空间内插方法比较
空间内插方法
空间采样点分布的选择
规则采样和随机采样好的结合方法是成层随机采样，即单个 的点随机的分布于规则的格网内
聚集采样可用于分析不同尺度的空间变化
规则断面采样常用于河流、山坡剖面的测量
等值线采样是数字化等高线图插值数字高程模型最常用的方
▪ 离散空间数据内插 对于离散空间，假定任何重要变化发生在边界上，则在边界内的 变化是均匀的，同质的，即在各个方面都是相同的。对于这种空 间的最佳内插方法是邻近元法，即以最邻近图元的特征值表征未 知图元的特征值。这种方法在边界会产生一定的误差，但在处理 大面积多边形时，则十分方便。在Arc View中，无离散数据的内 差功能，只有把矢量的离散数据转换为GRID数据的功能。
法
（1）规则采样
（2）随机采样
（3）断面采样
（4）成层随机采样
（5）聚集采样
（6）等值线采样
空间插值分析
连续空间与离散空间
▪ 现实空间可以分为具有渐变特征的连续空间和具有跳跃特征的离散 空间。举例来讲，土地类型分布属离散空间，而地形表面分布则是 连续空间
空间插值分析
空间插值的理论假设是空间位置上越靠近的点，越可能具有 相似的特征值，而距离越远的点，其特征值相似的可能性越 小。
空间插值的基础
理论假设
▪ 空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的特征值 ▪ 而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小
需要空间插值的情况
▪ 现有的离散曲面的分辨率、象元大小或方向与所要求的不符，需要重 新插值 例如将影象从一种分辨率或方向转换到另一种分辨率或方向
▪ 现有连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符，需要重 新插值
[转载]插值算法（一）：各种插值方法比较
![[转载]插值算法（一）：各种插值方法比较](https://img.taocdn.com/s3/m/807a27741fd9ad51f01dc281e53a580216fc500f.png)
[转载]插值算法（⼀）：各种插值⽅法⽐较原⽂地址：插值算法（⼀）：各种插值⽅法⽐较作者：稻草⼈确定性随机性确定性随机性趋势⾯（⾮精确）回归（⾮精确）泰森（精确）克⾥⾦（精确）密度估算（⾮精确）反距离权重（精确）薄板样条（精确）整体拟合利⽤现有的所有已知点来估算未知点的值。
局部插值使⽤已知点的样本来估算位置点的值。
确定性插值⽅法不提供预测值的误差检验。
随机性插值⽅法则⽤估计变异提供预测误差的评价。
对于某个数据已知的点，精确插值法在该点位置的估算值与该点已知值相同。
也就是，精确插值所⽣成的⾯通过所有控制点，⽽⾮精确插值或叫做近似插值，估算的点值与该点已知值不同。
1、反距离加权法（Inverse Distance Weighted）反距离加权法是⼀种常⽤⽽简单的空间插值⽅法，IDW是基于“地理第⼀定律”的基本假设:即两个物体相似性随他们见的距离增⼤⽽减少。
它以插值点与样本点间的距离为权重进⾏加权平均，离插值点越近的样本赋予的权重越⼤，此种⽅法简单易⾏，直观并且效率⾼，在已知点分布均匀的情况下插值效果好，插值结果在⽤于插值数据的最⼤值和最⼩值之间，但缺点是易受极值的影响。
2、样条插值法（Spline）样条插值是使⽤⼀种数学函数，对⼀些限定的点值，通过控制估计⽅差，利⽤⼀些特征节点，⽤多项式拟合的⽅法来产⽣平滑的插值曲线。
这种⽅法适⽤于逐渐变化的曲⾯，如温度、⾼程、地下⽔位⾼度或污染浓度等。
该⽅法优点是易操作，计算量不⼤，缺点是难以对误差进⾏估计，采样点稀少时效果不好。
样条插值法⼜分为张⼒样条插值法（Spline with Tension）规则样条插值法（Regularized Spline）薄板样条插值法 (Thin-Plate Splin)3、克⾥⾦法（Kriging）克⾥⾦⽅法最早是由法国地理学家Matheron和南⾮矿⼭⼯程师Krige提出的，⽤于矿⼭勘探。
这种⽅法认为在空间连续变化的属性是⾮常不规则的，⽤简单的平滑函数进⾏模拟将出现误差，⽤随机表⾯函数给予描述会⽐较恰当。
第六讲 空间插值
每个采样点对插值结果的影响随距离增加而减弱，因 此距目标点近的样点赋予的权重较大。
n
a ttr0 a ttri * w i i1
wi
1 pow er (D isti )n
n
1 pow er(D isti )n
i1
二、空间插值方法
4. 距离反比加权法—参数对插值结果的影响
权重的影响
权重过高，较近点的影响较大，拟合表面更细致（不光 滑）；
趋势面分析的一个基本要求就是，所选择的趋势面模型应 该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精确度才能 达到足够的准确性；
在数学上，拟合数学曲面要注意两个问题：一是数学曲面 类型（数学表达式）的确定，二是拟合精度的确定。
二、空间插值方法
5.1 趋势面模型的建立
设地理要素的实际观测数据为Zi(xi,yi)(i=1,2,…,n)，
基本内容
空间插值：定义及应用 空间插值方法及特征
泰森多边形（ Voronoi ）及不规则三角网（TIN） 距离反比加权法（IDW） 地质统计学（Geostatistics)
