总体分布的卡方拟合检验
卡方检验
量上的反应是否有显著差异。 [例]从四所幼儿园分别随机抽出6 岁儿童若 干，各自组成一个实验组，进行识记测 验。测验材料是红、绿、蓝三种颜色书
写的字母，以单位时间内的识记数量为
指标，结果如下。问四组数据是否可以 合并分析。
分组 1 2 3 4
红色字母 24 15 20 10
2
49 64
X 154.62
理论次数
1 7 24 60 104 130 114 70 31 9 2
f o f e
f
e
2
3.03 2.44 1.85 1.26 0.67 0.07 -0.52 -1.11 -1.70 -2.29 -2.88
0.00237 0.01201 0.04260 0.10888 0.18858 0.23544 0.20615 0.12746 0.05562 0.01710 0.00396
信息判断其是否服从某种确定的连续性分布。 ⑴检验方法 ①将连续性的测量数据整理成次数分布表 ②画出相应的次数分布曲线；
③选择恰当的理论分布；
④进行拟合检验；
■例:下表是552名学生的身高次数分布，问这 些学生的身高分布是否符合正态分布？
身高 组中值 次数 离均差 Z分数 P
169~ 166~ 163~ 160~ 157~ 154~ 151~ 148~ 145~ 142~ 139~ 170 167 164 161 158 155 152 149 146 143 140 2 7 22 57 110 124 112 80 25 8 4 15.38 12.38 9.38 6.38 3.38 0.38 -2.62 -5.62 -8.62 -11.62 -14.62
问四组数据是否可以合并分析?
生物统计学—卡方检验
独立性检验
步骤： 1. 提出无效假设，即认为所观测的各属性之间
没有关联 2. 规定显著性水平 3. 根据无效假设计算出理论数 4. 根据规定的显著水平和自由度计算出卡方值，
再和计算的卡方值进行比较。 如果接受假设，则说明因子之间无相关联，
是相互独立的 如果拒绝假设，则说明因子之间的关联是显
著的，不独立
一、2X2列联表的独立性检验
设A、B是一个随机试验中的两个事件，其中A可能
出现r1、r2个结果，B可能出现c1、c2个结果，两 因子相互作用形成4个数，分别以O11、O12、O21、 O22表示，即
2X2列联表的一般形式
r1 r2 总和
c1 O11 O21 C1＝O11＋O21
c2 O12 O22 C2＝O12＋O22
解：（1）假设 H0 : 鲤鱼体色F2性状分离符合3:1 对 H A : 鲤鱼体色F2性状分离不符合3:1
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算： 计算鲤鱼体色的理论值
体色 F2理论尾数
青灰色 1201.5
红色 400.5
总数 1602
k
cc2 i 1
Oi Ei
0.5 2 301.63
1
2
2
xx
将样本方差代入，则：c
2
(k
1) s 2
2
其c2服从自由度为(k-1)的卡方分布
卡方函数的使用
假设
H 0:
2
2 0
,
适用右尾检验 ，其否定区为： c 2 c2
假设
H
0:
2
2 0
,
适用左尾检验
，其否定区为：
c
2
c2 1
假设
卡方拟合优度检验课件
卡方拟合优度检验与其他方法的结合应用
与贝叶斯方法结合
利用贝叶斯方法对数据进行先验信息的引入，提高卡方拟合优度 检验的准确性。
与主成分分析结合
通过主成分分析对多维数据进行降维处理，简化数据结构，再利用 卡方拟合优度检验进行模型检验。
与聚类分析结合
利用聚类分析将数据划分为不同的簇，再对每个簇进行卡方拟合优 度检验，提高检验的针对性。
实例三：教育程度分布的卡方检验
总结词
教育程度分布的卡方检验用于评估观察 到的教育程度分布与预期分布是否一致 。
VS
详细描述
教育程度分布的卡方检验可以用于比较不 同教育程度的人口比例是否符合预期。例 如，我们可以比较实际观察到的不同教育 程度的比例与理论预期的比例，以了解两 者是否存在显著差异。通过卡方统计量的 大小，可以判断实际教育程度分布与预期 分布的差异程度。
01
计算期望频数的公式：$期望频数 = frac{总频数 times 该类别的频 数}{该类别的观察数}$
02
根据期望频数对实际频数进行比 较，判断是否符合预期。
计算卡方值
卡方值的计算公式：$卡方值 = frac{(实际频数 - 期望频数)^2}{期望 频数}$
将计算出的卡方值与自由度进行比较 ，判断是否显著。
