研究生入学考试清华大学微积分全
清华大学微积分(高等数学)课件第20讲_定积分的应用(二)
1 4
3
2 (1 cos 2x)dx
| 1 ( x 1 sin2x) 3 2
42
8
2020/6/1
21
x My 1
M
y Mx
M
8
重心坐标：( 1, )
8
2020/6/1
22
[例2] 求心脏线 a(1 cos )所围区域
图 形 的 重 心 坐 标.
[解] 由对称性知 y 0
Mx
mi yi
i 1
2020/6/1
M
M
M
M 15
2. 平面曲线的质心
设线密度 常数(质量均匀分布)
分割弧长区间[0, L] y
任取一小区间
y
[l, l dl]
视为质点：( x, y)
A
dM dl
o
2020/6/1
质量微元
• dl
B
x x
16
静力矩微元： dMx y dl, dM y x dl
F 0,
km M
a l2 a2
引力大小为 F kmM a l2 a2
方 向 沿 细 杆 的 垂 直 平 分线 并 指 向 细 杆
2020/6/1
11
（二）变力做功问题
问题: 求物体从x a 移到x b变力f (x) 所做的功
x
a
x x dx b
功的微元 dW f ( x)dx
y
[解] 上半圆方程y1 b a2 x2
下半圆方程y2 b a2 x2
b
y12
y22
y2
x2 a2 x2
x
a o a
1 y2 a
a2 x2
2020/6/1
清华大学微积分课件17定积分(二)
x2
lim
x0
(1 cos x)
3
x 5 2
2
1 2x
(1 cos x)
lim x0
5x2
lim
x0
1 2
x2
5x2
1 10
2019/9/3
11
[例6] 试 问: 具 有 什 麽 性 质 的 函 数f ,恒 有
x
f ( x)dx a f (t)dt C ( x [a, b])
0
[解]
0
1 sin x dx
0
1
2 sin
x 2
cos
x 2
dx
0
(sin
x 2
cos
x 2
)2
dx
x
x
sin cos dx
0
2
2
2
(cos
x
sin
x
) dx
(sin
x
cos
x
)
dx
0
2
2
2
2
2
| |
(2sin
x
2 cos
a
0
(2)当f ( x)为 奇 函 数 时, 有
a
f (x)dx 0 a
[证](1)
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
a
0
对于右端第一项, 作变换: x t
又由f ( x)为偶函数知
2019/9/3
f (x) f (t) f (t)
清华大学微积分B1课程讲义及习题答案
(2) Z+. (思路: 当" ! 1, G¯" = {a1, a2, . . . , an, . . . }, 即当"足够大时, A的"邻域可包
含{a1, a2, . . . , an, . . . }, 此时G" = Z+. 注意等号的位置.)
证明: 令M=max{|a1 A|, |a2 A|, . . . , |an A|, . . . }, 8"M > M, G¯"M = {x|x 2
<
pp 2, 故 2是S的上界. p
8c < 2, 9x 2 (c, 2), x > c(满足定理1.2.3的第二个条件), 故supS= 2.
4. 若A,B为R中的非空有界集,则A[B与A\B也是有界集,并且 inf(A[B)=min{infA,infB}, sup(A[B)=max{supA,supB},
1.3.3 习题1.3解答
8
8
1.
设f (x)
=
<x + :0,
1,
1.2.2 定理1.2.3的证明
定理1.2.3 设E为非空集合, a, b为实数. 则有
(1) b=supE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 b是E的一个上界; 2 对于任意满足c < b的实数c, 9x 2 E, 使得x > c.
(2) b=infE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 a是E的一个下界; 2 对于任意满足c > a的实数c, 9x 2 E, 使得x < c.
