八年级四边形难题综合
人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题提高题学能测试试题
人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题提高题学能测试试题一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若50BCD ∠=︒，则OED ∠的度数是（ ）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°2．如图，四边形,ABCD AD 与BC 不平行，AB CD =．,AC BD 为四边形ABCD 的对角线，,,E F ,G H 分别是,,,BD BC AC AD 的中点下列结论：①EG FH ⊥；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分;EHG ∠④()1 2EG BC AD =-；⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连结矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去．已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（ ）A ．14B ．116C ．132D ．164 4．如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BD 、CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①AG ⊥BE ；②5:2；③S △BHE =S △CHD ；④∠AHB=∠EHD ．其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的点B '处，折痕为AE ．延长B E '交AB 的延长线于点M ，折痕AE 上有点P ，下列结论中：①M DAB '∠∠＝；②PB PB '＝；③AE ＝552；④MB CD '＝；⑤若B P CD '⊥，则EB B P ''＝．正确的有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交边AD 于点；②再分别以B ，F 为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD 内部的点G 处；③连接AG 并延长交BC 于点E ，连接BF ，若BF ＝3，AB ＝2.5，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．57．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝185．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=1，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC=∠B ；③△ADO ≌△ACH ；④=3ABCD S 菱形；其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN , EF 分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，若MN ∥AB ∥DC ，EF ∥DA ∥CB ，则有（ ）A ．S 1= S 4B ．S 1 + S 4 = S 2 + S 3C ．S 1 + S 3 = S 2 + S 4D ．S 1·S 4 = S 2·S 310．如图，正方形ABCD 中，延长CB 至E 使2CB EB =，以EB 为边作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点,N K ．则下列说法：①ANH GNF △≌△；②DAM NFG ∠=∠；③2FN NK =；④:2:7AFN DMKH S S =△四边形．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．12．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．13．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．14．已知在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC ==点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，且,AP PQ ⊥当AP PQ =时，AP =________________．15．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．16．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．17．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．18．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC=，EC m BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．19．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积22．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．23．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．24．如图．正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动，运动时间为t秒（t＞0），以AE为一条边，在正方形ABCD左侧作正方形AEFG，连接BF．（1）当t＝1时，求BF的长度；（2）在点E运动的过程中，求D、F两点之间距离的最小值；（3）连接AF、DF，当△ADF是等腰三角形时，求t的值．25．如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x．（1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______；（2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°．①求证：点M是CD的中点；②求x的值．（3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．26．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ：①M 点的坐标为 ．②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）．27．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．28．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。
八年级数学(下册)四边形综合测试题和答案
八年级数学〔下册〕四边形综合测试题和答案八年级数学下册四边形综合测试题〔一〕(时间45分钟.共100分)姓名：___________ 班级：_____________ 得分：_______________一、选择题〔每题5分.共30分〕°° C、1620° D、1800° 2、能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是〔〕．〔A〕AB∥CD.AD=BC; 〔B〕∠A=∠B.∠C=∠D; 〔C〕AB=CD.AD=BC; 〔D〕AB=AD.CB=CD 3、以下图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ).(A) (B) (C) (D)4、菱形ABCD的对角线长分别为6cm和8cm.那么菱形的面积为〔〕 A.12.B.24C.36D.48 5．以下说法不正确的选项是〔〕⊥AB.E为垂足．如果∠∠BCE?〔〕Ａ．55Ｂ．35Ｃ．25Ｄ．30二、填空题〔每题5分.共30分〕BD相交于点O.过点O的直线分别交AD和BC于点E、F.AB?2，BC?3.那么图中阴影局部的面积为．□ABCD与□EBCF关于BC所在直线对称.∠ABE＝90°.那么∠F ＝°. .10、如图4.把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后.点C，D分别落在C?，D?的位置上.EC?交AD于点G．那么△EFG形状为∥BC，?B?45?，?C?90?，AD?1，BC?411、如图那么AB=∠⊥AC交AC于点F.假设BE=2.那么CF长为三、解答题〔每题10分.共40分〕13、〔10分〕：如图7.E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点.AE=CF。
求证：∠CDF＝∠ABE14、〔10分〕如图8.把正方形ABCD绕着点A.按顺时针方向旋转得到正方形AEFG.边FG与BC交于点H．求证：HC=HF.. .△⊥△AB外角∠⊥AN.垂足为点E.猜测四边形ADCE的形状.并给予证明.′E．求证：四边形CDC′E是菱形．“拓展创新〞时间30分钟.共50分.一、选择及填空题〔每题5分.共10分〕 1、如图11.在菱形ABCD中.∠BAD ＝80°∠CDE＝_________度. .AECF是等腰梯形．以下结论中不一定正确．．．的是〔〕．〔A〕AE=FC 〔B〕AD=BC 〔C〕∠AEB=∠CFD 〔D〕BE=AF 二、填空题〔每题5分.共10分〕 3、如图13.：平行四边形ABCD中.?BCD的平分线CE交边AD于EG=_______ cm .4、将矩形纸片ABCD按如图14所示的方式折叠.得到菱形AECF．假设AB＝9.那么AC的长为 _________三、解答题〔每题15分.共30分〕“任画一个△△△ABC与它的中心对称图形拼成了一个什么形状的特殊四边形？并说明理由.〞于是大家讨论开了.小亮说：“拼成的是平行四边形〞；小华说：“拼成的是矩形〞；小强说：“拼成的是菱形〞；小红说：“拼成的是正方形〞；其他同学也说出了自己的看法……你赞同他们中的谁的观点？为什么？假设都不赞同.请说出你的观点〔画出图形〕.并说明理由. .⊥AD交BC于F,通过一番研究之后得出两条重要结论：〔1〕S?APB?S?CPD?S?APD?S?BPC.〔2)PA2?PC2?PB2?PD2； 1〕请你写出小东探究的过程.2〕当P在矩形外时.如图15-2.上述两个结论是否仍成立？假设成立.请说明理由；假设不成立.请写出你猜测的结论〔不必证明〕. .。
苏教版八年级下册 第9章：中心对称图形～平行四边形重难点题型训练 【含答案】
苏教版八年级下册第9章：中心对称图形——平行四边形重难点题型训练1．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）如图2，延长BC和DE相交于点G，不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．（除四边形ABCD和四边形OCED外）2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且2DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接DE、OE．（1）求证：AF＝EF；（2）已知AB＝2，若AB＝2DE，求AE的长．3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BC到点E，使BE＝CD，连接AE交CD 于点F．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．4．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．（1）求证：CD＝EF；（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF 的周长．5．（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．6．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝，求▱ABCD的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．8．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形．（1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、平行四边形时，相应的四边形EFGH一定是“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：四边形ABCD菱形矩形平行四边形四边形EFGH （2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？当 时，四边形EFGH是矩形；当 时四边形EFGH是菱形．9．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是点M、N（1）求证：AE＝MN；（2）若AE＝2，∠DAE＝30°，求正方形的边长．10．如图，△ABC≌△DBC，AD平分∠BAC，AD交BC于点O．（1）如图1，求证：四边形ABDC是菱形；（2）如图2，点E为BD边的中点，连接AE交BC于点F，若∠AFO＝∠ADC，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图2中所有长度是线段EF长度的偶数倍的线段．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．12．已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O．（1）若BF⊥AE，①求证：BF＝AE；②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；（2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长．13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若MD＝6，BC＝12，求BF的长度．（结果可保留根号）14．在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE＝EF＝FB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AE⊥BD，AF＝2，AB＝4，求BF的长度．15．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：△AEF≌△DEC；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD＝90°，OC＝AC，∵DE＝AC，∴OC＝DE，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∴四边形OCED是矩形，∴OE＝CD；（2）图中所有的平行四边形有：四边形AOED，四边形ACGD，四边形OBCE．由AO DE可得四边形AOED是平行四边形；由AC∥DG，AD∥CG可得四边形ACGD是平行四边形；由OE∥BC，OB∥CE可得四边形OBCE是平行四边形．2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，∵2DE＝AC，∴DE＝OA，又∵DE∥AC，∴四边形OADE是平行四边形，∴AF＝EF；（2）解：连接CE，∵DE∥OC，DE＝OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∴∠OCE＝90°，又∵AB＝2DE＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，AO＝AC＝1，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝，∴在Rt△ACE中，AE＝＝．3．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BE，∴∠DAE＝∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠E，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（2）解：由BE＝AB，∠BEA＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴AB＝AE＝4，又∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2，∴BF＝＝2，∵∠DAE＝∠E，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝×4×2＝4．4．（1）证明：∵DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EF＝BD，∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD，∴CD＝EF；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠FBE＝∠DBE，又∵四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，BF＝ED，EF∥BD，∴∠FEB＝∠DBE，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴BD＝EF＝BF＝ED，又∵BD＝CD＝6，∴BD＝EF＝BF＝ED＝6，∴四边形BDEF的周长＝6×4＝24．5．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如图①：延长BA，使AM＝CF，连接MD，在△AMD和△CFD中，，∴△AMD≌△CFD（SAS），∴∠MDA＝∠CDF，MD＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，∴∠ADM+∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠EDF，在△EDF和△EDM中，，∴△EDF≌△EDM（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝AM+AE＝AE+CF，∴EF＝AE+CF；（2）EF2＝AE2+CF2，理由如下：如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，∴∠CAN＝∠CAD+∠DAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EDF＝45°，∴∠CDF+∠ADE＝45°，∴∠ADE+∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF，在△EDF和△EDN中，，∴△EDF≌△EDN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，∴GF＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝（BE+EC）•GF＝（5+）×＝36．7．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAO＝∠AOC＝90°，∵E（0，2），H（﹣2，6），∴AH＝OE＝2，∵四边形EFGH是菱形，∴EH＝EF，在Rt△AHE和Rt△OEF中，，∴Rt△AHE≌Rt△OEF，∴∠AEH＝∠EFO，∵∠EFO+∠FEO＝90°，∴∠AEH+∠FEO＝90°，∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．（2）连接EG交FH于K．∵HE＝EF，∴AH2+AE2＝EO2+OF2，∴AH2+16＝4+25，∴AH＝，∴H（﹣，6），∵KH＝KF，∴K（﹣，3），∵GK＝KE，∴G（﹣5﹣，4）．8．解：（1）四边形ABCD是菱形时，平行四边形EFGH是矩形，四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是菱形，四边形ABCD是平行四边形时，四边形EFGH是平行四边形；故答案为：矩形；菱形；平行四边形；（2）当平行四边形是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线互相垂直，当平行四边形是菱形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线相等．故答案为：对角线互相垂直（AC⊥BD）；对角线相等（A C＝BD）．9．（1）证明：连接EC．∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠NCM＝∠CME＝∠CNE＝90°，∴四边形EMCN为矩形．∴MN＝CE．又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠CBE．在△ABE和△CBE中∵，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴AE＝EC．∴AE＝MN．（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，∵AE＝2，∠DAE＝30°，∴EF＝AE＝1，AF＝AE•cos30°＝2×＝．∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EDF＝45°，∴DF＝EF＝1，∴AD＝AF+DF＝+1，即正方形的边长为+1．10．（1）证明：∵△ABC≌△DBC，∴AB＝BD，AC＝CD，∴∠BAD＝∠BDA，∠CAD＝∠CDA，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∠ADC＝∠ADC，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：∵∠AFO＝∠ADC＝∠ADB，又∵∠AFO+∠EFO＝180°，∴∠EFO+∠EDO＝180°，∴∠FED+∠FOD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD⊥BC，∴∠FEO＝∠FOD＝90°，∵BE＝ED，∴AB＝AD，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠EBF＝∠ABD＝30°，在Rt△BEF中，BF＝2EF，∵∠FBA＝∠FAB＝30°，∴FA＝FB，在Rt△AFC中，CF＝2AF＝4EF，综上所述，长度是线段EF长度的偶数倍的线段有BF，AF，CF．11．解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠C＝45°＝∠B，∴AB＝AC，∴BM＝CM，∴AM＝BC＝5，∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°，∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，∴5﹣t＝2t﹣2，解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；（2）存在，t＝4或12；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10解得：t＝4或12∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．12．解：（1）①如图1①，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BF＝AE；②OD＝AB．证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②，∵△ABE≌△BCF，∴BE＝CF．∵E为BC的中点，∴CF＝BE＝BC＝DC，∴CF＝DF．∵DG∥BC，∴∠DGF＝∠CBF．在△DGF和△CBF中，，∴△DGF≌△CBF，∴DG＝BC，∴DG＝AD．∵BF⊥AE，∴OD＝AG＝AD＝AB；（2）①若点F在CD上，如图2①，在Rt△ABE和Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠AOB＝90°．∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝2．∵S△ABE＝AB•BE＝AE•BO，∴BO＝＝＝．②若点F在AD上，如图2②，在Rt△ABE和Rt△BAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），∴∠BAE＝∠ABF，∴OB＝OA．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠AEB＝∠EBF，∴OB＝OE，∴OA＝OB＝OE．∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝2，∴OB＝AE＝．综上所述：BO的长为或．13．（1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝∠ADC，∴∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠M，∵E为AD的中点，∴AE＝DE．在△ABE和△DME中，∴△ABE≌△DME（AAS），∴AB＝DM＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝DM＝6，∠C＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝CD＝3，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝＝3．14．（1）证明：连接AC，交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OB＝OD，∵DE＝FB，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵DE＝EF＝BF，AE⊥BD，∴AD＝AF＝2，∴BD＝＝＝2，∴BF＝BD＝．15．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（AAS）；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形；∵△AEF≌△DEC，∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AFBD是矩形．。
人教版八年级下册数学 第18章 平行四边形 综合题经典必练
人教版八年级下册数学第18章平行四边形综合题经典必练1．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N．（1）求证：OM＝ON；（2）求证：四边形BNDM是菱形．2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在AB，AD上，且BE＝AF．（1）求证：△ECF为等边三角形；（2）连接AC，若AC将四边形AECF的面积分为1：2两部分，当AB＝6时，求△BEC的面积．3．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝23，点D在AC上，若BD＝CD＝10，AE平分∠BAC．（1）求AE的长；（2）若F是BC中点，求线段EF的长．4．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．（1）求证：四边形AMON是平行四边形；（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、CD的中点．（1）证明：四边形DEBF是平行四边形；（2）要使四边形DEBF是菱形，BD和AD需满足什么位置关系？请说明理由．6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A 运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）（1）当t＝3时，BP＝；（2）当t＝时，点P运动到∠B的角平分线上；（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．7．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形EGCF是矩形．8．如图所示，平行四边形ABCD，对角线BD平分∠ABC；（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）已知AE⊥BC于E，若CE＝2BE＝4，求BD．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、DB、BF．（1）求证：∠DEB＝∠BFD；（2）若∠ADB＝90°，证明：四边形BFDE是菱形．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．11．如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F．（1）判断DP与EF的关系，并证明；（2）若正方形ABCD的边长为6，∠ADP：∠PDC＝1：3．求PE的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．13．如图1，点E为正方形ABCD的边CD上一点，DF⊥AE于点F，交AC于点M，交BC于点G，在CD上取一点G′，使CG′＝CG，连接MG′．（1）求证：∠AED＝∠CG′M；（2）如图2，连接BD交AE于点N，交AC于点O，连接MN，MG′交AE于点H．①试判断MN与CD的位置关系，并说明理由；②若AB＝12，DG′＝G′E，求AH的长．14．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，BF与CE相交于点H．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）①若四边形EHFG是菱形，则平行四边形ABCD必须满足条件；②若四边形EHFG是矩形，则平行四边形ABCD必须满足条件．。
专题15 四边形的综合 题型全覆盖(16题)-2020-2021学年八年级数学下(人教版)(原卷版)