实例一：性别分布的卡方检验
总结词
性别分布的卡方检验用于评估观察到的性别分布与预期分布是否一致。
详细描述
假设我们有一个数据集，其中记录了某个地区的人口性别分布。通过卡方拟合优度检验，我们可以比较实际观察 到的性别分布与预期的均匀分布或某种理论分布是否存在显著差异。如果卡方统计量较小，说明实际分布与预期 分布较为接近；如果卡方统计量较大，则说明两者存在显著差异。
医学统计学6卡方检验
卡方检验的卡方值
卡方值是卡方检验的统计量，用于衡量实际观测值和期望值之间的差异。 卡方值越大，就表示观测值与期望值之间的差异越大，这意味着结论更可信。
如何进行卡方检验
第一步
确定研究的问题和相关变量， 并给出所需的假设。
第二步
收集数据并整理成交叉列联 表。
第三步
计算卡方值和自由度。
第四步
查阅卡方分布表，确定相应置信度水准下的临 界值。
2
应用
概率常用于医学研究中，以测量一种治疗对患者的疗效。
3
公式
概率=事件发生的次数/总次数。
统计学中的假设
在统计学中，我们需要制定一个或多个假设进而做出相应的决策。常见的假设有零假设和备择假设。
零假设
零假设是指不存在两个群体之间的差异。
备择假设
备择假设是指存在两个群体之间的差异。
什么是卡方检验
卡方检验是一种用于比较两个或多个群体在某些因素上的分布情况的方法。
卡方检验与其他假设检验的区 别
卡方检验主要用于回答多个分类变量间是否有关联的问题，而 T 检验和 Z 检 验主要用于回答单变量的问题。
卡方检验对于数据的类型并无太多的要求，而 T 检验和 Z 检验只适用于概率 分布为正态分布的数据。
卡方检验的计算公式
卡方检验的计算公式如下： χ² = ∑(O-E)²/E
为什么需要统计学
准确
统计学可以让我们从收集到的数据中得出真正 准确可靠的结论。
决策
统计学有助于做出决策并帮助我们更好地理解 数据背后的信息。
推断
统计学允许我们通过对大量数据的推断得到新 的信息。
掌握
掌握医学统计学对于实现优质医保研究至关重 要。
概率
卡方-拟合优度检验
7.2.2 对二项分布的检验（P93）
下面结合实例说明适合性检验方法。
（总体参数已知 ）
【例】 在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状分离
现象时 ，用黑色无角牛和红色有角牛杂交 ，子二代出
现黑色无角牛192头，黑色有角牛78头，红色无角牛72 头，红色有角牛18头，共360头。试 问这两对性状是否 符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的遗传比例？
1、rc个理论次数的总和等于rc个实际次数的总和；
2、r个横行中的每一个横行理论次数总和等于该 行实际次数的总和 。 独立的行约束条件只有r-1个； 3、类似地，独立的列约束条件有c-1个。 因而在进行独立性检验时，自由度为rc-1-(r-1)-(c1)=(r-1)(c-1)，即等于（横行属性类别数-1）×（直 列属性类别数-1）。
黑色无角牛的理论次数T1：360×9/16=202.5；
黑色有角牛的理论次数T2：360×3/16=67.5； 红色无角牛的理论次数T3：360×3/16=67.5；
红色有角牛的理论次数T4：360×1/16=22.5。
或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5
（四）列表计算2
表 2计算表
表
性别
动物性别实际观察次数与理论次数
实际观察 理论次 次数Oi 数Ti O i－T i （Oi－Ti）2/Ti
雌
雄 合计
428
448 876
438
438 876
-10
10 0
0.2283
0.2283 0.4563
从上表可以看到 ，实际观察次数与理论次数存在
一定的差异。 这个差异是属于抽样误差、还是其性别
（1）提出零假设：认为有效或无效与给药方式并无关联。 实际观察的结果与在两者之间并无关联的前提下，从理论 上推导出的理论数之间无差异。即H0：O－T＝0。 （ 2 ）根据概率乘法法则，若事件 A 和事件 B 是相互独立 的，或者说它们之间并无关联，这时事件A和事件B同时出 现的概率等于它们分别出现的概率乘积。
卡方检验
卡方检验是一种基于χ2分布的假设检验方法，其应用十分广泛，特别是在离散变量的分析中，χ2分布最早于1875年由F.Helmet提出，他计算出来自正态总体的样本方差分布服从χ2分布，1900年Karl Pearson在做拟合优度研究时也得出χ2分布，并且提出χ2统计量，将其用于假设检验。
