大学数学 概率论基础 答案 第三版李贤平
概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习
第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C +C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=，则P A B C -=U （）（ ）.A ．B ．C ．D ．17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。
概率论答案 - 李贤平版 - 第三章
第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。
2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。
3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k Nck f Λ==（2）,,2,1,!)(Λ==k k c k f k λ 0>λ。
4、证明函数)(21)(||∞<<-∞=-x e x f x 是一个密度函数。
5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。
6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=<a P ξ；（2）01.0}|5{|=>-a P ξ。
7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=-∞F 1)(=+∞F 。
8、试证：若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。
9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服从[0，1]均匀分布。
10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使)}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ，则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。
证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ；（2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。
但],0[θ上的均匀分布，关于θ不是一个单参数的指数族。
概率论答案 - 李贤平版 - 第二章
第二章 条件概率与统计独立性1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。
3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。
4、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。
5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。
6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。
9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。
以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。
试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。
10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥=,0,11,1,n pap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。
若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。
概率论答案-李贤平版-第三章
第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。
2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。
3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k Nck f ==（2）,,2,1,!)( ==k k ck f kλ 0>λ。
4、证明函数)(21)(||∞<<-∞=-x e x f x 是一个密度函数。
5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。
6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=<a P ξ；（2）01.0}|5{|=>-a P ξ。
7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=-∞F1)(=+∞F 。
8、试证：若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。
9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服从[0，1]均匀分布。
10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使)}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ，则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。
证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ；（2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。
但],0[θ上的均匀分布，关于θ不是一个单参数的指数族。
概率论答案 - 李贤平版 - 第二章-13页文档资料
第二章 条件概率与统计独立性1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。
3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。
4、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。
5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。
6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。
9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。
以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。
试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。
10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥=,0,11,1,n pap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。
若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。
李贤平《概率论基础》第五章答案
1第5章 极限定理解答1.证：对任意0x >，11{}()()()axayaxaxy xy xy xP x dF y e dF y e dF y eeξ≥≥≥≥==≤⎰⎰⎰1()ay axa axe dF y eE eeξ∞-≤=⎰2、证：()h ξ为非负随机变量，所以对0c >有1{()}()()h h x cx cP h c dF x xdF x cξ≥≥≥=≤⎰⎰11()()h xdF x E h ccξ∞≤=⎰。
4、解：现验证何时满足马尔可夫条件2110n k k D n ξ=⎛⎫→ ⎪⎝⎭∑，2211022k E k k ξ=-=，2221122sssk D kkkξ=+=。
若12s <，这时210s -<，利用k ξ间的独立性可得222122211110()sn nss k k k n n D knn n n n ξ-==⋅⎛⎫=≤=→→∞ ⎪⎝⎭∑∑。
若12s ≥，则 222211111110()2n nnsk k k k n D kk n n nnnξ===+⎛⎫=≥=→→∞ ⎪⎝⎭∑∑∑。
所以当时，大数定律可用于独立随机变量序列。
6、证：（1）0k EX =，()()221122422kkk D X k =⋅+-⋅=，11222221111144440()1433n n n nk k k k D X D X n n n nnn++==-⎛⎫==⨯=-→→∞ ⎪-⎝⎭∑∑。
不满足马尔可夫条件。
（2）()()222121110,22122kkk k k k E X D X ++==⋅+-⋅=，2211110()n k k D X n n n n n =⎛⎫=⋅=→→∞ ⎪⎝⎭∑。
满足马尔可夫条件。
（3）()32221122110,22k k EX D X k k k k k ==⋅+-⋅=，23222221111111(1)1()22n nnk k k k n n D X kkn n n nn===+⎛⎫=≥=⋅→→∞ ⎪⎝⎭∑∑∑。
概率论答案 - 李贤平版 - 第四章