微信: 18811708556 • 基础习题课的教学目标:
– 使同学掌握课程基本内容 – 使同学掌握常见问题的一般解法 – 使同学学会正确地书写解答过程 • 其他要求和说明:
618数学分析
Word-可编辑2023年年全国硕士研究生统一入学考试数学分析科目考试大纲一、考查目标要求考生控制数学分析课程的基本概念、基本定理和基本主意，能够运用数学分析的理论分析、解决相关问题。
二、考试形式和试卷结构1、试卷满分及考试时光本试卷满分150分，考试时光为180分钟。
2、答题方式答题方式为闭卷、笔试3、试卷题型结构全卷普通由十个大题组成，详细分布为计算题：5～6小题，每题10分，约50～60分分析论述题（包括证实、研究、综合计算）：5～6大题，每题15～20分，约75～100分三、考查范围本课程考核内容包括实数理论和延续函数、一元微积分学、级数、多元微积分学等等。
第一章实数集与函数1．了解邻域，上确界、下确界的概念和确界原理。
2．控制函数复合、基本初等函数、初等函数及常用特性。
（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）3．控制基本初等不等式及应用。
第二章数列极限1．熟练控制数列极限的ε-N定义。
2．控制收敛数列的常用性质。
3．熟练控制数列收敛的判别条件（单调有界原理、迫敛性定理、Cauchy准则、压缩映射原理、Stolz变换等）。
4．能够熟练求解各类数列的极限。
第三章函数极限千里之行，始于足下1．深刻领略函数极限的“ε-δ”定义及其它变式。
2．熟练控制函数极限存在的条件及判别。
（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）。
3．熟练应用两个重要极限求解较复杂的函数极限。
4．理解无穷小量、无穷大量的概念；会应用等价无穷小求极限；认识等价无穷小、同阶无穷小、高阶无穷小及其性质。
第四章函数延续性1．控制函数在某点及在区间上延续的几种等价定义，尤其是ε-δ定义。
2．认识函数间断点及类型。
3．熟练控制闭区间上延续函数的三大性质及其应用。
4．熟练控制区间上一致延续函数的定义、判断和应用。
5．知道初等函数的延续性。
第五章导数和微分1．控制导数的定义、几何意义，领略其思想内涵；认识单边导数概念及应用。
2．控制求导四则运算法则、熟记基本初等函数的导数。
清华大学数学系硕士生入学考试试题
清华大学数学系硕士生入学考试试题清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别考试日期 2003.01 专业考试科目数学分析试题内容:2{(x,y)}，,一、(15分)设(20分)设在R\上定义，=A ,且>0使得limf(x,y)f(x,y)00x,x0y,y0limf(x,y),,当0,,y-y,, 时，Ф(y)存在。
0x,x0求证: lim[limf(x,y)],Ay,y,x,x002222二、(20分)设半径为r的球面?的球心在一固定球面?ˊ:x+y+z=a(a>0) 上，问当r取何值时，球面?含在球面?ˊ内部的部分面积最大,x三、(20分)设(x)[,a,a](a>0), (x)=(t)dt,(n=1,2,…). fff0,Cnn-1,0求证:{(x) }在[,a,a]上一致收敛于0. fn22四、(20分)设(x,y)在R上二阶连续可微，(x,2x)=x, (x,2x)=x, 且(x,y)= fff'f''xxx2(x,y),. ,(x,y),Rf''yy求:(x,2x), (x,2x) 及(x,2x). f'f''f''yyxyyn2f(k/n)五、(25分)设(0)存在，(0)=0,x=. f'fn,k,1,limxlimx求证:存在，且,f(0)/2. nnn,,n,,六、(25分)设(x),C[0,1]且在(0,1)上可导，且 f1/2(1)=. f2xf(x)dx,0求证:存在，使得()= -()/ ,,(0,1)f',f,,g七、(25分)设f，在R上连续，fοɡ(x)= ɡοf(x);, 并且f(x)?ɡ,x,R(x) ,. ,x,R求证:fοf(x)? ɡοɡ(x) ,x,R清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别数学科学系考试日期2003.01 专业考试科目高等代数试题内容:43一、(20分)设(X)=(X+1)(X-1)为复方阵A的特征多项式，那么A的Jordan 标准型Jf有几种可能,(不计Jordan块的次序)二、(20分)设方阵31,1,,,,,6,23A, ,,,,,2,10,,-1A在实数域R上是否相似域对角形(即有实方阵P使PAP为对角形),在复数域C上呢,给出证明。