【卡方检验的主要用途包括以下几个方面】1.检验某个连续变量的分布是否与某种理论分布相一致。
如是否符合正态分布、是否服从均匀分布、是否服从Poisson分布等2.某无序分类变量各属性出现的概率是否等于指定概率，如骰子各面出现的概率是否等于1 \6,硬币正反两面是否等于0.5等3.检验两个无序分类变量之间是否独立，有无关联，如收入与性别是否有关。
4.控制某种分类因素之后，检验两个无序分类变量各属性之间是否独立，如上述控制年龄因素之后，收入与性别是否有关，5.检验两个或多个样本率（总体率）或构成比之间是否存在差别，也称为同质性检验。
6.多个样本（总体）之间的多重比较7.不同的方法作用于同一个变量时，产生的效果是否一致（配对检验）。
如两种治疗方法作用于同一组病人，疗效是否一样在以上用途中，除了第一点是针对连续变量之外，其余都是针对无序分类变量，由此可见，卡方检验大部分是用在分类变量的检验中发挥作用。
================================================ ==【卡方检验基本思想】卡方检验是以渐进χ2分布为基础，它的零假设H0是：观察频数与期望频数没有差别。
通过构造χ2统计量，得出P值，并以此进行检验。
应该来讲，凡是通过构造χ2统计量进行检验的都属于卡方检验，卡方检验是一类检验（希腊字母χ的英文音标就近似读为“卡”），我们在描述这些不同的卡方检验的时候，通常会加上特定名称来加以区分，如Pearson卡方、McNemar配对卡方、似然比卡方等。
由于是pearson最早提出用卡方统计量做假设检验，所以我们平时说的卡方检验，很多时候就是指pearson卡方。
拟合的卡方检验
拟合的卡⽅检验实验中⼀个常见的任务是，⼿头有⼀组数据，要拟合⼀条曲线。
然后要检验拟合的优度。
在使⽤卡⽅(χ2)或者约化卡⽅(reduced chi-squares,χ2red )检验时，会遇到⾃由度到底等于⼏的问题。
本⽂先参考[1-2]介绍了测量数据为何服从正态分布，再参考[3]介绍了线性回归的概念和⽅法，最后参考[4]解释了⾃由度的问题。
整篇⽂章不涉及⾼深的数学知识，也没有数学意义上的严格证明，只有直观解释和物理上的推导，是为理⼯科实验数据处理⽽总结的。
测量的物理量的均值设x 1,x 2,⋯,x n 是⼀组独⽴同分布的随机变量且x i ∼N (µ,σ2)。
记¯x =1n ∑i x i以及S 2=1n −1∑i (x i−¯x )2令X =√n (¯x −µ)/S 则有X ∼t n −1，其中t n −1是⾃由度为n −1的t 分布[1]，密度函数t n(x )如下，f n (x )=Γn +12Γn 2√n π1+x 2n −n +12当n →∞，有f n (x )→1√2πe −12x 2即当n →∞时，有X ∼N (0,1)，或记为¯x∼N (µ,S 2/n ),n →∞如果我们每次测得的物理量的值服从某正态分布，则对这样的⼀组测量结果取均值，视该均值为⼀随机变量，则期望是µ，⽅差是S 2/n ，其中S 2是该组测量结果的样本⽅差。
当测量的物理量的值并不服从正态分布时，我们⼀样可以在n →∞时得到该结果，推导如下：符号同前，但取消x i ∼N (µ,σ2)的约束，⽽仅仅限定独⽴同分布，总体的均值为µ，⽅差为σ2。
记z =∑n i =1x i −nµ√n σ这时中⼼极限定理给出[2]lim其中\Phi(z_0)为标准正态分布N(0,1)的累积分布函数。
换⾔之，当n 很⼤时，随机变量z 趋于标准正态分布N(0,1)，即\bar{x}\equiv\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\sim N(\mu,\sigma^2/n), n\to\infin如果在上式中⽤样本⽅差S^2代替总体⽅差\sigma^2，则(8)式回到了(5)式，同时取消了x_i\sim N(0,1)的限制。
拟合优度的卡方检验
(1) =3.841 2 由于统计量 的实测值
2 0.05
=0.4158<3.841，
2
未落入否定域. 故认为试验结果符合孟德尔的3:1理论.
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意n要足够大，以及 npi 不太小这两个条件. 根据计算实践，要求n不小于50，以及 npi 都不小于 5. 否则应适当合并区间，使 npi满足这个要求 .