利用样条曲线优化插值结果 插值精度评估 三参数插值方法（体数据或者动态演化特征）
为何进行插值？
1. 2D离散点转化为连续面，如地表、地层界面 如基于空间离散点，剖面数据和等高线等来构建连续
不足——对权重函数的选择十分敏感；易受数据点集群的 影响，结果常出现一种孤立点数据明显高于周围数据点的 “鸭蛋”分布模式；
全局最大和最小变量值都散布于数据之中。 距离反比很少有预测的特点，内插得到的插值点数据在样
点数据取值范围内。
二、空间插值方法
5. 趋势面分析
实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分，前者反应 地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用的结果； 而后者则对应于微观区域，被认为是随机因素影响的结果。
空间插值方法大致总结
前段时间要对气象要素进行插值,翻看了多种方法,做了个PPT报告.对每个方法有简单的介绍极一些总结,不一定都是个人看法,参考了多方书面(sufer,ArcGIS应用教程)以及坛子里,百度上等搜到的资料的看后笔记,有些注了出处有些忘了.截图共享下,也不知有用没用.有错的地方请跟贴指正,谢谢啦!--------------------------------所谓空间数据插值,即通过探寻收集到的样点/样方数据的规律,外推/内插到整个研究区域为面数据的方法.即根据已知区域的数据求算待估区域值, 影响插值精度的主要因素就是插值法的选取空间数据插值方法的基本原理:任何一种空间数据插值法都是基于空间相关性的基础上进行的。
即空间位置上越靠近,则事物或现象就越相似, 空间位置越远,则越相异或者越不相关，体现了事物/现象对空间位置的依赖关系。
（/dky/nb/page/2000-3-3/2000332117262480.htm，南京师范大学地理科学学院地理信息系统专业网络课程教程）➢由于经典统计建模通常要求因变量是纯随机独立变量，而空间插值则要求插值变量具备某种程度的空间自相关性的具随机性和结构性的区域化变量。
即区域内部是随机的，与位置无关的，而在整体的空间分布上又是有一定的规律可循的，这也是不宜用简单的统计分析方法进行插值预估的原因。
从而空间统计学应用而生。
➢无论用哪种插值方法，根据统计学假设可知，样本点越多越好，而样本的分布越均匀越好。
常用的空间数据插值方法之一：趋势面分析⏹趋势面分析（Trend analyst）。
严格来说趋势面分析并不是在一种空间数据插值法。
它是根据采样点的地理坐标X，Y值与样点的属性Z值建立多元回归模型，前提假设是，Z值是独立变量且呈正态分布，其回归误差与位置无关。
⏹根据自行设置的参数可建立线性、二次…或n次多项式回归模型，从而得到不同的拟合平面，可以是平面，亦可以是曲面。
精度以最小二乘法进行验证。
3.9。空间内插
3．9。
空间内插3．9．1 空间内插的定义和种类一、定义空间数据的内插通过已知点或分区的数据，推求任意点或分区数据的方法称为空间数据的内插。
其方法是从存在的观测数据中找到一个函数关系式，使该关系式最好地逼近这些已知的空间数据，并能根据函数关系式推求出区域范围内其它任意点或任意分区的值。
它是地理信息系统数据处理常用的方法之一，广泛应用于等值线自动制图、数字高程模型的建立、不同区域界线现象的相关分析和比较研究等。
二、分类：根据以知点或以知分区数据的不同，将空间数据分为点的内插和区域的内插：1、点的内插：是研究具有连续变化特征现象的数值内插方法，根据内插精度的不同可以将点的内插分为：精确和概略两种。
2、区域的内插：是研究根据一组分区的以知数据来推求同一地区另一组分区未知数据的内插方法，主要有重叠法和比重法两种。
三、意义遍历研究区域中的每个位置以测量该位置的高度、大小或某种特性通常都是困难的，或者是昂贵的，因而一般都是采用抽样的方法，按照一定原则，选出一些样点进行测量，然后使用插值函数，估计出所有其它位置的值。
输入的点可以是规则的空间点，也可以是离散点，它们都含有高度、大小或某种特性的值对输入的点进行插值，生成规则栅格网，通常有四种插值（生成表面）的方法：距离反转权重法（IDW）、样条函数法（Spline）、克里格法（Kriging）以及多项式趋势法（Polynomial trend）。
每种方法都有其独特之处，都有一些基本的假设，适用于不同的源数据和应用。
3．9．2 ARCINFO下的空间内插步骤：① Grid Tools----Statistics------Surface , 弹出对话框如下：主要有如下内插法：反距离内插、克里格内插、趋势面内插、拓扑格网内插等。
点击不同内插将进行不同的参数设置，从而根据需要进行各种内插运算。
②以做趋势面内插为例，加以说明：（1）点击 Trend Surface Interoolation 弹出Trend Function对话框：在Output grid 中输入生成的文件名在Name of input 中找到做为Z值的文件(2) 点击，弹出如下对话框，设置参数：（2）内插完成后可在ArcView中打开做内插分析的图，可多做几种内插分析来对比各个内插的区别。
ARCGIS中几种空间插值简单比较
