江苏省无锡市大桥实验学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
江苏省2019-2020学年高一(下)期中考试数学试卷
高一（下）期中考试数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共有10小题，每题5分，共50分）1、已知点A （1，0），B （-1，1），则直线AB 的斜率为（ ）A 、21- B 、21C 、2-D 、22、在△ABC 中，︒=∠==60,3,3A b a ，那么∠B 等于（ ）A 、30°B 、60°C 、30°或150°D 、60°或120°3、直线0632=--y x 在y 轴上的截距为（ ）A 、3B 、-3C 、2D 、-24、已知正方体棱长为2，则它的内切球的表面积为（ ）A 、π2B 、π4C 、π8D 、π165、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,，如果7,5,3===c b a ，那么C cos 的值是（ ）A 、21B 、21-C 、1411D 、14136、在△ABC 中，已知2,30,3=︒==c A b ，则=a Asin （ ）A 、41B 、21C 、1D 、27、在△ABC 中，若C B A 222sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定8、设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题:①若γββα⊥⊥,，则γα∥ ②若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥③若αα⊂n m ,∥，则n m ∥ ④若n m ==βγαγβα ,,∥，则n m ∥其中正确命题的序号是（ ）A 、①④B 、①②C 、④D 、②③④9、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则异面直线AC 1与BB 1所成角的正弦值为（）A 、322 B 、42C 、31D 、2210、在锐角△ABC 中，c b a ,,分别为角A ，B ，C 所对的边，若A =2B ，则b a 的取值范围为（ ） A 、[)2,1 B 、()2,1 C 、()3,2 D 、]3,2[ 二、填空题（本大题共有6小题，每题5分，共30分）11、若空间两条直线b a ,没有公共点，则b a ,的位置关系是 .12、直线01=+-y x 的倾斜角是 .13、在△ABC 中，若︒=︒==45,60,2B A b ，则=a .14、过点（3，1），且垂直于x 轴的直线方程是 .15、在△ABC 中，1,3,30==︒=AC AB A ，则△ABC 的面积为 .16、如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论:①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D-ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面ABC.其中正确的是 .三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17、（10分）在△ABC 中，（1）已知33,60,1=︒==c A a ，求C ； （2）已知︒===150,2,33B c a ，求b .18、（12分）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求直线l的方程:（1）l的斜率为-1；（2）l与两条坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16.19、（12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AC为底面ABCD的对角线，E为D1D 的中点.（1）求证: D1B∥平面AEC；（2）求证: 平面DD1B⊥平面AEC.20、（12分）在△ABC 中，bc a c b +=+222.（1）求角A 的大小；（2）求C B cos sin 3-的最大值.21、（12分）扬州市广陵区拟建一主题游乐园，该游乐园为四边形区域ABCD ，其中三角形区域ABC 为主题活动区，其中m AB ABC ACB 612,45,60=︒=∠︒=∠，AD 、CD 为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC =120°，通道AD 、CD 围成三角形区域ADC 为游客休闲中心，供游客休憩.（1）求AC 的长度；（2）记游客通道AD 与CD 的长度和为L ，求L 的最大值.22、（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2.（1）证明: BC⊥平面AMN；（2）求三棱锥N-AMC的体积；（3）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE，若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由.。
江苏省无锡市大桥实验学校2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
A。 若 , ，则 B. 若 , ， ，则
C。 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面平行的性质,面面垂直的性质与判定,即可得出结论．
【详解】解：由 ， 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，知:
(2）由题意可得： ，可得 , 。
所以 ,
因为 ,
所以 ,故 。
【点睛】本题主要考查正弦定理得边化角公式，同时考查了三角函数恒等变换和值域问题,属于中档题.
20。如图，在多面体 中, 是正方形， 平面 ， 平面 ， ,点M为棱 的中点。
（1）求证： ；
（2）求证：平面 平面 ；
(3）若 , ，求E点到平面 的距离.
6.已知直线 与圆 交于 两点，则弦长 ( ）
A。 1B。 C。 2D。
【答案】C
【解析】
【分析】
由圆的方程求出圆心坐标和半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合垂径定理求出弦 的长。
【详解】由 可知圆心坐标为 ，半径 ，
则圆心到直线 的距离 ,
。
故选：C
【点睛】本题考查了几何法求圆的弦长以及点到直线的距离公式，属于基础题.
12。已知 分别为圆 : 与圆 ： 上的动点， 为 轴上的动点，则 的值可能是（ ）
A。 7B. 8C。 9D. 10
【答案】CD
【解析】
【分析】
计算得到 的最小值为 ，得到答案.
【详解】圆 ，关于 轴对称的圆为圆 ,
则 的最小值为 ，又 ,
故选: .
【点睛】本题考查了圆相关长度的最值问题,计算 的最小值为 是解题的关键。
江苏省无锡市2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷(II)卷
江苏省无锡市 2019-2020 学年高一下学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分）中，， 则 B=（ ）A.B. 或C. 或D.2. （2 分） 函数是（ ）A . 周期为 的奇函数B . 周期为 的偶函数C . 周期为 的偶函数D . 周期为 的奇函数3. （2 分） 甲船在岛 B 的正南 A 处，AB＝10 千米。
甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行，同时，乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60o 的方向驶去。
当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A . 分钟B . 小时C . 21.5 分钟D . 2.15 分钟4. （2 分） 设 a，b∈R，“a＝0”是“复数 a＋bi 是纯虚数”的（ ）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件第 1 页 共 11 页C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2 分） (2020 高一下·北京期中) 如果在中，，，，那么 B 等于（ ）A. B.C.D. 6. （2 分） (2020 高一下·北京期中) 下列说法正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则 ∥D.若，则 与 不是共线向量7. （2 分）(2020 高一下·北京期中) 设 的最小值是（ ）是平面上的两个单位向量，.若，则A.B.C.D.8. （2 分） (2020 高一下·北京期中) △ABC 中, 如果, 那么△ABC 是（ ）第 2 页 共 11 页A . 直角三角形B . 等边三角形C . 等腰直角三角形D . 钝角三角形9. （2 分） (2020 高一下·北京期中) 设点 A，B，C 不共线，则“ 与“”的（ ）A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件的夹角为锐角”是10. （2 分） (2020 高一下·北京期中) 对于非零向量 ， ，定义运算“*”： 为 ， 的夹角．有两两不共线的三个向量 ，下列结论正确的是（ ）A.若，则，其中B.C.D.二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11. （1 分） (2015 高二下·福州期中) 复数 z=i（i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是________12. （1 分） 已知 x∈[0，1]，则函数 y=的值域是________．13. （1 分） 若平面向量满足,则向量 与 的夹角为________.14. （1 分） (2020 高一下·北京期中) 如图所示，平面内有三个向量 、 、 ，其中 与第 3 页 共 11 页的夹角为 120°， 与 的夹角为 30°，且| |＝| |＝1，| |＝2 .若 ＝λ ＋ μ (λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值为________．15. （1 分） (2020 高一下·北京期中) 在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，，下列判断：①若，则角 C 有两个解；②若，则边上的高为；③不可能是 9.其中判断正确的序号是________.三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)16. （10 分） (2020 高二下·湖州期末) 已知函数.（1） 求函数的单调区间和极值；（2） 若函数 ）在区间17. （10 分） (2019 高二上·城关月考 ) 在，，且，（1） 求角 的大小；上存在零点，求的最小值.（参考数据：中，角的对边分别为，若向量（2） 若，求的面积的最大值.18. （15 分） (2016 高一下·宜春期中) 如图，四边形 OQRP 为矩形，其中 P，Q 分别是函数 f（x）= （A＞0，w＞0）图象上的一个最高点和最低点，O 为坐标原点，R 为图象与 x 轴的交点．sinwx第 4 页 共 11 页（1） 求 f（x）的解析式（2） 对于 x∈[0，3]，方程 f2（x）﹣af（x）+1=0 恒有四个不同的实数根，求实数 a 的取值范围19. （5 分） (2016 高二上·福州期中) 已知向量 =（cosωx﹣sinωx，sinωx）， =（﹣cosωx﹣sinωx，2 cosωx），设函数 f（x）= 1）+λ（x∈R）的图象关于直线 x=π 对称，其中 ω，λ 为常数，且 ω∈（ ，（1） 求函数 f（x）的最小正周期；（2） 若 y=f（x）的图象经过点（ ，0）求函数 f（x）在区间[0， ]上的取值范围． 20. （5 分） (2017 高一上·鞍山期末) 如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上 有两点 A（ ， ），B（ ， ）． （Ⅰ）求 ， 夹角的余弦值；（Ⅱ）已知 C（1，0），记∠AOC=α，∠BOC=β，求 tan的值．21. （5 分） (2018 高三上·邹城期中) 设 .（Ⅰ）求内角 的大小；分别为第 5 页 共 11 页的三个内角的对边，且（Ⅱ）若，试求面积的最大值.第 6 页 共 11 页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)16-1、16-2、第 8 页 共 11 页17-1、 17-2、 18-1、18-2、第 9 页 共 11 页19-1、19-2、第 10 页 共 11 页20-1、21-1、第11 页共11 页。
江苏省无锡市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷B卷
江苏省无锡市 2019-2020 年度高一下学期数学期中考试试卷 B 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 直线 3x+4y+5=0 的斜率和它在 y 轴上的截距分别为（ ）A. ，B.，C.，D. ，2. （2 分） (2018 高一下·应县期末) 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的 问最小的一份为（ ）等于较小的两份之和，A.B.C.D.3. （2 分） (2019 高二上·兴宁期中) 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）A.B.C.或D.或第 1 页 共 11 页4. （2 分） (2016 高一下·邯郸期中) 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A.B.C.D.5. （2 分） (2018 高二上·湖州月考) 已知直线，，则 与 之间的距离是（ ）A.B. C.1D. 6. （2 分） (2018 高二上·北京月考) 若方程 x2+y2+x+y+k=0 表示一个圆,则 k 的取值范围是（ ） A.第 2 页 共 11 页B.C.D.7. （2 分） 一批灯泡 400 只，其中 20 W、40 W、60 W 的数目之比为 4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个 容量为 40 的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（ ）A . 20 ,10 , 10B . 15 , 20 , 5C . 20, 5, 15D . 20, 15, 58. （2 分） 已知回归方程为，则该方程在样本（10，13）处的残差为（ ）A . 10B.2C.3D.49. （2 分） 一次发行 10000 张福利奖券，其中有 1 张特等奖，2 张一等奖，10 张二等奖，100 张三等奖，其 余的不得奖，则购买 1 张奖券能中奖的概率为（ ）A.B.C.D. 10. （2 分） 把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）第 3 页 共 11 页A . 对立事件 B . 互斥但不对立事件 C . 不可能事件 D . 必然事件11. （2 分） (2016 高一下·鹤壁期末) 若直线 直线 l 的倾斜角的取值范围（ ）与直线 2x+3y﹣6=0 的交点位于第一象限，则A.B.C.D.12. （2 分） (2017·南海模拟) 小李去上班可以搭同事的顺风车，同事经过小李家门口的时间是 8：00 且只 等小李 5 分钟，小李在 7：55 到 8：20 到家门口，小李可以搭上顺风车的概率是（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高二下·温州月考) 已知直线则________；若，则两平行直线间的距离为________．，直线，若，14. （1 分） (2019 高二上·慈溪期中) 圆 C:x2+y2-8x-2y=0 的圆心坐标是________;关于直线 l:y=x-1 对称的圆 C'的方程为________.第 4 页 共 11 页15. （1 分） 如图，圆 O 的弦 AB ， CD 相交于点 E ， 过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P ， 若 PA=6， AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则 BE=________ 。
江苏省无锡市大桥实验学校2019-2020学年高一下学期期中数学试题
【解析】
【分析】
【详解】
连接 ，由于 ，所以 或其补角即为所求， ，满足 ，故 ．
故答案为：90°
16．
【解析】
分析：由题意首先利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理得到不等式，求解不等式即可求得最终结果.
