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浙江省2017—2019年中考数学真题汇编专题5：二次函数(解析卷)

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2019中考数学专题复习《二次函数与线段最值问题》含解析

2019中考数学专题复习《二次函数与线段最值问题》含解析

2019中考数学专题复习二次函数与线段最值问题含解析二次函数与线段最值问题一．填空题1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．二．解答题2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．3．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标；（2）当a≤x≤b时，函数y的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．4．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；（3）若1≤a≤2，设当x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．5．已知y关于x的函数y＝nx2﹣2（m+1）x+m+3（1）若m＝n＝﹣1时，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；（2）若n＝1，当m取何值时，抛物线顶点最高？（3）若n＝2m＞0，对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，求k的最大整数；（4）若m＝2n≠0，求抛物线与x轴两个交点之间的最短距离．6．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标．（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；（3）当x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1，求n的取值范围．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若，求PC的长；（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使，求点Q的坐标．9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点P，过点P作PC∥AB交抛物线于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．若点P在点C的左边，当矩形PCDM的周长最大时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，当矩形PCDM的周长最大时，连接AC，我们把一条抛物线与直线AC的交点称为该抛物线的“恒定点”，将（1）中的抛物线平移，使其平移后的顶点为（n，2n），若平移后的抛物线总有“恒定点”，请直接写出n的取值范围．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2x+2与x轴交于B、C两点（点B 在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ， ），点C的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．12．如图，抛物线与直线相交于A，B两点，若点A在x轴上，点B的坐标是（2，4），抛物线与x轴另一交点为D，并且△ABD的面积为6，直线AB与y轴的交点的坐标为（0，2）．点P是线段AB（不与A，B重合）上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线与点Q．（1）分别求出抛物线与直线的解析式；（2）求线段PQ长度的最大值；（3）当PQ取得最大值时，在抛物线上是否存在M、N两点（点M的横坐标小于N的横坐标），使得P、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出MN的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y x2x﹣4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD于点M，求线段MQ长度的最大值．（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（4）当点P在线段EB上运动时，直线l与菱形BDEC的某一边交于点S，是否存在m 值，使得点C、Q、S、D为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出m值，不存在，说明理由．14．如图，已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y 轴于C点．（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值．15．（1）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），直线y＝x+1过点A，与抛物线交于点C，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值．（2）在（1）条件下，过点P作y轴垂线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值．16．如图1，抛物线y＝﹣x2﹣4x+5与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及顶点D的坐标；（2）连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与点A、C重合），过P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥CD交直线AC于点F，当线段PE+PF取最大值时，在抛物线对称轴上找一点L，在y轴上找一点K，连接OL，LK，PK，求线段OL+LK+PK的最小值，并求出此时点L的坐标．（3）如图2，点M（﹣2，﹣1）为抛物线对称轴上一点，点N（2，7）为直线AC上一点，点G为直线AC与抛物线对称轴的交点，连接MN，AM．点H是线段MN上的一个动点，连接GH，将△MGH沿GH翻折得到△M′GH（点M的对称点为M′），问是否存在点H，使得△M′GH与△NGH重合部分的图形为直角三角形，若存在，请求出NH的长，若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）当D在线段AC上运动时，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x交x轴于点A，交y轴于点B，经过点A的抛物线y x2+bx+c交直线AB另一点D，且点D到y轴的距离为8．（1）求抛物线解析式；（2）点P是直线AD上方的抛物线上一动点，（不与点A、D重合），过点P作PE⊥AD于E，过点P作PF∥y轴交AD于F，设△PEF的周长为L，点P的横坐标为m，求L与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）在图（2）的条件下，当L最大时，连接PD．将△PED沿射线PE方向平移，点P、E、F的对应点分别为Q、M、N，当△QMN的顶点M在抛物线上时，求M点的横坐标，并判断此时点N是否在直线PF上．（参考公式：二次函数y＝ax2+bx+c（c≠0）．当x时，y最大（小）值）19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（3，0），B（1，0），且与y轴交于点C（0，﹣3），点P是抛物线AC间上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P 与A、C不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，直接写出点P的坐标；（3）求线段PD的最大值，并求最大值时P点的坐标；（4）在问题（3）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴只有一个交点，且系数a、b满足条件：．（1）求y＝ax2+bx+c解析式；（2）将y＝ax2+bx+c向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数y＝mx2+nx+k，该函数交y轴于点C，交x轴于A、B（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P 作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．22．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；（3）如图2，点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；（3）若点P是抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为 时，四边形PQAC是平行四边形；（直接写出结果，不写求解过程）．24．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线1与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，设P点的横坐标为m．①求线段PE长度的最大值；②点P将线段AC分割成长、短两条线段PA、PC，如果较长线段与AC之比等于，则称P为线段AC的“黄金分割点”，请直接写出使得P为线段AC黄金分割点的m的值．25．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．26．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值．27．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A、C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值，并直接写出△ACE面积的最大值；（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，当点P运动到什么位置时，△ACE的面积最大？求出此时P点的坐标和S△ACE的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．29．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点．求线段PE 长度的最大值；（3）若点G是抛物线上的动点，点F是x轴上的动点，判断有几个位置能使以点A、C、F、G为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点F的坐标．30．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交A、B两点（A点在B点右侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为﹣2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）若点P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求当点P坐标为多少时，线段PE长度有最大值，最大值是多少？（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．二次函数与线段最值问题参考答案与试题解析一．填空题1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　6　．【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+2，∴当y＝0时，﹣x2+x+2＝0即﹣（x﹣2）（x+1）＝0，解得x＝2或x＝﹣1故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C＝2（x+y）＝2（x﹣x2+x+2）＝﹣2（x﹣1）2+6．∴当x＝1时，C最大值＝6，．即四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是：6．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．二．解答题2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．【考点】F5：一次函数的性质；H7：二次函数的最值．【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；③根据一次函数的性质即增减性解答即可；（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．【解答】解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；②当k＞0时，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2当k＜0时，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+nx＝3时，y有最大值为3k+n当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+nx＝3时，y有最小值为3k+n（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2对称轴为x，当2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5当﹣22，即﹣4＜k＜4时，把x，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）当2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．所以实数k的值为±5．【点评】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目．3．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标；（2）当a≤x≤b时，函数y的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）先把A（3，0）代入y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3，得到关于m的方程，解方程求出m的值，再利用配方法将二次函数写成顶点式，即可求出顶点D的坐标；（2）先把y＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得到方程1x2+2x+3，解方程求出x1，x2，再利用二次函数的性质结合图象即可得出a，b应满足的条件；（3）先求出二次函数与y轴交点C的坐标，当三角形PDC是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①当DC＝DP时，易求点P坐标为（2，3）；②当PC＝PD时，过点D 作x轴的平行线，交y轴于点H，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N．由HD＝HC，PC＝PD，根据线段垂直平分线的判定与等腰三角形的性质得出HP平分∠MHN，再由线段垂直平分线的性质得出PM＝PN．设P（m，﹣m2+2m+3），则m＝4﹣（﹣m2+2m+3），解方程求出m的值，得出点P的坐标为或；③当CD＝CP时，不符合题意．【解答】解：（1）把A（3，0）代入y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3，得﹣9+6（m﹣2）+3＝0，解得m＝3．则二次函数为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）把y＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得1x2+2x+3，解得x1，x2，结合图象知a≤1．当a时，1≤b，当a≤1时，b；（3）x＝0时，y＝3，所以点C坐标为（0，3）．当三角形PDC是等腰三角形时，分三种情况：①如图1，当DC＝DP时，∵点P与点C关于抛物线的对称轴x＝1对称，∴点P坐标为（2，3）；②如图2，当PC＝PD时，过点D作x轴的平行线，交y轴于点H，过点P作PM⊥y 轴于点M，PN⊥DH于点N．∵HD＝HC＝1，PC＝PD，∴HP是线段CD的垂直平分线．∵HD＝HC，HP⊥CD，∴HP平分∠MHN，∵PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N，∴PM＝PN．设P（m，﹣m2+2m+3），则m＝4﹣（﹣m2+2m+3），解得m，∴P的坐标为或；③如图3，当CD＝CP时，点P在y轴左侧，不符合题意．综上所述，所求点P的坐标为（2，3）或或．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，二次函数的性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．4．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；（3）若1≤a≤2，设当x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．【考点】H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，得到y＝ax2﹣（a+3）x+4的对称轴为直线x，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围x≤2，当x时，得到m，当x＝2时，得到n，即可得到结论．【解答】解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，∴，∴或；（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x）2，∴对称轴为直线x，∵1≤a≤2，∴x2，∵x≤2，∴当x时，y＝ax2+bx+4的最大值为m，当x＝2时，n，∴m﹣n，∵1≤a≤2，∴当a＝2时，m﹣n的值最小，即m﹣n的最小值．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．5．已知y关于x的函数y＝nx2﹣2（m+1）x+m+3（1）若m＝n＝﹣1时，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；（2）若n＝1，当m取何值时，抛物线顶点最高？（3）若n＝2m＞0，对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，求k的最大整数；（4）若m＝2n≠0，求抛物线与x轴两个交点之间的最短距离．【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）抛物线的解析式为y＝2mx2﹣2（m+1）x+m+3，对称轴x，因为对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，所以k，由此即可解决问题；（4）构建二次函数，利用二次函数的性质，解决最值问题；【解答】解：（1）当m＝n＝﹣1时，函数解析式为y＝﹣x2+2，顶点坐标为（0，2），函数最大值为2，∵﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y＝1，x＝3时，y＝﹣7．∴函数的最大值为2和最小值为﹣7．（2）n＝1时，函数解析式为y＝x2﹣2（m+1）x+m+3，∵顶点的纵坐标m2﹣m+2，∵﹣1＜0，∴m时，抛物线顶点的纵坐标最大，顶点最高．（3）∵n＝2m，∴抛物线的解析式为y＝2mx2﹣2（m+1）x+m+3，对称轴x，∵对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，∴k，∴k的最大整数为0．（4）∵m＝2n，∴抛物线的解析式为y＝nx2﹣2（2n+1）x+2n+3，设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），则|x1﹣x2|，∴当时，抛物线与x轴两个交点之间的距离最短，最小值为．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，所以中考常考题型．6．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标．（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；（3）当x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1，求n的取值范围．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A点坐标代入可求得m的值，可求得二次函数解析式，化为顶点式可求得D的坐标；（2）利用两点间的距离公式可求得AC、CD、AD，可知△ACD为直角三角形，AD为斜边，可知E为AC的中点，可求得E的坐标及半径；（3）当x时，可求得y＝1，且当x＝1时y＝4，根据二次函数的对称性可求得n的范围．【解答】解：（1）∵抛物线过A点，∴代入二次函数解析式可得﹣9+6（m﹣2）+3＝0，解得m＝3，∴二次函数为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D为（1，4）；（2）由（1）可求得C坐标为（0，3），∴AC3，CD，AD2，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∴E为AD的中点，∴E点坐标为（2，2），外接圆的半径r AD；（3）当x时，y＝1，当x＝1时，y＝4，∴当x≤1时，1y≤4，根据二次函数的对称性可知当1≤x时，1y≤4，∴1≤n．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的顶点坐标、增减性、及直角三角形的判定等知识的综合应用．在（1）中掌握点的坐标满足函数的解析式是解题的关键，在（2）中判定出△ACD为直角三角形是解题的关键，在（3）中利用二次函数的对称性，结合二次函数在对称轴两侧的增减性可确定出n的范围．本题难度不大，注重基础知识的综合，较易得分．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若，求PC的长；（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x，把点A的坐标代入y＝ax2+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；（2）设M点横坐标为m，则P（m，m2m+2），C（m，﹣m﹣1），得出PMm2m+2，PC m2m+3．由PM，得到m2m+2，即m2＝3m+1，m，进而求出PC；（3）设M点横坐标为m，则PM m2m+2，MN＝2（m）＝3﹣2m，矩形PMNQ的周长d＝﹣m2﹣m+10，将﹣m2﹣m+10配方，根据二次函数的性质，即可得出矩形PMNQ的周长的最大值．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣1，0），∴0＝1+n，解得n＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式是：y x2x+2；（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，m2m+2），C点坐标为（m，﹣m﹣1）．∵点M为线段AB上一点，∴﹣1＜m＜4．∴PM m2m+2，PC＝（m2m+2）﹣（﹣m﹣1）m2m+3．∵PM，∴m2m+2，整理，得m2﹣3m﹣1＝0，∴m2＝3m+1，m，∴PC m2m+3（3m+1）m+3＝m，∴当m时，PC；（3）设M点横坐标为m，则PM m2m+2，MN＝2（m）＝3﹣2m，∴矩形PMNQ的周长d＝2（PM+MN）＝2（m2m+2+3﹣2m）＝﹣m2﹣m+10．∵﹣m2﹣m+10＝﹣（m）2，∴当m时，d有最大值．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使，求点Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x，把点A的坐标代入y＝ax2+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；（2）设M点横坐标为m，则P（m，m2m+2），C（m，﹣m﹣1），得出PMm2m+2，化成顶点式即可；（3）根据抛物线的对称轴和A的坐标，求得B的坐标，求得AB，从而求得三角形APB的面积，进而求得三角形ABQ的面积，得出Q的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得横坐标，从而求得Q的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣1，0），∴0＝1+n，解得n＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式是：y x2x+2；（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，m2m+2），C点坐标为（m，﹣m﹣1）．∵点M为线段AB上一点，∴﹣1＜m＜4．∴PC＝（m2m+2）﹣（﹣m﹣1）m2m+3．∵PC m2m+3（m）2，所以，当m时，PC最长，此时P（，），AM；（3）存在；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴B（4，0）∴AB＝5，∵S△APB AB•PM5，∵，∴S△ABQ，设Q点纵坐标为n，∵S△ABQ AB•n，∴n，（或n这样计算比较方便），∴x2x+2，解得：x或x，∴Q（，）或（，）【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；16：压轴题．。

2019年浙教版数学中考复习 二次函数的图象与性质 综合测试 (含答案)

2019年浙教版数学中考复习 二次函数的图象与性质 综合测试 (含答案)

2019年浙教版数学中考复习二次函数的图象与性质综合测试一．选择题1．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为y ＝(x－1)2－4，则b，c的值为( )A．b＝2，c＝－6 B．b＝2，c＝0C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝22．将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( )A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4.其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．(易错题)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( )A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋25．对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( )A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是26．(2018·湖南益阳中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A．ac＜0 B．b＜0C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＜07．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．abc<0，b 2－4ac>0B ．abc>0，b 2－4ac>0C ．abc<0，b 2－4ac<0D ．abc>0，b 2－4ac<08．已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( ) A.34或1B.14或1 C.34或12D.14或349．(2018·山东德州中考)如图，函数y ＝ax 2－2x ＋1和y ＝ax －a(a 是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )10．如图，反比例函数y ＝k x 的图象经过二次函数y ＝ax 2＋bx 图象的顶点(－12，m)(m>0)，则有( )A ．a ＝b ＋2kB ．a ＝b －2kC ．k<b<0D ．a<k<0 二．填空题11．抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的顶点坐标是______________．12．如图是一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线表达式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线表达式是_________________________．13. 已知函数y ＝－(x －1)2图象上两点A(2，y 1)，B(a ，y 2)，其中a>2，则y 1与y 2的大小关系是y 1______y 2(填“<”“>”或“＝”)．14．(2019·改编题)矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为________________________．15．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系y ＝－29x 2＋89x ＋109，则羽毛球飞出的水平距离为______m.16．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为B(－1，3)，与x 轴的交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b 2－4ac ＝0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a －b ＝0；④c －a ＝3，其中正确的有________．(填序号)17．(2018·四川南充中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点P(m ，n)．给出下列结论： ①2a ＋c ＜0；②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ； ④当n ＝－1a 时，△ABP 为等腰直角三角形．其中正确结论是________(填写序号)．18. (2017泸州)若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，则1x1＋1x2的值为________．19. 如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m 的解集为____________．20. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为____________．三．解答题21．(2018·浙江杭州中考)设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.22. (2017宁波)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．23. 正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点坐标；②求抛物线L的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．24. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．25.已知二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c(a>0)的图象与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，它的顶点为P ，直线CP 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且CP ∶PD ＝2∶3. (1)求A 、B 两点的坐标；(2)若tan ∠PDB ＝54，求这个二次函数的关系式．参考答案 1-5 BDBDB 6-10 BBABD 11. (1，4)12. y ＝－19(x ＋6)2＋413. >14. y ＝x 2＋8x ＋14 15. 5 16. ③④ 17. ②④ 18. －4 19. x<1或x>3 20. x 1＝－1，x 2＝321. 解：(1)由题意知Δ＝b 2－4a[－(a ＋b)]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b)2≥0， ∴该二次函数图象与x 轴的交点的个数有2个或1个． (2)当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0 ∴该二次函数图象不经过点C. 把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2. ∴该二次函数的表达式为y ＝3x 2－2x －1. (3)证明：当x ＝2时，m ＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b ＞0，① ∵a ＋b ＜0，∴－a －b ＞0.② ① ＋②得2a ＞0，∴a ＞0.22. 解：(1)把B(3，0)代入抛物线解析式，得0＝－32＋3m ＋3， 解得m ＝2， ∴y ＝－x 2＋2x ＋3，∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴顶点坐标为(1，4)．(2)如解图，连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，连接AP ，此时PA ＋PC 的值最小． 由抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3得点C 的坐标为(0，3)，设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋b(k≠0)，把点B(3，0)，C(0，3)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b 3＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3. 当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2.∴当PA ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)．23. 解：如解图，以OA 所在的直线为横轴，水平向右为正方向，以OC 所在直线为纵轴，垂直向上为正方向，建立平面直角坐标系．①O(0，0)，P(2，2)，A(4，0)；②设抛物线L 的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， 将点O ，P ，A 的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝04a ＋2b ＋c ＝216a ＋4b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝2c ＝0，∴抛物线L 的解析式为y ＝－12x 2＋2x.(2)【思路分析】用点E 的横坐标表示△OAE 与△OCE 的面积之和，根据二次函数的性质即可确定最大值． 解：设点E 的横坐标为m. ∵点E 在正方形内的抛物线上， ∴点E 的纵坐标为－12m 2＋2m,∴S △OAE ＋S △OCE ＝12×4×(－12m 2＋2m)＋12×4×m ＝－m 2＋6m ＝－(m －3)2＋9.(10分)∴当m ＝3时，△OAE 与△OCE 的面积之和的值最大，最大值是9.24. 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)方法1：如图1，过点P 作PG ∥CF 交CB 于点G ，由题意知∠BCO ＝∠CFE ＝45°，F(0，m)，C(0，3)， ∴△CFE 和△GPE 均为等腰直角三角形， ∴EF ＝22CF ＝22(3－m)，PE ＝22PG. 设x P ＝t(1<t<3)， 则PE ＝22PG ＝22(－t ＋3－t －m) ＝22(－m －2t ＋3)，t 2－4t ＋3＝t ＋m ， ∴PE ＋EF ＝22(－m －2t ＋3)＋22(3－m)＝22(－2t －2m ＋6)＝－2(t ＋m －3)＝－2(t 2－4t)＝－2(t －2)2＋42，∴当t ＝2时，PE ＋EF 的最大值为4 2.方法2：(几何法)如图2，由题易知直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3，OC ＝OB ＝3， ∴∠OCB ＝45°. 同理可知∠OFE ＝45°， ∴△CEF 为等腰直角三角形，以BC 为对称轴将△FCE 对称得到△F′CE ，作PH ⊥CF′于点H ，则PE ＋EF ＝PF′＝2PH. 又PH ＝y C －y P ＝3－y P ，∴当y P 最小时，PE ＋EF 取最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当y P ＝－1时，(PE ＋EF)max ＝2×(3＋1)＝4 2. (3)①由(1)知对称轴x ＝2，设D(2，n)，如图3.当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 在BC 上方D 1位置时，由勾股定理得CD 2＋BC 2＝BD 2， 即(2－0)2＋(n －3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n ＝5；当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 在BC 下方D 2位置时，由勾股定理得BD 2＋BC 2＝CD 2， 即(2－3)2＋(n －0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n －3)2，解得n ＝－1.∴当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 为(2，5)或(2，－1)．②如图4，以BC 的中点T(32，32)，12BC 为半径作⊙T ，与对称轴x ＝2交于D 3和D 4，由直径所对的圆周角是直角，得∠CD 3B ＝∠CD 4B ＝90°. 设D(2，m)，由DT ＝12BC ＝322得(32－2)2＋(32－m)2＝(322)2， 解得m ＝32±172，∴D 3(2，32＋172)，D 4(2，32－172)．又由①得D 1为(2，5)，D 2(2，－1)，∴若△BCD 是锐角三角形，D 点在线段D 1D 3或D 2D 4上时(不与端点重合)，则点D 的纵坐标的取值范围是－1<y D <32－172或32＋172<y D <5.25. 解：(1)y ＝ax 2－2ax ＋c＝a(x 2－2x)＋c ＝a(x －1)2＋c －a ∴P 点坐标为(1，c －a)．如解图，过点C 作CE ⊥PQ ，垂足为E ，延长CE 交BD 于点F ，则CF ⊥BD. ∵P(1，c －a)，∴CE ＝OQ ＝1.∵PQ ∥BD ，∴△CEP ∽△CFD ，∴CP CD ＝CE CF. 又∵CP ∶PD ＝2∶3，∴CE CF ＝CP CD ＝22＋3＝25， ∴CF ＝2.5，∴OB ＝CF ＝2.5，∴BQ ＝OB －OQ ＝1.5，∴AQ ＝BQ ＝1.5，∴OA ＝AQ －OQ ＝1.5－1＝0.5，∴A(－0.5，0)，B(2.5，0)．(2)∵tan ∠PDB ＝54， ∴CF DF ＝54， ∴DF ＝45CF ＝45×2.5＝2， ∵△CFD ∽△CEP ，∴PE DF ＝CE CF， ∴PE ＝DF·CE CF ＝2×12.5＝0.8. ∵P(1，c －a)，C(0，c)，∴PE ＝PQ －OC ＝c －(c －a)＝a ，∴a ＝0.8，∴y ＝0.8x 2－1.6x ＋c.把A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c ＝0， 解得c ＝－1.(9分)∴这个二次函数的关系式为：y ＝0.8x 2－1.6x －1.。

