A-1.1-1.2 晶格-晶列和晶面-28

第一章 晶体的结构及其对称性
绪论
• 凝聚态物质：液体、固体以及介于其间的软物质（如液晶、凝胶等），
是原子、离子、分子的聚集体。 • 固体：在压强和温度一定，且无外力作用时，形状不变。根据组成粒子 在空间排列的有序度和对称性可分为晶体、准晶体和非晶体。 • 晶体：组成粒子在空间周期性排列，长程有序；无任意的平移和旋转对


2、元胞
对于一个点阵，通常定义三种元胞：初基元胞、单胞和维格纳-塞茨(WignerSeitz)元胞。 （1）初基元胞 • 最小空间体积元，只包含一个结点 • NΩ=1，N为单位体积结点数目， Ω为初基元胞的体积。
a1 a2 a3
• 初基元胞与基矢的选择有关，基矢非唯一，初基元胞也不唯一。
（2）体心立方(bcc)晶体结构
配位数：8
原子半径：
r
3
V
atom
4 3 a 3 4
3 a 4
V
bcc

a
3
Body centered cubic lattice
原子数：
8
堆积密度：
1 1 2 8
atom
f V
2
V

bcc
3 8
具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金 属W、Mo、Nb、Ta等。
a3
4
（3）维格纳-塞茨（W-S）元胞
• 既反映点阵平移对称性，又反映点阵宏观对称性的点阵结构单元。
• W-S元胞点阵的结点处于元胞的中心，一个W-S元胞只包含一个结点，它是 初基的。 • 适用：固体物理学的理论研究。
1.2晶列和晶面
• 在sc点阵中，
1
1 1 1 表示1 1 1, 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1
（3）密堆晶体结构
面心(fcc)立方晶体结构 （…ABCABC…堆积）
密排六方(hcp)晶体结构 （…ABABAB…堆积）
• 面心立方(fcc)晶体结构
配位数： 原子半径：
Face centered cubic lattice
原子数： 堆积密度： 具有此结构的金属原子：Cu、Ag、Au、Al、Ni等
4
V

fcc
2 6
具有此结构的金属原子：Cu、Ag、Au、Al、Ni等
• 六角密堆(hcp)晶体结构
配位数：12 原子半径： r
3
a
2
4 a 3 2 2 6 3 a 6 a 3 2 a V atom 3 hcp 4 3 2 原子数：12 1 2 1 3 6 6 2
l1cosa1 en l2cosa2 en l3cosa3 en d l1h1 l2h2 l3h3 1
1.2.7 1.2.7
m（l1h1' l2h2 ' l3h3 '） 1
• 面心立方(fcc)晶体结构
配位数：12 原子半径：
r
3
4 2 V fcc V atom 3 4 a 1 1 8 6 4 原子数： 8 2
2 a 4
a
3
Face centered cubic lattice
堆积密度： f
V
atom
称性，对称性破缺。
• 非晶体：组成粒子在空间的分布是完全无序或仅仅具有短程有序；高度 对称性，物理性质各向同性。
• 准晶体：介于晶体与非晶体之间，组成粒子分布完全有序，但不具有周
期性，仅仅具有长程取向序；可具有晶体不允许的旋转对称性。
1.1 晶格及其平移对称性
一、晶体结构及基元 1.晶体结构
• 晶格(Lattice)：晶体中原子的规则排列
初基元胞的体积为 体心立方点阵
a1 a2 a3 A a 3
a
a1
a2 a3


i j k a i j k 2
2
a
i 2

j k


1 1 1 a A 1 1 1 2 1 1 1
a1 a2 a3 A
a3
2
a a1 j k

a a2 k i
2
2
a3
a i j 2
0 1 1 a A 1 0 1 2 1 1 0
a1 a2 a3 A
1 1
1
1
1
1
Na : 2 2 2 , 0 0 2 , 0 2 0 , 2 0 0
1
1
1
1
1
1

3、基元
• 在理想情况下，晶体是由全同最小原子团在空间无限重复排列而构成， 这样的原子团称为基元，而这些点的集合称为晶格。 • 基元可以是一个原子（简单晶格），也可以是一个原子群（复式晶 格）。原子群的原子可以相同，也可以不同。
• 对于每一种点阵，通常约定一种公认的基矢和元胞的选择方式。
简单立方点阵
a1 ai


a2 aj



a3 ak



a为立方胞边长， i ,j ,k 为直角坐标系中的单位矢量
i a1 1 0 0 i a2 a 0 1 0 j A j a 0 0 1 k 3 k 1 0 0 A a 0 1 0 0 0 1
1 1 1 ， ， r s t

X
r
wenku.baidu.com

h1
，s

h2
，t

h3
r1
h
1
h 2 h3
1 1 1 ，s1 ，t1 h1 h2 h3
X en d


1 cos a1 en d h1 1 cos a e 2 n d h 2 1 cos a 3 en d h3
二、结点和点阵 • 忽略内部分布，用一个几何点代表一个基元，称为结点。
• 晶格被抽象成这些结点的几何结构，称为点阵。点阵完全反映了晶格
的平移对称性。 • 基元按点阵排布得到晶体结构： <点阵>+<基元>=<晶体结构>
r

r R
i

Rl

Rl
r


Rl

r Rl r
V
堆积密度： f
V
atom
6
V

hcp
2 6
Hexagonal close-packed lattice
具有此类结构的原子：Be、Mg、Zn、Cd、Ti等 请列出推导过程
（4）金刚石结构 配位数：4 作业：请求出金刚石结构的堆积密度
上述几种属于同一种原子组成的晶体，即元素晶体。
Cl : 0 0 0, 2 2 0 , 2 0 2 , 0 2 2
X en d
rcosa1 en d scosa2 en d tcosa3 en d
1 1 1 cosa1 en ：cosa 2 en ：cosa3 en ： ： r s t
3
V
原子数：
sc

a
3
Simple cubic lattice
8
1 1 8
atom sc
堆积密度：
f V
V


6
（2）体心立方(bcc)晶体结构
配位数：
原子半径：
Body centered cubic lattice
原子数：
堆积密度：
具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金 属W、Mo、Nb、Ta等。
• 晶体结构(Crystal Structure)：晶体中原子的具体排列形式
关于常见晶体结构的一些定义：
• 配位数：每个原子周围的最近邻原子数
• 堆积密度：原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比
（1）简单立方(sc)晶体结构
配位数：6
原子半径： r 2
a
V
atom
4 a 3 2





1 1,1 1

1,1 1 1,


二、晶面及有理指数定律
• 点阵的结点也可以看成分布在一系列平行且等间距的平面上，这些平面
称为一族晶面（包括所有结点）。同一点阵有无限多方向不同的晶面族。
• 如何建立一个平面的方位：
该平面的法线的方向余 弦 的截距 该平面在三个坐标轴上