第41讲_静电场的环路定理
静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
2022-2023年高中物理竞赛 静电场的环路定理 电势课件
qE dl qE dl qE dl
acb
adb
bda
qE dl qE dl 0
acb
bda
qE dl 0 l1 l2
令 q 1，L l1 l2 ,则有
b
c
l1
q
d
l2
a
静电场的环路定理
静场强 E 沿任一闭合曲线的环路积分为零.
静电场中场强沿任何闭合环路的线积分为零.习惯 上称为场强沿任一闭合环路的环流等于零,这是静电 场的基本性质之一,它反映了静电场是一个保守力场
电势参考点的选取原则上说是任意的,但必须保证 在参考点选定之后,计算出的电势值是确定的,有限的.参 考点的电势值也可取为非零的任意有限值.
电势零点选择方法：
① 场源电荷分布在有限区域内,选无限远处为参考
点,且 V 0
②电荷分布在无限远处,参考点选在有限区域,一般选 在无限长带电线上,无限长圆柱面上或轴线上.
3、电势差
静电场中任意两点电势的差值,称为电势差或电 压（electric potential difference ）
如对场中A、B两点有
UAB VA VB
B
P0
E
dl
A BF
P0
E
dl
B
P0
E
dl
A
B E dl
P0
A E dl A q dl
静电场中A、B两点的电势差,在数值上等于单位正 电荷在电场中从A点经过任意路径到达B点时,电场力 所做的功.
一、静电场力做功的特点
1．单个点电荷所产生的电场 在点电荷Q产生的电场
E(F)
dl
中,电场力将试探电荷q从a
b
点沿某一路径移到b点.
静电场的环流定理的内容
静电场的环流定理一、静电场和环流定理的定义静电场是指空间中存在电荷而产生的电场。
电场又分为静电场和动态电场，前者指的是电荷分布不随时间变化的电场，而后者则是电荷随时间变化的电场。
环流定理是电磁学中的一个重要定理，描述了电场的环流与电荷分布的关系。
根据环流定理，静电场中的环流的散度等于该区域内的总电荷。
二、环流定理的数学表达根据环流定理，可以得到如下的数学表达式：∮ B · dl = μ0 * I其中，∮ B · dl 是环流的散度，B 是磁感应强度，dl 是环流的线元，μ0 是真空中的磁导率，I 是穿过环流的电流。
三、环流定理的推论根据环流定理，可以推导出一些重要的结论：1.根据环流定理，若给定一个闭合回路，计算回路上所有磁感应强度的环流，得到的结果应等于该回路内的总电流。
2.推论1可用于计算磁场中线圈、电流环等磁电感应问题。
3.根据环流定理，可以得到一个磁场引起的环流的流向规律：在磁场中，从磁场线进入某一导体，必然在导体上形成一环流；反过来，如果存在一个环流，那么必定有相应的磁场存在。
4.对于任意给定的闭合环路，环流定理成立，无论回路形状如何，只要该环路内没有电流，则回路上的环流必为零。
以上是环流定理的一些重要推论，它们在电磁学的研究中起到了重要的作用。
四、环流定理的应用举例环流定理作为一种基本的电磁学理论，在解决实际问题中具有广泛的应用。
下面举例说明环流定理在不同情境下的应用。
1. 电感与感应电流当一个电流在某个线圈中产生磁场时，环流定理可用于计算该线圈中的磁感应强度以及从其他线圈中感应出的电流。
2. 磁铁磁场的计算环流定理可用于计算磁铁周围空间的磁场分布。
通过将磁铁分解成若干小线圈，再计算各小线圈对周围空间的贡献，最终得到整个磁铁的磁场分布。
3. 静电场中的电场强度计算环流定理可以用于计算静电场中的电场强度分布。
通过选择一个闭合回路，计算回路上电场强度的环流，可以得到回路内的总电荷分布情况。
静电场的环路定理
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度
r r r r－ r l cos
r
r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R
q R
R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa
a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。
静电场环路定理
方法二 定义法 先由高斯定理求出场强分布
q
再由定义 u E dl
rR
P
E
4 0 r 2
rR
0
rR
rR
u E dl E dl