2019年浙江省中考数学分类汇编专题：二次函数(含答案解析)

2019年浙江省中考数学分类汇编专题：二次函数(含答案解析)

2019年浙江省中考数学分类汇编专题:二次函数一、单选题1.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A.(1，3)B.（1，-3)C.（-1，3）D.（-1，-3）【答案】A【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质【解析】【解答】解：∵y=（x-1）2+3，∴二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.2.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A.有最大值﹣1，有最小值﹣2B.有最大值0，有最小值﹣1C.有最大值7，有最小值﹣1D.有最大值7，有最小值﹣2【答案】D【考点】二次函数的最值【解析】【解答】∵由知当x=2，最小值为-2，又∵x=-1与x=3关于x=2对称故最大值为，故答案为：D。

【分析】先配方，∵对称轴x=2，在给定定义域范围内，故最小值可求。

图像张口向上，故离图像最远的点为最大值。

3.小飞研究二次函数(为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，随的增大而增大，则的取值范围为其中错误结论的序号是（）A.①B.②C.③D.④【答案】C【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：∵抛物线y=-（x-m）2-m+1∴顶点坐标为：（m，-m+1）∵y=-x+1当x=m时，y=-m+1∴抛物线的顶点坐标始终在直线y=-x+1上，故①正确；设抛物线的顶点坐标C（m，-m+1），与x轴的两交点坐标为B、A过点C作CD⊥x轴，当△ACB是等腰直角三角形时，则AD=DB=CD=-m+1，OD=m∴点B的横坐标为：m+（-m+1）=1∴点B（1,0）∴-（1-m）2-m+1=0解之：m1=1（舍去），m2=0当m=0时，抛物线的顶点与x轴的两交点构成等腰直角三角形，故②正确；∵A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＞2m∴∵a=-1，对称轴为直线x=m∴当x＞m时，y随x的增大而减小，∴时，，故③错误；∵当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，对称轴为直线x=m∴m≥2，故④正确；故答案为：C【分析】利用抛物线的解析式，可得到顶点坐标，再将顶点坐标代入y=-x+1进行验证，就可对①作出判断；过点C作CD⊥x轴，利用等腰直角三角形的性质，可知AD=DB=CD=-m+1，OD=m，从而求出点B的坐标，再将点B的坐标代入抛物线的解析式，就可求出符合题意的m的值，可对②作出判断；利用二次函数的性质，可对③④作出判断；综上所述，可得出说法错误的结论。

2019、2020年中考试题汇编 浙江省中考数学试题分类(3)——一次函数与二次函数

2019、2020年中考试题汇编 浙江省中考数学试题分类(3)——一次函数与二次函数

2019、2020年浙江中考数学试题分类（3）——一次函数与二次函数一．一次函数的图象（共2小题）1．（2020•嘉兴）一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（）A．B．C．D．2．（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．二．一次函数的性质（共1小题）3．（2019•杭州）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式．三．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）4．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．5．（2020•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）A．y＝x+2B．y=√2x+2C．y＝4x+2D．y=2√33x+26．（2019•绍兴）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）A．﹣1B．0C．3D．4四．一次函数的应用（共10小题）7．（2019•金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是．8．（2020•宁波）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？9．（2020•衢州）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？①游轮与货轮何时相距12km？10．（2020•绍兴）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．x（厘米）12471112y（斤）0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？11．（2020•金华）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．12．（2020•温州）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T 恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a 件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b．①已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．13．（2019•绍兴）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．14．（2019•台州）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系h=−310x+6，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．15．（2019•宁波）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）16．（2019•湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B ﹣C ﹣D 分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）五．一次函数综合题（共2小题）17．（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线y =−12x +4分别交x 轴、y 轴于点B ，C ，正方形AOCD的顶点D 在第二象限内，E 是BC 中点，OF ⊥DE 于点F ，连结OE ．动点P 在AO 上从点A 向终点O 匀速运动，同时，动点Q 在直线BC 上从某一点Q 1向终点Q 2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B 的坐标和OE 的长．（2）设点Q 2为（m ，n ），当n n =17tan ∠EOF 时，求点Q 2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合．①延长AD 交直线BC 于点Q 3，当点Q 在线段Q 2Q 3上时，设Q 3Q ＝s ，AP ＝t ，求s 关于t 的函数表达式．①当PQ 与△OEF 的一边平行时，求所有满足条件的AP 的长．18．（2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x =n +n 3，y =n +n 3那么称点T 是点A ，B 的融合点． 例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x =−1+43=1，y =8+(−2)3=2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点． ①试确定y 与x 的关系式．①若直线ET 交x 轴于点H ．当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．六．反比例函数的性质（共1小题）19．（2020•杭州）设函数y 1=n n ，y 2=−n n （k ＞0）． （1）当2≤x ≤3时，函数y 1的最大值是a ，函数y 2的最小值是a ﹣4，求a 和k 的值．（2）设m ≠0，且m ≠﹣1，当x ＝m 时，y 1＝p ；当x ＝m +1时，y 1＝q ．圆圆说：“p 一定大于q ”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？七．反比例函数系数k 的几何意义（共3小题）20．（2020•温州）点P ，Q ，R 在反比例函数y =n n（常数k ＞0，x ＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3．若OE ＝ED ＝DC ，S 1+S 3＝27，则S 2的值为 ．21．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OAB 的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y =n n（x ＞0）的图象经过OA 的中点C ．交AB 于点D ，连结CD ．若△ACD 的面积是2，则k 的值是 ．22．（2019•衢州）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，①ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，点B 恰好为OE 的中点，DE 与BC 交于点F ．若y =n n （k ≠0）图象经过点C ，且S △BEF ＝1，则k 的值为 ．八．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）23．（2020•金华）已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y=n n（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a24．（2020•衢州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=n n（x ＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8√3，则k＝．25．（2019•绍兴）如图，矩形ABCD的两边分别与坐标轴平行，顶点A，C都在双曲线y=n n（常数k＞0，x＞0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是．九．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）26．（2019•舟山）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y=n n的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）27．（2020•宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=n n（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=nn（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD 的面积为32，则a ﹣b 的值为 ，n n 的值为 ． 28．（2019•宁波）如图，过原点的直线与反比例函数y =n n （k ＞0）的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限．点C 在x 轴正半轴上，连结AC 交反比例函数图象于点D ．AE 为∠BAC 的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连结DE ．若AC ＝3DC ，△ADE 的面积为8，则k 的值为 ．29．（2019•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y =12x ﹣1分别交x 轴，y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数y 1=n n （k ＞0，x ＞0），y 2=2n n （x ＜0）的图象于点C 和点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连结OC ，OD ．若△COE 的面积与△DOB 的面积相等，则k 的值是 ．一十一．反比例函数的应用（共3小题）30．（2019•温州）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为（ ）近视眼镜的度数y （度）200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米）0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 A ．y =100n B ．y =n 100 C ．y =400n D ．y =n 40031．（2020•台州）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1﹣y2）与（y2﹣y3）的大小：y1﹣y2y2﹣y3．32．（2019•杭州）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．①方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．2019、2020年浙江中考数学试题分类（3）——一次函数与二次函数参考答案与试题解析一．一次函数的图象（共2小题）1．【解答】解：由题意知，k ＝2＞0，b ＝﹣1＜0时，函数图象经过一、三、四象限． 故选：B ．2．【解答】解：A 、由图可知：直线y 1＝ax +b ，a ＞0，b ＞0．∴直线y 2＝bx +a 经过一、二、三象限，故A 正确； B 、由图可知：直线y 1＝ax +b ，a ＜0，b ＞0．∴直线y 2＝bx +a 经过一、四、三象限，故B 错误； C 、由图可知：直线y 1＝ax +b ，a ＜0，b ＞0．∴直线y 2＝bx +a 经过一、二、四象限，交点不对，故C 错误； D 、由图可知：直线y 1＝ax +b ，a ＜0，b ＜0，∴直线y 2＝bx +a 经过二、三、四象限，故D 错误．故选：A ．二．一次函数的性质（共1小题）3．【解答】解：设该函数的解析式为y ＝kx +b ，∵函数满足当自变量x ＝1时，函数值y ＝0，当自变量x ＝0时，函数值y ＝1，∴{n +n =0n =1 解得：{n =−1n =1， 所以函数的解析式为y ＝﹣x +1，故答案为：y ＝﹣x +1（答案不唯一）．三．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）4．【解答】解：∵函数y ＝ax +a （a ≠0）的图象过点P （1，2），∴y ＝x +1，∴直线交y 轴的正半轴于点（0，1），且过点（1，2），故选：A ．5．【解答】解：∵直线y ＝2x +2和直线y =23x +2分别交x 轴于点A 和点B ． ∴A （﹣1，0），B （﹣3，0）A 、y ＝x +2与x 轴的交点为（﹣2，0）；故直线y ＝x +2与x 轴的交点在线段AB 上；B 、y =√2x +2与x 轴的交点为（−√2，0）；故直线y =√2x +2与x 轴的交点在线段AB 上；C 、y ＝4x +2与x 轴的交点为（−12，0）；故直线y ＝4x +2与x 轴的交点不在线段AB 上；D 、y =2√33x +2与x 轴的交点为（−√3，0）；故直线y =2√33x +2与x 轴的交点在线段AB 上；故选：C ．6．【解答】解：设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y ＝kx +b ， ∴{4=n +n 7=2n +n ∴{n =3n =1， ∴y ＝3x +1，将点（a ，10）代入解析式，则a ＝3；故选：C ．四．一次函数的应用（共10小题）7．【解答】解：令150t ＝240（t ﹣12），解得，t ＝32，则150t ＝150×32＝4800，∴点P 的坐标为（32，4800），故答案为：（32，4800）．8．【解答】解：（1）设函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0）， 把（1.6，0），（2.6，80）代入y ＝kx +b ，得{0=1.6n +n 80=2.6n +n ， 解得：{n =80n =−128， ∴y 关于x 的函数表达式为y ＝80x ﹣128；由图可知200﹣80＝120（千米），120÷80＝1.5（小时），1.6+1.5＝3.1（小时），∴x 的取值范围是1.6≤x ≤3.1．∴货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y 关于x 的函数表达式为y ＝80x ﹣128（1.6≤x ≤3.1）；（2）当y ＝200﹣80＝120时，120＝80x ﹣128，解得x ＝3.1，由图可知，甲的速度为801.6=50（千米/小时），货车甲正常到达B 地的时间为200÷50＝4（小时），18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时，∴1.6v ≥120，解得v ≥75．答：货车乙返回B 地的车速至少为75千米/小时．9．【解答】解：（1）C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h ．∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长＝23﹣（420÷20）＝23﹣21＝2（h ）．（2）①280÷20＝14h ，∴点A （14，280），点B （16，280），∵36÷60＝0.6（h ），23﹣0.6＝22.4，设BC 的解析式为s ＝20t +b ，把B （16，280）代入s ＝20t +b ，可得b ＝﹣40，∴s ＝20t ﹣40（16≤t ≤23），同理由D （14，0），E （22.4，420）可得DE 的解析式为s ＝50t ﹣700（14≤t ≤22.4），由题意：20t ﹣40＝50t ﹣700，解得t ＝22，∵22﹣14＝8（h ），∴货轮出发后8小时追上游轮．①相遇之前相距12km 时，20t ﹣40﹣（50t ﹣700）＝12，解得t ＝21.6．相遇之后相距12km 时，50t ﹣700﹣（20t ﹣40）＝12，解得t ＝22.4，当游轮在刚离开杭州12km 时，此时根据图象可知货轮就在杭州，游轮距离杭州12km ，所以此时两船应该也是想距12km ，即在0.6h 的时候，两船也相距12km∴0.6h 或21.6h 或22.4h 时游轮与货轮相距12km ．10．【解答】解：（1）观察图象可知：x ＝7，y ＝2.75这组数据错误．（2）设y ＝kx +b ，把x ＝1，y ＝0.75，x ＝2，y ＝1代入可得{n +n =0.752n +n =1， 解得{n =14n =12， ∴y =14x +12， 当x ＝16时，y ＝4.5，答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．11．【解答】解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低2×0.6＝1.2（℃），∴13.2﹣1.2＝12（℃），∴高度为5百米时的气温大约是12℃；（2）设T 关于h 的函数表达式为T ＝kh +b ，则：{3n +n =13.25n +n =12， 解得{n =−0.6n =15， ∴T 关于h 的函数表达式为T ＝﹣0.6h +15（h ＞0）；（3）当T ＝6时，6＝﹣0.6h +15，解得h ＝15．∴该山峰的高度大约为15百米，即1500米．12．【解答】解：（1）设3月份购进x 件T 恤衫，18000n +10=390002n ，解得，x ＝150，经检验，x ＝150是原分式方程的解，则2x ＝300，答：4月份进了这批T 恤衫300件；（2）①每件T 恤衫的进价为：39000÷300＝130（元），（180﹣130）a +（180×0.8﹣130）（150﹣a ）＝（180﹣130）a +（180×0.9﹣130）b +（180×0.7﹣130）（150﹣a ﹣b ）化简，得b =150−n 2； ①设乙店的利润为w 元，w ＝（180﹣130）a +（180×0.9﹣130）b +（180×0.7﹣130）（150﹣a ﹣b ）＝54a +36b ﹣600＝54a +36×150−n 2−600＝36a +2100， ∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量， ∴a ≤b ， 即a ≤150−n 2， 解得，a ≤50，∴当a ＝50时，w 取得最大值，此时w ＝3900，答：乙店利润的最大值是3900元．13．【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：15060−35=6千米；（2）设y ＝kx +b （k ≠0），把点（150，35），（200，10）代入，得{150n +n =35200n +n =10， ∴{n =−0.5n =110， ∴y ＝﹣0.5x +110，当x ＝180时，y ＝﹣0.5×180+110＝20，答：当150≤x ≤200时，函数表达式为y ＝﹣0.5x +110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．14．【解答】解：（1）设y 关于x 的函数解析式是y ＝kx +b ，{n =615n +n =3，解得，{n =−15n =6， 即y 关于x 的函数解析式是y =−15x +6；（2）当h ＝0时，0=−310x +6，得x ＝20，当y ＝0时，0=−15x +6，得x ＝30， ∵20＜30，∴甲先到达地面．15．【解答】解：（1）由题意得，可设函数表达式为：y ＝kx +b （k ≠0）， 把（20，0），（38，2700）代入y ＝kx +b ，得{0=20n +n 2700=38n +n ，解得{n =150n =−3000， ∴第一班车离入口处的路程y （米）与时间x （分）的函数表达为y ＝150x ﹣3000（20≤x ≤38）；（2）把y ＝1500代入y ＝150x ﹣3000，解得x ＝30，30﹣20＝10（分），∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；（3）设小聪坐上了第n 班车，则30﹣25+10（n ﹣1）≥40，解得n ≥4.5，∴小聪坐上了第5班车，等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150＝8（分），步行所需时间：1200÷（1500÷25）＝20（分），20﹣（8+5）＝7（分），∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟．16．【解答】解：（1）由图可得，甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分），乙出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米），答：甲步行的速度是80米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800米；（2）设直线OA的解析式为y＝kx，30k＝2400，得k＝80，∴直线OA的解析式为y＝80x，当x＝18时，y＝80×18＝1440，则乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分），∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟），∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米），当x＝25时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米），∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米），答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米；（3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分），当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如右图所示．五．一次函数综合题（共2小题）17．【解答】解：（1）令y＝0，则−12x+4＝0，∴x＝8，∴B（8，0），∵C（0，4），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△BOC中，BC=√82+42=4√5，又∵E为BC中点，∴OE=12BC＝2√5；（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，∵E 是BC 的中点∴M 是OC 的中点∴EM =12OB ＝4，OE =12BC ＝2√5∵∠CDN ＝∠NEM ，∠CND ＝∠MNE ∴△CDN ∽△MEN ， ∴nn nn =nn nn =1，∴CN ＝MN ＝1，∴EN =√12+42=√17，∵S △ONE =12EN •OF =12ON •EM ，∴OF =17=1217√17， 由勾股定理得：EF =√nn 2−nn 2=(2√5)2−(121717)2=1417√17，∴tan ∠EOF =nn nn =14√171712√1717=76， ∴nn =17×76=16， ∵n =−12m +4， ∴m ＝6，n ＝1，∴Q 2（6，1）；（3）①∵动点P 、Q 同时作匀速直线运动，∴s 关于t 成一次函数关系，设s ＝kt +b ，∵当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合，∴t ＝2时，CD ＝4，DQ 3＝2， ∴s ＝Q 3C =√22+42=2√5，∵Q 3（﹣4，6），Q 2（6，1），∴t ＝4时，s =√(6+4)2+(6−1)2=5√5，将{n =2n =2√5和{n =4n =5√5代入得{2n +n =2√54n +n =5√5，解得：{n =32√5n =−√5， ∴s =3√52n −√5，∵s ≥0，t ≥0，且32√5＞0， ∴s 随t 的增大而增大， 当s ≥0时，3√52n −√5≥0，即t ≥23，当t =23时，Q 3与Q 重合，∵点Q 在线段Q 2Q 3上，综上，s 关于t 的函数表达式为：s =3√52n −√5（23≤t ≤4）； ①（i ）当PQ ∥OE 时，如图2，∠QPB ＝∠EOB ＝∠OBE ， 作QH ⊥x 轴于点H ，则PH ＝BH =12PB ， Rt △ABQ 3中，AQ 3＝6，AB ＝4+8＝12，∴BQ 3=√62+122=6√5，∵BQ ＝6√5−s ＝6√5−3√52t +√5=7√5−3√52t ，∵cos ∠QBH =nn nn 3=nn nn =65=25√5，∴BH ＝14﹣3t ，∴PB ＝28﹣6t ， ∴t +28﹣6t ＝12，t =165；（ii ）当PQ ∥OF 时，如图3，过点Q 作QG ⊥AQ 3于点G ，过点P 作PH ⊥GQ 于点H ，由△Q 3QG ∽△CBO 得：Q 3G ：QG ：Q 3Q ＝1：2：√5，∵Q 3Q ＝s =3√52t −√5， ∴Q 3G =32t ﹣1，GQ ＝3t ﹣2， ∴PH ＝AG ＝AQ 3﹣Q 3G ＝6﹣（32t ﹣1）＝7−32t ，∴QH ＝QG ﹣AP ＝3t ﹣2﹣t ＝2t ﹣2，∵∠HPQ ＝∠CDN ，∴tan ∠HPQ ＝tan ∠CDN =14，∴2t ﹣2=14(7−32n )，t =3019， （iii ）由图形可知PQ 不可能与EF 平行，综上，当PQ 与△OEF 的一边平行时，AP 的长为165或3019． 18．【解答】解：（1）x =13（﹣1+7）＝2，y =13（5+7）＝4， 故点C 是点A 、B 的融合点；（2）①由题意得：x=13（t+3），y=13（2t+3），则t＝3x﹣3，则y=13（6x﹣6+3）＝2x﹣1；①当∠DHT＝90°时，如图1所示，点E（t，2t+3），则T（t，2t﹣1），则点D（3，0），由点T是点D，E的融合点得：t=n+33，2t﹣1=2n+3 3，解得：t=32，即点E（32，6）；当∠TDH＝90°时，如图2所示，则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；当∠HTD＝90°时，如图3所示，过点T作x轴的平行线交过点D与y轴平行的直线于点M，交过点E与y轴的平行线于点N，则∠MDT＝∠NTE，则tan∠MDT＝tan∠NTE，D （3，0），点E （t ，2t +3），则点T （n +33，2n +33）则MT ＝3−n +33=6−n 3，MD =2n +33，NE =2n +33−2t ﹣3=−2(2n +3)3，NT =n +33−t =3−2n 3， 由tan ∠MDT ＝tan ∠NTE得：6−n 32n +33=2(2n +3)33−2n 3， 解得：方程无解，故∠HTD 不可能为90°． 故点E （32，6）或（6，15）． 六．反比例函数的性质（共1小题）19．【解答】解：（1）∵k ＞0，2≤x ≤3，∴y 1随x 的增大而减小，y 2随x 的增大而增大，∴当x ＝2时，y 1最大值为n 2=n ，①； 当x ＝2时，y 2最小值为−n 2=a ﹣4，①； 由①，①得：a ＝2，k ＝4；（2）圆圆的说法不正确，理由如下：设m ＝m 0，且﹣1＜m 0＜0，则m 0＜0，m 0+1＞0， ∴当x ＝m 0时，p ＝y 1=n n 0＜0， 当x ＝m 0+1时，q ＝y 1=n n 0+1＞0， ∴p ＜0＜q ，∴圆圆的说法不正确．七．反比例函数系数k 的几何意义（共3小题）20．【解答】解：∵CD ＝DE ＝OE ，∴可以假设CD ＝DE ＝OE ＝a ，则P （n 3n ，3a ），Q （n 2n ，2a ），R （n n ，a ）， ∴CP =n 3n ，DQ =n 2n ，ER =n n ，∴OG ＝AG ，OF ＝2FG ，OF =23GA ， ∴S 1=23S 3＝2S 2， ∵S 1+S 3＝27，∴S 3=815，S 1=545，S 2=275， 故答案为275．21．【解答】解：连接OD ，过C 作CE ∥AB ，交x 轴于E ， ∵∠ABO ＝90°，反比例函数y =n n （x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，∴S △COE ＝S △BOD =12n ，S △ACD ＝S △OCD ＝2，∵CE ∥AB ，∴△OCE ∽△OAB ，∴n △nnnn △nnn =14， ∴4S △OCE ＝S △OAB ， ∴4×12k ＝2+2+12k ，∴k =83， 故答案为：83．22．【解答】解：连接OC ，BD ，∵将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，∴OA ＝OE ，∵点B 恰好为OE 的中点，∴OE ＝2OB ，∴OA ＝2OB ，设OB ＝BE ＝x ，则OA ＝2x ，∴AB ＝3x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝3x ，∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ，∴nn nn =nn nn =n 3n =13， ∵S △BEF ＝1，∴S △BDF ＝3，S △CDF ＝9，∴S △BCD ＝12，∴S △CDO ＝S △BDC ＝12，∴k 的值＝2S △CDO ＝24．八．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）23．【解答】解：∵k ＞0，∴函数y =n n （k ＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随x 的增大而减小， ∵﹣2＜0＜2＜3，∴b ＞c ＞0，a ＜0，∴a ＜c ＜b ．故选：C ．24．【解答】解：过点M 作MN ⊥AD ，垂足为N ，则MN ＝CD ＝3， 在Rt △FMN 中，∠MFN ＝30°，∴FN =√3MN ＝3√3，∴AN ＝MB ＝8√3−3√3=5√3，设OA ＝x ，则OB ＝x +3，∴F （x ，8√3），M （x +3，5√3），又∵点F 、M 都在反比例函数的图象上，∴8√3x ＝（x +3）×5√3，解得，x ＝5，∴F （5，8√3），∴k ＝5×8√3=40√3．故答案为：40√3．25．【解答】解：∵D （5，3），∴A （n 3，3），C （5，n 5），∴B （n 3，n 5），设直线BD 的解析式为y ＝mx +n ，把D （5，3），B （n 3，n 5）代入得{5n +n =3n 3n +n =n 5，解得{n =35n =0， ∴直线BD 的解析式为y =35x ． 故答案为y =35x ． 九．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）26．【解答】解：（1）过点A 作AC ⊥OB 于点C ，∵△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°，OC =12OB ，∵B （4，0），∴OB ＝OA ＝4，∴OC ＝2，AC ＝2√3． 把点A （2，2√3）代入y =n n ，得k ＝4√3． ∴反比例函数的解析式为y =4√3n ； （2）分两种情况讨论：①点D 是A ′B ′的中点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ． 由题意得A ′B ′＝4，∠A ′B ′E ＝60°，在Rt △DEB ′中，B ′D ＝2，DE =√3，B ′E ＝1．∴O ′E ＝3，把y =√3代入y =4√3n ，得x ＝4，∴OE ＝4，∴a ＝OO ′＝1；①如图3，点F 是A ′O ′的中点，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ． 由题意得A ′O ′＝4，∠A ′O ′B ′＝60°，在Rt △FO ′H 中，FH =√3，O ′H ＝1．把y =√3代入y =4√3n，得x ＝4， ∴OH ＝4，∴a ＝OO ′＝3，综上所述，a 的值为1或3．一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）27．【解答】解：如图，连接AC ，OE ，OC ，OB ，延长AB 交DC 的延长线于T ，设AB 交x 轴于K ．由题意A ，D 关于原点对称，∴A ，D 的纵坐标的绝对值相等，∵AE ∥CD ，∴E ，C 的纵坐标的绝对值相等，∵E ，C 在反比例函数y =n n的图象上， ∴E ，C 关于原点对称，∴E ，O ，C 共线，∵OE ＝OC ，OA ＝OD ，∴四边形ACDE 是平行四边形，∴S △ADE ＝S △ADC ＝S 五边形ABCDE ﹣S 四边形ABCD ＝56﹣32＝24，∴S △AOE ＝S △DEO ＝12，∴12a −12b ＝12， ∴a ﹣b ＝24，∵S △AOC ＝S △AOB ＝12，∴BC ∥AD ，∴nn nn =nn nn ，∵S △ACB ＝32﹣24＝8，∴S △ADC ：S △ABC ＝24：8＝3：1，∴BC ：AD ＝1：3，∴TB ：TA ＝1：3，设BT ＝m ，则AT ＝3m ，AK ＝TK ＝1.5m ，BK ＝0.5m ，∴AK ：BK ＝3：1，∴n △nnn n △nnn =12n −12n =3， ∴n n =−3，即n n =−13， 故答案为24，−13． 28．【解答】解：连接OE ，CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ， ∵过原点的直线与反比例函数y =n n （k ＞0）的图象交于A ，B 两点， ∴A 与B 关于原点对称，∴O 是AB 的中点，∵BE ⊥AE ，∴OE ＝OA ，∴∠OAE ＝∠AEO ，∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAE ＝∠AEO ，∴AD ∥OE ，∴S △ACE ＝S △AOC ，∵AC ＝3DC ，△ADE 的面积为8，∴S △ACE ＝S △AOC ＝12，设点A （m ，n n ），∵AC ＝3DC ，DH ∥AF ，∴3DH ＝AF ，∴D （3m ，n 3n ），∵CH ∥GD ，AG ∥DH ，∴△DHC ∽△AGD ，∴S △HDC =14S △ADG ，∵S △AOC ＝S △AOF +S梯形AFHD +S △HDC =12k +12×（DH +AF ）×FH +S △HDC =12k +12×4n 3n ×2m +12×14×2n 3n ×2n =12k +4n 3+n 6=12，∴2k ＝12，∴k ＝6；故答案为6；（另解）连结OE ，由题意可知OE ∥AC ，∴S △OAD ＝S △EAD ＝8，易知△OAD 的面积＝梯形AFHD 的面积，设A 的纵坐标为3a ，则D 的纵坐标为a ，∴（3a +a ）（n n −n 3n ）＝16，解得k ＝6．29．【解答】解：令x ＝0，得y =12x ﹣1＝﹣1， ∴B （0，﹣1），∴OB ＝1，把y =12x ﹣1代入y 2=2n n （x ＜0）中得，12x ﹣1=2n n （x ＜0）， 解得，x ＝1−√4n +1，∴n n =1−√4n +1， ∴n △nnn =12nn ⋅|n n |=12√4n +1−12， ∵CE ⊥x 轴， ∴n △nnn =12n ， ∵△COE 的面积与△DOB 的面积相等，∴12√4n +1−12=12n ， ∴k ＝2，或k ＝0（舍去）．经检验，k ＝2是原方程的解．故答案为：2．一十一．反比例函数的应用（共3小题）30．【解答】解：由表格中数据可得：xy ＝100，故y 关于x 的函数表达式为：y =100n ． 故选：A ．31．【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为：y =n n （k ≠0，x ＞0），把（3，400）代入y =n n 得，400=n 3，解得：k ＝1200，∴y 与x 之间的函数关系式为y =1200n （x ＞0）；（2）把x ＝6，8，10分别代入y =1200n 得，y 1=12006=200，y 2=12008=150，y 3=120010=120， ∵y 1﹣y 2＝200﹣150＝50，y 2﹣y 3＝150﹣120＝30，∵50＞30，∴y 1﹣y 2＞y 2﹣y 3，故答案为：＞．32．【解答】解：（1）∵vt ＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴v 关于t 的函数表达式为：v =480n ，（t ≥4）．（2）①8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时将t＝6代入v=480n得v＝80；将t=245代入v=480n得v＝100．∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．①方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：8点至11点30分时间长为72小时，将t=72代入v=480n得v=9607＞120千米/小时，超速了．故方方不能在当天11点30分前到达B地．。

