吉林省数学高中会考真题

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2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题(word版含答案)

2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题:(本大题共15小题,每小题的四个选项中，只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题4分，共50分）1. 已知集合A={-1，0，1，2}，B={-2，1，2}则A B=（） A{1} B.{2} C.{1，2} D.{-2，0，1，2}.2.函数5()log (1)f x x =-的定义域是（）A. (,1)(1,)-∞+∞B.[0,1)C.[1,)+∞D.(1,)+∞3函数f(x)＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ≤1－x ＋3，x>1，则f(f(4))＝( )A. 0B. -2C. 2D. 64.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（） A. B. C. D.5.的值为（）A. B. C. D. 6.已知直线l 过点（0，7），且与直线y=-4x+2平行，则直线l 的方程为（）A.y=-4x-7B.y=4x-7C.y=-4x+7D.y=4x+77.已知向量若，则实数x 的值为（）A.-2B.2C.-1D.1314151614cos 4sin ππ2122422),1,(),2,1(-==x b a b a ⊥8.已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f(x) -4 -2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为（）A.（1，2）B.（2，3）C.(3,4)D. (4,5)9.已知直线l ：y=x+1和圆C ：x 2+y 2=1,则直线l 和圆C 的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定10.下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）A. B.y=log 3x C. D.y=cosx11.．下列结论正确的是（）A ．平行于同一个平面的两条直线平行B ．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行C ．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D ．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行 12. 已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是( )A.27.5B. 28.5C. 27D. 2813. ）的最小值是（则若)2(),0,2(x x x +-∈A. 2-B. 23- C. 1- D. 21-14. 偶函数)(x f 在区间[]1,2--上单调递减，则函数)(x f 在区间[]2,1上( )A. 单调递增，且有最小值)1(fB. 单调递增，且有最大值)1(fC. 单调递减，且有最小值)2(fD. 单调递减，且有最大值)2(f∞x y )31(=x y 1=。

2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学真题试卷含详解

2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一､选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题每小题4分，共50分）1.设集合{}1,2A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2 C.{}2,3,4 D.{}22.若()()()1i 23i i ,a b a b ++-=+∈R ,其中i 是虚数单位,则,a b 的值分别等于（）A.3,2a b ==B.1,4a b =-= C.3,2a b ==- D.3,2a b =-=3.已知4sin 5α=，且α为第二象限角，则cos α的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-4.不等式()20x x -<的解集是（）A.()(),02,-∞+∞B.()0,2C.()(),20,-∞-⋃+∞ D.()2,0-5.已知向量()1,a m = ，()1,2b =- ，若a b ⊥，则实数m 等于（）A.12B.12-C.-2D.26.设x ，R y ∈，则“1x >”是“0x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.在空间，下列命题正确的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行8.下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A.2y = B.u =C.y =D.2n m n=9.有一组数据，将其从小到大排序如下：157，159，160，161，163，165，168，170，171，173.则这组数据的第75百分位数是（）A.165B.168C.170D.17110.已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.2B.52-C.54D.1-11.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.在ABC 中，π3A =，BC =，AC =，则角B 为（）A.π6 B.π4 C.π3 D.π213.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（）A.3π2 B.3π4C.3πD.12π14.已知3log 2a =，4log 2b =，5log 2c =，则（）A.c b a>> B.c a b>> C.b a c>> D.a b c>>15.在ABC 中，点D 在BC 边上，2BD DC = ，则AD =（）A.2133AB AC +B.1233AB AC +C.1122AB AC +D.1344AB AC +二､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）16.若0x >，则4x x+的最小值为________________．17.某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取___________名.18.已知1sin 23α=-，则2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为___________.19.根据某地不同身高的未成年男性的体重平均值，建立了能够近似地反映该地未成年男性平均体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的函数关系：2 1.02x y =⨯，如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175cm ，体重为78kg 的未成年男性的体重状况为___________.（填“偏胖”或“正常”或“偏瘦”，参考数据：351.022≈）三､解答题（本大题共4小题，第20､21小题每小题8分，第22､23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）20.已知函数()sin 2cos 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.21.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为1A ，2A ，3A ），2支为二等品（记为1B ，2B ），从中随机抽取2支进行检测.（1）写出这个试验的样本空间Ω；（2）求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.22.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB =3，AC =4，BC =5.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求三棱柱111ABC A B C -的体积.23.已知函数2()31xf x a =+-.（1）根据函数单调性的定义证明函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减；（2）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值.2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一､选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题每小题4分，共50分）1.设集合{}1,2A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2 C.{}2,3,4 D.{}2【答案】D【分析】利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为{}1,2A =，{}2,3,4B =，所以{2}A B = ，故选：D2.若()()()1i 23i i ,a b a b ++-=+∈R ,其中i 是虚数单位,则,a b 的值分别等于（）A.3,2a b ==B.1,4a b =-= C.3,2a b ==- D.3,2a b =-=【答案】C【分析】将等式合并计算结果,求出,a b 即可.【详解】解:由题知()()1i 23i 32i i a b ++-=-=+,,a b ∈R ,3,2a b ∴==-.故选:C 3.已知4sin 5α=，且α为第二象限角，则cos α的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-【答案】D【分析】直接根据同角三角函数关系得到答案.【详解】α为第二象限角，则3cos 5α===-.故选：D4.不等式()20x x -<的解集是（）A.()(),02,-∞+∞B.()0,2C.()(),20,-∞-⋃+∞ D.()2,0-【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.【详解】解：由()20x x -<，解得02x <<，所以不等式的解集为()0,2.故选：B5.已知向量()1,a m = ，()1,2b =- ，若a b ⊥，则实数m 等于（）A.12B.12-C.-2D.2【答案】A【分析】根据向量垂直列方程，化简求得m 的值.【详解】由于a b ⊥，所以1120,2a b m m ⋅=-+== .故选：A6.设x ，R y ∈，则“1x >”是“0x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断，进而可得正确选项.【详解】若1x >可以得出0x >，但0x >得不出1x >，所以“1x >”是“0x >”的充分不必要条件，故选：A7.在空间，下列命题正确的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行【答案】C【分析】A.利用两直线的位置关系判断；B.利用两平面的位置关系判断；C.利用线面垂直的性质定理判断；D.利用两平面的位置关系判断.【详解】A.平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故错误；B.平行于同一直线的两个平面平行或相交，故错误；C.由线面垂直的性质定理知：垂直于同一平面的两条直线平行，故正确；D.垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故错误；故选：C8.下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A.2y = B.u =C.y =D.2n m n=【答案】B【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得.【详解】对于A ，函数[)20,y x x ==∈+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函数；对于B ，函数R u v v ==∈，，与函数R y x x =∈，的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于C ，函数R s t t ==∈，，与函数R y x x =∈，的对应关系不同，不是同一个函数；对于D ，函数()()2,00,n m n n n==∈-∞⋃+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函数.故选：B.9.有一组数据，将其从小到大排序如下：157，159，160，161，163，165，168，170，171，173.则这组数据的第75百分位数是（）A.165B.168C.170D.171【答案】C【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为1075%7.5⨯=，所以这组数据的第75百分位数是第8个数170，故选：C.10.已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.2B.52-C.54D.1-【答案】A【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.【详解】()112121222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A11.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（）A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；【详解】解：因为lg y x =与3y x =-在定义域上单调递增，所以()lg 3f x x x =+-在定义域()0,∞+上单调递增，又()1lg11320f =+-=-<，()2lg 2231lg 20f =+-=-+<，()3lg 333lg 30f =+-=>，即()()230f f ⋅<，所以()f x 的零点位于()2,3内；故选：C12.在ABC 中，π3A =，BC =，AC =，则角B 为（）A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【答案】B【分析】利用正弦定理求得正确答案.【详解】由正弦定理得=sin sin BC AC A B，即sin 32B =，解得sin B =由于BC AC >，所以π3B <为锐角，所以π4B =.故选：B13.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（） A.3π2B.3π4C.3πD.12π【答案】C【分析】先求得球的半径，进而求得球的表面积.，所以球的直径322R R ==，所以球的表面积为24π3πR =.故选：C14.已知3log 2a =，4log 2b =，5log 2c =，则（）A.c b a >>B.c a b >>C.b a c>> D.a b c>>【答案】D【分析】根据对数函数在同一坐标系中作函数245log ,log ,log y x y x y x ===的图象，结合图象即可比较函数值大小.【详解】解：如下图，作函数245log ,log ,log y x y x y x ===的图象由图可知，当2x =时，345log 2log 2log 2>>，即a b c >>.故选：D.15.在ABC 中，点D 在BC 边上，2BD DC = ，则AD =（）A.2133AB AC +B.1233AB AC +C.1122AB AC +D.1344AB AC +【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】23AD AB BD AB BC=+=+()212333AB AC AB AB AC =+-=+ .故选：B二､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）16.若0x >，则4x x+的最小值为________________．【答案】4【分析】利用基本不等式求得最小值.【详解】40,4x x x >+≥=，当且仅当4,2x x x==时等号成立.故答案为：417.某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取___________名.【答案】98【分析】根据分层抽样的定义，计算男女生比例，即可计算求解.【详解】由已知得，男生与女生的比例为：51:49，根据分层抽样的定义，女生应该抽取的人数为：4920098100⨯=（人）故答案为：9818.已知1sin 23α=-，则2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为___________.【答案】13【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】由于2ππ22c cos os 124αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22π1π1sin 22cos 1cos 4343ααα⎛⎫⎛⎫=--=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1319.根据某地不同身高的未成年男性的体重平均值，建立了能够近似地反映该地未成年男性平均体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的函数关系：2 1.02x y =⨯，如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175cm ，体重为78kg 的未成年男性的体重状况为___________.（填“偏胖”或“正常”或“偏瘦”，参考数据：351.022≈）【答案】偏胖【分析】根据题意得到身高为175cm 的未成年男性平均体重，然后得到平均体重的1.2倍，最后比较大小即可.【详解】由题意得身高为175cm 的未成年男性平均体重为()51753521.022 1.0264⨯=⨯≈kg ，而641.276.878⨯=<，所以该男性体重偏胖.故答案为：偏胖.三､解答题（本大题共4小题，第20､21小题每小题8分，第22､23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）20.已知函数()sin 2cos 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.【答案】（1）π（2）()f x ，此时自变量x 的集合为π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）利用辅助角公式化简()f x 的解析式，然后根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案.（2）根据三角函数最值的求法求得正确答案.【小问1详解】()πsin 2cos 224x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】由（1）得()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当()πππ22π,πZ 428x k x k k +=+=+∈时，()f x 取得最大值，此时自变量x 的集合为π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.21.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为1A ，2A ，3A ），2支为二等品（记为1B ，2B ），从中随机抽取2支进行检测.（1）写出这个试验的样本空间Ω；（2）求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.【答案】（1）()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B .（2）310【分析】（1）直接写出样本空间即可；（2）计算2支圆珠笔都是一等品的样本数，得到概率.【小问1详解】试验的样本空间Ω为：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B .【小问2详解】抽取的2支圆珠笔都是一等品有()12,A A ，()13,A A ，()23,A A 3种情况，故概率310p =.22.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB =3，AC =4，BC =5.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求三棱柱111ABC AB C -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】(1)由1AA ⊥平面ABC 可得1AA AB ⊥，勾股定理可证AC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可证结论.(2)由异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求出1AA ，再由体积公式计算三棱柱111ABC AB C -的体积.【小问1详解】1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，有1AA AB ⊥.AB =3，AC =4，BC =5，有222AB AC BC +=，由勾股定理得AC AB ⊥.1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11ACC A ，∴AB ⊥平面11ACC A 【小问2详解】由11//BB AA ，异面直线1BB 与1AC 所成的角即为1∠AA C ，130AA C ∠= ，又1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴1AA AC ⊥，则1tan 30AC AA = ，得1AA =1134622ABC S AB AC =⋅=⨯⨯=△，所以三棱柱111ABC A B C -的体积16ABC V S AA =⋅=⨯= .23.已知函数2()31x f x a =+-.（1）根据函数单调性的定义证明函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减；（2）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值.【答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）设任意12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，然后计算12()()f x f x -，通过化简变形从而确定符号，根据函数的单调性的定义可得结论；（2）先求函数的定义域，然后根据奇函数的定义建立等式关系，即可求出实数a 的值.【小问1详解】证明：设任意12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，则211212*********(33)()()31313131(31)(31)x x x x x x x x f x f x a a --=+--=-=------，因为12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，所以2121330,310,310x x x x -<-<-<，则21122(33)0(31)(31)x x x x -<--，也即12())0(f x f x -<，所以12()()f x f x <，又因为12x x >，所以函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，【小问2详解】要使函数2()31x f x a =+-有意义，则有310x -≠，所以函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，若函数()f x 是奇函数，则()()0f x f x -+=，即22223031313113xx x x xa a a a -⋅+++=+++=----，解得：1a =，所以实数a 的值为1.。