ARCGIS中几种空间插值简单比较(2012-01-10 22:09:14)1.IDW。
基本思想是目标离观察点越近则权重越大，受该观察点的影响越大。
好处是观察点本身是绝对准确的，而且可以限制插值点的个数。
通过power可以确定最近原则对于结果影响的程度。
Search radius可以控制插值点的个数。
2.克里金插值。
克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择，IDW仅仅将距离的倒数作为权重，而克里金考虑到了空间相关性的问题。
它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。
对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。
在数据点多时，结果更加可靠。
时, 其内插的结果可信度较高。
通过某种函数来模拟他们之间的关系，这样就能够得到空间分布的关系了。
接着再用这种空间分布的关系来模拟出所得的数据。
Ordinary是指一般的情况，而universal是指已知某种分布模式比如风暴的模拟等等3.Natural Neighbour法原理是构建voronoi多边形，也就是泰森多边形。
首先将所有的空间点构建成voronoi多边形，然后将待求点也构建一个voronoi多边形，这样就与圆多边形有很多相交的地方，根据每一块的面积按比例设置权重，这样就能够求得待求点的值了。
个人感觉这种空间插值方法没有实际的意义来支持。
4.样条函数插值spline这种方法使用样条函数来对空间点进行插值，它有两个基本条件：1.表面必须完全通过样本点2.表面的二阶曲率是最小的。
一下是一篇论文里spline与IDW之间的比较：从本文实验数据可以看出，IDW 插值主要受幂指数和各采样点属性值变化情况的影响，幂指数越高，其局部影响的程度越高，在IDW搜索半径内，若各个采样点属性值变化较小时，内插结果受幂指数的影响较小；Spline 插值主要受插值类型（Regularized 或Tension）和weight 值的影响，一般Regularize 插值结果比Tension插值结果光滑，Regularized Spline 插值中，weight 值越高生成的表面越光滑，Tension Spline 插值则相反；总体来看，IDW和SPLINE 插值受采样点范围、采样点密度、采样点属性取值变化以及各自的参数影响，当采样点足够密时，使用IDW插值可以取得良好效果，SPLINE插值则适合那些空间连续变化且光滑的表面的生成。
空间内插
经过压缩后获得新点序A‘：{As1, As2,As3,… Asn} 经过压缩后获得新点序A ： As2,As3, 则压缩比为： 则压缩比为：a=m/n>1
数据压缩
数据压缩
光滑
道格拉斯——普克法 普克法 道格拉斯 (Douglas—Peucker)
基本思路是：对每一条曲线的首末点虚连一条直线， 基本思路是：对每一条曲线的首末点虚连一条直线，求 所有点与直线的距离，并找出最大距离值dmax dmax， 所有点与直线的距离，并找出最大距离值dmax，用dmax 与限差D相比： 与限差D相比： 若dmax＜D，这条曲线上的中间点全部舍去； dmax＜ 这条曲线上的中间点全部舍去； 若dmax≥D，保留dmax对应的坐标点，并以该点为界， dmax≥D，保留dmax对应的坐标点，并以该点为界， dmax对应的坐标点 把曲线分为两部分，对这两部分重复使用该方法。 把曲线分为两部分，对这两部分重复使用该方法。
叠置法； 叠置法； 比重法;
§5-8 数据压缩
数据压缩的概念：从所取得的数据集中抽出一个子集， 数据压缩的概念：从所取得的数据集中抽出一个子集，将 这个子集作为一个新的数据源，来代替原数据集在GIS GIS中 这个子集作为一个新的数据源，来代替原数据集在GIS中 进行各种作业，从而减少存储空间，降低运算时间。 进行各种作业，从而减少存储空间，降低运算时间。 要求： 要求：1）在规定的精度范围内最好地逼近原集合； 在规定的精度范围内最好地逼近原集合； 2）取得尽可能大的压缩比。 取得尽可能大的压缩比。 压缩比：信息载量的减少程度。 压缩比：信息载量的减少程度。 对曲线的压缩中，原点序A 对曲线的压缩中，原点序A为：{A1，A2，A3，… {A1，A2，A3， Am}
局部函数法
空间插值介绍简洁明了
（2）“实际”验证
将部分已知变量值的样本点作为“训练数据集”，用于插值 计算；另一部分样点 “验证数据集”，该部分站点不参加 插值计算。然后利用“训练数据集” 样点进行内插，插值 结果与“训练数据集”验证样点的观测值对比，比较插值的 效果。
插值方法
1. 最近邻法(Nearest Neighbor) 2. 算术平均值(Arithmetic Mean) 3. 距离反比法(Inverse Distance) 4. 高次曲面插值(Multiquadric) 5. 趋势面插值(Polynomial) 6. 最优插值(Optimal) 7. 样条插值(Spline Surface) 8. 径向基函数插值(Radial Basis Functions) 9. 克里金插值(Kriging) 10. 最小曲率 (Minimum Curvature)
公式
其数学表达式为：