2006数学二--考研数学真题详解
一、填空题：每小题 4 分，共 24 分
（1）曲线 y = x + 4 sin x 的水平渐近线方程为 y = 1
5x − 2 cos x
5
1 + 4sin x
【解析与点评】 lim y = lim
x
=1
x →∞
x→∞ 5 − 2 cos x 5
x
渐近线问题的实质是极限问题，参见水木艾迪 2006 考研数学百分训练营模拟试题数二
的积分次序即得。参见水木艾迪 2006 考研数学强化班第十一讲例 6，例 13 等题目。
（12）设 f (x, y) 与ϕ(x, y) 均为可微函数，且ϕ ′(x, y) ≠ 0 . 已知 (x0 , y0 ) 是 f (x, y) 在约
束条件ϕ (x, y) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是【 D 】
当
f x′(x0 ,
y 0）≠
0
时，加上
ϕ
′ y
(
x0
,
y0 )
≠
0
,可推出
f y′( x0,
y0
)
⋅
ϕ
′
x
(
x0
,
y0 )
≠
0
，由此可推
出: f y′ (x0 , y0 ) ≠ 0 。
【解法 2】由极值点必要条件得到
dz dx
x0
=
f x (x0 , y0 ) +
f y (x0 , y0 ) y′ x=x0
【解析与点评】因为 f ′(x) > 0, 则f (x) 严格单调增加， f ′′(x) > 0, 则f (x) 为凹
又 ∆x > 0 ，故 0 < dy < ∆y 。或直接划草图更为直观。
清华大学微积分(高等数学)课件第13讲_不定积分(一)
x2 a2
)
1
x
x
2020/6/1
d( ) arcsin c
1
(
x a
)2
a
a
32
dx
11 1
(3)
( )dx
x 2 a 2 2a x a x a
1 2a
[
x
1
a
d(x
a)
x
1
d(x a
a)]
1 (ln x a ln x a ) C 2a
1 ln x a C 2a x a
22
[例5] 计算
2x2 1 x2 1 dx
[解] 原式
2( x2 1) 3 x2 1 dx
2
dx
3
1 x2
dx 1
2x 3arctanx C
2020/6/1
23
[例6] 计算
1 sin2 x cos2 x dx
[解]
原式
sin2 x cos 2 x sin2 x cos 2 x dx
(4) kf ( x)dx k f ( x)dx 综合(3)(4) [k1 f1( x) k2 f2( x)]dx
k1 f1( x)dx k2 f2( x)dx
2020/6/1
16
怎样计算不定积分？
不定积分计算的基本思想：
求不定积分是求导的逆运算
导数基本公式——积分基本公式
微分法——积分法
G(
x)
1 2
x2
1
C
x0 x0
C2 1 C1
12
当x 0时, G( x) sin x
当x 0时, G( x) x
又
G (0)
lim
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式：设)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλΛ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλΛ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk Λ==λ时，就是AG 不等式。
（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11。
（4）Holder 不等式：设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k Λ，则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。