R r R
R
O
r＜ R
P
r＞ R
0
q
2
4 0 r q 4 0 R
R
dr
u
2 2
方法二 定义法 已知轴线上的场强分布函数
E qx
2
4 0
R x
u Edx
4 0 ( x R ) qxdx
2
3
2
q
xp
xp
4 0 ( x R )
2 2
3
2
4 0 r
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q 解: 方法一 叠加法 (微元法) 球面上任取一圆环
q
r1 r2 r
2
r2
l cos u 2 4 0 r
其中
q
O
r r 1
q
X
r x y
2 2
2
l
u 1 4 0
2
cos
x x y
2 2
px (x y )
3 2 2
课堂练习： 已知正方形顶点有四个等量的电点荷 q1 q 4.0 10 9 C r=5cm
静电场环路定理得
对任意大小面积S都成立。环路定理的微分形式。
( E ) dS 0
s
E 0; 或者rotE 0
旋度处处为零的矢量场，称为无旋场。静电场是无旋场。 高斯定理的微分形式。
静电场环路定理的数学表达式
静电场环路定理的数学表达式静电场环路定理是电磁学中的基本定理之一，用于描述静电场中的电场强度分布。
它的数学表达式为：∮E·dl = 0这个数学表达式中，∮表示沿闭合曲线的环路积分，E表示电场强度矢量，dl表示曲线微元矢量，0表示积分结果为零。
静电场环路定理表明，在静电场中，沿着任意闭合曲线的电场强度环路积分等于零。
这个定理是基于电场的无旋性推导出来的，旋度为零意味着环路积分为零。
根据静电场环路定理，可以得出一些重要结论。
首先，如果一个闭合曲线内没有电荷，那么沿着该闭合曲线的电场强度环路积分等于零。
这意味着在没有电荷的区域内，电场强度的环路积分为零，即电场强度的分布是无旋的。
如果一个闭合曲线内存在电荷，那么沿着该闭合曲线的电场强度环路积分不等于零。
这意味着在有电荷的区域内，电场强度的环路积分不为零，即电场强度的分布是有旋的。
静电场环路定理的数学表达式可以帮助我们分析电场的分布。
通过计算闭合曲线上的电场强度环路积分，可以判断电场是无旋的还是有旋的，从而推断出电荷的分布情况。
静电场环路定理在电磁学的研究中有着重要的应用。
在电路分析中，可以利用这个定理来计算电路中的电场强度分布。
通过对闭合回路上的电场强度环路积分进行计算，可以得到电路中电场的分布情况，从而进一步分析电路的性质和特点。
除了电路分析，静电场环路定理还可以应用于其他领域。
在静电场测量中，通过测量闭合曲线上的电场强度环路积分，可以得到电场的分布情况，从而进行电场的测量和分析。
静电场环路定理是电磁学中的重要定理，通过数学表达式可以描述电场强度分布的特点。
通过应用这个定理，可以进行电场分析和测量，从而推断出电荷的分布情况。
静电场环路定理在电路分析和静电场测量等领域有着广泛的应用。
通过深入理解和应用这个定理，可以更好地理解和研究电磁学现象。
静电场中环路定理和环流定理
静电场中环路定理和环流定理
在静电场中，环路定理是基本电磁定律之一，它描述的是沿着闭合回路的路径积分
（环路积分）与围绕路径的电场强度之积的相等关系。
具体而言，环路定理可以表示为：
∮ E·dℓ = 0
其中，E表示电场强度，dℓ表示环路上的微小位移元素，∮表示对整个环路沿着闭合
路径的积分。
这个定理的物理意义是：在一个静电场中，当你绕着一个闭合回路走一圈时，得到的
电场积分总是等于零。
这个定理对于描述物体的电荷分布和电场的特性非常重要。
同时，
环路定理也可以用于确定电场的解析表达式，来计算电势差和电荷分布的影响。
与环路定理相比，环流定理是一个更为广泛和深入的物理定律，它描述了磁场产生的
物理原理。
在静电场中，环流定理指的是一个围绕电流线路的环曲面上的积分，等于线路
内的电流的总和。
数学上，环流定理可以表述为：
其中，B表示磁场强度，dS表示环曲面上的微小面积元素，μ0表示真空中的磁导率，而I则表示通过线路内的电流强度。
物理上，环流定理描述了磁场沿着封闭路径的总和，或者说，从一个特定区域流出和
流入的总量。
直观上，环流定理也可以用来计算磁场的速率和强度，以及它在不同场合下
的表现形式。
总的来说，环路定理和环流定理都是物理学家和工程师们经常使用的基本定律。
通过
这两个定理，我们可以更加深入地理解力学、电学等自然现象，从而为相关的技术和应用
开发提供更为坚实的基础。
一、静电场的环路定理一、静电场的...