普通高中数学会考试卷及答案

普通高中数学会考试卷及答案一、选择题下面每题有且仅有一个选项是正确的，请把你认为正确的选项的字母填入题前的括号中。

（每题4分，共40分）1. 在直角三角形ABC中，已知∠B=90°，BC=3，AC=4，则AB=（）。

A. 5B. 8C. 12D. 252. 设集合A={1，2，3，4}，集合B={2，4，6，8}，则A∪B=（）。

A. {2，4，6，8}B. {1,2,3,4,6,8}C. {1,3,5,7}D. {6,8}3. 若函数f(x)是偶函数，则在它的对称轴上肯定存在对称点，反之（）。

A. 对称点可推出函数是偶函数，对称点不存在不一定是偶函数B. 对称点可推出函数是奇函数，对称点不存在不一定是偶函数C. 对称点不一定存在，不存在不一定是奇函数D. 对称点可推出函数是奇函数，对称点不存在不一定是奇函数4. 设函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-1,1]上是增减性相同的，则a、b、c的大小关系为（）。

A. a≤0, b≤0, c≥0B. a≥0, b≤0, c≥0C. a≤0, b≥0, c≥0D. a≥0, b≥0, c≥05. 设事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.6，P(B) =0.8，则P(AB)的值是（）。

A. 0.12B. 0.2C. 0.24D. 0.486. 以双色球为例，双色球1-33个红色号码中取6个，1-16个蓝色号码中取1个，设购买一张双色球彩票的费用是2元，若要中得一等奖，则需要全中红色号码和蓝色号码，其概率为（）。

A. 1/201B. 1/2922C. 1/3507D. 1/47567. 已知曲线y=x^2-2在点(1, -1)处的切线方程为y=2x-3，则曲线上与切线平行且纵坐标大于-1的点的横坐标为（）。

A. -1B. 0C. 1D. 28. 某商品原价P为120元，商家为促销将商品的原价打9折出售。

再根据购买的数量给予一定优惠。

若购买数量在1-5件之间，仍然保持9折优惠，购买数量在6-10件之间，优惠力度加大，可以打8折。

高中会考试题数学及答案

高中会考试题数学及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 4x + 3，则f(-1)的值为：A. 0B. 2C. 4D. 6答案：B2. 已知等差数列{a_n}的前三项分别为1, 4, 7，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 一个圆的半径为5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B4. 若直线y = 2x + 1与直线y = -x + 3相交，则交点的横坐标为：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C5. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么它的周长是：A. 10B. 11C. 12D. 13答案：B6. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x - 2的导数是：A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 9x + 4D. 3x^2 - 9x + 2答案：A7. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 若sin(α) = 3/5，且α为第一象限角，则cos(α)的值为：A. 4/5B. -4/5C. 3/5D. -3/5答案：A9. 一个数列的前四项为2, 5, 8, 11，若该数列是等差数列，则第五项为：A. 14B. 15C. 16D. 17答案：A10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x) = 0，则x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等比数列{a_n}的前三项分别为2, 6, 18，则该数列的公比为______。

答案：32. 一个矩形的长为10cm，宽为5cm，那么它的对角线长度为______。

答案：5√5 cm3. 函数y = √x的反函数是______。

答案：y = x^24. 已知一个抛物线的顶点为(2, -3)，且开口向上，则它的标准方程为______。

2023年3月吉林高中学学业水平合格考数学试卷真题

2023年3月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学试题本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分100分，答题时间为90分钟。