例 自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中, 全世界记录到里氏震级4级和4级以上地震共162次, ( 0.05) 统计如下: (X 表示相继两次地震间隔天数, Y 表示出现的频数)
2
1. 将总体X的取值范围分成k个互不重迭的小 区间,记作A1, A2, …, Ak .
2.把落入第i个小区间Ai的样本值的个数记 作fi ， 称为实测频数. 所有实测频数之和 f1+ f2+ …+ fk等于样本容量n.
3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的 值落入每个Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的 样本值的理论频数.
奥地利生物学家孟德尔进行了长达八年之久的豌豆杂交试验并根据在此我们以遗传学上的一项伟大发现为例说明统计方法在研究自然界和人类社会的规律性时是起着积极的主动的作用在此我们以遗传学上的一项伟大发现为例说明统计方法在研究自然界和人类社会的规律性时是起着积极的主动的作用
卡方分布拟合检验
在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布 为正态时，关于其中未知参数的假设检验 问题 . 然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
实测频数
fi npi
卡方检验
卡方检验
■ 行×列表资料的χ2检验
多个样本率的比较
例题 某医师研究物理疗法、药物治疗和外用膏药三种疗法治疗周围性面 神经麻痹的疗效，资料见下表。问三种疗法的有效率有无差别？
卡方检验
■ 行×列表资料的χ2检验
多个样本率的比较
卡方检验
■ 行×列表资料的χ2检验
多个样本率的比较
卡方检验
卡方检验
■ 四格表资料的χ2检验
3.当n<40，或T<1时，用四格表资料的Fisher确切概率法。 步骤：
卡方检验
■ 四格表资料的χ2检验
3.当n<40，或T<1时，用四格表资料的Fisher确切概率法。 步骤：
卡方检验
■ 四格表资料的χ2检验
3.当n<40，或T<1时，用四格表资料的Fisher确切概率法。 步骤：
样本构成比的比较
卡方检验
■ 行×列表资料的χ2检验
双向无序分类资料的关联性检验
卡方检验
■ 行×列表资料的χ2检验
双向无序分类资料的关联性检验 例题 测得某地5801人的ABO血型和MN血型结果如下表，问两种血型系统 之间是否有关联？
卡方检验
■ 行×列表资料的χ2检验
双向无序分类资料的关联性检验
Coxhran Armitage 趋势检验（Cochran Armitage trend test ）
卡方检验
■ 有序分组资料的线性趋势 χ2检验
卡方检验
■ 有序分组资料的线性趋势 χ2检验
例 某研究者欲研究年龄与冠状动脉粥样硬化等级间的关系，将278例尸 解资料整理成下表，问年龄与冠状动脉粥样硬化等级间是否存在线性变化 趋势？
卡方检验
总体分布的拟合性检验(2)
• 例：某校314名学生在一次考试中的成绩分 布如下：A等22人，B等94人，C等113人，D 等69人，E等16人。问这一成绩是否服从正 态分布？
26
总体分布的拟合性检验(2)
• 首先，建立假设： • H0：实际成绩的等级人数分布与正态分布所 期待的理论次数分布无显著差异。 • H1：实际成绩的等级人数分布与正态分布所 期待的理论次数分布有显著差异。
2 2 2 2
9
χ2检验的基本公式
• 究竟χ2值大到什么程度才能说样本分布与理 论分布不一致呢？这要看样本的χ2值在其抽 样分布上出现的概率如何而定。 • 我们就用上面的例子说明χ2的抽样分布。如 果将上述所抽取的50个学生还回总体之中，再 从中随机抽取50个学生，又可以计算出一个样 本χ2值。这样反复抽下去，就会有一切可能 个样本χ2值。这一切可能个样本χ2值的分布， 就形成一个实验性的χ2抽样分布。
表 300次掷一颗六面体实验观测结果
点数
频数
I
O
1
43
2
49
3
56
4
45
5
66
6
41
13
总体分布的拟合性检验(1)
• 上例中的数据录入有两种方式，数据编号da ta10-01 和 data10-01a。data10-01是一种 直接录入原始数据的方式，只有一个变量， 在应用中可直接使用，但数据录入量较大。