详解：由 结合正弦定理可得： ，且 ， 为锐角，则： ，即 ，据此有： ， ， ， ，即 ， ，据此可得： ，则 的取值范围为 .
A． 平面
B．
C．若E是底面圆周上的动点，则 的最大面积等于 的面积
D．l与平面 所成的角为45°
12．已知 分别为圆 ： 与圆 ： 上的动点， 为 轴上的动点，则 的值可能是（）
A．7B．8C．9D．10
13．已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为________________.
14．如图，为了测量山坡上灯塔 的高度，某人从高为 的楼 的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为 ， ，若山坡高为 ，则灯塔高度是________.
江苏省无锡市大桥实验学校2019-2020学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．直线x y+1=0的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°
C．120°D．150°
2．已知m为实数，直线 ， ，若 ，则实数m的值( )
因为 ，
所以 ，故 .
【点睛】
本题主要考查正弦定理得边化角公式，同时考查了三角函数恒等变换和值域问题，属于中档题.
（Ⅱ）分直线 斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式即可得到答案
【详解】
直线 可化为 ，
由 可得 ，所以点A的坐标为 .
2019-2020学年江苏省无锡一中高一(下)期中数学试卷(有答案解析)
2019-2020学年江苏省无锡一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.两条异面直线是指A. 空间中两条不相交的直线B. 不同在任何一个平面内的两条直线C. 分别在两个平面内的两条直线D. 平面内的一条直线和平面外的一条直线2.如果，，那么直线不通过A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中的真命题为A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则或4.一个球的表面积是，则它的体积是A. B. C. D.5.若三条直线，和相交于一点，则A. B. C. 2 D.6.若三角形三边长分别是4，5，6，则这个三角形的形状是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定7.平行六面体中，既与AB共面也与共面的棱的条数为A. 3B. 4C. 5D. 68.在中，，则是A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 两直角边互不相等的直角三角形9.正四棱锥相邻二侧面形成的二面角为，则的取值范围是A. 一定是锐角B. 一定是钝角C. 可能是直角D. 可能是锐角，钝角，但不是直角10.在中，若，，则角C的取值范围是A. B. C. D.11.从点向圆引切线，则切线长的最小值为A. B. 5 C. D. 312.若的三边为a，b，c，它的面积为，则角C等于A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.用一张长8cm、宽4cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积为______．14.已知在中，，，，若点D在BC上，且，则AD的长为______．15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆：与为圆心的圆相交于，两点，且满足，则实数m的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.直线的倾斜角为______．17.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知．求角B；若，，求sin C的值．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABE，，，F为CE的中点，求证：平面BDF；平面平面ACE．19.已知四棱锥中，底面ABCD，，底面ABCD是边长为的正方形，E是PD的中点．求点A到平面PDC的距离；求异面直线AE与PC所成角的余弦值．20.已知直线l经过点．且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；若直线l被两条相交直线和所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程．21.某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角从正北方向顺时针转到AB方向所成的角是，距离是1km；从B到C，方位角是，距离是1km；从C到D，方位角是，距离是．求出从A到C的方位角；计算从A到D的距离．22.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在y轴右侧，原点O和点都在圆C上，且圆C在x轴上截得的线段长度为3．求圆C的方程；若M，N为圆C上两点，若四边形MONP的对角线MN的方程为，求四边形MONP面积的最大值；过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率分别为，，且，试判断直线AB的斜率是否为定值，并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：在A中，空间中的两条平行线不是异面直线，故A错误；在B中，由异面直线的定义得不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，故B正确；在C中，分别在两个平面内的直线有可能相交，也有可能平行，故C错误；在D中，平面内的一条直线和平面外的一条直线有可能相交，也有可能平行，故D错误．故选：B．利用异面直线的定义和性质求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意异面直线的性质的合理运用．2.答案：B解析：解：直线化为：．，，假设，则，，则直线不通过第二象限．假设，则，，则直线不通过第二象限．故选：B．直线化为：由，，对C分类讨论即可得出．本题考查了直线斜率与截距的意义、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：由两条直线m，n和平面，知：对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若，，则或，故C错误；对于D，若，，则由线面平行的性质定理得或，故D正确．故选：D．对于A，或；对于B，m与n相交、平行或异面；对于C，或；对于D，由线面平行的性质定理得或．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4.答案：D解析：解：设球的半径为R，则球的表面积，，它的体积故选：D．利用球的表面积公式求出球的半径，代入球的体积公式计算即可．本题考查了球的表面积，体积公式及应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：由得交点为，代入，得．故选：B．先联立已知的两条直线方程求出两直线的交点，然后把交点坐标代入第三条直线中即可求出k的值．考查学生会利用联立两条直线的方程组成方程组求交点坐标，理解直线交点的意义．6.答案：A解析：解：三角形三边长分别是4，5，6，设，，，可得因此，三角形三个角满足，C为最大角，得，而为锐角，从而A、B均为锐角所以三角形ABC的形状是：锐角三角形故选：A．设三角形ABC中，，，，可得，所以满足然后利用余弦定理，计算出角C的余弦为正数，得到角C为锐角，可得三角形的三个角均为锐角，从而证明出为锐角三角形．本题借助于一个三角形形状的证明，着重考查了余弦定理及其应用，和三角函数的定义域、值域等知识点，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】根据平行六面体的结构特征和平面的基本性质进行判断，即找出与AB和平行或相交的棱．本题考查了平行六面体的结构特征和平面的基本性质的应用，找出与AB和平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力．【解答】解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、、、符合条件．故选C．8.答案：C解析：解：在中，，由正弦定理得：，，，，，或，或，为等腰或直角三角形，故选：C．利用正弦定理将中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可．本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题．9.答案：B解析：解：如图，为正四棱锥，设AE、CE垂直于SB，则为二面角的平面角为，且，，在正方形ABCD中，由勾股定理得，，，在中，由余弦定理得，．，则的取值范围是，故选：B．正四棱锥中，设AE、CE垂直于SB，则为二面角的平面角，且，，利用余弦定理，即可求得的取值范围．本题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力，是中档题．10.答案：A解析：解：因为，，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知，根据余弦定理所以故选：A．利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可求得b的范围，进而利用余弦定理表示出cos C的表达式，根据b的范围求得cos C的范围，进而求得C的范围．本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题的基本的推理能力．11.答案：A解析：【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，掌握切线长问题的一般求解思路．因为过P点的圆的切线长，圆半径，以及P点到圆心距离构成直角三角形，又因为圆半径为定值1，所以要求切线长的最小值，只需求P点到圆心距离的最小值即可．【解答】解：设圆心为C，切点为A，连接PC，PA，AC，为圆C的切线，，，当PC最小时，PA有最小值．，，，即，此时，故选A．12.答案：A解析：【分析】利用余弦定理列出关系式，表示出，利用三角形面积公式表示出面积，根据题意列出关系式，求出tan C的值，即可确定出C的度数．此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．【解答】解：由余弦定理得：，即，由三角形面积公式得：，，即，且C为锐角，则角C等于．故选A．13.答案：或解析：解：若圆柱的高为8cm，底面周长为4cm，则圆柱的底面半径为，圆柱的体积；若圆柱的高为4cm，底面周长为8cm，则圆柱的底面半径为，圆柱的体积．故答案为：或．根据圆柱的结构特征分类求得圆柱的底面半径和高，则体积可求．本题考查了圆柱的结构特征，体积计算，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．14.答案：解析：解：因为在中，，，，若点D在BC上，且，利用余弦定理的应用，整理得，解得，在中，设，则，，利用余弦定理，在中，，，，利用余弦定理，由于，所以，解得．故答案为：．首先利用余弦定理的应用求出BC的长，进一步利用余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．15.答案：3解析：解：根据题意，圆：，圆心为，圆的坐标为；两圆相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线为直线，又由A满足，变形可得，则有，即点O在线段AB的垂直平分线上，则有点O在直线上，则有，解可得；故答案为：3．根据题意，由圆与圆相交的性质可得线段AB的垂直平分线为直线，进而由，变形可得，则有，即可得点O在直线上，据此可得，解可得m的值，即可得答案．本题考查圆与圆相交的性质，涉及两圆相交弦的性质，属于中档题．16.答案：解析：解：设直线的倾斜角为．由直线化为，，．故答案为：．把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．本题考查了斜截式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．17.答案：解：在中，由，以及正弦定理可得：，，，，，可得．，，，，，在中，由正弦定理，可得，解得．解析：在中，由以及正弦定理可得，求得cos B的值，结合B的范围可求B的值．由条件利用余弦定理可得c的值，进而根据正弦定理即可求解sin C的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：证明：设，连接FG，易知G是AC的中点，是EC中点，由三角形中位线的性质可得，平面BFD，平面BFD，平面BFD．平面平面ABE，，平面平面平面ABE，又平面ABE，，又，，平面BCE，．在中，，F为CE的中点，，，平面ACE，又平面BDF，平面平面ACE．解析：设，由三角形中位线的性质可得，从而证明平面BFD．利用线面垂直的判定定理平面BCE，得到，由等腰直角三角形的性质证明，从而证明平面ACE，即证平面平面ACE．本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，线面平行的判定、面面垂直的判定，证明是解题的难点．19.答案：解：底面ABCD，，底面ABCD是边长为的正方形，．由底面ABCD，且平面PAD，得平面平面ABCD，又平面平面，且，得平面PAD，，．设A到平面PDC的距离为h，则，即．点A到平面PDC的距离为；取CD的中点F，连接EF，则，是异面直线AE与PC所成角或其补角．连接AF，由知，则，，．．异面直线AE与PC所成角的余弦值为．解析：由已知求出三棱锥的体积，再求出三角形PCD的面积，利用等体积法求点A 到平面PDC的距离；取CD的中点F，连接EF，则，可得是异面直线AE与PC所成角或其补角，然后求解三角形得答案．