高等数学(同济版)第一章习题
高等数学(本科少学时类型)同济第三版课后习题答案选解1
高等数学（本科少学时类型）同济第三、四版课后习题答案选解1第一章函数与极限1.1函数P.17习题1.11..005.0:01.0;05.0:1.0,222,1),,1(<=<=<<-<-∈δεδεεδδδx x U x 1..3.下列函数是否为同一函数？为什么？（1）2()2ln ()ln f x x x x j ==与；（2）()f x =()x x j =；（2）（3）()f x =与()g x x =；（4）()f x =与()sin g x x =；解：（1）否；因为定义域不同；（2）否；因为对应关系不同；（2）否；因为函数的定义域不同；（3）是；因为定义域和对应关系及值域都相同；（4）否；因为对应关系及值域都相同；4.求下列函数的定义域：（1）1y x =（2）2232x y x x =-+；（3）arcsin(3)y x =-；（4）1arctan y x =；（5）ln(1)y x =+；（6）1x y e =；解：（1）要使1y x=有意义，需使20,10x x ¹-³故函数的定义域为[-1,0)[(0,1].（2）要使2232x y x x =-+有意义，需使2320x x -+¹故函数的定义域为(-,-2)(-2,1)[1,+.) （3）要使arcsin(3)y x =-有意义，需使31x -£故函数的定义域为[2,4].（4）要使1arctan y x=有意义，需使30,0x x ->¹故函数的定义域为(-,0)(0,3].¥（5）要使ln(1)y x =+有意义，需使10x +>故函数的定义域为+).(1,-¥（6）要使1xy e =有意义，需使0x ≠故定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .5.6.7.8.9.10.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是非奇函数又非偶函数？（1）22(1)y x x =-；（2）233y x x =-；（3）(1)(1)y x x x =-+；（4）2x xa a y -+=；（5）2x xa a y --=；（6）sin cos 1y x x =-+；解：（1）按运算：偶函数与偶函数的和差积仍是偶函数；也可以按定义判定；（2）定义域对称，但()();()()f x f x f x f x -¹-¹-所以是非奇非偶函数；（3）按运算：奇函数与奇函数的积是偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数；所以是奇函数；也可以按定义判定；（4）定义域对称，()()f x f x -=所以函数是偶函数；（5）定义域对称，()()f x f x -=-所以函数是奇函数；（6）定义域对称，但()();()()f x f x f x f x -¹-¹-所以是非奇非偶函数；11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(,)l l -内的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数；两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
高等数学(同济第五版)课后答案第1章
习题1−11. 设A=(−∞, −5)∪(5, +∞), B=[−10, 3), 写出A∪B, A∩B, A\B及A\(A\B)的表达式.解A∪B=(−∞, 3)∪(5, +∞),A∩B=[−10, −5),A\B=(−∞, −10)∪(5, +∞),A\(A\B)=[−10, −5).2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A∩B)C=AC ∪B C.证明因为x∈(A∩B)C⇔x∉A∩B⇔ x∉A或x∉B⇔ x∈AC或x∈B C ⇔ x∈AC ∪B C,所以(A∩B)C=AC ∪B C .3. 设映射f : X →Y, A⊂X, B⊂X . 证明(1)f(A∪B)=f(A)∪f(B);(2)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).证明因为y∈f(A∪B)⇔∃x∈A∪B, 使f(x)=y⇔(因为x∈A或x∈B) y∈f(A)或y∈f(B)⇔ y∈f(A)∪f(B),所以f(A∪B)=f(A)∪f(B).(2)因为y∈f(A∩B)⇒∃x∈A∩B, 使f(x)=y⇔(因为x∈A且x∈B) y∈f(A)且y∈f(B)⇒ y∈f(A)∩f(B),所以f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).4. 设映射f : X→Y, 若存在一个映射g: Y→X, 使, , 其中IXIfg=YIgf=X、IY 分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个x∈X, 有IX x=x; 对于每一个y∈Y, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f −1.证明因为对于任意的y∈Y, 有x=g(y)∈X, 且f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1≠x2, 必有f(x1)≠f(x2), 否则若f(x1)=f(x2) ⇒g[ f(x1)]=g[f(x2)] ⇒ x1=x2.因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射.对于映射g: Y→X, 因为对每个y∈Y, 有g(y)=x∈X, 且满足f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射.5. 设映射f : X→Y, A⊂X . 证明:(1)f −1(f(A))⊃A;(2)当f是单射时, 有f −1(f(A))=A .证明(1)因为x∈A ⇒ f(x)=y∈f(A) ⇒ f −1(y)=x∈f −1(f(A)),所以f −1(f(A))⊃A.(2)由(1)知f −1(f(A))⊃A.另一方面, 对于任意的x∈f −1(f(A))⇒存在y∈f(A), 使f −1(y)=x⇒f(x)=y . 因为y∈f(A)且f是单射, 所以x∈A. 这就证明了f −1(f(A))⊂A. 因此f −1(f(A))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=xy;解由3x+2≥0得32−>x. 函数的定义域为) ,32[∞+−.(2)211xy−=;解由1−x2≠0得x≠±1. 函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, 1)∪(1, +∞).(3)211xxy−−=;解由x≠0且1−x2≥0得函数的定义域D=[−1, 0)∪(0, 1].(4)241xy−=;解由4−x2>0得|x|<2. 函数的定义域为(−2, 2).(5)xysin=;解由x≥0得函数的定义D=[0, +∞).(6) y=tan(x+1);解由21π≠+x(k=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅)得函数的定义域为12−+≠ππkx(k=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅). (7) y=arcsin(x−3);解由|x−3|≤1得函数的定义域D=[2, 4].(8)xxy1arctan3+−=;解由3−x≥0且x≠0得函数的定义域D=(−∞, 0)∪(0, 3).(9) y=ln(x+1);解由x+1>0得函数的定义域D=(−1, +∞).(10)xey1=.解由x≠0得函数的定义域D=(−∞, 0)∪(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x;(2) f(x)=x, g(x)=2x;(3)334)(xxxf−=,31)(−=xxxg.(4)f(x)=1, g(x)=sec2x−tan2x .解(1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x<0时, g(x)=−x.(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin|)(ππϕxxxx, 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ−, ϕ(−2), 并作出函数y=ϕ(x)的图形.解21|6sin|)6(==ππϕ, 22|4sin|)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=−=−ππϕ, 0)2(=−ϕ.9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xxy−=1, (−∞, 1);(2)y=x+ln x, (0, +∞).证明(1)对于任意的x1, x2∈(−∞, 1), 有1−x 1>0, 1−x 2>0. 因为当x1<x2时,0)1)(1(112121221121<−−−=−−−=−xxxxxxxxyy,所以函数xxy−=1在区间(−∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x1, x2∈(0, +∞), 当x1<x2时, 有0ln)()ln()ln(2121221121<+−=+−+=−xxxxxxxxyy,所以函数y=x+ln x在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设f(x)为定义在(−l, l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(−l, 0)内也单调增加.证明对于∀x1, x2∈(−l, 0)且x1<x2, 有−x1, −x2∈(0, l)且−x1>−x2.因为f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以f(−x2)<f(−x1), − f(x2)<−f(x1), f(x2)>f(x1),这就证明了对于∀x1, x2∈(−l, 0), 有f(x1)< f(x2), 所以f(x)在(−l, 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l, l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(−x)=f(−x)+g(−x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−F(x),所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)⋅g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=[−f(x)][−g(x)]=f(x)⋅g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)[−g(x)]=−f(x)⋅g(x)=−F(x),所以F(x)为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y=x2(1−x2);(2)y=3x2−x3;(3)2211xxy+−=;(4)y=x(x−1)(x+1);(5)y=sin x−cos x+1;(6)2xxaay−+=.解(1)因为f(−x)=(−x)2[1−(−x)2]=x2(1−x2)=f(x), 所以f(x)是偶函数.(2)由f(−x)=3(−x)2−(−x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222xfxxxxxf=+−=−+−−=−, 所以f(x)是偶函数.(4)因为f(−x)=(−x)(−x−1)(−x+1)=−x(x+1)(x−1)=−f(x), 所以f(x)是奇函数.(5)由f(−x)=sin(−x)−cos(−x)+1=−sin x−cos x+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(xfaaaaxfxxxx=+=+=−−−−−, 所以f(x)是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y=cos(x−2);(2)y=cos 4x;(3)y=1+sin πx;(4)y=x cos x;(5)y=sin2 x.解(1)是周期函数, 周期为l=2π.(2)是周期函数, 周期为2π=l.(3)是周期函数, 周期为l=2.(4)不是周期函数.(5)是周期函数, 周期为l=π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=xy;(2)xxy+−=11;(3)dcxbaxy++=(ad−bc≠0);(4) y=2sin3x;(5) y=1+ln(x+2);(6)122+=xxy.解(1)由31+=xy得x=y3−1, 所以31+=xy的反函数为y=x3−1.(2)由xxy+−=11得yyx+−=11, 所以xxy+−=11的反函数为xxy+−=11.(3)由dcxbaxy++=得acybdyx−+−=, 所以dcxbaxy++=的反函数为acxbdxy−+−=.(4)由y=2sin 3x得2arcsin31yx=, 所以y=2sin 3x的反函数为2arcsin31xy=.(5)由y=1+ln(x+2)得x=e y−1−2, 所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=e x−1−2.(6)由122+=xxy得yyx−=1log2, 所以122+=xxy的反函数为xxy−=1log2.15. 设函数f(x)在数集X上有定义, 试证: 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数f(x)在X上有界, 则存在正数M, 使|f(x)|≤M, 即−M≤f(x)≤M. 这这就证明了f(x)在X上有下界−M和上界M.再证充分性. 设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1≤f(x)≤ K2 .取M=max{|K1|, |K2|}, 则−M≤ K1≤f(x)≤ K2≤M ,即|f(x)|≤M.这就证明了f(x)在X上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值:(1) y=u2, u=sin x, 61π=x, 32π=x;(2) y=sin u, u=2x, ,81π=x,42π=x;(3)uy=, u=1+x2, x1=1, x2= 2;(4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1;(5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=−1.解(1)y=sin2x, 41)21(6sin221===πy,43)23(3sin222===πy.(2)y=sin2x, 224sin)82sin(1==⋅=ππy,12sin)42sin(2==⋅=ππy.(3)21xy+=, 21121=+=y, 52122=+=y.(4), , . 2xey=1201==eyeey==212(5)y=e2x, y1=e2⋅1=e2, y2=e2⋅(−1)=e−2.17. 设f(x)的定义域D=[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f(x2);(2) f(sinx);(3) f(x+a)(a>0);(4)f(x+a)+f(x−a)(a>0).解(1)由0≤x2≤1得|x|≤1, 所以函数f(x2)的定义域为[−1, 1].(2)由0≤sin x≤1得2nπ≤x≤(2n+1)π (n=0, ±1, ±2⋅⋅⋅), 所以函数f(sin x)的定义域为[2nπ, (2n+1)π] (n=0, ±1, ±2⋅⋅⋅) .