对话框2
1选择行变量
7单击OK按钮
2单击按钮 3选择列变量 4单击按钮
5单击统计按钮， 进行设置
6单击单元格按钮， 进行设置
47
统计设臵
1选中χ2
2单击按钮
09卡方检验
21）。 3.84 （ 0 05
21）。 6.63 （ 0 01
因为χ2=4.08*>3.84，p<0.05，按照统计决断 的一般规则，则应拒绝零假设，因此其结论为：今 年升学的男女生人数比例不符合该校长的经验。
例2 有人在某班进行了一项调查，问52名学生：“你 喜欢思想品德课吗？”回答有“喜欢”、“无所谓” 和“不喜欢”三种，调查结果如下，问3种意见的人 数是否不同？
根据df=K-1=2查附表6，得
2 （2）。 0 05
5.99
22）。 9.21 （ 0 01
再将实际计算得的χ2值与临界值比较。因为
χ2=9.96**>9.21，p<0.01，因此应拒绝零假设，其 结论为：该班学生对思想品德课的3种意见之间有极
其显著的差异。
例3 大量的研究表明，人群中超常儿童的比率为3%。最 近有人对某班54名学生做了一项智力测查，结果发现有 两名学生的智力属于超常，问该班超常儿童的比率与普 通人群中超常儿童的比率是否相同？
例题：
第二步：计算χ2值 因为根据零假设，则男女生的理论频数为：
2 f 118 41） 106 （ e1 3 1 f 118 41） 53 （ e2 3
（ 106 2 （41 53 2 118 ） ） 2 4.08 106 53
第三步：统计决断 根据df=2-1=1查χ2值表（附表6）,得
三．χ2检验的计算
表9-1 单向表χ2检验计算表
fo
分组Ⅰ
分组Ⅱ 分组Ⅲ 总和
fe
fo fe
fo fe
2
fo fe
fe
2
χ2
卡方检验
2
3.03 ，
=1
2<3.84=2
按 =0.05 水 准 ， 不 拒 绝 H0， …
配对四格表资料的 检验
2
也称McNemar检验（McNemar's test）
例 6-8 表 6-9
甲 法
两种血清学检验结果比较
乙 法 ＋ － 10 (b) 11 (d) 21 90 42 132 合计
n2 n2 n
一般地,
理论频数
n n (行合计)(列合计) ＝ R C 总计 n
例题：计算以下四格表的各理论频数： （1） （2） 35 27 25 8 16 33 15 22
2 检验的基本思想可通过其基本公式来解释：
2
观察值 理论值
理论值
2
A T 2
2
1
2
( / 21)
e
2 / 2
Ý ß ×·
×Ó ¶ £ 1 Ô É È ½
0.2 0.1 0.0 0 3
3.84
×Ó ¶ £ 2 Ô É È ½ ×Ó ¶ £ 3 Ô É È ½ ×Ó ¶ £ 6 Ô É È ½
P＝0.05的临界值
7.81 12.59
6
9 12 ¿ ·Ö ¨½ µ
* 图形:单峰,正偏峰; 自由度 很大时, 近似地服从正态分布.有 2 ( ) 2 Z , ( )服从均数为 ，方差为2 的正态分布 2
2 ( )
χ2分布（chi-square distribution）
0.5 0.4 0.3
f ( ) 2( / 2) 2
2
2 =2.734<3.84，P>0.05,不拒绝无效假设H0
卡方检验
第二节 完全随机设计两组频数分布2检验 一、二分类情形——2×2列联表
例9-2 某医师研究用兰芩口服液与银黄口服液治疗 慢性咽炎疗效有无差别，将病情相似的80名患者随 机分成两组，分别用两种药物治疗，结果见表。
表 9-2 慢性咽炎两种药物疗效资料 药物 兰芩口服液 银黄口服液 合计 疗效 有效 无效 合计
2
(A T ) T
2
(41 36.56) 2 (4 8.44) 2 (24 28.44) 2 (11 6.56) 2 6.565 36.56 8.44 28.44 6.56
自由度
=(2-1)(2-1)=1
（3）确定P值
查附表8， =1对应的临界值 , P<0.025。
（1）建立检验假设 H0：三种剂量镇痛有效的概率相同。 H1：不同剂量镇痛有效的概率不全相同。 检验水准=0.05 （2）按公式(9-8)计算2统计量
32 122 112 92 122 62 53( 1) 7.584 15 26 15 27 20 26 20 27 18 26 18 27
2
( A T 0.5)
2
例9-3 将病情相似的淋巴系肿瘤患者随机分成两
组，分别做单纯化疗与复合化疗，两组的缓解率见
表7-4，问两疗法的总体缓解率是否不同？