v e vi vi 表示 i 点的变量值。 其中ve 表示待估点变量值，
i 点必须满足如下条件：
d ei min( d e1 , d e 2 , d en )
d ij xi x j y i y j
一、最近邻法(Nearest Neighbor)
• 最近邻点法又叫泰森多边形方法。它采用一种极端的边界内 插方法—只用最近的单个点进行区域插值（区域赋值）。 • 泰森多边形按数据点位置将区域分割成子区域，每个子区域 包含一个数据点，各子区域到其内数据点的距离小于任何到 其它数据点的距离，并用其内数据点进行赋值。
⑤ 可视化、可操作性（插值软件选择）：三维的透视图等。
插值验证
（1） 交叉验证 交叉验证法（cross－validation），首先假定每一测点 的要素值未知，而采用周围样点的值来估算，然后计算所有 样点实际观测值与内插值的误差，以此来评判估值方法的优 劣。 各种插值方法得到的插值结果与样本点数据比较。
空间插值——插值方法的适用范围
空间插值——插值⽅法的适⽤范围
空间确定性插值，以研究区域内部的相似性或者平滑度为基础，由已知样点来创建表⾯。
1、IDW
相近相似原理，反距离加权。
样点分布要尽可能均匀，且布满整个插值区域。
对于不规则分布的样点，插值时利⽤的样点往往也不均匀的分布在周围不同的⽅向上，这样对每个⽅向上的插值结果的影响不同，准确度也会降低。
2、全局多项式插值
⼀个多项式计算预测值，即⽤⼀个平⾯或曲⾯进⾏全区特征拟合。
⾮精确插值法，不与实际样点完全重合。
要求样点模拟的属性在研究区域表⾯的变化是平缓的。
或者检验长期变化的，全局性趋势的影响（即趋势⾯分析）时使⽤。
⼀般选三次拟合。
3、局部多项式内插
多个多项式，每个多项式处在特定重叠的邻近区域内。
不是精确内插。
当需要建⽴平滑表⾯且确定变量的⼩范围的变异时可以使⽤。
能描述数据集中含有的短程变异。
更多地⽤来解释局部变异。
4、径向基函数
包括平⾯样条函数、张⼒样条函数、规则样条函数、⾼次曲⾯函数、反⾼次曲⾯样条函数五种。
适⽤于表⾯变化平缓的表⾯。
当在较短的⽔平距离内，表⾯发⽣较⼤变化，或者⽆法确定采样点数据的准确性，或者采样数据具有较⼤不确定性时，不适⽤。
第三章 空间数据的处理——内插
r s p r s 0
b
rs
x y
r
s
P为二元函数阶数，通常≥1
趋势面法
趋势面的阶数
p=0,水平面
f ( x, y)
r s p
r s 0 f (x，y)=b0 p=1,倾斜面 f(x,y)=b0+b1x+b2y p=2,二次曲面 f(x,y)=b0+ b1x+b2y +b3x2+b4xy+b5y2 p=3,复杂曲面常用三次 f(x,y)=b0+ b1x+b2y +b3x2+b4xy+b5y2 +b6x3+b7x2y+b8xy2+b9y3
318 b 0 67.270 b 5043 650 29007 23862 1 . 23862 20714 b 2 4445 800 . 377
- 0.163 0.002 0.000 - 0.168 0.000 0.002 67.270 - 10.094 5043.650 0.020 4445.800 0.347
5、空间数据的内插方法
6、图幅数据边沿匹配处理
z b n b x b y
0 1 2
xz b x b x
0 1
2
b2 xy
2 y 2b yx 1b y 0b zy
改成矩阵形势并代入数据
5 377 318
23.210 - 0.163 - 0.168
比 重 法 区 域 内 插 值 实 例 ：
5.0 5.0 5.0 5.0
空间插值IDW
空间插值是用已知点的 数值来估算其它点的数 值的过程
例如：在一个没有数据记录的地点，其降水量可 通过对附近气象站已知降水量记录的插值来估 算出来。
为什么插值为栅格？
在GIS应用中主要用于估算出栅格 中每个象元的值。因此空间插值 是将点数据转换成面数据的一种 方法，目的是使点数据也能用于 空间分析和建模。
空间插值的理论假设是：空间位置上越靠近的点，越可能具有相 似的特征值，而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小。空 间插值方法正是依据该假设设计的，分为整体插值方法和部分插值方 法两类。
整体插值：用研究区域所有采样点的数据进行全区域特征拟合， 如边界内插法、趋势面分析等。
部分插值：仅仅用邻近的数据点来估计未知点的值，如最邻近点 法（泰森多边形方法）、移动平均插值方法（距离倒数插值法）、 样条函数插值方法、空间自协方差最佳插值方法（克里金插值）等。
nA1 += nTemp; nValue += nTemp * ValueList[i]; }
nValue = nValue / nA1; return nValue; }
IDW实现-公共函数2
//获取要素参数 protected void getFeaturesParameters(ref double[] nPointsX, ref double[] nPointsY, ref double[] nValues)
nValues[i] = Convert.ToDouble(pFeature.get_Value(this.m_nFieldIndex)); i++; pFeature = pCursor.NextFeature(); } }
