圆总复习教案含复习资料教师

《圆》知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点及圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线及圆的位置关系1、直线及圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线及圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；A3、直线及圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆及圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧图4图5以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD∴弧AC =弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；BDB即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠九、切线的性质及判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；BABAO两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA PB = PO 平分BPA ∠十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

DB即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅（2）推论：如果弦及直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线及圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线及圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：12O O 垂直平分AB 。

即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：A（1）公切线长：12Rt O O C ∆中，221AB CO ==（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。

十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA =（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r ππ+lOC 1D 1（2）圆柱的体积：2V r h π=（2）圆锥侧面展开图 （1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：213V r h π=十六、知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质轴对称性—垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点）⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪ 直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪【典型例题】例1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域。

这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：O 120m 爆破中心安全区域解： 导火索燃烧的时间为180920.() =s相同时间内，人跑的路程为2065130⨯=.()m ∴>人跑的路程130120m m ∴点导火索的人非常安全例2. 已知梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ，⊙O 的半径为4，AB ＝6，CD ＝2，求梯形ABCD 的面积。

分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB 、CD 间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。

为了便于运用垂径定理，故作OE ⊥CD 于E ，延长EO 交AB 于F ，证OF ⊥AB 。

此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。

解：分两种情况讨论：（1）当弦AB 、CD 分别在圆心O 的两侧时，如图（1）：过O 作OE ⊥CD 于E ，延长EO 交AB 于F 连OC 、OB ，则CE ＝DE ∵AB ∥CD ，OE ⊥CD∴OF ⊥AB ，即EF 为梯形ABCD 的高 在Rt △OEC 中，∵EC ＝1，OC ＝4 ∴=-=-=OE OC EC 22224115 同理，OF =7∴=+=+EF OE OF 157()()()∴=++=+=+S ABCD 梯形1226157415741547 （2）当弦AB 、CD 在圆心O 的同侧时，如图（2）：过O 作OE ⊥CD 于E ，交AB 于F 以下证法同（1），略。