(3)由0≤x+a≤1得−a≤x≤1−a, 所以函数f(x+a)的定义域为[−a, 1−a].(4)由0≤x+a≤1且0≤x−a≤1得: 当210≤<a时, a≤x≤1−a; 当21>a时, 无解. 因此当210≤<a时函数的定义域为[a, 1−a], 当21>a时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)(xxxxf, g(x)=ex , 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出这两个函数的图形.解⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)]([xxxeeexgf, 即⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=0 10 00 1)]([xxxxgf. , 即()⎪⎩⎪⎨⎧>=<==−1|| 1|| e1|| ][101)(xexxeexfgxf()⎪⎩⎪⎨⎧>=<=−1|| 1|| 11|| ][1xexxexfg.19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40°(图1−37). 当过水断面ABCD的面积为定值S0时, 求湿周L(L=AC+CD+DB)与水深h之间的函数关系式, 并说明定义域.图1−37解40sinhDCAb==, 又从0)]40cot2([21ShBCBCh=⋅++得hhSBC⋅−=40cot0, 所以hhSL40sin40cos20−+=.自变量h的取值范围应由不等式组h>0, 040cot0>⋅−hhS确定, 定义域为40cot00Sh<<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解(1)当0≤x≤100时, p=90.令0. 01(x0−100)=90−75, 得x0=1600. 因此当x≥1600时, p=75.当100<x<1600时,p=90−(x−100)×0. 01=91−0. 01x.综合上述结果得到. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=1600 751600100 01.0911000 90xxxxp(2). ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=−=1600 151600100 01.0311000 30)60(2xx xxxxxxpP(3) P=31×1000−0. 01×10002=21000(元).习题1−21. 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势, 写出它们的极限:(1)nnx21=;(2)nxnn1)1(−=;(3)212nxn+=;(4)11+−=nnxn;(5) xn=n(−1)n.解(1)当n→∞时, nnx21=→0, 021lim=∞→nn.(2)当n→∞时, nxnn1)1(−=→0, 01)1(lim=−∞→nnn.(3)当n→∞时, 212nx n+=→2, 2)12(lim2=+∞→nn.(4)当n→∞时, 12111+−=+−=nnnxn→0, 111lim=+−∞→nnn.(5)当n→∞时, xn=n(−1)n没有极限.2. 设数列{xn}的一般项nnxn2cosπ=. 问=? 求出N, 使当n>N时, xnnx∞→limn与其极限之差的绝对值小于正数ε, 当ε=0.001时, 求出数N.解. 0lim=∞→nnxnnnxn1|2cos||0|≤=−π. ∀ε >0, 要使|x n−0|<ε , 只要ε<n1, 也就是ε1>n. 取]1[ε=N, 则∀n>N, 有|xn−0|<ε .当ε=0.001时, ]1[ε=N=1000.3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim2=∞→nn;(2)231213lim=++∞→nnn;(3)1lim22=+∞→nann(4). 19 999.0lim=⋅⋅⋅∞→个nn(1)分析要使ε<=−221|01|nn, 只须ε12>n, 即ε1>n.证明因为∀ε>0, ∃]1[ε=N, 当n>N时, 有ε<−|01|2n, 所以01lim2=∞→nn. (2)分析要使ε<<+=−++nnnn41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n.证明因为∀ε>0, ∃]41[ε=N, 当n>N时, 有ε<−++|231213|nn, 所以231213lim=++∞→nnn.(3)分析要使ε<<++=−+=−+nanannannannan22222222)(|1|, 只须ε2an>.证明因为∀ε>0, ∃][2εaN=, 当∀n>N时, 有ε<−+|1|22nan, 所以1lim22=+∞→nan n.(4)分析要使|0.99 ⋅⋅⋅9−1|ε<=−1101n, 只须1101−n<ε , 即ε1lg1+>n.证明因为∀ε>0, ∃]1lg1[ε+=N, 当∀n>N时, 有|0.99 ⋅⋅⋅9−1|<ε , 所以. 19 999.0lim=⋅⋅⋅∞→n4. , 证明. 并举例说明: 如果数列{|xaunn=∞→lim||||limaunn=∞→n|}有极限, 但数列{xn}未必有极限.证明因为, 所以∀ε>0, ∃N∈N, 当n>N时, 有, 从而aunn=∞→limε<−||aun||un|−|a||≤|un−a|<ε .这就证明了|. |||limaunn=∞→数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有极限. 例如, 但不存在. 1|)1(|lim=−∞→nnnn)1(lim−∞→5. 设数列{xn}有界, 又, 证明: . 0lim=∞→nny0lim=∞→nnnyx证明因为数列{xn}有界, 所以存在M, 使∀n∈Z, 有|xn|≤M.又, 所以∀ε>0, ∃N∈N, 当n>N时, 有0lim=∞→nnyMynε<||. 从而当n>N时, 有εε=⋅<≤=−MMyMyxyxnnnnn|||||0|,所以. 0lim=∞→nnnyx6. 对于数列{xn}若x2k→a (k →∞), x2k+1→a (k →∞), 证明: xn→a (n →∞).证明因为x2k→a (k →∞), x2k+1→a (k →∞), 所以∀ε>0,∃K1, 当2k>2K1时, 有| x2k−a |<ε ;∃K2, 当2k+1>2K2+1时, 有| x2k+1−a |<ε..取N=max{2K1, 2K2+1}, 只要n>N, 就有|xn−a |<ε . 因此xn→a (n →∞).习题1−31. 根据函数极限的定义证明:(1); 8)13(lim3=−→xx(2); 12)25(lim2=+→xx(3)424lim22−=+−−→xxx;(4)21241lim321=+−−→xxx.证明(1)分析|(3x−1)−8|=|3x−9|=3|x−3|, 要使|(3x−1)−8|<ε , 只须ε31|3|<−x.证明因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x−3|<δ时, 有|(3x−1)−8|<ε , 所以.8)13(lim3=−→xx(2)分析|(5x+2)−12|=|5x−10|=5|x−2|, 要使|(5x+2)−12|<ε , 只须ε51|2|<−x.证明因为∀ε>0, ∃εδ51=, 当0<|x−2|<δ时, 有|(5x+2)−12|<ε , 所以.12)25(lim2=+→xx(3)分析|)2(||2|244)4(2422−−=+=+++=−−+−xxxxxxx, 要使ε<−−+−)4(242xx, 只须ε<−−|)2(|x.证明因为∀ε>0, ∃εδ=, 当0<|x−(−2)|<δ时, 有ε<−−+−)4(242xx, 所以424lim22−=+−−→xxx.(4)分析|)21(|2|221|212413−−=−−=−+−xxxx, 要使ε<−+−212413xx, 只须ε21|)21(|<−−x.证明因为∀ε>0, ∃εδ21=, 当δ<−−<|)21(|0x时, 有ε<−+−212413xx, 所以21241lim321=+−−→xxx.2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim33=+∞→xxx;(2)0sin lim=+∞→xxx.证明(1)分析333333||21212121xxxxxx=−+=−+, 要使ε<−+212133xx, 只须ε<3||21x, 即321||ε>x.证明因为∀ε>0, ∃321ε=X, 当|x|>X时, 有ε<−+212133xx, 所以2121lim33=+∞→xxx.(2)分析xxxxx1|sin|0sin≤=−, 要使ε<−0sinxx, 只须ε<x1, 即21ε>x.证明因为∀ε>0, ∃21ε=X, 当x>X时, 有ε<−0sinxx, 所以0sinli m=+∞→xxx.3. 当x→2时, y=x2→4. 问δ等于多少, 使当|x−2|<δ时, |y−4|<0. 001？解由于x→2, |x−2|→0, 不妨设|x−2|<1, 即1<x<3. 要使|x2−4|=|x+2||x−2|<5|x−2|<0. 001, 只要0002.05001.0|2|=<−x, 取δ=0. 0002, 则当0<|x−2|<δ时, 就有|x2−4|<0. 001.4. 当x→∞时, 13122→+−=xxy, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y−1|<0.01?解要使01.034131222<+=−+−xxx, 只397301.04||=−>x, 397=X.5. 证明函数f(x)=|x| 当x→0时极限为零.6. 求,)(xxxf= xxx||)(=ϕ当x→0时的左﹑右极限, 并说明它们在x→0时的极限是否存在.证明因为11limlim)(lim000===−−−→→→xxxxxxf,11limlim)(lim000===+++→→→xxxxxxf,, )(lim)(lim00xfxfxx+→→=−所以极限存在. )(lim0xfx→因为1lim||lim)(lim000−=−==−−−→→→xxxxxxxxϕ,1lim||lim)(lim000===+++→→→xxxxxxxxϕ,, )(lim)(lim00xxxxϕϕ+→→≠−所以极限不存在. )(lim0xxϕ→7. 证明: 若x→+∞及x→−∞时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则. Axfx=∞→)(lim证明因为, , 所以∀ε>0, Axfx=−∞→)(limAxfx=+∞→)(lim∃X1>0, 使当x<−X1时, 有|f(x)−A|<ε ;∃X2>0, 使当x>X2时, 有|f(x)−A|<ε .取X=max{X1, X2}, 则当|x|>X时, 有|f(x)−A|<ε , 即. Axfx=∞→)(lim8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x→x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f(x)→A(x→x0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x−x0|<δ 时, 有|f(x)−A|<ε .因此当x0−δ<x<x0和x0<x<x0+δ 时都有|f(x)−A|<ε .这说明f(x)当x→x0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性. 设f(x0−0)=f(x0+0)=A, 则∀ε>0,∃δ1>0, 使当x0−δ1<x<x0时, 有| f(x)−A<ε ;∃δ2>0, 使当x0<x<x0+δ2时, 有| f(x)−A|<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x−x0|<δ 时, 有x0−δ1<x<x0及x0<x<x0+δ2 , 从而有| f(x)−A|<ε ,即f(x)→A(x→x0).9. 试给出x→∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解x→∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f(x)当x→∞时的极限存在, 则存在X>0及M>0, 使当|x|>X时, |f(x)|<M.证明设f(x)→A(x→∞), 则对于ε=1, ∃X>0, 当|x|>X时, 有|f(x)−A|<ε =1. 所以|f(x)|=|f(x)−A+A|≤|f(x)−A|+|A|<1+|A|.这就是说存在X>0及M>0, 使当|x|>X时, |f(x)|<M, 其中M=1+|A|.习题1−41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.例如, 当x→0时, α(x)=2x, β(x)=3x都是无穷小, 但32)()(lim0=→xxxβα, )()(xxβα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+−=xxy当x→3时为无穷小;(2)xxy1sin=当x→0时为无穷小.证明(1)当x≠3时|3|39||2−=+−=xxxy. 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x−3|<δ时, 有εδ=<−=+−=|3|39||2xxxy,所以当x→3时392+−=xxy为无穷小.(2)当x≠0时|0||1sin|||||−≤=xxxy. 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x−0|<δ时, 有εδ=<−≤=|0||1sin|||||xxxy,所以当x→0时xxy1sin=为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xxy21+=为当x→0时的无穷大. 问x应满足什么条件, 能使|y|>104？证明分析2||11221||−≥+=+=xxxxy, 要使|y|>M, 只须Mx>−2||1, 即21||+<Mx.证明因为∀M>0, ∃21+=Mδ, 使当0<|x−0|<δ时, 有Mxx>+21,所以当x→0时, 函数xxy21+=是无穷大.取M=104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<−<x时, |y|>104.4. 求下列极限并说明理由:(1)xxn12lim+∞→;(2)xxx−−→11lim20.解(1)因为xxx1212+=+, 而当x→∞ 时x1是无穷小, 所以212lim=+∞→xxn. (2)因为xxx+=−−1112(x≠1), 而当x→0时x为无穷小, 所以111lim20=−−→xxx.5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:6. 函数y=xcos x在(−∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x→+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y=xcos x在(−∞, +∞)内无界.这是因为∀M>0, 在(−∞, +∞)内总能找到这样的x, 使得|y(x)|>M. 例如y(2kπ)=2kπ cos2kπ=2kπ (k=0, 1, 2, ⋅⋅⋅),当k充分大时, 就有| y(2kπ)|>M.当x→+∞ 时, 函数y=xcos x不是无穷大.这是因为∀M>0, 找不到这样一个时刻N, 使对一切大于N的x, 都有|y(x)|>M. 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππkkky(k=0, 1, 2, ⋅⋅⋅),对任何大的N, 当k充分大时, 总有Nkx>+=22ππ, 但|y(x)|=0<M.7. 证明: 函数xxy1sin1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x→0+时的无穷大. 