考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

注意事项：1．考生要认真检查试题（卡）有无漏印、破损或缺页，若有，及时申请更换，否则责任自负。

2．答题前，考生先将自己的姓名、考籍号、科考号和考生座位序号填写清楚，将条形码准确粘贴到“考生信息条形码粘贴区”。

3．答题时，考生在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1-10小题每小题3分，第11-15小题每小题4分，共50分）1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,4C ．{}2,3D ．∅2．sin150︒=（）A ．12B ．12-C ．2D ．2-3．“2x =”是“24x =”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知i 是虚数单位，则()i 2i +=（）A ．12i-B ．12i--C ．12i+D ．12i -+5．已知向量()3,1a =与(),6b x =- 垂直，则实数x 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-6．已知函数()3,0,2,0,xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩若()8f a =，则a 的取值为（）A ．3B ．5C ．3-D ．5-7．某学校有高中学生1000人，其中高一学生360人，高二学生340人；高三学生300人，按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校高中学生中抽取一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则在高三学生中应抽取的人数为（）A ．30B ．34C ．36D ．608．为了得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把正弦曲线sin y x =上所有的点（）A ．向左平行移动2π3个单位长度B ．向右平行移动2π3个单位长度C ．向左平行移动π3个单位长度D ．向右平行移动π3个单位长度9．已知2log 5a =，2log 3b =，1c =，则（）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．a b c>>10．函数1y x =-的定义域为（）A ．{}01x x x >≠且B ．{}01x x x ≥≠且C ．{}1x x ≠D ．{}x x ≥11．袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到黄球的概率为（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.612．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，则直线AC 与1A B 所成的角为（）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒13．在锐角ABC △中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，且2sin c B =，则角C 为（）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒14．一个棱长为）A ．18πB ．C ．D ．36π15．在ABC △中，D 为BC 的中点，O 为AD 的中点，则BO = （）A ．1122BC BA+B ．1142BC BA+C ．1144BC BA+D ．1124BC BA+第Ⅱ卷（非选择题共50分）二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分）16．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，若()2f a =，则()f a -=______．17．若0a >，0b >，且1a b +=，则11a b+的最小值是______．18．甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677则本次测试中成绩比较稳定的是______．（填甲或乙）19．在ABC △中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，且120A =︒，7a =，8b c +=，则ABC △的面积为______．三、解答题（本大题共4小题，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．已知函数()sin f x x x =-．（1）求函数()f x 的最大值和最小值；（2）求函数()f x 的单调递增区间．21．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲成功破译的概率为34，乙成功破译的概率为23．（1）求两人都成功破译的概率；（2）求至少有一人成功破译的概率．22．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D ，E 分别是AB ，PB 的中点，2PC AC ==，BC =（1）求证：DE ∥平面PAC ；（2）求三棱锥D PAC -的体积．23．已知函数()[)()21,1xf x x x =∈+∞+．（1）根据函数单调性的定义证明函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减；（2）若()()223f af a >+，求实数a 的取值范围．。

吉林高一会考试卷

吉林高一会考试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 根据题目所给的数学公式，下列哪个选项是正确的推导结果？A. a + b = b + aB. a × b = b × aC. a × (b + c) = ab + bcD. a ÷ b = b ÷ a2. 下列哪个选项是英语中正确的反身代词？A. myselfB. yourC. heD. it3. 根据题目所给的化学方程式，下列哪个选项是正确的反应物和生成物？A. 2H2 + O2 → 2H2OB. CaO + H2O → Ca(OH)2C. 2CO2 + 2NaOH → Na2CO3 + H2OD. Fe + CuSO4 → FeSO4 + Cu4. 根据题目所给的物理定律，下列哪个选项是正确的描述？A. 牛顿第一定律B. 能量守恒定律C. 欧姆定律D. 所有选项都是正确的5. 根据题目所给的地理信息，下列哪个选项是正确的？A. 长江是中国最长的河流B. 珠穆朗玛峰是世界上最高的山峰C. 黄河是中国的母亲河D. 所有选项都是正确的...（此处省略剩余选择题）二、填空题（每题2分，共10分）6. 根据题目所给的数学公式，计算下列表达式的值：\( \frac{a^2 - b^2}{a - b} \) = _______。

7. 英语中，"look forward to" 的意思是期待，那么 "look back on" 的意思是 _______。

8. 化学中，原子序数为1的元素是 _______。

9. 物理中，根据牛顿第二定律，力（F）等于 _______ 乘以加速度（a）。

10. 地理上，中国位于东经73°33′至135°05′，北纬3°52′至53°33′之间，属于 _______ 气候区。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 请简述牛顿三大定律的主要内容。

2021年吉林普通高中会考数学真题及答案

2021年吉林普通高中会考数学真题及答案一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2,1,2B =-，则A B =（）A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．2,0,1,2【答案】C2．函数5()log (1)f x x =-的定义域是( ) A ．(,1)(1,)-∞⋃+∞ B ．[0,1) C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 3．函数()1,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩则()()4f f =（）A ．0B ．-2C ．2D ．6【答案】A4．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（）. A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D 5．sincos44ππ的值为（）A ．12B ．2C ．4D 【答案】A6．已知直线l 过点(0,7)，且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（） A ．47y x =-- B ．47y x =-C ．47y x =+D ．47y x =-+【答案】D7．已知向量(1,2)a =，(,1)b x =-若a b ⊥，则实数x 的值为（） A ．-2 B ．2C ．-1D ．1【答案】B8．已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123 4 5 ()f x4-2-147在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（）. A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（4，5）【答案】B9．已知直线:1l y x =+和圆22:1C x y +=，则直线l 和圆C 的位置关系为（） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A10．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）. A ．1()3xy = B ．3log y x =C ．1y x=D ．cos y x =【答案】B11．下列命题正确的是( )A ．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B ．平行于同一个平面的两条直线平行C ．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D ．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行【答案】D12．已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是（）A ．27.5B ．28.5C ．27D ．28【答案】A13．若(2,0)x ∈-，则(2)x x +的最小值是（） A ．2- B ．32-C ．1-D ．12-【答案】C14．偶函数()f x 在区间[]2,1--上单调递减，则函数()f x 在区间[]1,2上（） A ．单调递增，且有最小值(1)f B ．单调递增，且有最大值(1)f C ．单调递减，且有最小值(2)f D ．单调递减，且有最大值(2)f【答案】A15．已知函数sin()4πy x =-的图象为C ，为了得到函数1sin()34πy x =-的图象，只要把C 上所有的点（）A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的1/3，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的1/3，横坐标不变【答案】A二、填空题16．函数13cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为________．【答案】4π17．在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的有12人，则该班学生人数是____________【答案】4018．已知扇形的圆心角为6π，弧长为23π，则该扇形的面积为 _________ 【答案】4π3三、双空题19．.已知等差数列{}n a 中，11a =，35a =，则公差d =________，5a =________. 【答案】2，9四、解答题20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+. （1）求角A 的大小；（2）若3a =，1b =，求角B 的大小.【答案】（1）3A π=；（2）6B π=.21．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD ､1CC 的中点.（1）求证：1AC BD ⊥；（2）求证：//AE 平面1BFD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.22．已知数列{}n a 满足13()n n a a n N *+=∈，且26a =．（1）求1a 及n a ．（2）设2n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）2，123n n a -=⨯；（2）321nn S n =--.23．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =时，求直线的方程. 【答案】（1）34a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 24．已知函数()()2*2N f x ax x c a c =++∈、满足：① ()15f =；② ()6211f <<.（1）求a ，c 的值；（2）若对任意的实数13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()21f x mx -≤成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a =，2c =；（2）94m ≥.。