∴=-EF 157()()()∴=+-=-=-S ABCD 梯形1226157415741547 ()()∴+-梯形的面积为或ABCD 41574157《圆》练习 一、填空题1、已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2和3，两圆相交于点A 、B ，且AB ＝2，则O 1O 2＝______ ．2、已知四边形ABCD 是⊙O 的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形的中位线长为_____．3、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点，且及BC切于点B，及AC交于D，连结BD，若BC＝－1，则AC＝______．4、用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为80厘米，底面圆的直径为50厘米，那么这个油桶需要铁皮（不计接缝）厘米2（不取近似值）．5、已知两圆的半径分别为3和7，圆心距为5，则这两个圆的公切线有_____条．6、如图，以AB为直径的⊙O及直线CD相切于点E，且AC⊥CD，BD⊥CD，AC＝8 cm，BD＝2 cm，则四边形ACDB的面积为______．7、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6 cm，PO＝10 cm，则△PDE的周长是______．图中知，CM＝R＋8，MD＝R－8，8、一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形及正六边形的面积之比为_______．9、如图，已知PA及圆相切于点A，过点P的割线及弦AC交于点B，及圆相交于点D、E，且PA＝PB＝BC，又PD＝4，DE＝21，则AB＝______．二、选择题10、有4个命题：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最大的弧是过圆心的弧；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是（）（A）①③（B）①③④（C）①④（D）①11、如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O＝140°，则∠I为（）（A）140°（B）125°（C）130°（D）110°12、如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为…………（）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 13、如图，AB是⊙O的弦，点C是弦AB上一点，且BC︰CA＝2︰1，连结OC并延长交⊙O于D，又DC＝2厘米，OC＝3厘米，则圆心O到AB的距离为……（）（A）厘米（B）厘米（C）2厘米（D）3厘米14、等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是……………………………………（）（A）6（B）3（C）（D）15、如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA＝4厘米，PB＝3厘米，PC＝6厘米，EA切⊙O于点A，AE及CD的延长线交于点E，AE＝2厘米，则PE的长为（）（A）4厘米（B）3厘米（C）厘米（D）厘米16、一个扇形的弧长为20厘米，面积是240厘米2，则扇形的圆心角是……………（）（A）120°（B）150°（C）210°（D）240°17、两圆半径之比为2︰3，当两圆内切时，圆心距是4厘米，当两圆外切时，圆心距为（）（A）5厘米（B）11厘米（C）14厘米（D）20厘米18、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是……（）（A）60°（B）90°（C）120°（D）180°19、如图，等腰直角三角形AOB的面积为S1，以点O为圆心，OA为半径的弧及以AB为直径的半圆围成的图形的面积为S2，则S1及S2的关系是………………………（）（A）S1＞S2（B）S1＜S2（C）S1＝S2（D）S1≥S2三、解答题20、如图，在□ABCD中，AB＝4，AD＝2，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交CD于F，则□ABCD被⊙O截得的阴影部分的面积为_______．21、如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线及过C点的切线GC相交于点D，BE及AC相交于点F，且CB＝CE，求证：（1）BE∥DG；（2）CB2－CF2＝BF·FE．22、如图，⊙O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且MB︰MA＝1︰4，求工件半径的长．23、已知：如图（1），⊙O1及⊙O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点（C、D不及B重合），连结BD，过点C作BD的平行线交⊙O1于点E，连BE．（1）求证：BE是⊙O2的切线；（2）如图（2）若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和⊙O 2的位置关系（不要求证明）．24、如图，已知CP为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB切⊙O于点D，并及CP的延长线相交于点B，又BD＝2 BP．求证：（1）PC＝3 PB；（2）AC＝PC．《圆》参考答案一、填空题1、当两圆在AB的两侧时，设O1O2交AB于C，则O1O2⊥AB，且AC＝BC，∴AC＝1．在Rt△AO2C中，O2C＝＝＝2；在Rt△AO1C中，O1C＝＝＝．∴O1O2＝2＋．当两圆在AB的同侧时，同理可求O1O2＝2－．【答案】2±．2、圆外切四边形的两组对边之和相等，则上、下底之和为10，故中位线长为5．【答案】5．3、在△ABC中，AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠BAC＝36°．又BC切⊙O于B，∴∠A＝∠DBC＝36°．∴∠BDC＝72°．∴∠ABD＝72°－36°＝36°．∴AD＝BD＝BC．易证△CBD∽△CAB，∴BC2＝CD·CA．∵AD＝BD＝BC，∴CD＝AC－AD＝AC－BC．