一、静电场的环路定理一、静电场的环路定理1、点电荷电场中移动试验电荷电场力所作的功ld E q l d F dA ����⋅=⋅=0r r Q E ˆ4120πε=�dr rQq dl rQq l d r r Qq dA 20020020041cos 41ˆ41πεθπεπε==⋅=�)11(4400200D C r r r r Qq dr r Qq A D C −=⋅=∫πεπε结论:在点电荷的电场中，电场力对试验电荷所作的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与经历的路径无关。
§4 电势及其梯度D r Q+D C l d �r �F �θb a C r b ′a ′2、任意带电体电场中任意带电体→点电荷系⋯���++=21E E E 任意点电荷系的电场力所作的功为∫∫∫+⋅+⋅=⋅=l l l l d E q l d E q l d E q A ⋯������20100每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。
3、静电场的环路定理(Circulation theorem of electrostatic of field)在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。
静电场力是保守力，静电场是保守场。
在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移动一周时，电场力所作的功为∫∫⋅⋅l l ld E q l d E q A ����00＝＝∫∫⋅+⋅CDA ABC ld E q l d E q A ����00＝∫∫⋅−=⋅ADC CDA ld E l d E ����∫∫⋅=⋅ABCADC l d E q l d E q ����0000＝＝∫⋅l d E q A ��0＝∫⋅l d E ��电场力作功与路径无关定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电场强度的环流。
静电场环路定理：在静电场中，电场强度的环流为零。
静电场环路定理电势能和电势.pptx
V
dV
1dq
Q440r0
r
Q
dq
Q
4 0 R2 x 2
(解毕 )
第23页/共43页
x a
x V (x) dr R o Qr
4 0R
o
x
课堂练习 求均匀带电园盘( R, σ )轴线上电势分布。
提示： 建立坐标系，取元，如图所示。
选∞处为电势零点，则：
dV 2dqrdr 4 0 r 2 x 2
q
r
r
r
4
q
0 r 2
dr
aq r
r 10V
E
8V 6V
V (r )
q
4 0r
( 球对称分布 )
等势面分布
第14页/共43页
课堂练习 求半径为R均匀带电 Q 的球面电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r) r E dr
0
E(r) Q
4 0r 2
(r R) (r R)
r
4
即：电势 V 的叠加为标量叠加，而 叠加，后者运算较繁。
的叠加却为矢量
E
第13页/共43页
E
☻由于静电场的保守特性，
b
V与a积分路a 径E无 dr
关，可选取一合理的路径进行积分。
例 求点电荷 q 的电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r)
E dr
E dr cos 0
(r (r)
R)
E
dr
R
E
dr
E dr
r
r
R
V (r) 0
Q
R 4 0r2
dr
cos
0
Q
静电场的环路定理
本节要点
本节的研究目的
研究静电场的旋度特性；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E 0
L E dL 0
静电场的环路定理
分析：对闭合曲线应用环路定理
a
E dL E dL E dL 0
acbda
acb
bda
c d
E dL E dL E dL
acb
bda
adb
b
说明：两点之间的电位差与积分路径无关
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
静电场的环量为零； 静电场是保守力场，位场 ； 静电场中电场力作功与路径无关；
静电场的环路定理
本节的研究目的
研究静电场的旋度特性
本节的研究内容
一、静电场环路定理的微分形式 二、静电场环路定理的积分形式
一、静电场环路定理的微分形式
E ()
0
E 0
静电场是无旋场； 静电场的电力线不可能是闭合曲线；
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
环路定理的公式
环路定理的公式
1. 静电场环路定理。
