分上的一点，∴x +y =4，且x ，y >0．则1x +4y =14(x +y)(1x +4y )=14(5+y x +4x y )≥14(5+2√y x ⋅4x y )=94，当且仅当y =2x =83时取等号． 故选：C ．过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：x +y =4.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 本题考查了直线方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵正数x ，y 满足x +4y =2，12x +2y =1，∴x+40y+43xy=x+40y+2x+8y 3xy =3x+48y 3xy =x+16y xy =1y +16x ， ∴1y +16x =(1y +16x )(12x +2y)=10+x 2y +32y x ≥10+2√x 2y ⋅32y x =10+8=18， 当且仅当x 2y =32y x 时，x =43，y =16 故x+40y+43xy 的最小值为18，故选：D ．由题意可得x+40y+43xy =1y +16x ，再利用乘“1”法，根据基本不等式即可求出本题主要考查了基本不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：假设三个数1x +4y <4且1y +4z <4且1z +4x <4，相加得：1x+4x +1y +4y +1z +4z <12，由基本不等式得： 1x+4x ≥4；1y +4y ≥4；1z +4z ≥4； 相加得：1x +4x +1y +4y +1z +4z ≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y 、1y +4z 、1z +4x 至少有一个不小于4．故选：C ．由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．4.【答案】92【解析】解：∵x ，y ∈R +且1x +4y =2，∴x +y =12(x +y)(1x +4y) =52+2x y +y 2x ≥52+2√2x y ⋅y 2x =92 当且仅当2x y =y 2x 即x =32且y =3时取等号，∴x +y 的最小值为92故答案为：92由题意可得x +y =12(x +y)(1x +4y )=52+2x y +y 2x ，下面由基本不等式可得． 本题考查基本不等式，变形为基本不等式的情形是解决问题的关键，属基础题．5.【答案】32+√2【解析】解：2a +b =2(a >0,b >0)，则1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ≥32+2√b 2a ⋅a b =32+√2， 当且仅当b 2a =a b 时，即a =2−√2，b =2√2−2时取等号，故1a +1b 的最小值是32+√2，故答案为：32+√2利用乘“1”法，可得1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ，再根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化与划归思想，属于基础题 6.【答案】2√6−1【解析】解：y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1−1≥2√(x 2+1)⋅6x 2+1−1=2√6−1，当且仅当x 2=√6+1时取等号， 故答案为：2√6−1．由y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1−1，根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．7.【答案】8【解析】解：∵2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8(当且仅当x=12，y=14时取等)故答案为：8先变形：2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8.【答案】1【解析】解：∵a>3，∴a−3>0，∴4a−3+a−316≥2√4a−3⋅a−316=1，当且仅当4a−3=a−316，即a=11时取等号，故答案为：1根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：∵m+n=2，其中mn>0，则1m +1n=12(m+n)(1m+1n)=12(2+nm+mn)≥12(2+2)=2当且仅当m=n=1时取得最小值2．故答案为：2．由已知可得，1m +1n=12(m+n)(1m+1n)，利用基本不等式即可求解本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键10.【答案】8【解析】解：∵正数a，b满足ab−2a−b=0，∴ab=2a+b≥2√2ab，∴a2b2≥8ab，∴ab≥8．∴ab的最小值为8．故答案为：8．推导出ab=2a+b≥2√2ab，从而a2b2≥8ab，由此能求出ab的最小值．本题考查两数积的最小值的求法，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】8【解析】解：∵a+b=4，∴2a+2b≥2√2a+b=2√24=8，当且仅当a=b=2时取等号，∴2a+2b的最小值为8．故答案为：8．利用基本不等式直接求解．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．12.【答案】78【解析】解：a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b≥a8|a|+2√b8|a|⋅2|a|b=a8|a|+1≥−18+1=78．当且仅当b8|a|=2|a|b，a<0且a+b=2即a=−23，b=83时取等号．故答案为：78．由已知可得，14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b，利用基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在求解最值的应用，基本不等式条件的配凑是求解本题的难点．13.【答案】2【解析】解：考察基本不等式：x+2y=3−x⋅(2y)≥3−(x+2y2)2(当且仅当x=2y时取等号)，整理得：(x+2y)2+4(x+2y)−12≥0，即：(x+2y−2)(x+2y+6)≥0，又：x+2y>0，所以：x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号)，则：x+2y的最小值是2．故答案为：2．首先分析题目由已知x >0，y >0，x +2y +2xy =3，求x +2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a +b ≥2√ab 代入已知条件，化简为函数求最值．此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a +b ≥2√ab 在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．14.【答案】甲【解析】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；②已知x ，y ∈R +，求z =(a +b)(1a +1b )的最小值．甲：z =(a +b)(1a +1b )=1+b a +a b +1≥4，乙：z =(a +b)(1a +1b )≥2√ab ⋅2√1a ⋅1b=4． 故填甲．乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题． 15.【答案】18【解析】解：∵a −2b +8=0，则2a +14b ≥2√2a ⋅14b =2√2a−2b =2√2−8=18 当且仅当a =−2b 即b =2，a =−4时取等号，故答案为：18．由基本不等式可得，2a +14b ≥2√2a ⋅14b ，结合已知即可求解． 本题主要考查了指数的运算性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】√22【解析】解：∵a 2+12b 2≥2√a 2⋅b 22=√2ab ，当且仅当a =√22b 时取等号， 12b 2+1≥2√12b 2=√2b ，当且当且仅当b =√2时取等号， ∴ab+b a 2+b 2+1=ab+b a 2+b 22+b 22+12≤√2ab+√2b =√2=√22，当且仅当a =1，b =√2时取等号， 故ab+b a 2+b 2+1的最大值为√22， 故答案为：√22由：a2+12b2≥2√a2⋅b22=√2ab，当且仅当a=√22b时取等号，12b2+1≥2√12b2=√2b，当且当且仅当b=√2时取等号，即可求出答案．