∴BC2＝（AC－BC）·CA．解关于AC的方程，得AC＝BC．∴AC＝·（－1）＝2．【答案】2．4、铁皮的面积即圆柱的侧面积及两底的面积的和．底面圆面积为·502＝625（厘米2），底面圆周长为×50＝50（厘米），则铁皮的面积为2×625＋80×50＝5250（厘米2）．【答案】5250厘米2．5、∵ 7－3＜5＜7＋3，∴两圆相交，∴外公切线有2条，内公切线有0条．【答案】2．6、设AC交⊙O于F，连结BF．∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°．连结OE，则OE⊥CD，∴AC∥OE∥BD．∵点O为AB的中点，∴E为CD的中点．∴OE＝（BD＋AC）＝（8＋2）＝5（cm）．∴AB＝2×5＝10（cm）．在Rt△BFA中，AF＝CA－BD＝8－2＝6（cm），AB＝10 cm，∴BF＝＝8（cm）．∴四边形ACDB的面积为（2＋8）·8＝40（cm2）．【答案】40 cm2．7、连结OA，则OA⊥AP．在Rt△POA中，PA＝＝＝8（cm）．由切线长定理，得EA＝EC，CD＝BD，PA＝PB，∴△PDE的周长为PE＋DE＋PD＝PE＋EC＋DC＋PD，＝PE＋EA＋PD＋DB＝PA＋PB＝16（cm）．【答案】16 cm．8、设两正多边形的外接圆半径为R，则正方形面积为4×·R2＝2 R2，正六边形的面积为6×R2＝R2，所以它们的比为2 R2：R2＝4︰9．【答案】4︰9．9、由切割线定理，得PA2＝PD·PE．∴PA＝＝10．∴PB＝BC＝10．∵PE＝PD＋DE＝25，∴BE＝25－10＝15．∴DB＝21－15＝6．由相交弦定理，得AB·BC＝BE·BD．∴AB·10＝15×6．∴AB＝9．【答案】9．二、选择题10、长度相等的两弧不一定是等弧，故②不对；当弦是直径时，直径把圆分为两个半圆，它们是等弧，故④不对．【答案】A．11、因点O为△ABC的外心，则∠BOC、∠A分别是所对的圆心角、圆周角，所以∠O ＝2∠A，故∠A＝×140°＝70°．又因为I为△ABC的内心，所以∠I＝90°＋∠A ＝90°＋×70°＝125°．【答案】B．12、正多边形的外角等于它的中心角，所以＝60°，故n＝6．【答案】C．13、延长DO交⊙O于E，过点O作OF⊥AB于F，则CE＝8厘米．由相交弦定理，得DC·CE＝AC·CB，所以AC·2 AC＝2×8，故AC＝2（厘米），从而BC＝4厘米．由垂径定理，得AF＝FB＝（2＋4）＝3（厘米）．所以CF＝3－2＝（厘米）．在Rt△COF中，OF＝＝＝（厘米）．【答案】C．14、等边三角形的边长为6，则它的面积为×62＝9．又因为三角形的面积等于内切圆的半径及三角形的周长的积的一半，所以9＝r·18（r为内切圆半径）．解此方程，得r＝．【答案】C．15、由相交弦定理，得PA·PB＝PD·PC．∴ 4×3＝PD·6．∴PD＝2（厘米）．由切割线定理，得AE2＝ED·EC．∴（2）2＝ED·（ED＋2＋6）．解此方程得ED＝2或ED＝－10（舍去）．∴PE＝2＋2＝4（厘米）．【答案】A．16、设扇形的圆心角为n度，半径为R，则解方程组得【答案】B．17、设两圆半径分别为2 x、3 x厘米，则内切时有3 x－2 x＝4，所以x＝4．于是两圆半径分别为8厘米、12厘米．故外切时圆心距为20厘米．【答案】D．18、设圆锥的母线长为a，圆心角度数为n，底面圆的半径为r，则解此方程组，得n＝180．【答案】D．19、设OA＝a，则S1＝a2，弓形ACB的面积＝a2－a2．在Rt△AOB中，AB＝a，则以AB为直径的半圆面积为··（）2＝·（a）2＝a2．则S2＝a2－（a2－a2）＝a2．【答案】C．三、简答题20、连结OE、DE．∵AD⊥BD，且AB＝4，AD＝2，∴∠DBA＝30°，且BD＝6．∵BD为直径，∴∠DEB＝90°．∴DE＝BD·sin 30°＝6×＝3，BE＝6×＝3．∴S△DEB＝×3×3＝．∵O为BD的中点，∴S△BOE＝S△DEB＝．∵DO＝BD＝3，∠DOE＝2×30°＝60°，∴S阴影＝2（S△ADB－S扇形DOE－S△EOB）＝2（×2×6－·32－）．＝－3．【答案】．21、【略证】（1）∵CG为⊙O的切线，∴∠EBC＝∠GCE．∵CB＝CE，∴．∴∠EBC＝∠E．∴∠E＝∠GCE．∴GC∥EB．（2）∵∠EBC＝∠E＝∠A，∠FCB O为公共角，∴△CBF∽△CAB．∴CB2＝CF·CA＝CF·（CF＋AF）＝CF2＋CF·AF．由相交弦定理，得CF·FA＝BF·FE，∴CB2＝CF2＋BF·FE．即CB2－CF2＝BF·FE．22、把OM向两方延长，分别交⊙O于C、D两点．设⊙O的半径为R．从图中知，AB＝15 cm．又MB︰MA＝1︰4，∴MB＝×15＝3（cm），MA＝12 cm．从图中知，CM＝R＋8，MD＝R－8，由相交弦定理，得AM·BM＝CM·MD．∴ 12×3＝（R＋8）（R－8）．解此方程，得R＝10或R＝－10（舍去）．故工件的半径长为10 cm．23、【证明】（1）连结AB，作⊙O2的直径BH，连结AH．则∠ABH＋∠H＝90°，∠H＝∠ADB，∠EBA＝∠ECA．∵EC∥BD，∴∠ADB＝∠ACE＝∠EBA．∴∠EBA＋∠ABH＝90°．即∠EBH＝90°．∴BE是⊙O2的切线．（2）同理可知，BE仍是⊙O2的切线．24、（1）∵BD是⊙O的切线，BPC是⊙O的割线，∴BD2＝BP·BC．∵BD＝2 BP，∴ 4 BD2＝BP·BC．∴ 4 BP＝BC．∵BC＝BP＋PC，∴ 4 BP＝BP＋PC．∴PC＝3 BP．（2）连结DO．∵AB切⊙O于点D，AC切⊙O于点C，∴∠ODB＝∠ACB＝90°．∵∠B＝∠B，∴△ODB∽△ACB．∴＝＝＝．∴AC＝2 DO．∴PC＝2 DO．∴AC＝PC．25、（1）【略证】连结OD．∵OA是半圆的直径，∴∠ADO＝90°．∴AE切⊙O于点D．（2）【略解】∵AC、AD的长是关于x的方程x2－kx＋4＝0的两个根，且AC＝2，AC·AD＝2，∴AD＝4．∵AD是⊙O的切线，ACB为割线，∴AD2＝AC·AB．又AD＝2，AC＝2，∴AB＝10．则BC＝8，OB＝4．∵BE⊥AB，∴BE切⊙O于B．又AE切⊙O于点D，∴ED＝EB．在Rt△ABE中，设BE＝x，由勾股定理，得（x＋2）2＝x2＋102．解此方程，得x＝4．即BE的长为4．（3）连结BD，有∠CDB＝90°．∵AD切⊙O于D，∴∠ADC＝∠ABD，且tan ∠ADC＝tan ∠ABD＝．在△ADC和△ABD中，∠A＝∠A，∠ADC＝∠ABD，∴△ADC∽△ABD．∴＝＝＝．∴ tan ∠ADC＝．。