第三章离散时间傅立叶变换-Discrete-Time-Fourier-Transform
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第三章
离散时间傅立叶变换
Discrete-Time Fourier Transform
主要内容：
1. 离散时间傅立叶变换——定义、性质、收 敛条件 2. DTFT定理
3. 离散时间序列的能量谱密度
4. 带限离散时间信号
5. Matlab 应用
6. 离散时间系统频率响应
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform • 3.2.1 定义
j K
下图为K取不同值时的幅度图
sin c n - jn H LP , K (e ) e n n - K
j K
K=10 K=20
K=30
K=40
• 由图中可知， H LP , K (e ) 曲线上在点 ω=ωc 的邻域附近存在波纹（ripples ），这与式中求和 项无关。 • 波纹的数量随着K值的增加而增加，最大波纹的对 所有K值都保持一致。 • 随着K趋向无穷，
DTFT变换对
d n 1
DTFT
1
DTFT
k DTFT
2d 2 k
1 u n d 2 k j 1 e k e
j0 n
DTFT
k n
2d
n
x[n]
j
则：
X (e )
n
x[n]e
j n
n
x[n] e jn
n
x[n]
•满足上式的所有ω 值都能保证X(ej) 存在 •x[n] 的绝对可和是 X(ej) 存在的充分条件 （ sufficient condition ）
例3.8
一个DTFT的均方收敛示例
• 考虑一个 DTFT
1, 0 | | c H LP (e ) 0, c | |
j
j H ( e ) 的 DTFT 反变换如下： • LP
1 hLP [n] 2 sin c n , n
c
e
c
j n
1 1 e j
•
然而，一个能量有限的序列不一定是绝对可和的。
例如：
1 / n , n 1 x[n] 0, n 0
序列具有有限能量，
2 2 1 Ex 6 n 1 n
但是， x[n] 不是绝对可和的
2.均方收敛(mean-square convergence)
j
lim
K
| H LP (e j ) H LP , K (e j ) |2 d 0
图中
表明 H LP,K (e j ) 收敛于 H LP (e j ) ，在 H LP , K (e j ) 吉布斯现象（the Gibbs phenomenon）
间断点处的振荡在均方意义下逼近 H LP (e j ) ，称为
n -
h
LP
[n]e
- j n
sin c n - jn e n n -
j
对所有 ω 值不是一致收敛到H LP (e ) ，但在 均方意义下该式可收敛到H LP (e j ) 。 下面进一步研究hLP[n] 的均方收敛性，设
sin c n - jn H LP , K (e ) e n n - K
n
xre [n]e j n
3.32
X ca (e j ) FT jxim [n] j xim [n]e j n
n
3.33
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
一般序列实部对应的傅立叶变换具有共轭对称性质，
X (e ) X cs (e ) X ca (e )
j
3.30
1 j j )] 式中 X cs (e ) [ X (e ) X (e 2 1 j X ca (e ) [ X (e j ) X (e j )] 2
3.31a
3.31b
对于序列x[n] ，也有同上面类似的概念和结论。
3.非绝对可加或均方可加信号的DTFT
1 n 0 阶跃序列： u n 0 n 0
正弦序列： x n A cos 0n 指数序列：
x n A
n
• 例3.9- 复指数序列 x[n] e jon 其DTFT如下：
X (e ) 2d( o 2 k)
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
D.傅立叶变换的对称性表现为 （1） x n xre n jxim n
3.27
X (e ) X cs (e ) X ca (e )
则
j
j
j
3.30
X cs (e j ) FT xre [n]
xca (n) x (n)
ca
X ca (e ) X (e )
共轭反对称序列（函数）实部是奇函数，虚部是偶函数
j
ca
j
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
C 一般函数可分解为共轭对称分量和反共轭对称分量组 成，即： j j j
DTFT
0
2 k
1 u n ， 1 1 e j
n 0
1 1 e j
• X(ej) = 1/(1 – 0.5e-j)的幅度谱和相位谱
|X(ejω)|= |X(e-jω)|
θ(ω)=-θ(-ω)
• X(ej)是ω的连续周期函数，周期是2π
X (e
j ( 2 k )
)
n
x[n]e
j ( 2 k ) n
jω 和 X re (e ) 是ω的
jω •若序列x[n]是实序列，则 X(e )
偶函数，
和 X im (e ) ω的奇函数