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】证明：∵a，b为正整数，且a+b=1，∴1a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba +ab≥2+2√ba⋅ab=4，当且仅当ba =ab即a=b=12时取等号．【解析】由题意可得1a +1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+ab，由基本不等式可得．本题考查不等式的证明，涉及基本不等式求最值问题，属基础题．18.【答案】解：(1)依题意可得5=2⋅2t+21−t，即2⋅(2t)2−5⋅2t+2=0．亦即(2⋅2t−1)(2t−2)=0，又∵t≥0，得2t=2，∴t=1．故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度．(2)问题等价于m⋅2t+21−t≥2(t≥0)恒成立．∵m⋅2t+21−t=m⋅2t+2⋅2−t≥2√2m，①∴只需2√2m≥2，即m≥12．当且仅当12⋅2t=2⋅2−t，即t=1时，①式等号成立，∴m的取值范围是[12,+∞)．【解析】(1)将m=2，θ=5代入θ=m⋅2t+21−t(t≥0)解指数方程即可求出t的值；(2)问题等价于m⋅2t+21−t≥2(t≥0)恒成立，求出m⋅2t+21−t的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．本题主要考查了不等式的实际应用，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x+2)=m−|x|∴由f(x+2)>0得|x|<m．由|x|<m有解，得m>0，且其解集为(−m,m)又不等式f(x+2)>0解集为(−1,1)，故m=1；(2)由(1)知a+2b=1，又a，b是正实数，由基本不等式得1a +12b=(1a+12b)(a+2b)=1+1+2ba+a2b≥4当且仅当a=12,b=14时取等号，故1a +12b的最小值为4．【解析】(1)由f(x+2)>0得|x|<m.由|x|<m有解，得m>0，且其解集为(−m,m)，根据解集为(−1,1)可得m；(2)由(1)知a+2b=1，则1a +12b=(1a+12b)(a+2b)然后利用基本不等式求解即可．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式，属基础题．20.【答案】解：(1)由f(x)=|x−1|−|x+a|≤|x−1−x−a|=|a+1|，又f(x)≤2恒成立，∴|a+1|≤2，∴−3≤a≤1，∵a∈N∗，∴a=1；(2)由(1)知1x +2y=1，∴2x+y=xy，∴1xy +x+12y=1xy+12xy≥2√1xy⋅12xy=√2．【解析】(1)由f(x)=|x−1|−|x+a|≤|x−1−x−a|=|a+1|，结合已知可求a，(2)由(1)知1x +2y=1，从而有2x+y=xy，然后利用基本不等式可证．本题主要看考查了绝对值不等式的性质及基本不等式的应用，属于基础试题。
五年(2019-2023)年高考真题 平面向量、不等式及复数(解析版)
五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题09平面向量、不等式及复数考点精析考点一基本不等式及其应用1．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为．【解析】132yx =+，∴298y x =；故答案为：982．（2020•上海）下列不等式恒成立的是()A ．222a b ab+B ．222a b ab+-C ．a b +D ．222a b ab+-【解析】A ．显然当0a <，0b >时，不等式222a b ab +不成立，故A 错误；B ．2()0a b + ，2220a b ab ∴++，222a b ab ∴+-，故B 正确；C ．显然当0a <，0b <时，不等式a b +不成立，故C 错误；D ．显然当0a >，0b >时，不等式222a b ab +-不成立，故D 错误．故选：B ．3．（2022•上海）若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是()A ．a b +>B ．a b +<C ．22ab +>D ．22ab +<【解析】因为0a b >>，所以a b +，当且仅当a b =时取等号，又0a b >>，所以a b +>，故A 正确，B 错误，22a b +=22a b =，即4a b =时取等号，故CD 错误，故选：A ．4．【多选】（2020•山东）已知0a >，0b >，且1a b +=，则()A ．2212a b +B ．122a b ->C ．22log log 2a b +-D 【解析】①已知0a >，0b >，且1a b +=，所以222()22a b a b ++，则2212a b +，故A 正确．②利用分析法：要证122a b ->，只需证明1a b ->-即可，即1a b >-，由于0a >，0b >，且1a b +=，所以：0a >，110b -<-<，故B 正确．③22222log log log log ()22a b a b ab ++==-，故C 错误．④由于0a >，0b >，且1a b +=，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得2a b ++，即1，故122a b +=，当且仅当12a b ==时，等号成立．故D 正确．故选：ABD ．5．（2021•上海）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a =．【解析】()3311153131x xx x a a f x =+=++--=++，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．6．【多选】（2022•新高考Ⅱ）若x ，y 满足221x y xy +-=，则()A ．1x y +B ．2x y +-C ．222x y +D ．221x y +【解析】方法一：由221x y xy +-=可得，22()12y x y -+=，令cos 2sin 2y x y θθ⎧-=⎪⎪⎪=⎪⎩，则sin cos 3x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos 2sin()[26x y πθθθ∴+=+=+∈-，2]，故A 错，B对，222214242cos ))2cos 2sin(2)[333633x y πθθθθθθ+=++=-+=-+∈ ，2]，故C 对，D 错，方法二：对于A ，B ，由221x y xy +-=可得，22()1313()2x y x y xy ++=++，即21()14x y +，2()4x y ∴+，22x y ∴-+，故A 错，B 对，对于C ，D ，由221x y xy +-=得，222212x y x y xy ++-=，222x y ∴+，故C 对；222x y xy +- ，222222223()122x y x y x y xy x y ++∴=+-++=，∴2223x y +，故D 错误．故选：BC ．考点二平面向量的线性运算7．（2020•海南）在ABC ∆中，D 是AB 边上的中点，则(CB =)A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA- D ．2CD CA+【解析】在ABC ∆中，D 是AB 边上的中点，则CB CD DB CD AD =+=+ ()CD AC CD =++ 2CD CA =- ．故选：C ．8．（2019•浙江）已知正方形ABCD 的边长为1．当每个(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是，最大值是．【解析】如图，建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D ，∴(1,0)AB = ，(0,1)BC = ，(1,0)CD =- ，(0,1)DA =- ，(1,1)AC = ，(1,1)BD =-，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ∴+++++ 1356|(λλλλ=-+-，2456)|λλλλ-++2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++，(*)，(*)中第一个括号中的1λ，3λ与第二个括号中的2λ，4λ的取值互不影响，只需讨论5λ，6λ的取值情况即可，当5λ，6λ同号时，不妨取51λ=，61λ=，则(*)221324()(2)λλλλ-+-+，1λ ，2λ，3λ，4{1λ∈-，1}，13λλ∴=，2422(1λλλ-=-=-，41)λ=时，(*)取得最小值0，当13||2λλ-=（如11λ=，31)λ=-，2422(1λλλ-==，41)λ=-时，(*)式取得最大值为25，当5λ，6λ异号时，不妨取51λ=，61λ=-，则(*)221224(2)()λλλλ-++-，同理可得最小值为0，最大值为25故答案为：0；59．