指数自回归模型

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SETAR (Self-exciting threshold autoregressive model)模型
当分割为
R j X 1 ,
, X p : rj X d rj 1 , j 1,
,l
其中 l d p 为某个整数，称此模型为 Self-exciting Threshold Autoregressive Model，其 形式为
q 1 j j 1
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ARCH模型的极大似然估计

yt xt t ,

xt21
x
t k
Leabharlann Baidu
t
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双线性模型
双线性模型由Granger和Anderson（1978） 提出，并得到进一步研究和发展，Subba Rao和Gabr（1984）讨论了这个模型的一些 性质和应用，Liu和Brockwell（1988）推广 到一般的双线性模型 双线性模型形式
t2 0 1t21 2t22 qt2q t
(9.26)
其中 t 独立同分布，且有 E(t ) 0 ， D(t ) 2 ；0 0 ，i 0 ( i 1, 2, , q )， 则称 t 服从 q 阶的 ARCH 过程，记作 t ~ ARCH( q )。
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考虑一个简单的 SETAR2;1,1 模型：
-0.7X t 1 t , Xt 0.7 X t 2 t , X t 1 r X t 1 r
， t ~ N(0,0.52 )
（9.7）
r 分别取 , 1, 0.5,0 四个数值，我们对每个模型分别产生样本长度是
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§9.2 条件异方差模型
ARCH模型 GARCH 模型 模型推广形式

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ARCH模型的定义
ARCH( q )模型定义如下：
t 1, 2, , T yt xβ t ， t
(9.25)
若随机过程 t 的平方 t2 服从 AR( q ) 过程，即

xt j xt j k t k il xt l t i
j 1 k 0 i 1 l 1 p q Q P
其中p，q，Q和P是非负整数， t 是白噪声 序列。
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非参数时间序列模型

非参数自回归模型的一般形式为
X t jk X t k I rj X t d rj 1 t
j 1 k 1
l
pj
(9.6)
其中
r1 r2 rl rl 1
整数 d 称为滞后参数， r2 ,, rl 称为门限参数，模型(9.6)记为 SETAR l; p1 ,, pl 模型。
xt c f1 xt 1
f p xt p t
其中c为常数，fi ( i 1, , p ) 为p个一元非 参 t 数型的未知函数， 是白噪声序列，模 型记为ANLAR(p)，p为模型的阶数。
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函数系数自回归模型
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2r E ( 定理9.1 对于ARCH(1)模型， t ) 存在
的充要条件是r
1r (2 j 1) 1
j 1

定理9.2 ARCH(q)二阶平稳的充要条件是 相应的特征方程的所有根都小于1，此时 平稳序列 t 的无条件方差为
E ( t2 ) 0
500 的序列。
(a) 线性 AR(1) (b) TAR， r=-1
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拟线性自回归模型
拟线性自回归模型为
X t 0 1 f1 X t 1 , , X t p s f s X t 1 , , X t p t
(9.16)
其中 f i (i 1,, s) 是 s 个已知的 R p 到 R1 的可测函数， t 是白噪声，
i (i 1,, s) 是未知参数。
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指数自回归模型
指数自回归模型为
xt 00 0k 1k e
p
k 1 (9.17) 其中 t 是白噪声序列，00 ,0k ,1k (k 1,, p) 和 0 为未知参数，正整数p 为模型的阶数， 模型(9.17)记为EAR(p)。
xt xt 1 , ,xt p t
(9.22)
t 是白噪 的可测函数， 声 序列。模型(9.22)有如下两种特殊形式。 （1）可加非线性自回归模型 （2）函数系数自回归模型
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是 其中 R1 Rp 到
可加非线性自回归模型
可加非线性自回归模型为
函数系数自回归模型为
xt c f1 xt d xt 1 f p xt d xt p t 其中c为常数，fi ( i 1, , p ) 为p个一元非参
数 0d p 型的未知函数， 为整数，称为滞后 t 数， 是白噪声序列，模型记为FCAR(p)， p为模型的阶数。
非线性时间序列模型
一般非线性时间序列模型介绍 条件异方差模型
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§9.1 一般非线性时间序列模型介绍
参数非线性时间序列模型
非参数时间序列模型
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参数非线性时间序列模型
SETAR (Self-exciting threshold autoregressive model)模型 拟线性自回归模型 指数自回归模型 双线性模型