j 是
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
因为
X ( e ) X (e ) e
j
j
j ( ) 2 k
(e ) d[n]e
n
j
jn
d[0] 1
1
• 例3.6—因果指数序列 x[n] n[n], 其DTFT 如下：
X (e ) [n]e
n
j
n
jn
e
n 0
n jn
当
e
j
1
( e j )n
表3.1复序列的DTFT的对称关系(P102)
表3.2实序列的DTFT的对称关系(P104)
3.2.4 收敛条件（ Convergence Condition ）
X (e ) x[n]e
n
j
j n
上式中的无穷级数可能收敛也可能不收敛
1.一致收敛(uniform convergence) 设 当
X (e )
j
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
• 3.2.2 基本性质
•一般情况下, X(ej) 实变量 的复函数
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )
实部
j
虚部
1 X re (e ) X (e j ) X (e j ) 2 1 j j j X im (e ) X (e ) X (e ) 2j
1 e e d [ ] 2 jn jn
jc n
- jc n
n
• 根据帕斯瓦尔关系得序列的能量：
n
1 hLP [n] 2
2
H LP (e ) d
j
2
c 1 c d 2 c • 能量有限，但不绝对可和
因此
2. 共轭对称性 A 共轭对称序列（函数）：
xcs n x n
cs
X cs (e ) X (e )
共轭对称序列（函数）实部是偶函数，虚部是奇函数
j
cs
j
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
2. 共轭对称性
B 共轭反对称序列（函数）：
1. 复序列
若x n X (e )
F j
则
x n X (e
F F F
j j j
) )
3.24 3.25
x n X (e
x n X (e )
3.26
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
k
j
其中 d() 是 的冲激函数，并且 试证明上式的正确性。
o
证明：
1 jn x[n] 2 d ( 2 k ) e d o 2 k d( o )e
jn
d e
jo n
序列x[n]的离散时间傅立叶变换 (DTFT) X(ej)
X (e )
1 x[n] 2
j
n
x[n]e
j
j n
分析式:在原始信号中存 在多少复指数信号
X (e
)e
j n
d
综合式:能从任意信号的复 指数分量中综合出该信号
• 例3.5—单位抽样序列d[n]的 DTFT
虚部（包括j）对应的傅立叶变换具有共轭反对称性质
结论：实序列的傅立叶变换具有共轭对称性,
虚数序列的傅立叶变换具有共轭反对称性
D.傅立叶变换的对称性表现为
（ 2） 式中
x[n] xcs [n] xca [n]
X (e ) X re (e ) jX im (e )
j j
j j
j j j
• 能量有限，但不绝对可和的序列x[n] ，为了用DTFT 表示，要考虑X(ejω)的均方收敛
lim | X (e
k
j
) X K (e ) | d 0
2
j
其中
X K (e )
j
n K
x[n]e
K
j n
此时，当K→∞时，误差 X (e j ) X K (e j ) 不一定趋于零，DTFT也不再有界
3.34 3.35
Re[ X (e )] X re [e ] FT xcs [n]
j Im[ X (e )] jX im[e ] FT xca [n]
结论：序列的
共轭对称部分xcs(n)的傅立叶变换是X(ej)的实部。
共轭反对称部分xca(n)的傅立叶变换是X(ej)的虚部。
X (e ) e
j
j ( )
对于所有的ω值，相位函数 ( ) 不能唯一确定
因此，相位函数取值范围设为
称为主值区间 （principal value ）
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
3.2.3 对称关系（Symmetry Relations）
由于
x[ n] x[ n] , n n
2
2
Biblioteka Baidu
•绝对可和的序列一定具有有限的能量
例 序列 x[n] n [n] ||< 1 是绝对可和的
1 [n] 1 n n 0
n n
其 DTFT X(ej) 一致收敛于
X K (e ) x[n]e
n K
j K
j
K
j n
lim X (e ) X K (e ) 0
j
称级数一致收敛(uniform convergence)于X(ej)
• 若 x[n] 是绝对可和的序列（ absolutely summable sequence ）
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
X(ej)又可写成： X (e j ) X (e j ) e j ( )