（2020•上海）已知1a ，2a ，1b ，2b ，⋯，(*)k b k N ∈ 是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}（其中1i =，2，1j =，2，⋯，)k ，则k 的最大值是．【解析】如图，设11OA a = ，22OA a = ，由12||1a a -=，且||{1i j a b -∈ ，2}，分别以1A ，2A 为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k 的最大值为6．故答案为：6．考点三平面向量的基本定理10．（2022•新高考Ⅰ）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m = ，CD n =，则(CB = )A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【解析】如图，1111()2222CD CA AD CA DB CA CB CD CA CB CD =+=+=+-=+- ，∴1322CB CD CA =- ，即3232CB CD CA n m =-=-．故选：B ．考点四平面向量数量积的运算11．（2023•上海）已知向量(2,3)a =- ，(1,2)b = ，则a b ⋅=．【解析】 向量(2,3)a =-，(1,2)b = ，故答案为：4．12．（2021•浙江）已知非零向量a，b ，c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b = ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a c ⊥ 且b c ⊥ ，则0a c b c ⋅=⋅= ，但a与b 不一定相等，故a b b c ⋅=⋅ 不能推出a b = ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的不充分条件；由a b = ，可得0a b -= ，则()0a b c -⋅= ，即a b b c ⋅=⋅ ，所以a b = 可以推出a b b c ⋅=⋅ ，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要条件．综上所述，“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件．故选：B ．13．（2021•上海）如图正方形ABCD 的边长为3，求AB AC ⋅=．【解析】由数量积的定义，可得cos AB AC AB AC BAC ⋅=⨯⨯∠，因为cos AB AC BAC =⨯∠，所以29AB AC AB ⋅== ．故答案为：9．14．（2021•新高考Ⅱ）已知向量0a b c ++= ，||1a =，||||2b c == ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=．【解析】方法1：由0a b c ++= 得a b c +=- 或a c b +=- 或b c a +=-，22()()a b c ∴+=- 或22()()a c b +=- 或22()()b c a +=-，又||1a = ，||||2b c == ，524a b ∴+⋅= ，524a c +⋅=，821b c +⋅= ，∴12a b ⋅=- ，12a c ⋅=- ，72b c ⋅=- ，∴92a b a c b c ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．方法2222()||||||014492:222a b c a b c a b b c c a ++------⋅+⋅+⋅===-．故答案为：92-．15．（2020•上海）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB =．【解析】 在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯ ，∴111124162AB AC =⨯⨯= ，且D 是BC 的中点，∴1()2AD AB AB AC AB=+ 21()2AB AB AC =+111(4)22=⨯+194=．故答案为：194．16．【多选】（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，则()A ．12||||OP OP = B ．12||||AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【解析】法一、1(cos ,sin )P αα ，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，∴1(cos ,sin )OP αα= ，2(cos ,sin )OP ββ=- ，3(cos()OP αβ=+ ，sin())αβ+，(1,0)OA =，1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，则1||1OP == ，2||1OP = ，则12||||OP OP = ，故A 正确；1||AP == ，2||AP =，12||||AP AP ≠ ，故B 错误；31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin sin cos()OP OP αβαβαβ⋅=-=+ ，∴312OA OP OP OP ⋅=⋅，故C 正确；11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()sin sin()cos[()]cos(2)OP OP βαββαββαβαβ⋅=+-+=++=+，∴123OA OP OP OP ⋅≠⋅，故D 错误．故选：AC ．法二、如图建立平面直角坐标系，(1,0)A ，作出单位圆O ，并作出角α，β，β-，使角α的始边与OA 重合，终边交圆O 于点1P ，角β的始边为1OP ，终边交圆O 于3P ，角β-的始边为OA ，交圆O 于2P ，于是1(cos ,sin )P αα，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，2(cos ,sin )P ββ-，由向量的模与数量积可知，A 、C 正确；B 、D 错误．故选：AC ．17．（2022•上海）若平面向量||||||a b c λ=== ，且满足0a b ⋅= ，2a c ⋅=，1b c ⋅= ，则λ=．【解析】由题意，有0a b ⋅= ，则a b ⊥，设,a c θ<>= ，21a c b c ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩⇒2,1,2a c cos bc cos θπθ⎧=⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩①②则②①得，1tan 2θ=，由同角三角函数的基本关系得：cos θ=，则25||||cos 25a c a c θλλ⋅==⋅⋅=，2λ=，则λ=．．18．（2020•山东）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是()A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【解析】画出图形如图，||||cos ,AP AB AP AB AP AB ⋅=<> ，它的几何意义是AB 的长度与AP 在AB向量的投影的乘积，显然，P 在C 处时，取得最大值，1||cos ||||32AC CAB AB AB ∠=+=，可得||||cos ,236AP AB AP AB AP AB ⋅=<>=⨯= ，最大值为6，在F 处取得最小值，1||||cos ,2222AP AB AP AB AP AB ⋅=<>=-⨯⨯=- ，最小值为2-，P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，所以AP AB ⋅的取值范围是(2,6)-．故选：A ．19．