医学高等数学习题解答(1,2,3,6)

第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)

一、判断题题解

1. 正确。设h (x )=f (x )+f (-x ), 则h (-x )= f (-x )+f (x )= h (x )。故为偶函数。

2. 错。y =2ln x 的定义域(0,+∞), y =ln x 2的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)。定义域不同。

3. 错。+∞=→20

1

lim

x

x 。故无界。 4. 错。在x 0点极限存在不一定连续。

5. 错。01

lim =-

+∞→x

x 逐渐增大。

6. 正确。设A x f x x =→)(lim 0

，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。

7. 正确。反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )-f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。 8. 正确。是复合函数的连续性定理。 二、选择题题解

1. ()

)( 22)]([,2)(,)(22

2D x f x x x f x x x ====ϕϕ

2. y =x (C )

3. 01

sin

lim 0=→x

x x (A )

4. 0cos 1sin

lim

0=→x x x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 1

1

1

1

1

f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++--

(B ) 6. 3092

<⇒>-x x (D )

7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。 (A )

8. 设1)(4

--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。 (D ) 三、填空题题解

1. 210≤-≤x ⇒31≤≤x

2. )arctan(3x y =是奇函数，关于原点对称。

3. 31=

ω,πω

π62==T 。 4. y x -=,可以写成x y -=。

5. 设6

t x =，1,1→→t x ，3

2

11lim 11lim 213

21=+++=--→→t t t t t t t 6. 2

arctan π≤x 有界，01

lim =∞→x x ，故极限为0。

7. 42

)

2sin(2

lim )2sin(4lim

222=--+=--→→x x x x x x x 8. c x c x c x x b ax x ++-=+--=++)1())(1(2

2⇒)1(,+-==c a c b ,而5)(lim 1

=+-→c x x ，得c =6, 从而

b =6, a=-7。

9. 1sin sin 1010

)

sin 1(lim )sin 1(lim --⋅-→→=-=-e x x x

x

x x x

x

10. 5

2

522cos 15sin 522sin lim 5sin 2cos 2sin lim 5sin 2tan lim

000=⋅⋅⋅=⋅=→→→x x x x x x x x x x x x x

11. 设u =e x -1，1ln 1

)

1ln(1lim

)1ln(lim

1

0==

+=+→→e

u u u

u

u u 12. 由0=x 处连续定义，1lim )(lim 0

===+-+→→x

x x e a x a ，得：a =1。

四、解答题题解 1. 求定义域

(1) ⎩⎨⎧≥-≥⇒⎩

⎨

⎧≥-≥0)1(000x x x x x x , 定义域为),1[+∞和x=0 (2) ⎪⎩

⎪⎨⎧≥-≤-025151

2x x ⇒⎩⎨⎧≤≤-≤≤-5564x x ⇒定义域为]5,4[-

(3) 设圆柱底半径为r ，高为h ，则v=πr 2h , 2r v h π=，则罐头筒的全面积⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=+=r v r rh r S 22

222πππ，

其定义域为(0,+∞)。

(4) 经过一天细菌数为)1(0001r N r N N N +=+=，经过两天细菌数为2

01112)1()1(r N r N r N N N +=+=+=,故经过x 天的细菌数为x

r N N )1(0+=，其定义域为[0,+∞)。

2. 12)(+-=

x x x f ，41222)2(-=+---=

-f ，)1( 1

2

)(-≠+++-+=+b a b a b a b a f 。 3. u e y =,x

t t v v u 1,sin ,3

===。

4. 证明：)1()()1ln(ln )1(ln )]1([++=++=+=+x f x f x x x x x x f 。

5. 令x +1=t , 则x=t -1。⎩

⎨⎧≤<-≤≤-=⎩⎨⎧≤-<-≤-≤-==+32 , )1(22

1 , )1(211 , )1(2110 , )1()()1(22t t t t t t t t t f x f ，所以：

⎩

⎨⎧≤<-≤≤-=32 , )1(221 , )1()(2x x x x x f 。

6. 求函数的极限

(1) 原式=34

3

/1131

12/1121

1lim 11

=----

++→∞n n n 。

(2) 原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-∞→111

3121211lim n n n =1111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→∞n n 。 (3) 原式=3211)1(3lim x x x x -++-→=112lim )1)(1()2)(1(lim 2121=+++=++-+-→→x

x x

x x x x x x x 。 (4) 原式=313233

22lim =+⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫

⎝⎛∞

→n n

n 。

(5) 原式=20sin 2sin 2lim x x x x →=

4sin 22sin 4lim 0=⋅⋅→x x

x x x 。（P289常见三角公式提示） (6) 原式=x x x x x arctan arcsin lim 210⋅→，令t x =arcsin ，则x t =sin ，1sin lim arcsin lim

00==→→t t

x

x t x 令t x =arctan ，则x t =tan ，1cos sin lim tan lim arctan lim

000=⋅==→→→t t t t t x x t t x ，原式=2

1

。