其中θ(ω) = arg X(e jω ) 相位谱 phase spectra
X (e )
j
幅度谱magnitude spectra
离散时间傅立叶变换
Discrete-Time Fourier Transform
主要内容：
1. 离散时间傅立叶变换——定义、性质、收 敛条件 2. DTFT定理
3. 离散时间序列的能量谱密度
4. 带限离散时间信号
5. Matlab 应用
6. 离散时间系统频率响应
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform • 3.2.1 定义
j K
下图为K取不同值时的幅度图
sin c n - jn H LP , K (e ) e n n - K
j K
K=10 K=20
K=30
K=40
• 由图中可知， H LP , K (e ) 曲线上在点 ω=ωc 的邻域附近存在波纹（ripples ），这与式中求和 项无关。 • 波纹的数量随着K值的增加而增加，最大波纹的对 所有K值都保持一致。 • 随着K趋向无穷，
DTFT变换对
d n 1
DTFT
1
DTFT
k DTFT
2d 2 k
1 u n d 2 k j 1 e k e
j0 n
DTFT
k n
2d
n
x[n]
j
则：
X (e )
n
x[n]e
j n
n
x[n] e jn
n
x[n]
•满足上式的所有ω 值都能保证X(ej) 存在 •x[n] 的绝对可和是 X(ej) 存在的充分条件 （ sufficient condition ）
例3.8
一个DTFT的均方收敛示例
• 考虑一个 DTFT
1, 0 | | c H LP (e ) 0, c | |
j
j H ( e ) 的 DTFT 反变换如下： • LP
1 hLP [n] 2 sin c n , n
c
e
c
j n
1 1 e j
•
然而，一个能量有限的序列不一定是绝对可和的。
例如：
1 / n , n 1 x[n] 0, n 0
序列具有有限能量，
2 2 1 Ex 6 n 1 n
但是， x[n] 不是绝对可和的
2.均方收敛(mean-square convergence)
j
lim
K
| H LP (e j ) H LP , K (e j ) |2 d 0
图中
表明 H LP,K (e j ) 收敛于 H LP (e j ) ，在 H LP , K (e j ) 吉布斯现象（the Gibbs phenomenon）
间断点处的振荡在均方意义下逼近 H LP (e j ) ，称为
n -
h
LP
[n]e
- j n
sin c n - jn e n n -
j
对所有 ω 值不是一致收敛到H LP (e ) ，但在 均方意义下该式可收敛到H LP (e j ) 。 下面进一步研究hLP[n] 的均方收敛性，设
sin c n - jn H LP , K (e ) e n n - K
n
xre [n]e j n
3.32
X ca (e j ) FT jxim [n] j xim [n]e j n
n
3.33
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
一般序列实部对应的傅立叶变换具有共轭对称性质，
X (e ) X cs (e ) X ca (e )
j
3.30
1 j j )] 式中 X cs (e ) [ X (e ) X (e 2 1 j X ca (e ) [ X (e j ) X (e j )] 2
3.31a
3.31b
对于序列x[n] ，也有同上面类似的概念和结论。
3.非绝对可加或均方可加信号的DTFT
1 n 0 阶跃序列： u n 0 n 0
正弦序列： x n A cos 0n 指数序列：
x n A
n
• 例3.9- 复指数序列 x[n] e jon 其DTFT如下：
X (e ) 2d( o 2 k)
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
D.傅立叶变换的对称性表现为 （1） x n xre n jxim n
3.27
X (e ) X cs (e ) X ca (e )
则
j
j
j
3.30
X cs (e j ) FT xre [n]
xca (n) x (n)
ca
X ca (e ) X (e )
共轭反对称序列（函数）实部是奇函数，虚部是偶函数
j
ca
j
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
C 一般函数可分解为共轭对称分量和反共轭对称分量组 成，即： j j j
DTFT
0
2 k
1 u n ， 1 1 e j
n 0
1 1 e j
• X(ej) = 1/(1 – 0.5e-j)的幅度谱和相位谱
|X(ejω)|= |X(e-jω)|
θ(ω)=-θ(-ω)
• X(ej)是ω的连续周期函数，周期是2π
X (e
j ( 2 k )
)
n
x[n]e
j ( 2 k ) n
jω 和 X re (e ) 是ω的
jω •若序列x[n]是实序列，则 X(e )
偶函数，
和 X im (e ) ω的奇函数
j 是
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