（2021•上海）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是()A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =--- ，(1,)CE x y =-，若0AB CE ⋅=，则2(12)(1)20x x y -+--=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立；②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE 与CG不共线，即②不成立．故选：B ．20．（2022•浙江）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A ⋯的边12A A 上，则222128PA PA PA ++⋯+ 的取值范围是．【解析】以圆心为原点，73A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(0,1)A ，222(22A ，3(1,0)A ，422(,)22A -，5(0,1)A -，622(,22A --，7(1,0)A -，822(22A ，设(,)P x y ，则222222222222212812345678||||||||||||||||8()8PA PA PA PA PA PA PA PA PA PA PA x y ++⋯+=+++++++=++ ，cos 22.5||1OP ︒ ，∴221cos 4512x y +︒+，∴222214x y ++，2212228()816x y ∴+++，即222128PA PA PA ++⋯+ 的取值范围是[1222+，16]，故答案为：[1222+，16]．21．（2021•浙江）已知平面向量a，b ，(0)c c ≠ 满足||1a = ，||2b = ，0a b ⋅= ，()0a b c -⋅= ．记平面向量d 在a ，b 方向上的投影分别为x ，y ，d a - 在c方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值是．【解析】令(1,0),(0,2),(,)a b c m n ===，因为()0a b c -⋅= ，故(1，2)(m -⋅，)0n =，20m n ∴-=，令(2,)c n n =，平面向量d 在a ，b方向上的投影分别为x ，y ，设(,)d x y = ，则：(1,),()2(1),|||d a x y d a c n x ny c n -=--⋅=-+=，从而：()||d a c z c -⋅==22x y +±=，方法一：由柯西不等式可得22x y +=，化简得22242105x y z ++=，当且仅当21x y z ==，即215,,555x y z ===-时取等号，故222x y z ++的最小值为25．方法二：则222x y z ++表示空间中坐标原点到平面220x y +±-=上的点的距离的平方，由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：222242()105min x y z ++===．故答案为：25．考点五平面向量的数量积的应用22．（2023•新高考Ⅰ）已知向量(1,1)a =，(1,1)b =- ．若()()a b a b λμ+⊥+ ，则()A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【解析】 (1,1)a =，(1,1)b =- ，∴(1,1)a b λλλ+=+- ，(1,1)a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+，得(1)(1)(1)(1)0λμλμ+++--=，整理得：220λμ+=，即1λμ=-．故选：D ．23．（2023•新高考Ⅱ）已知向量a，b 满足||a b -= |||2|a b a b +=- ，则||b =．【解析】||a b -=，|||2|a b a b +=- ，∴2223a b a b +-⋅= ，2222244a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ，∴22a a b =⋅，∴23b = ，∴||b =．．24．（2022•新高考Ⅱ）已知向量(3,4)a = ，(1,0)b = ，c a tb =+ ，若a <，c b >=< ，c > ，则(t =)A ．6-B ．5-C ．5D ．6【解析】 向量(3,4)a =，(1,0)b = ，c a tb =+ ，∴(3,4)c t =+，a < ，cb >=<，c > ，∴||||||||a c b c a c b c ⋅⋅=⋅⋅，∴253351t t++=，解得实数5t =．故选：C ．25．（2020•浙江）已知平面单位向量1e ，2e满足12|2|e e - ．设12a e e =+ ，123b e e =+ ，向量a，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值是．【解析】设1e 、2e 的夹角为α，由1e ，2e为单位向量，满足12|2|e e -所以2211224444cos 12e e e e α-+=-+ ，解得3cos 4α；又12a e e =+ ，123b e e =+ ，且a，b 的夹角为θ，所以2211223444cos a b e e e e α=++=+ ，2221122222cos a e e e e α=++=+ ，222112296106cos b e e e e α=++=+ ；则222228()(44cos )44cos 43cos (22cos )(106cos )53cos 353cos a b a bααθαααα++====++++⨯ ，所以3cos 4α=时，2cos θ取得最小值为842833329534-=+⨯．故答案为：2829．考点六复数的基本概念26．（2022•浙江）已知a ，b R ∈，3()(a i b i i i +=+为虚数单位），则()A ．1a =，3b =-B ．1a =-，3b =C ．1a =-，3b =-D ．1a =，3b =【解析】3()1a i b i i bi +=+=-+ ，a ，b R ∈，1a ∴=-，3b =，故选：B ．27．（2020•浙江）已知a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数，则(a =)A ．1B ．1-C ．2D ．2-【解析】a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数，可得20a -=，解得2a =．故选：C ．考点七复数的几何意义28．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，(13)(3)i i +-对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】(13)(3)39368i i i i i +-=-++=+，则在复平面内，(13)(3)i i +-对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限．故选：A ．29．（2021•新高考Ⅱ）复数213ii--在复平面内对应点所在的象限为()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 2222(2)(13)263551113(13)(13)1(3)1022i i i i i i i i i i i --++--+====+--++-，∴在复平面内，复数213i i --对应的点的坐标为1(2，1)2，位于第一象限．故选：A ．考点八复数的运算A ．i -B ．iC ．0D ．1【解析】21111(1)122212(1)(1)2i i i z i i i i i ---==⋅=⋅=-+++-，则12z i =，故z z i -=-．故选：A ．31．（2022•新高考Ⅱ）(22)(12)(i i +-=)A ．24i-+B ．24i--C ．62i +D ．62i-【解析】2(22)(12)242462i i i i i i +-=-+-=-．故选：D ．32．（2021•浙江）已知a R ∈，(1)3(ai i i i +=+为虚数单位），则(a =)A ．1-B ．1C ．3-D ．3【解析】因为(1)3ai i i +=+，即3a i i -+=+，由复数相等的定义可得，3a -=，即3a =-．故选：C ．33．（2020•海南）(12)(2)(i i ++=)A ．45i+B ．5iC ．5i -D ．23i+【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=，故选：B ．34．（2020•山东）2(12ii-=+)A ．1B ．1-C ．i D ．i-【解析】2(2)(12)512(12)(12)14i i i ii i i i ----===-++-+，故选：D ．35．（2023•上海）已知复数1(z i i =-为虚数单位），则|1|iz +=．