第二章 数列 专题突破二 数列的单调性和最大(小)项

专题突破二 数列的单调性和最大(小)项
一、数列的单调性
(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．
(2)判断单调性的方法
①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．
例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1
(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性． 解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1
. 方法一 ∵a n ＝－2＋3
n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)
＝－3(n ＋1)(n ＋2)
＜0. ∴a n ＋1＜a n .
∴数列{a n }是递减数列．
方法二 设x 1＞x 2≥1，则
f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 1＋1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1
＝
3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，
即f (x 1)＜f (x 2)，
∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，
∴a n ＝f (n )为递减数列．
反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．
跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －
1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列． 证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)
＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)
＝－3×2n －2＋4×3n －1
＝2n －2⎣⎡⎦
⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，
∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，
∴12×⎝⎛⎭
⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.
∴{a n }是递增数列．
二、求数列中的最大(或最小)项问题
常见方法：
(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．
(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019
，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数． 解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019
，
则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．
因为44< 2 019<45，
故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋
2 019－ 2 018x － 2 019的图
象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.
所以最大项与最小项的项数分别为45,44.
反思感悟 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．
跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n
，则{a n }的最大项是( ) A ．a 3
B ．a 4
C ．a 5
D ．a 6 答案 C
解析 f (x )＝411－2x 在⎝
⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数． 且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.
∴{a n }的最大值为a 5.
例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．
解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.
∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94
，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
反思感悟 有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．
跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12
n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭
⎫－12，34 解析 设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．
当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12
. ∴－a ＜12即a ＞－12
. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34
. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34
. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭
⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．
解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9
，且n ∈N *， ∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；
当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.
综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最
大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭
⎫794＋1，所以第4项为最大项． 反思感悟 如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．
跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值． 解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5.
当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，
又b 5＝132＜b 6＝364
. ∴{b n }的最大值为b 6＝364
. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围
常利用以下等价关系：
数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．
例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *.
(1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围．
(2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．
解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．
(2)依题意有
⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧
72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ， 解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．
反思感悟 注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧
a 7≤a 6，
a 7≤a 8，不一定a 7最小．
跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －
1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．
解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，
a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.
∵{a n }是递减数列，
∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，
即k ＞2
2n －1
恒成立， ∴k ＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫22n －1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．
1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( )
A ．103
B.8658
C.8258
D ．108
答案 D
解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216
＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( )
A ．有最大项，没有最小项
B ．有最小项，没有最大项
C ．既有最大项又有最小项
D ．既没有最大项也没有最小项
答案 C
解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，
令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．
使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12
的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )
A ．10
B ．11
C ．10或11
D ．12
答案 C
解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.
4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为 ． 答案 1 024
解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a n a n －1＝2＞1，
∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.
5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m
.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是 ． 答案 (－11，－9)
解析 根据题意知，y ＝1＋1
2x －1＋m 的图象如下：
由a 6为最大项，知5＜1－m 2＜6.∴－11＜m ＜－9.
一、选择题
1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数列
D ．以上都不对
答案 B
解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，
∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，
∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．
2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数列
D ．以上都不是
答案 A
解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，
∴数列{a n }是递增数列．
3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是(
) A ．第4项 B ．第5项
C ．第6项
D ．第4项或第5项
答案 D 解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92
，且开口向上． ∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．
4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )
A ．R
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，0]
答案 C
解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.
5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数列
D ．不能确定 答案 A
解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.
6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．增减性与p 的取值有关
D ．常数列 答案 C
解析 令a n ＝log 0.5p n .
当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；
当0<p ≤1时，p n ＋1≤p n ，∴log 0.5p n ＋1≥log 0.5p n ，即a n ＋1≥a n .故选C.
7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n 2＋6
(n ∈N *)，则该数列的最大项为( ) A ．第2项
B ．第3项
C ．第2项或第3项
D ．不存在 答案 C
解析 易知，a n ＝1n ＋6n
.函数y ＝x ＋6x (x >0)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n
(n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减． 又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．
8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n
，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )
A ．[6,12]
B ．(6,12)
C ．[5,12]
D ．(5,12)
答案 A
解析 n ＋k n ≥3＋k 3
对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n
≥3－n ， 当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，
当n ＝1时，k ≥3，
当n ＝2时，k ≥6，
以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12.
二、填空题
9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第 项． 答案 5
解析 易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143
附近的正整数时，a n 最小． 又4<143
<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项． 10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)．
①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案 ①③
解析 可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．
11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是 ．
答案 (2,3)
解析 由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数
f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(3－a )x －3，x ≤7，
a x －6，x >7的图象上． 因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；
当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；
为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.
故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >0，a >1，
f (7)<f (8)，
解得2<a <3， 故实数a 的取值范围是(2,3)．
三、解答题
12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围． 解 因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ， 所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，
即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1， 故需k <3即可，
所以k 的取值范围为(－∞，3)．
13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n
. (1)判断{a n }的单调性；
(2)求{a n }的最小项．
解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝
⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11
n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *， 当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0，
当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0，
即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减，
n ≥3时，{a n }递增．
(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生．
由a 2＝152＞a 3＝203，
∴{a n }的最小项为a 3＝20
3
.
14．已知数列a n ＝n ＋1
3n －16，则数列{a n }中的最小项是第 项．
答案 5
解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋193
3n －16，
令3n －16<0，得n <16
3
.
又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，16
3上单调递减，且n ∈N *， 所以当n ＝5时，a n 取最小值．
15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值． 解 列表
图象如图所示．
由数列的图象知， 当1≤n ≤5时数列递增；
当n >5时数列递减，最大值为a 5＝36，无最小值．。