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用等体积法求点到面的距离，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：当直线斜率不存在时，直线方程为；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，解得；直线l的方程为．综上，所求直线方程为或；设直线l夹在直线，之间的线段为在上，B在上，A，B的坐标分别设为，，被点P平分，，，于是，；由于A在上，B在上，，解得，，即A的坐标是，直线l的方程的斜率为：；直线l的方程，即．解析：当直线斜率不存在时，直线方程为；当直线斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式列式求得k值，则直线方程可求；设直线m夹在直线，之间的线段为在上，B在上，求出点B的坐标用A 的坐标表示，根据A在上，B在上，求得A的坐标，用两点式求得直线l的方程．本题主要考查用待定系数法求直线方程，直线的两点式方程的应用，属于中档题．21.答案：解：连接AC，在中，，又，故，由余弦定理可得，，中，，，由余弦定理可得，，由正弦定理可得，，故，于是AD的方位角为，所以从A到D的方位角为，距离为．解析：结合已知方位角，然后利用余弦定理可求AC，进而可求AD；结合正弦定理可求，即可求解距离．本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解实际问题中的应用，属于中档试题．22.答案：解：由题意，圆C过点，，，设圆C的方程为．则，解得．圆C的方程为，即；由可知，，半径，C到MN的距离．，当且仅当时取等号．由，解得．由O，P在MN的两侧，得，即．O到MN的距离，P到MN的距离．四边形MONP的面积．时，四边形MONP的面积有最大值为；由题意可设PA：．联立，得．设，则，，．，结合，同理．解析：由题意，圆C过点，，，设出圆的一般方程，把三个点的坐标代入可得关于D，E，F的方程组，求得D，E，F的值，则圆的方程可求；由求得圆心坐标与半径，求得C到MN的距离．由垂径定理求弦长，得到弦长最大值．再由题意求出m的范围，然后利用点到直线的距离公式分别求出O到MN的距离，P到MN的距离弦长四边形MONP的面积，可得时，四边形MONP 的面积有最大值为；由题意可设PA：与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求得A的坐标，同理求得B的坐标，结合及两点求斜率公式可得直线AB的斜率为定值．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．。
2020年江苏省无锡市高一(下)期中数学试卷解析版
22. 如图，圆 M：
，点
圆 M 的两条切线，切点分别为 A、B．
为直线 l：
上一动点，过点 P 引
若 ，求切线所在直线方程； 求 的最小值； 若两条切线 PA，PB 与 y 轴分别交于 S、T 两点，求
的最小值．
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1.【答案】D
答案和解析
【解析】解：由题意可得直线的斜率 k= =- ，
A. 相交
B. 外离
C. 内切
D. 外切
7. 直线 m，n 和平面 α，若 m，n 与平面 α 都平行，则直线 m，n 的关系可以是（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 异面
D. 以上都有可能
8. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 sinA=3sinCcosB，且 c=2，则△ABC
11. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=1，则 PC 与 底面 ABC 所成角的正切值为______．
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12. 如果平面直角坐标系中的两点 A（a-1，a+1），B（a，a）关于直线 L 对称，那么 直线 L 的 方程为______．
即 tanα=- ，故 α= ，
故选：D． 由直线的方程易得斜率，进而可得倾斜角． 本题考查直线的倾斜角，由直线方程得出斜率是解决问题的关键，属基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
由已知利用正弦定理 sinC= ，利用大边对大角可求∠C 为锐角，即可利用特殊角的三角
函数值得解． 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用 ，考查了转化思想，属于基础题． 【解答】
江苏省无锡市2019年高一下学期期中数学试卷A卷
江苏省无锡市2019年高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在区间[0,]上随机取一个数x,则事件“sinx cosx”发生的概率为（）A .B .C .D . 12. （2分）点A（sin2016°，cos2016°）在直角坐标平面上位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2019高一上·哈尔滨月考) 已知，则角的终边在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分） (2015高三上·承德期末) 已知α∈（﹣π，﹣），且sinα=﹣，则cosα等于（）A . ﹣B .C . ±D .5. （2分）已知A={锐角}，B={第一象限角}，C={小于90°的角}，那么A，B，C的关系式（）A . A=B∩CB . B⊆CC . A∪C=CD . A=B=C6. （2分）甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·永年期末) 已知sin（π+α）= ，且α是第四象限角，则cos（α﹣2π）的值是（）A . ﹣B .C . ±D .8. （2分） (2016高一上·成都期中) 设f（x）= ，则f（5）的值是（）A . 24B . 21C . 18D . 169. （2分） (2018高一下·商丘期末) 袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A . 至少有一个白球；都是白球B . 至少有一个白球；红、黑球各一个C . 恰有一个白球；一个白球一个黑球D . 至少有一个白球；至少有一个红球10. （2分）本式的值是（）A . 1B . ﹣1C .D .11. （2分）四位二进制数能表示的最大十进制数是（）A . 4B . 15C . 64D . 12712. （2分）如图的程序框图，能判断任意输入的整数x的奇偶性：其中判断框内的条件是（）A . m='0'B . x='0'C . x='1'D . m=1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）855°角的终边在第1 象限．14. （1分） (2016高一下·珠海期末) 从编号为0，1，2，…，89的90件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是9的样本．若编号为36的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．15. （1分）855°转化为弧度数为116. （1分） (2016高一下·汉台期中) 下列说法中正确的有________①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等．②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大．③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响．④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为求：（1）乙至少击中目标2次的概率；（2）乙恰好比甲多击中目标2次的概率．18. （10分）已知tan（π+α）=﹣，tan（α+β）= ．（1）求tan（α+β）的值；（2）求tanβ的值．19. （5分） (2016高二上·玉溪期中) 20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．20. （10分）(2018·兴化模拟) 已知向量，，，若，（1）求的值；（2）若，求角的大小．21. （5分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1﹣0.999104 ．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．22. （10分）(2018·安徽模拟) 近年电子商务蓬勃发展，年某网购平台“双”一天的销售业绩高达亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为，对快递的满意率为，其中对商品和快递都满意的交易为次.附：（其中为样本容量）（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？对快递满意对快递不满意合计对商品满意对商品不满意合计（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这次交易中再随机抽取次进行电话回访，听取购物者意见.求电话回访的次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
江苏省无锡市2020版高一下学期期中数学试卷(II)卷
江苏省无锡市2020版高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·清城期中) 已知：sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ），则sinθcosθ+cos2θ=（）A .B .C .D .2. （2分）在所在的平面内，点满足，且对于任意实数，恒有，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·邹城期中) 如图点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B ，则（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·江西模拟) 函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A . 向左平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向右平移个单位长度5. （2分）已知，且，则的值等于（）A .B . -7C .D . 76. （2分）若均为单位向量，且，则的最大值为（）A . 3B .C . 1D .7. （2分）(2019·大连模拟) 已知向量，则＝（）A . 6B . -6C . -1D . 18. （2分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则的值为（）A . -B .C . -D .9. （2分） =（）A . ﹣1B . 1C .D .10. （2分）已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）A . 1B .C .D . 211. （2分） (2020高一下·焦作期末) 已知函数（，）的部分图像如图所示，若存在，满足，则（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·山东模拟) 如果，，那么等于（）A . ﹣18B . ﹣6C . 0D . 18二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·杭州模拟) 已知向量，满足||=1，2- ·+1=0，则·（2+)的取值范围是________．14. （1分） (2019高一下·上海期中) 已知，在第二象限，则 ________．15. （1分） (2019高一下·凯里月考) 如图，在正方形中，，为上一点，，为的中点，则 ________.16. （1分）给出下列命题：①函数y=sin2x偶函数；②函数y=sin2x的最小正周期为π；③函数y=ln（x+1）没有零点；④函数y=ln（x+1）在区间（﹣1，0）上是增函数．其中正确的命题是________（只填序号）三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分） (2020高一下·句容期中) 如图，已知正三角形的边长为1，设， .（1）若D是的中点，用分别表示向量，；（2）求；（3）求与的夹角.18. （5分）已知角α∈[﹣30°，120°]；（1）写出所有与α终边相同的角β的集合A；并在直角坐标系中，用阴影部分表示集合A中角终边所在区域；（2）在（1）条件下，若，α∈A，求sinα，cosα的值．19. （10分） (2020高一下·怀仁期中) 在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，，且 .（1）求角A；（2）当，时，求边长b和角B的大小.20. （15分） (2016高一下·芒市期中) 已知向量 =（3，0）， =（﹣5，5）， =（2，k）（1）求向量与的夹角；（2）若∥ ，求k的值；（3）若⊥（），求k的值．21. （10分） (2018高一下·瓦房店期末) 在中，，，分别为内角，，的对边，，，且满足 .（1）求角的大小；（2）设函数，求函数的最小正周期和单调递增区间.22. （5分） (2019高一下·南宁期中) 已知函数的在区间的最大值为4 ，求实数的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
江苏省无锡市大桥实验学校2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