【解析】1z i =- ，|1||1(1)||2|iz i i i ∴+=+-=+=．36．（2021•上海）已知11z i =+，223z i =+，求12z z +=．【解析】因为11z i =+，223z i =+，所以1234z z i +=+．故答案为：34i +．37．（2020•上海）已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z =．【解析】由12z i =-，得||z ==．38．（2019•上海）已知z C ∈，且满足15i z =-，求z =．【解析】由15i z =-，得15z i -=，即155z i i=+=-．故答案为：5i -．39．（2019•浙江）复数1(1z i i=+为虚数单位），则||z =．【解析】11111(1)(1)22i z i i i -===-++- ．||2z ∴==．故答案为：22．考点九共轭复数40．（2022•新高考Ⅰ）若(1)1i z -=，则(z z +=)A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解析】由(1)1i z -=，得211iz i i i --===--，1z i ∴=+，则1z i =-，∴112z z i i +=++-=．故选：D ．41．（2021•新高考Ⅰ）已知2z i =-，则()(z z i +=)A ．62i-B ．42i-C ．62i +D ．42i+【解析】2z i =- ，2()(2)(2)(2)(22)442262z z i i i i i i i i i i ∴+=-++=-+=+--=+．故选：C ．42．（2022•上海）已知1z i =+（其中i 为虚数单位），则2z =．【解析】1z i =+，则1z i =-，所以222z i =-．故答案为：22i -．43．（2020•上海）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为．【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈． 复数z 满足26z z i +=+，36a bi i ∴-=+，可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =-．则z 的实部为2．故答案为：2．。
基本不等式--历年高考题汇编-含详细解析
基本不等式--历年高考题汇编-含详细解析基本不等式--历年高考题汇编一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.已知过点(1,3)的直线l的倾斜角为135°，设点(x,y)是直线l在第一象限内的部分上的一点，则1x +4y的最小值是()A. 92B. 2 C. 94D. 42.已知正数x，y满足x+4y=2，则x+40y+43xy的最小值为()A. 852B. 24C. 20D. 183.设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x()A. 都大于4B. 至少有一个大于4C. 至少有一个不小于4D. 至少有一个不大于4二、填空题（本大题共13小题，共65.0分）4.设x，y∈R+且1x +4y=2，则x+y的最小值为______．5.若2a+b=2(a>0,b>0)，则1a +1b的最小值是______．6.函数y=x2+6x2+1的最小值是______．7.已知x>0，y>0，x+2y=1，则2x +1y的最小值为______．8.已知a>3，则4a?3+a?316的最小值为______．9.已知m+n=2，其中mn>0，则1m +1n的最小值为______．10.若正数a，b满足ab?2a?b=0，则ab的最小值为______．11.已知a+b=4，则2a+2b的最小值为______．12.设a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b的最小值为______．13.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=3，则x+2y的最小值为______．14.已知x，y∈R+，求z=(x+2y)(2x +4y)的最值．甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：z=(x+2y)(2x+4y)=2+4x y+4y x+8≥18乙：z=(x+2y)(2x +4y)≥2√2xy?2√8xy=16①你认为甲、乙两人解法正确的是______．②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．15.已知a，b∈R，且a?2b+8=0，则2a+14b的最小值为______．16.若a，b均为正实数，则ab+ba2+b2+1的最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.已知a，b为正整数，且a+b=1，求证：1a +1b≥4．18.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ=m?2t+21?t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．19.已知函数f(x)=m?|2?x|，且f(x+2)>0的解集为(?1,1)．(1)求m的值；(2)若正实数a、b，满足a+2b=m.求1a +12b的最小值．20.已知函数f(x)=|x?1|?|x+a|(a∈N?)，f(x)≤2恒成立．(1)求a的值；(2)若正数x，y满足1x +2y=a.证明：1xy+x+12y≥√2答案和解析1.【答案】C【解析】解：过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：y ?3=?(x ?1)，化为：x +y =4．设点(x,y)是直线l 在第一象限内的部分上的一点，∴x +y =4，且x ，y >0．则1x +4y =14(x +y)(1x +4y )=14(5+y x +4x y )≥14(5+2√y x ?4x y )=94，当且仅当y =2x =83时取等号．故选：C ．过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：x +y =4.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了直线方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵正数x ，y 满足x +4y =2，12x +2y =1，∴x+40y+43xy=x+40y+2x+8y 3xy =3x+48y 3xy =x+16y xy =1y +16x ，∴1y +16x =(1y +16x )(12x +2y)=10+x 2y +32y x ≥10+2√x 2y ?32y x =10+8=18，当且仅当x 2y =32y x 时，x =43，y =16 故x+40y+43xy 的最小值为18，故选：D ．由题意可得x+40y+43xy =1y +16x ，再利用乘“1”法，根据基本不等式即可求出本题主要考查了基本不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：假设三个数1x +4y <4且1y +4z <4且1z +4x <4，相加得：1x+4x +1y +4y +1z +4z <12，由基本不等式得： 1x+4x ≥4；1y +4y ≥4；1z +4z ≥4；相加得：1x +4x +1y +4y +1z +4z ≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y 、1y +4z 、1z +4x 至少有一个不小于4．故选：C ．由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．4.【答案】92【解析】解：∵x ，y ∈R +且1x +4y =2，∴x +y =12(x +y)(1x +4y) =52+2x y +y 2x ≥52+2√2x y ?y 2x =92 当且仅当2x y =y 2x 即x =32且y =3时取等号，∴x +y 的最小值为92故答案为：92由题意可得x +y =12(x +y)(1x +4y )=52+2x y +y 2x ，下面由基本不等式可得．本题考查基本不等式，变形为基本不等式的情形是解决问题的关键，属基础题．5.【答案】32+√2【解析】解：2a +b =2(a >0,b >0)，则1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ≥32+2√b 2a ?a b =32+√2，当且仅当b 2a =a b 时，即a =2?