表 9-3 两种疗法缓解率的比较
疗效 合计 缓解率（%） 缓解 未缓解 单纯化疗 2 ( 4.8) 10 ( 7.2) 12（固定值） 16.7 复合化疗 14 (11.2) 14 (16.8) 28（固定值） 50.0 合计 16 24 40 40.0 组别
步骤
1.建立检验假设
卡方分布和检验方法
检验的基本思想
以两样本率比较的检验为例，介绍 检验 2 的基本思想。 分布是一种连续型分布 分布的 2形状依赖于自由度的大 小， 2
当自由度≤2时，曲线呈L型；随着的增加，曲线逐渐趋于 对称； 当自由度→∞时, 分布2 趋向正态分布。 分布的2 具有可加 性。
完全随机设计两样本率比较的四格表
处理
2 卡方分布和检 验方法
一、2分布的定义
2分布是从正态分布派生出来的一个连续型分布，与正
态分布和t分布关系密切。下面的定理清楚地表明了其间的关
系。
定理1： 设Z1,…., Zn 是n 个独立的标准正态变量N(0 1),
则其平方和
Z 1 2 Z 2 n2 (n )
服从自由度为n的2 分布。 推论1： 标准正态变量Z的平方服从自由度为1的2 分
A 代表“吸烟与否”， A1=“吸烟”， A2=“不吸烟”， B 代表“患肺癌与否”，B1=“患肺癌”, B2=“未患肺癌”。 于是，A与B 相互独立，就意味着吸烟与肺癌无关联。
吸烟与不吸烟患者患肺癌的概率应当相等，
即 P(B1/A1)=P(B1/A2)=P(B1)=a+c/n
而 吸烟者出现的概率 P(A1)=a+b/n, 不吸烟者出现的概率 P(A2)=c+d/n,
50-59 岁男性工人与农民高血压患病比较
患高血压人数 未患人数
首钢工人
386
895
石景山区农民
65
322
合计
451
1217
合计 1281 387 1668
解：
① 建立检验假设
H0：π1 =π2 (工人与农民的总体患病率相同) =0.05
② 估计总体某现象的发生或存在的概率，假定高血压的 发生和这两种工种众彼此独立无关，因此，这两组资 料是一总体中的两个随机样本，估计
第五章 卡方拟合优度检验
2
c2
c12
c
2 2
s (nij
i1 j1
Nij )2 Nij
~c 2 (2(s 1))
• H0：F1(X)＝F2(X)成立时，意味着 X1, , X n1和Y1, ,Yn2 是来自同一个总体，且 P(X Ai ) P(Y Ai ), (i 1, , s)
所以N1j和N2j的估计值为
第三节 列联表检验
1. r 个总体分布的齐一性检验 比较 r 个总体的分布函数F1(X),…,Fr(X)是否一致？ 假设检验： H0：Fi(X)＝F(X) ，i=1,…,r
• 数据结构：
总体分类
A1
……
As
X1 频数
n11
……
n1s
合计 n1·
……
……
……
……
……
Xr 频数
nr1
……
nrs
nr ·
i!
2608 3.87i i!
e3.87 ,
i 0,1,2
第二节 齐一性检验
1. 两个总体分布的齐一性检验
比较两个总体的分布函数F1(X)和F2(X)是否一致？ 假设检验： H0：F1(X)＝F2(X) ；H1：F1(X)≠F2(X) 。 • 对这两个总体进行独立抽样，分别获得F1(X)和F2(X) 的独立样本 X1, , X n1和Y1, ,Yn2。 • 这两个总体变量的值域应该一致。我们把该值域分成 s 段 A1,…, As（分类方法要求与样本独立），比较 F1(X)和F2(X) 在A1,…, As上的分布或比例是否一致。 • 对这两个独立样本X1, , X n1和Y1, ,Yn2在 Aj ( j 1, , s)中 出现的频数分别进行统计，记作 n1 j和n2 j ( j 1, , s)。
卡方检验的这点你千万不能忽视哦
卡方检验的这点，你千万不能忽视哦！卡方检验卡方检验有两种用途：1、拟合优度检验( goodness of fit test )：用卡方统计量进行统计学检验，依据总体分布状况，计算出分类变量中各类别的期望频数，与分布的观察频数进行对比，判断期望频数与观察频数是否有显著差异，从而达到对分类变量的分布进行分析的目的。
2、拟合优度检验是对一个分类变量的检验，有时我们会遇到两个分类变量的问题(也就是列联表数据，横标目和纵标目各代表一个分类变量) ，看这两个分类变量是否存在联系。