IDW实现-公共函数3
ArcGIS中几种空间内插方法的比较
知值的估计 ， 应用领域很广 ， 以得到了迅速地发 所 展和提高。目前 ， 地质统计学已形成 了一套 比较完 整的理论体系， 研究了许多有用的技术方法 、 。 ［ 在Ｇ Ａ模块中 ， 有七类克立格方法 ， １中分 表 别是这七种方法的简单描述和适用范围。
基金 项 目： 国家 ４０专项（ ０３ ０ ） ２ ２ ０ １ ８
收稿 日期 ：２ ｏ ０ ５一ｌ ２一ｌ ３
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１ 期
秦涛等 ： ｒ Ｉ Ａｃ Ｓ中几种空间内插方法的比较 Ｇ
・ 设置距离 的幂值 ， 可 以明显地改变内插的效果。它规定在内插过程中， 距离 变化 影响 已知 点 对 未 知点 的权 重 按何 种指 数 规律增 、 的方式 ； 减 而后者是根据 已知样本 点的分 布结构 、 数据特性 、 创建表面的精度要求等， 我们可 以设置搜索邻域的形状和大小 ， 以及搜索区内已知 样本点的数量 ， 来控制其使用样点的数量和方式。 １ ２ 多项式 内插 法 ． 多项 式 内插法 （ ｏ ｎｍ ａ Ｉ ｅ ｏ ｔｎ 是 根 Ｐｌ ｏ ｉ ｔ ｐｌｉ ） ｙ ｌｎ ｒ ａｏ 据全部或局部 已知值 ， 按研究区域预测数据的某种 特定趋 势来 进行 内插 的方 法， 统计 方 法 的范 属 畴 。在 Ｇ Ｊ Ａ模块 中， 有二种类型 的多项式内插方 法， 即全局多项式 内插和局部多项式内插。前者多 用于分析数据的全局趋势 ； 后者则是使用多个平面 来拟合整个研究区域 ， 能表现出区域内局部变异 的 情况。 １３ 径 向基 函数 法 ．
实验：IDW和Spline空间插值对比与克里格方法内插生成曲面
实验四IDW和Spline空间插值对比与克里格方法内插生成曲面IDW和Spline空间插值对比实验目的：通过练习熟练掌握如何利用IDW内插方法和Spline内插方法进行GDP空间分布特征的分析，以及两种插值方法的适用条件，并以此来加强对空间插值的认识。
实验内容：用IDW法和Spline法内插生成GDP曲面实验数据与要求：数据：GDP为某地区的统计GDP数据，bound为该地区的边界数据。
要求：1)经济发展具有一定的连带效应和辐射作用。
以该地区各区域年GDP数据为依据，采用IDW和Spline内插方法创建该地区GDP空间分异栅格图。
2）分析每种插值方法中主要参数的变化对内插结果的影响。
IDW：P=2和P=5。
Spline：规则样条法，Weight = 0和Weight = 0.01；张力样条法，Weight = 0和Weight =5。
3）分析两种内插方法生成的GDP空间分布图的差异性，简单说明形成差异的主要原因。
实验过程与步骤：（1）运行ArcMap，点击Tools菜单下的Extensions，选择Spatial Analyst，点击Close 按钮（2）单击File菜单下的Open命令，选择E:\Chp8\Ex4\GDP.mxd（3）打开Options对话框中的General选项卡，设置默认工作路径为：“E:\Chp8\Ex4\result\”并设置Analysis mask为bound（4）在Spatial Analyst下拉菜单中选择Interpolate to Raster, 在弹出的下一级菜单中点击Inverse Distance Weighted，弹出如下图所示的对话框，设置Z value field为GDP；设置Power为2；设置Output cell size为500；其他参数不变，点击OK，进行计算Power=2时，生成的结果将Power值改为5，重复上述步骤。
下图为Power=5时，生成的结果（5）在Spatial Analyst下拉菜单中选择Raster Calculator，求Abs（（Power=2）—（Power=5））2、Spline内插法（1）在Spatial Analyst下拉菜单中选择Interpolate to Raster, 在弹出的下一级菜单中点击Spline。
空间插值方法大致总结
前段时间要对气象要素进行插值,翻看了多种方法,做了个PPT报告.对每个方法有简单的介绍极一些总结,不一定都是个人看法,参考了多方书面(sufer,ArcGIS应用教程)以及坛子里,百度上等搜到的资料的看后笔记,有些注了出处有些忘了.截图共享下,也不知有用没用.有错的地方请跟贴指正,谢谢啦!--------------------------------所谓空间数据插值,即通过探寻收集到的样点/样方数据的规律,外推/内插到整个研究区域为面数据的方法.即根据已知区域的数据求算待估区域值, 影响插值精度的主要因素就是插值法的选取空间数据插值方法的基本原理:任何一种空间数据插值法都是基于空间相关性的基础上进行的。
即空间位置上越靠近,则事物或现象就越相似, 空间位置越远,则越相异或者越不相关，体现了事物/现象对空间位置的依赖关系。
（/dky/nb/page/2000-3-3/2000332117262480.htm，南京师范大学地理科学学院地理信息系统专业网络课程教程）➢由于经典统计建模通常要求因变量是纯随机独立变量，而空间插值则要求插值变量具备某种程度的空间自相关性的具随机性和结构性的区域化变量。