证明函数xxy1sin1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M>0, 在(0, 1]中总可以找到点xk, 使y(xk)>M. 例如当221ππ+=kxk(k=0, 1, 2, ⋅⋅⋅)时, 有22)(ππ+=kxyk,当k充分大时, y(xk)>M.当x→0+ 时, 函数xxy1sin1=不是无穷大. 这是因为∀M>0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点xk, 使0<xk<δ, 但y(xk)<M. 例如可取πkxk21=(k=0, 1, 2, ⋅⋅⋅),当k充分大时, xk<δ, 但y(xk)=2kπsin2kπ=0<M.习题1−51. 计算下列极限:(1)35lim22−+→xxx;解9325235lim222−=−+=−+→xxx.(2)13lim223+−→xxx;解01)3(3)3(13lim22223=+−=+−→xxx.(3)112lim221−+−→xxxx;解02011lim)1)(1()1(lim112lim121221==+−=+−−=−+−→→→xxxxxxxxxxx.(4)xxxxxx2324lim2230++−→;解2123124lim2324lim202230=++−=++−→→xxxxxxxxxx.(5)hxhxh220)(lim−+→;解xhx hxhhxxhxhxhhh2)2(lim2lim)(lim02220220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim2xxx+−∞→;解21lim1lim2)112(lim22=+−=+−∞→∞→∞→xxxxxxx.(7)121lim22−−−∞→xxxx;解2111211lim121lim2222=−−−=−−−∞→∞→xxxxxxxx.(8)13lim242−−+∞→xxxxx;解013lim242=−−+∞→xxxxx(分子次数低于分母次数, 极限为零)或012111lim13lim4232242=−−+=−−+∞→∞→xxxxxxxxxx.(9)4586lim224+−+−→xxxxx;解32142412lim)4)(1()4)(2(lim4586lim44224=−−=−−=−−−−=+−+−→→→xxxxxxxxxx xxx.(10))12)(11(lim2xxx−+∞→;解221)12(lim)11(lim)12)(11(lim22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→xxxxxxx.(11))21 41211(limnn+⋅⋅⋅+++∞→;解2211)21(1lim)21 41211(lim1=−−=+⋅⋅⋅++++∞→∞→nnnn.(12)2)1( 321limnnn−+⋅⋅⋅+++∞→;解211lim212)1(lim)1( 321lim22=−=−=−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→nnnnnnnnnn.(13)35)3)(2)(1(limnnnnn+++∞→;解515)3)(2)(1(lim3=+++∞→nnnnn (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→nnnnnnnnn.(14))1311(lim31xxx−−−→;解112lim)1)(1()2)(1(lim)1)(1(31lim)1311(lim212122131−=+++−=++−+−−=++−−++=−−−→→→→xxxxxxxxxxxxxxxxxxx.2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim−+→xxxx;解因为01602)2(lim2322==+−→xxxx, 所以∞=−+→2232)2(2limxxxx.(2)12lim2+∞→xxx;解∞=+∞→12lim2xxx (因为分子次数高于分母次数).(3). )12(lim3+−∞→xxx解(因为分子次数高于分母次数). ∞=+−∞→)12(lim3xxx3. 计算下列极限:(1)xxx1sinlim20→;解01sinlim20=→xxx(当x→0时, x2是无穷小, 而x1sin是有界变量).(2)xxxarctanlim∞→.解0arctan1limarctanlim=⋅=∞→∞→xxxxxx(当x→∞时, x1是无穷小, 而arctan x是有界变量).4. 证明本节定理3中的(2).习题1−61. 计算下列极限:(1)xxxωsinlim0→;解ωωωωω==→→xxxxxxsinlimsinlim00.(2)xxx3tanlim0→;解33cos133sinlim33tanlim00=⋅=→→xxxxxxx.(3)xxx5sin2sinlim0→;解52525sin522sinlim5sin2sinlim00=⋅⋅=→→xxxxxxxx.(4); xxxcotlim0→解1coslimsinlimcossinlimcotlim0000=⋅=⋅=→→→→xxxxxxxxxxxx.(5)xxxxsin2cos1lim0−→;解法一()2sinlim2sin2lim2cos1limsin2cos1lim20220200===−=−→→→→xxxxxxxxxxxxx. 解法二2sinlim2sinsin2limsin2cos1lim0200===−→→→xxxxxxxxxxx.(6)nnnx2sin2lim∞→(x为不等于零的常数).解xxxxxnnnnnn=⋅=∞→∞→22sinlim2sin2lim.2. 计算下列极限:(1)xxx10)1(lim−→;解{}11)(10)1()(1010)](1[lim)](1[lim)1(lim−−−→−−→→=−+=−+=−exxxxxxxxx. (2)xxx10)21(lim+→;解[]22210221010)21(lim)21(lim)21(limexxxxxxxxx=+=+=+→⋅→→.(3)xxxx2)1(lim+∞→;解[]222)11(lim)1(limexxxxxxx=+=+∞→∞→.(4)kxxx)11(lim−∞→(k为正整数).解kkxxkxxexx−−−∞→∞→=−+=−))(()11(lim)11(lim.3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I′.解4. 利用极限存在准则证明:(1)111lim=+∞→nn;证明因为nn11111+<+<,而且11lim=∞→n1)11(lim=+∞→nn,由极限存在准则I, 111lim=+∞→nn.(2)()11 211lim222=++⋅⋅⋅++++∞→πππnnnnnn;证明因为()πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+22222221 211nnnnnnnnnn,而1lim22=+∞→πnnnn, 1lim22=+∞→πnnn,所以()11 211lim222=++⋅⋅⋅++++∞→πππnnnnnn.(3)数列2, 22+, 222++, ⋅⋅⋅的极限存在;证明21=x, nnxx+=+21(n=1, 2, 3, ⋅⋅⋅).先证明数列{xn}有界. 当n=1时221<=x, 假定n=k时xk<2, 当n=k+1时, 22221=+<+=+kkxx,所以xn<2(n=1, 2, 3, ⋅⋅⋅), 即数列{xn}有界.再证明数列单调增.nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx+++−−=++−+=−+=−+2)1)(2(22221,而xn−2<0, xn+1>0, 所以xn+1−xn>0, 即数列{xn}单调增.因为数列{xn}单调增加有上界, 所以此数列是有极限的.(4)11lim0=+→nxx;证明当|x|≤1时, 则有1+x≤1+|x|≤(1+|x|)n ,1+x≥1−|x|≥(1−|x|)n,从而有||11||1xxxn+≤+≤−.因为, 1|)|1(lim|)|1(lim00=+=−→→xxxx根据夹逼准则, 有11lim0=+→nxx.(5)[]11lim0=+→xxx.证明因为[]xxx1111≤<−, 所以[]111≤<−xxx.又因为, 根据夹逼准则, 有11lim)1(lim00==−++→→xxx[]11lim0=+→xxx.习题1−71. 当x→0时, 2x−x2 与x2−x3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim2lim202320=−−=−−→→xxxxxxxxx,所以当x→0时, x2−x3是高阶无穷小, 即x2−x3=o(2x−x2).2. 当x→1时, 无穷小1−x和(1)1−x3, (2))1(212x−是否同阶？是否等价？解(1)因为3)1(lim1)1)(1(lim11lim212131=++=−++−=−−→→→xxxxxxxxxxx,所以当x→1时, 1−x和1−x3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim211)1(21lim121=+=−−→→xxxxx,所以当x→1时, 1−x和)1(212x−是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x→0时, 有:(1) arctanx~x;(2)2~1sec2xx−.证明(1)因为1tanlimarctanlim00==→→yyxxyx(提示: 令y=arctan x, 则当x→0时, y →0),所以当x→0时, arctanx~x.(2)因为()122sin2lim22sin2limcoscos1lim2211seclim202202020===−=−→→→→xxxxxxxx xxxxx,所以当x→0时, 2~1sec2xx−.4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:(1)xxx23tanlim0→;(2)mnxxx)(sin)sin(lim0→(n, m为正整数);(3)xxxx30sinsintanlim−→;(4))1sin1)(11(tansinlim320−+−+−→xxxxx.解(1)2323lim23tanlim00==→→xxxxxx.(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mnmnmnxxxxmnxmnx 0 1lim)(sin)si n(lim00.(3)21cos21limsincoscos1limsin)1cos1(sinlimsinsintanlim220203030==−=−=−→→→→xxxxxxxxxxxxxxxx.(4)因为32221)2(2~2sintan2)1(costantansinxxxxxxxxx−=⋅−−=−=−(x→0),23232223231~11)1(11xxxxx++++=−+(x→0),xxxxx~sin~1sin1sin1sin1++=−+(x→0),所以33121lim)1sin1)(11(tansinlim230320−=⋅−=−+−+−→→xxxxxxxxx.5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质:(1) α ~α (自反性);(2) 若α~β, 则β~α(对称性);(3)若α~β, β~γ, 则α~γ(传递性).证明(1)1lim=αα, 所以α~α ;(2) 若α~β, 则1lim=βα, 从而1lim=αβ. 因此β~α ;(3) 若α~β, β~γ, 1limlimlim=⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1−81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1); ⎩⎨⎧≤<−≤≤=21 210 )(2xxxxxf(2). ⎩⎨⎧>≤≤−=1|| 111 )(xxxxf解(1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f(x)在[0, 1)和(1, 2]内是连续的.在x=1处, 因为f(1)=1, ,1lim)(lim211==−−→→xxfxx1)2(lim)(lim11=−=++→→xxfxx所以, 从而函数f(x)在x=1处是连续的. 1)(lim1=→xfx综上所述，函数f(x)在[0, 2]上是连续函数.(2)只需考察函数在x=−1和x=1处的连续性.在x=−1处, 因为f(−1)=−1, , , 所以函数在x=−1处间断, 但右连续. )1(11lim)(lim11−≠==−−−→−→fxfxx)1(1lim)(lim11−=−==++−→−→fxxfxx在x=1处, 因为f(1)=1, =f(1), =f(1), 所以函数在x=1处连续. 1lim)(lim11==−−→→xxfxx11lim)(lim11==++→→xxxf综合上述讨论, 函数在(−∞, −1)和(−1, +∞)内连续, 在x=−1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+−−=xxxy, x=1, x=2;(2)xxytan=, x=k, 2ππ+=kx (k=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅);(3),1cos2xy= x=0;(4), x =1. ⎩⎨⎧>−≤−=1 31 1xxxxy解(1))1)(2()1)(1(23122−−−+=+−−=xxxxx xxy. 因为函数在x=2和x=1处无定义, 所以x=2和x=1是函数的间断点.因为∞=+−−=→→231limlim2222xxxyxx, 所以x=2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim11−=−+=→→xxyxx, 所以x=1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x=1处, 令y=−2, 则函数在x=1处成为连续的.(2)函数在点x=kπ(k∈Z)和2 ππ+=kx(k∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→xxkxtanlimπ(k≠0), 故x=kπ(k≠0)是第二类间断点;因为1tanlim0=→xxx, 0tanlim2=+→xxkxππ(k∈Z), 所以x=0和2 ππ+=kx(k∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y|x=0=1, 则函数在x=0处成为连续的;令2 ππ+=kx时, y=0, 则函数在2 ππ+=kx处成为连续的.(3)因为函数xy1cos2=在x=0处无定义, 所以x=0是函数xy1cos2=的间断点. 又因为xx1coslim20→不存在, 所以x=0是函数的第二类间断点.(4)因为,所以x=1是函数的第一类不可去间断点.0)1(lim)(lim11=−=−−→→xxfxx2)3(lim)(lim11=−=++→→xxfxx3. 讨论函数xxxxfnnn2211lim)(+−=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型.解⎪⎩⎪⎨⎧<=>−=+−=∞→1|| 1|| 01|| 11lim)(22xxxxxxxxxfnnn.在分段点x=−1处, 因为, , 所以x=−1为函数的第一类不可去间断点.1)(lim)(lim11=−=−−−→−→xxfxx1lim)(lim11−==++−→−→xxfxx在分段点x=1处, 因为, , 所以x=1为函数的第一类不可去间断点. 1lim)(lim11==−−→→xxfxx1)(lim)(lim11−=−=++→→xxfxx4. 证明: 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)≠0, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当x ∈U(x0)时, f(x)≠0.证明不妨设f(x0)>0. 