吉林普通高中会考数学真题及答案B

吉林普通高中会考数学真题及答案B参考公式：标准差：锥体体积公式： V= S底·h其中．s 为底面面积.h 为高,柱体体积公式V=s.h球的表面积、体积公式S= 24R π V=343R π 其中．s 为底面面积.h 为高, V 为体积 .R 为球的半径第1卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共15小题.每小题的四个选项中只有一项是正确的.第1-10小题每小题3分.第11-15小题每小题4分.共50分）1.设集合M={－2.0.2}.N={0}.则( ). A ．N 为空集 B. N ∈M C. N M D. MN2．已知向量(3,1)=a .(2,5)=-b .那么2+a b 等于（） A (1,11)- B (4,7) C (1,6) D (5,4)-3．函数2log (1)y x =+的定义域是（）A (0,)+∞B (1,)-+∞C (1,)+∞D [1,)-+∞4．函数sin y x ω=的图象可以看做是把函数sin y x =的图象上所有点的纵坐标保持不变.横坐标缩短到原来的12倍而得到的.那么ω的值为（） 31(s x x =++-A 14B 12C 4D 25．在函数3y x =.2x y =.2log y x =.y =.奇函数是（）A 3y x = B 2x y = C 2log y x =D y =6.一个几何体的三视图如图所示.该几何体的表面积是（） A 3π B 8π C 12π D 14π7．11sin 6π的值为（）A 12-B 12D 28．不等式2320x x -+<的解集为（）A {}2x x > B {}1x x > C {}12x x << D {}12x x x <>或9．在等差数列{}n a 中.已知12a =.24a =.那么5a 等于（）A ．6B ．8C ．10D ．1610．函数45)(2+-=x x x f 的零点为( )A ．(1,4)B ．(4,1)C ．(0,1),(0,4)D ．1,411．已知平面α∥平面β.直线m ⊂平面α.那么直线m 与平面β的关系是（） A 直线m 在平面β内 B 直线m 与平面β相交但不垂直 C 直线m 与平面β垂直 D 直线m 与平面β平行俯视图左（侧）视图主（正）视图2212. 在ABC ∆中.如果a =2b =.1c =.那么A 的值是（）A 2πB 3πC 4πD 6π13.直线y= -12x+34的斜率等于（） A ．-12 B ．34 C ．12 D ．- 3414．某城市有大型、中型与小型超市共1500个.它们的个数之比为1:5:9．为调查超市每日的零售额情况.需要通过分层抽样抽取30个超市进行调查.那么抽取的小型超市个数为（）A 5B 9C 18D 2015, ．设R 且满足.则的最小值等于 ( )A. B.C.4D.52016年吉林省普通高中学业考试模拟试题（数学）注意事项：1．第Ⅱ卷共4页.用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

2024届吉林省普通高中联合体数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届吉林省普通高中联合体数学高一第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若向量,,a b c 满足：a 与b 的夹角为23π，且()()0c a c b -⋅-=，则||||||a b a b c ++-的最小值是（） A ．1B ．2C ．3D ．22．函数5()3cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是（）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭3．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos cos a Bb A=，则ABC 的形状为 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 4．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．5．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（）. A ．13B ．15C ．19D ．216．为了得到函数sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin2y x =的图象（）A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移2π个单位长度 D ．向左平移2π个单位长度 7．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A ．−8 B ．−6 C ．6D ．88．如图，在矩形ABCD 中，AB 4=，2BC =，点P 满足1CP =，记a AB AP =⋅，b AC AP =⋅，c AD AP =⋅，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>9．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为 A ．3B ．3C ．3D ．8310．在等差数列{}n a 中，372a a +=，则9S 等于() A ．2B ．18C ．4D ．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

吉林省高中会考样卷

“学业水平考试”题型及要求第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本题共20小题，每小题2分，共40分；每小题四个选项中，只有一项符合题意.) 此题含5～8道电磁学内容，且文科生（选学1-1）也能做。

第Ⅱ卷(共60分)二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)此题含2道电磁学内容，且文科生（选学1-1）也能做。

三、简答题(本题共3小题，每小题6分；共18分；第27小题、28小题为全体考生必作题目，29小题为选作题目)27．此题内容为力学部分科普类28．此题内容为力学部分实验类29．(本题为选作题)(1)[选修1—1]此题内容为1-1部分实验类或科普类(2)[选修3—1]此题内容为3-1部分实验类四、解答题(本题共有3小题，每小题8分，共24分；30小题、31小题为全体考生必作题目，32小题为选作题目)30．此题内容为力学部分31．此题内容为力学部分32．(本题为选作题)(1)[选修1—1]此题内容为1-1部分(2)[选修3—1]此题内容为3-1部分样卷第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本题共20小题，每小题2分，共40分；每小题四个选项中，只有一项符合题意.) 1．宋代诗人陈与义乘小船出游时，写了一首诗，其中两句是：卧看满天云不动，不知云与我俱东．从描述运动的角度，“云与我俱东”的参考系是A．河岸B．小船C．云朵D．作者2．两个大小分别为10N和6N的共点力，其合力不可能是A．6N B．8N C．10N D．17N3．用同一张底片对着小球运动的路径每隔0．1s拍一次照，得到的照片如图所示，则小球从A位置运动到B位置的平均速度是A BA．0.25 m/s B．0.2 m/sC．0.17 m/s D．无法确定4．下列说法正确的是（）A．两人勾手拔河比赛中，胜方拉对方的力大于输方拉对方的力B．马能拉车前进是因为马拉车的力大于车拉马的力C ．太阳对地球的引力与地球对太阳的引力大小一定相等D ．用锤钉钉子，锤对钉的作用力大于钉对锤的作用力5．“神舟六号”飞船从发射至返回的各阶段中，机械能守恒的是A ．加速升空阶段B ．沿圆轨道绕地球匀速运行阶段C ．进入大气层减速阶段D ．降落伞张开后下降阶段6．某研究性学习小组的同学利用自制的磁悬浮小车，研究小车运动位移随时间变化的规律，测得小车位移x 与时间t 的数据如下表所示：由表中数据可初步归纳出小车位移x 和时间t 的关系为 A ．x ∝t B ．x ∝t 2 C ．x ∝t 3 D ．x ∝t 1/27．下列事例中，不是由万有引力起决定作用的物理现象是 A ．月亮总是在不停地绕地球转动 B ．地球周围的大气层不会散发到太空中去 C ．潮汐D ．把碎铅块压成一整块铅8．如图所示，重为20N 的物体悬挂在弹簧的下端时，弹簧伸长了4cm ．现换用另一个重为40N 的物体悬挂在弹簧的下端(形变仍在弹性限度内)，这时弹簧的弹力大小、劲度系数分别是 A ．20N ，500N/m B ．20N ，1000N/m C ．40N ，500N/mD ．40N ，1000N/m9．如图所示，A 、B 是地球赤道上的两点，B 、C 是地球表面上不同纬度上的两个点，若A 、B 、C 三点随地球的自转都看作是匀速圆周运动，则下列说法中正确的是（）。