专题15 四边形的综合 题型全覆盖（16题）【思维导图】【考查题型】考查题型一 中点四边形1．（2020·天津河西区·八年级期中）如图，已知四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别为,,,AB BC CD DA 上的点(不与端点重合)．（1）若,,,E F G H 分别为,,,AB BC CD DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，根据题意填空：若四边形ABCD 的对角线AC 和BD 满足 时，四边形EFGH 是矩形；若四边形ABCD 的对角线AC 和BD 满足 时，四边形EFGH 是菱形；若四边形ABCD 的对角线AC 和BD 满足 时，四边形EFGH 是正方形．（3）判断对错：①若已知的四边形ABCD 是任意矩形，则存在无数个四边形EFGH 是菱形；（ ）②若已知的四边形ABCD 是任意矩形，则至少存在一个四边形EFGH 是正方形．（ ）2．（2020·山东济宁市·八年级期中）综合与实践问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．试说明中点四边形EFGH 是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：反思交流：（1）①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？依据1：；依据2：；②连接AC，若AC＝BD时，则中点四边形EFGH的形状为；创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：（2）如图（2），点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并说明理由；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其它条件不变，则中点四边形EFGH的形状为．3．（2020·静宁县八年级期中）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是，证明你的结论．（2）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．4．（2020·广东深圳市八年级期中）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）考查题型二 特殊四边形的动点问题5．（2020·菏泽市期末）如图，在长方形ABCD 中，6AB cm =，AD 2cm =，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以2厘米/秒的速度向终点B 移动，点Q 以1厘米/秒的速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时间为t ，问：(1)当1t =秒时，四边形BCQP 面积是多少？(2)当t 为何值时，点P 和点Q 距离是3cm ？(3)当t =_________时，以点P 、Q 、D 为顶点的三角形是等腰三角形.(直接写出答案)6．（2020·四川成都市七年级期中）如图1，在长方形ABCD 中，12AB cm =，BC 10cm =，点P 从A 出发，沿A B C D →→→的路线运动，到D 停止；点Q 从D 点出发，沿D C B A →→→路线运动，到A 点停止．若P 、Q 两点同时出发，速度分别为每秒1cm 、2cm ，a 秒时P 、Q 两点同时改变速度，分别变为每秒2cm 、54cm (P 、Q 两点速度改变后一直保持此速度，直到停止)，如图2是APD ∆的面积2()s cm 和运动时间x (秒)的图象．(1)求出a 值；(2)设点P 已行的路程为1()y cm ，点Q 还剩的路程为2()y cm ，请分别求出改变速度后，12,y y 和运动时间x (秒)的关系式；(3)求P 、Q 两点都在BC 边上，x 为何值时P ，Q 两点相距3cm ？7．（2020·耒阳市八年级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BE＝5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为ts．（1）a＝cm，b＝cm；（2）t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．8．（2020·石阡县期末）如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s 的速度向点A匀速运动．同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE＝DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由．考查题型三四边形中线段最值∆沿CD所在直线折叠，9．（2020·南宁市八年级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将COD∆．得到CED（1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）若2AB =，当四边形OCED 是正方形时，OC 等于多少？（3）若3BD =，30ACD ∠=︒，P 是CD 边上的动点，Q 是CE 边上的动点，那么PE PQ +的最小值是多少？ 10．（2020·北京市八年级期中）如图，长方形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝10，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠后点D 恰好落在BC 边上的点F 处（1）求CE 的长；（2）在（1）的条件下，BC 边上是否存在一点P ，使得PA +PE 值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．11．（2020·福建龙岩市·八年级期中）如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，Q 为BC 边的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，连接PB ，PQ ，求△PBQ 周长的最小值．12．（2020·河南周口市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点E 是斜边AB 上的一个动点，连接CE ，过点B ，C 分别作BD ∥CE ，CD ∥BE ，BD 与CD 相交于点D ．（1）当CE ⊥AB 时，求证：四边形BECD 是矩形；（2）填空：①当BE 的长为______时，四边形BECD 是菱形；②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为______．考查题型四四边形其他综合问题13．（2020·黄石市八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．14．（2020·四川广安市九年级期末）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．15．（2020·山东临沂市·八年级期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．16．（2020·山东德州市·八年级期末）以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1)，EB和FD的数量关系是；(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2)，EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．。
八年级下册数学平行四边形难题
八年级下册数学平行四边形难题平行四边形是几何学中一个非常重要的图形，它有许多重要的性质和应用。
在初二下学期的平行四边形单元中，学生们将学习如何证明平行四边形的性质和判定，以及解决一些相关的几何问题。
为了更好地帮助学生掌握这个单元的知识点，下面列举了一些常见的易错题和难题。
一、易错题1、已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC=4，BD=2，则AB的取值范围是？这道题是一道易错题，很多学生会认为AB的取值范围是2<AB<4。
然而，这个答案是错误的。
因为在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD互相平分，即AO=CO=2，BO=DO=1，根据三角形的三边关系，可以得到AB的取值范围是1<AB<5。
2、已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AC垂直于AB，BD垂直于CD，AC=4，BD=3。
求平行四边形ABCD的面积。
3、这道题是一道易错题，很多学生会认为平行四边形ABCD的面积是12。
然而，这个答案是错误的。
因为在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD互相平分，即AO=CO=2，BO=DO= 5，根据勾股定理可以得到AB= 5。
根据三角形的面积公式可以得到平行四边形ABCD的面积是25。
二、难题1、已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AC垂直于AB，BD垂直于CD，AC=4，BD=3。
求平行四边形ABCD的周长。
这道题是一道难题，需要学生灵活运用平行四边形的性质和判定来解决。
在解决这道题时，需要先根据已知条件求出AB的长度，再利用平行四边形的对边相等的性质求出平行四边形ABCD的周长。
由于这道题涉及到的知识点较多，很多学生难以全面掌握并灵活运用。
2、已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD。
求证：平行四边形ABCD是矩形。
这道题是一道难题，需要学生通过证明两条对角线互相平分来证明平行四边形是矩形。
专题中点四边形综合问题重难点培优八年级数学下册尖子生同步培优题典原卷版浙教版
八年级数学下册尖子生同步培优题典【浙教版】专题5.9中点四边形综合问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•兴宁市期末）若正方形ABCD各边的中点依次为E、F、G、H，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2021秋•成华区期末）顺次连接菱形四边中点形成的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判定3．（2021春•霍林郭勒市校级月考）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．平行四边形D．正方形4．（2021秋•和平区期末）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．三角形5．（2019秋•龙岗区期末）如图，四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接四边形各边中点得到的图形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．以上都不对6．（2021春•宣城期末）下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．17．（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形C．若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形D．若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形8．（2021春•武昌区校级期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（）A．当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形B．当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形C．当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形D．以上说法都不对9．（2018•临沂）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（2021春•遵化市期末）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上、11．（2021春•宜兴市月考）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形．12．（2021秋•南海区月考）顺次连接矩形ABCD各边中点得到四边形EFGH，它的形状是．13．（2021春•泰兴市月考）四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，则顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形为形．14．（2021秋•南海区月考）已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EHFG是．15．（2020春•孝义市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，依次连接AO，BO，CO，DO的中点E，F，G，H，得到四边形EFGH，点M是EF的中点，连接OM，若AB＝10，则OM的长为．16．（2021秋•榆阳区校级月考）点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足条件时，四边形EFGH是正方形．17．（2021•西城区校级开学）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④中点四边形MNPQ不可能是正方形；所有结论正确的序号是．18．（2021春•昆明期末）如图，某小区要在一块矩形ABCD的空地上建造一个如图所示的四边形花园EFGH，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，若AB＝10m，AD＝20m，则四边形EFGH的面积为m²．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•海陵区校级期中）如图，O为∠BAC内一点，E、F、G、H分别为AB，AC，OC，OB的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）当AB＝AC，AO平分∠BAC时，求证：四边形EFGH为矩形．20．（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）①当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是菱形；②当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是矩形．21．（2021春•滦州市期末）已知：如图，四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、BC、BD和AC的中点．（1）求证：四边形MPNQ是平行四边形．（2）若满足AB＝CD．试判断MN与PQ的位置关系（不用说明理由）．22．（2021春•集贤县期末）在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N．（1）如图1，试判断四边形PQMN怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2），判断此时四边形PQMN的形状，并证明你的结论．23．（2021春•盐城期末）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、EH．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）再加上条件后，能使得四边形EFGH是矩形．请从①四边形ABCD是菱形，②四边形ABCD 是矩形．这两个条件中选择1个条件填空（写序号），重新画图并写出证明过程．24．（2021春•泗阳县期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当AB＝CD，四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论．。
八年级下册数学平行四边形难题
八年级下册数学平行四边形难题平行四边形是在数学中常见的几何形状之一，它具有特殊的性质和规律。
在本文中，我们将介绍一些关于平行四边形的难题，帮助大家更好地理解和运用这个概念。
1. 平行四边形的基本性质平行四边形指的是具有两对平行边的四边形。
首先，我们来看一道简单的题目：题目：在平行四边形ABCD中，若AB = 5cm，BC = 8cm，且∠BAD = 60°，求DC的长度。
解析：根据平行四边形的性质，我们知道对边是相等的，即AD = BC = 8cm。
同时，根据三角形的角度和为180°的性质，我们可以计算出∠ADB = 180° - 60° - 90° = 30°，再利用正弦定理可以求得DC的长度。
2. 平行四边形的面积计算平行四边形的面积计算方法与矩形相同，即面积等于底边乘以高。
下面是一个稍微复杂些的问题：题目：在平行四边形ABCD中，AB = 6cm，AD = 8cm，且∠ADC = 120°，求平行四边形ABCD的面积。
解析：我们可将平行四边形分成两个三角形和一个梯形。
首先，利用正弦定理可以计算出∠DAB = 180° - 120° = 60°。
然后，我们可以通过计算三角形的面积来求得梯形ABCD的面积。
这里使用的公式是：面积 = 底边乘以高除以2。
通过计算两个三角形的面积之和，再减去梯形内部的三角形的面积，即可得到平行四边形ABCD的面积。
3. 平行四边形的角度性质平行四边形的角度和为360°，其中对角线之间交叉的角是互补角。
我们来看一个与角度性质相关的问题：题目：在平行四边形ABCD中，已知∠A = 100°，求∠BCD 的度数。
解析：根据平行四边形的角度性质，我们可以得出∠ABC = 180° - ∠A = 80°。
由平行四边形的性质可知∠BCD = 180° - ∠ABC = 100°。
八年级四边形动点问题及难题
动点问题及四边形难题1如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；2.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；3.如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？4. 如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F.（1）求证：CD ∥AB ；（2）求证：△BDE ≌△ACE ；（3）若O 为AB 中点，求证：OF ＝12BE.5、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足A E ＋CF=a ，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形．6、如图1－4－38，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，∠ DBC ＝45○,翻折梯形使点B 重合于点 D ，折痕分别交边 AB 、BC 于点F 、E ，若AD=2，BC=8，求BE 的长．7、在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． (1)求证：CF AB ；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时， 四边形ABFC 是矩形，并说明理由．8、如图l －4－80，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于F ，则OE=OF ． （1）请证明0E=OF（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，AG 交 EB 的延长线于 G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则仍有OE=OF ．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．9已知：如图4-26所示，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，P 为BC 的延长线上一点，PE ⊥直线AB 于点E ，PF ⊥直线AC 于点F ．求证：DE ⊥DF 并且相等．FEDCBA10已知：如图4-27，ABCD为矩形，CE⊥BD于点E，∠BAD的平分线与直线CE相交于点F．求证：CA=CF．11已知：如图4-56A．，直线l通过正方形ABCD的顶点D平行于对角线AC，E为l上一点，EC=AC，并且EC与边AD相交于点F．求证：AE=AF．本例中，点E与A位于BD同侧．如图4-56B．，点E与A位于BD异侧，直线EC与DA 的延长线交于点F，这时仍有AE=AF．请自己证明．12求证：矩形各内角平分线(对角的平分线不在一直线上)所围成的四边形EFGH是正方形．。
2019-2021北京初二(下)期中数学汇编：四边形章节综合3
2019-2021北京初二（下）期中数学汇编四边形章节综合3一、解答题1．（2021·北京市文汇中学八年级期中）如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF．2．（2019·北京五十五中八年级期中）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．（1）若∠DBC=25°，求∠ADC′的度数；（2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面积．3．（2019·北京市第三十一中学八年级期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF4．（2019·北京五十五中八年级期中）已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．5．（2020·北京铁路二中八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的三等分点．求证：四边形AFCE是平行四边形．6．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）已知，如图，E、F分别为□ABCD的边BC、AD上的点，且∠1=∠2，求证：AE=CF．7．（2021·北京广渠门中学教育集团八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长．8．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF 与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．9．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB 于点H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.10．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB 的延长线于点F．求证：AB=BF．11．（2019·北京·海淀教师进修学校附属实验学校八年级期中）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．12．（2019·北京市第四十一中学八年级期中）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF//BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．（1）求证：DE=BF；（2）求证：四边形MFNE是平行四边形．13．（2019·北京市第三十一中学八年级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将长方形ABCD沿CE 折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处．(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积．14．（2019·北京市第一六一中学八年级期中）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．15．（2019·北京市第四十一中学八年级期中）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE=BF，求证：AF⊥DE．16．（2020·北京市文汇中学八年级期中）阅读下列材料∶问题：如图1，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，∠EAB=60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G．使得∠EGB=∠EAB，连接AG．求证∶EG=AG+BG．小明同学的思路是：作∠GAH=∠EAB交CE于点H，构造全等三角形，经过推理解决问题．参考小明同学的思路，探究并解决下列问题∶(1)完成上面问题中的证明；(2)如果将原问题中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变(如图2)，请探究线段EC、AG、BG 之间的数量关系，并证明你的结论．解∶线段EG、AG、BG之间的数量关系为___________________________________________________．并证明．17．（2020·北京·北外附中八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，DB=DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．（1）求证：AE=EF；（2）当AF=AE时，设∠ADB=α，∠CDB=β，求α，β之间的数量关系式．18．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF．猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明．19．（2020·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC 的延长线交于点F，连接DF，求证：四边形ACFD为平行四边形20．（2020·北京市文汇中学八年级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF=CD；23（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA=60°，BE=，求平行四边形ABCD的周长．21．（2020·北京市顺义区第五中学八年级期中）已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．22．（2020·北京·北外附中八年级期中）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE求证：四边形BECD是矩形．23．（2021·北京·北大附中八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的角平分线．求证：四边形DEBF是平行四边形．24．（2021·北京师范大学昌平附属学校八年级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．25．（2021·北京广渠门中学教育集团八年级期中）如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．⑴请用三种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上（要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；并要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹）；⑵三种方法所拼得的平行四边形的面积和周长是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积和周长各是多少．26．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．(1)求证：四边形DBEC是菱形；(2)若AD＝3，DF＝1，求四边形DBEC面积．27．（2019·北京十五中八年级期中）把一个含45°角的直角三角板BEF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B 重合，联结DF ，点M ，N 分别为DF ，EF 的中点，联结MA ，MN ．（1）如图1，点E ，F 分别在正方形的边CB ，AB 上，请判断MA ，MN 的数量关系和位置关系，直接写出结论； （2）如图2，点E ，F 分别在正方形的边CB ，AB 的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．28．（2019·北京四中八年级期中）在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F（1）在图1中证明CE =CF ；（2）若∠ABC =90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；（3）若∠ABC =120°，FG CE ，FG =CE ，分别连接DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．∥29．（2020·北京铁路二中八年级期中）对于正数，用符号表示的整数部分，例如：，，x [x]x [0.1]=0[2.5]=2．点在第一象限内，以A 为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直. 其中垂直于轴[3]=3A(a,b)y 的边长为，垂直于轴的边长为，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点A 的矩形域．例如：点的矩形域a x [b]+1(3,32)是一个以为对角线交点，长为3，宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6． (3,32)图1图2根据上面的定义，回答下列问题： （1）在图2所示的坐标系中画出点的矩形域，该矩形域的面积是 ；(2,72)（2）点的矩形域重叠部分面积为1，求的值；P(2，72)，Q(a ，72)(a >0)a （3）已知点在直线上， 且点B 的矩形域的面积满足，那么的取值范围B(m, n)(m >0)y =x +1S 4<S <5m 是 ．（直接写出结果）30．（2021·北京育才学校八年级期中）如图，在正方形ABCD 中，点M 在CD 边上，点N 在正方形ABCD 外部，且满足∠CMN ＝90°，CM ＝MN ．连接AN ，CN ，取AN 的中点E ，连接BE ，AC ，交于F 点．（1）①依题意补全图形；②求证：BE ⊥AC ．（2）请探究线段BE ，AD ，CN 所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设AB ＝1，若点M 沿着线段CD 从点C 运动到点D ，则在该运动过程中，线段EN 所扫过的面积为______________（直接写出答案）．参考答案1．详见解析【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出DE=BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE=DF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形DEBF是平行四边形是解决问题的关键．2．(1) 40° （2）10【分析】（1）求出∠ADB，求出∠BDC，根据折叠求出∠C′DB，代入∠ADC′=∠BDC′-∠ADB即可；（2）先证BE=DE，然后设DE=x，则BE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°，∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC=25°，∴∠BDC=90°-25°=65°，∵沿BD折叠C和C′重合，∴∠C′DB=∠CDB=65°，∴∠ADC′=∠BDC′-∠BDA=65°-25°=40°；（2）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，设DE=x，则BE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8-x）2=x2，解得：x =5，所以S △BDE =DE ×AB =×5×4=10．