因为f(x)在x0连续, 所以, 由极限的局部保号性定理, 存在x0)()(lim00>=→xfxfxx0的某一去心邻域, 使当x∈时f(x)>0, 从而当x∈U(x)(0xU)(0xU0)时, f(x)>0. 这就是说, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当x∈U(x0)时, f(x)≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子:(1)x=0, ±1, ±2, 21±, ⋅⋅⋅, ±n, n1±, ⋅⋅⋅是f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;(2)f(x)在R上处处不连续, 但|f(x)|在R上处处连续;(3)f(x)在R上处处有定义, 但仅在一点连续.解函数xxxfππcsc)csc()(+=在点x=0, ±1, ±2, 21±, ⋅⋅⋅, ±n, n1±, ⋅⋅⋅处是间断的, 且这些点是函数的无穷间断点.解(2)函数在R上处处不连续, 但|f(x)|=1在R上处处连续. ⎩⎨⎧∉∈−=QQxxxf 1 1)( 解(3)函数在R上处处有定义, 它只在x=0处连续. ⎩⎨⎧∉−∈=QQxxxxxf )(习题1−91. 求函数633)(223−+−−+=xxxxxxf的连续区间, 并求极限, 及. )(lim0xfx→)(lim3xfx−→)(lim2xfx→解)2)(3()1)(1)(3(633)(223−++−+=−+−−+=xxxxxxxxxxxf, 函数在(−∞, +∞)内除点x=2和x=−3外是连续的, 所以函数f(x)的连续区间为(−∞, −3)、(−3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x=0处, 21)0()(lim0==→fxfx.在函数的间断点x=2和x=−3处,∞=−++−+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim22xxxxxxfxx,582)1)(1(lim)(lim33−=−+−=−→−→xxxxfxx.2. 设函数f(x)与g(x)在点x0连续, 证明函数ϕ(x)=max{f(x), g(x)}, ψ(x)=min{f(x), g(x)}在点x0也连续.证明已知, . )()(lim00xfxfxx=→)()(lim00xgxgxx=→可以验证] |)()(|)()([21)(xgxfxgxfx−++=ϕ,] |)()(|)()([21)(xgxfxgxfx−−+=ψ.因此] |)()(|)()([21)(00000xgxfxgxfx−++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000xgxfxgxfx−−+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim)(lim00xgxfxgxfxxxxx−++=→→ϕ] |)(lim)(lim|)(lim)(lim[210000xgxfxgxfxxxxxxxx→→→→−++=] |)()(|)()([210000xgxfxgxf−++==ϕ(x0),所以ϕ(x)在点x0也连续.同理可证明ψ(x)在点x0也连续.3. 求下列极限:(1)52lim20+−→xxx;(2)34)2(sinlimxxπ→;(3))2cos2ln(lim6xxπ→(4)xxx11lim0−+→;(5)145lim1−−−→xxxx;(6)axaxax−−→sinsinlim;(7))(lim22xxxxx−−++∞→.解(1)因为函数52)(2+−=xxxf是初等函数, f(x)在点x=0有定义, 所以55020)0(52lim220=+⋅−==+−→fxxx.(2)因为函数f(x)=(sin 2x)3是初等函数, f(x)在点x=4π有定义, 所以1)42(sin)4()2(sinlim334=⋅==→πππfxx.(3)因为函数f(x)=ln(2cos2x)是初等函数, f(x)在点x=6π有定义, 所以0)62cos2ln()6()2cos2ln(lim6=⋅==→πππfxx.(4)211101111lim)11(lim)11()11)(11(lim11lim0000=++=++=++=++++−+=−+→→→→xxxxxxxxxxxxxx.(5))45)(1(44lim)45)(1()45)(45(lim145lim111xxxxxxxxxxxxxxxxx+−−−=+−−+−−−=−−−→→→214154454lim1=+−⋅=+−=→xxx.(6)axaxaxaxaxaxax−−+=−−→→2sin2cos2limsinsinlimaaaaxaxaxaxaxcos12cos22sinlim2coslim=⋅+=−−⋅+=→→.(7))())((lim)(lim22222222xxxxxxxxxxxxxxxxxx−++−++−−+=−−++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=−++=−++=+∞→+∞→xxxxxxxxx.4. 求下列极限:(1)xxe1lim∞→;(2)xxxsinlnlim0→;(3)2)11(limxxx+∞→;(4); xxx2cot20)tan31(lim+→(5)21)63(lim−∞→++xxxx;(6)xxxxxx−++−+→20sin1sin1tan1lim.解(1) 1lim01lim1===∞→∞→eeexxxx.(2) 01ln)sinlimln(sinlnlim00===→→xxxxxx.(3) []eexxxxxx==+=+∞→∞→21212)11(lim)11(lim.(4) []33tan3120cot2022)tan31(lim)tan31(limexxxxxx=+=+→→.(5)21633621)631()63(−+−⋅−+−+−+=++xxxxxxx. 因为exxx=+−+−+∞→36)631(lim, 232163lim−=−⋅+−∞→xxx,所以2321)63(lim−−∞→=++exxxx.(6))sin1tan1)(1sin1()1sin1)(sin1tan1(limsin1sin1tan1lim22020xxxxxxxx xxxxxx+++−++++−+=−++−+→→21)2(2limsin2sin2tanlim)sin1tan1(sin)1sin1)(sin(tanlim320220220=⋅=⋅=+++++−=→→→xxxxxxxxxxxxxxxxx.5. 设函数应当如何选择数a, 使得f(x)成为在(−∞, +∞)内的连续函数？⎩⎨⎧≥+<=0 0 )(xxaxexfx解要使函数f(x)在(−∞, +∞)内连续, 只须f(x)在x=0处连续, 即只须. afxfxfxx===+→−→)0()(lim)(lim00因为, , 所以只须取a=1. 1lim)(lim00==−→−→xxxexfaxaxfxx=+=+→+→)(lim)(lim00习题1−101. 证明方程x5−3x=1至少有一个根介于1和2之间.证明设f(x)=x5−3x−1, 则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数.因为f(1)=−3, f(2)=25, f(1)f(2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2), 使f(ξ)=0, 即x=ξ 是方程x5−3x=1的介于1和2之间的根.因此方程x5−3x=1至少有一个根介于1和2之间.2. 证明方程x=asinx+b, 其中a>0, b>0, 至少有一个正根, 并且它不超过a+b.证明设f(x)=asin x+b−x, 则f(x)是[0, a+b]上的连续函数.f(0)=b, f(a+b)=a sin (a+b)+b−(a+b)=a[sin(a+b)−1]≤0.若f(a+b)=0, 则说明x=a+b就是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的根;若f(a+b)<0, 则f(0)f(a+b)<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a+b), 使f(ξ)=0, 这说明x=ξ 也是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的根.总之, 方程x=asinx+b至少有一个正根, 并且它不超过a+b.3. 设函数f(x)对于闭区间[a, b]上的任意两点x、y, 恒有|f(x)−f(y)|≤L|x−y|, 其中L 为正常数, 且f(a)⋅f(b)<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a, b), 使得f(ξ)=0.证明设x0为(a, b)内任意一点. 因为, 0||lim|)()(|lim00000=−≤−≤→→xxLxfxfxxxx所以, 0|)()(|lim00=−→xfxfxx即. )()(lim00xfxfxx=→因此f(x)在(a, b)内连续.同理可证f(x)在点a处左连续, 在点b处右连续, 所以f(x)在[a, b]上连续.因为f(x)在[a, b]上连续, 且f(a)⋅f(b)<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a, b), 使得f(ξ)=0.4. 若f(x)在[a, b]上连续, a<x1<x2< ⋅⋅⋅ <xn<b, 则在[x1, xn]上至少有一点ξ, 使nxfxfxffn)( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ.证明显然f(x)在[x1, xn]上也连续. 设M和m分别是f(x)在[x1, xn]上的最大值和最小值.因为xi∈[x1, xn](1≤ i≤n), 所以有m≤f(xi)≤M, 从而有, Mnxfxfxfmnn⋅≤+⋅⋅⋅++≤⋅)( )()(21Mnxfxfxfmn≤+⋅⋅⋅++≤)( )()(21.由介值定理推论, 在[x1, xn]上至少有一点ξ使nxfxfxffn)( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ.5. 证明: 若f(x)在(−∞, +∞)内连续, 且存在, 则f(x)必在(−∞, +∞)内有界. )(limxfx∞→证明令, 则对于给定的ε>0, 存在X>0, 只要|x|>X, 就有Axfx=∞→)(lim|f(x)−A|<ε , 即A−ε<f(x)<A+ε .又由于f(x)在闭区间[−X, X]上连续, 根据有界性定理, 存在M>0, 使|f(x)|≤M, x∈[−X, X].取N=max{M, |A−ε|, |A+ε|}, 则|f(x)|≤N, x∈(−∞, +∞), 即f(x)在(−∞, +∞)内有界. 6. 在什么条件下, (a, b)内的连续函数f(x)为一致连续？总习题一1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: (1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件. 数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件.(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是存在的________条件. 存在是f(x)在x)(lim0xfxx→)(lim0xfxx→0的某一去心邻域内有界的________条件.(3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是∞=→)(lim0xfxx的________条件. 是f(x)在x∞=→)(lim0xfxx0的某一去心邻域内无界的________条件.(4)f(x)当x→x0时的右极限f(x0+)及左极限f(x0−)都存在且相等是存在的________条件. )(lim0xfxx→解(1) 必要, 充分.(2) 必要, 充分.(3) 必要, 充分.(4) 充分必要.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设f(x)=2x+3x−2. 则当x→0时, 有( ).(A)f(x)与x是等价无穷小; (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小;(C)f(x)是比x高阶的无穷小; (D)f(x)是比x低阶的无穷小.解因为xxxxxfxxxxxxxx13lim12lim232lim)(lim0000−+−=−+=→→→→3ln2ln)1ln(lim3ln)1ln(lim2ln00+=+++=→→uuttut(令2x−1=t, 3x−1=u) .所以f(x)与x同阶但非等价无穷小. 故应选B.3. 设f(x)的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域:(1) f(ex);(2) f(ln x);(3) f(arctan x);(4) f(cos x).解(1)由0≤ex≤1得x≤0, 即函数f(ex)的定义域为(−∞, 0].(2) 由0≤ ln x≤1得1≤x≤e , 即函数f(ln x)的定义域为[1, e].(3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x≤tan 1, 即函数f(arctan x)的定义域为[0, tan 1].(4) 由0≤ cos x≤1得2222ππππ+≤≤−nxn(n=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅),即函数f(cos x)的定义域为[2 ,22ππππ+−nn], (n=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅).4. 设, , ⎩⎨⎧>≤=0 0 0)(xxxxf⎩⎨⎧>−≤=0 0 0)(2xxxxg求f[f(x)], g[g(x)], f[g(x)], g[f(x)].解因为f(x)≥0, 所以f[f(x)]=f(x); ⎩⎨⎧>≤=0 0 0xxx因为g(x)≤0, 所以g[g(x)]=0;因为g(x)≤0, 所以f[g(x)]=0;因为f(x)≥0, 所以g[f(x)]=−f 2(x) . ⎩⎨⎧>−≤=0 0 02xxx5. 利用y=sin x的图形作出下列函数的图形:(1)y=|sin x|;(2)y=sin|x|;(3)2sin2xy=.6. 把半径为R的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为α的函数.解设围成的圆锥的底半径为r, 高为h, 依题意有R(2π−α)=2πr , παπ2)2(−=Rr,παπαπαπ244)2(2222222−=−−=−=R RRrRh.圆锥的体积为παπαπαππ244)2(312222−⋅−⋅=RRV22234)2(24aR−⋅−=πααππ (0<α<2π).7. 根据函数极限的定义证明536lim23=−−−→xxxx.证明对于任意给定的ε>0, 要使ε<−−−−|536|2xxx, 只需|x−3|<ε , 取δ=ε,当0<|x−3|<δ时, 就有|x−3|<ε , 即ε<−−−−|536|2xxx, 所以536lim23=−−−→xxxx.8. 求下列极限:(1)221)1(1lim−+−→xxxx;(2))1(lim2xxxx−++∞→;(3)1)1232(lim+∞→++xxxx;(4)30sintanlimxxxx−→;(5)xxxxxcba10)3(lim++→(a>0, b>0, c>0);(6)xxxtan2)(sinlimπ→.解(1)因为01)1(lim221=+−−→xxxx, 所以∞=−+−→221)1(1limxxxx.(2))1()1)(1(lim)1(lim2222xxxxxxxxxxxx++++−+=−++∞→+∞→211111lim1lim22=++=++=+∞→+∞→xxxxxx.(3) 2121211)1221(lim)1221(lim)1232(lim++∞→+∞→+∞→++=++=++xxxxxxxxxx 21212)1221()1221(lim++++=+∞→xxxxexxxxx=++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim)1 221(lim.