- 公式：∮_L→E· d→l = 0。
- 含义：
- 在静电场中，电场强度→E沿任意闭合路径L的线积分等于零。
这表明静电场是保守场，电场力做功与路径无关，只与始末位置有关。
2. 安培环路定理（真空中稳恒磁场）
- 公式：∮_L→B· d→l=μ_0∑_i = 1^nI_i。
- 含义：
- 对于稳恒磁场，磁感应强度→B沿任意闭合路径L的线积分等于真空磁导率μ_0乘以穿过以该闭合路径为边界的任意曲面的电流的代数和∑_i = 1^nI_i。
这里电流的正负由右手螺旋定则确定，当电流方向与闭合路径的绕行方向符合右手螺旋关系时，电流取正，反之取负。
静电场的环路定理 电势及其与场强关系PPT课件
b
由电势差定义
Uab
b
E dl
a
b a
q
4 0r 2
dr
q
4 0
(1 a
1) b
第27页/共30页
例题 在正方形四个顶点上各放置 带电量为+q的四个 点电荷，各顶点到正方形中心O的距离为r。求： （1）O点的电势；（2）把试探电荷q0从无穷远处移到 O点时电场力所作的功；（3）电势能的改变。
➢ 电势有相对性，需要选择零点(常取地球、仪器 外壳、无穷远处等为电势零点)；
➢ 电势的单位：V. [能量单位eV的由来] 第7页/共30页
电势差（电压）:
Uba
Ub Ua
rb E(r ) dr
ra
（电势差与电势零点的选择无关。）
二、电势的计算:
1、点电荷的电势: (以无穷远处为0)
U (r )
E dl
零点
步骤： (1)先求场强分布; (2)选择合适的路径; (3)计算积分.
[当带电体为无限大时，只能用该方法计算]
2）电势叠加法: 已知源电荷分布(有限尺寸)时,各源的电势标量叠加
U (r ) 1
Qi
40 i r ri
1 (r)dV 40 V r r
第10页/共30页
例 求均匀带电圆环轴线上的电势分布。 (已知：R、q )
U q
4 0r
均限匀长带直电线无U (a)
2 0
ln
a r
典型电场的场强
(应用高斯定理)
均匀带电 E 0
球面内
球面
E
q
4 0
r r3
球面外
均匀带电无 限长直线
E
2 0
r r2
静电场高斯定理环路定理.pptx
e de E cosds
S
S
E
ds E n
S
E
若曲面S为闭合曲面,
则
e
E cosds
S
法线方向的规定：闭合曲面上各点的法线方向垂直
向外为正方向。
ds
B A
C
分析：
A点处，场线穿进， / 2, cos 0, de 0为负值。 B点处，场线穿出， / 2, cos 0, de 0为正值。 C点处，场线与表面向切， / 2, cos 0, de 0.
F dl
l
l q0E dl 0
说明静电场是保守
l E dl 0
场，是无旋场。
结论：静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（环流）等于零。该结论称 为静电场的环路定理（环流定理）。
或者说将单位正电荷绕任意闭合路径一周静电场力所作的功等于零。
第15页/共29页
8.4.2 电势能
静电场力作功与路径无关，仅与始末位置有关，位置确定做功本
（2）电场中a点的电势，等于将单位正电荷由a点移到无穷远点静电场力 所作的功。
电势的单位：
焦尔/库仑
伏特 V ,
第17页/共29页
1V=1JC-1
8.4.4
电势差
Ua
E dl
a
Ub b E dl
Ua a
E
Ub b
∴电势差 Uab=Ua - Ub E dl E dl
∴ 以柱体轴线为轴线，取以r为半径，高为h的闭合柱面S为高斯面。
根据高斯定理
S
E
dS
1
q
SE dS E ds E ds E ds
上底面 / 2 侧面 0 下底面 / 2
r S
静电场的环路定理
b
a ( L1 )
v v b q0 E ⋅ dl − ∫
v v q0 E ⋅ dl
环路定理
=0
∫
L
v v E ⋅ dl = 0
该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 根据保守力的定义，任何力场， 根据保守力的定义，任何力场，只要其场强的环流 为零，该力场就叫保守力场 势场。 保守力场或 为零，该力场就叫保守力场或势场。可以引入相应 的势能，即电势能。 的势能，即电势能。
q 4πε 0 x
•从电荷分布求场强，再由场强分布求电势 从电荷分布求场强， 从电荷分布求场强
U P = ∫ E • d r （场强积分法） 场强积分法）
P ∞
例4 求均匀带电球面的电场中电势的分布 解 由高斯定理可以求的球面内外的场强分布为
+ P1 + + + + +
2
r <R r ≥R
对球外一点P 对球外一点
二 电势
某点电势电W 之比只取决于电场， 某点电势电 a与q0之比只取决于电场，定义电该 点的电势 单位：伏特（ ） 电势. 点的电势. 单位：伏特（V） 电势电