即区域内部是随机的，与位置无关的，而在整体的空间分布上又是有一定的规律可循的，这也是不宜用简单的统计分析方法进行插值预估的原因。
从而空间统计学应用而生。
➢无论用哪种插值方法，根据统计学假设可知，样本点越多越好，而样本的分布越均匀越好。
常用的空间数据插值方法之一：趋势面分析⏹趋势面分析（Trend analyst）。
严格来说趋势面分析并不是在一种空间数据插值法。
它是根据采样点的地理坐标X，Y值与样点的属性Z值建立多元回归模型，前提假设是，Z值是独立变量且呈正态分布，其回归误差与位置无关。
⏹根据自行设置的参数可建立线性、二次…或n次多项式回归模型，从而得到不同的拟合平面，可以是平面，亦可以是曲面。
精度以最小二乘法进行验证。
空间内插方法比较
空间内插方法比较一、本文概述空间内插方法是一种在地理信息系统（GIS）和遥感技术中广泛使用的技术，用于根据已知的数据点推测未知区域的值。
这种方法在环境科学、气象学、城市规划、资源管理等众多领域都有着重要的应用。
本文旨在探讨和比较几种常见的空间内插方法，包括反距离权重法（IDW）、克里金插值法（Kriging）、自然邻点插值法（Natural Neighbors）以及多项式插值法等。
我们将首先简要介绍这些空间内插方法的基本原理和实施步骤，然后通过一个具体的案例或数据集来比较它们的性能。
我们将评估插值结果的精度、平滑度以及在不同应用场景下的适用性。
我们还将讨论这些方法的优缺点，以便读者能够根据自己的需求选择合适的空间内插方法。
通过本文的阅读，读者将对空间内插方法有更加深入的理解，能够掌握其基本原理和实施步骤，了解不同方法之间的差异和优缺点，并能够在实践中选择合适的空间内插方法。
二、空间内插方法概述空间内插是一种重要的地理信息系统（GIS）技术，用于估算在已知数据点之间或之外的未知地理位置的值。
它是通过分析和理解空间数据的分布模式，使用数学算法来预测和模拟这些模式在空间上的变化。
这种技术广泛应用于各种领域，包括环境科学、气象学、地质学、城市规划等。
空间内插方法大致可以分为两类：确定性方法和统计性方法。
确定性方法，如反距离权重法（IDW）、样条函数法（Spline）等，主要基于空间数据的物理特性和已知点之间的空间关系进行插值。
这类方法通常假设空间数据具有某种连续性和平滑性，通过最小化插值误差或最大化平滑度来得到预测值。
统计性方法，如克里金插值（Kriging）、协方差法等，则更多地依赖于对空间数据分布模式的统计分析和理解。
这类方法认为空间数据不仅具有空间相关性，而且可能存在某种潜在的随机性。
因此，它们通过构建和拟合空间统计模型，如变异函数或协方差函数，来估算未知位置的值。
每种空间内插方法都有其独特的优缺点和适用范围。
克里格内插法的总结
第三章第五节空间数据的内插方法总结
一、空间内插的概念：设一直一组空间数据，他们可以是离散点的形式，也可以是多边形分区数据的形式，现在要从这些数据中找到一个函数关系式，使关系式最好地逼近这些已知的空间数据，并能根据该函数关系式推求出区域范围内其它任意点或任意多边形分区范围的值。
这种通过已知点活多边形分区的数据，推求任意点或多边形分区数据的方法就称为空间数据的内插。
二、空间数据的内插分为两部分，一是点的内插；二是区域的内插；
点内插：地理信息系统书第96页，表3—3点的空间内插分类，知道每一个内插法的概念就可以了。
点内插重点放在克里金内插法，有普通、简单和通用内插法三种，记住原理概念就行的。
空间数据的内插方法
地形特征点
数 据 取 样——取样间隔大小的确定
小间隔取样
大间隔取样
取样间隔过大则数字地面模拟效果不佳，超出了精度要求。 如果间隔过小，保证了精度要求，但是数据存储量较大，对 数据库产生负担。
数 据 取 样——取样间隔大小的确定
Δh h’’ h1
Δh=h’’- h’
h’ h2 h2’
h’’:=(h1+h2)/2
未知高程点体由无数个面构成面由无数条线构成线由无数个点构成对数字地形的研究转变为对构成数字地形的点要素的研究由于测量条件野外工作条件或工程经费的限制决定了采集的点要素量往往是非常有限的
空间数据的插值方法
系 部: 资源科学系
瑞
主 讲 人: 黄
课程大纲
为何实施空间数据内插
空间数据内插的基本概念 空间数据内插实施的具体步骤 思 考 题
数据记录
数据记录是将内插结果，按一定的数据结构形
式，存储与磁性介质内，以供系统应用。
精度分析方法：在研究区内随机选取n个数据
点，与其对应的内插值进行比较
讨 论 题 — 研究某地区气象观测站的最优设置
目 的：某地区内有12个气象观测站，为了减少开支，计划减 少观测站的数目。 基本情况：已知该地区12个气象观测站的位置；已知10年来12 个气象观测站测得的年降水量； 问 题：考虑减少那些观测站可以使所得的降水量的信息足 够大？
插值
二次线性内
取样间隔大小
h’:=(h1+h2)/2
线性内插值
间隔大小确定原则:Δh应在数字地面模型精度要求的限差之内
数据处理
由于数据点离散,或者数据点虽按格网排列,但 格网密度不满足精度要求,这样就需要以数据点为