吉林省2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷含答案

2024—2025学年上学期高二年级数学学科阶段验收考试试卷（答案在最后）考试时间：90分钟满分：120分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则下列说法不正确的是（）A.事件{}1,2P =是随机事件B.事件{}0,1,2Q =是必然事件C.事件{}1,2M =--是不可能事件D.事件{}1,0-是随机事件【答案】D 【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.【详解】随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则事件{}1,2P =是随机事件，故A 正确；事件{}0,1,2Q =是必然事件，故B 正确；事件{}1,2M =--是不可能事件，故C 正确；事件{}1,0-是不可能事件，故D 错误.故选：D2.已知点()1,0A ，(1,B -，则直线AB 的倾斜角为（）A.5π6B.2π3C.π3 D.π6【答案】B 【解析】【分析】由两点坐标求出斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求【详解】0tan 11AB k α-===--，()0,πα∈，故直线AB 的倾斜角2π3α=.故选：B3.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（）A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【答案】A 【解析】【分析】由独立事件概率乘法公式可得.【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件123,,A A A ，由题知()()()()()()1231230.6,0.4P A P A P A P A P A P A ======，则3人中至少有2人投中的概率为：()()()()123123123123P P A A A P A A A P A A A P A A A =+++320.630.60.40.648=+⨯⨯=.故选：A.4.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()131,,+252P A P B P A B ===，则()P AB =（）A.13B.15C.25D.110【答案】D 【解析】【分析】先利用和事件的概率公式求出()P AB ，然后利用()()()P AB P A P AB =-求解即可.【详解】因为1()2P A =，3()5P B =，所以()251,()2P A P B ==，又()()()()()122512P A B P A P B P AB P AB +=+-=+-=，所以()25P AB =，所以()()()1102512P P P A AB A B ==-=-.故选：D.5.若()2,2,1A ，()0,0,1B ，()2,0,0C ，则点A 到直线BC 的距离为（）A.5B.5C.5D.5【答案】A 【解析】【分析】由题意得()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =-，再根据点线距离的向量公式即可求解.【详解】()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =- ，则BA 在BC上的投影向量的模为BA BC BC⋅= 则点A 到直线BC5=．故选：A.6.某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流．．．．发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（）A.13B.16C.112 D.524【答案】C 【解析】【分析】由于连胜两局者赢，则可写出四局的结果，计算即可.【详解】由于连胜两局者赢，甲先发球可分为：该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢，则概率为22133231441⨯⨯⨯=；故选：C.7.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T 表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（）A.13B.12C.23D.35【答案】B 【解析】【分析】根据6根算筹，分为五类情况：51,42,33,24,15+++++，逐一分类求解满足要求的两位数，即可求解概率.【详解】根据题意可知：一共6根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为51,42,33,24,15+++++一共五类情况；第一类：51+，即十位用5根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是5或者9，个位为1，则两位数为51或者91；第二类：42+，即十位用4根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是4或者8，个位可能为2或者6，故两位数可能42，46，82，86；第三类：33+，即十位用3根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是3或者7，个位可能为3或者7，故两位数可能是33，37，73，77；第四类：24+，即十位用2根算筹，个位用4根算筹，那么十位为2或6，个位可能为4或者8，则该两位数为24或者28或者64或者68，第五类：15+，即十位用1根算筹，个位用5根算筹，那十位是1，个位为5或者9，则两位数为15或者19；综上可知：用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有：15，19，24，28，33，37，42，46，51，64，68，73，77，82，86，91共计16个，则不小于50的有：51，64，68，73，77，82，86，91共计8个，故概率为81=162，故选：B.8.正三棱柱111ABC A B C -中，12,3,AB AA O ==为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点，N 为棱AM上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的取值范围为（）A.4⎡⎫⎢⎣⎭B.,27⎢⎣⎦C.34747⎢⎣⎦D.【答案】B 【解析】【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱11ABC A B C -中,O 为BC 的中点，取11B C 中点Q ，连接OQ ，如图，以O 为原点，,,OC OA OQ 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,,1,0,,1,0,O A B C -，因为M 是棱11B C上一动点，设(M a ，且[1,1]a ∈-，所以(()0OM OA a ⋅=⋅=，则OA OM ⊥，因为ON AM ⊥，且MN MOMO MA=所以在直角三角形OMA 中可得：~OMN AMO 即222MO MN MA===，于是令tt =∈，2233tt t t-==-，t ∈，又符合函数3=-y t t 为增增符合，所以在t ∈上为增函数，所以当t =min 32t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN 长度的最小值为62，当t =时，max 37t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN长度的最大值为7，故选：B.【点睛】关键点睛：1.找到~OMN AMO ，再利用函数单调性求出最值.2.建系，设出动点(M a ，利用空间向量法求出ON AM ⊥，再结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的是（）A.若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，则这两个向量可能相等；B.在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11ACC A ；C.对于空间三个非零向量,,a b c，一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 成立；D.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是棱11A D ，AB 的中点，则异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25．【答案】ABD 【解析】【分析】由相等向量的概念即可判断选项A ，利用线面垂直的判定定理证明即可判断选项B ，由数量积的性质即可判断选项C ，建立空间直角坐标系利用向量的坐标即可计算异面直线MD 与NC 所成角的余弦值判断选项D.【详解】若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，而当两向量方向和长度相等时，这两个向量相等；故A 正确；在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，即直棱柱1111ABCD A B C D -中底面为菱形，因为BD AC ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，所以BD ⊥平面11ACC A ；故B 正确；对于空间三个非零向量,,a b c ，有()a b c c λ⋅⋅= ，()a b c a μ⋅⋅=，所以不一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅成立，故C错误；建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,2M ，()2,1,0N ，()0,2,0C ，所以()1,0,2DM = ，()2,1,0NC =-，所以2cos ,5DM NC ==-，所以异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25，故D 正确.故选：ABD.10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x 表示第一次抛掷骰子的点数，数字y 表示第二次抛掷骰子的点数，用(),x y 表示一次试验的结果．记事件A =“7x y +=”，事件B =“3x ≤”，事件C =“()21N xy k k *=-∈”，则（）A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6636⨯=个；其中事件A =“7x y +=”包含的样本点有：()1,6，()2,5，()3,4，()4,3，()5,2，()6,1共6个；事件C =“()*21Nxy k k =-∈”，包含的样本点有：()1,1，()3,3，()5,5，()1,3，()1,5，()3,1，()3,5，()5,1，()5,3共9个，事件B =“3x ≤”，包含的样本点有：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()3,5，()3,6共18个，对于A ，()91364P C ==，故A 正确；对于B ，事件AB 包含的样本点有()1,6，()2,5，()3,4共3个，所以()()()6118131,,3663623612P A P B P AB ======，所以()()()P A P B P AB =，所以A 与B 相互独立，故B 正确；对于C ，A C U 包含的样本点个数满足691536+=<，所以A 与C 不为对立事件，故C 错误；对于D ，事件BC 包含的样本点有：()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，共6个，而()14P C =，()12P B =，()61366P BC ==，从而()()()1816P P P BC B C ≠==，所以B 与C 不相互独立，故D 错误.故选：AB.11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条长为3的线段B.存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD C.三棱锥1Q A PD -的最大体积为518D.若12D Q =，且1D Q 与平面1A PD 所成的角为θ，则sin θ【答案】ACD 【解析】【分析】在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，证得平面//DEF 平面1A PD ，进而得到1//D Q 平面1A PD ，可判定A 正确；以1D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面1A PD 的一个法向量(3,2,3)m =-，根据1D Q m λ= ，得出矛盾，可判定B 不正确；利用向量的数量积的运算及三角形的面积公式，求得16A PD S =,在求得点Q 到平面1A PD的最大距离max d =，结合体积公式，可判定C 正确；根据题意，求得点点Q 的轨迹，结合线面角的公式，求得11(,1,)22Q 时，取得最大值，进而可判定D 正确.【详解】对于A 中，如图所示，分别在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，可得1//EF B C ，因为11//A D B C ，所以1//EF A D ，因为1A D ⊂平面1A PD ，EF ⊄平面1A PD ，所以//EF 平面1A PD ，又由11//D F A P ，且1A P ⊂平面1A PD ，1D F ⊄平面1A PD ，所以1//D F 平面1A PD ，又因为1EF D F F ⋂=，且1,EF D F ⊂平面DEF ，所以平面//DEF 平面1A PD ，且平面DEF ⋂平面11BCC B EF =，若1//D Q 平面1A PD ，则动点Q 的轨迹为线段EF ，且223EF =，所以A 正确；对于B 中，以1D 为原点，以11111,,D A D C D D 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得12(1,0,0),(0,0,1),(1,1,)3A D P ，则112(1,0,1),(0,1,)3A D A P =-= ，设(,1,)(01,01)Q x z x z ≤≤≤≤，可得1(,1,)D Q x z =，设(,,)m a b c = 是平面1A PD 的一个法向量，则110203m A D a c m A P b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3c =，可得3,2z b ==-，所以(3,2,3)m =-，若1D Q ⊥平面1A PD ，则1//D Q m，所以存在R λ∈，使得1D Q m λ= ，则3[0,1]2x z ==-∉，所以不存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD ，所以B 错误；对于C 中，由112(1,0,1),(0,1,3A D A P =-=，可得1111132,33A D A P A D A P ==⋅=，则11cos ,A D A P =11sin ,A D A P = ，所以111111sin 2236A PD S A D A P DA P =⋅∠=⨯ ,要使得三棱锥1Q A PD -的体积最大，只需点Q 到平面1A PD 的距离最大，由1(1,1,)AQ x z =- ，可得点Q 到平面1A PD的距离1)5A Q m d x z m ⋅==+-，因为01,01x z ≤≤≤≤，所以当0x z +=时，即点Q 与点1C重合时，可得max d =，所以三棱锥1Q A PD -的最大体积为111533618A PD S =⋅=，所以C 正确；对于D 中，在正方体中，可得11D C ⊥平面11BCC B ，且1C Q ⊂平面11BCC B ，所以111D C C Q ⊥，则12C Q ==，所以点Q 的轨迹是以1C为圆心，以2为半径的圆弧，其圆心角为π2，则1(,0,)C Q x z =，所以12C Q == ，即2212x z +=，又由1(,1,)D Q x z =，设1D Q 与平面1A PD 所成的角θ，所以111sin cos ,m D Q m D Q m D Qθ⋅===，因为2212x z +=，可得222()2()x z x z +≤+，当且仅当x z =时，等号成立，所以1x z +≤，即12x z ==时，1D Q 与平面1A PD 所成的角最大值，sin θ=D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略：1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，第14题第一个空2分，第二个空3分，共15分．