江苏省无锡市大桥实验学校2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1.直线x +1=0的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°【答案】D 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】直线x +1=0的斜率k 3==-， 设其倾斜角为θ（0°≤θ<180°）， 则tan 3θ=-， ∴θ=150° 故选：D【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.2.已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，()23220l m x my -+-=：，若12l l //，则实数m 值( ) A. 2 B. 1C. 1或2D. 0或13【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值；【详解】解：当0m =时，两直线方程分别为10y -=和220x --=，不满足条件．当0m ≠时，则12//l l ，∴32211m m m --=≠-， 由321m mm -=得2320m m -+=得1m =或2m =， 由211m -≠-得2m ≠，则1m =， 故选：B【点睛】本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题.3.过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A. ()()22314x y -++= B. ()()22314x y ++-= C. ()()22114x y -+-= D. ()()22114x y +++=【答案】C 【解析】 【分析】直接根据所给信息，利用排除法解题．【详解】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ， 点()1,1B -在圆上，排除A 故选C【点睛】本题考查利用排除法选出圆的标准方程，属于基础题． 4.在ABC 中，cos cos a A b B =，则ABC 的形状为( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理将等式两边a 和b 转化成对应角的正弦，利用二倍角正弦公式化简整理，再由正弦值和角的关系即可得到答案.【详解】cos cos a A b B =，正弦定理可得2sin cos 2sin cos R A A R B B =， 即sin 2sin 2A B =，()20,2A π∈，2(0,2)B π∈，22A B ∴=或22A B π+=.∴A B =或2A B π+=，∴ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D【点睛】本题主要考查三角形形状的判断、正弦定理和二倍角的正弦公式的应用，考查学生转化能力，属于基础题.5.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC. 若αβ⊥，m αβ=，n ⊂α，则n β⊥D. 若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行的性质，面面垂直的性质与判定，即可得出结论．【详解】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 在B 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，若αβ⊥，m αβ=，n ⊂α，则n 与β相交、平行或n β⊂，故C 错误；在D 中，若m α⊥，//m n ，n β⊂，则由面面垂直的判断定理得αβ⊥，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．6.已知直线10x y +-=与圆()()22123x y -+-=交于,A B 两点，则弦长||AB =（ ）A. 1C. 2D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合垂径定理求出弦AB 的长.【详解】由()()22123x y -+-=可知圆心坐标为()1,2，半径r =，则圆心到直线10x y +-=的距离d ==∴||2AB ==.故选：C【点睛】本题考查了几何法求圆的弦长以及点到直线的距离公式，属于基础题.7.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若::4:3:2a b c =，则2sin sin sin 2A BC-=（ ） A.37B.57C.97D.107【答案】D 【解析】 【分析】 由题意2sin sin 2sin sin 2sin 22sin cos 2cos A B A B a bC C C c C---==，再由余弦定理可求出cos C ，即可求出答案. 【详解】由题意2sin sin 2sin sin 2sin 22sin cos 2cos A B A B a bC C C c C---==，::4:3:2a b c =，设4,3,2a k b k c k ===，由余弦定理可得：()2216947cos 2438k C k +-==⨯⨯， 则()832sin sin 107sin 2748k A B C k --==⨯.故选D.【点睛】本题考查了正、余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题.8.已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为433π，则该三棱柱的高为( ) A.32B. 3C. 4D.52【答案】B 【解析】 【分析】设C ，B 分别为三棱柱上、下底面的中心，连接BC ，则三棱柱外接球的球心为BC 的中点O ，设三棱柱外接球的半径为R ，由24343R ππ=求出R ，然后利用22R OA OB AB ==+算出OB 即可.【详解】由题意易知该三棱柱是底面边长为2的正三棱柱. 设C ，B 分别为三棱柱上、下底面的中心，连接BC ， 则三棱柱外接球的球心为BC 的中点O ，如图.设三棱柱外接球的半径为R .∵三棱柱的外接球的表面积为433π，∴24343R ππ=， ∴4312R =.又22222343312R OA OB AB OB ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭∴32OB =，∴该三棱柱的高为23BC OB ==.故选：B【点睛】本题考查的是几何体的外接球的知识，找出球心的位置是解题的关键.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,236A a c π===则角C 的大小是( )A.6π B.3π C.56π D.23π 【答案】BD 【解析】 【分析】 由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案.【详解】由正弦定理可得sin sin a cA C=, ∴sin sin 2c C A a ==,而a c <,∴ A C <, ∴566C ππ<<, 故3C π=或23π.故选:BD.【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.10.若直线过点()1,2A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为（ ） A. 10x y -+= B. 30x y +-= C. 20x y -= D. 10x y --=【答案】ABC 【解析】 【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可． 【详解】当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为y =2x ，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y =k ，把点A （1，2）代入可得1-2=k ，或1+2=k ， 求得k =-1，或k =3，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=；综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．11.如图，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB CD ⊥，若平面SAD ⋂平面SBC l =，以下四个结论中正确的是( )A. //AD 平面SBCB. //l ADC. 若E 是底面圆周上的动点，则SAE △的最大面积等于SAB 的面积D. l 与平面SCD 所成的角为45° 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直线与平面的性质判断直线与平面平行，直线与直线的平行，三角形的面积的最值的求法，直线与平面所成角判断选项的正误即可．【详解】解：已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB CD ⊥，若平面SAD ⋂平面SBC l =，所以ABCD 是正方形．所以//AD BC ，BC ⊂平面SBC ，所以//AD 平面SBC ；A 正确； 因为l ，AD ⊂平面SAD ，l ，BC ⊂平面SBC ，//AD 平面SBC ，所以//l AD ；B 正确； 若E 是底面圆周上的动点，当90ASB ∠︒时，则SAE ∆的最大面积等于SAB ∆的面积； 当90ASB ∠>︒时，SAE ∆的最大面积等于两条母线的夹角为90︒的截面三角形的面积，所以C 不正确；因为//l AD ，l 与平面SCD 所成的角就是AD 与平面所成角，就是45ADB ∠=︒．所以D 正确； 故选：ABD ．【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查，属于中档题．12.已知,P Q 分别为圆M ：22(6)(3)4x y 与圆N ：22(4)(2)1x y ++-=上的动点，A 为x 轴上的动点，则||||AP AQ +的值可能是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】CD 【解析】 【分析】计算得到+AP AQ 的最小值为'12553MN，得到答案.【详解】圆22N (4)(2)1x y ：，关于x 轴对称的圆为圆'22N (4)(2)1x y ：，则+AP AQ 的最小值为'22121053553MN ，又38,9，故选：CD .【点睛】本题考查了圆相关长度的最值问题，计算+AP AQ 的最小值为3是解题的关键.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.已知两点(0,2),(2,2)M N -，以线段MN 为直径的圆的方程为________________. 【答案】22(1)5x y -+= 【解析】 【分析】先求出圆心的坐标和半径,即得圆的方程.【详解】由题得圆心的坐标为（1,0），=所以圆的方程为()2215x y -+=. 故答案为()2215x y -+=【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒，30α=︒，若山坡高为32a =，则灯塔高度是________.【答案】28 【解析】 【分析】作BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则AM BN =，AM DM ⊥，tan DM AM β=，tan DN BN α=，由40DM DN -=求得BN ，从而可得DM ，然后即得DC ．【详解】如图，BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则tan DN BN α=，tan DM AM β=，而BN AM=，所以tan tan BN BN hβα-=，即(tan 60tan 30)40BN ︒-︒=，40203tan 60tan 30BN ==︒-︒，所以tan 60tan 603220333228DC AM CM BN =︒-=︒-=⨯-=． 故答案为：28．【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式．15.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点E ，F ，G 分别是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是________________．【答案】90 【解析】【详解】连接11,B G B F ，由于11//A E B G ，所以1B GF ∠或其补角即为所求，115,2,3B F BG GF ===，满足22211B F B G GF =+，故190B GF ∠=． 故答案为：90°16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足sin 4sin 0a A b C -=，A 为锐角，则sin sin 2sin B CA+的取值范围为__________．【答案】,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】分析：由题意首先利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理得到不等式，求解不等式即可求得最终结果.详解：由40asinA bsinC -=结合正弦定理可得：24a bc =，且sin sin 2sin 2B C b cA a++=，A 为锐角，则：0cos 1A <<，即222012b c a bc +-<<，据此有：224012b c bcbc +-<<，22042b c bc bc <+-<，22628bc b cbc bc <++<，()268b c bc+<<，即()268161616b c bc +<<，()226816416b c a +<<22b c a ++<<，则2sinB sinC sinA +的取值范围为⎝⎭.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知直线310mx y m +--=恒过定点A .