12123．详见解析【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE ≌△CDF ，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF ．【详解】证：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∠B=∠D ，又∵BE=DF ，∴△ABE ≌△CDF ，∴AE=CF. （其他证法也可）4．证明见解析【分析】根据矩形的对边相等可得AB =CD ，四个角都是直角可得∠A =∠C =90°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△CDF 全等，【详解】证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴，．AB =CD ∠A =∠C =90°∵在和中， △ABE △CDF ， {AE =CF ∠A =∠C AB =CD∴，△ABE≌△CDF ∴．BE =DF 【点睛】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，掌握矩形的对边相等的性质、四个角都是直角是解题的关键． 5．证明见解析．【分析】根据题意与平行四边形的性质得∠ADB =∠DBC ，DA =BC ，DE =BF ，则△ADE ≌△CBF ，所以AE =CF ，同理可证得AF =CE ，故可得四边形AFCE 是平行四边形．【详解】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADB =∠DBC ，DA =BC ，∵E ，F 为BD 的三等分点，∴DE =BF ，在△ADE 和△CBF 中，， {DA =BC ∠ADE =∠CBF DE =BF∴△ADE ≌△CBF （SAS ），∴AE =CF ，同理△CDE ≌△ABF ，∴AF =CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解此题的关键在于灵活运用平行四边形的性质来证明三角形全等，再利用全等三角形的性质证明已知四边形为平行四边形．6．详见解析【分析】通过证明三角形全等求得两线段相等即可．【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形∴∠B =∠D ，AB =CD∵∠1=∠2，∠B =∠D ，AB =CD∴△ABE ≌△CDF∴AE =CF ．【点睛】本题主要考查平行四边形性质与全等三角形，解题关键在于找到全等三角形.7．FC =32【分析】根据翻转前后，图形的对应边和对应角相等，可知EF =BF ，AB =AE ，故可求出DE 的长，然后设出FC 的长，则EF =4-FC ，再根据勾股定理的知识，即可求出答案．【详解】解：由题意，得AE =AB =5，AD =BC =4，EF =BF ，在Rt △ADE 中，由勾股定理，得DE =3．在矩形ABCD 中，DC =AB =5．∴CE =DC -DE =2．设FC =x ，则EF =4-x ．在Rt △CEF 中，x 2+22=（4-x ）2．解得x ＝．32即FC =．32【点睛】本题考查了翻转变换的知识，属于基础题，注意掌握图形翻转前后对应边和对应角相等．8．（1）见解析；（2）EF =2【分析】（1）由四边形ABCD 是菱形，可得AB ∥CD ，OA =OC ，继而证得△AOE ≌△COF ，则可证得结论．（2）利用平行四边形的判定和性质解答即可．（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AO =CO ，AB ∥CD ，∴∠EAO =∠FCO ，∠AEO =∠CFO ．在△OAE 和△OCF 中，∠EAO =∠FCO ，AO =CO ，∠AEO =∠CFO ，∴△AOE ≌△COF ，∴AE =CF ；（2）∵E 是AB 中点，∴BE =AE =CF ．∵BE ∥CF ，∴四边形BEFC 是平行四边形，∵AB =2，∴EF =BC =AB =2．【点睛】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 9．证明见解析.【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD =OB ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH =OB ，然后根据等边对等角求出∠OHB =∠OBH ，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH =∠ODC ，然后根据等角的余角相等证明即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB ，∠COD =90°，∵DH ⊥AB ，∴OH =BD =OB ，12∴∠OHB =∠OBH ，又∵AB ∥CD ，∴∠OBH =∠ODC ，在Rt △COD 中，∠ODC +∠DCO =90°，在Rt △DHB 中，∠DHO +∠OHB =90°，∴∠DHO =∠DCO ．10．见解析【分析】由平行四边形的性质知AB=CD ，再有中点定义得CE=BE ，从而可以由ASA 定理证明△CED △BEF ，则≌CD=BF ，故AB=BF ．证明：∵E 是BC 的中点，∴CE=BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∴∠DCB=∠FBE ，在△CED 和△BEF 中，， {∠DCB =∠FBE CE =BE ∠CED =∠BEF∴△CED △BEF （ASA ），≌∴CD=BF ，∴AB=BF ．【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理．11．见解析【分析】根据条件可以得出AD =AB ，∠ABF =∠ADE =90°，从而可以得出△ABF ≌△ADE ，就可以得出∠FAB =∠EAD ，就可以得出结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠ABC =∠D =∠BAD =90°，∴∠ABF =90°．∵在△BAF 和△DAE 中， ， {AB ＝AD ∠ABF ＝∠ADE BF ＝DE∴△BAF ≌△DAE （SAS ），∴∠FAB =∠EAD ，∵∠EAD +∠BAE =90°，∴∠FAB +∠BAE =90°，∴∠FAE =90°，∴EA ⊥AF ．12．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BFDE 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可得；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFCE 是平行四边形，从而得AF ∥CE ，再根据四边形BFDE 是平行四边形，从而可得DF ∥BE ，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ，∵DF ∥BE ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE =BF ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD //BC 且AD =BC ，∵DE =BF ，∴AD -DE =BC -BF ，即AE =CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∴AF ∥CE ，∵四边形BFDE 是平行四边形，∴DF //BE ，∴四边形MFNE 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法与性质是解题的关键．13．（1）EF =3；（2）梯形ABCE 的面积为39．【详解】试题分析：（1）根据折叠的性质，折叠前后边相等，即 得： 在CF =CD ，DE =EF ，AE =AD−EF ，Rt △ACD 中，根据勾股定理，可将的长求出，知的长，可求出的长，在中，根据，可将AC CF AF Rt △AEF AE 2=EF 2+AF 2EF 的长求出；（2）根据S 梯形=，将各边的长代入进行求解即可． (AE +BC )×AB 2试题解析：(1)设EF =x 依题意知：△CDE ≌△CFE ，∴DE =EF =x ，CF =CD =6.∵在中,Rt △ACD AC =62+82=10，∴AF =AC −CF =4，AE =AD −DE =8−x .在中,有Rt △AEF AE 2=EF 2+AF 2即(8−x)2=42+x 2解得x =3，即：EF =3.(2)由(1)知：AE =8−3=5，梯形ABCE 的面积S =(AE +BC )×AB 2=(5+8)×62=39.14．（1）答案见解析；（2）答案见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．【详解】解：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．（2）线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．【点睛】本题考查作图—应用与设计作图．15．见解析【分析】由题意先证明△ADE≌△BAF，得出∠EDA=∠FAB，再根据∠ADE+∠AED=90°，推得∠FAE+∠AED=90°，从而证出AF⊥DE．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴DA=AB，∠DAE=∠ABF=90°，又∵AE=BF，∴△DAE≌△ABF，∴∠ADE=∠BAF，∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FAE+∠AED=90°，∴∠AGE=90°，∴AF⊥DE．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形的判定定理．216．（1）详见解析；（2）EG+BG=AG，证明详见解析．【分析】（1）作∠GAH=∠EAB交GE于点H，证△ABG≌△AEH，再证ΔACH是等边三角形，得AG=HG，EG=AG+BG；（2）作∠GAH =∠EAB 交GE 的延长线于点H ，则∠GAB =∠HAE ，证ΔABG ≌ΔAEH ，得BG =EH ，AG =AH ，再证ΔAGH 是等腰直角三角形，可得AG =HG ．故EG +BG =AG ．22【详解】(1)证明：如图1，作∠GAH =∠EAB 交GE 于点H ，则∠GAB =∠HAE ．∵∠EAB =∠EGB ，∠AOE =∠BOF ，∴∠ABG =∠AEH在ΔABG 和ΔAEH 中{∠GAB =∠HAE AB =AE ∠ABG =∠AEH所以△ABG ≌△AEH （ASA ）∴BG =EH ，AG =AH∵∠GAH =∠EAB =60°∴ΔAGH 是等边三角形∴AG =HG ． ∴EG =AG +BG(2)EG +BG =AG2证明：如图2，作∠GAH =∠EAB 交GE 的延长线于点H ，则∠GAB =∠HAE∵∠EGB =∠EAB =90°∴∠ABG +∠AEG =∠AEG +∠AEH =180°∴∠ABG =∠AEH ．在ΔABG 和ΔAEH 中{∠HAE =∠GAB AB =AE ∠AEH =∠ABG∴ΔABG ≌ΔAEH （ASA ）∴BG =EH ，AG =AH∵∠GAH =∠EAB =90°∴ΔAGH 是等腰直角三角形 ∴AG =HG2∴EG +BG =AG2【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．17．（1）见解析；（2）α，β之间的数量关系式为2α+β=60°．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到EF=CD ，根据直角三角形的性质得到AE=BD ，于是得到结论； 1212（2）根据题意得到△AEF 是等边三角形，求得∠AEF=60°，根据三角形中位线的性质和三角形外角的性质即可得到结论．【详解】（1）∵点E 、F 分别为DB 、BC 的中点，∴EF=CD ，12∵∠DAB=90°，∴AE=BD ，12∵DB=DC ，∴AE=EF ；（2）∵AF=AE ，AE=EF ，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF=60°，∵∠DAB=90°，点E 、F 分别为DB 、BC 的中点，∴AE=DE ，EF ∥CD ，∴∠ADE=∠DAE=α，∠BEF=∠BDC=β，∴∠AEB=2∠ADE=2α，∴∠AEF=∠AEB+∠FEB=2α+β=60°，∴α，β之间的数量关系式为2α+β=60°．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．（1）作图见解析；（2）菱形，证明见解析【详解】解：（1）如图所示，（2）四边形AECF 的形状为菱形．理由如下：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵AM 平分∠DAC ，∴∠DAM=∠CAM ，而∠DAC=∠ABC+∠ACB ，∴∠CAM=∠ACB ，∴EF 垂直平分AC ，∴OA=OC ，∠AOF=∠COE ，在△AOF 和△COE 中，， {∠FAO =∠ECO OA =OC ∠AOF =∠COE∴△AOF ≌△COE ，∴OF=OE ，即AC 和EF 互相垂直平分，∴四边形AECF 的形状为菱形．【点睛】本题考查①作图—复杂作图；②角平分线的性质；③线段垂直平分线的性质．19．证明见解析.【分析】根据平行四边形的性质证出∠ADC=∠FCD ，然后再证明△ADE ≌△FCE 可得AD=FC ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论【详解】证明：∵在▱ABCD 中，AD ∥BF ．∴∠ADC=∠FCD ．∵E 为CD 的中点，∴DE=CE ．在△ADE 和△FCE 中，， {∠AED =∠FEC∠ADE =∠FCE DE =CE∴△ADE ≌△FCE （ASA ）∴AD=FC ．又∵AD ∥FC ，∴四边形ACFD 是平行四边形．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行．20．（1）证明见解析；（2）12【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAF =∠BFA ，即可得出AB =BF ；（2）由题意可证△ABF 为等边三角形，点E 是AF 的中点. 可求EF 、BF 的值，即可得解．【详解】解：（1）证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴ AB =CD ，∠FAD =∠AFB又∵ AF 平分∠BAD ，∴ ∠FAD =∠FAB∴ ∠AFB =∠FAB∴ AB =BF∴ BF =CD（2）解：由题意可证△ABF 为等边三角形，点E 是AF 的中点在Rt △BEF 中，∠BFA =60°，BE =，23可求EF =2，BF =4∴ 平行四边形ABCD 的周长为1221．证明见解析．【分析】利用SAS 证明△AEB ≌△CFD ，再根据全等三角形的对应边相等即可得．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB //DC ，AB =DC ，∴∠BAE =∠DCF ，在△AEB 和△CFD 中，， {AB =CD ∠BAE =∠DCF AE =CF∴△AEB ≌△CFD （SAS ），∴BE =DF ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．22．见解析【分析】根据已知条件易推知四边形BECD 是平行四边形．结合等腰△ABC “三线合一”的性质证得BD ⊥AC ，即∠BDC =90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD 是矩形．【详解】证明：∵AB =BC ，BD 平分∠ABC ，∴BD ⊥AC ，AD =CD ．∵四边形ABED 是平行四边形，∴，BE =AD ，BE//AC ∴BE =CD ，∴四边形BECD 是平行四边形．∵BD ⊥AC ，∴∠BDC =90°，∴▱BECD 是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定，等腰三角形三线合一的性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．23．见解析．【分析】根据题意利用平行四边形的性质求出∠ABF ＝∠AED ，即DE ∥BF ，即可解答【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ADC ＝∠ABC ．又∵DE ，BF 分别是∠ADC ，∠ABC 的平分线，∴∠ABF ＝∠CDE ．又∵∠CDE ＝∠AED ，∴∠ABF ＝∠AED ，∴DE ∥BF ，∵DE ∥BF ，DF ∥BE ，∴四边形DEBF 是平行四边形.【点睛】此题考查平行四边形的性质和判定，利用好角平分线的性质是解题关键24．（1）证明见解析；（2）．23【分析】（1）由平行四边形的判定得出四边形OCED 是平行四边形，根据矩形的性质求出OC =OD ，根据菱形的判定得出即可．（2）解直角三角形求出BC =2，AB =DC =2，连接OE ，交CD 于点F ，根据菱形的性质得出F 为CD 中点，求出3OF =BC =1，求出OE =2OF =2，求出菱形的面积即可．12【详解】证明：，，(1)∵CE //OD DE //OC 四边形OCED 是平行四边形，∴矩形ABCD ，∵，，，∴AC =BD OC =12AC OD =12BD ，∴OC =OD 平行四边形OCED 是菱形；∴在矩形ABCD 中，，，，(2)∠ABC =90∘∠BAC =30∘AC =4，∴BC =2，∴AB =DC =23连接OE ，交CD 于点F ，四边形OCED 为菱形，∵为CD 中点，∴F 为BD 中点， ∵O ，∴OF =12BC =1，∴OE =2OF =2．∴S 菱形OCED =12×OE ×CD =12×2×23=23【点睛】 本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．25．（1）如图所示见解析；（2）面积均为12，周长分别为：8+6，8+2.210，210+62【分析】（1）用边长为1、3的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为3的两侧拼上边长都为3的直角三角形；用边长都为3的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为3的两侧拼上边长都为3、1的直角三角形；以四个直角三角形的直角边拼出对角线为4的平行四边形即可；（2）每个平行四边形的面积都等于四个直角三角形的面积之和，为定值，周长不是定值．【详解】（1）3种拼法；（2）三种方法所拼得的平行四边形的面积是定值，这个定值==12；三种方法所拼得的平2×(12×3×3+12×1×3)行四边形的周长不是定值，它们的周长分别是8+6，8+2．210，210+62【点睛】本题考查了四边形综合题，其中涉及到了平行四边形的判定与性质，平行四边形的面积，灵活掌握平行四边形与三角形之间关系是解题的难点．26．(1)见解析；(2)42【分析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC 为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD =BD ，得证；（2）由三角形中位线定理和勾股定理求得AB 边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答．【详解】（1）证明：∵CE ∥DB ，BE ∥DC ，∴四边形DBEC 为平行四边形．又∵Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D 是AC 的中点，∴CD =BD =AC ，12∴平行四边形DBEC 是菱形；（2）∵点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，AD =3，DF =1，∴DF 是△ABC 的中位线，AC =2AD =6，S △BCD =S △ABC12∴BC =2DF =2．又∵∠ABC =90°，∴AB = = = 4．AC 2−BC 262−222∵平行四边形DBEC 是菱形，∴S 四边形DBEC =2S △BCD =S △ABC =AB •BC =×4×2=4． 121222【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理.由点D 是AC 的中点，得到CD =BD 是解答（1）的关键，由菱形的性质和三角形的面积公式得到S 四边形DBEC =S △ABC 是解（2）的关键.27．（1）MA=MN ，MA ⊥MN ；（2）成立，理由详见解析【详解】（1）解：连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD=AB=BC ，∠DAB=∠DCE=90°，∵点M 是DF 的中点，∴AM=DF ．12∵△BEF 是等腰直角三角形，∴AF=CE ，在△ADF 与△CDE 中，， {AB =CD∠DAF =∠DCE AF =CE∴△ADF ≌△CDE （SAS ），∴DE=DF ．∵点M ，N 分别为DF ，EF 的中点，∴MN 是△EFD 的中位线，∴MN=DE ，12∴AM=MN ；∵MN 是△EFD 的中位线，∴MN ∥DE ，∴∠FMN=∠FDE ．∵AM=MD ，∴∠MAD=∠ADM ，∵∠AMF 是△ADM 的外角，∴∠AMF=2∠ADM ．∵△ADF ≌△CDE ，∴∠ADM=∠CDE ，∴∠ADM+∠CDE+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，∴MA ⊥MN ．∴MA=MN ，MA ⊥MN ．（2）成立．理由：连接DE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．在Rt △ADF 中，∵点M 是DF 的中点，∴MA=DF=MD=MF ，12∴∠1=∠3．∵点N 是EF 的中点，∴MN 是△DEF 的中位线，∴MN=DE ，MN ∥DE ．12∵△BEF 是等腰直角三角形，∴BF=BF ，∠EBF=90°．∵点E 、F 分别在正方形CB 、AB 的延长线上，∴AB+BF=CB+BE ，即AF=CE ．在△ADF 与△CDE 中， {AD =CD∠DAF =∠DCE AF =DE∴△ADF ≌△CDE ，∴DF=DE ，∠1=∠2，∴MA=MN ，∠2=∠3．∵∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5，∴∠3+∠5=90°，∴∠6=180°﹣（∠3+∠5）=90°，∴∠7=∠6=90°，MA ⊥MN ．28．(1)见解析；(2)45°；(3)见解析【分析】（1）根据AF 平分∠BAD ，可得∠BAF =∠DAF ，利用四边形ABCD 是平行四边形，求证∠CEF =∠F 即可; （2）根据∠ABC =90°，G 是EF 的中点可直接求得；（3）分别连接GB 、GC ，求证四边形CEGF 是平行四边形，再求证△ECG 是等边三角形,由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE =∠AEB ，求证△BEG ≌△DCG ，然后即可求得答案．【详解】（1）证明：如图1，∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF =∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ，AB CD ，∥∥∴∠DAF =∠CEF ，∠BAF =∠F ，∴∠CEF =∠F ．∴CE =CF ．（2）解：连接GC 、BG ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∠ABC =90°，∴四边形ABCD 为矩形，∵AF 平分∠BAD ，∴∠DAF =∠BAF =45°，∵∠DCB =90°，DF ∥AB ，∴∠DFA =45°，∠ECF =90°∴△ECF 为等腰直角三角形，∵G 为EF 中点，∴EG =CG =FG ，CG ⊥EF ，∵△ABE 为等腰直角三角形，AB =DC ，∴BE =DC ，∵∠CEF =∠GCF =45°，∴∠BEG =∠DCG =135°在△BEG 与△DCG 中，∵，{EG =CG∠BEG =∠DCG BE =DC ∴△BEG ≌△DCG ，∴BG =DG ，∵CG ⊥EF ，∴∠DGC +∠DGA =90°，又∵∠DGC =∠BGA ，∴∠BGA +∠DGA =90°，∴△DGB 为等腰直角三角形，∴∠BDG =45°．（3）解：延长AB 、FG 交于H ，连接HD ．∵AD GF ，AB DF ，∥∥∴四边形AHFD 为平行四边形∵∠ABC =120°，AF 平分∠BAD∴∠DAF =30°，∠ADC =120°，∠DFA =30°∴△DAF 为等腰三角形∴AD =DF ，∴CE =CF ，∴平行四边形AHFD 为菱形∴△ADH ，△DHF 为全等的等边三角形∴DH =DF ，∠BHD =∠GFD =60°∵FG =CE ，CE =CF ，CF =BH ，∴BH =GF在△BHD 与△GFD 中，∵ ， {DH =DF ∠BHD =∠GFD BH =GF∴△BHD ≌△GFD ，∴∠BDH =∠GDF∴∠BDG =∠BDH +∠HDG =∠GDF +∠HDG =60°.【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．29．（1）8；（2）所以的值为或；（3）a 5611243< m <53【分析】（1）点（2，）的矩形域的定义，求出矩形边长分别为2，4，画出图形即可解决问题；72（2）分两种情形，重叠部分在（1）中矩形的左边或右边，分别构建方程即可解决问题；（3）利用特殊值法．推出平行于y 轴的矩形的边长为3，由此即可解决问题；【详解】解：（1）根据题意可得：点矩形域为，长为4，宽为2，(2,72)点的矩形域如图所示， (2,72)该该矩形域的面积是8；故答案为：8；（2）如图所示，因为点的矩形域重叠部分面积为1，且平行于轴的边长均为4， P (2，72)，Q (a ，72)(a >0)y 所以点的矩形域重叠部分也是一个矩形，且平行于轴的边长为4，平行于轴的边长为. P (2，72)，Q (a ，72)(a >0)y x 14①当时，，解得；0<a <2a +a 2=1+14a =56②当时，，解得. a >2a−a 2=3−14a =112所以的值为或.a 56112（3）当m =1时，S =3，当m =2时，S =8，∵4＜S ＜5，∴1＜m ＜2，∴平行于y 轴的矩形的边长为3，∴平行于x 轴的矩形的边长m 的范围为43< m <53。
八年级数学下册 中心对称图形-平行四边形综合压轴(50题12个考点)(解析版)
专题05中心对称图形-平行四边形综合压轴（50题12个考点）一．三角形中位线定理（共1小题）1．（2022秋•东平县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（）A．6B．C．7D．8【答案】C【解答】解：如图，延长BD，交AC于F，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，在△ABD和△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（ASA），∴BD＝DF，AF＝AB＝4，∵BE＝CE，∴CF＝2DE＝3，∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，故答案为：C．二．平行四边形的性质（共3小题）2．（2023春•辛集市期末）如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E 的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【答案】C【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．3．（2023•六安模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD ＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴EC＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②错误；∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中点，：S△BCD＝1：4，∴S△BEO：S△BCD＝3：4，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝1：4，∵S△AOD＝S△AOD，故④正确．∴S四边形OECD故选：C．4．（2023春•叙州区期末）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、A O为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO2022C2023B的面积为cm2．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×20＝10（cm2），∴S△ADC＝S△BCO＝S△ABC＝×10＝5（cm2），∴S△AOB＝×5＝（cm2），∴＝S△AOB∴＝＝（cm2），＝＝（cm2），＝＝（cm2），……∴平行四边形AO n C n+1B的面积为，∴平行四边形AO2022C2023B的面积为（cm2），故答案为：．三．平行四边形的判定与性质（共2小题）5．（2023•莆田模拟）如图，在△ABD中，AD＜AB，点D在直线AB上方，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，点B，D的对应点分别是C，E，将线段BD绕着点B顺时针旋转90°得到线段BF，点D的对应点是F，连接BE，CF．当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中．四边形BFCE的形状依次是：平行四边形→______→平行四边形．画线处应填入（）A．菱形→矩形→正方形B．矩形→菱形→正方形C．菱形→平行四边形→矩形D．矩形→平行四边形→菱形【答案】D【解答】解：∵△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，BD＝BF，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠DBF＝90°，∴CE＝BD＝BF，AE＝AD，∠ACE＝∠ABD，①当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线之前时，如图，∵∠COE＝∠AOB，∴∠CEO+∠CEO＝∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠OBD+∠ABD，又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠CEO＝∠OAB+∠OBD＝90°+∠OBD，∴∠CEB+∠EBF＝90°+∠OBD+90°+∠OBD＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形；②当B、D、E三点共线且D在B、E之间时，∵∠DAE＝90°，AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠ADB＝135°＝∠AEC，∴∠DEC＝90°，又∵∠DBF＝90°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，又∵∠DEC＝90°，∴四边形BFCE是矩形；③当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线，∠DAB＝135°之前时，∵∠CEB+∠EBF＝∠CEA+∠AEB+∠ABE+∠ABD+∠DBF＝∠ADB+（∠AEB+∠ABE）+∠ABD+∠DBF＝（∠ADB+∠ABD）+（∠AEB+∠AE）+∠DBF＝180°﹣∠ADB+180°﹣∠EAB+90°＝180°×2+90°﹣（∠DAB+∠EAB）＝180°×2+90°﹣（360°﹣∠DAE）＝180°×2+90°﹣360°+∠DAE＝90°+∠DAE＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，④当∠DAB＝135°时，∴∠EAB＝360°﹣∠DAE﹣∠DAE＝135°＝∠DAB，又∵AD＝AE，AB＝AB，∴△ADB≌△AEB（SAS），∴BD＝BE＝CE，由③同理可证∠CEB+∠EBF＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，又∵BE＝CE，∴四边形BFCE是菱形；当∠DAB＝135°后时，由③同理可证∠CEB+∠EBF＝180°，∴BF∥CE，又∵BF﹣CE，∴四边形BFCE是平行四边形．