2019年浙江省中考数学第三单元二次函数的图象与性质(一)

2019年浙江省中考数学第三单元二次函数的图象与性质(一)

课时训练(十三) 二次函数的图象与性质(一)|夯实基础|1.抛物线y=2x2,y=-2x2,y=x2的共同性质是()A.开口向上B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x的增大而增大2.设二次函数y=(x-3)2-4的图象的对称轴为直线l.若点M在直线l上,则点M的坐标可能是()A.(1,0)B.(3,0)C.(-3,0)D.(0,-4)3.[2018·南宁] 将抛物线y=x2-6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为()A.y=(x-8)2+5B.y=(x-4)2+5C.y=(x-8)2+3D.y=(x-4)2+34.[2017·宁波] 抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.[2018·潍坊] 已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或66.[2017·广州] 当x=时,二次函数y=x2-2x+6有最小值.7.[2018·黔三州] 已知二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是.8.已知常数a(a是整数)满足下面两个条件:①二次函数y1=-(x+4)(x-5a-7)的图象与x轴的两个交点位于坐标原点的两侧;②一次函数y2=ax+2的图象在一、二、四象限.(1)求整数a的值;(2)在所给直角坐标系中分别画出y1,y2的图象,并求出当y1<y2时,自变量x的取值范围.图K13-19.[2018·宜宾节选] 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图K13-2,直线y=x 与抛物线交于A,B两点,直线l为y=-1.(1)求抛物线的解析式;(2)在l上是否存在一点P,使P A+PB取得最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图K13-210.[2017·温州] 如图K13-3所示,过抛物线y=x2-2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为-2.(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D.①连结BD,求BD的最小值;②当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数表达式.图K13-3|拓展提升|11.[2017·杭州] 设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴, ()A.若m>1,则(m-1)a+b>0B.若m>1,则(m-1)a+b<0C.若m<1,则(m-1)a+b>0D.若m<1,则(m-1)a+b<012.[2018·湖州] 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是.图13-413.[2018·金华、丽水] 如图K13-5,抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.(1)求抛物线的函数表达式.(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.图K13-5参考答案1.B2.B3.D4.A[解析] 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-,-),∵-=--=1>0,-=-=m2+1>0,故此抛物线的顶点在第一象限.故选A.5.B[解析] 抛物线y=-(x-h)2,当x=h时,y有最大值0,而当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h<2或h>5.当h<2时,若2≤x≤5,则y随x的增大而减小,故当x=2时,y有最大值,此时-(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(舍去),此时h=1;当h>5时,若2≤x≤5,则y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),此时h=6.综上可知h=1或6.故选择B.6.15[解析] ∵y=x2-2x+6=(x-1)2+5,∴当x=1时,y最小值=5.7.(3,0)[解析] 由题表可知,抛物线上的点(0,3),(2,3)是对称点,所以对称轴是直线x=1,因为函数图象与x轴的一个交点是(-1,0),所以(3,0)是抛物线与x轴的另一个交点.8.解:(1)由题意可知解得-<a<0,∵a为整数,∴a=-1.(2)y1=-(x+4)(x-2),y2=-x+2,画出图象如图所示.当x<-1或x>2时,y1<y2.9.解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,0),设抛物线的解析式为y=a(x-2)2.∵该抛物线经过点(4,1),∴1=4a,解得a=,∴抛物线的解析式为y=(x-2)2=x2-x+1.(2)存在.根据题意,得:-解得或∴点A的坐标为(1,),点B的坐标为(4,1).作点B关于直线l的对称点B',连结AB'交直线l于点P,此时P A+PB取得最小值(如图所示).∵点B(4,1),直线l为y=-1,∴点B'的坐标为(4,-3).设直线AB'的解析式为y=kx+b(k≠0),将A(1,),B'(4,-3)的坐标代入y=kx+b,得--解得∴直线AB'的解析式为y=-x+,当y=-1时,有-x+=-1,解得x=,∴点P的坐标为(,-1).10.[解析] (1)知道抛物线的解析式,求对称轴:直线x=-=4,用待定系数法求出A(-2,5),B(10,5).(2)①利用三角形三边关系可知当且仅当O,D,B三点共线时,BD取得最小值;②根据轴对称和勾股定理求得D,P两点坐标,利用待定系数法求出直线PD的函数表达式.解:(1)由抛物线的解析式y=x2-2x,得对称轴为直线x=-=4.由题意知,点A的横坐标为-2,代入解析式求得y=5,当x2-2x=5时,x1=10,x2=-2,∴A(-2,5),B(10,5).(2)①连结OD,OB,利用三角形三边关系可得BD≥OB-OD,∴当且仅当O,D,B三点共线时,BD取得最小值.由题意知OC=OD=5,OB==5,∴BD最小值为:OB-OD=5-5.②设对称轴与直线AB交于点M,与x轴交于点N,由题得点D在x轴上方的对称轴上,则点P是线段CD的垂直平分线与AB的交点.连结OD.在Rt△ODN中,DN=-=3,∴D(4,3),DM=2.设P(x,5),在Rt△PMD中,(4-x)2+22=x2,得x=,∴P,5.易得直线PD的函数表达式为y=-x+.11.C[解析] ∵直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴,∴x=-=1,即2a+b=0,∵a<0,∴2a<0,b>0,当m<1时,(m-1)a>0,则(m-1)a+b>0.故选C.12.-2[解析] 由抛物线y=ax2+bx可知,点C的横坐标为-,纵坐标为-.∵四边形ABOC是正方形,∴-=.∴b=-2.故填-2.13.解:(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10).∵当t=2时,AD=4,∴点D的坐标是(2,4).∴4=a×2×(2-10),解得a=-.∴抛物线的函数表达式为y=-x2+x.(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,∴AB=10-2t.当x=t时,y=-t2+t.∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2--=-t2+t+20=-(t-1)2+.∵-<0,0<1<10,∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值是.(3)连结DB,取DB的中点,记为P,则P为矩形ABCD的中心,由矩形的对称性知,平分矩形ABCD面积的直线必过点P.连结OD,取OD中点Q,连结PQ.当t=2时,点A,B,C,D的坐标分别为(2,0),(8,0),(8,4),(2,4).结合图象知,当点G,H分别落在线段AB,DC上且直线GH过点P时,直线GH平分矩形ABCD的面积.∵AB∥CD,∴线段OD平移后得到线段GH,线段OD的中点Q平移后的对应点是P.∴抛物线的平移距离=OG=DH=QP.在△OBD中,PQ是中位线,∴PQ=OB=4.∴抛物线向右平移的距离是4.。

5：二次函数(原卷)

5：二次函数(原卷)

浙江省2017—2019年中考数学真题汇编专题5：二次函数姓名：__________班级：__________考号：__________一、、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.（2019年浙江省温州市）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣22.（2019年浙江省绍兴市）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位3.（2019年浙江省嘉兴市）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上，②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2，④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④4.（2019年浙江省湖州市）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B． C．D．5.（2019年浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣16.（2019年浙江省衢州市）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）7.（2018年浙江省杭州市）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8.（2018年浙江省杭州市临安市）抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）9.（2017年浙江省杭州市）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜010.（2017年浙江省义乌市）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y=x2+8x+14 B．y=x2﹣8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2﹣4x+3二、、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）11.（2019年浙江省台州市）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC ＝90°，BD＝4，且＝，则m+n的最大值为．12.（2019年浙江省杭州市）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式．13.（2018年浙江省绍兴市）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．14.（2017年浙江省温州市）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm．15.（2016年浙江省衢州市）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为m2．16.（2016年浙江省舟山市）把抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是．三、、解答题（本大题共8小题，共66分）17.（2019年浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合，若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．18.（2019年浙江省绍兴市）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，说明理由．19.（2019年浙江省宁波市）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值，②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．20.（2019年浙江省嘉兴市）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数p＝t﹣刻画，当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣（t﹣h）2+0.4刻画．（1）求h的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系：生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35提前上市的天数m（天）0 5 10 15①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式，②请用含t的代数式表示m．（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．21.（2019年浙江省湖州市）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．（1）求c的取值范围，（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．22.（2019年浙江省杭州市）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝0，乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．23.（2019年浙江省衢州市）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：x（元）…190 200 210 220 …y（间）…65 60 55 50 …（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？24.（2019年浙江省台州市）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式，（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式，（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．。