（Ⅰ）若直线l 经过点A 且与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程. 【答案】（Ⅰ）210x y --=；（Ⅱ）3x =或43150x y +-=. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出定点A 的坐标，设要求直线的方程为20x y n -+=，将点A 的坐标代入方程可求得n 的值，即可写出直线l 的方程（Ⅱ）分直线l 斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式即可得到答案【详解】直线310mx y m +--=可化为()310m x y -+-=，由3010x y -=⎧⎨-=⎩可得31x y =⎧⎨=⎩，所以点A 的坐标为()3,1.（Ⅰ）设直线l 的方程为20x y n -+=，将点A ()3,1代入方程可得1n =-，所以直线l 的方程为210x y --=, （Ⅱ）①当直线l 斜率不存在时，因为直线过点A ，所以直线方程为3x =， 符合原点到直线l 的距离等于3.②当直线l 斜率不存在时，设直线l 方程为31y kx k =-+，即310kx y k --+=因为原点到直线的距离为3，所以23131k k ，解得43k =-所以直线l 的方程为43150x y +-=综上所以直线l 的方程为3x =或43150x y +-=.【点睛】本题主要考查了直线的垂直关系的应用及直线方程的求法，点到直线的距离公式，主要分斜率存在和不存在两种情况讨论，属于基础题．18.如图，已知点C 是圆心为O 半径为1的半圆弧上从点A 数起的第一个三等分点，AB 是直径，1CD =，直线CD ⊥平面ABC .（1）证明：AC BD ⊥；（2）若M 为BD 的中点，求证：//OM 平面DAC ； （3）求三棱锥D ABC -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）36. 【解析】【分析】（1）由CD ⊥平面ABC ，可得CD AC ⊥.由题意可得AC BC ⊥，又CD BC C ⋂=，即证AC ⊥平面BCD ，即证AC BD ⊥；（2）由题意//OM AD ，根据线面平行的判定定理可得//OM 平面DAC ；（3）求出三角形ABC 的面积，又三棱锥D ABC -的高为线段CD 的长，根据锥体的体积公式，即求三棱锥D ABC -的体积.【详解】（1）证明：∵CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，. ∴CD AC ⊥.∵点C 在圆O 上，AB 是直径， ∴AC BC ⊥.又∵CD BC C ⋂=，∴AC ⊥平面BCD . 又∵BD ⊂平面BCD ，∴AC BD ⊥.（2）证明：∵M ，O 分别为DB ，AB 中点，∴//OM AD ， 又AD ⊂平面DAC ，OM ⊄平面DAC ，∴//OM 平面DAC .（3）点C 是圆心为O 半径为1的半圆弧上从点A 数起的第一个三等分点，60,AOC ∴∠=∴三角形AOC 是等边三角形，C ∴到AB 3∴三角形ABC 的面积1332222S =⨯⨯=，又CD ⊥平面ABC ，∴三棱锥D ABC -的高为1，1331326D ABC V -∴=⨯=三棱锥. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理和求三棱锥的体积，属于中档题.19.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B ；（2）若b =a c +的取值范围.【答案】（1）3π；（2）.【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理边化角公式得到2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，再利用三角恒等变换即可得到答案.（2）首先利用正弦定理得到2sin a A =，2sin c C =，将a c +转化为2sin 2sin a c A C +=+，利用三角恒等变换得到6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再求其取值范围即可.【详解】（1）因为2cos cos cos b B a C c A =+，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2B =， 由()0,B π∈，3B π=.（2）由题意可得：2sin sin a c A C ===，可得2sin a A =，2sin c C =.所以22sin 2sin 2sin 2sin 3a c A C A A π⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭3sin 6A A A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故a c +∈.【点睛】本题主要考查正弦定理得边化角公式，同时考查了三角函数恒等变换和值域问题，属于中档题.20.如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点.（1）求证：//BD EF ；（2）求证：平面//BMD 平面EFC ；（3）若1AB =，2BF =，求E 点到平面ACF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）43. 【解析】 【分析】(1)根据条件证明四边形BFED 为平行四边形即可. (2)设AC 与BD 交于点N ，则N 为AC 的中点，由三角形中位线的性质可得//MN 平面EFC ，由面面垂直的性质定理可得//BD EF ，则//BD 平面EFC .最后利用面面平行的判断定理可得平面//BDM 平面EFC .(3)连接,EN FN .由几何关系可证得AC ⊥平面BDEF ，且垂足为N ， 则11122223323A CEF NEF V AC S -=⋅⋅==△，由23E ACF A CEF V V --==，可求E 点到平面ACF 的距离.【详解】（1）证明：因为BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD 所以//BF DE 因为BFDE =所以四边形BFED 为平行四边形 所以//BD EF （2）证明：设AC 与BD 交于点N ，则N 为AC 的中点，MN 为ACE △的中位线， ∴//MN EC .∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴//MN 平面EFC .∵BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且BF DE =，∴//BF DE ，BFDE =，∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF . ∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴//BD 平面EFC . 又∵MNBD N =，∴平面//BDM 平面EFC ； （3）解：连接EN ，FN . 在正方形ABCD 中，AC BD ⊥， 又∵BF ⊥平面ABCD ，∴BF AC ⊥. ∵BF BD B ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF ，且垂足为N ，BF EF ⊥，1122222NEF S EF BF =⋅⋅==△∴11222333A CEF NEF V AC S -=⋅⋅==△， 由CF AF =，N 是AC 中点知，NF AC ⊥，在Rt FBN △中，2222232222FN BN FB ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭1132322222ACF S AC FN =⋅⋅=⨯⨯=△，因为23E ACF A CEF V V --==， 设E 点到平面ACF 的距离为h ，则11323323ACF S h h ⋅⋅=⨯⨯=△. 所以43h =. 【点睛】考查线线、面面平行的证明以及求点到平面的距离，等体积法是求点到平面距离的常用方法；中档题.21.如图，在某商业区周边有 两条公路1l 和2l ，在点O 处交汇，该商业区为圆心角3π，半径3km 的扇形，现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与1l ，2l 分别交于,A B ，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在1l ，2l 上.（1）设,OA akm OB bkm ==试用,a b 表示新建公路AB 的长度，求出,a b 满足的关系式，并写出,a b 的范围；（2）设AOT α∠=，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定,A B 的位置，使得新建公路AB 的长度最短.【答案】（1）()22221;,3,612a b a b ab a b +=+∈；（2）6πα=时取等号.此时23OA OB km ==时，新建公路AB 的长度最短.【解析】【详解】试题分析：（1）由余弦定理求出AB 的长，建立直角坐标系，写出直线AB 的方程，利用AB 与扇形弧相切d r =，得出,a b 的关系式，再写出,a b 的取值范围；（2）根据OT AB ⊥，求出,AT BT 的值，写出AB 的解析式，利用三角函数与基本不等式求出它的最小值.试题解析：（1）在AOB ∆中，,,3OA akm OB bkm AOB π==∠=；由余弦定理得：2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠ 222cos3a b ab π=+-22a b ab =+-；所以AB ；如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则()1,0,,22A a B b b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以直线AB的方程为()212b y x a b a =--()20a b y +-=；因为AB3=，即()22221;,3,612a b a b ab a b +=+∈. （2）因为OT 是圆O 的切线，所以OT AB ⊥.在Rt OTA ∆中，3tan AT α=，在Rt OTB ∆中，3tan 3BT πα⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以3tan 3tan 3AB AT TB παα⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭ 03πα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以，3tan AB α⎛==⎝， 设()1,1,4u u α=∈，则2422AB u u ⎫==+-≥=⎪⎭当且仅当2u =，即6πα=时取等号.此时OA OB ==时，新建公路AB 的长度最短.22.如图，圆C 与x 轴相切于点()1,0T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且||2AB =.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 作任一条直线与圆O ：221x y +=相交于M ，N 两点. ①求证：||||MA MB 为定值，并求出这个定值； ②求BMN ∆的面积的最大值. 【答案】（1）()(22122x y -+=（221；证明见解析②828【解析】 【分析】（1）由直线与圆相交，利用勾股定理构建方程求得半径，得答案；（2）①分类讨论MN k 是否存在，当MN k 存在时，可联立直线与圆的方程，进而确定1kx 的关系，利用斜率k 分别表示MA k ,MB k ，再利用弦长公式表示||,||MA MB ，作商并化简，得答案；当MN k 不存在时，M 为特殊位置，直接表示||,||MA MB ，作商，得答案；②利用点到直线的距离公式表示点B 到MN l 的距离，利用弦长公式表示MN ，最后表示所求BMN ∆的面积，借助换元法求得函数的最大值即可.【详解】（1）由题可知点()1,0T ，所以可以设圆心()1,C r因为||2AB =，所以由2221||12AB r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得r =(C所以圆C 的标准方程为()(2212x y -+=；（2）①证明：由（1）可得()1A，()1B 当MN k存在时，设:1MN l y kx =将直线和圆的方程联立：2211x y y kx ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得())2212120kxkx +++-=——Ⅰ设()11,M x y ，()22,N x y ，且20x >，那么1MA k k ==，112MB k k x ==-所以||||MA MB ====——Ⅱ由Ⅰ得)()222211112112k x k x kx +-+==-，将其代入Ⅱ化简可得||1||MA MB ； 当MN k 不存在时，显然M 为()0,1或()0,1-此时))11211MA MB ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩或))11112MA MB ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩则||1||MA MB- 21 - 综上所述：||||MA MB1②由题可知此时MN k必然存在，仍设:1MN l y kx =-则点B 到MN l 的距离为：d==由①可知Ⅰ式：())2212120kx k x +++-=则()()(22222141248kk k ⎡⎤=-+-=+⎣⎦所以MN=故1122BMN Sd MN ∆======令(]21,0,11t t k =∈+，则BMN S ∆=其内部函数开口向上，对称轴12t ==< 故当1t =时，max 8BMN S ∆==. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，涉及求圆的标准方程，过定点的弦长问题，还考查了平面中三角形面积的最值问题，属于难题.。