W a = q0 ∫
"0"
a
v E ⋅ dl
电势
WA VA = q0
=∫
"0"
A
v E⋅ E⋅ dl
由上式可以看出, 由上式可以看出,静电场中某点的电势在数值上 等于单位正电荷放在该点处时的电势能, 等于单位正电荷放在该点处时的电势能,也等于单位 正电荷从该点经任意路径到电势零点处(无穷远处) 正电荷从该点经任意路径到电势零点处(无穷远处) 时电场力所做的功。 时电场力所做的功。
3.3 静电场的环路定理 大学物理
R
+
o + + +
4 0 r （3）确定电势分布；
2
E
er
(r R)
主讲：张国才
U P E dl E dr + r+ r r + + 1 q q r p + + 2 dr R R 4 + + 4 o R 0 r o + + (2)当r>R时 + + + + U P E dl E dr + + "P" r
主讲：张国才
3.3 静电场的环路定理
基础物理学
4
试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径 L运动一周时，电场力对q0做的功W=？
L
W q0 E dl 0
E dl 0
L
主讲：张国才
3.3 静电场的环路定理 静电场的 Nhomakorabea路定理基础物理学
5
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积 分（称为场强的环流）恒为零。
2 2
0
主讲：张国才
q 4 0 R x
2 2
基础物理学 3.3 静电场的环路定理 二、从电荷分布求场强，从场强分布求电势。 例2 计算均匀带电球面的电场中的电势分布。球面半 径为R，总带电量为q。
13
解：
q
+
+ + + +
+ +
+
（1）取无穷远处为电势零点； + （2）由高斯定律可知电场分布为； + E 0 (r R) + + 1 q
【高中物理】优质课件：静电场的环路定律
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r2 r1 r1r2
r1
(r 2
d2 4
rd
1
cos ) 2
r2
(r 2
d2 4
rd
1
cos ) 2
r1
r
d 2
cos
r2
r
d 2
cos
所以
p
qd cos 4π0r 2
pqd
p
4π
er 0r
2
p＝qd 表示电偶极矩（dipole moment)，方向由
-q 指向 +q。
等位线方程 ( 球坐标系 ) ： r C cos
电位参考点 电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能 选取一个参考点。
场中任意两点之间的电位差与参考点无关。
选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。
工程上一般取大地为参考点，理论上取∞为参考 点，点电荷产生的电位：
源点在原点
q
P 4π 0r 2 er
dl
q
4π 0r
源点不在原点
q 4π 0 R
4π 0 V ' r r'
式中dq dV, dS , dl相应的积分原域 V ', S ', l'。
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电力线与等位线（面） 曲线上任一点的切线方向是该点电场强度 E 的方向。
E 线微分方程 E dl 0
直角坐标系 Ex Ey Ez dx dy dz
1.1.7 电力线方程
图1.1.10 点电荷与接地导体的电场
E 线愈密处，场强愈大;
E 线与等位线（面）正交； 图1.1.11 点电荷与不接地导
体的电场
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4. 3 静电场的环路定理 电势
r
U
(2) r>R
r
R E dl 0 dl E dl
r R
q q = ———2 dr = ——— 40R R 40r
q q U = ——— d r = ——— 40 r r 40r2 求电势方法小结
(4-46) 简便！
P P
n
取 U=0
q1 q2 q3
qn
•P
q U= ——— 40r
1 qi U =U1+ U2+Un U i i 1 4 0 ri i 1
P
n
(4-40)
电势叠加原理 ： 点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各
点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和。P129 dU 3．带电体的电场中的电势 P dq r dq 元电势 dU = ——— 40r + ++ ++ 1 dq + (4-43) = dU 总电势 U ++ + V 4 r