现在，来个题考考大家！双向无序列联表资料什么时候能用卡方检验，什么时候要用精确概率法？传统的统计教材中一般认为：对双向无序的RxC 列联表资料进行卡方检验中，当样本量小，存在单元格的理论频数(又叫期望计数)小于5 ，或这样的单元格数超过总单元格数的20% ，才需要选用精确概率法。
其实，这种说法已经过时了。
John H. McDonald 在Handbook of Biological Statistics (3rd ed.) 一书中对卡方检验的适用条件进行了新的阐述。
完全颠覆了我的以往思路。
现总结归纳如下一、只要样本量小于1000 的列联表资料，都应该使用精确概率法。
因为，1000 以下样本量的精确概率法在Excel 、SAS 、SPSS 等软件中都可以轻松实现二、当样本量比1000 大很多时，即使在大型计算机上的强大软件（例如SAS ）做精确概率法的运算都可能存在困难，所以对于样本量大于1000 时，应该使用卡方检验。
如果自由度只有1 ，可以使用Yates 连续性校正（但是对于如此大的样本量，Yates 连续性校正对P 值在准确性上的改进是微不足道。
）三、为了便于操作，McDonald 将其经验法则建立在总样本量的基础上，而不是最小的期望计数；如果一个或多个期望计数是非常小（个位数），即使总样本量大于1000 ，也应该使用精确概率法，只是但愿你的计算机能够处理这样的运算量。
卡方检验及其应用
卡方检验及其应用一、卡方检验概述：卡方检验主要应用于计数数据的分析，对于总体的分布不作任何假设，因此它属于非参数检验法中的一种。
它由统计学家皮尔逊推导。
理论证明，实际观察次数（f o ）与理论次数（f e ），又称期望次数）之差的平方再除以理论次数所得的统计量，近似服从卡方分布，可表示为：）（n f f f ee 2202~)(χχ∑-= 这是卡方检验的原始公式，其中当f e 越大,近似效果越好。
显然f o 与f e 相差越大，卡方值就越大；f o 与f e 相差越小，卡方值就越小；因此它能够用来表示f o 与f e 相差的程度。
根据这个公式，可认为卡方检验的一般问题是要检验名义型变量的实际观测次数和理论次数分布之间是否存在显著差异。
一般用卡方检验方法进行统计检验时，要求样本容量不宜太小，理论次数≥5，否则需要进行校正。
如果个别单元格的理论次数小于5，处理方法有以下四种：1、单元格合并法；2、增加样本数；3、去除样本法；4、使用校正公式。
当某一期望次数小于5时，应该利用校正公式计算卡方值。
公式为：∑--=ee f f f 202)5.0(χ二、卡方检验的统计原理：• 卡方检验所检测的是样本观察次数﹙或百分比﹚与理论或总体次数﹙或百分比﹚的差异性。
• 理论或总体的分布状况，可用统计的期望值（理论值）来体现。
• 卡方的统计原理，是取观察值与期望值相比较。
卡方值越大，代表统计量与理论值的差异越大，一旦卡方值大于某一个临界值，即可获得显著的统计结论。
三、卡方检验的主要应用： 1、独立性检验独立性检验主要用于两个或两个以上因素多项分类的计数资料分析，也就是研究两类变量之间的关联性和依存性问题。
如果两变量无关联即相互独立，说明对于其中一个变量而言，另一变量多项分类次数上的变化是在无差范围之内；如果两变量有关联即不独立，说明二者之间有交互作用存在。
独立性检验一般采用列联表的形式记录观察数据, 列联表是由两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表，是用于提供基本调查结果的最常用形式，可以清楚地表示定类变量之间是否相互关联。
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知识点8.6
总体分布的卡方拟合检验
设总体X的分布函数F(x)未知, X
,⋯,X n是X的一个样本, 要
1
求检验假设
H0:F(x)=F0(x),H1:F(x)≠F0(x).
这里F
(x)是数学表达形式已知的分布函数. 备择假设表示F(x)
是除了F
(x)以外的某一函数, 通常可以不写出来.
用k −1个分点t 1,⋯,t k−1将实数轴分成k 个区间, 记为A i =
t i−1,t i ,其中t 0=−∞,t k =+∞.
H 0为真时, 有
p i =P(X ∈A i )=F 0(t i )−F 0(t i−1).
解决方案
A i +∞
−∞
t 1t i−1
t i ⋯
⋯如果F 0(x)中带有未知参数，则先利用样本求出未知参数的最大似然估计值，然后将估计值代入F 0x 计算概率p i .