江苏省无锡市普通高中2019—2020学年高一下学期期终调研考试数学试题
江苏省无锡市普通高中2019—2020学年高一下学期期终调研考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．用符号表示“点P 在直线l 上，直线l 在平面α外”，正确的是A ．P ∈l ，l α∉B ．P ∈l ，l α⊄C ．P ⊂l ，l α∉D ．P ⊂l ，l α⊄2．某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，下列说法正确的是A ．如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能冶愈B ．2位病人中一定有1位能治愈C ．每位病人治愈的可能性是50%D ．所有病人中一定有一半的人能治愈3．直线x ＋2y ＋3＝0在y 轴上的截距为A ．32B ．3C ．﹣3D ．32- 4确的选项是A ． 6.517.5y x =+B ． 6.517y x =+C ．614y x =+D ．520y x =+5．在空间直角坐标系中，已知△ABC 的顶点分别为A(1，2，1)，B(1，4，2)，C(0，4，2)，则△ABC 的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形6．某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为A ．24π米3B ．48π米3C ．96π米3D ．192π米37．如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进若干米后到达D 处，又测得山顶的仰角为75°，已知山的高度BC 为1千米，则该登山队从A 到D 前进了A 千米BC ．1千米D ．1.5千米8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，P 为MN的中点，且MN ＝2，则AP 长度的最小值为A B ． C ．4 D ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列叙述正确的有A ．直线A 1B 与B 1C 所成角为60° B ．直线A 1C 与C 1D 所成角为90°C ．直线A 1C 与平面ABCD 所成角为45° D ．直线A 1B 与平面BCC 1B 1所成角为60°10．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有A ．11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的平均数为3B ．11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的方差为3C ．12x ，22x ，32x ，42x ，52x 的方差为4D ．122x +，222x +，32+2x ，42+2x ，52+2x 的方差为811．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有A ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C ．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tan α12．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝6，sinA ＝2sinC ，则以下四个结论正确的有A ．△ABC 不可能是直角三角形B ．△ABC 有可能是等边三角形C ．当A ＝B 时，△ABC 的周长为15D ．当B ＝3π时，△ABC 的面积为 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13修物理的男生”中抽取了8人，则n的值为．14．若两条直线ax＋2y＋1＝0和(a﹣1)x﹣ay﹣1＝0互相垂直，则a的值为．15．已知直三棱柱A1B1C1—ABC中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝90°，其外接球的表面积为9π，则该三棱柱的侧棱长为．16．从A，B，C，D，E五位条件类似的应聘者中任选2人担任秘书职位，则A被录用的概率为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）为了解一大片经济林的生长情况，随机抽样测量其中20株树木的底部周长（单位：cm），得到如下频数分布表和频率分布直方图：（1）请求出频数分布表中a，b的值；（2）估计这片经济林树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）从样本中底部周长在115cm以上的树木中任选2株进行嫁接试验，求至少有一株树木的底部周长在125cm以上的概率．18．（本小题满分10分）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，P是CE上的中点，Q是AC的中点，BP与CE交于点O．（1）求证：OQ∥平面ABEF；（2）求证：AP⊥CE．19．（本小题满分12分）已知圆C 过三点(1，3)，(4，2)，(1，﹣7)．（1）求圆C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若△CMN 为等腰直角三角形，求直线l 的方程．20．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知tanA ＝2，tanB ＝3．（1）若△ABC 最小边的长为5，求△ABC 最大边的长；（2）若AC 边上的中线BD ，求△ABC 的面积．21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PBC 为正三角形，M ，N 分别为PD ，BC 的中点，PN ⊥AB ．（1）求三棱锥P —AMN 的体积；（2）求二面角M —AN —D 的正切值．22．（本小题满分14分）已知圆C ：22(4)(4)4x y -+-=和圆D ：22(2)20x y ++=，P 为圆D 上动点．（1）过点A 作一条直线l ，若l 被圆C 和圆D 截得的弦长相等，求直线l 的方程；（2）求证：当点P 不在x 轴上时，总存在圆C 上点M 和圆D 上点N ，使得四边形AMPN 为平行四边形．江苏省无锡市普通高中2019—2020学年高一下学期期终调研考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．用符号表示“点P 在直线l 上，直线l 在平面α外”，正确的是A ．P ∈l ，l α∉B ．P ∈l ，l α⊄C ．P ⊂l ，l α∉D ．P ⊂l ，l α⊄答案：B考点：点、线、面的关系解析：点与直线的关系是元素与集合的关系，是属于与不属于的关系；直线与平面的关系是集合与集合的关系，是包含与不包含的关系．故选B ．2．某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，下列说法正确的是A ．如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能冶愈B ．2位病人中一定有1位能治愈C ．每位病人治愈的可能性是50%D ．所有病人中一定有一半的人能治愈答案：C考点：随机事件解析：概率问题都是可能性问题，带有“一定”的都是错的，故选C ．3．直线x ＋2y ＋3＝0在y 轴上的截距为A ．32B ．3C ．﹣3D ．32- 答案：D考点：截距解析：令x ＝0，解得32y =-，故选D ．4确的选项是 A ． 6.517.5y x =+ B ． 6.517y x =+ C ．614y x =+ D ．520y x =+ 答案：A考点：线性回归方程解析：2456855x ++++==，3040605070505y ++++==， 51()()130i i i x x y y =--=∑，521()20ii x x =-=∑，所以51521()()130 6.520()i ii ii x x y y b x x ==--===-∑∑， 50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=，所以 6.517.5y x =+，故选A ．5．在空间直角坐标系中，已知△ABC 的顶点分别为A(1，2，1)，B(1，4，2)，C(0，4，2)，则△ABC 的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案：B考点：空间向量解析：AB ＝(0，2，1)，AC ＝(﹣1，2，1)，BC ＝(﹣1，0，0)，∴AB BC 0⋅=，∴AB ⊥BC ，故选B ．6．某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为A ．24π米3B ．48π米3C ．96π米3D ．192π米3答案：B考点：圆锥的体积解析：221168644833V πππ=⨯-⨯=增，故选B ． 7．如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进若干米后到达D 处，又测得山顶的仰角为75°，已知山的高度BC 为1千米，则该登山队从A 到D 前进了A千米 BC ．1千米D ．1.5千米答案：C考点：正弦定理解析：设，由正弦定理得： 选C ．8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，P 为MN的中点，且MN ＝2，则AP 长度的最小值为AB． C ．4 D．答案：C考点：圆解析：以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建系：设43(4,),(,3)(,)22x y M y N x P +-⇒ 222(4)(3)4MN x y ⇒=-+-=2AP ⇒=表示圆心到（-4，-3）距离最小得一半AD x =sin sin x BD ABD BAD=∠∠2sin15BD x ⇒=︒11cos152sin15cos15sin 301122BE BD x x x x x =︒=︒︒=︒==-⇒=10242d -⇒== 选C 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列叙述正确的有A ．直线A 1B 与B 1C 所成角为60° B ．直线A 1C 与C 1D 所成角为90°C ．直线A 1C 与平面ABCD 所成角为45° D ．直线A 1B 与平面BCC 1B 1所成角为60° 答案：AB考点：异面直线所成角、线面角解析：连CD 1，∵CD 1∥A 1B ，∴∠B 1CD 1就是直线A 1B 与B 1C 所成角或补角，∵△B 1CD 1是等边三角形，故∠B 1CD 1＝60°，∴直线A 1B 与B 1C 所成角为60°，故A 正确； ∵直线A 1C 在平面CDD 1C 1的射影是CD 1，且CD 1⊥C 1D ，∴A 1C ⊥C 1D ，故直线A 1C与C 1D 所成角为90°，故B 正确；首先∠A 1CA 就是直线A 1C 与平面ABCD 所成角，∵∠A 1CA ≠45°，故C 错误； 首先∠A 1BB 1就是直线A 1B 与平面BCC 1B 1所成角，∵∠A 1BB 1＝45°，故D 错误． 故选AB ．10．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有A ．11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的平均数为3B ．11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的方差为3C ．12x ，22x ，32x ，42x ，52x 的方差为4D ．122x +，222x +，32+2x ，42+2x ，52+2x 的方差为8答案：AD考点：平均数与方差解析：根据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数和方差均为2，可得11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的平均数为3，故A 正确；11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的方差为2，故B 错误；12x ，22x ，32x ，42x ，52x 的方差为8，故C 错误；122x +，222x +，32+2x ，42+2x ，52+2x 的方差为8，故D 正确．故选AD ．11．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有A ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C ．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tan α答案：AD考点：倾斜角与斜率解析：平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，故A 正确，B 错误；若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角不一定为α，若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tan α，故C 错误，D 正确．故选AD ．12．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝6，sinA ＝2sinC ，则以下四个结论正确的有A ．△ABC 不可能是直角三角形B ．△ABC 有可能是等边三角形C ．当A ＝B 时，△ABC 的周长为15D ．