12.已知()3,2,1a =- ，()2,1,2b =r，当()()2ka b a b +⊥- 时，实数k 的值为____________．【答案】6【解析】【分析】由题意依次算得22,,a b a b ⋅ 的值，然后根据()()2ka b a b +⊥-列方程即可求解.【详解】因为()3,2,1a =-，()2,1,2b = ，所以()2294114,4149,3221126a ba b =++==++=⋅=⋅+⋅+-⋅=，因为()()2ka b a b +⊥-，所以()()()()22221214186122120ka b a b ka b k a b k k k +⋅-=-+-⋅=-+-=-=，解得6k =.故答案为：6.13.柜子里有3双不同的鞋子，分别用121212,,,,,a a b b c c 表示6只鞋，从中有放回地．．．．取出2只，记事件M =“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M 的概率是____________．【答案】13【解析】【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解.【详解】设111,,a b c 表示三只左鞋，222,,a b c 表示三只右鞋，则从中有放回取出2只的所有可能为：()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ，共计36种，其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，()121363P M ∴==.故答案为：13.14.已知正四面体ABCD 的棱切球1T （正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球2T 的半径为______；若动点,M N 分别在1T 与2T 的球面上运动，且满足MN x AB y AC z AD =++，则2x y z ++的最大值为______．【答案】①.3②.26+【解析】【分析】第一空：将正四面体ABCD 放入正方体中，由等体积法可知，只需求出正四面体的表面积以及体积即可列式求解该正四面体的内切球2T 的半径；第二空：由不等式可知，()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，只需求出max MN 、minAT 即可.【详解】第一空：连接,AD EF ，设交点为M ，则M 是AD 中点，如图所示，将正四面体ABCD 放入正方体中，由对称性可知正方体中心就是正四面体ABCD 的中心，设正方体棱长为2a ，则棱切球球心到正四面体ABCD 的六条棱的距离都等于a ，设正四面体ABCD 的棱切球1T 的半径为1r ，所以11r a ==，正方体棱长为2，AD =，而正四面体ABCD 的体积为1182224222323A BCD V -⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，正四面体ABCD的表面积为(21422A BCD S -=⨯⨯⨯=设该正四面体的内切球2T 的半径为r，则由等体积法可知，1833⨯=，解得33r =；第二空：取任意一点T ，使得()22x y z AT MN xAB y AC z AD xAO y AC z AD ++==++=++，所以点T 在面OCD 内（其中O 是AB 中点），所以()13213x y z AT MN r r ++=≤+=+，而点A 到平面OCD 的距离为d AO ==所以()1232226x y z AT x y z x y z AT+++++≤++=≤+，等号成立当且仅当2x y z ++是正数且,T O重合且13MN =+ ，综上所述，2x y z ++的最大值为26+.故答案为：33，2626+.【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，由此即可顺利得解.四、解答题：本大题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==．设1,,AB a AC b AA c ===．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，求异面直线MN 与AC 的夹角的余弦值．【答案】（1）122333a b c-++（2）11【解析】【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可；（2）先用基向量,,a b c 表示AC 与MN ，然后求解MN 与AC 以及数量积MN AC ⋅，然后计算夹角的余弦值即可.【小问1详解】由图可得：()()1111111112123333MN MB BB B N A B AA B C AB AA AA AC AB=++=++=-++- 1122122333333AB AC AA a b c =-++=-++.【小问2详解】由（1）可知122333MN a b c =-++ ，因为11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，所以0a b ⋅=，12a c ⋅= ，12b c ⋅= ，2222212214444814424110333999999999999MN a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=-++=++-⋅-⋅+⋅=++--+= ⎪⎝⎭ ，所以113MN = ，AC b = ，1AC =，212212221·133333333MN AC a b c b a b b c b ⎛⎫⋅=-++=-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭所以cos ,11MN AC MN AC MN AC⋅==，所以异面直线MN 与AC的夹角的余弦值为11.16.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，,E F 分别为1BB ，1CC的中点．（1）证明：1A F ∥平面CDE ；（2）求三棱锥1A CDE -的体积；（3）求直线1A E 与平面CDE 所成的角．【答案】（1）证明过程见解析（2）16（3）π6【解析】【分析】（1）借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量1A F与平面CDE 的法向量后，借助空间向量计算即可得；（2）求出空间向量1A E与平面CDE 的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，进一步求得三棱锥的高以及底面积即可得解.（3）由（2）可知直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，从而即可得解.【小问1详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两垂直，且122AA AB ==，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,2A.因为E ，F 分别为11,BB CC 的中点，所以()1,0,1E ，()1,1,1F ，则()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =- ，()11,1,1A F =-，设平面CDE 的法向量为(),,m x y z = ，则00CD m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则有0x =，1z =，即()0,1,1m =，因为()11011110A F m ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以1A F m ⊥ ，又1⊄A F 平面CDE ，所以1//A F 平面CDE ；【小问2详解】由（1）可知，()11,0,1A E =-，1111cos ,2A E m A E m A E m⋅==-，所以1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12.注意到1A E =所以点1A 到平面CDE122=，而()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =-，从而0CD CE =⋅，1,CD CE == 所以CD CE ⊥，三角形CDE的面积为1122⨯=，所以三棱锥1A CDE -的体积为113226⨯⨯=；【小问3详解】由（2）可知，1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12，所以直线1A E 与平面CDE 所成的角为π6.17.2023年10月31日，东北师大附中以“邂逅数学之美，闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕.在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球4个，白球2个（红球编号为“1，2，3，4”，白球编号为“5，6”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个红球获胜编号之和不超过m 获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）甲同学先玩了游戏一，当m 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．【答案】（1）13，49（2）m 可能取值为7,8,9,10,11【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解.【小问1详解】设事件A 表示“游戏一获胜”，B 表示“游戏二获胜”，C 表示“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为{}1Ω1,2,3,4,5,6=，则()1Ω6n =，()2n A =，()2163P A ∴==，所以游戏一获胜的概率为13．游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间(){}21Ω,,Ωx y x y =∈，则()2Ω36n =，而(){}{},,1,2,3,4B x y x y =∈，所以()16n B =，()164369P B ∴==，所以游戏二获胜的概率为49．【小问2详解】设M 表示“先玩游戏二，获得书券”，N 表示“先玩游戏三，获得书券”，则M ABC ABC ABC =⋃⋃，且ABC ，ABC ，ABC 互斥，,,A B C 相互独立，()()()()()P M P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ∴=⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P B P C P A P B P C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()1424141393939P C P C P C ⎡⎤=⨯-+⨯+⨯⎣⎦()482727P C =+，则N AC B ACB ACB =⋃⋃，且,AC B ACB ACB 互斥，,,A B C 相互独立，()P N =()()()()P ACB ACB ACB P ACB P ACB P ACB ⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P C P B P A P C P B P A P C P B ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()152414393939P C P C P C =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1727P C =，若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大，则()()P N P M >，即()()1748272727P C P C >+，解得()49P C >，设游戏三中两次取球的编号和为X ，则()26113C 15P X ===，()26114C 15P X ===，()26225C 15P X ===，()26226C 15P X ===，()26337C 15P X ===，()26228C 15P X ===，()26229C 15P X ===，()261110C 15P X ===，()261111C 15P X ===，所以当3m =时，()()143159P C P X ===<，不合题意；当4m =时，()()()2434159P C P X P X ==+==<，不合题意；当5m =时，()()()()44345159P C P X P X P X ==+=+==<，不合题意；当6m =时，()()()()()643456159P C P X P X P X P X ==+=+=+==<，不合题意；当7m =时，()()()()()()9434567159P C P X P X P X P X P X ==+=+=+=+==>，符合题意；所以当7m ≥时，都有()49P C >，所以符合题意的m 的取值有7,8,9,10,11.18.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上的三点，设a O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，劣弧BC 的长度记为a ，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC 、AB 的长度分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．如果二面角,,C OA B A OB C B OC A ------的大小分别为,,αβγ，那么球面三角形的面积为()2++πABC S R αβγ=- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设1AOC θ∠=，2BOC θ∠=，3AOB θ∠=．①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，,(0,1]BE BD λλ=∈，S 为AC 的中点，T 为BC 的中点．设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求cos θ的最大值及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②cos 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面,,OAB OAC OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-= 球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：2222122222222232cos 2cos 2cos AC R R R BC R R R AB R R R θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =，则2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A B C D ，可得()20,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)26,,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则222202202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，因为cos cos ,m n m n m n θ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ5=，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x yz=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路:直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=.2.利用空间向量求点到平面距离的方法:设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。

