研究生入学考试清华大学微积分全

[解] 视y为 常 数, 对x求 导 数 得 到
z yx y1
应用幂函数 求导公式
x
视x为 常 数, 对y求 导 数 得 到
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z x y ln x y
应用指数函 数求导公式
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可偏导与连续的关系
f y( x0 ,
y0 )
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偏导数的几何意义: z f ( x, y)
z
z f (x, y)
C
:
y
y0
f tan
x M0
S P0 •
f tan y
o
M0
y
•
M0(x0, y0 ) T
N
x
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偏导数的计算
[例1] 设z y2 sin xy , 求 z 和 z . x y
的 连 续 性.
[解] 因 为 函 数f是 由g( x, y) x2和h( x, y) y2
经 过 四 则 运 算 而 得 到 的 ,而 g 和 h 都 是 处 处
连 续 的.故 f在( x, y) (0, 0)处 也 是 连 续 的.
又由例题知, lim f ( x, y) 0 f (0,0). ( x, y)(0,0)
[解] 视y为 常 数, 对x求 导 数 得 到 z y2 cos xy y y3 cos xy x
视x为 常 数, 对y求 导 数 得 到 z 2 y sin xy y2 cos xy x y
2 y sin xy xy2 cos xy
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[例2] 设z x y ,求 z 和 z . x y
定 理1 : (四 则 运 算 性 质)
若 函 数 f 和 g 在 区 域 上 连 续,则f g,
fg在 区 域 上 连 续; f 在g 0处 连 续.
g 定 理2 : (复 合 函 数 连 续 性)
若 函 数u u( X ),v v( X )都 在 区 域 上
连
续,
且
函
数f
(u,
v
)在
区
域
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（四）间断
例：z
1, 0,
xy 0 xy 0
z
间断处为
z0 {
和
y0 {
1
x0
z0
y
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x
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二、偏导数
定义1 （偏增量）
设z f ( x, y)在M0( x0, y0 )处变量x有变化,
y不变，x0有增量 x , y0的增量为0 ，则称
xz f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )
所 以, f ( x, y)在 整 个R2上 是 连 续 的.
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[例2]
研
究
函
数f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
( x, y) (0,0)
0 , ( x, y) (0,0)
的 连 续 性.
[解] 函数 f ( x, y)在( x, y) (0, 0)处连续.
因为 lim xy k
为f在 点M0关 于x的 偏 增 量.
若f在M0处y有
变
化,
x不
变
，
则f在
点M
处
0
关
于y的 偏 增 量 为
yz f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) .
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定义2 : (偏导数)
若 lim x z , lim y z 存 在, 则 极 限 分 别 x0 x y0 y
上
1
连
续,
并
且
当 X 时, 有 (u( X ),v( X )) 1, 则 复 合
函 数f [u( X ),v( X )]也 在 区 域 上 连 续.
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[例1]
研
究
函
数f
(
x,
y)
x2 y2 x2 y2
,
( x, y) (0,0)
0 , ( x, y) (0,0)
P P0
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一、多元函数的连续性
（一）定义 (连续性)
设 函 数f在 点X0 Rn及 其 附 近 有 定 义.如
果 lim XX0
f (X)
f
(
X
0
),则
称
函
数f在
点X
处
0
连 续.
如 果 函 数f在 区 域上 每 一 点 都 连 续, 则 称f在 在 区 域上 连 续.
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（二）、连续函数的性质
称为 f
在
点M
处
0
关
于x和
关
于y的
偏
导
数.
记作 f ( x0, y0 ) lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )
x
x0
x
f ( x0, y0 ) lim f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 )
y
y0
y
或 f x
,
M0
f y
或
M0
f x( x0 , y0 ) ,
换若言l之im,若f (点PP) 按 a照,则两动种点不P 同 不 的 点limP同 方0时 限按ff的 式((,都任 PPP数 趋 f))(不 是 P都 意P0值 于a),存 存 方 不或 .点P在 在 式 存按 0时极 趋在某, f限 于极种(P， 点 限方P),趋0则 且 时式于,极趋 于
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作业
P39 习题2
1(1)(3)(4)(6)(7).
2(1)(2)(5).
预习 P40—45, P50—55
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第二讲 可微函数
一、多元函wk.baidu.com的连续性
二、偏导数
三、全微分
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y
多元函数的极限 lim f (P) a
P P0
•P
P0•
[注意] :
o
x
在多元函数中, 动 点P趋 向 于 点P0 , 可以按各种方式！
x y ( x, y)(0,0) 2
2
1 k2
y kx
对不 同的k, 有不 同的数 值.
所 以, f 在 点(0, 0)处不 连续.
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（三）、有界闭域连续函数的性质
[定 理1] : (有 界 性)
设 Rn是 有 界 闭 域, f在上 连 续, 则f在上 有 界.
[定 理2] : (最 值 性)
设 Rn是 有 界 闭 域, f在 上 连 续,则f在
上 取 到 最 大 值 和 最 小 值.即 存 在X1 ,
X2 ,使得
f
(
X1)
min
X
f
(X
),
f
(
X
2
)
max
X
f
(
X
)
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[定 理3] : (介 值 性)
设是Rn中 的 有 界 闭 域, f在上 连 续.则 对
介 于m min f ( X ) 和 M max f ( X )
X
X
之 间 的 任 意 实 数, 都 存 在P0 , 使 得
f ( P0 )
[定 理4] : (一 致 连 续 性)
设 是Rn中 的 有 界 闭 域, f在 上 连 续.则
f在 区 域 上 一 致 连 续 。
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