(4)xxxxxxxxxxxxxcos)cos1(sinlim)1cos1(sinlimsintanlim303030−=−=−→→→21)2(2limcos2sin2sinlim320320=⋅=⋅=→→xxxxxxxxx (提示: 用等价无穷小换) . (5)xcbacbaxxxxxxxxxxxxxxxcbacba3333010)331(lim)3(lim−++⋅−++→→−+++=++ , 因为ecbaxxxcbaxxxx=−+++−++→330)331(lim,)111(lim3133lim00xcxbxaxcbaxxxxxxxx−+−+−=−++→→])1ln(1limln)1ln(1limln)1ln(1lim[ln31000vcub tavut+++++=→→→3ln)lnln(ln31abccba=++=,所以3ln103)3(limabcecbaabcxxxxx==++→.提示: 求极限过程中作了变换ax−1=t, bx−1=u, cx−1=v.(6)xxxxxxxxtan)1(sin1sin12tan2)]1(sin1[lim)(sinlim−⋅−→→−+=ππ, 因为exxx=−+−→1sin12)]1(sin1[limπ,xxxxxxxcos)1(sinsinlimtan)1(sinlim22−=−→→ππ01sincossinlim)1(sincos)1(sinsinlim222=+−=+−=→→xxxxxxxxxππ,所以1)(sinlim0tan2==→exxxπ.9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0 0 1sin)(2xxaxxxxf, 要使f(x)在(−∞, +∞)内连续, 应怎样选择数a ?解要使函数连续, 必须使函数在x=0处连续.因为f(0)=a, axaxfxx=+=−−→→)(lim)(lim200, 01sinlim)(lim00==++→→xxxfxx,所以当a=0时, f(x)在x=0处连续. 因此选取a=0时, f(x)在(−∞, +∞)内连续.10. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<−+>=−01 )1ln(0 )(11xxxexfx, 求f(x)的间断点, 并说明间断点所属类形.解因为函数f(x)在x=1处无定义, 所以x=1是函数的一个间断点.因为0lim)(lim1111==−→→−−xxxexf(提示−∞=−−→11lim1xx),∞==−→→++1111lim)(limxxxexf(提示+∞=−+→11lim1xx),所以x=1是函数的第二类间断点.又因为0)1ln(lim)(lim00=+=−−→→xxfxx, eexfxxx1lim)(lim1100==−→→++,所以x=0也是函数的间断点, 且为第一类间断点.11. 证明()11 2111lim222=++⋅⋅⋅++++∞→nnnnn.证明因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+nnnnnnnnn, 且。
同济大学版高等数学课后习题答案第1章
习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
高等数学(同济第七版)课后答案解析
(3)相同、因为定义域、对应法则均相同.
(4)不同、因为定义域不同.
际3.设
求。(寻)“仔)・9(-骨)顽-2).并作出函数L)的囲形.
TT
S,,,T i
1(、)的,形如图丨・1所示.
S4.试让F列陥数在指定区间内的单Wi性:
第一章函故与扱限
（2）j = x+In n（0, *8）.证（I） y=/（^）=rL-=-丨+宀（-8』）.
F（-T）=/|（-X）+/2（F=/|（对+人（x） =F（x）,
枚，（大）为偶函数.
设幻（T）,&2（愛）均为奇函数.则幻（-工）=-们（*）,幻（-X）=-g2（■*）•令。（]）=g]（））+&《]）,于是
G（-X）=X|（-X）+评2（-X）=■•幻（x） -&2（1）=f）,
故c（x）为奇函数.
解因为AC= 20= 15,所以,Ali= /^后IF=25.
Ih20 <2-15 <20・25可知，点P、Q在斜边AH上相讷.
令a + 2% = 15+20 + 25J!；x = 20.即当x= 2()时•点七。相遇.因此•所求函數的定义域为(0.20).
(I )当Ov — vIO时，点P在CR上•点Q在CA上(图1-5).
洎6.&卜血所考虑的函救都是定义在区间U）上的.i止明：
（1）两个偶函数的和是偶函数.两个奇函数的和是奇函数；
（2）两个偶函数的乘枳是偶函数，两个奇函数的乘枳是偶函数，偶函数与奇丽数的乗积是奇函数.
证（1）设J|（X）./2（X）均为偶函数，则乂（-X）”（'），（-X）=6（x）.今/⑴=/|（^）+/i（x）,于是
高等数学 同济二版上册课后答案
第一章1-4节 1、计算下列极限7）2382lim 222+--+→x x x x x分析：本题分子分母同时趋近于0，根据表达式的形式，考虑利用约分将趋于0的项约去。
解：原式6)1(lim )4(lim 14lim )2)(1()2)(4(lim2222=-+=-+=---+=→→→→x x x x x x x x x x x x 9）)sin(sin sin lima x ax a x --→分析：本题分子分母同时趋于0，但不能约分，利用复合函数求极限，通过变量替换进行求解 解一：令0,,,→→+=-=u a x u a x a x u 时则。
a uua a u u u a a u u a a uau a u a u a u a u u u u u cos )2cos42sinsin (cos lim ]2cos2sin 2)2sin 21(sin [cos lim ]sin )1(cos sin [cos lim sin sin sin cos cos sin limsin sin )sin(lim020000=-=-+=-+=-+=-+=→→→→→原式 解二：利用三角函数的和差化积，以及等价替换a ax ax a x a x a x a x a x ax cos 22cos 2lim )sin(2sin 2cos2lim=--⋅+⋅=--+=→→原式11）6)1(lim )4(lim 14lim 4lim 020202230=++-=++-=++-→→→→t t t t t t t t t t t t t t t (应该为4) 13）31)312(lim 2lim )312)(4()4(2lim )312)(4(9)12(lim 4312lim44444=++=++--=++--+=--+→→→→→x x x x x x x x x x x x x x本题利用了分子有理化 2、计算下列极限 1）nnn arctan lim∞→解：因为2arctan 01π<→∞→n ，n，n 而时，无穷小与有界函数之积仍然为无穷小，所以原式n nn arctan 1lim∞→==0 2）0sin 1lim 1sin lim=+=+∞→∞→n n nn n n n n 3）1arctan 11arctan 11lim arctan arctan lim =+-=+-∞→∞→xxxx x x x x x x 第一章1-5节 1、计算下列极限 2）βαβαββααβα==→→x x x x x x x x sin sin lim sin sin lim00解法2：原式βαβα==→x x x 0lim5）212cos122sin 21lim 2cos 2sin 22sin 2lim sin cos 1lim 0200=⋅⋅=⋅=-→→→x x x x x x xx x x x x x 解法2：原式2121lim 20=⋅=→x x x x7）πππππ-=-=-=-=-→→→→uu u u u u x x u u u x 0001lim tan lim )1(tan lim 1tan lim分析：本题利用了变量替换和等价替换 9）2)2(21lim )12(coslim 222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞→∞→x x x x x x分析：∞→x 时，02→x 。
第六版同济大学高等数学上下课后答案详解
|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形 解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)) f 1(f(A))A 所以 (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y 因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A 6 求下列函数的自然定义域 (1) y 3x 2 解 由 3x20 得 x 2 函数的定义域为 [ 2 , ) 3 3 (2) y 1 2 1 x 解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) y 1 1 x 2 x 解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1] (4) y
y1 y2
x1 x x1 x2 2 0 1 x1 1 x2 (1 x1)(1 x2 )
【同济第六版高数】第01章函数与极限教案与习题讲解(2)
第一章 函数与极限§1. 2 数列的极限一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A 1；再作内接正八边形, 它的面积记为A 2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A 3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n -1边形的面积记为A n . 这样就得到一系列内接正多边形的面积:A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅设想n 无限增大（记为n →∞, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时A n 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅当n →∞时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数x n , 则得到一列有次序的数x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅这一列有次序的数就叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子:{1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ , 1+n n ⋅ ⋅ ⋅; {2n }: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n , ⋅ ⋅ ⋅;{n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {(-1)n +1}: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (-1)n +1, ⋅ ⋅ ⋅ ;{n n n 1)1(--+}: 2, 21, 34, ⋅ ⋅ ⋅ , n n n 1)1(--+, ⋅ ⋅ ⋅ . 它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 21, (-1)n +1, n n n 1)1(--+. 数列的几何意义:数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅.数列与函数:数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数:x n =f (n ),它的定义域是全体正整数.数列的极限:数列的极限的通俗定义：对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值a , 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛a . 记为a x n n =∞→lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如11lim =+∞→n n n ,021lim =∞→n n , 1)1(lim 1=-+-∞→nn n n ; 而{2n}, { (-1)n +1}, 是发散的.对无限接近的刻划:x n 无限接近于a 等价于|x n -a |无限接近于0,极限的精确定义:定义 如果数列{x n }与常a 有下列关系:对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切x n , 不等式|x n -a |<ε都成立, 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x n n =∞→lim 或x n →a (n →∞). 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.数列极限的几何解释: 例题:例1. 证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n . 分析: |x n -1|=nn n n 1|1)1(|1=--+-. 对于∀ε >0, 要使|x n -1|<ε , 只要ε<n 1, 即ε1>n . 证明: 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N ∈N +, 当n >N 时, 有 |x n -1|=ε<=--+-n n n n 1|1)1(|1, 所以1)1(lim 1=-+-∞→nn n n . 例2. 证明0)1()1(lim2=+-∞→n n n . 分析: |x n -0||0)1()1(|2-+-=n n 11)1(12+<+=n n . 对于∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<+11n , 即11->εn . 证明: 因为∀ε >0, ∃]11[-=εN ∈N +, 当n >N 时, 有 |x n -0|=ε<+<+=-+-11)1(1|0)1()1(|22n n n n , 所以0)1()1(lim 2=+-∞→n n n . 例3. 设|q |<1, 证明等比数列1, q , q 2, ⋅ ⋅ ⋅ , q n -1, ⋅ ⋅ ⋅的极限是0.分析: 对于任意给定的ε >0, 要使|x n -0|=| q n -1-0|=|q | n -1<ε ,只要n >log |q |ε +1就可以了, 故可取N =[log |q |ε +1]。
同济第七版高等数学第1章习题解答