（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。
（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。
清华大学多元函数微积分题库
=
．
8．（2008j）设函数 z = z(x，y) 由方程 z + e z + 2xy = 5 确定，则 dz (1，2，0) =
．
9．（2004gj）由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z = z(x，y) 在点 (1, 0, -1) 处
的全微分 dz (1,0,-1) =
．（
2007g
）
曲
线
L：îíì3xx2
2 +2 + y2
y2 +
- 2z -1= 0, z2 - 4y - 2z
+
2
=
0
在
点
M
(1，1，2)
处
的
切线
方
程
为
．
19．（2011g）椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面 x - y + 2z = 0 的切平面方程为
与
．
二、单项选择题
．
10 ．（ 2006gj ） 设 函 数 z = z(x，y) 由 方 程 z - x - y + xe z-x- y = 2 所 z = z(x，y) 由方程 2 y = z - e2x-3z 所确定，则 3 ¶z + ¶z =
．
¶x ¶y
r 12 ．（ 2002g ） 函 数 z = x 2 - xy + y 2 在 点 (-1，1) 处 沿 方 向 l =
（B） 函数 u(x，y) 的最大值点与最小值点都在区域 D 的边界上；
（C） 函数 u(x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；
清华大学微积分习题课参考答案(微分法、方向导数与梯度、泰勒公式)
(x
+
y)
+
f
(x
−
y)
+
∫ x+y x− y
g (t )dt
其中函数
f
具有二阶导数
g
具有一阶导
数，求 ， ． ∂2u , ∂2u ∂x2 ∂y2
∂2u ∂x∂y
解：因为 ， ∂u ∂x
=
f
′(x +
y) +
f
′(x
−
y) +
g(x
+
y) −
g(x −
y)
， ∂u
∂y
=
f ′(x +
y) −
f ′(x −
． x(z
+
y)x
−1
(
∂z ∂y
+ 1)
=
x
所以 ． ∂z ∂y
(1,2)
=
0
（ ）设函数 由方程 确定，求 ． 2
z = z(x, y)
x + y − z = ez
∂z
∂x（1,0）
解：将 y 看作常数， z 看作是 x 的函数，在 x + y − z = ez 两端关于 x 求导，得
． 1 −
r2 cos2 θ
−
∂f ∂x
r
cosθ
−
∂f ∂y
r sinθ
， ∂2u = ∂2 f
∂z2 ∂z2
微积分 B(2)
第 2 次习题课（By ） Huzm
6 / 12
所以
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
1 r
清华大学微积分课件全x59-21页PPT精选文档
0
0
0
2 2sin32 R5co5sd
0
5
6 54 R 50 2co 5sid n 1 35 2 R 5
故 z5R
4
球体的质心坐 (0,标 0, 5为 R)
24.11.2019
4
18
[例3]求 高h为 ,半 顶 角,密 为度为 的 均 匀
正 圆 锥 体 对 位的 于一 其单 顶位 点质
a ya
先考虑以原点为中心，对称于坐标轴，边长
为2a的正方形域 D
24.11.2019
4
e d x2y2
a
a
dx
ex2
ey2dy
a a
y
D
a ex2 dx a ey2 dy
a
a
oa
x
因为定积分的数值与变量记号无关，得
a ex2 dx a ey2 dy
0
2
令ua,x则 dx 1d,u得 a
e a2x2dx1 e u2du
0
a0
2a
24.11.2019
8
三重积分的应用
1.空间立体的体积
V 1dV
2.不均匀物体的质量
m (x, y,z)dV
24.11.2019
9
3.不均匀物体的质心
13
[例1]求 球 体 x2 y2 z2 a2被 圆
柱 面x2 y2 ax所 截 出 的 那
部 分 体 积 V.
