第41讲_静电场的环路定理
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在静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面。 典型等势面
点电荷的等势面
电偶极子的等势面
等势 面
+
电平行板电容器电场的等势面
++ ++ + + + + +
结论: （1）电场线和等势面处处垂直 （2）沿等势面移动电荷，电场力不做功 （3）电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等， 等势面密处电场强度大，等势面疏处电场强度小
1)电势零点的选择(参考点)
任意 视分析问题方便而定
参考点不同电势不同
通常：
理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点
实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外 壳等
2)电势的量纲
SI制：单位 V (伏特)
量纲
W q
L2 MT
wenku.baidu.com
3I
1
五、电势的计算(Calculating Electric Potential)
试求（1）球面外任意点的电势；（2）球面内任意点
的电势. 解:
rrRR，，EE2 140πq0r 2 er
(1)
U外(r)
r
v E2
drv
Q
dr
r 4π 0r2
Q
4π 0r
V
Q
4 π 0R
oR
(2)
U内(r)
R r
v E1
drv
R
v E2
drv
Q
4π 0r
r
Q
4π 0R
六、等势面(Equipotential Surfaces)
y
dl + + +
dq dl qdl
2π R
+
+
+R o +
r
P
+
+x
x
+
+
z +++
dU P
4
1
π 0r
qdl 2 πR
U P
4
1
π 0 r
qdl q
q
2 πR 4 π0r 4π 0 x2 R2
讨论
x
0，U
p
4
q
π 0 R
x
R，U P
4
q
π 0 x
例2 均匀带电球壳的电势.
真空中，有一带电为 Q ，半径为 R 的带电球面.
三、 电势能（Electric Potential Energy） 1.静电场力是保守力
2.静电场力作功等于相应电势能的减量
b
b
Aab f dl Wa Wb
E
a
q
a
点电 势能
b
点电 势能
a
四、 电势（Electric Potential）
b E
如图示点电荷在场中受力 f qE q
b b
七、电势梯度(potential Gradient)
U
U
B
v E
dlv
A
B
A
A
B
U A
U B
dU
dU
rr E dl dU
B
A
E U
x
x
U
E
Y
y
E U
Z
z
在直角坐标系中
梯度算符
i
j
k
x y z
r
E U
1. 点电荷的电势 O
q
U q
4 π 0r
r
U E
P
O
2. 电势叠加原理 (1) 点电荷系 (2) 连续分布的带电体
U
qi
i 40ri
将带电体划分为若干电荷元dq
1 r r
P
UP
dq
4 π0r
dq
x 例1 正电荷 q均匀分布在半径为 R 的细圆环上.
求圆环轴线上距环心为 处点 P 的电势.
位置有关，与路径无关.
任意电荷的电场（视为点电荷的组合）
E Ei
i
W
q0
E dl
l
i
q0 l Ei dl
结论：静电场力做功与路径无关.
二、静电场的环路定理
l E dl 0
1B
A
2E
上式反应了静电场的一个重要
性质：静电场是保守场。或者
说静电场是无旋场（电场线不
能闭合，不能形成漩涡）。
a
f dl q E dl Wa Wb
a
a
b E
dl
Wa
Wb
a
q q 与试验电荷无关
根据静电场 Wa Wb 的环路定理 q q
反映了电场在a b两 点的性质
b
E dl Ua Ub
称 a b两点电势差
a
若选b点的势能为参考零点 则
a点的电势：
U a
势能零点 E dl
a
讨论
§41静电场的环路定理
一、 静电场力做功的特点
点电荷的电场
rdW dl q0
E dl
4
rdl cos
qq0
π 0r3
r
rdr
dl
dW
qq0
4π 0r2
dr
W qq0
4 π0
rB dr rA r 2
B
rB
dl
dr
r
E
q rA q0
A
qq0 ( 1 1 )
4 π0 rA rB
结果: W 仅与 q0 的始末
点电荷的等势面
电偶极子的等势面
等势 面
+
电平行板电容器电场的等势面
++ ++ + + + + +
结论: （1）电场线和等势面处处垂直 （2）沿等势面移动电荷，电场力不做功 （3）电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等， 等势面密处电场强度大，等势面疏处电场强度小
1)电势零点的选择(参考点)
任意 视分析问题方便而定
参考点不同电势不同
通常：
理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点
实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外 壳等
2)电势的量纲
SI制：单位 V (伏特)
量纲
W q
L2 MT
wenku.baidu.com
3I
1
五、电势的计算(Calculating Electric Potential)
试求（1）球面外任意点的电势；（2）球面内任意点
的电势. 解:
rrRR，，EE2 140πq0r 2 er
(1)
U外(r)
r
v E2
drv
Q
dr
r 4π 0r2
Q
4π 0r
V
Q
4 π 0R
oR
(2)
U内(r)
R r
v E1
drv
R
v E2
drv
Q
4π 0r
r
Q
4π 0R
六、等势面(Equipotential Surfaces)
y
dl + + +
dq dl qdl
2π R
+
+
+R o +
r
P
+
+x
x
+
+
z +++
dU P
4
1
π 0r
qdl 2 πR
U P
4
1
π 0 r
qdl q
q
2 πR 4 π0r 4π 0 x2 R2
讨论
x
0，U
p
4
q
π 0 R
x
R，U P
4
q
π 0 x
例2 均匀带电球壳的电势.
真空中，有一带电为 Q ，半径为 R 的带电球面.
三、 电势能（Electric Potential Energy） 1.静电场力是保守力
2.静电场力作功等于相应电势能的减量
b
b
Aab f dl Wa Wb
E
a
q
a
点电 势能
b
点电 势能
a
四、 电势（Electric Potential）
b E
如图示点电荷在场中受力 f qE q
b b
七、电势梯度(potential Gradient)
U
U
B
v E
dlv
A
B
A
A
B
U A
U B
dU
dU
rr E dl dU
B
A
E U
x
x
U
E
Y
y
E U
Z
z
在直角坐标系中
梯度算符
i
j
k
x y z
r
E U
1. 点电荷的电势 O
q
U q
4 π 0r
r
U E
P
O
2. 电势叠加原理 (1) 点电荷系 (2) 连续分布的带电体
U
qi
i 40ri
将带电体划分为若干电荷元dq
1 r r
P
UP
dq
4 π0r
dq
x 例1 正电荷 q均匀分布在半径为 R 的细圆环上.
求圆环轴线上距环心为 处点 P 的电势.
位置有关，与路径无关.
任意电荷的电场（视为点电荷的组合）
E Ei
i
W
q0
E dl
l
i
q0 l Ei dl
结论：静电场力做功与路径无关.
二、静电场的环路定理
l E dl 0
1B
A
2E
上式反应了静电场的一个重要
性质：静电场是保守场。或者
说静电场是无旋场（电场线不
能闭合，不能形成漩涡）。
a
f dl q E dl Wa Wb
a
a
b E
dl
Wa
Wb
a
q q 与试验电荷无关
根据静电场 Wa Wb 的环路定理 q q
反映了电场在a b两 点的性质
b
E dl Ua Ub
称 a b两点电势差
a
若选b点的势能为参考零点 则
a点的电势：
U a
势能零点 E dl
a
讨论
§41静电场的环路定理
一、 静电场力做功的特点
点电荷的电场
rdW dl q0
E dl
4
rdl cos
qq0
π 0r3
r
rdr
dl
dW
qq0
4π 0r2
dr
W qq0
4 π0
rB dr rA r 2
B
rB
dl
dr
r
E
q rA q0
A
qq0 ( 1 1 )
4 π0 rA rB
结果: W 仅与 q0 的始末