1教材习题同步解析习题1-11. 求下列函数的自然定义域:(7) )3arcsin(-=x y ; (8) xx y 1arctan 3+-=. 解（7）由1|3|≤-x ，得函数的定义域为：]4,2[.（8）由03≥-x 且0≠x ，得函数的定义域为：]3,0()0,( -∞.3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, )2(-ϕ, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.解 如图（1-1），21|6sin |)6(==ππϕ； 22|4sin |)4(==ππϕ； 22|4sin |)4(=-=-ππϕ； 0)2(=-ϕ. 6. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的,证明:(1) 两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2) 两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证 (1) 设)()()(x g x f x F +=.如果)(x f 和g (x )都是偶函数, 则 F (-x ) =)(x f -+g (-x ) =)(x f +g (x ) = F (x ),图1-12所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果)(x f 和g (x )都是奇函数, 则F (-x ) = f (-x ) + g (-x ) = -)(x f -g (x ) = -F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2) 设F (x ) =)(x f ⋅g (x ). 如果)(x f 和g (x )都是偶函数, 则F (-x ) = f (-x )⋅g (-x ) =)(x f ⋅g (x ) = F (x )，所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果)(x f 和g (x )都是奇函数，则F (-x ) = f (-x )⋅g (-x ) = [-f (x )][-g (x )] =)(x f ⋅g (x ) = F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果)(x f 是偶函数, 而g (x )是奇函数，则F (-x ) = f (-x )⋅g (-x ) = f (x )[-g (x )] = -)(x f ⋅g (x ) = -F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.9. 求下列函数的反函数:(3)dcx b ax y ++= (ad -bc ≠0); (6)122+=x x y . 解 (3) 由dcx b ax y ++=，得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为：acx b dx y -+-=. (6)由122+=x x y ，得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为：xx y -=1log 2. 10. 设函数)(x f 在数集X 上有定义, 试证: 函数)(x f 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证 先证必要性.设函数)(x f 在X 上有界, 则存在正数M , 使|)(|x f ≤ M ,即 -M ≤)(x f ≤ M . 这就证明了)(x f 在X 上既有下界-M 又有上界M .再证充分性.3 设函数)(x f 在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1 ≤)(x f ≤ K 2 . 取M = max{|K 1|, |K 2|}, 则-M ≤ K 1≤)(x f ≤ K 2≤M , 即|)(|x f ≤ M . 这就证明了)(x f 在X 上有界.12. 设)(x f 的定义域为]1,0[=D ，求下列函数的定义域： ⑴)(2x f ; ⑵)(sin x f ；⑶)0()(>+a a x f ;⑷)()(a x f a x f -++ )0(>a .解（1）由,11,102≤≤≤≤x x －所以)(2x f 的定义域为；]1,1[-(2) 由,1sin 0≤≤x ),()12(2Z k k x k ∈+≤≤ππ故)(sin x f 的定义域为:])12(,2[ππ+k k )(Z k ∈；(3)由,10≤+≤a x ,1a x a -≤≤－故函数)(a x f +的定义域为:]1,[a a --. (4) 由⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1010a x a x 知,11⎩⎨⎧+≤≤-≤≤a x a a x a －从而当210≤<a 时, 定义域为:]1,[a a -；当21>a 时, 定义域为空集. 13. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f , x x g e )(=, 求)]([x g f ，)]([x f g , 并作出这两个函数的图形.解 1 |e |[()]0 |e |11 |e |1x x x f g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩, 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f . 如图（1-2）。
同济高等数学第一章习题课
f (x) b k = lim [ − ] x→+∞ x x ∴ f (x) k = lim x→+∞ x
(或x →−∞)
f (x) b lim x[ −k − ] = 0 x→+∞ x x f (x) b lim [ −k − ] = 0 x→+∞ x x
b = lim [ f (x) − kx]
1
lim(cos x )
x →0
x2
ln cos x ln(1 + cos x − 1) lim = lim 2 x→ 0 x →0 → x x2 cos x − 1 = lim x→ x →0 x2 x2 − 1 = lim 2 = − x →0 x 2 1 2 − 所以， 所以，原式 = e 2
二、无穷小的比较
例11 当 下列函数分别是x的几阶无穷小 时，下列函数分别是 的几阶无穷小
~ ~
x2 2
x
1 2
2x = 1+ x + 1− x
~
x
练习： 练习： P74，3（1） ， （ ）
求分段函数的极限， 三、求分段函数的极限，判断分段函数的 连续性， 连续性，间断点的类型
例12
解：
1 x>0 x sin x , f ( x) = , 求 lim f ( x ). x x→ 0 → 1 − cos x − x sin 2 , x<0 x2 x 1 − cos x − x sin 2 lim− f ( x ) = lim− x x →0 x →0 x2 x sin 1 − cos x 1 1 2 = lim− − lim− = − =0 x →0 x →0 x2 x2 2 2 1 lim+ f ( x ) = lim+ x sin = 0 x →0 x →0 x lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = 0
(完整版)同济大学第六版高等数学第一章综合测试题
第一章综合测试题一、填空题1、函数1()arccos(1)f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )fg x x =-, 则()g x = .3、已知1tan ,0,()ln(1), 0ax x e e x f x x a x +⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩在0x =连续，则a = . 4、若lim 25nn n c n c →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则c = . 5、函数y =的连续区间为 .二、选择题1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数.（A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）.（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2,x x f x x x ⎧+≠±⎪=-⎨⎪=±⎩ 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断（C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续4、 设lim 0n n n x y →∞=，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界（C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无穷小，则（ ）.（A ）必有m n = （B ）必有m n > （C ）必有m n ≤ （D ）以上情况皆有可能 三、设2,0,1()(||),(),0.2x x f x x x x x x ϕ<⎧=+=⎨≥⎩ 求[()]f x ϕ,[()]f x ϕ. 四、求极限1、22lim(4)tan 4x x x π→-2、3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ 3、11lim 3x x x x →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4、22212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭L 5、1/1/011lim arctan 1x x x e e x→+- 五、讨论函数22(4),0,sin ()(1),01x x x x f x x x x x π⎧-<⎪⎪=⎨+⎪≥⎪-⎩的连续性，如有间断点，判别其类型.六、设kA x αβ==，求A 及k ，使得当x →+∞时，αβ:. 七、已知()f x连续，05x →=，求20()lim x f x x →. 八、设函数)(x f 在(,)-∞+∞内有定义，且在点0x =处连续，对任意1x 与2x 有1212()()()f x x f x f x +=+. 证明：)(x f 在(,)-∞+∞内连续.九、证明：函数()[]f x x x =-在(,)-∞+∞上是有界的周期函数.十、设)(x f 在]1,0[上非负连续，且(0)(1)0f f ==. 证明：对任意实数(01)a a <<必存在实数0[0,1]x ∈，使得0[0,1]x a +∈，且00()()f x a f x +=.。
同济大学《高等数学》(第四版)第一章习题课知识讲解
函数的分类
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)初 等来自函 数函无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若 对 于 每 一 个 x D ,仅 有 一 个 值 yf(x )与 之 对 应 ,则 称 f(x )为 单 值 函 数 ,否 则 就 是 多 值 函 数 .
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
1、函数的定义
定义设 x和y是两个变D量是，一个给定的 集．如果对于x每 D 个，数变量 y按照一定法 则总有确定的数对值应和，它则y是 称x的函数， 记作y f(x)．
数集 D叫做这个函数 ， x的 叫定 做义 自域 变量 y叫做因变量．
9、双曲函数与反双曲函数
双曲 si正 n xh ex 弦 ex 2
双曲 co 余 xse h x 弦 ex 2
双曲 tax n 正 sh ix n 切 e x h e x co xs e xh e x
双曲函数常用公式
sx i y n ) sh x i c n y ( o c h x s o sh y i ; s n h cx o y ) s cx h o cy o ( s sh x s i sn h y i ;n h co 2x s s hi2 n x h 1 ;si2 n x 2 h six n co h x ;s co 2 x s ch 2 o x s si 2 h x n . h 反双曲 ya正 rsi弦 nx;h
同济高等数学第三版上册答案详解
同济高等数学第三版上册答案详解同济大学高等数学第三版上册是比较有名的一本数学教材，最新出版的三版包含了更多的知识和技能。
下面是同济高等数学第三版上册答案详解：第一章：实数和函数1.练习题：1、设x与y为实数，请计算：（1）（2x-3)/(x+2y) = 2x/ (x+2y) - 3/ (x+2y)（2）x+|y|-2y = x-y+2（|y|-|y|）=x-y2、如果a>0,b>0，那么：（1）1/a +1/b = 1/a + 1/b =(ab)/ab=1（2）(a-b)/ab = a/ab - b/ab = (a/b) -13、D=(a +b )2 /4，那么，D/(ab)= (a+b)2/4(ab) =(a+b)/2 2.定理：1、对任何实数x，均有：x-x=02、若a＞b，则a-b＞03、若a＞0，b＞0，则a/b＞1第二章：多项式、函数和系数1.练习题：1、如果a+b=3,且a*b=2，那么：（1）a2 +b2 = 9+4=13（2）a3 + b3 = 8+1=92、若多项式P(x)=2x3+7x2-3x+20，则：（1）P（1）= 2*1^3+7*1^2-3*1+20=26（2）P（-2）=2*(-2)^3+7*(-2)^2-3*(-2)+20=-182.定理：1、若系数a+b=3，则a*b=3-a2、若多项式P(x)=ax3 +bx2 +cx +d，则P(x+h)=a(x+h)3 +b(x+h)2 +c(x+h) +d第三章：极坐标与向量1.练习题：1、如果向量m=(-2,4)，则（1）|m|=根号(-2)^2+4^2=根号20=4.47213（2）m方向的极坐标r=4.47213，O=45°2、若向量m=(3,-3)，则（1）向量m的极坐标r=根号3^2 +(-3)^2 =根号18 =4.24264，\theta=135°（2）向量m在极坐标中的表示法为(4.24264,135°)2.定理：1、若向量a=(a1,a2)和向量b=(b1,b2)，则向量a+b=(a1+b1,a2+b2)2、若向量a=(a1,a2)，则|a|=根号a1^2 +a2^2。
高等数学(同济第五版)第一章(函数与极限)练习题册
第一章 函 数 与 极 限第 一 二 节 作 业一、填空题：1. 函数f(x)=x -3+arctanx1的定义域是 。
2. 设f(x)的定义域是[0，3]，则f(lnx)的定义域是 。
二、选择题（单选）：1. 设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--ππx x x x 0,sin 0,sin 33，则此函数是：（A ）周期函数； （B ）单调增函数； （C ）奇函数； （D ）偶函数。
答：（ ）2. 设f(x)=x e ,g(x)=sin 2x, 则f[g(x)]等于：（A ）xe2sin ； （B ）)(sin 2x e ； （C ）x e x 2sin ； （D ）2)(sin 2xe x答：（ ）三、试解下列各题： 1. 设{1,21,1)(22>-≤--=x x x x x x x f ，求f (1+a)-(1-a), 其中a>0.2. 设f (x+1)=232+-x x , 求f (x).3. 设f (x)=xx+-11 , 求f[f(x)].4. 设y=1+ln(x+2),求其反函数。
四、证明：定义在[-l ，l]上的任何函数f (x)都可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。
第 三 节 作 业一、填空题：设数列{n u }的一般项公式是1213++=n n u n ，n 从 开始，才能使23-n u 〈0.01成立。
二、选择题（单选）：1. 下列数列{n x }中，收敛的是： （A ）n n x nn 1)1(--= ； （B ）1+=n n x n ； （C ）2sin πn x n =； （D ）nn n x )1(--=。
答：（ ） 2. 下列数列{n x }中，发散的是：（A ）n n x 21=； （B ）2)1(5n x n n -+=； （C ）2312+-=n n x n ； （D ）2)1(1n n x -+=。
答：（ ） 三、试利用数列极限定义证明：321312lim=++∞→n n n 。
(同济版高等数学上册)第一章 习题课精选题
(6) lim n
n
1 n 1 ； 2 n
3 单调有界：只是证明极限存在，一般适合数列以递推关系式给出； (1) 设 x1 1 ， x 2 1 4 抓大头 (1)
lim n 1 3n 1 ； n n 3n 1 2
x 0 点连续，证明： f ( x ) 在任一点 x 处都连续.