2017年中考数学真题分类汇编 二次函数

2017年中考数学真题分类汇编 二次函数

二次函数一、选择题1.（2017·浙江金华）对于二次函数是图象与性质，下列说法正确的是（ ）A ．对称轴是直线，最小值是B ．对称轴是直线，最大值是C. 对称轴是直线，最小值是D ．对称轴是直线，最大值是【答案】B.【解析】已知，可得抛物线开口向下，顶点坐标为（1，2），对称轴为1，即可得当1时，y 有最大值2，故选B. 2.（2017·广西贵港）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．（x ﹣1）2+1B ．（1）2+1B ．C ．2（x ﹣1）2+1D ．2（1）2+1【答案】C【解答】由图象，得2x 2﹣2，由平移规律，得2（x ﹣1）2+1，故选：C ．【考点】二次函数图象与几何变换． ()212y x =--+1x =21x =21x =-21x =-2()212y x =--+3.（2017·贵州黔东南州）如图，抛物线2（a≠0）的对称轴为直线﹣1，给出下列结论：①b2=4；②＞0；③a＞c；④4a﹣2＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；②由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线对称轴位置确定b＞0，由抛物线与y轴交点位置得到c＞0，则可作判断；③利用﹣1时a﹣＜0，然后把2a代入可判断；④利用抛物线的对称性得到﹣2和0时的函数值相等，即﹣2时，y＞0，则可进行判断．【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，∴△2﹣4＞0，所以①错误；②∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a、b同号，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴＞0，所以②正确；③∵﹣1时，y＜0，即a﹣＜0，∵对称轴为直线﹣1，∴﹣=﹣1，∴2a ，∴a ﹣2＜0，即a ＞c ，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线﹣1，∴﹣2和0时的函数值相等，即﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2＞0，所以④正确．所以本题正确的有：②③④，三个，故选C ．4.（2017·天津）已知抛物线与轴相交于点（点在点左侧），顶点为.平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）A ．B ．C. D ．【答案】A.5.(2017·江苏徐州）若函数2﹣2的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是（ ）A ．b ＜1且b≠0B ．b ＞1C ．0＜b ＜1D ．b ＜1【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x 轴有2个交点，342+-=x x y x B A ,A B M M 'M x B 'B y 122++=x x y 122-+=x x y 122+-=x x y 122--=x xy与y轴有一个交点．【解答】解：∵函数2﹣2的图象与坐标轴有三个交点，∴，解得b＜1且b≠0．故选：A．6.（2017·山东烟台）二次函数2（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线1，下列结论：①＜0；②b2＞4；③2c＜0；④3＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到﹣2a，加上﹣1时，y＞0，即a﹣＞0，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线﹣=1，∴﹣2a＜0，∴＜0，所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△2﹣4＞0，所以②正确； ∵1时，y ＜0，∴＜0，而c ＜0，∴2c ＜0，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线﹣=1，∴﹣2a ，而﹣1时，y ＞0，即a ﹣＞0，∴2＞0，所以④错误．故选C ．7.（2017·四川成都）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，下列说法正确的是 （ ）A ． 20,40abc b ac <->B ．20,40abc b ac >-> C. 20,40abc b ac <-< D ．20,40abc b ac >-< 【答案】B【解析】试题分析：根据二次函数的开口可得a ＞0，由对称轴2ba ＞0，可知b ＜0，然后根据与y 轴的交点可得c ＜0，因此得到＞0，然后根据抛物线与x 轴有两个交点可得24b ac -＞0.故选：B.考点：二次函数的图像与性质8.（2017·四川泸州）已知抛物线214y x =+1具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点(0,2)F的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为(3,3)，P是抛物线2114y x=+上一动点，则PMF∆周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C.【解析】试题分析：如图，过点M作垂直于x轴，交x轴与点N，交抛物线于点P，因抛物线214y x=+1上任意一点到定点(0,2)F的距离与到x轴的距离相等，所以，所以此时PMF∆周长的最小，因点M的坐标为(3,3)，可得3，又因(0,2)F，根据勾股定理可求得2，即可得PMF∆周长的最小值为2+3=5,故选C.二、填空题1.（2017·山东青岛）若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是°【答案】m＞9考点:二次函数与根的判别式2.（2017·辽宁沈阳）某商场购进一批单价为20元的日用商品.如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是元时，才能在半月内获得最大利润.【答案】35.考点：二次函数的应用.三、解答题1.（2017·安徽）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x （元/千克）50 60 70销售量y （千克） 100 80 60 （1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W （元），求W 与x 之间的函数表达式（利润=收入-成本）；（3）试说明（2）中总利润W 随售价x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）2200y x =-+.（2）222808000W x x =-+-；（3）当4070x ?时，W 随x 的增大而增大，当7080x <?时，W 随x 的增大而减小，当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元.【解析】试题分析：（1）用待定系数法求一次函数的表达式；（2）利用利润的定义，求W 与x 之间的函数表达式；（3）利用二次函数的性质求极值.考点： 二次函数的实际应用.2.（2017·河北）某厂按用户的月需求量x (件)完成一种产品的生产，其中0x >．每件的售价为18万元，每件的成本y (万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x (件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n (n 为整数，112n ≤≤)符合关系式2229(3)x n kn k =-++(k 为常数)，且得到了表中的数据． 月份n (月)1 2 成本y (万元/件)11 12 需求量x (件/月) 120 100(1)求y 与x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m 个月和第(1)m +个月的利润相差最大，求m ．【答案】(1)6006y x =+，不可能；(2)不存在；(3)1或11.【解析】(2)将1，120代入()22293x n kn k =-++，得 120=2-2927.解得13.将2，100代入2226144x nn =-+也符合. ∴13.由题意，得18=6+600x ，求得50. ∴50=2226144nn -+，即213470n n -+=. ∵()21341470∆=--⨯⨯<，∴方程无实数根. ∴不存在.考点：待定系数法，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，二次函数的应用3.（2017·北京）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点. （1）求直线的表达式；（2）垂直于轴的直线与抛物线交于点，与直线交于点，若，结合函数的图象，求的取值范围.【答案】（1）3;(2)7<<8. 【解析】试题分析：（1）先求A 、B 、C 的坐标，用待定系数法即可求解；(2)由于垂直于y 轴的直线l 与抛物线要保证，则P 、Q 两点必位于x 轴下方,作出二次函数与一次函数图象，找出两条临界直线，为x 轴和过顶点的直线，继而求解.xOy 243y x x =-+x A B 、A B y C BC y l ()()1122,,,P x y Q x y BC ()33,N x y 123x x x <<123x x x ++123x x x ++243y x x =-+123x x x <<(2).由，∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线2, ∵ ,∴ 4.令134. ∵ ，∴3<<4, 即7<<8, ∴ 的取值范围为：7<<8. 考点：二次函数与x 轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性.4.（2017·浙江金华）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点上正方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式．已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．2243(2)1y x x x =-+=--12y y =1x 2x 123x x x <<3x 123x x x ++123x x x ++123x x x ++O 1m P ()y m ()x m ()24y a x h =-+O 5m 1.55m（1）当时，①求的值．②通过计算判断此球能否过网． （2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值． 【答案】（1）①;②此球能过网，理由见解析；（2） . 【解析】试题分析：（1）①利用，（0，1）代入解析式即可求出h 的值；②利用5代入解析式求出y ，再与1.55比较大小即可判断是否过网；（2）将点（0，1），（7，）代入解析式得到一个二元一次方程组求解即可得出a 的值.（2）解：把（0，1），（7， )代入得：;124a =-h O 7m 125m Q a 5315-124-1251252(4)a x h -+1611295a h a h +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：;∴ .5.（2017·广西贵港）如图，抛物线（x ﹣1）（x ﹣3）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，其顶点为D ． （1）写出C ，D 两点的坐标（用含a 的式子表示）； （2）设S △：S △，求k 的值；（3）当△是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）令0可求得C 点坐标，化为顶点式可求得D 点坐标； （2）令0可求得A 、B 的坐标，结合D 点坐标可求得△的面积，设直线交x 轴于点E ，由C 、D 坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式，则可求得E 点坐标，从而可表示出△的面积，可求得k 的值； （3）由B 、C 、D 的坐标，可表示出2、2和2，分∠90°和∠90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a 的方程，可求得a 的值，则可求得抛物线的解析式． 【解答】解：15215a h⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩15-（1）在（x﹣1）（x﹣3），令0可得3a，∴C（0，3a），∵（x﹣1）（x﹣3）（x2﹣43）（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）在（x﹣1）（x﹣3）中，令0可解得1或3，∴A（1，0），B（3，0），∴3﹣1=2，∴S△×2×，如图，设直线交x轴于点E，设直线解析式为，把C、D的坐标代入可得，解得，∴直线解析式为﹣23a，令0可解得，∴E（，0），∴3﹣=∴S△△△××（3）=3a，∴S△：S△（3a）：3，∴3；（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴2=32+（3a）2=9+9a2，2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，2=（3﹣2）22=12，∵∠＜∠＜90°，∴△为直角三角形时，只能有∠90°或∠90°两种情况，①当∠90°时，则有222，即9+9a2+12=4+16a2，解得﹣1（舍去）或1，此时抛物线解析式为2﹣43；②当∠90°时，则有222，即4+16a2+12=9+9a2，解得﹣（舍去）或，此时抛物线解析式为2﹣2；综上可知当△是直角三角形时，抛物线的解析式为2﹣43或2﹣2．6.（2017·甘肃）如图，已知二次函数24的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数24的表达式；（2）连接，，若点N在线段上运动（不与点B，C重合），过点N 作∥，交于点M，当△面积最大时，求N点的坐标；（3）连接，在（2）的结论下，求与的数量关系．【考点】：二次函数综合题．【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设N（n，0），则可用n表示出△的面积，由∥，可求得，则可用n表示出△的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；（3）由N点坐标可求得M点为的中点，由直角三角形的性质可得，在△和△中，可分别求得和的长，可求得与的关系，从而可得到和的数量关系．【解答】解：（1）将点B，点C的坐标分别代入24可得，解得，∴二次函数的表达式为﹣x24；（2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则2，8﹣n．∵B（﹣2，0），C（8，0），∴10，在﹣x24中令0，可解得4，∴点A（0，4），4，∴S△•（2）×4=2（2），∵∥，∴，∴，∴，∵﹣＜0，∴当3时，即N （3，0）时，△的面积最大；（3）当N （3，0）时，N 为边中点， ∵∥，∴M 为边中点， ∴， ∵2，4，∴， ∴．7.（2017·河南）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M （m ，0）为x 轴上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线和抛物线分别交于点P 、N ，23y x c =-+x (3,0)A y B 243y x bx c =-++AB①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值. 【答案】（1）B （0，2），；（2）①点M 的坐标为（，0）或M （，0）；②1或或. 试题解析：（1）直线与轴交于点， ∴，解得2 ∴B （0，2），∵抛物线经过点， ∴，∴∴抛物线的解析式为； M OA B P N APM ∆M M x M P N M P N M P N m 2410233y x x =-++1185214-1223y x c =-+x (3,0)A 2303c -⨯+=243y x bx c =-++(3,0)A 2433203b -⨯++=1032410233y x x =-++（2）∵轴，M （m ，0），∴N( ) ①有（1）知直线的解析式为，3，2 ∵在△中和△中，∠∠, ∠90°，若使△中和△相似，则必须∠90°或∠ =90°， 分两种情况讨论如下：（I ）当∠90°时，过点N 作轴于点C ， 则∠∠90°，，∵∠90°，∴∠∠90°， ∴∠∠， ∴△∽ △∴ ,即 ，解得0（舍去）或∴M （，0）；MN x ⊥2410,233m m m -++223y x =-+y ⊥22410410223333m m m m -++-=-+NC CB OB OA =24103323m m m -+=118118考点：二次函数综合题.8.（2017·湖北荆州）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p （元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？[来源**]（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．【考点】：二次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）求出2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设解析式为，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴﹣2200（1≤x≤80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则（p﹣6）y，①当1≤t≤40时，（16﹣6）（﹣2200）=﹣（t﹣30）2+2450，∴当30时，w最大=2450；②当41≤t≤80时，（﹣46﹣6）（﹣2200）=（t﹣90）2﹣100，∴当41时，w最大=2301，[来源]∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．（3）由（2）得：当1≤t≤40时，﹣（t﹣30）2+2450，令2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函数﹣（t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，而当41≤t≤80时，w 最大=2301＜2400， ∴t 的取值范围是20≤t≤40， ∴共有21天符合条件．（4）设日销售利润为w ，根据题意，得：（16﹣6﹣m ）（﹣2200）=﹣t 2+（30+2m ）2000﹣200m ， 其函数图象的对称轴为230， ∵w 随t 的增大而增大，且1≤t≤40， ∴由二次函数的图象及其性质可知230≥40， 解得：m≥5， 又m ＜7， ∴5≤m ＜7．9.（2017·江苏南京）已知函数（为常数） （1）该函数的图像与轴公共点的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.1或2（2）求证：不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数()21y x m x m =-+-+m x m ()21y x =+的图像上.（3）当时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围. 【答案】（1）D （2）证明见解析（3）试题解析：（1）.（2）， 所以该函数的图像的顶点坐标为. 把代入，得. 因此，不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上.（3）设函数.当时，有最小值0.当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.又当时，；当时，. 因此，当时，该函数的的图像的顶点纵坐标的取值范围是.23m -≤≤04z ≤≤D ()()22211124m m y x m x m x ⎛⎫ ⎪⎝+-=-+-+=--+⎭()211,24m m ⎛⎫⎝+ -⎪⎪⎭x =12m -()21y x =+()2211124m m y ⎛⎫ ⎪⎭=⎝+-=+m ()21y x =+z =()214m +1m =-z 1m <-z m 1m >-z m 2m =-()221144z -+==3m =()23144z +==23m -≤≤04z ≤≤考点：二次函数的图像与性质10.（2017·湖南湘潭）已知抛物线的解析式为21520y x bx =-++.（1）当自变量2x ≥时，函数值y 随x 的增大而减少，求b 的取值范围；（2）如图，若抛物线的图象经过点(2,5)A ，与x 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于B . ①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P ，使得PAB ABC ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)∵自变量2x ≥时，函数值y 随x 的增大而减少,∴02≥-a b≥0（2）①把(2,5)A 代入21520y x bx =-++，得101=b②作线段的垂直平分线，交抛物线于两点，此时PAB ABC ∠=∠ 【解】（1）∵自变量2x ≥时，函数值y 随x 的增大而减少 ∴对称轴在直线2的右边∴02≥-a b 02012≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-bb≥0(2)①把(2,5)A 代入21520y x bx =-++，得101=b∴51012012++-=x x y②存在作线段的垂直平分线，与抛物线交于两点，此时PAB ABC ∠=∠ 抛物线51012012++-=x x y 的对称轴是直线1，则B （1，0）∵(2,5)A∴直线表达式55，E(1.5,2.5)∴直线21P P 表达式51-设直线21P P 表达式bx y +-=51把E(1.5,2.5)代入表达式得，2.8直线21P P 表达式8.251+-=x y由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=51012018.2512x x y x y解得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=55351153311y x ，⎪⎩⎪⎨⎧+=-=55351153311y x∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+553511,5331P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-553511,5332P考点：二次函数11.（2017·辽宁沈阳） 如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线23383123y x x =--+与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连接AB ，点,M N 分别是,OA AB 的中点.Rt CDE Rt ABO ∆≅∆，且CDE ∆始终保持边ED 经过点M ，边CD 经过点N ，边DE 与y 轴交于点H ，边CD 与y 轴交于点G .（1）填空，OA 的长是 ，ABO ∠的度数是 度 （2）如图2，当//DE AB ，连接HN ①求证：四边形AMHN 是平行四边形；②判断点D 是否在抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图3，当边CD 经过点O 时（此时点O 与点G 重合），过点D 作//DO OB ，交AB 延长线上于点O ，延长ED 到点K ，使DK DN =，过点K作//KI OB ，在KI 上取一点P ，使得45PDK ∠=︒（若,P O 在直线ED 的同侧），连接PO ，请直接写出的PO 长.【答案】(1)8，30；（2）①详见解析；②点D在该抛物线的对称轴上，理由详见解析；（3）123.【解析】试题分析：（1）根据抛物线的解析式23383123y x x=--+求得点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，83），即可得8,根据锐角三角函数的定义即可求得ABO∠=30°；（2）①由//DE AB，根据平行线分线段成比例定理可得OM OHAM BH=,又因,可得,再由，根据三角形的中位线定理可得//HN AM，即可判定四边形是平行四边形；②点D在该抛物线的对称轴上，如图，过点D作⊥轴于点R，由//HN AO可得∠∠90°，由//DE AB，可得∠∠30°，又因Rt CDE Rt ABO∆≅∆，根据全等三角形的性质可得∠∠30°，即可得∠∠，所以124，在△中，121422⨯=,即可判定点D的横坐标为-2.又因抛物线的对称轴为直线2x=-，所以点D在该抛物线的对称轴上；试题解析：(1)8，30；（2）①证明：∵//DE AB，∴OM OH AM BH=,又∵,∴,又∵∴//HN AM∴四边形是平行四边形②点D在该抛物线的对称轴上，理由如下：如图，过点D作⊥轴于点R，∵//HN AO∴∠∠90°，∵//DE AB，∴∠∠30°，又∵Rt CDE Rt ABO∆≅∆∴∠∠30°，∴∠∠30°， ∴∠2∠60°，∴∠90°-∠90°-60°=30°， ∴∠∠，∴124在△中，121422⨯=,∴点D 的横坐标为-2.又因抛物线的对称轴为直线332232()12bx a-=-==-⨯-，∴点D 在该抛物线的对称轴上. (3)123 .考点：二次函数综合题. 12.（2017·山西）综合与探究 如图，抛物线23233393y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接、．点P 沿以每秒1个单位长度的速度由点A 向点C 运动，同时，点Q 沿以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接，过点Q 作⊥x 轴，与抛物线交于点D ，与交于点E ．连接，与交于点F ．设点P 的运动时间为t 秒（0t >）．（1）求直线的函数表达式．（2）①直接写出P 、D 两点的坐标（用含t 的代数式表示，结果需化简）．②在点P 、Q 运动的过程中，当时，求t 的值．（3）试探究在点P 、Q 运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F 为的中点．若存在，请直接写出此时t 的值与点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3333y x =-+；（2）①P （132t -，32t ），D （92t -，2438393t t -+ ）；②154；（3）3，F （34，1134）．（3）由中点坐标公式和F 在直线上得到2690t t -+=，解得3．把3代入得到F 的坐标． 试题解析：（1）由0，得232333093x x -++=，解得：13x =-，29x =，∴点A 的坐标为（-3，0），点B 的坐标为（9，0）．由0，得33y =，∴点C 的坐标为（0，33 ）．（2）①过点P 作⊥x 轴于点G ．∵A （-3，0），B （9，0），C （0，33 ）∴3，9，33，∴∠3333CO AO == ，∴∠60°，∴∠30°，∵，∴12t ，32t ，∴3-12t ，∴P （132t -，32t ）．∵92t -，∴D 的横坐标为92t -，∵D 在抛物线23233393y x x =-++上，∴D 的纵坐标为2323(92)(92)3393y t t =--+-+=2438393t t -+，∴D D （92t -，2438393t t -+ ）．综上所述：P （132t -，32t ），D （92t -，2438393t t -+ ）；②过点P 作⊥x 轴于点G ，⊥于点H ．∵⊥x 轴，∴四边形是矩形，∴．∵，⊥，∴22．∵P 、D 两点的坐标分别为P （132t -，32t ），D （92t -，2438393t t -+ ），∴2438393t t -+=322t ⨯，解得：10t =（舍去），2154t =，∴当时，t 的值为154．考点：二次函数综合题；动点型；存在型；压轴题．13.（2017·天津）已知抛物线（是常数）经过点.32-+=bx x y b )0,1(-A（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P(m ，t)为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为. ①当点落在该抛物线上时，求的值；②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值. 【答案】（1），顶点的坐标为（1，-4）；（2）；（3）. 试题解析：(1)∵抛物线经过点， ∴0=13，解得 2.∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为（1，-4）.(2)①由点P(m ，t)在抛物线上，有. ∵关于原点的对称点为，有P’（，）. ∴，即 ∴ 解得P 'P 'P m 'P 2'A P m 223y x x =--123,3m m ==-2142m +=32-+=bx x y )0,1(-A 223y x x =--2223(1)4y x x x =--=--223y x x =--223t m m =--P 'P 2()2()3t m m -=----223t m m =--+222323m m m m --=--+123,3m m ==-则当点A 和H 不重合时，在△P’中， 当点A 和H 重合时0, ，符合上式. ∴，即 记，则， ∴当时，y’取得最小值.把代入，得 解得 由m>0，可知不符合题意 ∴ 14.（2017·山东烟台）如图1，抛物线22与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，4，矩形的边1，延长交抛物线于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线于点G ，作⊥，垂足为H ．设的长为l ，点P的横坐22222',(1)214P H t AH m m m t ==-+=-+=+222''P A P H AH =+22''P A P H =222''P A P H AH =+22'4(40)P A t t t =++-≤≤2'4(40)y t t t =++-≤≤2115'()24y t =++1212223t m m =--21232m m -=--12214214,22m m -+==2142m -=2142m +=标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】：二次函数综合题．【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线解析式，可知∠45°，用m 可表示出的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分为边和为对角线，当为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△≌△，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当为对角线时，设的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．【解答】解：（1）∵矩形的边1，∴1，∵4，∴3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为﹣x2﹣2；（2）在﹣x2﹣2中，令2可得2=﹣x2﹣2，解得0或﹣2，∴E（﹣2，2），∴直线解析式为﹣x，由题意可得P（m，﹣m2﹣2），∵∥y轴，∴G（m，﹣m），∵P在直线的上方，∴﹣m2﹣2﹣（﹣m）=﹣m2﹣2=﹣（）2+，∵直线解析式为﹣x，∴∠∠45°，∴[﹣（）2+]=﹣（）2+，∴当﹣时，l有最大值，最大值为；（3）①当为平行四边形的边时，则有∥，且，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设交对称轴于点L，则∠∠∠，在△和△中∴△≌△（），∴3，∴点M到对称轴的距离为3，又﹣x2﹣2，∴抛物线对称轴为﹣1，设M点坐标为（x，y），则13，解得2或﹣4，当2时，﹣，当﹣4时，，∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；②当为对角线时，设的中点为K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为﹣1，设M 点横坐标为x ，∴（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得﹣2，此时2， ∴M （﹣2，2）；综上可知点M 的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．15.（2017·四川泸州）如图，已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过)2,0(),0,4(),0,1(C B A -三点. （1）求该二次函数的解析式；（2）点D 是该二次函数图象上的一点，且满足CAO DBA ∠=∠(O 是坐标原点)，求点D 的坐标；（3）点P 是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交y BC ,轴与点,,F E 若CEF PEB ∆∆,的面积分别为,,21S S 求21S S -的最大值.【答案】（1）223212++-=x x y ；（2）满足条件的点D 有：),2,3(1D )18,5(2--D ；（3）当35=t 时，有最大值，最大值为：625.【解析】21S S -试题解析：（1）由题意得：设抛物线的解析式为：)4)(1(-+=x x a y ； 因为抛物线图像过点)2,0(C ,,24=-∴a 解得21-=a所以抛物线的解析式为：)4)(1(21-+-=x x y 即：223212++-=x x y(2)设BD 直线与y 轴的交点为),0(t M8,24;2tan tan ;,±==∴=∠=∠∴∠=∠∴∠=∠t t CAO MBA CAO MBA CAO DBA 即：Θ当8=t 时，直线BD 解析式为：82+-=x y⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=23,04,223218222112y x y x x x y x y 解得：联立所以，点)2,3(D当8-=t 时，直线BD 解析式为：82-=x y⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧++-=-=185,04,223218222112y x y x x x y x y 解得：联立所以，点)18,5(--D综上：满足条件的点D 有：),2,3(1D )18,5(2--D（3）：过点P 作y 轴交BC 直线于点H ，设)22321,(2++-y t t P直线的解析式为221+-=x y 故：)221,(+-t t H;2212t t y y PH H p +-=-=∴直线的解析式为：;2120),1)(221(t y x x t y -==++-=得：取 故：;21)212(2),212,0(t t CF t F =--=- ;5,221)1)(22(t t x x y x t y E -=⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=解之得：联立)55)(221(21))((2121t t t t x x y y S E B H P --+-=--=∴； t t t S -⋅⋅=52212 t t t t t t t S S ----+-=-∴5221)55)(221(21221即：;625)35(235232221+--=+-=-t t t S S 所以，当35=t 时，有最大值，最大值为：625.21S S -。