当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中，四边形BFCE的形状依次是：平行四边形→矩形一平行四边形一菱形一平行四边形．故选：D．6．（2023春•尤溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③＝1．正确的个数是（）∠DFE＝110°；④S四边形AEFDA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正确；∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC与△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝4，同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝3，∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③错误；过A作AG⊥DF于G，如图所示：则∠AGD＝90°，∵四边形AEFD是平行四边形，∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，∴AG＝AD＝，∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6，故④错误；∴正确的个数是2个，故选：B．四．菱形的性质（共2小题）7．（2023•平房区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的＝中点，点F在OD上，DF＝OF，连接EF交OA于点G，若OG＝1，连接CE，S△BEC12，则线段CE的长为3．【答案】3．【解答】解：作EM⊥OA于M，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥OA，OD＝OB，OA＝OC，∴EM∥OB，∴AM：MO＝AE：EB，∵AE＝BE，∴AM＝OM，∴EM是△ABO的中位线，∴EM＝，∵DF＝OF，∴OF＝OD，∴EM＝OF，∵∠MEG＝∠OFG，∠MGE＝∠OGF，∴△EMG≌△FOG（AAS），∴MG＝OG＝1，∴OM＝2OG＝2，∴OA＝2OM＝4，∴AC＝2OA＝8，∵AE＝BE，∴△BAC的面积＝2×△BEC的面积＝2×12＝24，∴AC•OB＝24，∴OB＝6，∴EM＝OB＝3，∵CM＝OM+OC＝2+4＝6，∴CE＝＝3．故答案为：3．8．（2023春•泗水县期末）如图，在菱形ABCD中，∠ADB＝60°，点E，F分别在AD，C D上，且∠EBF＝60°．（1）求证：△ABE≌△DBF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．【答案】（1）见解答；（2）△BEF是等边三角形，理由见解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠ADB＝60°∴△ADB是等边三角形，△BDC是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠A＝∠BDC＝60°，∵∠ABD＝∠EBF＝60°，∴∠ABE＝∠DBF，在△ABE和△DBF中，，∴△ABE≌△DBF（ASA）．（2）解：结论：△BEF是等边三角形．理由：∵△ABE≌△DBF，∴BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△EBF是等边三角形．五．菱形的判定（共1小题）9．（2023春•桂林期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示PB．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？【答案】（1）PB＝（18﹣t）cm；（2）当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．【解答】解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动，∴t s时，AP＝t×1＝t cm，∵AB＝18cm，∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；（2）过B点作BN⊥CD于N点，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴四边形ACNB是矩形，∴BN＝AD＝12cm，AD＝DN＝18cm，∵CD＝23cm，∴CN＝CD﹣CN＝5cm，∴Rt△BNC中，根据勾股定理可得：BC＝＝＝13cm，则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5s，∵BC+CD＝23+13＝36cm，∴Q运动时间最长为36÷2＝18s，∴6.5s≤t≤18s时，Q在CD边上，此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：∵AB∥CD即PB∥CQ，∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，∴运动时间为t s时，CQ＝2t﹣BC＝（2t﹣13）cm，∴18﹣t＝2t﹣13，解得：t＝s；②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：同理∵AP∥DQ，∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形，由（1）知：AP＝t cm，点DQ＝CD+CB﹣2t＝（36﹣2t）cm，∴36﹣2t＝t，解得：t＝12s，综上所述：当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）设Q的速度为x cm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，∵PB∥CQ，∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1cm，∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，解得：t＝5s，x＝5.2cm/s，∴当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．六．菱形的判定与性质（共1小题）10．（2023•郧西县模拟）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．七．矩形的性质（共3小题）11．（2023春•定州市期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH 的长度为（）A．B．C．D．2【答案】C【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10，∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5，∵AD∥BC，∴∠DHP＝∠FHC，在△PDH与△CFH中，，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝5，CH＝PH，∴AP＝AD﹣PD＝5，∴PE＝＝＝，∵点G是EC的中点，∴GH＝EP＝，故选：C．12．（2023秋•锦江区校级期中）如图，长方形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E、F分别为线段AD、BC上动点，且AE＝CF，点G是线段BC上一点，且满足BG＝2，四边形AEF B关于直线EF对称后得到四边形A′EFB′，连接GB′，当AE＝3时，点B′与点D重合，在运动过程中，线段GB′长度的最大值是2+2．【答案】3；2+2．【解答】解：当B与点D合时，如图：由于对称：BF＝B′F＝DF FC＝AE，设AE＝x，则CF＝x，DF＝BF＝8﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2；∴x＝3，则AE＝3；如图：取EF中点O，∵AE＝CF，由题意知，无论EF如何变动，EF经过点O，连接B′O、OG、OB，在△B′OG中B′G＜OB′+OG，∵四边形AEFB关于EF对称得到四边形A′EFB′，∴OB＝OB′，故只有当B′、O、G三点共线时、GB′长度最大，此时GB'＝B′O+OG＝OB+OG，过点O作OH⊥BC，AD＝2AB＝8，CD＝AB＝4，∴在Rt△OBH中，OH＝CD＝2，BH＝BC＝4，∴OB＝＝2，∵在Rt△OGH中OH＝2，GH＝BH﹣BG＝2，∴OG＝＝2，∴GB'＝2+2，故答案为：3；2+2．13．（2023秋•丰城市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【答案】（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【解答】解：∵A（10，0），C（0，4），∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝10，∵点D是OA的中点，∴OD＝5，①如图1所示，以OP为对角线，点P在点D的左侧时，PD＝OD＝5，过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝OC＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，∴点P的坐标为（2，4），此时，点Q的坐标为（﹣3，4）；②如图2所示，以OQ为对角线，点P在点D的左侧时，OP＝OD＝5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：，∴点P的坐标为（3，4），此时，点Q的坐标为（8，4）；③如图3所示，以OP为对角线，点P在点D的右侧时，PD＝OD＝5，过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，∴点P的坐标为（8，4），此时，点Q的坐标为（3，4）；综上所述，点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）；故答案为：（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．八．矩形的判定（共1小题）14．（2022春•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当CE＝12，CF＝10时，求CO的长；（3）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF；（2）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝×180°＝90°，∴Rt△CEF中，EF＝＝＝2，又∵OE＝OF，∴CO＝EF＝；（3）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，由（2）可得∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．九．正方形的性质（共27小题）15．（2022秋•汝州市期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．①②④D．①②③【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE与△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正确；∴∠EGD＝90°，延长CE交DA的延长线于H，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜边的中线，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；∵CF＝BC＝CD，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，∵AD＝AG，∴△ADG不是等边三角形，∴∠EAG≠30°，故④错误；故选：D．16．（2023秋•福田区期中）如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A 作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①EB⊥ED；②点B+S△APB＝；④S正方形ABCD＝2．其中正到直线DE的距离为；③S△APD确结论的序号是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④【答案】A【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°，∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°，∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，∵AE＝AP＝1，∴△ABE≌△ADP（SAS），∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP，∵△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝，∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝135°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，∴①正确；∴BE＝＝＝1＝AE，∴②不正确；∵△ABE≌△ADP，＝S△ADP，∴S△ABE∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB＝，∴EP＝，∠AEP＝45°，∵∠AEB＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPB＝AE×AP+EP×BE＝×1×1+×∴S△APD×1＝，∴③正确；如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O，则∠O＝90°，∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，∴△BOE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝BE＝，∴AO＝AE+OE＝1+，在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1+）2+（）2＝2+，＝AB2＝2+；∴S正方形ABCD∴④正确；故选：A．17．（2023秋•呈贡区期中）如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形B EFH也是正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：BH2＝CH×GH．设AB ＝a，CH＝b．若ab＝5，则图中阴影部分的周长是（）A．6B．8C．10D．20【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD，四边形BEFH为正方形，AB＝a，CH＝b，∴BC＝AB＝CD＝a，BE＝BH＝EF＝BC﹣CH＝a﹣b，AE＝AB+BE＝a+a﹣b＝2a﹣b，＝AB2＝a2，∴S正方形ABCDS长方形AEFG＝AE•EF＝（2a﹣b）（a﹣b）＝2a2﹣3ab+b2，∵正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，∴a2＝2a2﹣3ab+b2，整理得：a2+b2＝3ab，∴（a+b）2＝5ab，∵ab＝5，∴（a+b）2＝5×5，∴a+b＝5，∴阴影部分的周长为：2（CD+CH）＝2（a+b）＝10．故选：C．18．（2023秋•深圳月考）如图，在正方形ABCD中，点P为BD延长线上任一点，连接PA．过点P作PE⊥PA，交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F．下列结论：①PA＝PE；②BD＝3PF；③CE＝2PD；④若BP＝BE，则PF＝（+1）DF．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG，∵EF⊥BP，∴∠BFE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FBC＝∠ABD＝45°，∴BF＝EF，在△BFG和△EFP中，，∴△BFG≌△EFP（SAS），∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，∵∠ABD＝∠FPG＝45°，∴AB∥PG，∵AP⊥PE，∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，∴AP∥BG，∴四边形ABGP是平行四边形，∴AP＝BG，∴AP＝PE；故①正确；连接CG，由（1）知：PG∥AB，PG＝AB，∵AB＝CD，AB∥CD，∴PG∥CD，PG＝CD，∴四边形DCGP是平行四边形，∴CG＝PD，CG∥PD，∵PD⊥EF，∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，∵∠CEG＝45°，∴CE＝CG＝PD；故③错误；连接AC交BD于O，如图3：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOP＝90°＝∠PFE，∵∠APO＝90°﹣∠OPE＝∠PEF，AP＝PE，∴△AOP≌△PFE（AAS），∴OA＝PF，∵OA＝BD，∴PF＝BD，即BD＝2PF，故②错误；设PF＝m，DF＝n，则BD＝2m，∴BF＝BD+DF＝2m+n，BP＝BF+PF＝3m+n，∵∠DBC＝45°，∠BFE＝90°，∴BE＝BF＝2m+n，若BP＝BE，则3m+n＝2m+n，∴m＝n＝（+1）n，即PF＝（+1）DF，故④正确，故选：B．19．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，B C的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（）A．B．1C．D．2【答案】C【解答】解：连接AG并延长交CD于M，连接FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，∵G为DE的中点，∴GE＝GD，在△AGE和MGD中，，∴△AGE≌△MGD（AAS），∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，∴CM＝CD＝2，∵点H为AF的中点，∴GH＝FM，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝2，∴FM＝＝2，∴GH＝，故选：C．20．（2023•温州模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，连接EH，GH，连接EG交AB于点K，当∠EHG＝90°时，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：以A为原点，以AB边所在直线为x轴建立如图所示坐标系：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴a2+b2＝c2，过E作EQ⊥x轴于Q，过H作HP⊥x轴于P，∵四边形ACDE与四边形BCMH都是正方形，∴∠EAC＝∠CBH＝90°，AC＝AE＝b，BC＝BH＝a，∴∠EAQ+∠BAC＝90°，∠HBP+∠ABC＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠EAQ，∠BAC＝∠HBP，∴Rt△EAQ∽Rt△ABC∽Rt△BHP，∴，，即，，∴AQ＝，EQ＝，HP＝，BP＝，∴AP＝AB+BP＝c+＝，∴E（﹣，），H（，），∵四边形BABGF是正方形，∴AB＝BG＝FG，BG⊥x轴，∴G（c，﹣c），当∠EHG＝90°时，在Rt△EHG中，由勾股定理可得：EH2+GH2＝EG2，∴（+）2+（﹣）2+（﹣c）2+（+c）2＝（+c）2+（﹣﹣c）2，整理可得：（a﹣b）（2a2+b2）＝﹣ab（a+b），∴2a3+ab2﹣2a2b﹣b3＝﹣a2b﹣ab2，∴（a2+b2）（2a﹣b）＝0，∵a、b是三角形的边长，∴a＞0，b＞0，∴a2+b2≠0，∴2a﹣b＝0，∴b＝2a，∵a2+b2＝c2，∴c2＝5a2，∵EQ∥BC，∴，即，∴，故选：D．21．（2023春•新吴区期末）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（）A．②③④B．①②③C．①②④D．①③④【答案】B【解答】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正确；②∵矩形DEFG为正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；③根据②得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正确；④当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误，综上所述：①②③正确．故选：B．22．（2023春•西平县期中）如图，正方形ABCD边长为12，里面有2个小正方形，各边的顶点都在大正方形的边上的对角线或边上，它们的面积分别是S1，S2，则S1+S2＝（）A．68B．72C．64D．70【答案】A【解答】解：如图，由正方形的性质，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，所以，四个角所在的三角形都是等腰直角三角形，∵正方形的边长为12，∴AC＝12，∴两个小正方形的边长分别为×12＝4，×12＝6，∴S1+S2＝（4）2+62＝32+36＝68．故选：A．23．（2023•光山县校级三模）如图，正方形OABC中，点A（4，0），点D为AB上一点，且BD＝1，连接OD，过点C作CE⊥OD交OA于点E，过点D作MN∥CE，交x轴于点M，交BC于点N，则点M的坐标为（）A．（5，0）B．（6，0）C．（，0）D．（，0）【答案】C【解答】解：∵OABC是正方形，A（4，0），∴OA＝OC＝AB＝4，∠AOC＝∠OAB＝90°，∵BD＝1，∴AD＝3，D（4，3），∵CE⊥OD，∴∠DOE＝90°﹣∠CEO＝∠OCE，在△COE和△OAD中，，∴△COE≌△OAD（ASA），∴OE＝AD＝3，∴E（3，0），设直线CE为y＝kx+b，把C（0，4），E（3，0）代入得：，解得，∴直线CE为y＝﹣x+4，由MN∥CE设直线MN为y＝﹣x+c，把D（4，3）代入得：﹣+c＝3，解得c＝，∴直线MN为y＝﹣x+，在y＝﹣x+中，令y＝0得﹣x+＝0，解得x＝，∴M（，0），故选：C．方法二：∵CE⊥OD，CE∥MN，∴OD⊥MN，∴∠ADM＝90°﹣∠ODA＝∠AOD，∵∠DAO＝90°＝∠MAD，∴△DAO∽△MAD，∴＝，∵点A（4，0），BD＝1，∴OA＝4＝AB，AD＝AB﹣BD＝3，∴＝，解答AM＝，∴OM＝OA+AM＝4+＝，∴M（，0），故选：C．24．（2023•鄞州区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若，则E F的长为（）A．2B．2+C．+1D．3【答案】A【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°；∵OE⊥OF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠COF＝60°，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴△OEF是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，如图，∴∠OGF＝∠DGF＝90°，∵∠ODC＝45°，∴△DGF是等腰直角三角形，∴GF＝DG＝DF＝，∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°，∴∠DOF＝30°，∴OF＝2GF＝，∴EF＝OF＝2．故选：A．25．（2023•淮南二模）如图，在△BCP中，BP＝2，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（）A．B．6C．D．【答案】D【解答】解：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得△BCE，连接PE，则△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE，∴PE＝BP＝2，在△CPE中，CE≤PE+CP，∴CE的最大值为2+4，即AP的最大值为2+4，故选：D．26．（2023春•平桥区期末）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（）A．2B．C．D．【答案】D【解答】解：作OH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴△OBC和△OAB是等腰直角三角形，∴∠BOP+∠EOC＝90°，∵OQ⊥OP，∴∠QOC+∠EOC＝90°，∴∠BOP＝∠COQ，∵∠ABO＝∠OCB＝45°，∴∠OBP＝∠OCQ＝135°，∵OB＝OC，∴△OBP≌△OCQ（ASA），∴PO＝QO，∴△OPQ是等腰直角三角形，∵OH⊥AB，EB⊥AB，∴BE∥OH，∴PB：BH＝PE：OE，∵OE＝PE，∴PB＝BH，∵△OAB是等腰直角三角形，OH⊥AB，∴OH＝BH＝AB＝×2＝1，∴PB＝BH＝1，∴PH＝PB+BH＝2，∴OP＝＝＝，∴PQ＝PO＝．故选：D．27．（2023春•江阴市期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝4，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（）A．8B．8C．8D．12【答案】C【解答】解：过点D作DH∥MN，交AB于点H，过点E作EG∥MN，过点M作MG∥NE，两直线交于点G，连接AG，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠B＝∠BAD＝90°，∵AB＝12，BE＝4，∴AE＝＝＝4，∵DH∥MN，AB∥CD，∴四边形DHNM是平行四边形，∴DH＝MN，∵MN⊥AE，DH∥MN，EG∥MN，∴DH⊥AE，AE⊥EG，∴∠BAE+∠AHD＝90°＝∠AHD+∠ADH，∠AEG＝90°，∴∠BAE＝∠ADH，在△ABE和△DAH中，，∴△ABE≌△DAH（ASA），∴DH＝AE＝4，∴MN＝DH＝AE＝4，∵EG∥MN，MG∥NE，∴四边形NEGM是平行四边形，∴NE＝MG，MN＝EG＝AE＝4，∴AM+NE＝AM+MG，∴当点A，点M，点G三点共线时，AM+NE的最小值为AG，∴AG＝＝＝8．故选：C．28．（2023春•徐州期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且EF＝，AB＝4，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AD⊥CF；③CF＝；④四边形ABDO的面积与正方形ABCO的面积相等．其中正确的结论为（）A．①②③④B．①②C．①②③D．①③④【答案】C【解答】解：过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，如图：∵四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，∴∠AOC＝90°＝∠COE，∠DOE＝45°，∴∠COD＝45°，故①正确，∵∠AOC＝90°＝∠FOD，∴∠AOD＝135°＝∠COF，又OA＝OC，OD＝OF，∴△AOD≌△COF（SAS），∴∠ADO＝∠CFO，AD＝CF，∵∠DKS＝∠FKO，∴∠DSK＝∠FOK＝90°，∴AD⊥CF，故②正确；∵四边形DEFO是正方形，∴△DON是等腰直角三角形，∵EF＝＝DO，∴DN＝ON＝DO＝1，∵∠MNO＝∠NOC＝∠OCM＝90°，∴四边形NOCM是矩形，∴MN＝OC＝AB＝4，CM＝ON＝1∴DM＝MN﹣DM＝1，BM＝BC+CM＝5，在Rt△BDM中，BD＝，∴CF＝BD＝，故③正确；＝BC•DM＝×2×3＝1.5，S△CDO＝OC•ON＝×4×1＝2，∵S△BCDS△CDO，∴S△BCD≠≠S△BCT，∴S△DTO≠S正方形ABCO，故④错误，∴S四边形ABDO∴正确的有①②③，故选：C．29．（2022秋•郑州期末）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，EF，OC交于点G．下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③DF2+BE2＝OG•OC；④正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②③④C．①②④D．③④【答案】C【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②由①全等可得OE＝OF，∴∠OEF＝∠OCF＝45°，∠OGE＝∠CGF，∴△OGE∽△FGC，故②正确；④由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，∴正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍，故④正确；③∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DF2+BE2＝EF2，∵∠OCE＝∠OEG＝45°，∠EOG＝∠COE，∴△EOG∽△COE，∴＝，∴OG•OC＝EO2≠EF2，∴DF2+BE2≠OG•OC，故③不正确；综上所述，正确的是①②④，故选：C．30．（2023秋•西安期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，N是A O的中点，点M在边BC上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠N PM时，PM+PN的值为5．【答案】5．【解答】解：设PM与AC相交于点Q，∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴AC＝AB＝4，AC⊥BD，∠ABC＝90°，∴∠NOP＝∠QOP＝90°，∵O为AC中点，∴0A＝0C＝2，∵N为OA的中点，∴ON＝，∵对角线BD平分∠NPM，∴∠NPO＝∠QPO，∵PO＝PO，∴△NPO≌△QPO，∴OQ＝ON＝，PQ＝PN，∠PNO＝∠PQO，∴NQ＝2，CQ＝OC﹣CQ＝，∴∵AB＝4，BM＝3，∴CM＝1，∴，∴，∵∠ACB＝∠QCM＝45°，∴△CMQ～△CBA，∴∠CMQ＝∠CBA＝90°，∴∠PNO＝∠PQO＝∠CQM＝45°，∴MQ＝CM＝1，∠NPQ＝180°﹣∠PNO﹣∠PQO＝90°，∴PQ2+PN2＝NQ2，即2，∴PQ＝PN＝2，∴PM+PN＝PQ+MQ+PN＝2+1+2＝5．31．（2023秋•重庆月考）如图，正方形ABCD的边长为4，E为DC边上一点，DE＝3，连接AE，过D作AE的垂线交AE于点F，交BC于点G，则FG的长为．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，∴AB＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，∴∠ADF+∠CDG＝90°，又∵DF⊥AE，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠CDG，在△ADE和△DCG中，，∴△ADE≌△DCG（ASA），∴DG＝AE，在Rt△ADE中，AD＝4，DE＝3，由勾股定理得：AE＝＝5，∴DG＝AE＝5，＝AE•DF＝AD•DE，由三角形的面积得：S△ADE∴AE•DF＝AD•DE，∴5•DF＝4×3，∴DF＝，∴FG＝DG﹣DF＝5﹣＝，故答案为：．32．（2023•增城区一模）如图，点E在正方形ABCD外，连结AE、BE、DE，过点A作AE 的垂线交DE于点F．若AE＝AF＝4，BF＝10，则下列结论：①△AFD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为3；④S△ABF+S△ADF＝40．其中正确的结论是①②③④．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②③④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AF⊥AE，∴∠FAE＝∠BAE+∠BAF＝90°，∵∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，又∵AE＝AF，∴△AFD≌△AEB（SAS），故①正确；∴∠AFD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEF+∠BEF，∠AFD＝∠AEF+∠FAE，∴∠BEF＝∠FAE＝90°，即EB⊥ED，故②正确；过点B作BP⊥AE，交AE的延长线于P，则BF的长即点B到直线AE的距离，∵AE＝AF＝4，∠FAE＝90°，∴FE＝8，∠AEF＝∠AFE＝45°，在Rt△BEF中，FB＝10，FE＝8，∴BE＝6，∵EB⊥ED，BP⊥AP，∴∠EPB＝∠PBE＝45°，∴BP＝EP＝3，故③正确；连接BD，S△AFD+S△AFB＝S△AEB+S△AFB＝S△AEF+S△BEF＝×4×4+×6×8＝40，故④正确；综上，正确结论的序号是①②③④，故答案为：①②③④．33．（2023秋•余江区期中）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：ED＝EF；（2）若AB＝2，，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．【答案】（1）见解答；（2）2；（3）∠EFC＝120°或30°．【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，（2）解：如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，∵EC＝，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，∴∠EFC＝∠CDE＝30°，综上所述，∠EFC＝120°或30°．34．（2023•歙县校级模拟）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；。