记样本观测值x 1⋯,x n 落入区间A i 的频数为n i , 称其为实际频数.
从频率和概率之间关系的角度出发, Karl Pearson 提出了如下形式的检验统计量：
χ2
=i=1
k
n p i n i n
−p i
2
=
i=1
k
(n i −np i
)
2np i
np i 称为理论频数.
当H 0为真时, 在样本容量充分大的情况下, 该检验统计量近似服从χ2(k −r −1)分布, 其中r 为F 0(x)中待估计的未知参数个数.
由Bernoulli 大数定律可知,当试验次数较大时,事件发生的频率和概率出现较大偏差的概率是比较小的.所以当H 0为真时,对于给定的显著水平α有
P i=1
k
(n i −np i )2
np i
≥χα2
(k −r −1)≈α.
故H 0的拒绝域为：χα
2k −r −1,+∞.
H 0的接受域为：0,χα
2k −r −1.
注意事项
(1) 原假设H0中的总体分布也可以用分布律或密度函数来表示, 只要
在H
0为真时, 能够计算概率p
i
即可.
(2) 根据实践经验, 要求样本容量n≥50, 且要求理论频数np i≥5.
若np
i ＜5, 则应适当合并A
i
以满足此要求.
例1将一枚骰子抛掷120次, 结果如下
问这枚骰子的六个面是否匀称？取显著性水平为0.05．解将骰子六个面的点数作为总体X,
H0:P X=k=1
6
,k=1,2,⋯,6.
点数123456频数212819241612
分组数k =6, 待估计参数个数r =0,
χα
2k −r −1=
χ0.052
(5)
=11.07.
由于8.1＜11.07, 故接受H 0, 即认为这枚骰子的六个面是匀称的.
分组n i
p i
np i
(n i −np i
)2/np
i
1211/6201/202281/62064/203191/6201/204241/62016/205161/62016/206
12
1/6
20
64/20Σ
χ2=8.1
例2从某纱厂生产的一批棉纱中抽取300条进行拉力强度试验, 得到数据如下, 检验该批棉纱的拉力强度是否服从正态分布(取显著水平为0.05).
拉力强度区间频数拉力强度区间频数拉力强度区间频数拉力强度区间频数0.50~0.6411.06~1.20371.48~1.62521.90~2.0416 0.64~0.7821.20~1.34531.62~1.76262.04~2.184 0.78~0.9291.34~1.48561.76~1.90192.18~2.321 0.92~1.0624
解
设棉纱的拉力强度为总体X , H 0:X~N μ,σ2.
以拉力强度区间的中点为观测值x i , 得到μ和σ2的最大似然估计值分别为
ෝμ=x =1
300i=1
13
x i n i =1.41,
ෝσ2=s n 2=1300
i=113
x i −x 2n i =0.0892.当H 0为真时,p i =Φ
t i −1.410.0892
−Φ
t i−1−1.410.0892
,i =1,⋯,13.
这样合并满足np i ＞5
np i ＜5需要合并分组这部分要重新计算合并后仍有np i ＜5要继续合并从而得计算表如下
这里也要
相应合并
分组拉力强度区间实际频数n i 概率p i 理论频数np i n i −np i
2
np i 10.50～0.6410.00381.140.017220.64～0.7820.01253.750.816730.78～0.9290.03309.900.081840.92～1.06240.070221.060.410451.06～1.20370.120436.120.021461.20～1.34530.166449.920.190071.34～1.48560.185355.590.003081.48～1.62520.166449.920.086791.62～1.76260.120436.122.8354101.76～1.90190.070221.060.2015111.90～2.04160.03309.903.7586122.04～2.1840.01253.750.016713
2.18～2.32
1
0.0038
1.14
0.0172
合并后的计算表
分组拉力强度区间实际频数n
i 概率p
i
理论频数np
i
(n i−np i)2/np i
10.50～0.92120.049314.790.5263
20.92～1.06240.070221.060.4104
31.06～1.20370.120436.120.0214
41.20～1.34530.166449.920.1900
51.34～1.48560.185355.590.0030
61.48～1.62520.166449.920.0867
71.62～1.76260.120436.122.8354
81.76～1.90190.070221.060.2015
91.90～2.32210.049314.792.6074
Σχ2=6.8822分组数k=9, 待估计参数个数r=2,χα2(k−r−1)=χ
0.05
2(6)=12.592.
由于6.8822＜12.592, 故接受H
, 即认为该批棉纱的拉力强度服从正态分布.。