2019年中考数学二次函数真题汇编试卷(附详细答案)

2019年中考数学二次函数真题汇编试卷(附详细答案)

2019年中考数学二次函数真题汇编试卷(名师全国选择压轴真题+详细解析答案，值得下载练习)1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a ＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣23．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，（a＞b），x1、x2是此方程的两个实数根，且x1＜x2．现给出四个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2；④x1＜x2＜b＜a其中正确结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y 与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD ＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④5．已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结P A、PD，PD交AB于点E，△P AD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB＝AD时相似D．无法确定6．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…A n+1（x n+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A．或B．或C．或D．7．二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝4a﹣2b+c，P＝2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个9．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C﹣D﹣E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（﹣1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（）（1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b＝0；（4）a+b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，记抛物线y＝﹣x2+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Q n﹣1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…，P n﹣2P n﹣1Q n﹣1的面积分别为S1，S2，…，这样就有S1＝，S2＝，…；记W＝S1+S2+…+S n﹣1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（）A．B．C．D．12．为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处的挑射正好射中了2.4m高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线y＝ax2+bx+c（如图所示）则下列结论：①a＜﹣，②﹣＜a＜0，③a﹣b+c＞0，④0＜b＜﹣24a，其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点A i，交直线于点B i．则的值为（）A．B．2 C．D．15．如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（）A．πB．πC．πD．条件不足，无法求16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．317．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④18．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝3，AB＝2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A和点B，与x轴分别交于点D、E（点D在点E左侧），且OE＝1，则下列结论：①a＞0；②c＞3；③2a﹣b＝0；④4a﹣2b+c＝3；⑤连接AE、BD，则S梯形ABDE＝9．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③20．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O 顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上．则抛物线y＝ax2的函数解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣2x2D．y＝﹣21．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y＝x2的图象上，则使得S△ABC ＝2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1参考答案1．解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．2．解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB，即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．3．解：如图所示，关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，x1，x2是抛物线y＝x2﹣（a+b）x+ab与直线y＝1的交点的横坐标，（不妨设x1＜x2且a＜b）观察图象可知，x1≠x2，故①正确设抛物线的对称轴为x＝h，x2＝h+m，x1＝h﹣m，b＝h+n，a＝h﹣n，m＞n，∴x1•x2＝h2﹣m2，ab＝h2﹣n2，∵m＞n，∴x1•x2＜ab，故②正确，∵＝，∴x1+x2＝a+b，∴x12+2x1x2+x22＝a2+2ab+b2，∵2x1x2＜2ab，∴x12+x22＞a2+b2，故③错误，观察图象可知x1＜b＜a＜x2，故④错误．故选：B．4．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．5．解：令x＝0，则y＝1，∴OP＝1，设点A的横坐标为m，则AD＝﹣m2+1，∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，∴AF＝OD＝m，OF＝﹣m2+1，PF＝1﹣（﹣m2+1）＝m2，在Rt△P AF中，P A2＝PF2+AF2＝（m2）2+m2＝m4+m2，在Rt△POD中，PD＝＝＝，由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，∴＝，即＝，解得，PE＝m2，∴P A2＝PD•PE＝m4+m2，∴＝，∵∠APE＝∠DP A，∴△P AD∽△PEA，即，△P AD与△PEA始终相似．故选：B．6．解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；∴直线l：y＝x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．故选：B．7．解：∵对称轴是x＝，0＜x1＜故由对称性＜x2＜1当x＝a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，所以a﹣1＜0，当x时y随x的增大而减小，当x＝0时函数值是m．因而当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．故选：C．8．解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴a＜0，b＜0，∵图象经过y轴正半轴，∴c＞0，∴M＝a+b﹣c＜0当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴N＝4a﹣2b+c＜0，∵﹣＞﹣1，∴＜1，∵a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，∴P＝2a﹣b＜0，则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．故选：A．9．解：由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取C（﹣1，4），设该抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，代入点B坐标，得：0＝a（1+1）2+4，a＝﹣1，即：B点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4．当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取E（3，1），则此时抛物线的解析式：y ＝﹣（x﹣3）2+1＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣2）（x﹣4），即与x轴的交点为（2，0）或（4，0）（舍去），∴点A的横坐标的最大值为2．故选：B．10．解：（1）∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）（如虚线部分），∴y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝﹣1；∵开口方向向上，∴a＞0，故①正确；（2）∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上∴c＜0，故②正确；（3）∵对称轴x＝＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故③正确；（4）当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故④正确．故选：D．11．解：由图象知S3＝，总结出规律：，则w＝S1+S2+…+S n﹣1＝++…+＝＝＝＝﹣﹣+﹣＝﹣﹣，当n越来越大时，可知W最接近的常数为．故选：C．12．解：由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为x＝＞0，∴a、b异号，即b＞0．与y轴的交点坐标为（0，2.4），∴c＝2.4把点（12，0）代入解析式得：144a+12b+2.4＝0．∴144a＝﹣2.4﹣12b，12b＝﹣2.4﹣144a∴144a＜﹣2.4，12b＜﹣144a∴a＜﹣，b＜﹣12a，∴2b＜﹣24a，即b＜﹣12a，∴b＜﹣24a，∴①④正确，②错误∵此题是实际问题，∴x不能取﹣1，∴③a﹣b+c＞0错误．故选：B．13．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，∴c＝0，∴abc＝0∴①正确；∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x＝﹣，∴﹣，b＜0，∴b＝3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C．14．解：根据题意得：A i B i＝x2﹣（﹣x）＝x（x+1），∴＝＝2（﹣），∴++…+＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝．故选：A．15．解：由分析知图中阴影面积等于半圆的面积，则s＝＝．故选：B．16．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x＝﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，∴y＝ax2+bx+c和y＝m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选：D．17．解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，b＝2a，∴b﹣2a＝0，故①正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），∴把x＝﹣2代入得：y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c＝0，又∵b＝2a，∴c＝﹣4a﹣2b＝﹣8a，∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，故③正确；根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），∵（，y2），1＜，∴y1＞y2，故④正确；即正确的有①③④，故选：B．18．解：由函数图象可得：抛物线开口向下，∴a＜0，选项①错误；又OA＝3，AB＝2，∴抛物线与y轴交于A（0，3），即c＝3，选项②错误；又A和B关于对称轴对称，且AB＝2，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，选项③正确；∴B（﹣2，3），将x＝﹣2，y＝3代入抛物线解析式得：4a﹣2b+c＝3，选项④正确；由OE＝1，利用对称性得到CD＝OE＝1，又OC＝AB＝2，∴DE＝CD+OC+OE＝1+2+1＝4，又OA＝3，则S梯形ABDE＝OA（AB+DE）＝9，选项⑤正确，综上，正确的个数为3个．故选：C．19．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3＝﹣3，∴＝﹣3，则a＝﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a＝﹣，﹣＝1，∴b＝﹣2a＝，∴n＝a+b+c＝c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选：D．20．解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE＝75°，∵∠AOB＝45°，∴∠BOE＝30°，∵OA＝1，∴OB＝，∵∠OEB＝90°，∴BE＝OB＝，∴OE＝，∴点B坐标为（，﹣），代入y＝ax2（a＜0）得a＝﹣，∴y＝﹣．故选：B．21．解：∵S△ABC＝×2×2＝2，可见，当O与C重合时，S△ABC＝2，作CD⊥AB，∵AO＝BO＝2，可见，△ACB为等腰直角三角形，CD＝2×cos45°＝2×＝．由图易得，到AB距离为的点有C、C1、C2，作CC3∥AB，则CC3的解析式为y＝﹣x，将y＝﹣x和y＝x2组成方程组得，，解得，，，则C3坐标为（﹣1，1），可见，有四个点，使得S△ABC＝2．故选：A．。

2019年浙教版数学中考复习 二次函数的综合应用 综合测试 (含答案)

2019年浙教版数学中考复习 二次函数的综合应用 综合测试 (含答案)

2019年浙教版数学中考复习二次函数的综合应用综合测试一．选择题1．若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( ) A ．b<1且b≠0B ．b>1C ．0<b<1D ．b<12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3自变量x 的部分取值和对应的函数值y 如表所示：A ．x<2或x>4B ．x<2或x>-4C ．x<－2或x>-4D ．x<－2或x>43．已知二次函数y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋3m －2，若它的最大值为0，则m ＝( ) A.32B ．2C.12D ．14. (2016株洲)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象经过A(－1，2)，B(2，5)，顶点坐标为(m ，n)，则下列说法中错误的是( )A. c ＜3B. m≤12C. n≤2D. b ＜15．某体训队员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y ＝－112x 2＋23x ＋53.则他将铅球推出的距离是( ) A ．7.5 m B ．8 m C ．10 mD ．13 m6．(2018·山东泰安中考)一元二次方程(x ＋1)(x －3)＝2x －5根的情况是( ) A ．无实数根B ．有一个正根，一个负根C ．有两个正根，且都小于3D ．有两个正根，且有一根大于37. 二次函数y ＝－(x －1)2＋5，当m≤x≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m ＋n 的值为( ) A. 52 B. 2 C. 32 D. 128. (2017天津)已知二次函数y ＝(x －h)2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( ) A ．1或－5 B ．－1或5 C ．1或－3 D ．1或39. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝cx的图象可能是( )10. 已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且图象过A(x 1，m)、B(x 1＋n ，m)两点，则m 、n 的关系为( )A. m ＝12nB. m ＝14nC. m ＝12n 2D. m ＝14n 2二．填空题11．(2018·湖北孝感中考)如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是________________________．12.如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为________．13．如图，已知直线y＝－34x＋3分别交x轴、y轴于点A，B，P是抛物线y＝－12x2＋2x＋5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y＝－34x＋3于点Q，则当PQ＝BQ时，a的值是__________________________．14．(2018·浙江湖州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．15.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．16. (2016大连)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．17. (2017扬州)某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t·为正整数．．．．)的增大而增大，a的取值范围应为________．18.某学习小组为了探究函数y＝x2－|x|的图象与性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m＝________．三．解答题19．某玩具厂计划生产一种玩具狗，每日最高产量为40只，且每日生产出的全部售出．已知生产x只玩具狗的成本为p元，售价为每只q元，且p，q与x的关系式分别为p＝500＋30x，q＝170－2x.(1)写出利润w与x之间的函数关系式；(2)每日产量为25只时，每日获得的利润是多少元？(3)每日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？20．如图，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－3，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P 落在点P′(1，3)处．(1)求原抛物线的函数表达式；(2)学校举行班徽设计比赛，九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比5－12(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少(参考数据：5≈2.236，6≈2.449，结果可保留根号)．21．(易错题)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69 m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3 m的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB＝x m(x>0)，试用含x的代数式表示BC的长；(2)请你判断谁的说法正确，为什么？22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点，点B坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x＝1.(1)求抛物线的表达式；(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设△MBN 的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．23. (2018·湖北襄阳中考)襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx －76m （1≤x<20，x 为正整数），n （20≤x≤30，x 为正整数），且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元(利润＝销售收入－成本)． (1)m ＝________，n ＝________；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ (3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？24. 某班“数学兴趣小组”对函数y ＝x 2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m ＝________；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)观察函数图象，写出两条函数的性质； (4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有________个交点，所以对应的方程x 2－2|x|＝0有________个实数根； ②方程x 2－2|x|＝2有________个实数根；③关于x 的方程x 2－2|x|＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是________．25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B 、C)部分有两个交点，求b的取值范围．26．(2017·湖南邵阳中考)如图所示，顶点为(12，－94)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点M(2，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)点A 是抛物线与x 轴的交点(不与点M 重合)，点B 是抛物线与y 轴的交点，点C 是直线y ＝x ＋1上一点(处于x 轴下方)，点D 是反比例函数y ＝kx (k ＞0)图象上一点，若以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是菱形，求k 的值．参考答案 1-5 ADCBC 6-10 DDBCD 11. x 1＝－2，x 2＝112. (1＋2，2)或(1－2，2) 13. －1，4，4＋25，4－2 514. －215. 1.6 秒16. (－2，0)17. 0<a≤518. 0.7519. 解：(1)w＝xq－p＝－2x2＋140x－500.(2)当x＝25时，w＝1 750元．(3)w＝－2(x－35)2＋1 950，∴当x＝35时，利润最大，为1 950元．20. 解：(1)∵点P与点P′(1，3)关于x轴对称，∴点P的坐标为(1，－3)．设原抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－3，∵其过点A(1－3，0)，∴0＝a(1－3－1)2－3，解得a＝1.∴原抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2－3，即y＝x2－2x－2. (2)∵CD∥x轴，P′(1，3)在CD上，∴C，D两点纵坐标均为3.由(x－1)2－3＝3，解得x1＝1－6，x2＝1＋6，∴C，D两点的坐标分别为(1－6，3)，(1＋6，3)，∴CD＝2 6.∴“W”图案的高与宽(CD)的比为326＝64(或约等于0.612)．21. 解：(1)AB＝x m，可得BC＝69＋3－2x＝(72－2x)m.(2)小英说法正确，理由如下：矩形面积S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648，∵72－2x>0，∴x<36，∴0<x<36.∴当x＝18时，S取最大值，此时x≠72－2x，∴面积最大的不是正方形．22. 解：(1)∵点B坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x＝1，∴A(－2，0)．把点A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，分别代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－38，b ＝34，c ＝3，∴该抛物线的表达式为y ＝－38x 2＋34x ＋3.(2)设运动时间为t 秒，则AM ＝3t ，BN ＝t ， ∴MB ＝6－3t.在Rt △BOC 中，BC ＝32＋42＝5. 如图，过点N 作NH ⊥AB 于点H.∵NH ∥CO ，∴△BHN ∽△BOC ， ∴HN OC ＝BN BC ，即HN 3＝t 5，∴HN ＝35t. ∴S △MBN ＝12MB·HN ＝12(6－3t)·35t ＝－910t 2＋95t ＝－910(t －1)2＋910.当△MBN 存在时，0＜t ＜2， ∴当t ＝1时，(S △MBN )max ＝910.答：运动1秒使△MBN 的面积最大，最大面积是910.(3)如图，在Rt △OBC 中，cos B ＝OB BC ＝45.设运动时间为t 秒，则AM ＝3t ，BN ＝t ， ∴MB ＝6－3t.当∠MNB ＝90°时，cos B ＝BN MB ＝45， 即t 6－3t ＝45， 解得t ＝2417，当∠BMN ＝90°时，cos B ＝BM BN ＝6－3t t ＝45， 解得t ＝3019. 综上所述，当t ＝2417或t ＝3019时，△MBN 为直角三角形． 23. 解：(1)第12天的售价为32元/千克，代入y ＝mx －76m ，得32＝12m －76m ，解得m ＝－12. 第26天的售价为25元/千克，代入y ＝n ，则n ＝25，故答案为m ＝－12，n ＝25. (2)由题意知，第x 天的销售量为20＋4(x －1)＝4x ＋16，当1≤x ＜20时，W ＝(4x ＋16)(－12x ＋38－18)＝－2x 2＋72x ＋320＝－2(x －18)2＋968， ∴当x ＝18时，W 最大＝968元．当20≤x≤30时，W ＝(4x ＋16)(25－18)＝28x ＋112.∵28＞0，∴W 随x 的增大而增大，∴当x ＝30时，W 最大＝952元．∵968＞952，∴当x ＝18时，W 最大＝968元．(3)当1≤x ＜20时，令－2x 2＋72x ＋320＝870，解得x 1＝25，x 2＝11.∵抛物线W ＝－2x 2＋72x ＋320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870.又∵11≤x ＜20，x 为正整数，∴有9天利润不低于870元，当20≤x≤30时，令28x ＋112≥870，解得x≥27114. ∴27114≤x≤30. ∵x 为正整数，∴有3天利润不低于870元．∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．24. 解：(1)m ＝0(2)如解图所示：(3)①函数图象有两个最低点，坐标分别是(－1，－1)以及(1，－1)．②函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x ＝0(y 轴)．③从图象信息直接看出：当x ＜－1或0＜x ＜1时，函数值随自变量的增大而减小；当－1＜x ＜0或x ＞1时，函数值随自变量的增大而增大．④在x ＜－2或x ＞2时，函数值大于0，在－2＜x ＜0或0＜x ＜2时，函数值小于0等．(答案不唯一，合理即可)(4)①3，3；②2; ③－1＜a ＜0.【解法提示】①观察图象可知函数图象与x 轴有3个交点，∴方程x 2－2|x|＝0有3个不相等的实数根；②把抛物线y ＝x 2－2|x|向下平移2个单位，得抛物线y ＝x 2－2||x －2，则抛物线y ＝x 2－2|x|－2与x 轴只有2个交点，∴方程x 2－2|x|－2＝0有2个不相等的实数根；③把抛物线y ＝x 2－2|x|向上平移0＜h ＜1时，抛物线与x 轴有4个交点，∴抛物线解析式y ＝x 2－2|x|－a 中，0＜－a ＜1，∴－1＜a ＜0.25. 解：(1)把B(－2，6)，C(2，2)代入抛物线的解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧6＝a·（－2）2＋b·（－2）＋22＝a·22＋b·2＋2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2. (2)抛物线解析式化为顶点式：y ＝12(x －1)2＋32，则抛物线顶点D(1，32)，如解图①所示，过点B 、D 、C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点M 、N 、H ，则有：S △BCD ＝S 梯形BMHC －S 梯形BMND －S 梯形DNHC＝12(6＋2) ×4－12(6＋32)×3－12(32＋2) ×1 ＝3.(3)如解图②所示，连接BC ， ∵直线BC 斜率k BC ＝2－62－（－2）＝－1＜－12， ∴过点C 作直线MN 与直线y ＝－12x 平行， 设直线MN 的解析式为y ＝－12x ＋b 1，代入C(2，2)， ∴b 1＝3.作直线EF 与抛物线相切，且与直线y ＝－12x 平行， 设直线EF 的解析式为y ＝－12x ＋b 2，联立抛物线解析式得， ⎩⎨⎧y ＝12x 2－x ＋2y ＝－12x ＋b 2， ∴x 2－x ＋4－2b 2＝ 0，∵直线EF 与抛物线相切，∴b 2－4ac ＝0，即(－1)2－4(4－2b 2)＝0，∴b 2＝158， ∴158＜b≤3. 26. 解：(1)依题意可设抛物线的表达式为y ＝a(x －12)2－94(a≠0)， 将点M(2，0)代入可得a(2－12)2－94＝0， 解得a ＝1.故抛物线的表达式为y ＝(x －12)2－94.(2)由(1)知，抛物线的表达式为y ＝(x －12)2－94， 其对称轴为x ＝12， ∴点A 与点M(2，0)关于直线x ＝12对称，∴A(－1，0)． 令x ＝0，则y ＝－2，∴B(0，－2)．在Rt △OAB 中，OA ＝1，OB ＝2，则AB ＝ 5.设直线y ＝x ＋1与y 轴交于点G ，易求G(0，1)．∴△AOG 是等腰直角三角形，∴∠AGO ＝45°.∵点C 是直线y ＝x ＋1上一点(处于x 轴下方)，而k ＞0，∴反比例函数y ＝k x(k ＞0)的图象位于第一、三象限．故点D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：①此菱形以AB 为边且AC 也为边，如图1所示，过点D 作DN ⊥y 轴于点N ，在Rt △BDN 中，∵∠DBN ＝∠AGO ＝45°，∴DN ＝BN ＝52＝102， ∴D(－102，－102－2)． ∵点D 在反比例函数y ＝k x(k ＞0)图象上， ∴k ＝－102×(－102－2)＝52＋10. ②此菱形以AB 为对角线，如图2，作AB 的垂直平分线CD 交直线y ＝x ＋1于点C ，交反比例函数y ＝k x(k ＞0)的图象于点D. 再分别过点D ，B 作DE ⊥x 轴于点F ，BE ⊥y 轴，DE 与BE 相交于点E.在Rt △BDE 中，同①可证∠AGO ＝∠DBO ＝∠BDE ＝45°，∴BE ＝DE.可设点D 的坐标为(x ，x －2)．∵BE 2＋DE 2＝BD 2，∴BD ＝2BE ＝2x.∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝BD ＝2x.∴在Rt △ADF 中，AD 2＝AF 2＋DF 2， 即(2x)＝(x ＋1)2＋(x －2)2，解得x ＝52， ∴点D 的坐标是(52，12)． ∵点D 在反比例函数y ＝k x(k ＞0)的图象上， ∴k ＝52×12＝54， 综上所述，k 的值是52＋10或54.。