人教版八年级数学下册-难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题
难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EF ＝3 3.在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP ＝90°.∵AC为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠P AM ＝30°，AP＝10，∴PM ＝12AP ＝5.由勾股定理得AM ＝P A 2－PM 2＝5 3.在△ANP 和△AMP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3.∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF ＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP 的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O ＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°. 3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。
人教版八年级下册数学第十八章 平行四边形含答案(综合考试)
人教版八年级下册数学第十八章平行四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、平行四边形的对角线长为x、y，一边长为11，则x、y的值可能是（）A.8和14B.10和8C.10和32D.12和142、如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若=2，则的值为（）A. B. C. D.3、下列命题中错误的是A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形4、如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的角平分线交BC于F．若AB=6，BC=16，则FC的长度为（）A.4B.5C.6D.85、如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，则下列结论不一定成立的是（）A. 是等腰三角形B.C. 平分D.折叠后的图形是轴对称图形6、如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC7、如图，在中，点E是边上的中点，G为线段上一动点，连接，交于点F，若，则的值为（）A.3B.2C.D.8、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是( )A. B.1 C. D.29、如图，在中，，，，则的面积为（）A.30B.60C.65D.10、下列定理中没有逆定理的是（）A.等腰三角形的两底角相等B.平行四边形的对角线互相平分C.角平分线上的点到角两边的距离相等D.全等三角形的对应角相等11、菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为( )A.16B.12C.12或16D.无法确定12、如图，正方形ABCD的边长为，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为（）A.2B.4C.2D.413、在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A.OA=OC，OB=ODB.AD∥BC，AB∥DCC.AB=DC，AD=BC D.AB∥DC，AD=BC14、如图，已知菱形 A，B，C，D 的顶点 A（0，﹣1），∠D A C ＝60°.若点 P从点 A出发，沿A→B→C→D→A…的方向，在菱形的边上以每秒 1 个单位长度的速度移动，则第 2020 秒时，点 P 的坐标为（）A.（2，0）B.（，0）C.（﹣，0）D.（0，1 ）15、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，∠B=60°，BC=3，△ABE的周长为6，则等腰梯形的周长是（）A.8B.10C.12D.16二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为________.17、以下四个命题：①如果三角形一边的中点到其他两边距离相等，那么这个三角形一定是等腰三角形：②两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形：③一组数据2，4，6.4的方差是2；④△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，且位似比为1：4，已知∠OCD=90°，OC=CD．点A、C在第一象限．若点D坐标为（2， 0），则点A坐标为（，），其中正确命题有________ （填正确命题的序号即可）18、如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点.若，则的长为________.19、如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到AB′C′，AB′，AC′分别交对角线BD于点EF，若AE=8，则EF•ED的值为________．20、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB.F是AD的中点，作CE⊥AB, 垂足E 在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：(1)∠DCF+ ∠D＝90°；(2)∠AEF+∠ECF＝90°；(3) =2 ； (4)若∠B=80 ，则∠AEF=50°.其中一定成立的是________ (把所有正确结论的字号都填在横线上).21、如图的平面直角坐标系中，A点的坐标是（4，3）。
八年级几何综合：四边形压轴题综合训练1(50道真题)含解析
几何综合压轴题专题1．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB＝90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并延长到点E，使ME＝PM，连结DE．（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段BC之间有怎样的数量和位置关系？请选择其中的一个图形证明你的猜想；（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论？请说明理由．（4）若以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，其中A、C、D的坐标分别为（0，0），（5，3），（4，2），能否在平面内找到一点M，使以A、C、D、M为点构造成平行四边形，若不能，说明理由，若能，请直接写出点M的坐标．2．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）．（1）求证：EO平分∠AEB；（2）猜想线段OE与EB、EA之间的数量关系为（直接写出结果，不要写出证明过程）；（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．3．定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”．（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）；（2）下列说法正确的有；（填写所有正确结论的序号）①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．（3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D．①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；②在①的条件下，连接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积．4．如图1，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF ⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，连接EF、CF，若CE＝8，求四边形BEFC的面积；（3）如图3，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG．5．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90o，若AC＝12，BC＝5，点M是斜边AB上一动点，求线段CM的最小值．在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到：当CM⊥AB时，线段CM取得最小值．请你根据小明的思路求出这个最小值．【思维运用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥BC于点E，求线段DE的最小值．【问题拓展】（3）如图3，AB＝6，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上．∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离的最小值为．（直接写出结果，不需要写过程）6．如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．7．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一动点，DF⊥BE交BE的延长线于F．（1）如图（1），若BE平分∠DBC时，①直接写出∠FDC的度数；②延长DF交BC的延长线于点H，补全图形，探究BE与DF的数量关系，并证明你的结论；（2）如图（2），过点C作CG⊥BE于点G，猜想线段BF，CG，DF之间的数量关系，并证明你的猜想．8．如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H．（1）求证：HE＝HG；（2）如图2，当BE＝AB时，过点A作AP⊥DE于点P，连接BP，求的值；9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）当t＝3时四边形OQCD的面积为多少？（3）是否存在t的值，使△AQP为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．10．平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标；（2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM＝2CP；（3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论．11．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、∠ACD的平分线于点E、F．（1）猜想与证明，试猜想线段OE与OF的关系，并说明理由．（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）若AC边上存在一点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．12．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是垂美四边形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．13．问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边所在直线上的一动点（不与点B、C重合），连结AD，以AD为边作Rt△ADE，且AD＝AE，根据∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，得到∠BAD＝∠CAE，结合AB ＝AC，AD＝AE得出△BAD≌△CAE，发现线段BD与CE的数量关系为BD＝CE，位置关系为BD⊥CE；（1）探究证明：如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC．①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；②求证：BD2+CD2＝2AD2；（2）拓展延伸：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝13cm，CD＝5cm，求AD 的长．14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点．（1）求证：点P也是BC的中点；（2）若CB⊥AB，且DP＝，CD＝，AB＝4，求AP的长；（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得△ABQ是等腰三角形，求AQ的长．15．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．16．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F 两点（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）求证：BE+CF＝AC；（3）若BC的长为16，求四边形AEDF的面积．17．如图，正方形ABCD的边长为a，射线AM是∠BAD外角的平分线，点E在边AB上运动（不与点A、B重合），点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连结EC、EF、EG．（1）求证：CE＝EF；（2）求△AEG的周长（用含a的代数式表示）；（3）试探索：点E在边AB上运动至什么位置时，△EAF的面积最大．18．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．（1）求证：∠ADE＝∠FEM；（2）如图（1），当点E在AB边的中点位置时，猜想DE与EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图（2），当点E在AB边（除两端点）上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．19．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C，D在x轴上方，且四边形ABCD的面积为32，（1）若四边形ABCD是菱形，求点D的坐标．（2）若四边形ABCD是平行四边形，如图1，点E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，求AE+2EF的值．（3）若四边形ABCD是矩形，如图2，点M为对角线AC上的动点，N为边AB上的动点，求BM+MN的最小值．20．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是，位置关系是．（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，请直接写出线段AD的长．21．我们定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．例如，如图（1），△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）（1）熟悉模型：如图（2），已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；（2）运用模型：如图（3），P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，求∠APB的度数．小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手全等模型”，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连结CM，通过转化的思想求出了∠APB的度数，则∠APB的度数为度；（3）深化模型：如图（4），在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．22．在△ABC方格纸中的位置如图1所示，方格纸中的每个小正方形的边长为1个单位长度．（1）图1中线段AB的长是；请判断△ABC的形状，并说明理由．（2）请在图2中画出△DEF，使DE，EF，DF三边的长分别为，，．（3）如图3，以图1中△ABC的AB，AC为边作正方形ABPR和正方形ACQD，连接RD，求△RAD的面积．23．有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，已知△ABC，点C在AB的垂直平分线上，E在边AB上，D是△ABC内一点，连接ED，CD，∠AED＝60°，∠BCD＝30°，若四边形BCDE是邻余四边形，BC是邻余线．①ED与BC有什么位置关系？说明理由．②判断△ABC形状，说明理由．24．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB ＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD的取值范围是．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围．②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论．25．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC、AD于点E、F，已知AB＝1，，连接BF．（1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图②，当α＝45°时，请写出线段BF与DF的数量关系，并证明；（3）如图③，当α＝90°时，求△BOF的面积．26．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，已知AB1C1≌△ABC，BC与B1C1相交于点D，AC与B1C1相交于点E，AB1与BC相交于点F．（1）如图1，观察并猜想CE和B1F有怎样的数量关系？并说明理由．（2）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，证明四边形AFDE是筝形．（3）如图2，若∠CAC1＝30°，B1C1＝3，其他条件不变，求C1E的长度．27．综合与实践（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．（2）类比探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段CM，AE，BE之间的数量关系为．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，则四边形ABEC的面积为．28．如图，正方形OABC的边长为8，P为OA上一点，OP＝2，Q为OC边上的一个动点，分别以OP\PQ为边在正方形OABC内部作等边三角形OPD和等边三角形PQE．（1）证明：DE＝OQ；（2）直线ED与OC交于点F，点Q在运动过程中．①∠EFC的度数是否发生改变？若不变，求出这个角的度数；若改变，说明理由；②连结AE，求AE的最小值．29．如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点E是射线DC上一个动点（点E与点D不重合），连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG．（1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG；（2）在（1）的条件下，若CE＝2，求CG的长；（3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长．30．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝8cm，F是AB边上的中点，将∠AFC绕点F顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤90°）得到∠A'FC'，∠A'FC'的两边分别与AC、BC边相交于点D，E两点，连结DE．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）求∠EDF的度数；（3）当△EFB变成等腰直角三角形时，求CE的长；（4）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由．31．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．32．（1）观察猜想如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则△ADB和△EAC是否全等？（填是或否），线段AB、AC、BD、CE之间的数量关系为．（2）问题解决如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，AB＝6，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长．（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝5，AD＝，DC＝DA，CG⊥BD于点G，求CG的长，33．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．（1）求证：DG＝BC；（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．34．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝，AB＝2，求GE的长．35．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝．36．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．37．阅读下面材料，完成相应任务：全等四边形能够完全重合的两个四边形叫做全等四边形．由此可知，全等四边形的对应边相等，对应角相等；反之，四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在两个四边形中，我们把“一条边对应相等”或“一个角对应相等”称为一个条件．根据探究三角形全等条件的经验容易发现，满足1个、2个、3个、4个条件时，两个四边形不一定全等．在探究“满足5个条件的四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是否全等”时，智慧小组的同学提出如下命题：①若AB＝A'B'，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠D＝∠D'，则四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'；②若AB＝A'B'，BC＝B'C'，CD＝C'D'，AD＝A'D'，∠A＝∠A'，则四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．（1）小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形．由此判断命题①是命题（填“真”或“假”）．（2）小彬经过探究发现命题②是真命题．请你结合图2证明这一命题．（3）小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若AB＝A′B′，BC＝B'C'，CD＝C'D'，，，则四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题．38．（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点，若∠AMN＝90°，求证：△AMN为等腰三角形．下面给出此问题一种证明的思路，你可以按这一思路继续完成证明，也可以选择另外的方法证明此结论．证明：在AB边上截取AE＝MC，连接ME，在正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC∴∠NMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝180°﹣∠B﹣∠AMB＝∠MAB．（下面请你连接AN，完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，试探究△AMN是何种特殊三角形，并证明探究结论．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，试猜想：当∠AMN的大小为多少时，（1）中的结论仍然成立？39．（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≌△EAF，从而得到结论：DE+BF＝EF．根据这个结论，若CD＝6，DE＝2，求EF的长．（2）方法迁移：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．40．我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形．（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是命题（填“真”或“假”）；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧做直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE ＝AD，CB＝CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．41．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为，点C的坐标为；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：＝+1，＝﹣1）42．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a2+b2＝c2．（1）直接填空：如图①，若a＝3，b＝4，则c＝；若a+b＝4，c＝3，则直角三角形的面积是．（2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2＝c2．（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8，BC＝10，利用上面的结论求EF的长？43．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用（3）若边长AB＝4，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L的变化范围是．44．如图①，△ABC中，AB＝AC，点M、N分别是AB、AC上的点，且AM＝AN．连接MN、CM、BN，点D、E、F、G分别是BC、MN、BN、CM的中点，连接E、F、D、G．（l）判断四边形EFDG的形状是（不必证明）；（2）现将△AMN绕点A旋转一定的角度，其他条件不变（如图②），四边形EFDG的形状是否发生变化？证明你的结论；（3）如图②，在（2）的情况下，请将△ABC在原有的条件下添加一个条件，使四边形EFDG是正方形．请写出你添加的条件，并在添加条件的基础上证明四边形EFDG是正方形．45．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD、BE．（Ⅰ）求证：CE＝AD；（Ⅱ）如图2，当点D是AB中点时，连接CD．（i）四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（ii）当∠A＝°时，四边形BECD是正方形．（直接写出答案）46．已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，动点P 在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在线段PB上有一点M，且PM＝5，当P运动秒时，四边形OAMP的周长最小，并画图标出点M 的位置．47．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G．求证：AF⊥DE且AF＝DE．（2）如图②，若点E、F分别在CB、DC的延长线上，且BE＝CF，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由．（3）如图③，在图②的基础上连接AE、EF，H、M、N、P分别是AE、EF、FD、DA的中点，请直接写出四边形HMNP的形状．48．已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M、N分别是边BC，CD上的两个动点，∠MAN＝60°，AM、AN分别交BD于E、F两点．（1）如图1，求证：CM+CN＝BC；（2）如图2，过点E作EG∥AN交DC延长线于点G，求证：EG＝EA；（3）如图3，若AB＝1，∠AED＝45°，直接写出EF的长．（4）如图3，若AB＝1，直接写出BE+AE的最小值．49．如图①所示，▱ABCD是某公园的平面示意图，A、B、C、D分别是该公园的四个入口，两条主干道AC、BD交于点O，经测量AB＝0.5km，AC＝1.2km，BD＝1km，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：（1）公园的面积为km2；（2）如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN、MN、CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM＝ON（点M与点O、B不重合），并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；（3）若修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．50．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为“不完全矩形”（1）①如图1，在不完全矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝3，BC＝4，则BD＝：②如图2，在平面直角坐标系中，A（0.4），B（6，0），若整点M使得四边形AOBM是不完全矩形，则点M的坐标是；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（2）如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是不完全矩形．。