√2，b =2√2?2时取等号，故1a +1b 的最小值是32+√2，故答案为：32+√2利用乘“1”法，可得1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ，再根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化与划归思想，属于基础题 6.【答案】2√6?1【解析】解：y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1?1≥2√(x 2+1)?6 x 2+1?1=2√6?1，当且仅当x 2=√6+1时取等号，故答案为：2√6?1．由y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1?1，根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．7.【答案】8【解析】解：∵2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4y+xy≥4+2√4yxxy=8(当且仅当x=12，y=14时取等)故答案为：8先变形：2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8.【答案】1 【解析】解：∵a>3，∴a?3>0，∴4a?3+a?3≥2√4a?3a?316=1，当且仅当4a?3=a?316，即a=11时取等号，故答案为：1根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．9.【答案】2 【解析】解：∵m+n=2，其中mn>0，则1m +1n=12(m+n)(1m+1n)=12(2+nm+mn)≥1(2+2)=2当且仅当m=n=1时取得最小值2．故答案为：2．由已知可得，1m +1n=12(m+n)(1m+1n)，利用基本不等式即可求解本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键10.【答案】8【解析】解：∵正数a，b满足ab?2a?b=0，∴ab=2a+b≥2√2ab，∴a2b2≥8ab，∴ab≥8．∴ab的最小值为8．故答案为：8．推导出ab=2a+b≥2√2ab，从而a2b2≥8ab，由此能求出ab的最小值．本题考查两数积的最小值的求法，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】8【解析】解：∵a+b=4，∴2a+2b≥2√2a+b=2√24=8，当且仅当a=b=2时取等号，∴2a+2b的最小值为8．故答案为：8．利用基本不等式直接求解．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．12.【答案】78【解析】解：a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b≥a8|a|+2√b8|a|2|a|b=a8|a|+1≥?18+1=78．当且仅当b8|a|=2|a|b，a<0且a+b=2即a=?2 3，b=83时取等号．故答案为：78．由已知可得，14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b，利用基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在求解最值的应用，基本不等式条件的配凑是求解本题的难点．13.【答案】2【解析】解：考察基本不等式：x+2y=3?x?(2y)≥3?(x+2y2)2(当且仅当x=2y时取等号)，整理得：(x+2y)2+4(x+2y)?12≥0，即：(x+2y?2)(x+2y+6)≥0，又：x+2y>0，所以：x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号)，则：x+2y的最小值是2．故答案为：2．首先分析题目由已知x >0，y >0，x +2y +2xy =3，求x +2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a +b ≥2√ab 代入已知条件，化简为函数求最值．此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a +b ≥2√ab 在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．14.【答案】甲【解析】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；②已知x ，y ∈R +，求z =(a +b)(1a +1b )的最小值．甲：z =(a +b)(1a +1b )=1+b a +a b +1≥4，乙：z =(a +b)(1a +1b )≥2√ab ?2√1a ?1b=4．故填甲．乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题． 15.【答案】18【解析】解：∵a ?2b +8=0，则2a +14b ≥2√2a ?14b =2√2a?2b =2√2?8=18 当且仅当a =?2b 即b =2，a =?4时取等号，故答案为：18．由基本不等式可得，2a +14b ≥2√2a ?14b ，结合已知即可求解．本题主要考查了指数的运算性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】√22【解析】解：∵a 2+12b 2≥2√a 2?b 22=√2ab ，当且仅当a =√22b 时取等号，12b 2+1≥2√12b 2=√2b ，当且当且仅当b =√2时取等号，∴ab+b a 2+b 2+1= ab+b a 2+b 22+b 22+12≤2ab+2b =2=√22，当且仅当a =1，b =√2时取等号，故ab+b a 2+b 2+1的最大值为√22，故答案为：√22由：a2+12b2≥2√a2?b22=√2ab，当且仅当a=√22b时取等号，12b2+1≥2√12b2=√2b，当且当且仅当b=√2时取等号，即可求出答案．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】证明：∵a，b为正整数，且a+b=1，∴1a+1b=(a+1b)(a+b)=2+ba +ab≥2+2√baab=4，当且仅当ba =ab即a=b=12时取等号．【解析】由题意可得1 a +1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+a，由基本不等式可得．本题考查不等式的证明，涉及基本不等式求最值问题，属基础题．18.【答案】解：(1)依题意可得5=2?2t+21?t，即2?(2t)2?5?2t+2=0．亦即(2?2t?1)(2t?2)=0，又∵t≥0，得2t=2，∴t=1．故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度．(2)问题等价于m?2t+21?t≥2(t≥0)恒成立．∵m?2t+21?t=m?2t+2?2?t≥2√2m，①∴只需2√2m≥2，即m≥12．当且仅当122t=2?2?t，即t=1时，①式等号成立，∴m的取值范围是[12,+∞)．【解析】(1)将m=2，θ=5代入θ=m?2t+21?t(t≥0)解指数方程即可求出t的值；(2)问题等价于m?2t+21?t≥2(t≥0)恒成立，求出m?2t+21?t的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．本题主要考查了不等式的实际应用，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x+2)=m?|x|∴由f(x+2)>0得|x|<m．< p="">由|x|0，且其解集为(?m,m)又不等式f(x+2)>0解集为(?1,1)，故m=1；(2)由(1)知a+2b=1，又a，b是正实数，由基本不等式得1a +12b=(1a+12b)(a+2b)=1+1+2ba+a2b≥4当且仅当a=12,b=14时取等号，故1a +12b的最小值为4．【解析】(1)由f(x+2)>0得|x|<m.由|x|0，且其解集为(?m,m)，根据解集为(?1,1)可得m；</m.由|x|(2)由(1)知a+2b=1，则1a +12b=(1a2b)(a+2b)然后利用基本不等式求解即可．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式，属基础题．20.【答案】解：(1)由f(x)=|x?1|?|x+a|≤|x?1?x?a|=|a+1|，又f(x)≤2恒成立，∴|a+1|≤2，∴?3≤a≤1，∵a∈N?，∴a=1；(2)由(1)知1x +2y=1，∴2x+y=xy，∴1xy +x+12y=1xy+12xy≥2√1xy12xy=√2．【解析】(1)由f(x)=|x?1|?|x+a|≤|x?1?x?a|=|a+1|，结合已知可求a，(2)由(1)知1y=1，从而有2x+y=xy，然后利用基本不等式可证．本题主要看考查了绝对值不等式的性质及基本不等式的应用，属于基础试题</m．<>。