2017全国中考数学真题分类-二次函数概念、性质和图象(选择题+填空题+解答题)解析版

2017全国中考数学真题分类-二次函数概念、性质和图象(选择题+填空题+解答题)解析版

2017全国中考数学真题分类知识点18二次函数概念、性质和图象（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1. ．(2017四川广安，10，3分)如图所示，抛物线y ＝ax ²+bx +c 的顶点为B (－1，3)，与x 轴的交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b ²－4ac ＝0 ②a +b +c >0 ③2a －b ＝0 ④c －a ＝3A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B ，解析：由图象可知，抛物线与x 轴有两个交点，∴b ²－4ac ＞0，故结论①不正确；∵抛物线的对称轴为x ＝－1，与x 轴的一个交点A 在点（－3，0）和（－2，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，故结论②不正确．∵抛物线的对称轴x ＝－2ba＝－1，∴2a ＝b ，即2a －b ＝0，故结论③正确；∵抛物线y ＝ax ²+bx+c 的顶点为B （－1，3），∴a －b +c ＝3，∵抛物线的对称轴x ＝－1，∴2a ＝b ，∴a －2a +c ＝3，即c －a ＝3，故结论④正确；综上所述，正确的结论有2个．故选B ．2. （2017浙江丽水·8·3分）将函数y ＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位答案：D ． 解析： 选项 知识点结果 A将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位得到函数y ＝(x ＋1)2，其图象经过点（1，4）.×B 将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位得到函数y ＝(x －3)2，其图象经过点（1，4）. ×C 将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位得到函数y ＝x 2＋3，其图象经过点（1，4）. ×D 将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位得到函数y ＝x 2－1，其图象不经过点（1，4）.√3. （2017山东枣庄12，3分）已知函数221y ax ax =--（a 是常数，0a ≠），下列结论正确的是A ．当a ＝1时，函数图象经过点（－1，0）B ．当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C ．若a <0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方D ．若a >0，则当1x ≥时，y 随x 的增大而增大答案：D ，解析：A 、当a ＝1时，函数解析式为y ＝x 2－2x －1，当x ＝－1时，y ＝1＋2－1＝2， ∴当a ＝1时，函数图象经过点（－1，2），∴A 选项不符合题意； B 、当a ＝2时，函数解析式为y ＝－2x 2＋4x －1，令y ＝－2x 2＋4x －1＝0，则△＝42－4×（－2）×（－1）＝8＞0，∴当a ＝－2时，函数图象与x 轴有两个不同的交点，∴B 选项不符合题意；C 、∵y ＝ax 2－2ax －1＝a （x －1）2－1－a ，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，－1－a ），当－1－a ＜0时，有a ＞－1，∴C 选项不符合题意；D 、∵y ＝ax 2－2ax －1＝a （x －1）2－1－a ，∴二次函数图象的对称轴为x ＝1．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，∴D 选项符合题意．故选D ．4. （2017四川成都，10，3分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，下列说法正确的是 （ ）A ．20,40abc b ac <-> B ．20,40abc b ac >->C. 20,40abc b ac <-<D ．20,40abc b ac >-<答案：B ，解析：由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，则a ＞0，与y 轴交点在y 轴的负半轴上，由c <0，对称轴在y 轴的左侧，则2b a->0，所以b <0，所以0abc >；图象与x 轴有两点交点，则240b ac ->，综上，故选B .5. (2017浙江金华，6，3分)对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是A ．对称轴是直线x ＝1，最小值是2B ．对称轴是直线x ＝1，最大值是2C ．对称轴是直线x ＝－1，最小值是2D ．对称轴是直线x ＝－1，最大值是2 答案：B ，解析：二次函数y ＝－(x －1)2＋2的对称轴是直线x ＝1. ∵－1<0，∴抛物线开口向下，有最大值，最大值是2.6. （2017安徽中考·9．4分）已知抛物线2y ax bx c =++与反比例函数by x=的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y bx ac =+的图象可能是（ ）答案：B ．解析：由公共点的横坐标为1，且在反比例函数by x=的图象上，当x ＝1时，y ＝b ，即公共点坐标为（1，b ），又点（1，b ）在抛物线2y ax bx c =++上，得a ＋b ＋c ＝b ，a ＋c ＝0，由a ≠0知ac ＜0，一次函数y bx ac =+的图象与y 轴交点在负半轴上，反比例函数by x=的图象的一支在第一象限，b ＞0，一次函数y bx ac =+的图象满足y 随x 增大而增大，选项B 符合条件，选B ．7. （2017山东德州，7，3分）下列函数中，对于任意实数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，满足y 1＜y 2的是（ ）A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝2x 2＋1D ．y ＝x1-答案：A ，解析：一次函数y ＝－3x ＋2中，由于k ＝－3＜0，所以y 随着x 的增大而减小，即对于任意实数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，满足y 1＜y 2． 8. （2017山东威海，11，3分）．已知二次函数y =ax ²+bx +c (a ≠0)的图像如图所示．若正比例函数y =(b +c )x 与反比例函数y =a b cx-+在同一坐标系中的大致图像是（ ）答案：C，解析：由抛物线知a＞0，b＜0，c＞0，故a－b+c＞0，反比例函数过一三象限;当x=1时，y=a+b+c ＜0，即b+c＜－a, 因为a＞0，所以b+c＜0，所以正比例函数过二四象限，故选C．9.（2017山东菏泽，8,3分）一次函数y＝ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（）答案：A，解析：根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，选项D不符合题意，对称轴x=－2ba＞0，选项B不符合题意，与y轴的交点在y轴负半轴，选项C不符合题意，只有选项A符合题意．10. 10．（2017年四川绵阳，10,3分）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是A．b＞8 B．b＞－8 C．b≥8 D．b≥－8答案：D 解析：二次函数向下平移1个单位，再向右平移3个单位后，得到y=（x－3）2+1，再结合与一次函数y=2x+b有公共点，联立方程组，建立关于x的一元二次方程，利用一元二次方程有解的条件△≥0，可求出b的范围．11. (2017年四川南充，10，3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图5所示，下列结论错误的是( )A．4ac＜b2B．abc＜0 C．b＋c＞3a D．a＜bxOy－－图5（8题图） A. B. C. D答案：D 解析：(1)∵抛物线与横轴有两个交点，∴△＞0，即b 2－4ac ＞0．∴4ac ＜b 2．可见选项A 中的结论正确．(2)∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵对称轴在y 轴左边，∴－2b a＜0．∴b ＜0；∵抛物线与y 轴的负半轴相交，∴c ＜0．∴abc ＜0．可见选项B 中的结论正确． (3)∵－2b a＞－1，a ＜0，∴b ＞2a ①．∵x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0②．①＋②，得c ＞a ③．①＋③，得b ＋c ＞3a ．可见选项C 中的结论正确． (4)∵－2b a＜－12，a ＜0，∴a ＞b ．可见选项D 中的结论错误．综上所述，选项D ．12. （2017浙江舟山，10，3分）下列关于函数y ＝x 2－6x +10的四个命题：①当x ＝0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x ＝3+n 时的函数值大于x ＝3－n 时的函数值；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，y 的整数值有(2n －4)个；④若函数图象过点(a ，y 0)和(b ，y 0+1)，其中a >0，b >0，则a <b ．其中真命题的序号是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④答案：C ，解析：因为y ＝x 2－6x +10＝(x －3)2+1，所以当x ＝3时，y 有最小值1，故①错误；n 为任意实数，当x ＝3+n 时，y ＝(3+n －3)2+1＝ n 2+1， 当x ＝3－n 时，y ＝(3－n －3)2+1＝ n 2+1，所以两函数值相等，故②错误；若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，令x ＝n ，则y 1＝(n －3)2+1＝ n 2－6n +10， 令x ＝n +1，则y 2＝(n +1－3)2+1＝ n 2－4n +5， 由于y 2－ y 1＝2n －5，所以之间的整数值的个数是2n －5+1＝2n +4个，故③正确；由二次函数的图象知④错误．令x ＝4，则y ＝(4－3)2+1＝2， 令x ＝5，则y ＝(5－3)2+1＝5，y 的整数值有2，3，4，5，2n －4＝2×4－4＝4个，令x ＝6，则y ＝(6－3)2+1＝10， y 的整数值有5，6，7，8，9，10，2n －4＝2×5－4＝6个，令x ＝7，则y ＝(7－3)2+1＝10， y 的整数值有10，11，12，13，14，15，16，17共8个，2n －4＝2×6－4＝8个， 13. （2017四川攀枝花，9，3分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，则下列命题中正确的是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．一次函数y ＝ax ＋c 的图像不经过第四象限C ．m （am ＋b ）＋b ＝a （m 是任意实数）D ．3b ＋2c ＞0 答案：D解析：由题意知抛物线对称轴为12b x a =-=-，即12a b =，故A 错误；a ＞0，c ＜0∴一次函数y ＝ax ＋c 的图像不经过第二象限，故B 错误；m （am ＋b ）＋b ＝a ，2b a =可得m ＝－112a b =，故C 错误；又当1x =时，0y a b c =++>，∴102b bc ++>，即320b c +>，故选D ．14. （2017江苏盐城，6，3分）如图，将函数y ＝21(2)12x -+的图像沿y 轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点A （1，m ）、B （4，n ）平移后的对应点分别为点A ′、B ′．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式是A ．y ＝21(2)22x --B ．y ＝21(2)72x -+C ．y ＝21(2)52x --D ．y ＝21(2)42x -+答案：D ，解析：连接AB 、A ′B ′，则S 阴影＝S 四边形ABB ′A ′．由平移可知，AA ′＝BB ′，AA ′∥BB ′，所以四边形ABB ′A ′是平行四边形．分别延长A ′A 、B ′B 交x 轴于点M 、N ．因为A （1，m ）、B （4，n ），所以MN ＝4－1＝3．因为ABB A S''＝AA ′·MN ，所以9＝3AA ′，解得AA ′＝3，即沿y 轴向上平移了3个单位，所以新图像的函数表达式y ＝21(2)42x -+．B 'A 'ABOyx第6题图2 的增大而增大；④方程ax 2+bx +c =0有一个根大于4．其中正确的结论有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B ，解析：由表格所给出的自变量与函数值变化趋势，随x 的值增大，y 值先增大后变小可知抛物线的开口向下；由对称性知其图象的对称轴为x =32，所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大正确；由表可知，方程ax 2+bx +c =0根在-1与0和3与4之间所以正确的2个．此题也可求出解析式进行判断．16.7．（2017江苏连云港，7，3分）已知抛物线20yax a 过12,Ay ，21,B y 两点，则下列关系式一定正确的是A ．120y yB ．210y y C ．120y yD ．210y y答案：C ，解析：∵20y ax a ∴抛物线的开口向上，对称轴为y 轴，12,Ay 在对称轴的左侧，21,B y 在对称轴的右侧，点A 离开对称轴的距离大于点B 离开对称轴的距离，∴120yy 因此选择C 选项．17. （2017四川达州8，3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则一次函数2y ax b =-与反比例函数cy x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A B C D答案C，解析：由于抛物线的开口向下，∴a<0，由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c>0，由于抛物线的对称轴是x=-1∴-12ba=-，∴b=2a，∴y=ax-4a，对于方程组4y ax acyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y,可整理成：240ax ax c--=，∆=2164a ac+，∵抛物线过点(-3,0),∴9a-3b+c=0,∴c=-3a,∴2222164=161240a ac a a a+-=>,∴直线与反比例函数有交点，故本题选C．18. 11．（2017四川眉山，11，3分）若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－axA．有最大值a4B．有最大值－a4C．有最小值a4D．有最小值－a4答案：B，解析：因为一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，所以⎩⎨⎧a＋1＞0，a＜0，因此－1＜a＜0，而y＝ax2－ax＝a(x－12)2－14a，所以二次函数有最大值－a4．19. 8．（2017四川宜宾，8，3分）如图，抛物线211(1)12y x=++与22(4)3y a x=--交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①23a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x>1时，y1＞y2，其中正确结论的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C ，解析：抛物线22(4)3y a x =--过点A （1，3），∴3＝9a －3，解得a ＝23，由题意可知E （4，﹣3），点A （1,3）、C 关于x ＝4对称，得到C （7,3），∴AC ＝6，而AE = ，故AC ≠AE ，由抛物线的对称性可知，AD ＝BD 显然．根据抛物线的对称性可知，AD ＝BD ，两个函数比较大小，首先要知道这两个函数图象的交点，则2212(1)1(4)323x x ++=--，解得x 1＝1，x 2＝37，所以当1＜x ＜37时，y 1＞y 2．20. （2017山东滨州，7，3分）将抛物线y ＝2x 2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）A ．y ＝2(x －3)2－5B ．y ＝2(x ＋3)2＋5C ．y ＝2(x －3)2＋5D ．y ＝2(x ＋3)2－5答案：A ，解析：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0）， ∵向右平移3个单位，再向下平移5个单位， ∴平移后的顶点坐标为（3，﹣5），∴平移后的抛物线解析式为y ＝2(x －3)2－5.故选A.21. 8．（2017江苏苏州，8，3分）若二次函数y =ax 2+1的图象经过点（-2,0），则关于x 的方程 a (x -2)2+1=0的实数根为 A ．x 1=0，x 2=4B ．x 1=—2，x 2=6C ． x 1=32，x 2=52D ．x 1=—4，x 2=0答案：A ，解析：根据“二次函数图象上点的坐标特征”可得4a +1=0，a =-14，则21(2)104x --+=，解一元二次方程得x 1=0，x 2=4．22. 9.(2017甘肃兰州，9，4分）抛物线y =3x ²-3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为A. y =3(x -3)²-3B. y =3x ²C. y =3(x +3)²-3D. y =3x ²-6【答案】A【解析】由题知，y =3x ²-3为顶点式，直接根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可。

2019年全国各地中考数学压轴题分类汇编：函数(浙江专版)(解析卷)

2019年全国各地中考数学压轴题分类汇编：函数(浙江专版)(解析卷)