2020年八年级数学下册四边形综合题重难点培优练习（含答案）
第 1 页 共 26 页 1.如图，在矩形ABCD 中，中，AB=4cm AB=4cm AB=4cm，，BC=8cm BC=8cm，点，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 即停止；同时点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止．点P 、Q 的速度的速度都是1cm/s 1cm/s，连结，连结PQ PQ，，AQ AQ，，CP CP，设点，设点P 、Q 运动的时间为t （s ）．）．（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形？是矩形？（2）当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形？是菱形？ （3）分别求出（）分别求出（22）中菱形AQCP 的周长和面积．的周长和面积．2.如图，在Rt Rt△△ABC 中，∠中，∠ACB=90ACB=90ACB=90°，过点°，过点C 的直线m ∥AB AB，，D 为AB 边上一点，过点D 作DE DE⊥⊥BC BC，交直线，交直线m 于点E ，垂足为点F ，连接CD CD，，BE BE．．（1）求证：）求证：CE=AD CE=AD CE=AD；； （2）当点D 是AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）当∠）当∠A A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？（不需要证明）3.如图1，在矩形，在矩形ABCD ABCD ABCD中，动点中，动点中，动点P P 从点从点A A 出发，沿出发，沿A A →D →C →B 的路径运动．设点的路径运动．设点P P 运动的路程为运动的路程为x x ，△PAB PAB的面积为的面积为的面积为y y ．图2反映的是点反映的是点P P 在A →D →C 运动过程中，运动过程中，y y 与x 的函数关系．请根据图象回答以下问题：以下问题：（1）矩形）矩形ABCD ABCD ABCD的边的边的边AD= AD=，AB= ； （2）写出点）写出点P P 在C →B 运动过程中运动过程中y y 与x 的函数关系式，并在图2中补全函数图象．中补全函数图象．4.在图1，2，3中，已知▱ABCD ABCD，∠，∠，∠ABC=120ABC=120ABC=120°，点°，点E 为线段BC 上的动点，连接AE AE，以，以AE 为边向上作菱形AEFG AEFG，且∠，且∠，且∠EAG=120EAG=120EAG=120°．°．°．(1)(1)如图如图1，当点E 与点B 重合时，∠重合时，∠CEF= CEF= CEF= °；°；(2)(2)如图如图2，连接AF AF．．①填空：∠①填空：∠FAD FAD FAD ∠EAB(EAB(填“＞”，“＜“，“填“＞”，“＜“，“填“＞”，“＜“，“==”)；②求证：点F 在∠在∠ABC ABC 的平分线上；的平分线上；(3)(3)如图如图3，连接EG EG，，DG DG，并延长，并延长DG 交BA 的延长线于点H ，当四边形AEGH 是平行四边形时，是平行四边形时， 求的值．的值．5.如图，两个全等的△如图，两个全等的△ABC ABC 和△和△DEF DEF 重叠在一起，固定△重叠在一起，固定△ABC ABC ABC，将△，将△，将△DEF DEF 进行如下变换：进行如下变换：（1）如图1，△，△DEF DEF 沿直线CB 向右平移（即点F 在线段CB 上移动），连接AF AF、、AD AD、、BD BD，请直，请直接写出S △ABC 与S 四边形AFBD 的关系的关系（2）如图2，当点F 平移到线段BC 的中点时，若四边形AFBD 为正方形，那么△为正方形，那么△ABC ABC 应满足什么条件：请给出证明；么条件：请给出证明；（3）在（）在（22）的条件下，将△）的条件下，将△DEF DEF 沿DF 折叠，点E 落在FA 的延长线上的点G 处，连接CG CG，请，请你画出图形，此时CG 与CF 有何数量关系有何数量关系. .6.菱形ABCD 中，点P 为CD 上一点，连接BP.（1）如图1，若BP BP⊥⊥CD CD，菱形，菱形ABCD 边长为1010，，PD=4PD=4，连接，连接AP AP，求，求AP 的长的长. .（2）如图2，连接对角线AC AC、、BD 相交于点O ，点N 为BP 的中点，过P 作PM PM⊥⊥AC 于M ，连接ON ON、、MN.MN.试判断△试判断△试判断△MON MON 的形状，并说明理由的形状，并说明理由. .7.如图，在Rt Rt△△ABC 中，∠ACB=90°，过点C 的直线MN∥AB，D 为AB 边上一点，过点D 作DE⊥BC，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD CD、、BE.（1）求证：）求证：CE=AD CE=AD CE=AD；；（2）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D 为AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由.8.如图，在在四边形ABCD 中，中，AD AD AD∥∥BC BC，∠，∠，∠B=90B=90B=90°，且°，且AD=12cm AD=12cm，，AB=8cm AB=8cm，，DC=10cm DC=10cm，若动点，若动点P 从A 点出发，以每秒2cm 的速度沿线段AD 向点D 运动；动点Q 从C 点出发以每秒3cm 的速度沿CB 向B 点运动，当P 点到达D 点时，动点P 、Q 同时停止运动，设点P 、Q 同时出发，并运动了t 秒，回答下列问题：秒，回答下列问题：（1）BC= BC= cm cm；；（2）当t= t= 秒时，四边形PQBA 成为矩形．成为矩形．（3）当t 为多少时，为多少时，PQ=CD PQ=CD PQ=CD？？（4）是否存在t ，使得△，使得△DQC DQC 是等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，说明理由．的值；若不存在，说明理由．9.如图1，已知正方形已知正方形ABCD ABCD ABCD，，点E 、F 、G 、H 分别在边分别在边AB AB AB、、BC BC、、CD CD、、DA DA上，上，若EG EG⊥⊥FH FH，，则易证：EG=FH EG=FH．．（1）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设，并设AB=2AB=2AB=2，，BC=3BC=3（如图（如图2），试探究，试探究EG EG EG、、FH FH之之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；间有怎样的数量关系，并证明你的结论； （2）如果把条件中的“）如果把条件中的“EG EG EG⊥⊥FH FH”改为“”改为“”改为“EG EG EG与与FH FH的夹角为的夹角为4545°”°”，并假设正方形，并假设正方形ABCD ABCD ABCD的边长为的边长为1，FH FH的长为的长为（如图3），试求，试求EG EG EG的长度．的长度．的长度．10.如图，如图，P P 为正方形为正方形ABCD ABCD ABCD的边的边的边BC BC BC上一动点（上一动点（上一动点（P P 与B 、C 不重合），连接不重合），连接AP AP AP，过点，过点，过点B B 作BQ BQ⊥⊥AP AP交交CD CD于于点Q ，将△，将△BQC BQC BQC沿沿BQ BQ所在的直线对折得到△所在的直线对折得到△所在的直线对折得到△BQC BQC BQC′，延长′，延长′，延长QC QC QC′交′交′交BA BA BA的延长线于点的延长线于点的延长线于点M M ． （1）试探究）试探究AP AP AP与与BQ BQ的数量关系，并证明你的结论；的数量关系，并证明你的结论；的数量关系，并证明你的结论；（2）当）当AB=3AB=3AB=3，，BP=2PC BP=2PC，求，求，求QM QM QM的长；的长；的长；（3）当）当BP=m BP=m BP=m，，PC=n PC=n时，求时，求时，求AM AM AM的长．的长．的长．11.11.如图，在矩形如图，在矩形如图，在矩形ABCD ABCD ABCD中，点中，点中，点E E 为CD CD上一点，将△上一点，将△上一点，将△BCE BCE BCE沿沿BE BE翻折后点翻折后点翻折后点C C 恰好落在恰好落在AD AD AD边上的点边上的点边上的点F F 处，将线段线段EF EF EF绕点绕点绕点F F 旋转，使点旋转，使点E E 落在落在BE BE BE上的点上的点上的点G G 处，连接处，连接CG. CG.(1)(1)证明：四边形证明：四边形证明：四边形CEFG CEFG CEFG是菱形；是菱形；是菱形；(2)(2)若若AB=8AB=8，，BC=10BC=10，求四边形，求四边形，求四边形CEFG CEFG CEFG的面积；的面积；的面积；(3)(3)试探究当线段试探究当线段试探究当线段AB AB AB与与BC BC满足什么数量关系时，满足什么数量关系时，满足什么数量关系时，BG=CG BG=CG BG=CG，请写出你的探究过程．，请写出你的探究过程．，请写出你的探究过程．12.四边形ABCD是正方形，点E在边BC上（不与端点B、C重合），点F在对角线AC上，且EFDF、、FG，点G是AE的中点，连接DF，连接AE⊥ACAC，连接AE，点（1）若AB=7，的长；BE=，求FG的长；FG；DF=FG；）求证：DF=（2）求证：中的△CEFCEF绕点C按顺时针旋转，使边CF的顶点F恰好在正方形ABCD的边BC上（如（3）将图1中的△之间的数量关系，并证明你的猜想． AE、点图2），连接AE、点G仍是AE的中点，猜想BF与FG之间的数量关系，并证明你的猜想．13.△ABC 和△和△DEF DEF 都是边长为6cm 的等边三角形，且A 、D 、B 、F 在同一直线上，连接CD CD、、BF BF．．（1）求证：四边形BCDE 是平行四边形；是平行四边形；（2）若AD=2cm AD=2cm，△，△，△ABC ABC 沿着AF 的方向以每秒1cm 的速度运动，设△的速度运动，设△ABC ABC 运动的时间为t 秒．秒． （a ）当t 为何值时，平行四边形BCDE 是菱形？说明理由；是菱形？说明理由；（b ）平行四边形BCDE 有可能是矩形吗？若有可能，求出t 的值，并求出矩形的面积；若不可能，说明理由．能，说明理由．14.14.已知已知E,F 分别为正方形ABCD 的边BC,CD 上的点上的点,AF,DE ,AF,DE 相交于点G,G,当当E,F 分别为边BC,CD 的中点时中点时,,有AF=DE,AF AF=DE,AF⊥⊥DE 成立成立. . 试探究下列问题试探究下列问题: : (1)(1)如图①如图①如图①,,若点E 不是边BC 的中点的中点,F ,F 不是边CD 的中点的中点,,且CE=DF,CE=DF,上述结论是否仍然成立上述结论是否仍然成立上述结论是否仍然成立?(?(?(请请直接回答“成立”或“不成立”直接回答“成立”或“不成立”,,不需要证明不需要证明) ) (2)(2)如图②如图②如图②,,若点E,F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上的延长线上,,且CE=DF,CE=DF,此时此时此时,,上述结论是否仍然成立?若成立若成立,,请写出证明过程请写出证明过程,,若不成立若不成立,,请说明理由请说明理由; ; (3)(3)如图③如图③如图③,,在(2)(2)的基础上的基础上的基础上,,连接AE 和EF,EF,若点若点M,N,P,Q 分别为AE,EF,FD,AD 的中点的中点,,请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,,并证明你的结论并证明你的结论. .15.如图，在如图，在Rt Rt Rt△△ABC ABC中，∠中，∠中，∠B=90B=90B=90°，°，°，AC=60cm AC=60cm AC=60cm，∠，∠，∠A=60A=60A=60°，点°，点°，点D D 从点从点C C 出发沿出发沿CA CA CA方向以方向以4cm/s 4cm/s的速的速度向点度向点A A 匀速运动，同时点同时点E E 从点从点A A 出发沿出发沿AB AB AB方向以方向以2cm/s 2cm/s的速度向点的速度向点的速度向点B B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D D 、E 运动的时间是运动的时间是ts ts ts．过点．过点．过点D D 作DF DF⊥⊥BC BC于点于点于点F F ，连接DE DE、、EF EF．． （1）用）用t t 的代数式表示：的代数式表示：AE= AE= ；DF= ； （2）四边形）四边形AEFD AEFD AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的能够成为菱形吗？如果能，求出相应的能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t t 值；如果不能，请说明理由；值；如果不能，请说明理由； （3）当）当t t 为何值时，△为何值时，△DEF DEF DEF为直角三角形？请说明理由．为直角三角形？请说明理由．为直角三角形？请说明理由．参考答案1.解：解：（1）当四边形ABQP 是矩形时，是矩形时，BQ=AP BQ=AP BQ=AP，即：，即：，即：t=8t=8t=8﹣﹣t ，解得t=4t=4．． 答：当t=4时，四边形ABQP 是矩形；是矩形； （2）设t 秒后，四边形AQCP 是菱形是菱形 当AQ=CQ AQ=CQ，即，即=8=8﹣﹣t 时，四边形AQCP 为菱形．解得：为菱形．解得：t=3t=3t=3．．答：当t=3时，四边形AQCP 是菱形；是菱形；（3）当t=3时，时，CQ=5CQ=5CQ=5，则周长为：，则周长为：，则周长为：4CQ=20cm 4CQ=20cm 4CQ=20cm，面积为：，面积为：，面积为：44×8﹣2××3×4=204=20（（cm 22）．）．2.（1）证明：∵直线m ∥AB AB，∴，∴，∴EC EC EC∥∥AD AD．．又∵∠又∵∠ACB=90ACB=90ACB=90°，∴°，∴°，∴BC BC BC⊥⊥AC AC．又∵．又∵．又∵DE DE DE⊥⊥BC BC，∴，∴，∴DE DE DE∥∥AC AC．． ∵EC EC∥∥AD AD，，DE DE∥∥AC AC，∴四边形，∴四边形ADEC 是平行四边形．∴是平行四边形．∴CE=AD CE=AD CE=AD．． （2）当点D 是AB 中点时，四边形BECD 是菱形． 证明：∵证明：∵D D 是AB 中点，中点，DE DE DE∥∥AC AC（已证）（已证），∴，∴F F 为BC 中点，∴中点，∴BF=CF BF=CF BF=CF．． ∵直线m ∥AB AB，∴∠，∴∠，∴∠ECF=ECF=ECF=∠∠DBF DBF．∵∠．∵∠．∵∠BFD=BFD=BFD=∠∠CFE CFE，∴△，∴△，∴△BFD BFD BFD≌△≌△≌△CFE CFE CFE．∴．∴．∴DF=EF DF=EF DF=EF．． ∵DE DE⊥⊥BC BC，∴，∴，∴BC BC 和DE 垂直且互相平分．∴四边形BECD 是菱形． （3）当∠）当∠A A 的大小是4545°时，四边形°时，四边形BECD 是正方形． 理由是：∵∠理由是：∵∠ACB=90ACB=90ACB=90°，∠°，∠°，∠A=45A=45A=45°，∴∠°，∴∠°，∴∠ABC=ABC=ABC=∠∠A=45A=45°，∴°，∴°，∴AC=BC AC=BC AC=BC，， ∵D 为BA 中点，∴中点，∴CD CD CD⊥⊥AB AB，∴∠，∴∠，∴∠CDB=90CDB=90CDB=90°，°，∵四边形BECD 是菱形，∴四边形BECD 是正方形， 即当∠即当∠A=45A=45A=45°时，四边形°时，四边形BECD 是正方形．3.解：（解：（11）根据题意得：矩形）根据题意得：矩形ABCD ABCD ABCD的边的边的边AD=2AD=2AD=2，，AB=4AB=4；故答案为：；故答案为：；故答案为：22；4； （2）当点）当点P P 在C →B 运动过程中，运动过程中，PB=8PB=8PB=8﹣﹣x ，∴，∴y=S y=S △APB=×4×（×（88﹣x ），即），即y=y=y=﹣﹣2x+162x+16（（6≤x ≤8），正确作出图象，如图所示：正确作出图象，如图所示：4.解：解：(1)(1)∵四边形∵四边形AEFG 是菱形，∴∠是菱形，∴∠AEF=180AEF=180AEF=180°﹣∠°﹣∠°﹣∠EAG=60EAG=60EAG=60°，°，°， ∴∠∴∠CEF=CEF=CEF=∠∠AEC AEC﹣∠﹣∠﹣∠AEF=60AEF=60AEF=60°，°，°， 故答案为：故答案为：606060°；°；°； (2)(2)①∵四边形①∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠是平行四边形，∴∠DAB=180DAB=180DAB=180°﹣∠°﹣∠°﹣∠ABC=60ABC=60ABC=60°，°，°， ∵四边形AEFG 是菱形，∠是菱形，∠EAG=120EAG=120EAG=120°，∴∠°，∴∠°，∴∠FAE=60FAE=60FAE=60°，°，°， ∴∠∴∠FAD=FAD=FAD=∠∠EAB EAB，， ②作FM FM⊥⊥BC 于M ，FN FN⊥⊥BA 交BA 的延长线于N ，则∠，则∠FNB=FNB=FNB=∠∠FMB=90FMB=90°，°，°， ∴∠∴∠NFM=60NFM=60NFM=60°，°，°， 又∠又∠AFE=60AFE=60AFE=60°，∴∠°，∴∠°，∴∠AFN=AFN=AFN=∠∠EFM EFM，， ∵EF=EA EF=EA，∠，∠，∠FAE=60FAE=60FAE=60°，∴△°，∴△°，∴△AEF AEF 为等边三角形，∴为等边三角形，∴FA=FE FA=FE FA=FE，， 在△在△AFN AFN 和△和△EFM EFM 中，，∴△，∴△AFN AFN AFN≌△≌△≌△EFM(AAS) EFM(AAS)∴FN=FM FN=FM，又，又FM FM⊥⊥BC BC，，FN FN⊥⊥BA BA，， ∴点F 在∠在∠ABC ABC 的平分线上；的平分线上； (3)(3)∵四边形∵四边形AEFG 是菱形，∠是菱形，∠EAG=120EAG=120EAG=120°，°，°， ∴∠∴∠AGF=60AGF=60AGF=60°，∴∠°，∴∠°，∴∠FGE=FGE=FGE=∠∠AGE=30AGE=30°，°，°，∵四边形AEGH 为平行四边形，∴为平行四边形，∴GE GE GE∥∥AH AH，， ∴∠∴∠GAH=GAH=GAH=∠∠AGE=30AGE=30°，∠°，∠°，∠H=H=H=∠∠FGE=30FGE=30°，°，°， ∴∠∴∠GAN=90GAN=90GAN=90°，又∠°，又∠°，又∠AGE=30AGE=30AGE=30°，∴°，∴°，∴GN=2AN GN=2AN GN=2AN，， ∵∠∵∠DAB=60DAB=60DAB=60°，∠°，∠°，∠H=30H=30H=30°，∴∠°，∴∠°，∴∠ADH=30ADH=30ADH=30°，∴°，∴°，∴AD=AH=GE AD=AH=GE AD=AH=GE，， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴为平行四边形，∴BC=AD BC=AD BC=AD，∴，∴，∴BC=GE BC=GE BC=GE，， ∵四边形ABEH 为平行四边形，∠为平行四边形，∠HAE=HAE=HAE=∠∠EAB=30EAB=30°，°，°， ∴平行四边形ABEN 为菱形，∴为菱形，∴AB=AN=NE AB=AN=NE AB=AN=NE，∴，∴，∴GE=3AB GE=3AB GE=3AB，， ∴=3=3．．5.解：（解：（11）S △ABC =S 四边形AFBD ，理由：由题意可得：理由：由题意可得：AD AD AD∥∥EC EC，则，则S △ADF =S △ABD ， 故S △ACF =S △ADF =S △ABD ，则S △ABC =S 四边形AFBD ； （2）△）△ABC ABC 为等腰直角三角形，即：为等腰直角三角形，即：AB=AC AB=AC AB=AC，∠，∠，∠BAC=90BAC=90BAC=90°，°，°， 理由如下：理由如下：∵F 为BC 的中点，∴的中点，∴CF=BF CF=BF CF=BF，∵，∵，∵CF=AD CF=AD CF=AD，∴，∴，∴AD=BF AD=BF AD=BF，， 又∵又∵AD AD AD∥∥BF BF，∴四边形，∴四边形AFBD 为平行四边形，为平行四边形， ∵AB=AC AB=AC，，F 为BC 的中点，∴的中点，∴AF AF AF⊥⊥BC BC，∴平行四边形，∴平行四边形AFBD 为矩形为矩形∵∠∵∠BAC=90BAC=90BAC=90°，°，°，F F 为BC 的中点，∴的中点，∴AF=AF=BC=BF BC=BF，，∴四边形AFBD 为正方形；为正方形； （3）如图3所示：所示： 由（由（22）知，△）知，△ABC ABC 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，AF AF AF⊥⊥BC BC，，设CF=k CF=k，，则GF=EF=CB=2k GF=EF=CB=2k，，由勾股定理得：CG=k ，∴CG=CF.6.6.解：解：（1）如图1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴是菱形，∴AB=BC=CD=AD=10AB=BC=CD=AD=10AB=BC=CD=AD=10，，AB AB∥∥CD∵PD=4PD=4，∴，∴，∴PC=6PC=6PC=6，∵，∵，∵PB PB PB⊥⊥CD CD，∴，∴，∴PB PB PB⊥⊥AB AB，∴∠，∴∠，∴∠CPB=CPB=CPB=∠ABP=90°，∠ABP=90°，∠ABP=90°， 在RT RT△△PCB 中，∵∠CPB=90°P 中，∵∠CPB=90°PC=6C=6C=6，，BC=10BC=10，∴，∴，∴PB=PB===8=8，， 在RT RT△△ABP 中，∵∠ABP=90°，中，∵∠ABP=90°，AB=10AB=10AB=10，，PB=8PB=8，∴，∴，∴PA=PA===2.（2）△）△OMN OMN 是等腰三角形是等腰三角形..理由：如图2中，延长PM 交BC 于E. ∵四边形ABCD 是菱形，∴是菱形，∴AC AC AC⊥⊥BD BD，，CB=CD CB=CD，， ∵PE PE⊥⊥AC AC，∴，∴，∴PE PE PE∥∥BD BD，∴，∴=，∴，∴CP=CE CP=CE CP=CE，∴，∴，∴PD=BE PD=BE PD=BE，，∵CP=CE CP=CE，，CM CM⊥⊥PE PE，∴，∴，∴PM=ME PM=ME PM=ME，∵，∵，∵PN=NB PN=NB PN=NB，∴，∴，∴MN=MN=BE BE，，∵BO=OD BO=OD，，BN=NP BN=NP，∴，∴，∴ON=ON=PD PD，∴，∴，∴ON=MN ON=MN ON=MN，∴△，∴△，∴△OMN OMN 是等腰三角形是等腰三角形. .7.（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴是平行四边形，∴CE=AD CE=AD CE=AD；； （2）解：四边形BECD 是菱形，理由是：∵是菱形，理由是：∵D D 为AB 中点，∴中点，∴AD=BD AD=BD AD=BD，， ∵CE=AD CE=AD，∴，∴，∴BD=CE BD=CE BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形，∵BD∥CE，∴四边形BECD 是平行四边形，是平行四边形， ∵∠ACB=90°，∵∠ACB=90°，D D 为AB 中点，∴中点，∴CD=BD CD=BD CD=BD，∴，∴▱四边形BECD 是菱形；是菱形； （3）当∠A=45°时，四边形BECD 是正方形，理由是：是正方形，理由是： 解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC AC=BC AC=BC，， ∵D 为BA 中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°， ∵四边形BECD 是菱形，∴菱形BECD 是正方形，是正方形， 即当∠A=45°时，四边形BECD 是正方形是正方形. . 8.解：解：9.（1）结论：）结论：EG EG EG：：FH=3FH=3：：2证明：过点证明：过点A A 作AM AM∥∥HF HF交交BC BC于点于点于点M M ，作，作AN AN AN∥∥EG EG交交CD CD的延长线于点的延长线于点的延长线于点N N ，如图1： ∴AM=HF AM=HF，，AN=EG AN=EG，∵长方形，∵长方形，∵长方形ABCD ABCD ABCD，∴∠，∴∠，∴∠BAD=BAD=BAD=∠∠ADN=90ADN=90°，°，°， ∵EG EG⊥⊥FH FH，∴∠，∴∠，∴∠NAM=90NAM=90NAM=90°，∴∠°，∴∠°，∴∠BAM=BAM=BAM=∠∠DAN DAN，∴△，∴△，∴△ABM ABM ABM∽△∽△∽△ADN ADN ADN，， ∴AM:AN=AB:AD AM:AN=AB:AD，∵，∵，∵AB=2BC=AD=3AB=2BC=AD=3AB=2BC=AD=3，∴，∴，∴EG:FH=1.5EG:FH=1.5EG:FH=1.5；； （2）解：过点）解：过点A A 作AM AM∥∥HF HF交交BC BC于点于点于点M M ，过点，过点A A 作AN AN∥∥EG EG交交CD CD于点于点于点N N ，如图2：∵AB=1AB=1，，AM=FH=，∴在，∴在Rt Rt Rt△△ABM ABM中，中，中，BM=0.5BM=0.5将△AND AND绕点绕点绕点A A 旋转到△旋转到△APB APB APB，， ∵EG EG与与FH FH的夹角为的夹角为4545°，∴∠°，∴∠°，∴∠MAN=45MAN=45MAN=45°，∴∠°，∴∠°，∴∠DAN+DAN+DAN+∠∠MAB=45 即∠即∠PAM=PAM=PAM=∠∠MAN=45MAN=45°，从而△°，从而△°，从而△APM APM APM≌△≌△≌△ANM ANM ANM，∴，∴，∴PM=NM PM=NM PM=NM，，设DN=x DN=x，则，则，则NC=1NC=1NC=1﹣﹣x ，NM=PM=0.5+x NM=PM=0.5+x在在Rt Rt△△CMN CMN中，中，中，(0.5 +x)(0.5 +x)2=0.25+(1=0.25+(1﹣﹣x)2，解得，解得x=1/3x=1/3x=1/3，，∴EG=AN=，答：，答：EG EG EG的长为的长为．10.11. (1)证明：证明：根据翻折的方法可得根据翻折的方法可得EF=EC EF=EC EF=EC，，∠FEG=FEG=∠∠CEG.CEG.又∵又∵又∵GE=GE GE=GE GE=GE，，∴△∴△EFG EFG EFG≌△≌△≌△ECG.ECG.ECG.∴∴FG=GC. ∵线段∵线段FG FG FG是由是由是由EF EF EF绕绕F 旋转得到的，∴旋转得到的，∴EF=FG.EF=FG.EF=FG.∴∴EF=EC=FG=GC.EF=EC=FG=GC.∴四边形∴四边形∴四边形FGCE FGCE FGCE是菱形．是菱形．是菱形． （2）连接）连接FC FC FC交交GE GE于于O 点．根据折叠可得点．根据折叠可得BF=BC=10.BF=BC=10.BF=BC=10.∵∵AB=8 ∴在∴在Rt Rt Rt△△ABF ABF中，根据勾股定理得中，根据勾股定理得中，根据勾股定理得AF=6.AF=6.AF=6.∴∴FD=AD FD=AD－－AF=10AF=10－－6=4.设EC=x EC=x，则，则，则DE=8DE=8DE=8－－x ，EF=x EF=x，在，在，在Rt Rt Rt△△FDE FDE中，中，中，FD FD 2＋DE 2=EF 2，即42＋(8-x)2=x 2.解得解得x=5.x=5.x=5.即即CE=5.S 菱形菱形CEFG CEFG =CE =CE··FD=5FD=5××4=20.（3）当＝时，时，BG=CG BG=CG BG=CG，理由：由折叠可得，理由：由折叠可得，理由：由折叠可得BF=BC BF=BC BF=BC，∠，∠，∠FBE=FBE=FBE=∠∠CBE CBE，，∵在∵在Rt Rt Rt△△ABF ABF中，中，=，∴，∴BF=2AF.BF=2AF.BF=2AF.∴∠∴∠∴∠ABF=30ABF=30ABF=30°°.又∵∠又∵∠ABC=90ABC=90ABC=90°，∴∠°，∴∠°，∴∠FBE=FBE=FBE=∠∠CBE=30CBE=30°，°，°，EC=0.5BE. EC=0.5BE.∵∠∵∠BCE=90BCE=90BCE=90°，∴∠°，∴∠°，∴∠BEC=60BEC=60BEC=60°°.又∵又∵GC=CE GC=CE GC=CE，∴△，∴△，∴△GCE GCE GCE为等边三角形．为等边三角形．为等边三角形． ∴GE=CG=CE=0.5BE.GE=CG=CE=0.5BE.∴∴G 为BE BE的中点．∴的中点．∴的中点．∴CG=BG=0.5BE. CG=BG=0.5BE. 12.13.（1）证明：∵△）证明：∵△ABC ABC 和△和△DEF DEF 是两个边长为6cm 的等边三角形，的等边三角形，∴BC=DE BC=DE，∠，∠，∠ABC=ABC=ABC=∠∠FDE=60FDE=60°，∴°，∴°，∴BC BC BC∥∥DE DE，∴四边形，∴四边形BCDE 是平行四边形；是平行四边形； （2）解：（a ）当t=2秒时，▱BCDE 是菱形，此时A 与D 重合，∴重合，∴CD=DE CD=DE CD=DE，∴，∴▱ADEC 是菱形；是菱形； （b ）若平行四边形BCDE 是矩形，则∠是矩形，则∠CDE=90CDE=90CDE=90°，如图所示：∴∠°，如图所示：∴∠°，如图所示：∴∠CDB=90CDB=90CDB=90°﹣°﹣°﹣606060°°=30=30°° 同理∠同理∠DCA=30DCA=30DCA=30°°=∠CDB CDB，∴，∴，∴AC=AD AC=AD AC=AD，同理，同理FB=EF FB=EF，∴，∴，∴F F 与B 重合，重合， ∴t=t=（（6+26+2）÷）÷）÷1=81=8秒，∴当t=8秒时，平行四边形BCDE 是矩形．是矩形．14.14.解：解：解：(1)(1)(1)成立成立成立. .(2)(2)成立成立理由理由::∵四边形ABCD 为正方形为正方形,,∴AD=DC,AD=DC,∠∠BCD=BCD=∠∠ADC=90ADC=90°°. 在△在△ADF ADF 和△和△DCE DCE 中,DF=CE,,DF=CE,∠∠ADC=ADC=∠∠BCD,AD=CD BCD,AD=CD∴△∴△∴△ADF ADF ADF≌△≌△≌△DCE(SAS), DCE(SAS), ∴AF=DE,AF=DE,∠∠DAF=DAF=∠∠CDE. ∵∠∵∠ADG+ADG+ADG+∠∠EDC=90EDC=90°°,∴∠∴∠ADG+ADG+ADG+∠∠DAF=90DAF=90°°,∴∠∴∠AGD=90AGD=90AGD=90°°,即AF AF⊥⊥DE. (3)(3)四边形四边形MNPQ 是正方形是正方形. . 理由理由::如图如图,,设MQ 交AF 于点O,PQ 交DE 于点H, ∵点M,N,P,Q 分别为AE,EF,FD,AD 的中点的中点, ,∴MQ=PN=错误!未找到引用源。