2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题

A. y 4x 7
B. y 4x 7
C. y 4x 7
D. y 4x 7
7. 已知向量 a (1, 2) ， b (x, 1) 若 a b ，则实数 x 的值为（）
A. -2
B. 2
C. -1
8. 已知函数 f (x) 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
D. 1 5
1. 已知集合 A 1, 0,1, 2， B 2,1, 2 ，则 A B （）
A. 1
B. 2
C. 1, 2
D. 2, 0,1, 2
2. 函数 f (x) log5(x 1) 的定义域是( ) A. (,1) (1, ) B. [0,1)
C. [1, )
D. (1, )
3.
函数
f
x
x
1, x x 3,
A. y (1)x 3
11. 下列命题正确的是(
B. y log3 x
)
C. y 1 x
D. y cos x
A. 一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B. 平行于同一个平面的两条直线平行
C. 与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D. 平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行
6
3
的三､解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分，解答应写出文字说明､证明过程和演算
步骤) 20. 在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 b2 c2 a2 bc . （1）求角 A 的大小；
（2）若 a 3 ， b 1，求角 B 大小.

高中数学会考试题及答案

高中数学会考试题及答案第一部分：选择题1. 下列哪个不是一次函数？A. f(x) = 2x + 3B. f(x) = 5x^2 - 3C. f(x) = 4x - 1D. f(x) = x/2 + 12. 已知直角三角形ABC，∠A = 90°，AB = 5 cm，AC = 12 cm，求BC的长度。

A. 10 cmB. 11 cmC. 13 cmD. 15 cm3. 解方程2x + 5 = 17的解为：A. x = 6B. x = 7C. x = 8D. x = 94. 已知函数f(x) = 3x - 2，求f(a + b)的值。

A. 4a + b - 2B. 2a + 3b - 2C. 3a + 3b - 2D. 3a + 3b + 25. 若三角形的三边分别为a, b, c，且满足c^2 = a^2 + b^2，这个三角形是：A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形第二部分：填空题6. 一个几何中心名为 ____________。

7. 一条直线和一个平面相交，交点个数为 ____________。

8. 未知数的指数为负数，表示 ____________。

9. 若两个角的和等于180°，则这两个角称为 ____________。

10. 在一个等边三角形中，每个内角大小为 ____________。

第三部分：解答题11. 用二分法求方程x^2 - 4x + 3 = 0在区间[1, 3]上的一个根的精确值。

12. 已知函数f(x) = 3x^2 - 12x + 9，求f(x)的最小值。

13. 若平面内通过点A(-2, 3)和点B(4, 1)的直线与x轴交于点C，求直线AC的斜率和方程。

答案：1. B2. C3. A4. B5. C6. 几何中心7. 一个8. 负数9. 互补角10. 60°11. 使用二分法可得根的精确值为2。

12. f(x)的最小值为 0。

2020年吉林普通高中会考数学试题(含答案)

2020年吉林普通高中会考数学试题一、选择题(本大题共18小題，每小题3分，共54分。

) (共18题；共54分)1. （3分）已知集合，，且，则（）A .B .C .D .2. （3分）已知实数,，则的大小关系为（）A .B .C .D .3. （3分）圆（x+2）2+（y+3）2=2的圆心和半径分别是（）A . （﹣2，3），1B . （2，﹣3），3C . （﹣2，﹣3），D . （2，﹣3），4. （3分）不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A . （﹣2，0）B . （﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C . （﹣4，2）D . （﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）5. （3分）椭圆+=1的焦点坐标是（）A . （0，±）B . （±， 0）C . （0，±）D . （±， 0）6. （3分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A .B .C .D .7. （3分）已知sin（+α）=，则cos2α等于（）A .B .C . -D . -8. （3分）已知变量、满足，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （3分）如图，平面平面，过平面，外一点引直线分别交平面，平面于、两点，，，引直线分别交平面，平面于、两点，已知，则的长等于（）A . 9B . 10C . 8D . 710. （3分）关于函数f(x)＝tan|x|+|tanx|有下述四个结论：① f(x)是偶函数; ② f(x)在区间上单调递减;③ f(x)是周期函数; ④ f(x)图象关于对称其中所有正确结论的编号是（）A . ①③B . ②③C . ①②D . ③④11. （3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是BC1,CD1的中点，则下列判断错误的是（）A . MN与CC1垂直B . MN与AC垂直C . MN与BD平行D . MN与A1B1平行12. （3分）已知某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .13. （3分）王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的（）A . 充要条件B . 既不充分也不必要条件C . 充分不必要条件D . 必要不充分条件14. （3分）数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为（）A . 12B . 12或13D . 1415. （3分）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段上的点（不含端点），设直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A .B .C .D .16. （3分）已知ABP的顶点A,B分别为双曲线的左右焦点，顶点P 在双曲线C上，则的值等于（）A .B .C .17. （3分）已知函数，数列满足，，若要使数列成等差数列，则的取值集合为（）A .B .C .D .18. （3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是（）A .B .C .D .二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分。

历年吉林会考试题及答案

历年吉林会考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 吉林会考中，下列哪项不是历史学科的考查内容？A. 重要历史事件B. 历史人物C. 地理知识D. 历史时期划分答案：C2. 在吉林会考的数学科目中，以下哪个概念不是函数的基本概念？A. 定义域B. 值域C. 导数D. 质数答案：D3. 吉林会考英语科目中，关于时态的考查，以下哪个选项不是时态的正确表达？A. 一般现在时B. 一般过去时C. 现在完成时D. 过去将来时答案：D4. 在吉林会考的物理科目中，下列哪个选项不是牛顿三大定律的内容？A. 惯性定律B. 万有引力定律C. 作用与反作用定律D. 力的合成与分解定律答案：B5. 吉林会考化学科目中，下列哪个元素的化学符号是错误的？A. 氧 - OB. 铜 - CuC. 铁 - FeD. 银 - Ag答案：D6. 吉林会考生物科目中，下列哪个选项不是细胞的基本结构？A. 细胞膜B. 细胞核C. 叶绿体D. 线粒体答案：C7. 吉林会考地理科目中，关于地球自转的描述，以下哪个选项是错误的？A. 地球自转一周的时间是24小时B. 地球自转的方向是自西向东C. 地球自转产生昼夜更替现象D. 地球自转轴与公转轨道平面垂直答案：D8. 吉林会考政治科目中，关于我国宪法的描述，以下哪个选项是错误的？A. 宪法是国家的根本大法B. 宪法规定了国家的基本制度和基本任务C. 宪法具有最高的法律效力D. 宪法的修改必须经过全国人民代表大会三分之二以上的代表通过答案：D9. 吉林会考语文科目中，下列哪个选项不是古代文学体裁？A. 诗歌B. 散文C. 小说D. 戏剧答案：C10. 吉林会考信息技术科目中，关于计算机病毒的描述，以下哪个选项是错误的？A. 计算机病毒是一种恶意软件B. 计算机病毒可以自我复制C. 计算机病毒不能破坏计算机硬件D. 计算机病毒可以通过电子邮件传播答案：C二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 吉林会考中，下列哪些选项是物理学科的考查内容？A. 力学B. 光学C. 声学D. 化学答案：A、B、C12. 吉林会考英语科目中，关于动词时态的考查，以下哪些选项是正确的？A. 一般现在时B. 一般过去时C. 一般将来时D. 过去完成时答案：A、B、C、D13. 吉林会考数学科目中，下列哪些选项是几何图形的性质？A. 三角形内角和为180度B. 圆的周长与直径的比值是πC. 矩形的对角线相等D. 正方体的六个面都是正方形答案：A、B、C、D14. 吉林会考生物科目中，下列哪些选项是细胞器的功能？A. 线粒体：能量转换B. 核糖体：蛋白质合成C. 内质网：蛋白质加工D. 细胞膜：物质交换答案：A、B、C、D15. 吉林会考信息技术科目中，下列哪些选项是计算机硬件的组成部分？A. 中央处理器（CPU）B. 内存（RAM）C. 硬盘（HDD）D. 操作系统（OS）答案：A、B、C三、填空题（每题2分，共10分）16. 吉林会考中，历史学科考查的重要历史事件之一是______。