当B ＝3π时，△ABC 的面积为 答案：CD考点：正余弦定理解析：由正弦定理得2a c =22222362a b c a a a +=⇒+=⇒=A 选项错误：B 选项错误：:6,3,15ABC C a b c C ====选项正确22211:cos sin 222a cb B ac S ac B ac +-==⇒===D 选项正确4ac =⇒ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13修物理的男生”中抽取了8人，则n 的值为 ．答案：20考点：分层抽样解析：8160400n =，20n =． 14．若两条直线ax ＋2y ＋1＝0和(a ﹣1)x ﹣ay ﹣1＝0互相垂直，则a 的值为 ． 答案：0或3考点：两直线垂直解析：(1)2()0a a a -+-=，解得a ＝0或3．15．已知直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝90°，其外接球的表面积为9π，则该三棱柱的侧棱长为 ．答案：2考点：球的表面积解析：将直三棱柱补形为长方体ABEC -A 1B 1E 1C 1，则球O 是长方体ABEC -A 1B 1E 1C 1的外 接球．所以体对角线BC 1的长为球O 的直径．S 球＝4πR 2＝9π.所以半径R=32设侧棱为x,2R =3.解得侧棱为2．16．从A ，B ，C ，D ，E 五位条件类似的应聘者中任选2人担任秘书职位，则A 被录用的概率为 ． 答案：25考点：古典概型解析：总数共10种，A 被录用可能为AB 、AC 、AD 、AE 四种，故P ＝25． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）为了解一大片经济林的生长情况，随机抽样测量其中20株树木的底部周长（单位：cm ），得到如下频数分布表和频率分布直方图：（1）请求出频数分布表中a ，b 的值；（2）估计这片经济林树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）从样本中底部周长在115cm 以上的树木中任选2株进行嫁接试验，求至少有一株树木的底部周长在125cm 以上的概率．解：（1）5,4a b ==（2）108.5（3）3518．（本小题满分10分）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，P 是CE 上的中点，Q 是AC 的中点，BP 与CE 交于点O ．（1）求证：OQ ∥平面ABEF ；（2）求证：AP ⊥CE ．解：1AE ABEFAE OQ AE OQ ABEFOQ ABEF⊂⇒⇒⊄面（）连接面面(2),AB CEBP CE CE ABP AP CE AB BP ABP AP ABPAB BP P ⊥⊥⊥⇒⇒⊥⊂⊂⋂=面面面 19．（本小题满分12分）已知圆C 过三点(1，3)，(4，2)，(1，﹣7)．（1）求圆C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若△CMN 为等腰直角三角形，求直线l 的方程．解：（1）圆心在y=-2上，设圆心坐标（x ，-2），22(1)25(4)16x x -+=-+ 221,5(1)(2)25x r x y ⇒==⇒-+-=圆方程为：（2）0x y c -+=设直线方程为：32522c CMNd +∴==为等腰直角三角形 圆心到直线的距离 3528c c ⇒+=⇒=-或:2080l x y x y ⇒-+=--=或20．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知tanA ＝2，tanB ＝3．（1）若△ABC 最小边的长为5，求△ABC 最大边的长；（2）若AC 边上的中线BD ，求△ABC 的面积．解：（1），∵,∴,∵,∴,∴∴最大边为b ，最小边为c，∴法一：（2）解：由正弦定理得：a:b :c=sinA :sinB :sinC,设则 由余弦定理中线长定理：得，解得, 得∴ 法二：见切作高：作CE 垂直AB ，设由中线长公式得 ()23tan =tan 1123C A B ++=-⨯-=-()0,C π∈4C π=tan 2,tan 2AB ==sin A =sin BC sin <sin <sin ,C A B c a b <<b =，,a c ==()22222AB BC BD AD +=+22222⎡⎤⎫⎫⎫⎢⎥+=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦m =a c ==11=sin 1222S ac B =⨯=2,3,6BE x AE x CE x ===2222222452()2(17)25404x BD CD AB BC x x +=+⇒+=+241,sin 1252ABC x S AC BC C ⇒===21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PBC 为正三角形，M ，N 分别为PD ，BC 的中点，PN ⊥AB ．（1）求三棱锥P —AMN 的体积；（2）求二面角M —AN —D 的正切值．解：⑴ ∵PB =PC ,∴PN ⊥BC ,又∵PN ⊥AB ,AB ∩BD =B,AB 、BC ABCD ⊂平面,∴PN ⊥平面ABCD,∵AB =BC =PB =PC =2,∴PN∴111142443P AMN P ADN P ABCD V V V ---===⨯⨯ ⑵ 取D N 中点E ,连接ME ,∵M 、E 为中点，∴ME ∥PN ,∵PN ⊥平面ABCD,∴ME ⊥平面ABCD过E 作EQ ⊥AN ,则MQ ⊥AN ,∠MQE 即为该二面角的平面角，∴tan =ME QEθ∵PN ∴ME =∵2,AN DN AD ===∴EQ ,∴tan θ=22．（本小题满分14分）已知圆C ：22(4)(4)4x y -+-=和圆D ：22(2)20x y ++=，P 为圆D 上动点．（1）过点A 作一条直线l ，若l 被圆C 和圆D 截得的弦长相等，求直线l 的方程；（2）求证：当点P 不在x 轴上时，总存在圆C 上点M 和圆D 上点N ，使得四边形AMPN 为平行四边形．解：⑴设直线l ： 由弦长相等，得2216,08k -==-解得或 ∴ l : y =4或8x +y -20=0⑵设P （x 0,y 0）,则 设AM ： ，则PN ： 由弦长相等，得得： 化为关于k 的方程： 二次项系数 ()()()2222000022422016160o x y x y y ⎡⎤⎡⎤∆=-+-+--=>⎣⎦⎣⎦ ∴存在k 使等式成立，即存在k 使AMPN 为平行四边形222220416,D C D C d d r r -=-=-=()2200220x y -+=()24y k x =-+()00y k x x y =-+2216-=()()22222002+2241616o o xk y x ky k k +-+-=+()()22200022022160o x k x y k y ⎡⎤+--++-=⎣⎦()20220x +-200y =-≠()24,420y k x kx y k =-+-+-=即。
2019-2020学年无锡一中高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年无锡一中高一下学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设实数x、y满足约束条件{x−y≥0x+y≥0x≤2，则z=x+1y+4的取值范围是______．2.若△ABC中，C=30°，a+b=1，则△ABC面积S的最大值是______ ．3.直线l1：kx+y−3=0和l2：x+(2k+3)y−2=0互相垂直，则k=______ ．4.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．5.过点M(3,−4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．6.已知的三个内角所对的边分别为.若△的面积，则的值是。
7.已知直线mx+(3m−4)y+3=0与直线2x+y+3=0互相垂直，则实数m的值是______．8.三棱锥中，两两垂直，且.设是底面内的一点，定义，其中分别是三棱锥，三棱锥三棱锥的体积，若，且恒成立，则正实数的最小值为___________9.下列直线中与直线l：3x+2y−5=0相交的是______ (填上正确的序号)．①y=−32x+5②3x+2y=0③x3+y2=1④x2+y3=1．10.设棱长为的正方体的体积和表面积分别为底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为若，则的值为．11.函数f(x)=cosx(sinx+cosx)(x∈R)的最小正周期是______ ．12. 若在△ABC 中，角A ，B ，C 对应边为a ，b ，c ，若A =60°，b =1，S △ABC =√3，则a+b+c sinA+sinB+sinC =______．13. 若圆锥的侧面积为15π，底面面积为9π，则该圆锥的体积为 ．14. 在平面直角坐标系xOy 中过定点Q(1,1)的直线l 与曲线C ：y =xx−1交与M ，N 点，则ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，.(1)求A +B 的值;(2)若，求a 、b 、c 的值．16. 如图，四棱锥S −ABCD 中，AB//CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形．AB =BC =2，CD =SD =1．(1)证明：AB//平面SDC(2)证明：SD ⊥平面SAB(3)求A 点到平面SBC 的距离．17.(滚动单独考查)如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．求△ACD的面积．若BC=，求AB的长．18.如图，三棱锥A−BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，H、G分别是棱AD、CD上的点，且EH∩FG=K.求证：(1)EH，BD，FG三条直线相交于同一点K；(2)EF//HG．19.绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm？20.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，C=2A．(1)求cos A；(2)设a=4m2+4m+9(m>0)，求△ABC的面积的最小值．m+1【答案与解析】1.答案：[14,32]解析：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化的思想方法，属于中档题． 先画出满足约束条件的平面区域，然后分析z =x+1y+4的几何意义，进而给出取值范围．解：实数x 、y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≥0x ≤2的平面区域如图，∵z =x+1y+4的表示区域内点与D(−1,−4)点连线的斜率的倒数，由{x +y =0x =2解得A(2,−2)， 当x =2，y =−2时，斜率最小值，此时z 取得最大值：z =2+1−2+4=32，当x =0，y =0时，斜率取最大值，此时z 取得最小值：z =0+10+4=14，∴z =x+1y+4的取值范围为：[14,32]， 故答案为：[14,32]. 2.答案：116解析：解：在△ABC 中，∵C =30°，a +b =1，∴△ABC 的面积S =12ab ⋅sinC =12ab ⋅sin30°=14ab ≤14×(a+b 2)2=14×(12)2=116.当且仅当a =b =12时取等号，故答案为：116．由条件可得△ABC的面积S=12ab⋅sinC，再利用正弦函数的值域、基本不等式求得S的最大值．本题主要考查三角形的面积，基本不等式的应用，属于基础题．3.答案：−1解析：解：直线l1：kx+y−3=0和l2：x+(2k+3)y−2=0互相垂直，所以k+2k+3=0，解得k=−1．故答案为：−1．直接利用两条直线的垂直的充要条件求解即可．本题考查两条直线垂直充要条件的应用，基本知识的考查．4.答案：解析：sin∠BAC=sin(+∠BAD)=cos∠BAD，∴cos∠BAD=．BD2=AB2+AD2−2AB·ADcos∠BAD=(3)2+32−2×3×3×，∴BD2=3，BD=．5.答案：x−y−7=0或4x+3y=0解析：解：设直线在x、y轴上的截距分别为a和−a(a≠0)，本题主要考查直线的截距式方程，易错点在于学生容易疏忽过原点的情况，是基础题.则直线l的方程为xa −ya=1．∵直线过点A(3,−4)，∴3a +4a=1．解得：a=7．此时直线l的方程为x−y−7=0．当a=0时，直线过原点，设直线方程为y=kx，过点A(3,−4)，x，此时直线l的方程为y=−43此时直线l的方程为4x+3y=0．∴直线l的方程为：x−y+7=0或4x+3y=0，故答案为x−y−7=0或4x+3y=0．6.答案：4解析：试题分析：得得。