难点解析华东师大版八年级数学下册第十八章平行四边形综合练习练习题(无超纲)
八年级数学下册第十八章平行四边形综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、某街区街道如图所示，其中CE 垂直平分,//,//AF AB CD BC DF ．从B 站到E 站有两条公交线路；线路1是B D A E →→→，线路2是B C F E →→→，则两条线路的长度关系为（ ）A ．路线1较短B ．路线2较短C ．两条路线长度相等D ．两条线路长度不确定2、如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，把BAE 以点B 为中心顺时针旋转一定角度后，得到BFG ，已知点F 在BC 上，连接DF ．若70ADC ∠=︒，15CDF ∠=︒，则DFG ∠的大小为（ ）A ．140°B ．155°C ．145°D ．135°3、在平行四边形ABCD 中，45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE ， BF 相交于H ，BF与AD 的延长线相交于点G ，下面给出四个结论：①BD ；②A BHE ∠=∠；③AB BH =；④BCF DCE ∆≅∆，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④4、如图，在ABCD 中，DE 平分ADC ∠，8AD =，3BE =，则CD =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75、在ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，∠BED =140°，则∠A 的大小为（ ）A ．140°B ．130°C ．120°D ．100°6、如图四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，则不能．．判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ∥CD ，∠DAC =∠BCAB ．AB =CD ，∠ABO =∠CDOC ．AC =2AO ，BD =2BO D ．AO =BO ，CO =DO7、四边形四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，b 为对边，且满足222222a b c d ab cd ++=++，则这个四边形是（ ）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形8、如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，则下列结论一定成立的是（ ）A ．OA OB = B ．AC BD = C ．AB CD = D ．AC BD ⊥9、如图，在ABCD 中，点M 是AB 延长线上的一点，若120D ∠=︒，则CBM ∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒10、如图，在平行四边形ABCD 中，∠A +∠C ＝130°，则∠B 的度数为（ ）A ．130°B ．115°C ．105°D ．95°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、在ABCD 中，已知对角线AC BD 、交于点O ，ABO 的周长为17，6AB =，那么对角线AC BD +=_________．2、如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若45ABC ∠=︒，则重叠部分四边形ABCD 的面积为_______．3、如图，BD 为ABCD 的对角线，M 、N 分别在AD AB 、上，且//,MN BD 则DMC S △_____BNC S △（填“＜”、“＝”或“＞”）4、如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AB ＝5，△OCD 的周长为23，则▱ABCD 的两条对角线长的和 ___．5、平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 边于点E ，∠ADC 的平分线交BC 边于点F ，AB=5， EF=1，则BC =______ ．6、如图，翠屏公园有一块长为12m ，宽为6m 的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m 的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m ），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m 2．7、如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，60B ∠=︒，1AB =，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以PA 、PC 为邻边作PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为______．8、如图，在平面直角坐标系中，A 是反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）图象上一点，B 是y 轴正半轴上一点，以OA 、AB 为邻边作▱ABCO ．若点C 及BC 中点D 都在反比例函数y ＝﹣4x（x ＜0）图象上，则k 的值为____________9、如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，且,6cm AD BC BC >=，点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，点P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，点Q 以2cm/s 的速度由向C 运动B ，则_____秒后四边形ABQP 成为一个平行四边形．10、如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝45°，AD ＝8，E 、H 分别为边AB 、CD 上一点，将▱ABCD 沿EH 翻折，使得AD 的对应线段FG 经过点C ，若FG ⊥CD ，CG ＝4，则EF 的长度为 _____．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，在ABCD 中，AD AB >．（1）用尺规完成以下基本操作：作BAD ∠的平分线交DC 延长线于点E ，交BC 于点F ；在DA 上截取DG ，使DG DC =；在AE 上截取AH ，使AH EF =；连接HG ；（保留作图痕迹，不写作法与结论）（2）在（1）所作的图形中，猜想HG 与CE 的数量关系，并证明你的结论．2、如图，网格的交叉点叫做格点，网格中每个小正方形边长为1．（1）在图①中，以给出的三点为顶点，在网格中自选一个格点，画出面积为6的四边形；（2）在图②中，用线段将这个平行四边形分割成四个形状和大小完全相同的三角形，要求线段的端点在格点上．3、已知：如图，在ABCD 中，E ，F 分别是边CD 和AB 上的点，//,AE CF BE 交CF 于点H ，DF 交AE 于点G ．求证：EG FH =．4、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 上一点．（1）用尺规完成以下基本操作：在AD 下方作DAF ∠，使得DAF BCE ∠=∠，AF 交DC 于点F ．（保留作图痕迹，不写作法)（2）在（1）所作的图形中，已知17BCE ∠=︒，58B ∠=︒，求EAF ∠的度数．5、小华要做一个平行四边形木框，他手头有七根木条，长度分别为：①3cm ，②5cm ，③3cm ，④6cm ，⑤5cm ，⑥8cm ，⑦9cm ．请你帮他选一选，哪四根木条可以组成一个平行四边形木框？请说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】由于路线1的路程为BD＋DA＋AE，路线2的路程为BC＋CF＋FE，将问题变为比较它们的大小这一数学问题．【详解】解：这两条路线路程的长度一样．理由如下：延长FD交AB于点G．∵BC∥DF，AB∥DC，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝CB．∵CE垂直平分AF，∴FE＝AE，DE∥AG，∴FD＝DG，∴CB＝FD．又∵BC∥DF，∴四边形BCFD是平行四边形．∴CF＝BD．①∵CE垂直平分AF，∴AE＝FE，FD＝DA．②∴BC＝DA．③路线1的长度为：BD＋DA＋AE，路线2的长度为：BC＋CF＋FE，综合①②③，可知路线1路程长度与路线2路程长度相等．故选C．【点睛】本题是一个图形在交通方面的应用题，解此类图形应用题的关键是建立合理的数学模型，并利用图形知识来解决这一模型，从而解决实际问题．考查线段的垂直平分线的性质，平行四边形判定与性质，中位线等知识．2、C【解析】【分析】根据题意求出∠ADF，根据平行四边形的性质求出∠ABC、∠BAE，根据旋转变换的性质、结合图形计算即可．【详解】解：∵∠ADC=70°，∠CDF=15°，∴∠ADF=55°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，∴∠BFD=125°，∵AE⊥BC，∴∠BAE=20°，由旋转变换的性质可知，∠BFG=∠BAE=20°，∴∠DFG=∠DFB+∠BFG=145°，故选：C．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、旋转变换的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．3、A【解析】【分析】先判断△DBE是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BD BE，可判断①不正确；根据∠BHE 和∠C都是∠HBE的余角，可得∠BHE=∠C，再由∠A=∠C，可判断②正确；证明△BEH≌△DEC，从而可得BH=CD，再由AB=CD，可判断③正确；利用对应边不等可判断④不正确，据此即可得到选项．【详解】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，∴∠DEB=90°，∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=180°-45°-90°=45°，∴BE=DE，∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，∴BD，故①正确；∵DE⊥BC，BF⊥DC，∴∠HBE+∠BHE=90°，∠C+∠FBC=90°，∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，∴∠BHE=∠C，又∵在▱ABCD中，∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，故②正确；在△BEH和△DEC中，BHE C HEB CED BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BEH ≌△DEC （AAS ），∴BH =CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB =CD ，∴AB =BH ，故③正确；∵BE ＞BH ＞BE =DE ，BC ＞BF ＞BH =DC ，∠FBC =∠EDC ，∴不能得到△BCF ≌△DCE ，故④错误．故选A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键．4、B【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出AB ＝CD ，AD ＝BC ＝8，AD ∥BC ，根据平行线性质求出∠ADE ＝∠DEC ，根据角平分线定义求出∠ADE ＝∠CDE ，推出∠CDE ＝∠DEC ，推出CE ＝DC ，求出CD 即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DEC，∴CE＝DC，∵BC＝8，BE＝3，∴CD＝CE＝8−3＝5，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出CD的长，注意：平行四边形的对边平行且相等，难度适中．5、D【解析】【分析】由平行四边形的性质得出∠AEB=∠CBE，由角平分线的定义和邻补角关系得出∠ABE=∠CBE=∠AEB=180°-∠BED=40°，再由三角形内角和定理即可得出∠A的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=140°，∴∠ABE=∠CBE=∠AEB=180°-∠BED=40°，∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=100°．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ABE=∠CBE=∠AEB是解决问题的关键．6、D【解析】【分析】AD BC，即可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断；A.证明//B.证明AB∥CD，即可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；C. 可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；D. 条件不足无法判断；【详解】∠DAC=∠BCA∴//AD BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项正确，不符合题意；∠ABO=∠CDO∴//AB CD又 AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项正确，不符合题意；AC=2AO，BD=2BO∴==AO CO BO DO,∴四边形ABCD是平行四边形，故C选项正确，不符合题意；D. 条件不足无法判断，符合题意；故选D【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．7、B【解析】【分析】根据完全平方公式分解因式得到a=b，c=d，利用边的位置关系得到该四边形的形状．【详解】解：222222a b c d ab cd+，++=+22220-++-+=，22a ab bc cd d22-=a b+-（，c d()0)--==，c da b0,0∴a=b，c=d，∵四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，∴c、d是对边，∴该四边形是平行四边形，故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．8、C【解析】【分析】根据平行四边形的性质可直接判断求解．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，A、OA=OB，不一定成立，故该选项不符合题意；B、AC=BD，不一定成立，故该选项不符合题意；C、AB=CD，成立，故该选项符合题意；D、AC BD，不一定成立，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．9、D【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠ABC的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠CBM的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=120°，∴∠CBM=180°-∠ABC=60°．故选：D．【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．此题比较简单，注意平行四边形的对角相等定理的应用．10、B【解析】【分析】由平行四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝130°，可求得∠C的度数，继而求得∠B的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠A＋∠C＝130°，∴∠C＝65°，∴∠B＝180°−∠C＝115°．故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，根据平行四边形对角相等解答是解此题的关键．二、填空题1、22【解析】【分析】平行四边形对角线互相平分，△ABO 的周长即为对角线的一半与一边AB 之和，有AB 的长，对角线之和则可解．【详解】 解：如图， ABCD ，11,,22OA OC AC OB OD BD ∴==== ()2,AC BD OA OB ∴+=+∵△ABO 的周长为17，AB =6，∴OA +OB =11，∴AC +BD =22．故答案为22．【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．2、【解析】【分析】作AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，然后确定四边形ABCD 为平行四边形，从而根据平行四边形的面积公式求解即可．【详解】解：如图所示，作AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，由题意，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AE ⊥BC ，∠ABC =45°，∴∠AEB =90°，∠BAE =45°，∴△ABE 为等腰直角三角形，AB ，由题意，AE =AF =4，∴AB ，∴四边形ABCD 的面积=AB ·AF【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法，理解题中的实际意义是解题关键．3、＝【解析】【分析】连结,BM DN ，根据平行四边形的性质可得，//AD BC ，由已知条件//,MN BD 根据等底同高的三角形面积相等可得MDC MDB BDN NBC S S S S ===△△△△，即可得出答案．【详解】连结,BM DN ，如图四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，//AB CDMDC MDB S S ∴=△△，BDN NBC S S =△△,//MN BD ，∴MDB BDN S S =△△,MDC MDB BDN NBC S S S S ∴===△△△△，∴DMC S △=BNC S △．故答案为：=【点睛】本题考查了平行四边形的性质，通过找到等底同高的三角形是解题的关键．4、36【解析】【分析】首先由平行四边形的性质可求出CD 的长，由条件△OCD 的周长为23，即可求出OD +OC 的长，再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的两条对角线的和．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD＝5，∵△OCD的周长为23，∴OD+OC＝23﹣5＝18，∵BD＝2DO，AC＝2OC，∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD+AC＝2（DO+OC）＝36，故答案为：36．【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质，解题关键是熟记平行四边形的基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．5、11或9##9或11【解析】【分析】分两种情形分别计算，只要证明AB=BE，CD=CF，即可推出AB=BE=CF，由此即可解决问题．【详解】解：如图，∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，∴∠BAE=∠EAD，∠ADF=∠CDF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∴∠BAE=∠AEB，∠DFC=∠CDF，∴AB=BE，CD=CF，即2AB+EF=BC，∵AB=5，EF=1，∴BC=11．如图，由（1）可知：AB=BE，CD=CF，∵AB=CD=5，∴AB=BE=CF=5，∵BE+CF-EF=BC，EF=1，∴BC=2×5-1=9，综上：BC长为11或9，故答案为：11或9．【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6、48【解析】【分析】利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解．【详解】解：根据题意得：种植鲜花的面积为2⨯-⨯⨯=．61222648m故答案为：48【点睛】本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．7【解析】【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO=QO，CO=AO∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，当P与P'重合时，OP的值才是最小，OC∴则PQ的最小值为2OP′=2×12【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题．8、8【解析】【分析】设点C 坐标为（a ，﹣4a ），点A （x ，y ），根据中点坐标公式以及D 点在反比例函数y ＝﹣4x上，求得D 的坐标，进而求得B 的坐标，根据平行四边形的性质对角线互相平分，再根据中点坐标公式列出方程，进而求得A 的坐标，根据待定系数法即可求得k 的值【详解】解：设点C 坐标为（a ，﹣4a），点A （x ，y ），∵点D 是BC 的中点，∴点D 的横坐标为2a ， ∴点D 坐标为（2a ，﹣8a ）， ∴点B 的坐标为（0，﹣12a）， ∵四边形ABCO 是平行四边形，∴AC 与BO 互相平分，∴0022a x++=，41222ya a-+-+=，∴x＝﹣a，y＝﹣8a，∴点A（﹣a，﹣8a ），∴k＝（﹣a）×（﹣8a）＝8，故答案为：8【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数的性质，中点坐标公式，利用平行四边形的对角线互相平分求得A点的坐标是解题的关键．9、2【解析】【分析】设运动时间为t秒，则AP=t，QC=2t，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP=BQ，则得方程t=6-2t 求解．【详解】解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，∵AD∥BC，∴AP∥BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∴t=6-2t，∴t=2，当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．故答案为：2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．10、8【解析】【分析】延长CF与AB交于点M，由平行四边形的性质得BC长度，GM⊥AB，由折叠性质得GF，∠EFM，进而得FM，再根据△EFM是等腰直角三角形，便可求得结果．【详解】解：延长CF与AB交于点M，∵FG⊥CD，AB∥CD，∴CM⊥AB，∵∠B=45°，BC=AD=8，∴CM，由折叠知GF=AD=8，∵CG=4，∴MF =CM -CF =CM -（GF -CG ），∵∠EFC =∠A =180°-∠B =135°，∴∠MFE =45°，∴EF ）故答案为：【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，解直角三角形的应用，关键是作辅助线构造直角三角形．三、解答题1、（1）见解析：（2）HG EC =；理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）连接CG ，根据题意证明BF DG =,即AG CF =，在证明GAH CFE ≌即可得出结论．【详解】解：（1）如图即为所作：（2）HG EC =；理由如下：连接CG ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴,,AB CD AD CB AD CB ==∥，B D ∠=∠，∵AE 平分BAD ∠，∴BAF DAF ∠=∠，∵DAF BFA ∠=∠，∴BAF BFA ∠=∠，∴BA BF =，∵DC DG =，∴AB BF DG DC ===，∴AG CF =，∵GAH CFE ∠=∠，AH FE =，∴()GAH CFE SAS ≌，∴HG EC =．【点睛】本题考查了作图－角平分线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．2、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求出三角形ABC 的面积，再以△ABC 边为边添加面积为2的三角形构成四边形即可；（2）利用中点的格点把平行四边形分成两个全等的小平行四边形，再利用平行的对角线分每个小平行四边形得到各得到全等的三角形即可．【详解】解：（1）∵三个顶点构成的三角形面积为12442⨯⨯=，以三边中某一边为边添加面积为2的格点三角形构成四边形，以AC为边添加△ACD，构成四边形ABCD，且面积为6；以BC为边添加△BCD，构成四边形ABDC，且面积为6以AB为边由于网格限定不能添加；（2）利用中点格点先把平行四边形ABCD分成两个全等的四边形，再利用平行的两条对角线把每个四边形分成全等的两个三角形如图．【点睛】本题考查确定三点构造面积为6的网格四边形，与分割平行四边形为四个全等的三角形，掌握三角形面积求法，与平行四边形的性质，以及平行的性质是解题关键．3、见解析【解析】【分析】根据题意四边形ABCD 是平行四边形，可得//,AB DC AB DC =，结合已知条件//AE CF ，可得四边形AECF 是平行四边形可得//AE CF ，进而判断四边形BFDE 是平行四边形，可得//DF EB ，进而可得四边形FHEG 是平行四边形，即可证明EG FH =．【详解】 证明：四边形ABCD 是平行四边形，//,AB DC AB DC ∴=，//AE CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，AF EC ∴=，//AE CF ，AB AF DC EC ∴-=-，即BF DE =，//AB CD ，∴四边形BFDE 是平行四边形，//DF EB ∴，//AE CF ，∴四边形FHEG 是平行四边形，EG FH ∴=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．4、（1）见解析；（2）105︒【解析】【分析】（1）延长CE ，在射线CE 上截取两点,M N ，使得AM AN =，作MN 的垂线l ，交EC 于点K ，在l 上截取AH AK =，作HK 的中垂线，交CD 于点F ，则DAF ∠即为所求；（2）根据三角形的外角性质以及平行线的性质即可求得EAF ∠的度数【详解】（1）如图所示，根据作图可知AF EC ∥，四边形ABCD 是平行四边形AE FC ∴∥，B D ∠=∠∴四边形AECF 是平行四边形AEC AFC ∴∠=∠,AFC D DAF AEC B ECB ∠=∠+∠∠=∠+∠DAF BCE ∴∠=∠则DAF ∠即为所求；（2）17BCE ∠=︒，58B ∠=︒，∴75∠=∠+∠=︒AEC B BCEBEC∴∠=︒-︒=︒18075105∥由（1）可知AF EC∴∠=∠=︒105EAF BEC【点睛】本题考查了尺规作图-作垂线，平行四边形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质，掌握基本作图是解题的关键．5、① ② ③ ⑤，理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可．【详解】∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴选择的木条为：① ② ③ ⑤，理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形．。
八年级数学下册第19章四边形单元综合测验试题
四边形制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、单项选择题〔每一小题4分，一共40分〕1、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能断定这个四边形是下方形的条件是( )A. AC=BD，AD CDB. AD∥BC，∠A=∠CC. AO=BO=OC=DO，AB=BCD. AO=CO，BO=DO，AB=BC2、矩形的四个内角平分线围成的四边形( )A. 一定是正方形B. 是矩形C. 菱形D. 只能是平行四边形3、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，那么原来的正方形铁片的面积是( )A. 8cmB. 64cmC. 8cm 2D. 64cm 24、如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB 边上的点P处．假设∠CDE=48°，∠APD等于( )A. 42°B. 48°C. 52°D. 58°5、如图，□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，假如AC=12、BD=10、AB=m，那么m的取值范围是( )A. 1<m<11B. 2<m<22C. 10<m<12D. 5<m<66、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，那么PE+PF 等于( )A. B. C. D.7、如以下图，延长方形ABCD的一边BC至E，使CE=AC，连结AE交CD于F，那么∠AFC的度数是( )A. 112.5°B. 120°C. 122.5°D. 135°8、如图，E是平行四边形内任一点，假设S □ABCD=8，那么图中阴影局部的面积是( )A. 3B. 4C. 5D. 69、如图，在□ABCD的面积是12，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，那么△BEF的面积为( )A. 6B. 4C. 3D. 210、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，设有以下论断：<1>AB=BC：<2>∠DAB=90°：<3>BO=DO，AO=CO：<4>矩形ABCD；<5>菱形ABCD；<6>下方形ABCD，那么以下推论中不正确的选项是( )A. B. C. D.二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕11、如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为其各边的中点，那么图中阴影局部的面积为( )。