[解 ]
由对称性
z z a2 r2
只需计算
第一挂限 的体积 V 1
o
y
racos
24.11.2019
清华大学微积分考试真题3
bn m bn an1q
n 1
an 2 q
n 2
an m q
nm
M q
n 1
1 qm 1 q
M n 1 q ． 1 q
由此易证数列 bn 是一 Cauchy 列，所以收敛． 6． 若数列 {a n } 满足 a n 1 a n q a n a n 1 ( n 1,2, ) ， 其中 0 q 1 ， 试证数列 {a n } 收敛． 证明： 0 ，因为
k →∞ k →∞
存在。 9. 证 明 ： 有 界 数 列 {an } 若 不 收 敛 ， 则 必 存 在 两 个 子 列 ank
{ } 、 {a } ， 使 得
mk
lim ank = a, lim amk = b 且 a ≠ b 。
k →∞ k →∞
10.（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛。 （2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛
n →∞
a1 + a2 + L + an = A ，证明： lim an = A 。 n →∞ n
二、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano 定理，区间套，有限覆盖） 4． 设 an = 收敛． 5．设 bn = a 0 + a1 q + a 2 q 2 + L + a n q n ，其中 q < 1 且数列 {a k } 有界，试证数列 {bn } 收敛． 6． 若数列 {a n } 满足 a n +1 − a n ≤ q a n − a n −1 ( n = 1, 2, L) ， 其中 0 < q < 1 ， 试证数列{a n } 收敛． 7.下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例。 （1）对于任意的 p ∈ ¥* ，均有 lim( an + p − an ) = 0 。
清华大学微积分考试真题6
M > 0, α > 1 是常数。证明： f ( x ) 在 [a, b] 上恒为常数。
12．设 f ( x ) 在 ( a, b) 内有定义，且在 x 0 ∈ ( a, b) 处可导.数列 {x n }, { y n } 满足条件：
a < x n < x 0 < y n < b, lim x n = lim y n = x0 .
1 α x cos x 0
x>0 x=0
则 α 的取值范围是[ 在 x = 0 处右连续但右导数不存在，
]
B 0 < α ≤ 1．
C α > 1． D α < 1．
3．设 f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内有定义， F ( x ) = x f ( x ) ，则 F ( x) 在 x = 0 处可导的充分必 要条件是[
′ dy x + 1 x + 1 x +1 −2 ， = f ′( ) • = arctan dx x −1 x −1 x − 1 ( x − 1) 2
所以
dy dx
x=2
2 = −2 arctan 3 = − π . 3
（3）设函数 y = y ( x ) 由方程 x y + y 2 ln x + 4 = 0 确定，求 y ′ ；
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作者：闫浩
2011 年 9 月
解 （隐函数求导，幂指型函数求导） 在 x y + y 2 ln x + 4 = 0 两端关于 x 求导得
2
ey
2
ln x
(2 yy ′ ln x +
5.已知 f ( x) =
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定 理1 : (四 则 运 算 性 质)
若 函 数 f 和 g 在 区 域 上 连 续,则f g,
fg在 区 域 上 连 续; f 在g 0处 连 续.
g 定 理2 : (复 合 函 数 连 续 性)
若 函 数u u( X ),v v( X )都 在 区 域 上
连
续,
且
函
数f
(u,
v
)在
区
域
x y ( x, y)(0,0) 2
2
1 k2
y kx
对不 同的k, 有不 同的数 值.
所 以, f 在 点(0, 0)处不 连续.
2020/5/15
7
（三）、有界闭域连续函数的性质
[定 理1] : (有 界 性)
设 Rn是 有 界 闭 域, f在上 连 续, 则f在上 有 界.
[定 理2] : (最 值 性)
[解] 视y为 常 数, 对x求 导 数 得 到 z y2 cos xy y y3 cos xy x
视x为 常 数, 对y求 导 数 得 到 z 2 y sin xy y2 cos xy x y
2 y sin xy xy2 cos xy
2020/5/15
14
[例2] 设z x y ,求 z 和 z . x y
P P0
3
一、多元函数的连续性
（一）定义 (连续性)
设 函 数f在 点X0 Rn及 其 附 近 有 定 义.如
果 lim XX0
f (X)
f
(
X
0
),则
称
函
数f在
点X
处
0
连 续.
如 果 函 数f在 区 域上 每 一 点 都 连 续, 则 称f在 在 区 域上 连 续.
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（二）、连续函数的性质
所 以, f ( x, y)在 整 个R2上 是 连 续 的.
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[例2]
研
究
函
数f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
( x, y) (0,0)
0 , ( x, y) (0,0)
的 连 续 性.