第四章 数字特征与特征函数1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中p A P =)(，再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD 。
2、袋中有k 号的球k 只，n k,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。
3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。
4、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。
5、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞=≥=1}{k k P E ξξ。
6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x e x p x λμλ0>λ。
试求ξE ，ξD 。
7、若21,ξξ相互独立，均服从),(2σa N ，试证πσξξ+=a E ),max(21。
8、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。
9、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求n S 。
10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。
11、若ξ的密度函数是偶函数，且2E ξ<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。
12、若,ξη的密度函数为22221,1(,)0,1x y p x y x y π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。
13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。
李贤平概率论与数理统计答案
第1章事件与概率2、若A,B,C是随机事件，说明下列关系式的概率意义：（l）qBC=A：（2）AUBUC = A；（3）A3uC：（4）Au 貳.3、试把儿U A： U…U A“表示成n个两两互不相容事件的和.6、若A, B. C, D是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3） A, B都发生而C, D都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
8、证明下列等式：（1） C：+2C：+3C；+ ・- + nC；=“2"“；⑵ C；—2C：+3C；_…+ (—l)f C； =0；9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取岀三球，求顺序为黑白黑的概率。
10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边;（2）第一卷及第五卷出现在旁边：（3）第一卷或第五卷出现在旁边：（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
11、把戏，2, 3, 4, 5诸数各写在一小纸片上，任取英三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
12、在一个装有n只白球，n只黑球，n只红球的袋中，任取m只球，求其中白、黑、红球分别有m,, m2, m3（/n, +m2 + m3 = m）只的概率。
13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。
现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
14、由盛有号码1,2,…，N的球的箱子中有放回地摸了n次球，依次记下英号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
16、任意从数列1,2,…，N中不放回地取岀n个数并按大小排列成：X, < x2< ■•- < x nf试求x m = M的概率，这里1 < A/ < 7V18、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？19、从n双不同的鞋子中任取2r（2r<n）只，求下列事件发生的概率：（1）没有成对的鞋子;（2）只有一对鞋子：（3）恰有两对鞋子：（4）有r对鞋子。
概率论答案 - 李贤平版 - 第一章
第一章 事件与概率1、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.2、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和．3、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
4、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ； （2）0)1(321321=-+-+--nn n n n nnC C C C ； （3）∑-=-++=ra k ra ba kb r k a C C C 0. 5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
8、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。
9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。
现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
10、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
11、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<< 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤1。
李贤平《概率论基础》第三版课后答案
N
n
.
15、解法一：先引入重复组合的概念。从 n 个不同的元素里，每次取出 m 个元素，元素可
以重复选取，不管怎样的顺序并成一组，叫做从 n 个元素里每次取 m 个元素的重复组合，
其组合种数记为 C~nm
=
Cm n+m−1
.
这个公式的证明思路是，把 n 个不同的元素编号为1,2,
,n，
再把重复组合的每一组中数从小到大排列，每个数依次加上 0,1, , m −1 ,则这一组数就变成
（5）{至多发生一个}= ABC D + ABC D + B AC D + C ABD + D ABC
= AB ∪ AC ∪ AD ∪ BC ∪ BD ∪ CD .
7 、 解 ： 分 析 一 下 Ei 之 间 的 关 系 。 先 依 次 设 样 本 点 ω ∈ Ei ， 再 分 析 此 ω 是 否 属 于
m1
=
C
C 0
n−1
1 N
+
Cn1−1C
2 N
+
C
C 2
n−1
3 N
+
+
Cnn−−11C
n N
=
C
n N
+ n −1
.
此式证明见本章第 8 题（3）。总可能场合数为 n1 = N n ，故所还应的概率为
P
=
m1
/
n1
=
Cn N +n−1
/
N
n
.
16、解：因为不放回，所以 n 个数不重复。从{1,2, , M −1} 中取出 m-1 个数，从{M +1, N}
P
李贤平-概率论基础-Chap3
引入随机变量的意义?
分析工具有了用武之地 使概率可转化为我们所熟知的函数形式
【充分性】 设
Qn P{ n} 0, n 1.
由乘法公式知： P{ m n} P{ m} P{ m n | m}, 因为 具有无记忆性，故有 P(>m+n)=P(>m)P(>n),
Qmn QmQn , m, n 1.
{ : ( ) B} F ， .
则称()为随机变量，而 P(()B) 称为随机变量 ()的概率分布.
B
1 ( B )
例3.1.3 对于 ={1,2,3} ，构造σ代数-代数 F ={, F,{1,2},{3}}，再定义概率： P()=1, P(F)=0, P({1,2})=2/3,P({3})=1/3.
如果分布函数定义中的“ < ”改为“ ≤ ”, 则为右连续.
证明: (1). F (b) F (a) P{a b} 0.
n
[ F (n 1) F (n)] lim F (n) lim F (m).
n m
由于F(x)的单调有界性，
1 1.P{ ( ) a} P{ ( ( ) a )} n n 1 1 1 lim P{ ( ) a } lim F (a ) F (a ). n n n n
2.P{ ( ) a} P{ ( ) a} P{ ( ) a} F (a) F (a).
李贤平-概率论基础-Chap2
三.全概率公式
若 A1 , A2 , 两两互不相容,且 Ai , 则称
i 1
A1 , A2 , 为 的一个分割, 亦称完备事件组。
A1
An
A2
A3
An 1
全概率公式：若事件 A1, A2 ,„ 是样本空间的一
组分割，且 P(Ai)>0，则 B BAi , i 1
用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1) P(A3|B1B2)
例2.波利亚(Polya)坛子模型 坛子中有b只黑球及r只红球, 随机取出一只, 把原 球放回, 并加进与抽出球同色的球c只, 再摸第二次, 这样下去共摸了n次，问前面的n1次出现黑球，后面 的n2=n-n1次出现红球的概率是多少？ 解: Ak表示第k次摸出黑球这一事件，需要计算交事 件的概率 P( A 1A 2 A n1 A n1 1 A n ). 则
i 1 i 1
P(B) P( BAi ) P( Ai ) P( B | Ai ).