吉林高中会考试题及答案

吉林高中会考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共40分）1. 下列哪项不是吉林高中会考的科目？A. 语文B. 数学C. 英语D. 体育答案：D2. 吉林高中会考的考试时间通常是在每年的哪个月份？A. 1月B. 6月C. 9月D. 12月答案：B3. 吉林高中会考中，下列哪项科目的考试时间最长？A. 语文B. 数学C. 英语D. 物理答案：A4. 吉林高中会考的总成绩是如何计算的？A. 各科目成绩简单相加B. 各科目成绩加权平均C. 只计算最高分科目D. 只计算最低分科目答案：B5. 吉林高中会考中，下列哪项科目的考试形式为闭卷？A. 语文B. 数学C. 英语D. 物理答案：B6. 吉林高中会考中，下列哪项科目的考试形式为开卷？A. 语文B. 数学C. 英语D. 历史答案：D7. 吉林高中会考的合格标准是什么？A. 各科目成绩均达到60分B. 各科目成绩均达到70分C. 各科目成绩均达到80分D. 各科目成绩均达到90分答案：A8. 吉林高中会考中，下列哪项科目的考试内容不包括作文？A. 语文B. 数学C. 英语D. 物理答案：B9. 吉林高中会考中，下列哪项科目的考试内容不包括听力？A. 语文B. 数学C. 英语D. 物理答案：A10. 吉林高中会考的考试目的是什么？A. 选拔优秀学生B. 检查学生学习情况C. 促进学生全面发展D. 以上都是答案：D11. 吉林高中会考中，下列哪项科目的考试内容不包括实验操作？A. 语文B. 数学C. 英语D. 化学答案：A12. 吉林高中会考中，下列哪项科目的考试内容不包括阅读理解？A. 语文B. 数学C. 英语D. 生物答案：B13. 吉林高中会考的考试形式包括哪些？A. 笔试B. 口试C. 实验操作D. 以上都是答案：D14. 吉林高中会考中，下列哪项科目的考试内容不包括计算题？A. 语文B. 数学C. 英语D. 物理答案：A15. 吉林高中会考的考试结果如何公布？A. 学校内部公布B. 教育局官方网站公布C. 考生个人查询D. 以上都是答案：D16. 吉林高中会考中，下列哪项科目的考试内容不包括简答题？A. 语文B. 数学C. 英语D. 政治答案：B17. 吉林高中会考的考试范围是什么？A. 各科目的必修内容B. 各科目的选修内容C. 各科目的必修和选修内容D. 各科目的课外拓展内容答案：C18. 吉林高中会考的考试难度如何？A. 较难B. 适中C. 较易D. 以上都是答案：B19. 吉林高中会考的考试时间通常持续多久？A. 1天B. 2天C. 3天D. 4天答案：C20. 吉林高中会考的考试地点通常在哪里？A. 考生所在学校B. 教育局指定的考点C. 考生家庭所在地D. 以上都是答案：B二、多项选择题（每题3分，共30分）21. 吉林高中会考的考试科目包括哪些？A. 语文B. 数学C. 英语D. 物理E. 化学F. 生物G. 政治H. 历史I. 地理答案：A、B、C、D、E、F、G、H、I22. 吉林高中会考的考试形式可能包括哪些？A. 笔试B. 口试C. 实验操作D. 上机考试E. 面试答案：A、B、C、D23. 吉林高中会考的考试内容可能包括哪些？A. 选择题B. 填空题C. 计算题D. 简答题E. 论述题F. 作文题G. 听力题H. 阅读理解题答案：A、B、C、D、E、F、G、H24. 吉林高中会考的合格标准可能包括哪些？A. 各科目成绩均达到60分B. 各科目成绩均达到70分C. 各科目成绩均达到80分D. 各科目成绩均达到90分E. 总成绩达到一定分数线答案：A、B、C、D、E25. 吉林高中会考的考试结果公布方式可能包括哪些？A. 学校内部公布B. 教育局官方网站公布C. 考生个人查询D. 电话查询E. 短信通知答案：A、B、C、D、E26. 吉林高中会考的考试目的可能包括哪些？A. 选拔优秀学生B. 检查学生学习情况C. 促进学生全面发展D. 评估教学质量E. 为高考做准备答案：A、B、C、D、E27. 吉林高中会考的考试范围可能包括哪些？A. 各科目的必修内容B. 各科目的选修内容C. 各科目的必修和选修内容D. 各科目的课外拓展内容E. 各科目的历年真题答案：A、B、C、D、E28. 吉林高中会考的考试难度可能包括哪些？A. 较难B. 适中C. 较易D. 随机E. 根据学生水平调整答案：A、B、C、D、E29. 吉林高中会考的考试时间可能持续多久？A. 1天B. 2天C. 3天D. 4天E. 5天答案：A、B、C、D、E30. 吉林高中会考的考试地点可能在哪里？A. 考生所在学校B. 教育局指定的考点C. 考生家庭所在地D. 其他城市E. 网络远程考试答案：A、B、C、D、E三、判断题（每题1分，共10分）31. 吉林高中会考的考试科目包括体育。

长春高中会试题及答案

长春高中会试题及答案一、单项选择题（每题2分，共40分）1. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春位于中国东北地区B. 长春是中国的首都C. 长春是广东省的省会D. 长春位于中国的南部答案：A2. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考是全国性的考试B. 长春高中会考是省级考试C. 长春高中会考是市级考试D. 长春高中会考是学校内部考试答案：B3. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考只包括数学和语文B. 长春高中会考包括数学、语文、英语、物理、化学、生物等科目C. 长春高中会考只包括英语和物理D. 长春高中会考只包括历史和地理答案：B4. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考每年举行一次B. 长春高中会考每年举行两次C. 长春高中会考每学期举行一次D. 长春高中会考每年举行四次答案：A5. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的成绩不计入高考总分B. 长春高中会考的成绩计入高考总分C. 长春高中会考的成绩只作为参考D. 长春高中会考的成绩与高考无关答案：C6. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的目的是选拔优秀学生B. 长春高中会考的目的是检验学生的学习成果C. 长春高中会考的目的是提高学生的应试能力D. 长春高中会考的目的是降低学生的学业压力答案：B7. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考只针对高三学生B. 长春高中会考针对所有高中生C. 长春高中会考只针对高一学生D. 长春高中会考只针对高二学生答案：B8. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的试题全部由教育部统一命题B. 长春高中会考的试题由各省自行命题C. 长春高中会考的试题由各市自行命题D. 长春高中会考的试题由各学校自行命题答案：B9. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的成绩只在学校内部公布B. 长春高中会考的成绩在全省范围内公布C. 长春高中会考的成绩在全国公布D. 长春高中会考的成绩不对外公布答案：B10. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的考试时间固定在每年的6月B. 长春高中会考的考试时间固定在每年的1月C. 长春高中会考的考试时间每年不固定D. 长春高中会考的考试时间固定在每年的9月答案：C11. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的考试形式为闭卷考试B. 长春高中会考的考试形式为开卷考试C. 长春高中会考的考试形式为面试D. 长春高中会考的考试形式为实践操作答案：A12. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的考试时间为2小时B. 长春高中会考的考试时间为3小时C. 长春高中会考的考试时间为4小时D. 长春高中会考的考试时间为5小时答案：B13. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的考试科目顺序是固定的B. 长春高中会考的考试科目顺序每年不固定C. 长春高中会考的考试科目顺序由学生自行选择D. 长春高中会考的考试科目顺序由学校自行决定答案：A14. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的成绩只计算卷面分B. 长春高中会考的成绩包括卷面分和平时成绩C. 长春高中会考的成绩只计算平时成绩D. 长春高中会考的成绩只计算面试成绩答案：B15. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的考试内容只包括课本知识B. 长春高中会考的考试内容既包括课本知识，也包括课外知识C. 长春高中会考的考试内容只包括课外知识D. 长春高中会考的考试内容只包括实践操作答案：B16. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的考试难度与高考相同B. 长春高中会考的考试难度低于高考C. 长春高中会考的考试难度高于高考D. 长春高中会考的考试难度与高考无关答案：B17. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的考试目的与高考相同B. 长春高中会考的考试目的与高考不同C. 长春高中会考的考试目的与中考相同D. 长春高中会考的考试目的与中考不同答案：B18. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的考试范围只包括必修课程B. 长春高中会考的考试范围包括必修课程和选修课程C. 长春高中会考的考试范围只包括选修课程D. 长春高中会考的考试范围不包括任何课程答案：B19. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的考试结果只对学生本人公布B. 长春高中会考的考试结果只对学校公布C. 长春高中会考的考试结果只对家长公布D. 长春高中会考的考试结果对所有人公布答案：A20. 长春高中会考试卷中，下列哪项是正确的？A. 长春高中会考的考试费用由学生承担B. 长春高中会考的考试费用由学校承担C. 长春高中会考的考试费用由家长承担D. 长春高中会考的考试费用由政府承担答案：D二、填空题（每题2分，共20分）21. 长春高中会考的考试时间一般安排在每年的________月份。