[解] 函数 f ( x, y)在( x, y) (0, 0)处连续.
因为 lim xy k
设 Rn是 有 界 闭 域, f在 上 连 续,则f在
上 取 到 最 大 值 和 最 小 值.即 存 在X1 ,
X2 ,使得
f
(
X1)
min
X
f
(X
),
f
(
X
2
)
max
X
f
(
X
)
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[定 理3] : (介 值 性)
设是Rn中 的 有 界 闭 域, f在上 连 续.则 对
换若言l之im,若f (点PP) 按 a照,则两动种点不P 同 不 的 点limP同 方0时 限按ff的 式((,都任 PPP数 趋 f))(不 是 P都 意P0值 于a),存 存 方 不或 .点P在 在 式 存按 0时极 趋在某, f限 于极种(P， 点 限方P),趋0则 且 时式于,极趋 于
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介 于m min f ( X ) 和 M max f ( X )
X
X
之 间 的 任 意 实 数, 都 存 在P0 , 使 得
f ( P0 )
[定 理4] : (一 致 连 续 性)
设 是Rn中 的 有 界 闭 域, f在 上 连 续.则
f在 区 域 上 一 致 连 续 。
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为f在 点M0关 于x的 偏 增 量.
若f在M0处y有
变
化,
x不
变
，
则f在
点M
处
0
关
于y的 偏 增 量 为
yz f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) .
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定义2 : (偏导数)
若 lim x z , lim y z 存 在, 则 极 限 分 别 x0 x y0 y
[解] 视y为 常 数, 对x求 导 数 得 到
z yx y1
应用幂函数 求导公式
x
视x为 常 数, 对y求 导 数 得 到
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z x y ln x y
应用指数函 数求导公式
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可偏导与连续的关系
作业
P39 习题2
1(1)(3)(4)(6)(7).
2(1)(2)(5).
预习 P40—45, P50—55
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第二讲 可微函数
一、多元函数的连续性
二、偏导数
三、全微分
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2
y
多元函数的极限 lim f (P) a
P P0
•P
P0•
[注意] :
o
x
在多元函数中, 动 点P趋 向 于 点P0 , 可以按各种方式！
9
（四）间断
例：z
1, 0,
xy 0 xy 0
z
间断处为
z0 {和Βιβλιοθήκη y0 {1x0
z0
y
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x
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二、偏导数
定义1 （偏增量）
设z f ( x, y)在M0( x0, y0 )处变量x有变化,
y不变，x0有增量 x , y0的增量为0 ，则称
xz f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )
f y( x0 ,
y0 )
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偏导数的几何意义: z f ( x, y)
z
z f (x, y)
C
:
y
y0
f tan
x M0
S P0 •
f tan y
o
M0
y
•
M0(x0, y0 ) T
N
x
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偏导数的计算
[例1] 设z y2 sin xy , 求 z 和 z . x y
的 连 续 性.
[解] 因 为 函 数f是 由g( x, y) x2和h( x, y) y2
经 过 四 则 运 算 而 得 到 的 ,而 g 和 h 都 是 处 处
连 续 的.故 f在( x, y) (0, 0)处 也 是 连 续 的.
又由例题知, lim f ( x, y) 0 f (0,0). ( x, y)(0,0)
称为 f
在
点M
处
0
关
于x和
关
于y的
偏
导
数.
记作 f ( x0, y0 ) lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )
x
x0
x
f ( x0, y0 ) lim f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 )
y
y0
y
或 f x
,
M0
f y
或
M0
f x( x0 , y0 ) ,
上
1
连
续,
并
且
当 X 时, 有 (u( X ),v( X )) 1, 则 复 合
函 数f [u( X ),v( X )]也 在 区 域 上 连 续.
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[例1]
研
究
函
数f
(
x,
y)
x2 y2 x2 y2
,
( x, y) (0,0)
0 , ( x, y) (0,0)