证明： x , 则有 f ( x x ) f ( x ) f (x ) ， f ( x ) f ( x 0) f ( x ) f (0) 故 y f ( x x ) f ( x ) f ( x )[ f (x ) f (0)]
lim f ( x) 0 lim f ( x) 0
x x0 x x0
二． 数列极限 1 公式变形化简； (1) (2)
当 x 1时, 求 lim(1 x)(1 x 2 )(1 x 4 )
n
(1 x 2 ). ；
n
1 3 2n 1 lim( 2 n ) ； n 2 2 2
x n 1 x1 ， xn 1 ，求 lim x n n 1 x1 1 x n 1
5 无穷小*有界 (1)
lim(1 n
n
)cosn ；
6 (不要求掌握，有余力同学自己看看)利用如下结论 设 liman a ，则以下结果成立
n
(1)
lim
1 x 1
故 a 1；
b lim
x
x
2
x 1 x lim
1 x x2 x 1 x
x
lim
1 1
x
1 1 x x2
同济大学高等数学教材答案
同济大学高等数学教材答案答案提供如下：同济大学高等数学教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限与连续1.3 无穷小与无穷大1.4 间断点与间断1.5 极限运算法则1.6 无穷小的比较1.7 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 函数的求导法则2.4 高阶导数与莱布尼茨公式2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 函数的微分与局部线性化2.7 线性近似与割线法2.8 高阶导数的应用2.9 曲率与曲率半径第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理3.2 柯西中值定理与洛必达法则3.3 微分中值定理的应用3.4 泰勒公式与麦克劳林公式3.5 函数的渐近线与渐近曲线3.6 导数的应用第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与基本性质4.2 基本初等函数的不定积分4.3 不定积分的基本运算法则4.4 函数的定积分与原函数4.5 牛顿—莱布尼茨公式与换元积分法4.6 函数的面积与定积分的应用4.7 罗尔定理与中值定理在积分中的应用第五章：定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 定积分的基本运算法则5.3 定积分的计算方法5.4 牛顿—莱布尼茨公式与变限积分5.5 定积分的应用5.6 广义积分与收敛性第六章：定积分的计算技巧6.1 分部积分法6.2 降阶与换元积分法6.3 罗利尔定理与定积分6.4 狄利克雷函数与阶跃函数6.5 W形曲线6.6 三角换元法6.7 参数化曲线的弧长6.8 数列与级数第七章：微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 可分离变量的微分方程7.3 齐次线性微分方程7.4 一阶线性微分方程7.5 Bernoulli方程7.6 高阶线性微分方程7.7 常系数线性微分方程的解法7.8 非齐次线性微分方程的解法7.9 变量分离与齐次方程组的解法这是一个针对同济大学高等数学教材的章节答案提纲。
每个章节的答案内容都应细致详尽，力求准确解答各个习题及相关概念、性质的说明。
同济大学(高等数学)_第一章_函数极限
第一篇 函数、极限与连续第一章 函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.第1节 集合与函数1.1 集合1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素.如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ∉，读作“a 不属于A ”.一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ.集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为{}P x x M 具有性质|=.例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为{}02|2<--=x x x A .由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即{} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p N q Z p q p Q ,,；（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R .1.1.2 区间与邻域在初等数学中，常见的在数集是区间.设R b a ∈,，且b a <，则（1）开区间 {}b x a x b a <<=|),(；（2）半开半闭区间 {}b x a x b a <≤=|),[，{}b x a x b a ≤<=|],(；（3）闭区间 {}b x a x b a ≤≤=|],[；（4）无穷区间 {}a x x a ≥=+∞|),[， {}a x x a >=+∞|),(，{}b x x b ≤=-∞|],(，{}b x x b <=-∞|),(，{}R x x ∈=+∞-∞|),(.以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）图 1-1 在微积分的概念中，有时需要考虑由某点0x 附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.定义1 设δ为某个正数，称开区间),(00δδ+-x x 为点0x 的δ邻域，简称为点0x 的邻域，记作),(0δx U ，即{}δδδ+<<-=0000|),(x x x x x U {}δ<-=|||0x x x .在此，点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：图1-2另外，点0x 的邻域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心邻域，记作),(0δx U o，即 {}δδ<-<=||0|),(00x x x x U o,图形表示为（图1-3）：图1-3 其中),(00x x δ-称为点0x 的左邻域，),(00δ+x x 称为点0x 的右邻域.1.2函数的概念1.2.1函数的定义定义2 设x 、y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个D x ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的y 与之对应，则称y 为是x 的函数，记作)(x f y =.其中x 为自变量，y 为因变量，D 为定义域,函数值)(x f 的全体成为函数f 的值域，记作f R ，即{}D x x f y y R f ∈==),(|.函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g ”、“F ”、“ϕ”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.例1 求函数211x x y --=的定义域. 解 x1的定义区间满足：0≠x ；21x -的定义区间满足：012≥-x ，解得11≤≤-x .这两个函数定义区间的公共部分是1001≤<<≤-x x 或.所以，所求函数定义域为]1,0()0,1[ -.例2 判断下列各组函数是否相同.（1）x x f lg 2)(=，2lg )(x x g =；（2）334)(x xx f -=，31)(-=x x x g ；（3）x x f =)(，2)(x x g =.解 （1）x x f lg 2)(=的定义域为0>x ，2lg )(x x g =的定义域为0≠x .两个函数定义域不同，所以)(x f 和)(x g 不相同.（2）)(x f 和)(x g 的定义域为一切实数.334)(x x x f -=)(13x g x x =-=,所以)(x f 和)(x g 是相同函数.（3）x x f =)(，x x x g ==2)(,故两者对应关系不一致，所以)(x f 和)(x g 不相同.函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.函数举例: 例3 函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn x x x x y ，函数为符号函数，定义域为R ，值域{}1,0,1-. 如图1-4：图1-4例4 函数[]x y =，此函数为取整函数，定义域为R ， 设x 为任意实数, y 不超过x 的最大整数，值域Z . 如图1-5：图1-5特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量x 通过对于法则f 有确定的y 值与之对应，但这个y 值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.1.2.2 函数的性质设函数)(x f y =，定义域为D ，D I ⊂.（1）函数的有界性定义3 若存在常数0>M ，使得对每一个I x ∈，有M x f ≤)(，则称函数)(x f 在I 上有界.若对任意0>M ，总存在I x ∈0，使M x f >)(0，则称函数)(x f 在I 上无界.如图1-6：图1-6例如 函数 x x f sin )(=在),(+∞-∞上是有界的:1sin ≤x .函数 xx f 1)(=在)1,0(内无上界，在)2,1(内有界.（2）函数的单调性 设函数)(x f y =在区间I 上有定义, 1x 及2x 为区间I 上任意两点, 且21x x <.如果恒有)()(21x f x f <, 则称)(x f 在I 上是单调增加的；如果恒有)()(21x f x f >, 则称)(x f 在I 上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.图1-7（3）函数的奇偶性 设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称.如果在D 上有)()(x f x f =-, 则称)(x f 为偶函数；如果在D 上有)()(x f x f -=-, 则称)(x f 为奇函数.例如，函数2)(x x f =，由于)()()(22x f x x x f ==-=-，所以2)(x x f =是偶函数；又如函数3)(x x f =，由于)()()(33x f x x x f -=-=-=-，所以3)(x x f =是奇函数.如图1-8：图1-8从函数图形上看，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.(4)函数的周期性设函数)(x f y =的定义域为D . 如果存在一个不为零的数l ,使得对于任一D x ∈有()D l x ∈±, 且())(x f l x f =±, 则称)(x f 为周期函数, l 称为)(x f 的周期.如果在函数)(x f 的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为)(x f 的最小正周期.我们通常说的周期是指最小正周期.例如，函数x y sin =和x y cos =是周期为π2的周期函数，函数x y tan =和x y cot =是周期为π的周期函数.在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.例如，常量函数C x f =)(，对任意实数l ，都有)()(x f l x f =+，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.又如，狄里克雷函数⎩⎨⎧∈∈=c Qx Q x x D ,0,1)(， 当c Q x ∈时，对任意有理数l ，cQ l x ∈+，必有)()(x D l x D =+，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期. 1.3 反函数 在初等数学中的函数定义中，若函数)(:D f D f →为单射,若存在:1-f D D f →)(，称此对应法则1-f 为f 的反函数.习惯上,D x x f y ∈=),(的反函数记作)(),(1D f x x f y ∈=-.例如，指数函数),(,+∞-∞∈=x e y x 的反函数为),0(,ln +∞∈=x x y ，图像为（图1-9）图1-9反函数的性质：（1）函数)(x f y = 单调递增(减)，其反函数)(1x fy -=存在，且也单调递增（减）. （2）函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.下面介绍几个常见的三角函数的反函数：正弦函数x y sin =的反函数x y arcsin =，正切函数x y tan =的反函数x y arctan =. 反正弦函数x y arcsin =的定义域是]1,1[-，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ；反正切函数x y arctan =的定义域是),(+∞-∞，值域是⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，如图1-10：9图1-101.4复合函数定义4 设函数f D u u f y ∈=),(，函数f g g D R D x x g u ⊂∈=值域,),(，则()()g D x x g f y x g f y ∈==),()( 或称为由)(),(x g u u f y ==复合而成的复合函数，其中u 为中间变量.注：函数g 与函数f 构成复合函数g f 的条件是f g D R ⊂，否则不能构成复合函数.例如，函数]1,1[arcsin -∈=u u y ，，R x x u ∈+=,22.在形式上可以构成复合函数()2arcsin 2+=x y .但是22+=x u 的值域为]1,1[),2[-⊄+∞，故()2arcsin 2+=x y 没有意义. 在后面的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则： 从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.例5 对函数x a y sin =分解.解 x a y sin =由u a y =，x u sin =复合而成.例6 对函数)12(sin 2+=x y 分解.