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第15卷第3期2000年6月地球科学进展ADV ANCE IN EARTH SCIEN CESV ol.15 No.3Jun.,2000学术论文空间内插方法比较李 新,程国栋,卢 玲(中国科学院寒区旱区环境与工程研究所,甘肃 兰州 730000)摘 要:空间内插可以分为几何方法、统计方法、空间统计方法、函数方法、随机模拟方法、物理模型模拟方法和综合方法。
介绍了每一种方法的适用范围、算法和优缺点。
指出没有绝对最优的空间内插方法,必须对数据进行空间探索分析,根据数据的特点,选择最优方法;同时,应对内插结果做严格的检验。
开发通用空间内插软件、智能化内插以及加强相关基础研究将是空间内插研究的重点。
关 键 词:空间内插;空间数据探索分析;地理信息系统中图分类号:P208 文献标识码:A 文章编号:1001—8166(2000)03-0260-061 空间内插根据已知地理空间的特性探索未知地理空间的特性是许多地理研究的第一步,也是地理学的基本问题。
常规方法无法对空间中所有点进行观测,但是我们可以获得一定数量的空间样本,这些样本反映了空间分布的全部或部分特征,并可以据此预测未知地理空间的特征。
在这一意义上,空间内插可以被定义为根据已知的空间数据估计(预测)未知空间的数据值。
其目标可以归纳为:①缺值估计:估计某一点缺失的观测数据,以提高数据密度;②内插等值线:以等值线的形式直观地显示数据的空间分布;③数据格网化:把无规则分布的空间数据内插为规则分布的空间数据集,如规则矩形格网、三角网等。
空间内插对于观测台站十分稀少,而台站分布又非常不合理的地区具有十分重要的实际意义。
这些地区的常规观测常常不能满足要求,在这种情况下,利用有限的常规观测估计合理的空间分布,或尽可能地提高数据密度就成为迫切要求。
在这些方面,缺值估计和数据格网化将发挥重要的作用。
(1)缺值估计。
各种科学考察中形式多样的短期观测是提高数据观测密度的重要方式,无形中起到了加密台站的作用;而且由于这些考察常常到达人迹罕至的高海拔和极地等区域,有助于了解区域内观测变量的完整空间分布。
但是,这些观测序列往往很短,短则数十天,长不过几年。
如何利用周围台站的长序列观测资料和短期观测本身的信息,将观测变量插补到长序列是一个重要问题。
(2)数据格网化。
规则格网能够更好地反映连续分布的空间现象,并对他们的变化作出模拟。
现代地球科学模型和气候模型,如GCM(一般环流模型),都要求与GIS数据模型和遥感数据高度兼容的空间数据集。
格网化的数据,尤其是规则矩形格网,已成为目前地学模型的主要数据形式。
因此,对已知观测台站的观测数据进行空间内插,得到格网化数据是模型的第一步。
空间内插一般包括这样几个过程〔1〕:①内插方法(模型)的选择;②空间数据的探索分析,包括对数据的均值、方差、协方差、独立性和变异函数的估计等;③内插方法评价;④重新选择内插方法,直到合理;⑤内插。
因此,通过比较而选择一个合用的、适合于数据空间分布特点的内插方法是空间内插的关键。
本文将空间内插分类为几何方法、统计方法、空间统计方中国科学院特别经费支持领域项目“冰冻圈基础研究”(编号:KJ-B-2-102)资助。
第一作者简介:李新,男,1969年10月生于甘肃酒泉,副研究员,主要从事地理信息系统和遥感在冰冻圈和水资源研究中的应用。
收稿日期:1999-08-19;修回日期:1999-11-03。
法、函数方法、随机模拟方法、物理模型模拟方法和综合方法,通过比较研究,指出每一种方法的适用范围、算法和优缺点。
2 空间内插方法比较空间内插可依据:①确定或随机;②点与面;③全局或局部等标准分类〔2～4〕。
本文依据内插方法的基本假设和数学本质,把空间内插分类为以下几种方法。
2.1 几何方法是最简单的空间内插方法。
几何方法基于“地理学第一定律”〔5〕的基本假设,即邻近的区域比距离远的区域更相似。
几何方法的优点是计算开销少,具有普适性,不需要根据数据的特点对方法加以调整。
当样本数据的密度足够大时,几何方法一般能达到满意的精度。
几何方法的最大问题是,无法对误差进行理论估计。
最常用的几何方法有泰森多边形(最近距离法)和反距离加权方法。
2.1.1 泰森多边形(最近距离法)泰森多边形用于生成“领地”或控制区域。
实际上,尽管泰森多边形产生于气候学领域,它却特别适合于专题数据的内插,因为它生成专题与专题之间明显的边界,不会有不同级别之间的中间现象。
泰森多边形的算法非常简单,未采样点的值等于与它距离最近的采样点的值。
2.1.2 反距离加权方法反距离加权法是最常用的空间内插方法之一。
它认为与未采样点距离最近的若干个点对未采样点值的贡献最大,其贡献与距离成反比。
可用下式表示:Z=ni=11(D i)pZ ini=11(D i)p(1)式中,Z是估计值,Z i是第i(i=1,…,n)个样本,D i 是距离,p是距离的幂,它显著影响内插的结果,它的选择标准是最小平均绝对误差。
Husar等〔6〕的研究结果表明,幂越高,内插结果越具有平滑的效果。
2.2 统计方法其基本假设是,一系列空间数据相互相关,预测值的趋势和周期是与它相关的其它变量的函数。
统计方法的优点是计算开销不大,有一定的理论基础,能够对误差作出整体上的估计。