2019年全国各地中考数学压轴题分类汇编（浙江专版）函数参考答案与试题解析1. （2019?杭州）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t （单位：小时），行驶速度为v （单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时.（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v 的范围.②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由.解：（1）v vt= 480,且全程速度限定为不超过120千米/小时，••• v关于t的函数表达式为：丄，（0< t w 4）.t（2）①8点至12点48分时间长为二小时，8点至14点时间长为6小时5将t= 6 代入v=- =-得v= 80;将t = ' 1代入v= 得v= 100.t 5 t•••小汽车行驶速度v的范围为：80 w v< 100.②方方不能在当天11点30分前到达B地.理由如下：7 7 480 9608点至11点30分时间长为--小时，将t=--代入v= 得v= > 120千米/小时，超速了.2 2 t 7故方方不能在当天11点30分前到达B地.22. （2019?宁波）如图，已知二次函数y= x+ax+3的图象经过点P （- 2, 3）.（1）求a的值和图象的顶点坐标.（2）点Q （m, n）在该二次函数图象上.①当m= 2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.解：(1)把点 P (- 2, 3)代入 y = x 2+ax+3 中, a = 2, ••• y = x 2+2x+3, 顶点坐标为(-1, 2); (2)①当 m = 2 时，n = 11, ②点Q 到y 轴的距离小于2,• |m|v 2, •••- 2v m v 2, • 2< n v 11；3. （ 2019?杭州）设二次函数 y =（ x - x 1）（ x - x 2）（ X 1, x 2 是实数）.（1）甲求得当x = 0时，y = 0;当x = 1时，y = 0;乙求得当x = 一时，y =- - .若甲求得的结果 2 2 都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由. （2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含X 1, X 2的代数式表示）.（3） 已知二次函数的图象经过（0, 口）和（1, n ）两点（m , n 是实数），当0v x 1 v x 2v 1时, 求证：0v mn v —16解：（1）当 x = 0 时，y = 0;当 x = 1 时，y = 0; •二次函数经过点（0, 0）,（ 1, 0）,• X 1 = 0, X 2= 1 ,/八2• y 一x (x - 1 )= x - x , 当x = 时，y =-丄2 4•乙说点的不对;IJC — X.丿 y =- J 是函数的最小值;4（3）二次函数的图象经过（0, 口）和（1, n ）两点,（2）对称轴为 x =K 1 + K 9 当X =时,二 m = x i x 2, n = 1 - x i - X 2+x i x 2,•••mn =[ -丁 「二][-■/ O v x 1< x 2v 1, ••• 0W- . I < - , 0w- . Iw —m 2 丿 +44 g 2 丿 +44• 0< mn < ----- .16- 24. （2019?温州）如图，在平面直角坐标系中， 二次函数y=-7?x +2x+6的图象交x 轴于点A , B （点 A 在点B 的左侧）（1）求点A , B 的坐标，并根据该函数图象写出 y 》0时x 的取值范围.（2）把点B 向上平移m 个单位得点B i .若点B i 向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点 B 2重合；若点B 1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点 B 3重合.已知m >0, n >解：(1)令 y = 0,则-=,-.■ ■,, 解得，X 1 =- 2, X 2 = 6, • A (- 2, 0), B (6, 0),由函数图象得，当 y 》0时，-2w x w 6;(2) 由题意得，B1 (6, m ), B 2 (6 - n , m ), B 3 (- n , m ),•••点B 2, B 3在二次函数图象上且纵坐标相同,•• n = 1,197• m , n 的值分别为-1.5. （ 2019?嘉兴）如图，在直角坐标系中，已知点 B （4, 0）,等边三角形 OAB 的顶点A 在反比例函数图象的对称轴为直线-2+66~n+ (f)-1,0,求m , n 的值.函数y=「的图象上.x(1)求反比例函数的表达式.(2)把厶OAB向右平移a个单位长度，对应得到厶O'A'B'当这个函数图象经过△解：(1)过点A作AC丄OB于点C,•/△ OAB是等边三角形，:丄 AOB= 60°, OC= 1 OB ,2B (4, 0),••• OB= OA = 4,••• OC = 2, AC = 2 7.把点A (2, 2匚)代入y=-^，得k= 4 ~.z•••反比例函数的解析式为;x(2)分两种情况讨论：①点D是A B'的中点，过点D作DE丄x轴于点E.由题意得A' B '= 4,/ A' B ' E= 60°,在Rt △ DEB '中，B ' D= 2, DE = :, B' E= 1.•O ' E=3,把y=「代入，得x= 4,x•OE= 4,•a= OO ' = 1;②如图3,点F是A' O '的中点，过点F作FH丄x轴于点H .由题意得 A ' O ' = 4, / A ' O ' B ' = 60°,在Rt△ FO ' H 中，FH =二，O ' H = 1.把y=二代入y^-^，得x= 4,x O'A'B'一边的中点• OH = 4,a = 00 '= 3,综上所述，a 的值为1或3.(1) 求该旅行团中成人与少年分别是多少人？(2) 因时间充裕，该团准备让成人和少年(至少各 区B 的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童.① 若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？② 若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下， 最多可以安排成人和少年共多少人带 队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少. 解：(1)设成人有x 人，少年y 人，rrfy+10=32 \x=y+12 ，解得，’：1,I 尸5答：该旅行团中成人与少年分别是 17人、5人；(2)①由题意可得，由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是： 100 x 8+5x 100X 0.8+ ( 10 - 8)x 100X 0.6=1320 (元)，答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元;②设可以安排成人a 人，少年b 人带队，则 K a w 17, 1 < b < 5, 当 10w a w 17 时，若 a = 10,则费用为 100X 10+100 x b x 0.8w 1200，得 b w 2.5, ••• b 的最大值是2，此时a+b = 12,费用为1160元； 若 a = 11,则费用为 100x 11+100X b x 0.8w 1200，得 b w ,4• b 的最大值是1，此时a+b = 12,费用为1180元；若a > 12, 100a 》1200，即成人门票至少是 1200元，不合题意，舍去; 当 1w a v 10 时，10人，成1名)带领10名儿童去另一景区 B 游玩•景 6.人比少年多12人.综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少. 7.（ 2019?湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米•甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车， 途经学校又骑行若干米到达还车点后， 立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5 米.设甲步行的时间为 x （分）， 图1中线段OA 和折线B - C - D 分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间 x （分）的函数关系的图象；图 2表示甲、乙两人之间的距离 s （米）与甲步行时间 x （分）的函数关系的图 象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1） 求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2） 求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3） 在图2中，画出当25W x w 30时s 关于x 的函数的大致图象.（温馨提示：请画在答题卷相解：（1）由图可得，甲步行的速度为：2400- 30= 80 （米/分）， 乙出发时甲离开小区的路程是10x 80= 800 （米），答：甲步行的速度是 80米/分，乙出发时甲离开小区的路程是 800 米;（2）设直线OA 的解析式为y = kx , 30k = 2800，得 k = 80,•••直线OA 的解析式为y = 80x , 当 x = 18 时，y = 80X 18= 1440,若a = 9,则费用为100 x 9+100b x 0.8+100x 1X 0.6< 1200，得 b w 3,b 的最大值是3, a+b = 12,费用为1200元; 若a = 8,则费用为100 x 8+100b x 0.8+100X 2X 0.6w 1200，得 b < 3.5,b 的最大值是3, a+b = 11 v 12，不合题意，舍去; 同理，当a v 8时,a+b v 12,不合题意，舍去;10人，少年2人；成人11人，少则乙骑自行车的速度为：1440-（18- 10）= 180 （米/分），•••乙骑自行车的时间为：25 - 10 = 15 （分钟），•••乙骑自行车的路程为：180 X 15= 2700 （米），当x= 25时，甲走过的路程为：80 X 25= 2000 （米），•••乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700 - 2000= 700 （米），答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米;（3）乙步行的速度为：80 - 5= 75 （米份），乙到达学校用的时间为：25+ （2700- 2400）- 75= 29 （分），当25W x w 30时s关于x的函数的大致图象如右图所示.8. （2019?嘉兴）某农作物的生长率p与温度t （C）有如下关系：如图1,当10w t w 25时可近似用函数p=1 t -丄刻画；当25W t w 37时可近似用函数p=- （t - h）2+0.4刻画.50 5 160（1）求h的值.（2）按照经验，该作物提前上市的天数m （天）与生长率p满足函数关系：①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；②请用含t的代数式表示m.（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度•在（2）的条件下，原计划大棚恒温20 C时, 每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完）销售额可增加600元.因此给大棚继续加温，加温后每天成本w （元）与大棚温度t （C）之间的关系如图2•问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）.2 2解：（"把（25, 0.3）代入 p =- （t -h ）+0.4 得，0.3=- （25 - h ）+0.4 ,解得：h = 29 或 h = 21, •/ h >25, ••• h = 29;(2) ①由表格可知，m 是p 的一次函数， • m = 100p - 20;②当 10W t < 25 时，p =——t -—50 5• m = 100 (一t - 1 )- 20 = 2t - 40;50 52当 25W t w 37 时，p =--—( t - h )+0.4,1,602匚2• m = 100[ -(t - h ) +0.4] - 20=-(t - 29) +20;160 8(3) ( I)当 20w t < 25 时，由(20, 200),( 25, 300),得 w = 20t - 200,2•增加利润为 600m+[200 X 30 - w (30 - m ) ] = 40t - 600t - 4000 , •••当t = 25时，增加的利润的最大值为 6000元； (H) 当 25W t < 37 时，w = 300,增加的利润为 600m+[200 X 30 - w (30 - m ) ] = 900X(-)X( t - 29) 2+15000=--一^1 (t 8 J2-29) +15000;•••当t = 29时，增加的利润最大值为 15000元，综上所述，当t = 29时，提前上市20天，增加的利润最大值为 15000元.29. ( 2019?台州)已知函数 y = x+bx+c ( b , c 为常数)的图象经过点(- 2, 4).(I) 求b , c 满足的关系式；(2) 设该函数图象的顶点坐标是( m , n ),当b 的值变化时，求 n 关于m 的函数解析式； (3)若该函数的图象不经过第三象限，当- 5< x w 1时，函数的最大值与最小值之差为16,求b300 200的值.2解：(1)将点(-2, 4)代入y = x +bx+c,得-2b+c= 0,••• c= 2b;2（2）m= - - n=":2 4...门=小：：42•n= 2b- m ,（3）y= x2+bx+2b=（x+止）2-l—+2b,2 4对称轴x= - ,2当b w 0时，c< 0，函数不经过第三象限，则c= 0；此时y= x2,当-5W x< 1时，函数最小值是0,最大值是25, •••最大值与最小值之差为25;（舍去）当b> 0时，c>0，函数不经过第三象限，则0,•0W b< 8,••- 4W x=- - - W 0 ,2K2当-5< x< 1时，函数有最小值- +2b,4当-5W-上<-2时，函数有最大值1+3b,2当-2v- ：w 1时，函数有最大值25 - 3b;2函数的最大值与最小值之差为16,当最大值1+3b 时，1+3b+ - 2b= 16,4•b= 6 或b=- 10,•/ 4W b w 8,•b= 6;E2当最大值25 - 3b 时，25 - 3b+ - 2b = 16,4•b= 2 或b= 18,•/ 2W b w 4,•b= 2;综上所述b= 2或b = 6;10. （2019?绍兴）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y （千瓦时）关于已行驶路程x （千米）的函数图象.(1)根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程•当0< x w 150时,求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程.(2)当150W x< 200时，求y 关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量.35千瓦时时汽车已行驶了150千米.1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米;(2)设y= kx+b (k z 0),把点(150, 35),( 200, 10)代入, 阳fl50k+b=35侍、,(200k+b=10.丄二-山5.y= —0.5x+110,当x= 180 时，y=—0.5X 180+110= 20,答：当150 w x w 200时，函数表达式为y=-0.5x+110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时.le11. (2019?金华)如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y=…x (k> 0, x> 0)的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD = 2.(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q,求点Q的横坐标；(3)平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平解：（1）过点P 作x 轴垂线PG ,连接BP , •/ P 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，CD = 2, ••• BP = 2, G 是CD 的中点， PG ='；,• P （2,二），•/ P 在反比例函数y =_!上，• k = 2 ■:,由正六边形的性质， A （1, 2 '；）,•••点A 在反比例函数图象上； （2） D （3, 0）, E （4,二）， 设DE 的解析式为y = mx+b ,.3时4nd-b=V3 •严応 •上-3后• y = ；x - 3 ,3+V17联立方程* y x解得x =出丄匸,L W3K -3X ^32• Q 点横坐标为二!_2 （3）E （4, 7） ,F （3 , 2 7）,将正六边形向左平移两个单位后，E （ 2, 7） ,F （1, 2 7）,12. （2019?衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为 市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170〜240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y （间）与每间标准房的价格 x（元）的数据如下表：60间.经（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.（3）设客房的日营业额为w （元）.若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？将（200, 60）、（220, 50）代入，得：r200k+b=60l220k+b=50,k二丄2 ,tb=160y=- x+1602(170 < x W 240);(3) w = xy= x•••对称轴为直线_" 2(- x+160)=- x +160X,2 2x=- =—= 160,2a@2•••在170W x w 240范围内，w 随x 的增大而减小， •••当x = 170时，w 由最大值，最大值为 12750元.13. (2019?金华)如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为4，边OA ，OC 分别在x 轴, y 轴的正半轴上，把正方形 OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P 为抛2物线y =-( x - m ) +m+2的顶点.(1) 当m = 0时，求该抛物线下方(包括边界)的好点个数. (2) 当m = 3时，求该抛物线上的好点坐标.(3) 若点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在2m = 0时，二次函数的表达式 y =- x +2，函数图象如图 1所示.•抛物线经过点(0, 2)和(1 , 1),观察图象可知：好点有：(0, 0),( 0, 1),( 0, 2),( 1, 0),( 1, 1),共 5 个.2(2)如图2中，当m = 3时，二次函数解析式为 y =-( x - 3) +5.如图2.8个好点，求m 的取值I — r ~ T - ~ ~ * _i — r ~1 --1I 4I I V II |@2•••当 x = 1 时，y = 1，当 x = 2 时，y = 4,当 x = 4 时，y = 4, •••抛物线经过(1 , 1),( 2, 4),( 4, 4), 共线图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1,1）,（ 2, 4） ,（ 4, 4）（3）如图3中，•••抛物线的顶点 P （ m , m+2）, •抛物线的顶点 P 在直线y = x+2上， •••点P 在正方形内部，则 O v m v 2,如图3中，E （2, 1）, F （2, 2），观察图象可知，当点 （包括边界）恰好存在 8个好点时，抛物线与线段 EF 有交点（点F 除外），2 当抛物线经过点 E 时，-（2 - m ）+m+2 = 1,解得m=J "；或二（舍弃），2 22 当抛物线经过点 F 时，-（2 - m ） 2+m+2 = 2,解得m = 1或4 （舍弃），•••当一 < m v 1时，顶点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个2好点. 14.（ 2019?宁波）某风景区内的公路如图 1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）•第一班车上午 8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车•小聪周末到该风景区游玩，上午 7: 40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行 25分钟后到达塔林•离入口处的路程y （米）与时间x （分）的函数关系如图 2所示.（1） 求第一班车离入口处的路程 y （米）与时间x （分）的函数表达式. （2） 求第一班车从入口处到达塔林所需的时间.（3） 小聪在塔林游玩 40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这 班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同， 小聪步行速度不变）P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方團1图丄解：(1)由题意得，可设函数表达式为：y = kx+b (k z 0),把( 20, 0),( 38, 2700)代入 y = kx+b ,得严20k+b ，解得(k 二 15Q,l L Z700=38k+blb=-3000•••第一班车离入口处的路程 y (米)与时间x (分)的函数表达为 y = 150x - 3000 (20W x < 38); (2) 把 y = 1500 代入 y = 150x - 3000，解得 x = 30, 30 - 20= 10 (分)，•••第一班车从入口处到达塔林所需时间 10分钟； (3) 设小聪坐上了第 n 班车，则 30 - 25+10 (n - 1)> 40，解得 n 》4.5, •小聪坐上了第 5班车，等车的时间为 5分钟，坐班车所需时间为：1200十150= 8 (分)，步行所需时间：1200 -( 1500十25)= 20 (分)， 20 -( 8+5 )= 7 (分)，•比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了 7分钟.15.( 2019?衢州)定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A ( a , b ),B (c , d ),若点T (x ,y )满足x=j 丄，y==二那么称点T 是点A , B 的融合点.例如：A (- 1, 8), B (4, - 2)，当点 T (x , y )满足 x ==^= 1, y == 2 时，则点33T (1, 2)是点A , B 的融合点.(1) 已知点A (- 1 , 5), B ( 7, 7), C (2, 4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点. (2) 如图，点D (3, 0),点E (t , 2t+3)是直线I 上任意一点，点 T (x , y )是点D , E 的融合 占 八、、♦① 试确定y 与x 的关系式.② 若直线ET 交x 轴于点H .当△ DTH 为直角三角形时，求点 E 的坐标.>'A6一5-14-//r I 1p1>1 12 f 4X/ -1-2-解：(1) x= 1 (- 1+7)= 2, y = _ (5+7)= 4,33故点C是点A、B的融合点；(2)①由题意得：x = ~L (t+3),3y= (2t+3),3则t= 3x- 3,则y=二(6x - 6+3)= 2x- 1; 3②当/ DHT = 90°时，如图1所示,设T (m, 2m- 1),则点 E ( m, 2m+3), 由点T是点D, E的融合点得：m=「f .o解得：m = •',即点 E ([, 6);2 2当/ TDH = 90°时，如图2所示,2nH-3+0654k/ /3/7.- 川v r r ■:話K/Fl2♦3 4 x-2'E2则点T （3, 5）,由点T是点D, E的融合点得：点 E （6, 15）;当/ HTD = 90°时，该情况不存在；故点 E （―, 6）或（6，15）.216. （2019?台州）如图1,某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h （单位：m）与下行时间x （单位：s）之间具有函数关系h =-一x+6，乙离一楼地面的高度y （单位：m）与下行时间10x （单位：s）的函数关系如图2所示.（1）求y关于x的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面.益曲解得,即y关于x的函数解析式是y=- 1 x+6;5(2)当h= 0 时，0=—丄x+6,得x= 20,10当y = 0 时，0=-亠x+6，得x= 30,解：（1）设y关于x的函数解析式是5•/ 20v 30,•••甲先到达地面.17. (2019?温州)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-1x+4分别交x轴、y轴于点B, C,正方2形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF丄DE于点F，连结OE .动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q i向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点.(1)求点B的坐标和OE的长.(2)设点Q2为(m, n),当一=tan/ EOF时，求点Q2的坐标.m 7(3)根据(2)的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合.①延长AD交直线BC于点Q3,当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q= s, AP = t，求s关于t的函数表达式.②当PQ与厶OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长.解：(1)令y = 0,则--x+4 = 0,2•- x= 8,• B (8, 0),C ( 0, 4),•- OC = 4, OB = 8,在Rt△ BOC 中，BC =為—*= 4 ",又••• E为BC中点，•- OE =」-BC = 2、-』_、;2(2)如图1,作EM 丄OC 于M，贝U EM // CD ,••• M 是OC 的中点••• EM = _L OB = 4, OE=_lBC = 2 :2 2•••/ CDN = Z NEM ，/ CND = Z MNE• △ CDN s\ MEN ,• CN CD 1… =1, w a• CN = MN = 1 ,•/ S A ONE =丄 EN?OF = _ ON?EM ,2 2••• -「 -「，m 7 6 6n =—二m+4 , 2• m — 6, n — 1, •- Q 2 (6, 1);(3)①•••动点P 、Q 同时作匀速直线运动,• s 关于t 成一次函数关系，设 s — kt+b ,•••当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合, • t — 2 时，CD — 4, DQ 3— 2, 由勾股定理得： EF 工…/?' ' ,, . /，14V17OF —： ： 4 —：:w ：， IF J]2佰6，17• tan / EOF —二一 OF•s—Q3C =.■-'「—2 ■,•••Q3 (- 4, 6), Q2 (6, 1),••• t=4时，S=.. ■=5■，将严2 L或严° L代入得(2Hb = 2/!，解得：I S=2A/5 I s=&V5 4k+b-5V5•s=-： -=,②(i)当PQ// OE 时，如图2，/ QPB=Z EOB=Z OBE,Rt△ ABQ3 中，AQ3= 6, AB= 4+8 = 12,• BQ3=jf 6 ~,\r BO= 15每P=F 沁「色匹—传二保一gJ亘J ，2 -J) 2^二迟丹=14「利f66- '••• Q3G =厶-1, GQ = 3t - 2,2§2JJ+28-6r=12, r=—;5图3P作PH丄GQ于点H , 由厶Q3QGCBO 得：Q3G: QG: Q3Q= 1 : 2: ",• PH = AG = AQ 3 - Q 3G = 6 -( ' t - 1)= 7 - t ,2 2• QH = QG - AP = 3t - 2 - t = 2t - 2,•••/ HPQ = Z CDN ,• tan / HPQ = tan / CDN =_L(iii )由图形可知 PQ 不可能与EF 平行，综上，当PQ 与厶OEF 的一边平行时，AP 的长为」一或•.5 19• 2t。

(浙江专用)2019年中考数学总复习第三章变量与函数3.4二次函数(讲解部分)素材(pdf)

(浙江专用)2019年中考数学总复习第三章变量与函数3.4二次函数(讲解部分)素材(pdf)

∴ Ｐ １(２＋ ３ ꎬ３) ꎬＰ ２(２－ ３ ꎬ３) . 解得 ｘ ＝ ２± １１ .
１ ２ ５ ｘ ＋２ｘ ＋ ꎬ即 ｘ ２ －４ｘ －７ ＝ ０ꎬ ２ ２
２０
５ 年中考 ３ 年模拟 １１ ꎬ－１) ꎬＰ ４(２－ １１ ꎬ－１) . １１ ꎬ－１) . 例:用图象法解一元二次不等式:ｘ ２ －２ｘ －３>０. 解:设 ｙ ＝ ｘ ２ －２ｘ －３ꎬ则 ｙ 是 ｘ 的二次函数. ∵ ａ ＝ １>０ꎬ∴ 抛物线开口向上. 当 ｙ ＝ ０ 时ꎬｘ ２ －２ｘ －３ ＝ ０ꎬ解得 ｘ １ ＝ －１ꎬｘ ２ ＝ ３. 由此得二次函数 ｙ ＝ ｘ ２ －２ｘ －３ 的大致图象如图所示.
５ ２
) ꎬＭ(５ꎬ０) .
１ ５ ｘ＋ ꎬ ２ ２
(
)
１ ì ïａ ＝ － ꎬ ２ ï ï 解得 íｂ ＝ ２ꎬ ï ５ ïｃ ＝ ２ . î
î
１ ２ ５ ｘ ＋２ｘ ＋ . ２ ２ (３) ∵ Ｓ 矩形ＯＡＢＣ ＝ ３×１ ＝ ３ꎬ∴ Ｓ △ＰＢ′Ｃ′ ＝ ３. 又∵ Ｂ′Ｃ′ ＝ ３ꎬ∴ 点 Ｐ 到 Ｂ′Ｃ′所在直线的距离为 ２. ∴ 抛物线的函数解析式为 ｙ ＝ － ∴ Ｐ 点的纵坐标为 ３ 或 －１. 令 ３＝－ 解得 ｘ ＝ ２± ３ . 令 －１ ＝ － １ ２ ５ ｘ ＋２ｘ ＋ ꎬ即 ｘ ２ －４ｘ ＋１ ＝ ０ꎬ ２ ２
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(
)
２. 当 ａ > ０ 时ꎬ 抛 物 线 ｙ ＝ ａｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ( ａ ≠ ０ ) 开 口 向 上ꎬ 当 ｂ ４ａｃ － ｂ ２ ｘ ＝ － 时ꎬ函数的最小值为 ꎻ在对称轴左侧ꎬ ｙ 随 ｘ 的增大 ２ａ ４ａ 而减小ꎬ在对称轴右侧ꎬｙ 随 ｘ 的增大而① 增大 . 当 ａ <０ 时ꎬ抛物线 ｙ ＝ ａｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ( ａ ≠０) 开口向下ꎬ 当 ｘ ＝ － ｂ ２ａ

2019年浙江省各地中考数学卷解答压轴题分类汇编

2019年浙江省各地中考数学卷解答压轴题分类汇编

2019年浙江省各地中考数学卷解答压轴题分类汇编（一）二次函数23．（台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．22．（杭州）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x=12时，y=−12．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜116．23．（金华、丽水）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．24．（湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC=√33，D是BC的中点．（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM=23OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G 也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．24．（嘉兴）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数p=150t−15刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p=−1160（t﹣h）2+0.4刻画．（1）求h的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系：生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m（天）051015①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；②请用含t的代数式表示m．（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．（二）圆22．（温州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD=38AB时，求⊙O的直径长．23．（杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD=12OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．23．（湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；（2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2√2为半径画圆．①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．（宁波）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F．（1）求证：BD＝BE．（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．=x，tan∠DAE＝y．（3）设AFEF①求y关于x的函数表达式；②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．（三）相似三角形、全等三角形23．（嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM=34时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．24．（金华）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14√2，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O．求证：BD＝2DO．（2）已知点G为AF的中点．①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．②若AD＝6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．25．（宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB 是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．24．（绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．（2）若a：b的值为1，求k的最大值和最小值．2（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．24．（衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．的值．（2）若点M是线段AD的中点，求EFDF（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？23．（绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．24．（台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC 交AD于点F，AP＝FD．的值；（1）求AFAP（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM＝EB，连接MF，求证：MF＝PF；（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ＝AP，连接BQ，BN．将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上．请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由．。

2019年浙江省中考数学真题分类汇编专题3——二次函数(练习版+解析版)

2019年浙江省中考数学真题分类汇编专题3——二次函数(练习版+解析版)

2019年浙江省中考数学分类汇编专题3:二次函数（试题版+答案版）一、单选题1.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A. (1，3)B. （1，-3)C. （-1，3）D. （-1，-3）2.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2B. 有最大值0，有最小值﹣1C. 有最大值7，有最小值﹣1D. 有最大值7，有最小值﹣23.小飞研究二次函数( 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，随的增大而增大，则的取值范围为其中错误结论的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④4.D在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5）（x-3）经变换后得到抛物线y=（x+3）（x-5），则这个变换可以是（）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移8个单位5.已知a，b是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b 的大致图象不可能是（）A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A. M=N-1或M=N+1B. M=N-1或M=N+2C. M=N或M=N+1D. M=N或M=N-1二、作图题7.某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：x（元）… 190 200 210 220 …y(间) … 65 60 55 50 …（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。