历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题(解析版)
历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题1、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．2、【2010年高考江苏卷】某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1) 该小组已测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？规范解答 (1) 由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝Htan β， 解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此算出的电视塔的高度H 是124 m. (2) (1) 由题知d ＝AB ，则tan α＝H d.由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －hd，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝()h hH H d d-+，当且仅当d ＝555时取等号． 又0<α－β<π2，所以当d ＝555时，tan(α－β)的值最大．因为0<β<α<π2，所以当d ＝555时，α－β的值最大．3、【2013年高考江苏卷】如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．本小题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力．满分14分．规范解答 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10km.(2) 因为a >0，所以炮弹可击中目标等价于存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根， 所以判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0， 解得a ≤6，所以0<a ≤6.所以当a 不超过6km 时，炮弹可击中目标．一、解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.运用基本不等式解决应用题一定要注意满足三个条件：一、正；二、定；三、相等。
2025版新高考版高考总复习数学基本不等式
2025版新高考版高考总复习数学2.2基本不等式五年高考考点基本不等式1.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分,中)若x,y满足x2+y2-xy=1,则()A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1答案BC2.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分,中)已知a>0,b>0,且a+b=1,则()A.a2+b2≥12 B.2a−b>12C.log2a+log2b≥-2D.√a+√b≤√2答案ABD3.(2020江苏,12,5分,中)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是.答案454.(2019天津理,13,5分,中)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy的最小值为.答案4√35.(2019江苏,10,5分,中)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答案 46.(2017天津,12,5分,中)若a,b∈R,ab>0,则a 4+4b4+1ab的最小值为.答案 4三年模拟综合基础练1.(2024届湖北宜荆荆随联考,6)已知a,b均为正数,且a+2b=1,则2a +4a+bb的最小值为()A.11B.13C.10D.12答案A2.(2024届黑龙江联考(二),6)已知a、b均为正数,则不等式4a+2b≥8成立是不等式ab≥2成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B3.(2024届吉林吉大附中实验学校第一次摸底,6)设实数x,y满足x+y=1,y>0,x≠0,则1|x|+2|x|y的最小值为()A.2√2−1B.2√2+1C.√2−1D.√2+1答案A4.(2023山西太原一模,14)已知x>0,y>0,1x +y=2,则xy的最小值为.答案 1综合拔高练1.(2024届河北邢台第一中学月考,7)已知正实数a,b满足ab=3-a-b,若3a+2b≥m恒成立,则m的最大值为() A.4√6−5 B.5 C.√95−5 D.3√7答案A2.(多选)(2024届河南顶级名校月考,12)已知a>0,b>0,a+b-12a −2b=32,则以下正确的是()A.若a<b,则a<1B.若a<1,则b>2C.a+b的最小值为3D.ab的最大值为2答案BC3.(多选)(2023福建厦门、福州等市质检(一),10)已知正实数x,y满足x+y=1,则()A.x2+y的最小值为34B.1x +4y的最小值为8C.√x+√y的最大值为√2D.log2x+log4y没有最大值答案AC4.(2024届吉林吉大附中实验学校第一次摸底,14)若a,b,c>0,且a2+ab+ac+bc=4,则2a+b+c 的最小值为.答案4。
专题09 基本不等式的应用(原卷版)
专题09 基本不等式的应用1、【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.2、【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.3、【2019年高考浙江卷】若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件4、【2018年高考天津卷文数】（2018天津文科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 .5、【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________．6、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．一、三个不等式关系：(1)a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．(3)a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 二、.算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三、.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)四、对于f (x )＝x ＋ax ，当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)为增函数；在(－a ，0)，(0，a )为减函数． 注意 在解答题中利用函数f (x )＝x ＋ax 的单调性时，需要利用导数进行证明．五、利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.六、对于多元问题的不等式的基本解题思路就是把多元问题转化为单元问题。
2025届高考数学复习：历年(基本不等式)好题基础与提升练习(附答案)
A.15
B.14
C.13
D.12
7.(多选题)(2024ꞏ海南海口模拟)已知 a>0,b>0,且 a+2b=2,则(
A.ab 的最大值为
1
)
)
4
B.a+ 的最小值为 4
2
C.a2+4b2 的最小值为 2
2
1
D.
的最大值为 4
√ꞏ2
2,得
,所以
2 √ꞏ2 ,所以
2,所以 xy≤4,当且仅当√=2 即 x=4,y=1 时,等号成立,所以 xy
的最大值是 4.
9.2√2
过程详解 因为 ab=a-b+3,解得 b=
=1+
,则 a+b=a+1+
2√2,当且仅当
a=√2-1,b=√2+1 时,等号成立,故 a+b 的最小值为 2√2.
10.9
过程详解 (
√
√
)(√+4 )=5+
√
√
√
√
√
5+2√4=9,当且仅当
√
√
√
,即
x=4y>0 时,等号成立,
所以(
√
√
)(√+4 )的最小值为 9.