2022年最新精品解析沪科版八年级数学下册第19章 四边形综合训练试卷(无超纲带解析)
沪科版八年级数学下册第19章四边形综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图所示，四边形ABCD是矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝5，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣5）2的值为（）A．10 B．25 C．50 D．752、如图已知：四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC=BD时，它是正方形D．当∠ABC=90 时，它是矩形3、下列命题是真命题的是（）A．有一个角为直角的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．有一组邻边相等的矩形是正方形4、如果一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，那么这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形5、若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．106、若一个直角三角形的周长为31，则此直角三角形的面积为（）A B C．3D．7、下列正多边形中，能够铺满地面的是（）A．正方形B．正五边形C．正七边形D．正九边形8、下列说法不正确．．．的是（）A．三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角B．四边形的内角和与外角和相等C．等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条D．全等三角形的周长相等，面积也相等9、平行四边形ABCD中，60A∠=︒，则C∠的度数是（）A．30B．60︒C．90︒D．120︒、于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以10、如图，以O为圆心，OA长为半径画弧别交OM ONOA长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接AC、BC，则四边形OACB一定是（）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，ABC 和DEC 都是等边三角形，连接AD ，BD ，BE ，30EBD ∠=︒．下列四个结论中：①ACD △≌BCE ；②180ADC BDE ∠+∠=︒；③222BE BD BC +=；④90BED ∠=︒，正确的是______（填写所有正确结论的序号）．2、如图，在ABC 中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，M ，N 为BC 上的两个动点，且MN =AM AN +的最小值是________．3、如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点P ，Q 为圆心，大于12PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA的延长线于点E，则AE的长是 _____．4、如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 _____．5、如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝4cm，则BC＝_____cm．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF 上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．请写出∠ECB和∠ACB的数量关系，并说明理由．2、在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段．点A固定在格点上．（1）若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，b是图中能用网格线段表示的最大无理数，则a＝，b＝，ba＝；（2ABCD，你画出的菱形面积分别为，．3、如图，已知△ACB中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，连接EC，过点A作AD∥EC，过点C作CD∥EA，AD与CD交于点D．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝8，∠DAE＝60°，则△ACB的面积为（直接填空）．4、综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为．（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．∠MBN＝12（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝1∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为．25、如图1，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点G在CD上，且DG＝5，点P从点B出发，以1单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒．（1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求y＝34时x的值；（2）在点P从B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；（3）如图2，M，N分别是AP、PG的中点，在点P从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形是什么形状，并直接写出它的面积．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据题意知点F是Rt△BDE的斜边上的中点，因此可知DF=BF=EF=5，根据矩形的性质可知AB=DC=x，BC=AD=y，因此在Rt△CDF中，CD2+CF2=DF2，即可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=x，AD=y，∴CD=AB=x，BC=AD=y，∠BCD=90°，又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF=5，∴BF=DF=EF=5，∴CF=5-BC=5-y，∴在Rt△DCF中，DC2+CF2=DF2，即x2+（5-y）2=52=25，∴x2+（y-5）2=x2+（5-y）2=25，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理，做题的关键是利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出BF的长度．2、C【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选不项符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．3、D【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定，结合选项进行判断即可．【详解】A.有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项为假命题；B.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项为假命题；C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项为假命题；D.有一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项为真命题．故选：D．【点睛】考查矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定，熟练掌握它们的判定方法是解题的关键．4、A【分析】多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的2倍，则多边形的内角和是180度，则这个多边形一定是三角形．【详解】解：多边形的外角和是360度，又多边形的外角和是内角和的2倍，∴多边形的内角和是180度，∴这个多边形是三角形．故选：A．【点睛】考查了多边形的外角和定理，解题的关键是掌握多边形的外角和定理．5、D【分析】根据多边形外角和定理求出正多边形的边数．【详解】∵正多边形的每一个外角都等于36°，∴正多边形的边数＝36036＝10．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．6、B【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，可得斜边为2，然后利用两直角边之间的关系以及勾股定理求出两直角边之积，从而确定面积．【详解】解：根据直角三角形斜边上中线的性质可知，斜边上的中线等于斜边的一半，得AC =2BD =2．∵一个直角三角形的周长为∴AB +BC等式两边平方得（AB +BC ）2 2，即AB 2+BC 2+2AB •BC∵AB 2+BC 2=AC 2=4，∴2AB •BC AB •BC即三角形的面积为12×AB •BC 故选：B ．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，巧妙求出AC•BC的值是解此题的关键，值得学习应用．7、A【分析】根据使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面，即可求解．【详解】解：A、∵正方形的内角和为360︒，∴正方形的每个内角为90°，而904=360︒⨯︒，∴正方形能够铺满地面，故本选项符合题意；B、正五边形的每个内角为()521801085-⨯︒=︒，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；C、正七边形的每个内角为()7218090077-⨯︒⎛⎫=︒⎪⎝⎭，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；D、正九边形的每个内角为()921801409-⨯︒=︒，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了用正多边形铺设地面，熟练掌握给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面是解题的关键．8、C【分析】根据三角形外角的性质，四边形内角和定理和外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质判断即可．【详解】∵三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角，正确，∴A不符合题意；∵四边形的内角和与外角和都是360°，∴四边形的内角和与外角和相等，正确，∴B不符合题意；∵等边三角形是轴对称图形，对称轴有三条，∴等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，错误，∴C符合题意；∵全等三角形的周长相等，面积也相等，正确，∴D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，四边形的内角和，外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质，准确相关知识是解题的关键．9、B【分析】根据平行四边形对角相等，即可求出C的度数．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A C ∠=∠，∴60A ∠=︒，∴60C ∠=°．故：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．10、B【分析】根据题意得到OA OB AC BC ===，然后根据菱形的判定方法求解即可．【详解】解：由题意可得：OA OB AC BC ===，∴四边形OACB 是菱形．故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．菱形的判定定理：①四条边都相等四边形是菱形；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形．二、填空题1、①③【分析】利用等边三角形的性质即可证明出≌ACD BCE ；在四边形BECD 中，根据30EBD ∠=︒，可得150BDE BED ∠+∠=︒，即210180ADC BDE ∠+∠=︒≠︒；先求出90ADB ∠=︒，得222AD BD AB +=，通过等量代换即可；根据150BDE BED ∠+∠=︒即可判断．【详解】解：ABC 和DEC 都是等边三角形，60,,ACB DCE AC BC CD CE ∴∠=∠=︒==，,ACB ACD DCB DCE BCE DCB ∠=∠+∠∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，∴≌ACD BCE ，故①正确；30EBD ∠=︒，在四边形BECD 中，36018030150BDE BED ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，60210180ADC BDE BDE BED ∴∠+∠=∠+∠+︒=︒≠︒，故②错误；270ADC CDE BDE BEC CDE BDE ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，36090ADB ADC CDE BDE ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，222AD BD AB ∴+=，,AD BE AB BC ==，222BE BD BC ∴+=，故③正确；30EBD ∠=︒，150BDE BED ∴∠+∠=︒，BDE∠不一定等于60︒，∴∠=︒不一定成立，90BED故④错误；故答案是：①③．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定定理、勾股定理、多边形内角和，解题的关键掌握等边三角形的性质，通过等量代换的思想进行求解．2【分析】过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，作点A关于BC的对称点A′，连接AA′交BC于点O，连接A′M，三点D、M、A′共线时，AM AN+最小为A′D的长，利用勾股定理求A′D的长度即可解决问题．【详解】解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，∴MD＝AN，AD＝MN，作点A关于BC的对称点A′，连接A A′交BC于点O，连接A′M，则AM＝A′M，∴AM ＋AN ＝A ′M ＋DM ，∴三点D 、M 、A ′共线时，A ′M ＋DM 最小为A ′D 的长，∵AD //BC ，AO ⊥BC ，∴∠DA A '＝90°，∵2AB AC ==，90BAC ∠=︒，，∴BC＝BO ＝CO ＝AO∴AA '=在Rt△AD A '中，由勾股定理得：A 'D =∴AM AN +【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，构造平行四边形将AN 转化为DM 是解题的关键．3、1【分析】根据基本作图，得到EC 是∠BCD 的平分线，由AB ∥CD ，得到∠BEC =∠ECD =∠ECB ，从而得到BE =BC ，利用线段差计算即可．【详解】根据基本作图，得到EC 是∠BCD 的平分线，∴∠ECD =∠ECB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BEC =∠ECD ，∴∠BEC =∠ECB ，∴BE =BC =5，∴AE = BE -AB =5-4=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了角的平分线的尺规作图，等腰三角形的判定，平行线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握尺规作图，灵活运用等腰三角形的判定定理是解题的关键．4、10【分析】根据正方形的性质，结合题意易求证AB BC =，BAM CBN ∠=∠，ABM BCN ∠=∠，即可利用“ASA ”证明ABM BCN ≅△△，得出1AM BN ==．最后根据勾股定理可求出22210BC BN CN =+=，即正方形的面积为10．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90ABC ∠=︒，∴90ABM CBN ．根据题意可知：90BAM ABM ∠+∠=︒，90CBN BCN ∠+∠=︒，∴BAM CBN ∠=∠，ABM BCN ∠=∠，∴在ABM 和BCN △中，BAM CBN AB BC ABM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABM BCN ASA ≅，∴1AM BN ==．∵在Rt BCN △中，222223110BC BN CN =+=+=，∴正方形ABCD 的面积是10．故答案为：10．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．5、8【分析】运用三角形的中位线的知识解答即可．【详解】解：∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC =2DE =8cm ．故答案是8．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线，掌握三角形的中位线等于底边的一半成为解答本题的关键．三、解答题1、∠ACB ＝3∠ECB ，见解析．【分析】由矩形的对边平行可得∠F =∠ECB ，由外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AGC =2∠F ，那么∠ECB ＝∠F ，所以∠ACB =3∠ECB ．【详解】解：∠ACB =3∠ECB ．理由如下：在△AGF 中，∠AGC ＝∠F +∠GAF ＝2∠F ．∵∠ACG ＝∠AGC ，∴∠ACG ＝2∠F ．∵AD//BC ，∴∠ECB ＝∠F ．∴∠ACB ＝∠ACG +∠BCE ＝3∠F ．故∠ACB ＝3∠ECB ．【点睛】本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2、（1；（2）4或5．【分析】（1）借助网格得出最大的无理数以及最小的无理数，进而求出即可；（2【详解】解：（1）由题意得：a b∴b a =，（2）如图1，2中，菱形ABCD 即为所求．菱形ABCD 的面积为=12×4×2=4或菱形ABCD 的面积，故答案为：4或5．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，无理数，勾股定理，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形解决问题．3、（1）见解析；（2）【分析】（1）由AD //CE ，CD //AE ，得四边形AECD 为平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质，得CE =AE ，可知四边形ADCE 是菱形；（2）由菱形的性质可得当∠DAE =60°时，∠CAE =30°，可求BC ，再根据勾股定理求出AC ，最后求面积即可．【详解】解：（1）∵AD ∥CE ，CD ∥AE ，∴四边形ADCE 是平行四边形．∵90ACB ∠=︒，E 是AB 的中点， ∴12CE AE AB ==， ∴四边形ADCE 是菱形；（2）∵四边形ADCE 是菱形，60DAE ∠=︒，∴1=302CAE DAE ∠=︒∠． ∵在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAE ∠=︒，=8AB ， ∴142CB AB ==， ∴2243AC AB BC ．∴12ACB S AC BC =⋅= 【点睛】此题主要考查了菱形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形面积，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．4、（1）MN =AM +CN ；（2）MN =AM +CN ，理由见解析；（3）MN =CN -AM ，理由见解析【分析】（1）把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合，则AM =CM'，BM =BM'，∠A =∠BCM'，∠ABM =∠M'BC ，可得到点M'、C 、N 三点共线，再由∠MBN =45°，可得∠M'BN =∠MBN ，从而证得△NBM ≌△NBM'，即可求解；（2）把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合，则AM =CM'，BM =BM'，∠A =∠BCM'，∠ABM =∠M'BC ，由∠A +∠C ＝180°，可得点M'、C 、N 三点共线，再由∠MBN ＝12∠ABC ，可得到∠M'BN =∠MBN ，从而证得△NBM ≌△NBM'，即可求解；（3）在NC 上截取C M'=AM ，连接B M'，由∠ABC +∠ADC ＝180°，可得∠BAM =∠C ，再由AB ＝BC ，可证得△ABM ≌△CB M'，从而得到AM =C M'，BM =B M'，∠ABM =∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC ，再由∠MBN ＝12∠ABC ，可得∠MBN ＝∠M'BN ，从而得到△NBM ≌△NBM'，即可求解．【详解】解：（1）如图，把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合，则AM =CM'，BM =BM'，∠A =∠BCM'，∠ABM =∠M'BC ，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴点M'、C、N三点共线，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN；（2）MN=AM+CN；理由如下：如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴点M'、C、N三点共线，∠ABC，∵∠MBN＝12∠ABC＝∠MBN，∴∠ABM+∠CBN=12∴∠CBN+∠M'BC=∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN；（3）MN=CN-AM，理由如下：如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'，∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CB M'，∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，∴∠MA M'=∠ABC，∠ABC，∵∠MBN＝12∴∠MBN＝1∠MA M'=∠M'BN，2∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，∵M'N=CN-C M'，∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键．5、（1）y=-2.5x+54，x=8；（2）存在，x=6；（3）平行四边形；15．【分析】（1）PB=x，PC=12-x，然后依据△APG的面积=矩形的面积-三个直角三角形的面积可得到y与x的函数关系式，然后将y=34代入函数关系式可求得x的值；（2）先依据勾股定理求得PA、PG、AG的长，然后依据勾股定理的逆定理列出关于x的方程，从而可求得x的值；（3）确定出点P分别与点B和点C重合时，点M、N的位置，然后依据三角形的中位线定理可证明M1M2∥N1N2，N1N2=M1M2，从而可判断出MN扫过区域的形状，然后依据平行四边形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=9，AD=BC=12．∵DG=5，∴GC=4．∵PB=x，PC=12-x，∴y=9×12-×129×x-12×4×(12-x)-12×5×12，整理得：y=-2.5x+54．当y=34时，-2.5x+54=34，解得x=8；（2）存在．∵PB=x，PC=12-x，AD=12，DG=5，∴PA2=AB2+BP2=81+x2，PG2=PC2+GC2=(12-x)2+16，AG2=AD2+DG2=169．∵当AG2=AP2+PG2时，AP⊥PG，∴81+x2+(12-x)2+16=169，整理得：x2-12x+36=0，配方得：(x-6)2=0，解得：x=6；（3）如图所示：∵当点P与点B重合时，点M位于M1处，点N位于点N1处，∴M1为AB的中点，点N1位GB的中点．∵当点P与点C重合时，点M位于M2处，点N位于点N2处，∴M2为AC的中点，点N2位CG的中点．∴M1M2∥BC，M1M2=12BC，N1N2∥BC，N1N2=12BC．∴M1M2∥N1N2，N1N2=M1M2．∴四边形M1M2N2N1为平行四边形．∴MN扫过的区域为平行四边形．S=12BC•(12AB-12CG)=6×2.5=15，故答案为：平行四边形；15．【点睛】本题主要考查了列函数关系式、三角形的面积公式、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用，画出MN扫过的图形是解题的关键．。
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四边形综合
一、选择题：
1、下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是：C
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．等腰梯形
D ．直角梯形
2、下列四边形各边中点连线为菱形的是：C
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．直角梯形
3、下列命题中，不正确的是：D
A ．平行四边形的对角线互相平分
B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C ．菱形的对角线互相垂直
D ．对角线互相垂直的四边形是菱形
4、直角梯形的一腰为10cm ，该腰与下底的夹角为45︒，且下底为上底长的2倍，则直角梯形的面积是：A A ．75cm 2 B ．100cm 2 C ．1021()+cm 2 D ．10221()+cm 2
3、对角线互相垂直平分但不相等的四边形是：C
A ．正方形
B ．矩形
C ．菱形
D ．非特殊平行四边形
4、已知四边形ABCD ，对角线AC=BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是：C
A ．正方形
B ．矩形
C ．菱形
D ．非特殊平行四边形
5、若等腰梯形上底长为a ，中位线长为b ，则连结两条对角线中点的线段的长是：B
A ．b a -2
B ．b a -
C ．b a -2
D ．b a 2
- 二、填空题： 3、菱形的周长是52cm ，一条对角线长是24cm ，那么另一条对角线长是。
三、证明：
2、已知：如图，正方形ABCD 中，E 是CD 上一点，F 是BC 上一点，且∠=︒EAF 45。
求证：EF=BF+DE
3.：如图4，已知：正方形ABCD ，E 、F 为AB 、BC 上两点，且EF=AE+FC
求证：∠=︒EDF 45
证明：延长BC 至G ，使CG=AE ，连结DG
ΘΘΘ正方形，（）
又，公用
（）
ABCD
AD CD A DCG DAE DCG SAS ADE CDG DE DG
ADC EDG EF AE FC
EF CG FC FG DF EDF GDF SSS EDF GDF ∴=∠=∠=︒
∴≅∴∠=∠=∠=︒
∴∠=︒
=+∴=+=∴≅∴∠=∠=︒
90909045∆∆∆∆,重点是证EDG=9
4：已知：如图7，∆ABC AB AC 中，=，延长AB 到D ，使BD=AB ，又CE 是AB 边上的中线。
求证：CE
CD =12
证明： 5、已知：如图14，矩形ABCD ，P 为矩形外一点，PA PC ⊥
求证：PB 与PD 垂直
6、已知：如图15，正方形ABCD 中，F 为DC 中点，AE=EC ＋AD
求证：AF 平分∠EAD
7、已知：如图12，E 、F 为∆ABC 的边AB 、BC 的中点，在AC 上取G 、H 两点，使AG=GH=HC ，连结EG 、FH ，并延长交于D 点。
求证：四边形ABCD 是平行四边形。
连接BG 和BH
则BG 平行FD BH 平行ED ( 因为G 、H 为AC 的三等分点) 即BHDG 是平行四边形
连接BD 交GH 于O
则BO=DO GO=HO
得AO=CO
可得四边形ABCD 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行
四边形)
8、已知：如图13，正方形ABCD ，P 是BD 上任意一点，DQ AP ⊥，
垂足是Q ，交AC 于R 。
求证：DP=CR
证明三角形APO 全等于DOR 所以DO+OP=RO+OC
7、已知：如图16，梯形ABCD ，AB ∥CD ，以AD 、AC 为邻边作□ACED ，DC 的延长线交BE 于F 求证：F 是BE 的中点
连接AE 交CD 于G 点 证明GF 为三角形AEB 中位线
9.
如图1，已知：□ABCD 中，
AE BD CF BD ⊥⊥，，垂足为E 、F ，G 、H
分别为AD 、BC 的中点，连结GE 、EH 、HF 、
FG 。
求证：EF 和GH 互相平分。
证明：
ΘAE BD G AD ⊥，为中点
∴==GE GD AD 12（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠=∠GED GDE （等边对等角） 同理可证：HF HB BC HFB HBF ==∠=∠12，
Θ□ABCD ∴∠=∠∴=∠=∠∴AD BC GDE HBF GE HF GED HFB GE HF
////，，且
∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴EF 和GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）
11：如图5，已知：正方形ABCD ，BE ∥AC ，且AE=AC 交BC 于F
求证CF=CE
证明：如图6，作EG AC ⊥于G ，连结BD 交AC 于O 。
∴⊥=BO AC BO AC ，12（正方形对角线相等，且互相垂直平分）
∴BO ∥EG （垂直于同一直线的两直线平行）
又∵BE ∥AC ∴BO=EG （夹在两条平行线间的平行线段相等）重点是证明EG=1/2AE
∴=
=∴=
EG AC AC AE EG AE Rt AEG 1212又，在中Θ
∆
∴∠=︒EAC 30（在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30︒）
Θ∆ACE 是等腰三角形 ∴∠=︒-∠=︒AEC EAC 180275
∵AC 是正方形ABCD 的对角线。
∴∠=︒ACB AFC 45，在中，∆ Θ∠=∠+∠=︒CFE EAC ACB 75（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
即（等角对等边）∠=∠∴=AEC CFE
CF CE。