因为
X ( e ) X (e ) e
j
j
j ( ) 2 k
(e ) d[n]e
n
j
jn
d[0] 1
1
• 例3.6—因果指数序列 x[n] n[n], 其DTFT 如下：
X (e ) [n]e
n
j
n
jn
e
n 0
n jn
当
e
j
1
( e j )n
表3.1复序列的DTFT的对称关系(P102)
表3.2实序列的DTFT的对称关系(P104)
3.2.4 收敛条件（ Convergence Condition ）
X (e ) x[n]e
n
j
j n
上式中的无穷级数可能收敛也可能不收敛
1.一致收敛(uniform convergence) 设 当
X (e )
j
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
• 3.2.2 基本性质
•一般情况下, X(ej) 实变量 的复函数
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )
实部
j
虚部
1 X re (e ) X (e j ) X (e j ) 2 1 j j j X im (e ) X (e ) X (e ) 2j
1 e e d [ ] 2 jn jn
jc n
- jc n
n
• 根据帕斯瓦尔关系得序列的能量：
n
1 hLP [n] 2
2
H LP (e ) d
j
2
c 1 c d 2 c • 能量有限，但不绝对可和
因此
2. 共轭对称性 A 共轭对称序列（函数）：
xcs n x n
cs
X cs (e ) X (e )
共轭对称序列（函数）实部是偶函数，虚部是奇函数
j
cs
j
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
2. 共轭对称性
B 共轭反对称序列（函数）：
1. 复序列
若x n X (e )
F j
则
x n X (e
F F F
j j j
) )
3.24 3.25
x n X (e
x n X (e )
3.26
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
k
j
其中 d() 是 的冲激函数，并且 试证明上式的正确性。
o
证明：
1 jn x[n] 2 d ( 2 k ) e d o 2 k d( o )e
jn
d e
jo n
序列x[n]的离散时间傅立叶变换 (DTFT) X(ej)
X (e )
1 x[n] 2
j
n
x[n]e
j
j n
分析式:在原始信号中存 在多少复指数信号
X (e
)e
j n
d
综合式:能从任意信号的复 指数分量中综合出该信号
• 例3.5—单位抽样序列d[n]的 DTFT
虚部（包括j）对应的傅立叶变换具有共轭反对称性质
结论：实序列的傅立叶变换具有共轭对称性,
虚数序列的傅立叶变换具有共轭反对称性
D.傅立叶变换的对称性表现为
（ 2） 式中
x[n] xcs [n] xca [n]
X (e ) X re (e ) jX im (e )
j j
j j
j j j
• 能量有限，但不绝对可和的序列x[n] ，为了用DTFT 表示，要考虑X(ejω)的均方收敛
lim | X (e
k
j
) X K (e ) | d 0
2
j
其中
X K (e )
j
n K
x[n]e
K
j n
此时，当K→∞时，误差 X (e j ) X K (e j ) 不一定趋于零，DTFT也不再有界
3.34 3.35
Re[ X (e )] X re [e ] FT xcs [n]
j Im[ X (e )] jX im[e ] FT xca [n]
结论：序列的
共轭对称部分xcs(n)的傅立叶变换是X(ej)的实部。
共轭反对称部分xca(n)的傅立叶变换是X(ej)的虚部。
X (e ) e
j
j ( )
对于所有的ω值，相位函数 ( ) 不能唯一确定
因此，相位函数取值范围设为
称为主值区间 （principal value ）
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
3.2.3 对称关系（Symmetry Relations）
由于
x[ n] x[ n] , n n
2
2
Biblioteka Baidu
•绝对可和的序列一定具有有限的能量
例 序列 x[n] n [n] ||< 1 是绝对可和的
1 [n] 1 n n 0
n n
其 DTFT X(ej) 一致收敛于
X K (e ) x[n]e
n K
j K
j
K
j n
lim X (e ) X K (e ) 0
j
称级数一致收敛(uniform convergence)于X(ej)
• 若 x[n] 是绝对可和的序列（ absolutely summable sequence ）
3.2 离散时间傅立叶变换 Discrete-Time Fourier Transform
X(ej)又可写成： X (e j ) X (e j ) e j ( )
其中θ(ω) = arg X(e jω ) 相位谱 phase spectra
X (e )
j
幅度谱magnitude spectra