11.C 过程详解 设斜边 c=2√2,直角边为 a,b,则 a2+b2=8,因为 2ab≤a2+b2,所以
a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当 a=b=2 时,等号成立,此时 a+b 取最大值,则
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【考点20】基本不等式2009年考题1.（2009天津高考）设0,0.a b >>若11333a b a b+是与的等比中项，则的最小值为（ ）A 8B 4C 1D 14【解析】选B. 因为333=⋅b a ，所以1=+b a ，1111()()2224b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=， 当且仅当b a a b =即21==b a 时“=”成立，故选择B. 2.（2009天津高考）设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为（ ） B.23 D.21 【解析】选C. 因为3log ,3log ,3b a yx y x b a ====，1)2(log log 11233=+≤=+b a ab y x （当且仅当a=b=3时等号成立）.3.（2009重庆高考）已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ ） A ．2B ．22C ．4D ．5【解析】选C. 因为11112222()4ab ab ab a b ab ab++≥+=+≥当且仅当11a b =，且1ab ab=，即a b =时，取“=”号。
4.（2009湖南高考）若x ∈(0,2π)则2tanx+tan(2π-x)的最小值为 . 【解析】由(0,)2x π∈，知1tan 0,tan()cot 0,2tan παααα>-==>所以12tan tan()2tan 22,2tan παααα+-=+≥当且仅当2tan 2α=时取等号，即最小值是22。
答案：225.（2009湖南高考）若0x >，则2x x+的最小值为 . 【解析】0x >222x x ⇒+≥，当且仅当22x x x=⇒=时取等号.答案：226.（2009湖南高考）若0x >，则2x x+的最小值为 . 【解析】选0x >222x x ⇒+≥，当且仅当22x x x=⇒=时取等号.答案：227.（2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为mm a+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为12h h .现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
【解析】(1)当35A B m m =时，23535(20)(5)125B B B BB B B m m m h m m m m =⋅=++++甲235320(5)(20)35BB B B B B B m m m h m m m m =⋅=++++乙,h 甲=h 乙（2）当35AB m m =时， 2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251B B B B B B Bm h m m m m m m ==++++++甲由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得，故当1120B m =即20,12B A m m ==时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为10。
（3）由（2）知：0h =10 由010=125A B A B m m h h m m ⋅≥=++甲得：12552AB A B m m m m ++⋅≤， 令35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2x y ++≤。
同理，由010h h ≥=乙得：5(1)(14)2x y ++≤ 另一方面，1[,1]4x y ∈、141x x +∈+∈5、1+4y [2,5],、1+y [,2],255(14)(1),(1)(14),22y x y ++≤++≤当且仅当14x y ==，即A m =35B m 时，取等号。
由（1）知A m =35B m 时h 甲=h 乙所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立。
8.（2009湖北高考）围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）。
（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m,则2y =45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=x360, 所以y=225x+2360360(0)x x-> (II)223600,225222536010800x x x>∴+≥⨯=104403603602252≥-+=∴x x y .当且仅当225x=x2360时，等号成立. 即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.2008年考题1、（2008四川高考）已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) （A ）(,1]-∞- （B ）(,0)(1,)-∞+∞ （C ）[3,)+∞ （D ）(,1][3,)-∞-+∞ 【解析】选D.方法1：∵等比数列{}n a 中21a =∴当公比为1时，1231a a a ===，33S =； 当公比为1-时，1231,1,1a a a =-==-，31S =-从而淘汰（A ）（B ）（C ）故选D ；方法2：∵等比数列{}n a 中21a =∴3123211(1)1S a a a a q q q q=++=++=++∴当公比0q >时，3111123S q q q q =+++⋅；当公比0q <时，3111()12()1S q q q q=-----⋅--∴3(,1][3,)S ∈-∞-+∞故选D ；方法3：311S x x =++(0)x ≠．由双勾函数1y x x =+的图象知，12x x +或12x x+-，故选D ．2、（2008重庆高考）函数()x f x =的最大值为（ ） A ．25B ．12C 2D ．1【解析】选B.11()12x f x x x==（当且仅1x x=，即1x =时取等号）。
故选B 。
3、（2008浙江高考）已知0,0,2,a b a b +=且则（ ）A.12abB. 12ab C.222a b + D. 223a b +【解析】选C.由0,0ab,且2a b +=∴222224()22()a b a b ab a b =+=+++，当且仅当a=b=1时等号成立∴222a b+。
4、（2008陕西高考）“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A.18a =112222188a x x x x x x ⇒+=+⨯=，另一方面对任意正数x ，21ax x +只要22221aa x x axx+⨯=218a⇒，所以选A. 5、（2008江西高考）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（ ） A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12【解析】选A.22121212121()()222a ab b a a b b ++++= 112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--11221221()a b a b a b a b ++12121122112111221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=++++∴112212a b a b +6、（２００８年安徽高考）设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【解析】选A .1020,0x x x <->->∵∴，11()21[(2)()]1f x x x x x =+-=--+--，由基本不等式11()[(2)()]12(2)()1221f x x x xx=--+------=--有最大值.7、（2008江苏高考）2,,,230,y x y z R x y z xz *∈-+=的最小值为 。
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。
由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当3x z =时取“=”。
答案:38、 (2008湖北高考).如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2,四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？ 【解析】方法1：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9000.①广告的高为a +20，宽为2b +25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积S ＝(a +20)(2b +25)＝2ab +40b +25a +500＝18500+25a +40b≥18500+2b a 4025•=18500+.245001000=ab当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b =a 85,代入①式得a =120，从而b =75. 即当a =120，b =75时,S 取得最小值24500.故广告的高为140 cm,宽为175 cm 时，可使广告的面积最小.方法2：设广告的高为宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，,225-y 其中x ＞20，y ＞25 两栏面积之和为2(x －20)18000225=-y ,由此得y =,252018000+-x 广告的面积S =xy =x (252018000+-x )＝252018000+-x x ,整理得S =.18500)20(2520360000+-+-x x因为x －20＞0，所以S ≥2.2450018500)20(2520360000=+-⨯-x x当且仅当)20(2520360000-=-x x 时等号成立，此时有(x －20)2＝14400(x ＞20)，解得x =140，代入y =2018000-x +25,得y ＝175，即当x =140，y ＝175时，S 取得最小值24500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 2007年考题1.（2007上海高考）已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）A 、22a b <B 、22ab a b < C 、2211ab a b< D 、b aa b <【解析】选C. 若0a b << 2a ≥2b ，A 不成立；若220,ab a b ab a b>⎧⇒<⎨<⎩B 不成立；若a =1，b =2，则12,2b a b aa b a b==⇒>,所以D 不成立 ,故选C.2.（2007重庆高考）若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则||2||2b a ab+的最大值为（ ）A.1552 B.42 C.55 D.22【解析】选B.a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则222214414||.a b a b ab =-⇒+=≥1||.4ab ∴≤2224(||2||)4|| 1.a b a b ab +=+-=224()||2||14||14||14||ab ab a b ab ab ab ∴=≤=++++ 2244411()(2)4||||ab abab ==++-11||4,4||ab ab ≤∴≥242max ||2||324ab a b =+3.（2007山东高考）函数1(01)xy a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ． 【解析】函数1(01)xy aa a -=>≠,的图象恒过定点(1,1)A ，1110m n ⋅+⋅-=，1m n +=，,0m n >，（方法一）：122m n mn mn +≥， 1111224m n m n +≥⋅⋅=（当且仅当m=n=12时等号成立）.（方法二）：1111()()2224n m n m m n m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+⋅=（当且仅当m=n=12时等号成立）. 答案：4.4.（2007山东高考）函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则12m n+的最小值为_______. 【解析】函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点(2,1)A --，(2)(1)10m n -⋅+-⋅+=，21m n +=，,0m n >，121244()(2)4428.n m n m m n m n m n m n m n+=+⋅+=++≥+⋅= 答案：8.5.（2007上海高考）已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____【解析】211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号.答案:161。