浙江省2019年中考数学试题研究含参二次函数题库

浙江省2019年中考数学试题研究含参二次函数题库

类型一 函数类型确定型含参二次函数1. 已知抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c .(1)若a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝k ＋1，试说明此类函数图象都具有的性质；(2)若a ＝13，c ＝2＋b ，且抛物线在－2≤x ≤2区间上的最小值是－3，求b 的值；(3)若a ＋b ＋c ＝1，是否存在实数x ，使得相应的y 值为1，请说明理由． 解：(1)∵a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝k ＋1，∴抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c 可化为y ＝9kx 2＋10kx ＋k ＋1＝(9x 2＋10x ＋1)k ＋1，∴令9x 2＋10x ＋1＝0，解得x 1＝－1，x 2＝－19，∴图象必过点(－1，1)，(－19，1)，∴对称轴为直线x ＝－10k 2×9k ＝－59；(2)∵a ＝13，c ＝2＋b ，∴抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c 可化为y ＝x 2＋2bx ＋2＋b ， ∴对称轴为直线x ＝－2b2＝－b ，当－b ＞2时，即b ＜－2，∴x ＝2时，y 取到最小值为－3.∴4＋4b ＋2＋b ＝－3，解得b ＝－95(不符合题意，舍去)，当－b ＜－2时即b ＞2，∴x ＝－2时，y 取到最小值为－3. ∴4－4b ＋2＋b ＝－3，解得b ＝3；当－2＜－b ＜2时，即－2＜b ＜2，当x ＝－b 时，y 取到最小值为－3，∴4（2＋b ）－4b24＝－3，解得b 1＝1＋212(不符合题意，舍去)，b 2＝1－212，综上所述，b ＝3或1－212；(3)存在．理由如下：∵a ＋b ＋c ＝1， ∴c －1＝－a －b ，令y ＝1，则3ax 2＋2bx ＋c ＝1.∴Δ＝4b 2－4(3a )(c －1)＝4b 2＋4(3a )(a ＋b )＝9a 2＋12ab ＋4b 2＋3a 2＝(3a ＋2b )2＋3a 2， ∵a ≠0，∴(3a ＋2b )2＋3a 2＞0， ∴Δ＞0，∴必存在实数x ，使得相应的y 值为1.2. 在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A (－3，0)、B (0，－3)两点，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A .(1)求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；(2)若二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象顶点在直线AB 上，求m ，n 的值；(3)①设m ＝－2，当－3≤x ≤0时，求二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值；②若当－3≤x ≤0时，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值为－4，求m ，n 的值． 解：(1)将点A (－3，0)，B (0，－3)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝－3. ∴一次函数y ＝kx ＋b 的表达式为y ＝－x －3； (2)二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象顶点坐标为(－m 2，4n －m 24)，∵顶点在直线AB 上， ∴4n －m 24＝m 2－3，又∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A (－3，0)， ∴9－3m ＋n ＝0，∴组成方程组为⎩⎪⎨⎪⎧4n －m 24＝m 2－39－3m ＋n ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6n ＝9；(3)①当m ＝－2时，由(2)得9－3m ＋n ＝0， 解得 n ＝－15，∴y ＝x 2－2x －15.∵二次函数对称轴为直线x ＝1，在－3≤x ≤0右侧， ∴当x ＝0时，y 取得最小值是－15.②∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A ， ∴9－3m ＋n ＝0，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的对称轴为直线x ＝－m2，i)如解图①，当对称轴－3＜－m 2＜0时，最小值为4n －m24＝－4，联立⎩⎪⎨⎪⎧4n －m 24＝－49－3m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10n ＝21(由－3＜－m2＜0知不符合题意舍去)∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝－3；ii)如解图②，当对称轴－m2＞0时，∵－3≤x ≤0，∴当x ＝0时，y 有最小值为－4， 把(0，－4)代入y ＝x 2＋mx ＋n ，得n ＝－4，把n ＝－4代入9－3m ＋n ＝0，得m ＝53.∵－m2＞0，∴m ＜0，∴此种情况不成立；iii)当对称轴－m2＝0时，y ＝x 2＋mx ＋n 当x ＝0时，取得最小值为－4，把(0，－4)代入y ＝x 2＋mx ＋n 得n ＝－4， 把n ＝－4代入9－3m ＋n ＝0，得m ＝53.∵－m2＝0，∴m ＝0，∴此种情况不成立；iiii)当对称轴－m2≤－3时，∵－3≤x ≤0，∴当x ＝－3时，y 取得最小值－4，∵当x＝－3时，y ＝0，不成立．综上所述，m ＝2，n ＝－3.第2题解图 3. 在平面直角坐标系中，二次函数y 1＝x 2＋2(k －2)x ＋k 2－4k ＋5. (1)求证：该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点；(2)若函数y 2＝kx ＋3经过y 1图象的顶点，求函数y 1的表达式； (3)当1≤x ≤3时，二次函数的最小值是2，求k 的值．(1)证明：∵b 2－4ac ＝4(k －2)2－4(k 2－4k ＋5)＝－4<0，∴函数图象与x 轴没有交点，当x ＝0时，y 1＝k 2－4k ＋5＝(k －2)2＋1>0， ∴二次函数与坐标轴仅有一个交点；(2)解：∵y 1＝(x ＋k －2)2＋1，∴函数y 1的顶点坐标为(2－k ，1)，代入函数y 2＝kx ＋3得(2－k )k ＋3＝1，解得k ＝1＋3或k ＝1－3，∴y 1＝x 2＋2(3－1)x ＋5－23或y 1＝x 2－2(3＋1)x ＋5＋23； (3)解：①当对称轴x ＝－b2a＝2－k ≤1时，k ≥1，当x ＝1时，y 1取得最小值2，即1＋2(k －2)＋k 2－4k ＋5＝2，解得k ＝0(舍去)或k ＝2； ②当对称轴1<2－k <3时，－1<k <1， 当x ＝2－k 时，最小值恒为1，无解；③当对称轴x ＝2－k ≥3时，k ≤－1， 当x ＝3时，y 1取得最小值2，即9＋6(k －2)＋k 2－4k ＋5＝2，化简得k 2＋2k ＝0，解得k ＝0(舍去)或k ＝－2. 综上所述，k 的值为2或－2.4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过A (1，1)、B (2，4)和C 三点． (1)用含a 的代数式分别表示b 、c ；(2)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(p ，q )，用含a 的代数式分别表示p 、q ； (3)当a ＞0时，求证：p ＜32，q ≤1.(1)解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (1，1)、B (2，4)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ＋b ＋c 4＝4a ＋2b ＋c， 化解得3＝3a ＋b ， ∴b ＝3－3a ，∴1＝a ＋3－3a ＋c ， ∴c ＝2a －2；(2)解：由(1)得b ＝3－3a ，c ＝2a －2，∴p ＝－b 2a ＝3a －32a；∴q ＝4a （2a －2）－（3－3a ）24a ＝－a 2＋10a －94a ；(3)证明：∵a ＞0， ∴－32a＜0，∴p ＝3a －32a ＝32－32a ＜32；∵－（a －3）24a≤0，∴q ＝－a 2＋6a －94a ＋4a 4a ＝－（a －3）24a＋1≤1.5. 已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1，0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限．(1)用含a 、c 的代数式表示b ；(2)判断点B 所在象限，并说明理由；(3)若直线y 2＝2x ＋m 经过点B ，且与该抛物线交于另一点C (c a，b ＋8)，求当x ≥1时，y 1的取值范围．解：(1)∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )经过点A (1，0)，把点A (1，0)代入即可得到a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ； (2)点B 在第四象限． 理由如下：∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1，0)，∴抛物线y 1与x 轴至少有1个交点，令ax 2＋bx ＋c ＝0，∴x 1·x 2＝c a，∴x 1＝1，x 2＝c a，∵a ≠c ，∴抛物线与x 轴有两个不同的交点， 又∵抛物线不经过第三象限， ∴a ＞0，且顶点B 在第四象限； (3)∵点C (c a，b ＋8)在抛物线上， 令b ＋8＝0，得b ＝－8， 由(1)得a ＋c ＝－b ， ∴a ＋c ＝8，把B (－b 2a ，4ac －b 24a )、C (ca，b ＋8)两点代入直线解析式得⎩⎪⎨⎪⎧4ac －b 24a ＝2×（－b2a）＋m b ＋8＝2×c a＋ma ＋c ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8c ＝6m ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－8c ＝4m ＝－2(a ≠c ，舍去)，如解图所示，C 在A 的右侧， ∴当x ≥1时，y 1≥4ac －b 24a＝－2.第5题解图 6. 在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝ax 2＋2ax ＋3(a ≠0)． (1)若函数y 1的图象经过点(－1，4)，求函数y 1的表达式；(2)若一次函数y 2＝bx ＋a (b ≠0)的图象经过y 1图象的顶点，探究实数a ，b 满足的关系式； (3)已知点P (1，m )和Q (x 0，n )在函数y 1的图象上，若m ＞n ，求x 0的取值范围．解：(1)∵二次函数y 1＝ax 2＋2ax ＋3的图象经过点(－1，4)，∴4＝a －2a ＋3， ∴a ＝－1，∴函数y 1的表达式为y 1＝－x 2－2x ＋3；(2)∵y 1＝ax 2＋2ax ＋3＝a (x ＋1)2＋3－a ，∴y 1图象的顶点坐标为(－1，3－a )．∵一次函数y 2＝bx ＋a (b ≠0)的图象经过y 1图象的顶点， ∴3－a ＝－b ＋a ，∴实数a 、b 满足的关系式为b ＝2a －3；(3)∵二次函数y 1＝ax 2＋2ax ＋3的图象的对称轴为直线x ＝－2a 2a ＝－1，∴当m ＝n 时，x 0＝－3.当a ＞0时，如解图①所示，第6题解图∵m ＞n ，∴－3＜x 0＜1； 当a ＜0时，如解图②所示， ∵m ＞0，∴x 0＜－3或x 0＞1. 综上所述：x 0的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧－3＜x 0＜1 （a ＞0）x 0＜－3或x 0＞1 （a ＜0）.类型二 函数类型不确定型1. 已知函数y ＝(n ＋1)x m＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)． (1)当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；(2)若它是一个二次函数，假设n ＞－1，那么：①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定经过哪个点？请说明理由． 解：(1)①当m ＝1，n ≠－2时，函数y ＝(n ＋1)x m＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y ＝0时，(n ＋1)x m＋mx ＋1－n ＝0，∴x ＝n －1n ＋2， ∴函数y ＝(n ＋1)x m＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)与x 轴有交点；②当m ＝2，n ≠－1时，函数y ＝(n ＋1)x m＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)是二次函数，当y ＝0时，(n ＋1)x m＋mx ＋1－n ＝0，即(n ＋1)x 2＋2x ＋1－n ＝0，∴Δ＝22－4(n ＋1)(1－n )＝4n 2≥0，∴函数y ＝(n ＋1)x m＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)与x 轴有交点；③当n ＝－1，m ≠0时，函数y ＝(n ＋1)x m＋mx ＋1－n 是一次函数，当y ＝0时，x ＝n －1m， ∴函数y ＝(n ＋1)x m＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)与x 轴有交点； (2)①假命题，若它是一个二次函数，则m＝2，函数y＝(n＋1)x2＋2x＋1－n，∵n＞－1，∴n＋1＞0，抛物线开口向上，对称轴：x＝－b2a ＝－22（n＋1）＝－1n＋1＜0，∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，故为假命题；②它一定过点(1，4)和(－1，0)，理由如下：当x＝1时，y＝n＋1＋2＋1－n＝4.当x＝－1时，y＝0.∴它一定经过点(1，4)和(－1，0)．2. 设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并且在同一坐标系中，用描点法画出它们的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，试求m的取值范围．第2题图解：(1)令k＝0，k＝1，则这两个函数为y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，描点法画函数图象如解图所示；第2题解图(2)不论k取何值，函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)，且与x轴至少有1个交点．证明：①∵当x＝0时，y＝1；当x＝－2时，y＝－1.∴函数图象必过(0，1)，(－2，－1)；②∵当k＝0时，函数为一次函数，∴y＝x＋1的图象是一条直线，且与x轴有一个交点；∵当k ≠0时，函数为二次函数，y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象是一条抛物线． Δ＝(2k ＋1)2－4×k ×1＝4k 2＋4k ＋1－4k ＝4k 2＋1＞0，∴抛物线y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1与x 轴有两个交点．综上所述，函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1(k 为实数)与x 轴至少有一个交点； (3)∵k ＜0，∴函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象在对称轴直线x ＝－2k ＋12k 的左侧时，y 随x 的增大而增大．根据题意，得m ≤－2k ＋12k，而当k ＜0时，－2k ＋12k ＝－1－12k ＞－1，∴m ≤－1.3. 已知函数y ＝kx 2＋(43－3k )x －4.(1)求证：无论k 为何值，函数图象与x 轴总有交点；(2)当k ≠0时，A (n －3，n －7)、B (－n ＋1，n －7)是抛物线上的两个不同点． ①求抛物线的表达式； ②求n 的值．(1)证明：当k ＝0时，函数为一次函数，即y ＝43x －4，与x 轴交于点(3，0)；当k ≠0时，函数为二次函数，∵Δ＝(43－3k )2－4k ×(－4)＝(3k ＋43)2≥0，∴函数与x 轴有一个或两个交点；综上可知，无论k 为何值，函数图象与x 轴总有交点； (2)解：①当k ≠0时，函数y ＝kx 2＋(43－3k )x －4为二次函数，∵A (n －3，n －7)、B (－n ＋1，n －7)是抛物线上的两个不同点， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝n －3－n ＋12＝－1，∴－43－3k 2k ＝－1，解得k ＝415，∴抛物线的表达式为y ＝415x 2＋815x －4；②∵(n －3，n －7)是抛物线y ＝415x 2＋815x －4上的点，∴n －7＝415(n －3)2＋815(n －3)－4，解得n 1＝194，n 2＝3.4. 已知y 关于x 的函数y ＝(k －1)x 2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点． (1)求k 的取值范围；(2)若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足(k －1)x 21＋2kx 2＋k ＋2＝4x 1x 2. ①求k 的值；②当k ≤x ≤k ＋2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值．解：(1)当k ＝1时，函数为一次函数y ＝－2x ＋3，其图象与x 轴有一个交点．当k ≠1时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点，令y ＝0得(k －1)x 2－2kx ＋k ＋2＝0.Δ＝(－2k )2－4(k －1)(k ＋2)≥0，解得k ≤2.即k ≤2且k ≠1. 综上所述，k 的取值范围是k ≤2.(2)①∵x 1≠x 2，由(1)知k ＜2且k ≠1，函数图象与x 轴有两个交点，∴由题意得(k －1)x 21＋(k ＋2)＝2kx 1①，将①代入(k －1)x 21＋2kx 2＋k ＋2＝4x 1x 2中得： 2k (x 1＋x 2)＝4x 1x 2.令(k －1)x 2－2kx ＋k ＋2＝0，则x 1＋x 2＝2k k －1，x 1x 2＝k ＋2k －1， ∴2k ·2k k －1＝4·k ＋2k －1. 解得k 1＝－1，k 2＝2(不合题意，舍去)． ∴所求k 的值为－1；第4题解图②如解图，∵k ＝－1，∴y ＝－2x 2＋2x ＋1＝－2(x －12)2＋32.且－1≤x ≤1.由图象知：当x ＝－1时，y 最小＝－3；当x ＝12时，y 最大＝32.∴y 的最大值为32，最小值为－3.5. 设函数y 1＝(x －k )2＋k 和y 2＝(x ＋k )2－k 的图象相交于点A ，函数y 1，y 2的图象的顶点分别为B 和C .(1)画出当k ＝0，1时，函数y 1，y 2在直角坐标系中的图象； (2)观察(1)中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的解析式，并说明理由；(3)设A (x ，y )，求证：x 是与k 无关的常数，并求y 的最小值．第5题图(1)解：画出图象如解图所示；第5题解图 (2)解：∵当k ＝0时，函数y 1＝y 2＝x 2的顶点为(0，0)，当k ＝1时，函数y 1＝(x －1)2＋1的顶点为(1，1)，函数y 2＝(x ＋1)2－1的顶点为(－1，－1)，∴它们的顶点都在直线y ＝x 的图象上，因为它们的坐标均满足解析式y ＝x ；(3)证明：令(x －k )2＋k ＝(x ＋k )2－k ， 整理得4kx ＝2k ，∵函数y 1＝(x －k )2＋k 和y 2＝(x ＋k )2－k 的图象相交于点A ， ∴k ≠0， 解得x ＝12，∴x 是与k 无关的常数；此时y ＝(12＋k )2－k ＝k 2＋14≥14，即y 的最小值为14.11。

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浙江省2017—2019年中考数学真题汇编专题5：二次函数姓名：__________班级：__________考号：__________一、、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.（2019年浙江省温州市）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2【考点】二次函数的性质，二次函数的最值【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．2.（2019年浙江省绍兴市）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位【考点】二次函数图象与几何变换【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选：B．【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．3.（2019年浙江省嘉兴市）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上，②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2，④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④【考点】一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，等腰直角三角形【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．解：二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上故结论①正确，②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1解得：x＝m﹣，x＝m+∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|解得：m＝0或1∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确，③∵x1+x2＞2m∴∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离∵x1＜x2，且﹣1＜0∴y1＞y2故结论③错误，④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．4.（2019年浙江省湖州市）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B． C．D．【考点】一次函数的图象，二次函数的图象【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．解：解得或．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（0，﹣）或点（1，a+b）．在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故选项A错误，在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B错误，在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C错误，在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．5.（2019年浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1【考点】抛物线与x轴的交点【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．解：∵y＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+1，∴△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N，当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1，综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．【点评】本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．6.（2019年浙江省衢州市）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线顶点式可求得答案．解：∵y＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．7.（2018年浙江省杭州市）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】二次函数的最值；抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．解：假设甲和丙的结论正确，则，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+4．当x=﹣1时，y=x2﹣2x+4=7，∴乙的结论不正确；当x=2时，y=x2﹣2x+4=4，∴丁的结论正确．∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，∴假设成立．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．8.（2018年浙江省杭州市临安市）抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【考点】二次函数的性质【分析】已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．解：∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．9.（2017年浙江省杭州市）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．解：由对称轴，得b=﹣2a．（m﹣1）a+b=ma﹣a﹣2a=（m﹣3）a当m＜1时，（m﹣3）a＞0，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用对称轴得出b=﹣2a是解题关键．10.（2017年浙江省义乌市）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y=x2+8x+14 B．y=x2﹣8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2﹣4x+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先由对称计算出C点的坐标，再根据平移规律求出新抛物线的解析式即可解题．解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，∴矩形ABCD关于坐标原点对称，∵A点C点是对角线上的两个点，∴A点、C点关于坐标原点对称，∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；∴抛物线由A点平移至C点，向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；∵抛物线经过A点时，函数表达式为y=x2，∴抛物线经过C点时，函数表达式为y=（x+4）2﹣2=x2+8x+14，故选A．二、、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）11.（2019年浙江省台州市）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC ＝90°，BD＝4，且＝，则m+n的最大值为．【考点】平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【分析】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE＝x，CF ＝y，BN＝x，BM＝y，得到DM＝y﹣4，DN＝4﹣x，根据相似三角形的性质得到xy＝mn，y＝﹣x+10，由＝，得到n＝m，于是得到（m+n）最大＝m，然后根据二次函数的性质即可得到结论．解：过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE＝x，CF＝y，BN＝x，BM＝y，∵BD＝4，∴DM＝y﹣4，DN＝4﹣x，∵∠ABC＝∠AEB＝∠BFC＝∠CMD＝∠AND＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，∴△ABE∽△BFC，∴，即＝，∴xy＝mn，∵∠ADN＝∠CDM，∴△CMD∽△AND，∴＝，即＝，∴y＝﹣x+10，∵＝，∴n＝m，∴（m+n）最大＝m，∴当m最大时，（m+n）最大＝m，∵mn＝xy＝x（﹣x+10）＝﹣x2+10x＝m2，∴当x＝﹣＝时，mn最大＝＝m2，∴m最大＝，∴m+n的最大值为×＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12.（2019年浙江省杭州市）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式．【考点】一次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数的性质【分析】根据题意写出一个一次函数即可．解：设该函数的解析式为y＝kx+b，∵函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，∴解得：，所以函数的解析式为y＝﹣x+1，故答案为：y＝﹣x+1．【点评】本题考查了各种函数的性质，题目中x、y均可以取0，故不能是反比例函数．13.（2018年浙江省绍兴市）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据图2判断出绘制直线，根据两点间的距离公式可得答案；（2）根据图2判断出绘制抛物线，利用待定系数法求解可得．解：（1）∵P1（4，0），P2（0，0），4﹣0=4＞0，∴绘制线段P1P2，P1P2=4；（2）∵P1（0，0），0﹣0=0，∴绘制抛物线，设y=ax（x﹣4），把（6，6）代入得：6=12a，解得：a=，∴y=x（x﹣4）=x2﹣2x．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是看图2的判断条件及待定系数法求函数解析式．14.（2017年浙江省温州市）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm．【考点】二次函数的应用．【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣x2+x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，∴BQ=12﹣8=4，由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，∴=，即=，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C（20，0），又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），∴可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得，解得，∴抛物线为y=﹣x2+x+24，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则10.2=﹣x2+x+24，解得x1=6+8，x2=6﹣8（舍去），∴点E的横坐标为6+8，又∵ON=30，∴EH=30﹣（6+8）=24﹣8．故答案为：24﹣8．【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．15.（2016年浙江省衢州市）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为m2．【考点】二次函数的应用．【分析】要求这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值，可设总占地面积为S，中间墙长为x，根据题目所给出的条件列出S与x的关系式，再根据函数的性质求出S的最大值．解：如图，设设总占地面积为S（m2），CD的长度为x（m），由题意知：AB=CD=EF=GH=x，∴BH=48﹣4x，∵0＜BH≤50，CD＞0，∴0＜x＜12，∴S=AB•BH=x（48﹣x）=﹣（x﹣24）2+576∴x＜24时，S随x的增大而增大，∴x=12时，S可取得最大值，最大值为S=432【点评】本题考查实际问题与二次函数最值,需要根据题目列出函数关系式,然后利用函数的性质求出该问题的最值。

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