解 )12(sin 2+=x y 由2u y =，v u sin =，12+=x v 复合而成.1.5初等函数在初等数学中我们已经接触过下面各类函数：常数函数：C y =（C 为常数）；幂函数：)0(≠=ααx y ；指数函数：)10(≠>=a a a y x 且；对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且；三角函数：x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======；反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====.这六种函数统称为基本初等函数.定义5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如，x e y sin =，)12sin(+=x y ，2cot x y =等都是初等函数. 需要指出的是，在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数，但是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化，可以用一个式子表示，就是初等函数.例如，函数⎩⎨⎧≥<-=0,0,x x x x y ， 可表示为2x y =.习题 1-11.求下列函数的定义域.（1）21x y -=； （2）2411x xy -++=； （3）2ln 2x x y -=； （4）43arcsin -=x y ； （5）452+-=x y ； （6）2)3ln(--=x x y . 2.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同，为什么？（1）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （2）x x f =)(，2)(x x g =； （3）x x f =)(，x e x g ln )(=； （4）x x f =)(，)sin(arcsin )(x x g =.3.已知)(x f 的定义域为]1,0[，求下列函数的定义域.（1）)(2x f ； （2）)(tan x f ； （3）)0)(()(>-++a a x f a x f .4.设()5312++=+x x x f ，求)(x f ，)1(-x f . 5.判断下列函数的奇偶性.（1）x x y tan sin ⋅=； （2）()1lg 2++=x x y ； （3）2xx e e y -+=； （4）)1(3+=x x y ； （5）⎩⎨⎧>+≤-=0,10,1x x x x y . 6.设下列考虑的函数都是定义在区间)0)(,(>-l l l 上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数.7.下列函数中哪些是周期函数？如果是，确定其周期.（1）)1sin(+=x y ； （2）x y 2cos =；（3）x y πsin 1+=； （4）x y 2cos =.8.求下列函数的反函数.（1）31-=x y ； （2）)2lg(1++=x y ；（3）x x e e y +=1； （4）),(2sin 2ππ-∈=x x y ；（5）⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=4,241,1,2x x x x x y x .9.下列函数是有哪些函数复合而成的.（1）)13sin(+=x y ； （2）)21(cos 3x y +=；（3）))1ln(arcsin(+=x y ； （4）2sin x e y =.10.设2)(x x f =，x x ln )(=ϕ，求())(x f ϕ，())(x f f ，())(x f ϕ.第2节 极限极限在高等数学中占有重要地位，微积分思想的构架就是用极限定义的. 本节主要研究数列极限、函数极限的概念以及极限的有关性质等内容.2.1 数列的极限2.1.1 数列的概念定义1 若按照一定的法则，有第一个数1a ，第二个数a 2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数n a ，那么，我们称这列有次序的数a 1，a 2，…，a n ，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。
同济高数第一章习题课
0 2.做变量替换转化为 型 0
3.其他方法。罗比达法则。
4.“0·∞”型未定式 转化为
0 型或 型 0
5.“∞- ∞”型未定式 通过通分、分子有理化或倒数替换将其转化
0 为 型或型 0
5.幂指数函数极限的求法 幂指函数: 形如 u(x)v(x) (u(x)>0, u(x)1)的函数 （1）利用两个重要极限的第二个。 （2）若 lim u( x ) a 0, lim v( x ) b, 则
lim u( x )
v( x )
a .
b
6.n项求和及乘积的极限 求和时
1.分子和分母同乘一个因子，然后拆项求和。
2.夹逼准则。
乘积时
1.夹逼准则 例 求极限 lim n 1n 2n 3n .
n
lim 3 x 9 x 例 求极限 x
1 x
例. 求 lim (1 2
证明数列{xn}的极限存在, 并求其极限.
7.确定极限中的参数
0 由于极限为常数，故常为 型 或 型 ，利用 消去零因子来求出常数。 0
2 n 1
例 设 f ( x ) lim
x
n
ax b 为连续函数, 求a, b. 2n x 1
例. 确定常数 a , b , 使 解: 原式 lim x ( 3 13 1 a b ) 0 x
x
x
3x ) x .
x x x 3 )
1
1
解: 令 f ( x) (1 2
3
1 x
(1) x 3
( 2) x 3
1
1 x
3 f (x) 3 3 利用夹逼准则可知 lim f ( x) 3 .
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tan x 2
x 2
2 lim ( 1 cos x) x 2
sin x cos x 2 cos2 x 1
1
lim [(1 cos x )
2 x 2
cos2 x
显然f ( x)在(,1),(1,1),(1,)内连续.
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当x 1时,
15/13
x lim f ( x ) lim cos 0. x 1 x 1 2
x 1
lim f ( x ) lim (1 x ) 2. lim f ( x ) lim f ( x )
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2e
1 x
10/13
8. lim (sinx )
x 2
tan x
tan xln sin x 0 lim e e 1. x 2
sin x 1 2 lim ln ( 1 cos x) lim tan x lnsinx x 2 cos x 2 x 2 sin x 1 2 lim ( cos x ) 0, x 2 cos x 2
1 使 f ( ) f ( ) 成立. 2
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n 2 )n (1 ) ( 3 3
n
3 e 3.
0
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二、关于函数的连续性
13/13
1 e x 1 , x 0 , 求f ( x )的间断点并说明类型 . 例2 设 f ( x ) ln(1 x ), 1 x 0
1 12 2. lim ( 3 ) x 2 x 2 x 8
x 2 2 x 4 12 lim x 2 ( x 2)( x 2 2 x 4)
x4 1 lim 2 . x 2 x 2 x 4 2
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6/13
且f (0) b 0, f (a b) a[1 sin( a b)] 0.
16/13
若f (a b) 0, 则a b即为方程的根； 若f (a b) 0,
则由零点定理，至少存 在一点 (0, a b), 使f ( ) 0,
即为方程的根.
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18/13
1 若F (0) 0, F ( ) 0, 则 2
1 1 F (0) F ( ) [ f ( ) f (0)]2 0. 2 2 1 由零点定理知, (0, ), 使F ( ) 0. 2 1 即 f ( ) f ( )成立. 2 1 综上, 必有一点 (0, ] (0,1), 2
lim
x 0
2e
1 x
1 x
e ( 2e
4 x
4 x
4 x
e )
4 x
3 x
e (1 e )
1 1,
1 x
sin x 2 e sinx lim ( ) lim ( ) 4 4 x x0 1 e x x 0 x 1 e x
21 1
6、利用极限存在准则 f ( x ) A lim 7、利用 xlim x x x
0
0
f ( x ) lim f ( x) A
x x0
8、利用 lim f ( x) a 0, limg( x) b lim f 下页 返回 结束
a b c 9. lim ( ) x 0 3
x x x
1 x
10. lim(1 2 n 3 )
n
1 n n
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5/13
解
1 2x 3 ( x 2)2( x 4) 4 1. lim lim . x 4 x 4 ( x 4)( 1 2 x 3) 3 x 2
1 x 1 x
x 0
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9/13
sin x 7. lim( ) 1. 4 x 0 x 1 ex
2 e
1 x
sin x 2 e sinx lim ( ) lim( ) 4 4 x 0 1 e x x x 0 1 e x x
综上所述，方程x a sin x b至少有一个正根， 且不超过a b.
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17/13
例5 设f ( x )在闭区间 [0,1]上连续, 且f (0) f (1),
1 证明 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 (0,1), 使得f ( ) f ( ). 2
x 1 x 1 x 1
故f ( x)在x 1间断.
lim f ( x ) lim f ( x)
x 1 x 1
当x 1时,
x lim f ( x ) lim cos 0. x 1 x 1 2
f (1) cos
2
0
lim f ( x ) lim ( x 1) 0.
sin 2 x lim 2 x 0 x sin x
1 . 2
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7/13
5. lim
x 1
ln(1 3 x 1) arcsin( 23 x 2 1)
3
lim
x 1
x 1
23 x 2 1
1 lim 3 x 1 2 x 1
1 1 2 x sin x sin x x lim 3. l im x x ( x ) 2 x 2 2x2 1
2
lim(
x
1 2 x
2
sin 1 x
1 x
1 ) . 2
1 sin2 x 1 4. lim x x 0 ( e 1) ln( 1 sin x )
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10. lim(1 2 3 )
n n
1 n n
12/13
解法1
1 n 2 3 (1 2 3 ) 3[1 ( ) ( ) ] 3 n 3 , 3 3 1 1 又 limn 3 l i m 3 x 1,由夹逼准则 l im(1 2 n 3 n ) n 3 n x
3/13
例1
求下列极限
1 12 2. lim ( 3 ) x 2 x 2 x 8
1 sin2 x 1 4. lim x x 0 ( e 1) ln( 1 sin x )
1 2x 3 1. lim x 4 x 2
1 x sin x 3. l im x 2x2 1
x 0
x 0是f ( x)的第一类（跳跃）间断 点.
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x 1, x 1 例3 讨论f ( x ) 的连续性. x cos , x 1 2
解
将f ( x )改写成
1 x , x 1 x f ( x ) cos , 1 x 1 2 x 1, x 1
1/13
第一章 函数、极限、连续
习题课
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一、
关于极限的计算
2/13
1、利用极限的运算法则和函数的连续性 （不满足运算条件的可通过：分解因式、有理化、 分离无穷小、通分等方法恒等变形） 2、利用无穷小的性质（无穷小与有界量乘积 是无穷小；无穷小与无穷大互为倒数） 3、 利用等价无穷小代换（注意：一定是因子） 4、利用变量代换 5、利用两个重要极限
n
n 1 n n 1 ln( 1 2 n 3 n ) n n n
1 2 ( )n ( )n 3 lim 3 n n
1 n n
1 n n
解法2 l im (1 2 n 3 ) lime
lime
n
1 1 2 ln 3 n [1 ( ) n ( ) n ] n 3 3
x 1 x 1
故f ( x )在x 1连续.
f ( x )在( ,1) ( 1,)连续.
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例4 证明方程x a sin x b (a , b 0)至少有一个正根， 且不超过a b.
证 令 f ( x ) x a sinx b, 则f ( x )在[0, a b]上连续，
]
sin x cos x 2
e 0 1.
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a b c 9. lim ( ) x 0 3
x x x
1 x
lime
x 0
1 a x b x c x ln x 3
3 abc.
1 a x bx c x lim ln x 0 x 3 1 a x 1 bx 1 c x 1 lim ln( 1 ) x 0 x 3 1 a x 1 bx 1 c x 1 1 lim ( ) ln (abc), 3 x 0 x x x 3
3e
3.
1
1 n 2 n n n (1 2 3 ) 3 lim [1 ( ) ( ) ] 解法3 lim n n 3 3
n 2 )n 1 n 2 n (1 ) ( 3 lim {[1 ( ) ( ) ] 3 3 } n 3 3
1 n n
1
解