但是,其前提是一定要有好的采样设计,如果采样过程不能反映出表面变化的重要因素,如周期性和趋势,则内插一定不能取得好的效果〔1,7〕。
常用的统计方法有趋势面方法和多元回归方法。
2.2.1 趋势面趋势面根据有限的观测数据拟合曲面,进行内插。
它适用于:①能以空间的视点诠释趋势和残差;②观测有限,内插也基于有限的数据。
当趋势和残差分别能与区域和局部尺度的空间过程相联系时,趋势面分析最有用〔8〕。
趋势面方法可以被定义为:y=Aθ+e(2)式中,y是n×1维矩阵,对应于n个样本;A是n个样本的坐标矩阵;θ是趋势面参数矩阵。
A和θ依赖于趋势面的次数。
趋势面的次数是它最重要的特征。
e是残差,通常是一个独立随机变量。
当残差是随机独立时,统计检验有效;但实际上,趋势面中的残差常是自相关(特别是趋势面的次数较低时),因此,检验是显著有偏差的。
残差的空间自相关可以用随机过程模型模拟。
由于趋势面的以上特性,它的目标有时并非最佳拟合,而是把数据分成区域趋势组分和局部的残差。
2.2.2 多元回归在各种统计方法中,使用较多的是回归分析,其特点是不需要分布的先验知识。
多元回归在数学形式上与趋势面很相似,但是,它们又有着显著的不同。
首先,在趋势面分析中,A 是坐标矩阵,而在回归分析中,它可以是任意变量。
其次,在趋势面方法中,模型的拟合严格地遵从自常数、一次、二次、立方等的顺序,主要的问题是确定模型的次数,因此,趋势面分析有内在的多重共线性问题;而在多元回归中,尽管也存在多重共线性,但它并非内在的,可以通过逐步回归解决,因此,相对于趋势面的选择次数,多元回归的核心问题是选择变量(主成分分析等方法有助于选择变量)和区分模型。
2.3 空间统计(Geostatistics)方法空间统计又称地质统计学,于20世纪50年代初开始形成,60年代在法国统计学家M athero n的大量理论研究工作基础上逐渐趋于成熟〔9,10〕。
其基本假设是建立在空间相关的先验模型之上的。
假定空间随机变量具有二阶平稳性,或者是服从空间统计的本征假设(intrinsic hypo thesis)〔1,11～15〕。
则它具有这样的性质:距离较近的采样点比距离远的采样点更相似,相似的程度、或空间协方差的大小,是通过点对的平均方差度量的。
点对差异的方差大小只与采样点间的距离有关,而与它们的绝对位置无关。
空间统计内插的最大优点是以空间统计学作为其坚261第3期 李 新等:空间内插方法比较 实的理论基础,可以克服内插中误差难以分析的问题,能够对误差做出逐点的理论估计;它也不会产生回归分析的边界效应。
缺点是复杂,计算量大,尤其是变异函数(v ariog ram )是几个标准变异函数模型的组合时,计算量很大;另一个缺点是变异函数需要根据经验人为选定。
空间统计方法以Kriging 及其各种变种(Co kriging 等)为代表。
2.3.1 Kriging 内插(1)Kriging 内插的公式Kriging 内插由南非地质学家Krige 发明,并因此而命名。
Ma theron 〔16〕给出了Kriging 的一般公式。
Kriging 内插的公式为:z ⌒(x 0)=ni =1λi z (x i )(3)式中,z (x i )为观测值,它们分别位于区域内x i 位置;x 0是一个未采样点;λi 为权,并且其和等于1。
即ni =1λi =1(4)选取λi ,使z ⌒(x 0)的估计无偏,并且使方差e ⌒2e 小于任意观测值线形组合的方差。
最小方差由下式给定:e ⌒2e=ni =1λi V (x i ,x 0)+h (5)它由下式得到:n i =1λi V (x i ,x j )+h =V (x j ,x 0) j (6)式中,V (x i ,x j )是z 在采样点x i 和x j 之间的半方差(semi-v ariance),V (x j ,x 0)是z 在采样点x i 和未知点x 0之间的半方差,这些量都从适宜的变异函数得到。
h 是极小化处理时的拉格朗日乘数。
估计半方差是一个较为复杂的过程,这一过程称为空间数据探索分析(ESDA )。
(2)空间数据探索分析(ESDA)对于Kriging 内插而言,空间数据探索分析的目标是建立半方差V (h )和点对之间的空间距离h 之间的关系,即变异函数。
由于空间统计的本征假设可以表示为以下两个公式:·任意两个距离为h 的两点间的差值的数学期望为0:E 〔Z (x )-Z (x +h )〕=0(7) ·任意两个距离为h 的两点间的差值的方差最小:Var 〔Z (x )-Z (x +h )〕=E{〔X ′(x )-X ′(x +h )〕2}=2V (h )(8)因此,由下式估计半方差γ(h ):V (h )=12n E n i =1〔z (x i +h )〕2(9)这一关系即变异函数。
它提供了内插、优化采样的有用信息。
Krig ing 内插的第一步是根据样本找到适合的变异函数理论模型。
最常用的变异函数模型有:nugg et 、球面、指数、高斯、阻尼正弦、幂和线形模型。
其中,前几种模型在一定的范围内达到极大方差,而线形模型的方差增长没有极限。
以下是几种基本变异函数的形式〔1,17〕,这些变异函数的特性分别是:·Nugg et 模型 缺乏空间相关。
·球面模型 空间相关随距离的增长逐渐衰减,当距离>θ后,空间相关消失。