= 2000 V a点电势低 O
E
ra
• a(3,2) • b(1,0)
rb
x
ab rb ra
i (3i 2 j )
四、电势的计算 方法一：按电势定义 U a
dl与 E 同向或反向
a
E d l E cos d l
P128 场中任意两点a、b的 Uab在数值上等于将单位正电荷从a点 相关问题 ——静电场力作功的简单表达式 q ab
a
a
b
经任意路径移到b点时,电场力所作的功。与电势零点的选择无关
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一、 静电场力做功的特点
点电荷的电场
rdW dl q0
E dl
4
rdl cos
qq0
π 0r3
r
rdr
dl
dW
qq0
4π 0r2
dr
W qq0
4 π0
rB dr rA r 2
B
rB
dl
dr
r
E
q rA q0
A
qq0 ( 1 1 )
4 π0 rA rB
结果: W 仅与 q0 的始末
七、电势梯度(potential Gradient)
U
U
B
v E
dlv
A
B
A
A
B
U A
U B
dU
dU
rr E dl dU
B
A
E U
x
x
U
E
Y
y
E U
Z
z
在直角坐标系中
梯度算符
i
j
k
x y z
r
E U
试求（1）球面外任意点的电势；（2）球面内任意点
的电势. 解:
rrRR，，EE2 140πq0r 2 er
(1)
U外(r)
r
v E2
drv
Q
dr
r 4π 0r2
Q
4π 0r
V
Q
4 π 0R
oR
(2)
U内(r)
R r
v E1
drv
R
v E2
drv
Q
4π 0r
r
Q
4π 0R
六、等势面(Equipotential Surfaces)
在静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面。 典型等势面
点电荷的等势面
电偶极子的等势面
等势 面
+
电平行板电容器电场的等势面
++ ++ + + + + +
结论: （1）电场线和等势面处处垂直 （2）沿等势面移动电荷，电场力不做功 （3）电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等， 等势面密处电场强度大，等势面疏处电场强度小
a
f dl q E dl Wa Wb
a
a
b E
dl
Wa
Wb
a
q q 与试验电荷无关
根据静电场 Wa Wb 的环路定理 q q
反映了电场在a b两 点的性质
b
E dl Ua Ub
称 a b两点电势差
a
若选b点的势能为参考零点 则
a点的电势：
U a
势能零点 E dl
a
讨论
三、 电势能（Electric Potential Energy） 1.静电场力是保守力
2.静电场力作功等于相应电势能的减量
b
b
Aab f dl Wa Wb
E
a
q
a
点电 势能
b
点电 势能
a
四、 电势（Electric Potential）
b E
如图示点电荷在场中受力 f qE q
b b
1)电势零点的选择(参考点)
任意 视分析问题方便而定
参考点不同电势不同
通常：
理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点
实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外 壳等
2)电势的量纲
SI制：单位 V (伏特)
量纲
W q
L2 MT
3I
1
五、电势的计算(Calculating Electric Potential)
位置有关，与路径无关.
任意电荷的电场（视为点电荷的组合）
E Ei
i
W
q0
E dl
l
i
q0 l Ei dl
结论：静电场力做功与路径无关.
二、静电场的环路定理
l E dl 0
1B
A
2E
上式反应了静电场的一个重要
性质：静电场是保守场。或者
说静电场是无旋场（电场线不
能闭合，不能形成漩涡）。
y
dl + + +
dq dl qdl
2π R
+
+
+R o +
r
P
+
+x
x
+
+
z +++
dU P
4
1
π 0r
qdl 2 πR
U P
4
1
π 0 r
qdl q
q
2 πR 4 π0r 4π 0 x2 R2
讨论
x
0，U
p
4
q
π 0 R
x
R，U P
4
q
π 0 x
例2 均匀带电球壳的电势.
真空中，有一带电为 Q ，半径为 R 的带电球面.
1. 点电荷的电势 O
q
U q
4 π 0r
r
U E
P
O
2. 电势叠加原理 (1) 点电荷系 (2) 连续分布的带电体
U
qi
i 40ri
将带电体划分为若干电 π0r
dq
x 例1 正电荷 q均匀分布在半径为 R 的细圆环上.
求圆环轴线上距环心为 处点 P 的电势.