Remark:
全概率公式用于求复杂事件的概率.公式中的B是较复 杂事件, Ai是引起B发生的各原因、情况或途径。
使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来“分割” 样本空间.
全空间可以由有限个Ai来分割,即A1,A2 ,„,An
P( B) P( Ai ) P( B Ai ) 0.4825
i 1 4
四.贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“结果” ，求“原因”的概率.
贝叶斯(Bayes)公式：若事件 A1, A2 ,„ 是样本空
间的一组分割，且 P(B)>0，则
李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案
.
因为袋中有a个白球， 个黑球，若一开始总是取到黑球，直到把黑球取完为止，则至迟到第 次一定会取到白球；也就是说，第一次或第二次…或至迟到第 次取得白球事件是必然事件，其概率为1。所以
等式两边同乘以 得
.
46、证：记F={ 的一切子集}
21、袋中装有 号的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第k次摸球时首次摸到1号球的概率。
24、从52张扑克牌中任意抽取13张来，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张草花的概率。
25、桥牌游戏中（四人各从52张纸牌中分得13张），求4张A集中在一个人手中的概率。
26、在扑克牌游戏中（从52张牌中任取5张），求下列事件的概率：（1）以A打头的同花顺次五张牌；（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点数；（4）三张同点数且另两张也同点数；（5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五比重中有两对；（9）五张中有一对；（10）其它情况。
33、证：当 时， ， 与 两者不相容，所以
.
此即当 时原式成立。
设对 原式成立，现证对 原式也成立。
对前后两项分别应用归纳假设得
.
至此，原式得证。
36、解：设考签编号为 ，记事件 ，则
， ，
；
诸 相容，利用第33题公式计算得
P={至少有一张考签未被抽到}
.
37、解：这些比赛的可能结果，可以用下面方法表示：
3、试把 表示成n个两两互不相容事件的和．
6、若A，B，C，D是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A，B都发生而C，D都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
李贤平《概率论与数理统计》标准答案
第5章 极限定理1、ξ为非负随机变量，若(0)a Eea ξ<∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。
2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >，1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。
4、{}k ξ各以12概率取值s k 和sk -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξ的算术平均值？6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1）1{2}2kk P X =±=； （2）(21)2{2}2,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）11221{2},{0}12kk k P X k P X k --=±===-。
7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，证明这时对{}k ξ大数定律成立。
8、已知随机变量序列12,,ξξ的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明对{}k ξ成立大数定律。
9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n nηξξ=++，11()n n a E E nξξ=++，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞⎧⎫-=⎨⎬+-⎩⎭。
10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而0mn→时，2221~2n mn n n m -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭。
12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。
13、求证，在x o >时有不等式222111222211t x x x x e e dt e x x-∞--≤≤+⎰。
李贤平版概率论第一章答案
第一章 事件与概率1、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.2、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和．3、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
4、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ；（2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C ；（3）∑-=-++=ra k r ab a k b r k a C C C 0.5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
8、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。
9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。
现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
10、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
11、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<< 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤1。
李贤平《概率论与数理统计》标准答案
李贤平《概率论与数理统计》标准答案第5章极限定理1、ξ为非负随机变量，若(0)a Eea ξ<∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。
2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >，1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。
4、{}k ξ各以12概率取值s k 和sk -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξ的算术平均值？6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1）1{2}2kk P X =±=；（2）(21)2{2}2,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-；（3）11221{2},{0}12kk k P X k P X k --=±===-。
7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，证明这时对{}k ξ大数定律成立。
8、已知随机变量序列12,,ξξ的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明对{}k ξ成立大数定律。
9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n nηξξ=++，11()n n a E E nξξ=++，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞??-=??+-??。
10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而0mn→时，2221~2n mn n n m -???? ???-??。
12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。
13、求证，在x o >时有不等式222111222211t x x x x e e dt e x x-∞--≤≤+?。
概率论答案 - 李贤平版 - 第四章
第四章 数字特征与特征函数1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中p A P =)(，再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD 。
2、袋中有k 号的球k 只，n k ,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。
3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。
4、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。
5、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞=≥=1}{k k P E ξξ。
6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x ex p x λμλ0>λ。
试求ξE ，ξD 。
7、若21,ξξ相互独立，均服从),(2σa N ，试证πσξξ+=a E ),max(21。
8、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。
9、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求n S 。
10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。
11、若ξ的密度函数是偶函数，且2E ξ<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。
12、若,ξη的密度函数为22221,1(,)0,1x y p x y x y π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。
13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。