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区某校高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区某校高一（下）期中数学试卷一、单选题（共8题，每题5分，总计40分，在每小题给出的选项中，只有1项符合题意）1. sin20∘cos(−10∘)+cos20∘sin10∘＝（）A.−12B.12C.−√32D.√322. 用数字1，2，3组成没有重复数字的三位数，其中三位数是奇数的概率为( )A.1 2B.13C.23D.143. 用符号表示“点A在直线l上，l在平面α内”，正确的是（）A.A∈l，l∉αB.A⊂l，l⊄αC.A⊂l，l∈αD.A∈l，l⊂α4. 已知一组数据5.5，5.4，5.1，4.8，4.7，则该组数据的方差为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.15. 过三点A(1, 3)，B(6, −2)，C(1, −7)的圆交x轴于M、N两点，则MN＝（）A.2B.2√21C.4D.4√216. 已知两条直线l1：(m−2)x+3y+1＝0，l2:x+my+1＝0平行，则m＝（）A.3B.−1C.1或−1D.3或−17. 已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取30名学生，则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.90D.1208. 在平面直角坐标系xOy中，圆C:x2+y2＝3，T(2, m)，若圆C上存在以M为中点的弦AB两点，且AB＝2MT，则实数m的取值范围是（）A.[−√2,0]B.(0,√2]C.[−√2,√2]D.(−√2,√2)二、多选题（共4题，每题5分，总计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的0分）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A.若a>b>0，则1a<1bB.若a>b，则ac2≥bc2C.若a>0>b，则ab<a2D.若c>a>b，则ac−a>bc−b某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是（）A.A与C是互斥事件B.B与E是互斥事件，且是对立事件C.B与C不是互斥事件D.C与E是互斥事件设正实数m，n满足m+n=2，则下列说法正确的是()A.1m+2n的最小值为3+2√22B.√mn2的最大值为12C.√m+√n的最小值为2D.m2+n2的最小值为2如图A(2, 0)，B(1, 1)，C(−1, 1)，D(−2, 0)，CD̂是以OD为直径的圆上一段圆弧，CB̂是以BC为直径的圆上一段圆弧，BÂ是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32πB.CB̂与BÂ的公切线方程为：x+y−1−√2=0C.AB̂所在圆与CB̂所在圆的交点弦方程为：x−y＝0D.用直线y＝x截CD̂所在的圆，所得的弦长为√22三、填空题（共4题，每题5分，总计20分，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）．若tan(α+π4)=−6，则tanα＝________．已知变量x，y线性相关，由观测数据算得样本的平均数x¯=4,y¯=5，线性回归方程y=bx+a中的系数b，a满足b+a＝4，则线性回归方程为________．在△ABC中，角A，B，C满足sin2A−sin2B=2sin A sin B sin C，则1tan A −1tan B=________．已知实数x，y满足：xy−y＝1，且0<x<1．则1x +2y−2的取值范围是________．四、解答题（共6题，共计70分）.评分要求为：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.过点M(3, 4)作直线l，当l的斜率为何值时．（1）直线l将圆(x+1)2+(y−2)2＝4平分？（2）直线l与圆(x+1)2+(y−2)2＝4相切？在锐角△ABC中，a=12，______，求△ABC的周长l的取值范围．①a→=(−cos A2,−sin A2),b→=(cos A2,−sin A2)，且a→⋅b→=−12．②(c−2b)cos A+a cos C＝0．③f(x)=cos x cos(x−π3)+34,f(A)=54．注：这三个条件中选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．平面四边形ABCD，点A，B，C均在半径为2的圆上，且∠BAC=π6．（1）求BC的长；（2）若BD＝3，∠DBC＝2∠BCD，求△BCD的面积．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0, 1)，[1, 2)，…，[8, 9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a＝b．（1）求直方图中a，b的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2+y2+12x+14y+60＝0及其上一点A(−2, −4)．（1）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线y＝−7上，求圆N的方程；（2）设垂直于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=15OA，求直线l的方程；（3）设点T(0, t)满足：存在圆M上的两点P，Q，使得TQ→−TP→=TA→，求实数t的取值范围．已知函数f(x)＝cos x ．（1）若α，β为锐角，f(α+β)=−√55，tan α=43，求cos 2α及tan (β−α)的值；（2）函数g(x)＝f(2x)−3，若对任意x 都有g 2(x)≤(2+a)g(x)−2−a 恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知f(α)+f(β)−f(α+β)=32，α，β∈(0, π)，求α及β的值．参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省无锡市锡山区某校高一（下）期中数学试卷一、单选题（共8题，每题5分，总计40分，在每小题给出的选项中，只有1项符合题意）1.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】由已知利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】sin20∘cos(−10∘)+cos20∘sin10∘＝sin20∘cos10∘+cos20∘sin10∘＝sin(20∘+10∘)＝sin30∘=12．【点评】本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．2.【答案】C【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】基本事件总数n=A33=6．其中三位数是奇数包含的基本事件个数m=C21A22=4，由此能求出其中三位数是奇数的概率．【解答】解：用数字1，2，3组成没有重复数字的三位数，其中不重复的三位数有132，123，213，231，321，312，共6个.其中三位数是奇数的有123，213，231，321，共4个.∴其中三位数是奇数的概率为p=46=23．故选C.【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【考点】平面的基本性质及推论【解析】根据空间中点、线、面的位置关系的符号语言求解即可．【解答】点与线的位置关系用“∈”或“∉”表示，线与面的位置关系用“⊂”或“⊄”表示，则“点A在直线l上，l在平面α内”可用A∈l，l⊂α表示．【点评】本题考查空间中点、线、面的位置关系及符号表示，属于基础题．4.【答案】D【考点】极差、方差与标准差【解析】先求出平均数，再求出该组数据的方差．【解答】一组数据5.5，5.4，5.1，4.8，4.7，∴平均数为x¯=15(5.5+5.4+5.1+4.8+4.7)＝5.1．∴该组数据的方差为：S2=15[(5.5−5.1)2+(5.4−5.1)2+(5.1−5.1)2+(4.8−5.1)2+(4.7−5.1)2]＝0.1．【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【考点】圆的一般方程【解析】设出圆的一般方程，由已知可得关于D、E、F的方程组，求得D、E、F的值，得到圆的方程，取y＝0得到关于x的一元二次方程，再由弦长公式及根与系数的关系求解．【解答】设过三点A(1, 3)，B(6, −2)，C(1, −7)的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0．则{1+9+D+3E+F=036+4+6D−2E+F=01+49+D−7E+F=0，解得D＝−2，E＝4，F＝−20．∴圆的方程为x2+y2−2x+4y−20＝0，取y＝0，得x2−2x−20＝0，∴MN＝|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√22−4×(−20)=2√21．【点评】本题考查圆的一般方程的求法，考查方程组的解法，训练了弦长公式的求法，是基础题．6.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】由题意利用两条直线平行的性质，求得m的值．【解答】∵已知两条直线l1：(m−2)x+3y+1＝0，l2:x+my+1＝0平行，∴m−21=3m≠11，求得m＝−1，【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．7.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】利用分层抽样，可知从高中生中抽取的比例与从整体中抽取的比例相同，列出关系式，即可解得抽取的总人数．【解答】设抽取的学生总人数为x，则307200=x21600，解得x＝90，【点评】本题主要考查分层抽样，属于基础题．8.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据条件把问题转化为圆C上存在AB两点，使∠ATB＝90∘，即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90∘，即圆心(0, 0)到点T(2, m)的距离不大于√6，进而得到答案．【解答】本题的实质是圆C上存在AB两点，使∠ATB＝90∘，即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90∘，即圆心(0, 0)到点T(2, m)的距离不大于√6，即√22+m2≤√6，解得：m∈[−√2, √2]．【点评】本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，考查轨迹方程，正确转化是关键．二、多选题（共4题，每题5分，总计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的0分）【答案】A,B,C【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】A．∵a>b>0，∴aab>bab，1a<1b，正确．B．∵a>b，c2≥0，则ac2≥bc2，正确．C．a>0>b，则ab<a2，正确．D．c>a>b，则0<c−a<c−b，∴1c−a>1c−b>0，但是a，b与0的关系不确定，虽然a>b，无法判断ac−a>bc−b的正误．综上可得：ABC正确．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据互斥事件和对立事件的概念即可判断．【解答】事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，包含为订甲报纸，订乙报纸，订甲乙两种报纸，事件C 为“至多订一种报纸”包含订甲报纸或订乙报纸，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．A．A与C不互斥不对立事件，所以A与C是互斥事件，不正确；B．B与E是互斥事件，且是对立事件，正确；C．B与C不互斥不对立事件，所以B与C不是互斥事件正确；D．C与E既不互斥也不对立事件．所以C与E是互斥事件不正确；【点评】本题考查互斥事件和对立事件，分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件．【答案】A,B,D【考点】基本不等式【解析】m，n>0，m+n＝2，利用“乘1法”可得：1m+2n=12(m+n)(1m+2n)=12(3+nm+2mn)，再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而判断出BCD的正误．【解答】解：A，m，n>0，m+n=2，则1m+2n=12(m+n)(1m+2n)=12(3+nm+2mn)≥12(3+2√nm⋅2mn)=3+2√22，当且仅当n=4−2√2，m=2√2−2时成立，故A正确；B，由m+n=2且m>0，n>0得√mn≤m+n2=1，当且仅当m=n=1时，等号成立，则√mn2≤12，故B正确；C，由m+n=2且m>0，n>0得(√m)2+(√n)2=2，∴(√m+√n)2≤2[(√m)2+(√n)2]=4，则√m+√n≤2，故C错误；D，m2+n2≥(m+n)22=2，故D正确．故选ABD.【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【答案】【考点】扇形面积公式直线与圆的位置关系【解析】首先利用分割法的应用求出曲线Ω与x轴围成的曲变形的面积，进一步利用点到直线的距离和直线的平行的应用求出圆的公切线的方程，最后利用垂径定理的应用和勾股定理的应用求出结果．【解答】根据题意：圆弧AB表示为以(1, 0)为圆心，1为半径的圆的周长的14．圆弧BC表示为以(0, 1)为圆心，1为半径的圆的周长的12．圆弧CD是以(−1, 0)为圆心，1为半径的圆的周长的14．所以把图形进行分割，如图所示：①所以曲线Ω与x轴围成的图形的面积为S=12⋅π⋅12+14⋅π⋅12+14⋅π⋅12+1×2=π+2，故选项A错误．②由于圆弧AB表示为以(1, 0)为圆心，1为半径的圆．圆弧BC表示为以(0, 1)为圆心，1为半径的圆．所以AB̂和BĈ所在的圆的公切线平行于经过(1, 0)和(0, 1)的直线，所以设直线的斜率k＝−1，设直线的方程为x+y+b＝0，所以(0, 1)到直线x+y+b＝0的距离d=√2=1，解得b=−√2−1或√2−1，根据图象得：公切线的方程为x+y−√2−1=0，故选项B正确．③以AB̂和所在的圆的方程为(x−1)2+y2＝1.BĈ所在的圆的方程为x2+(y−1)2＝1，两圆相减得：x−y＝0．④CD̂所在的圆的方程为(x+1)2+y2＝1，所以圆心(−1, 0)到直线x−y＝0的距离d=2=√22，所以所截的弦长为l＝2√1−(√22)2=√2，故选项D错误．故选：BC．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、填空题（共4题，每题5分，总计20分，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）．【答案】75【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用两角和的正切函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】∵tan(α+π4)=−6，即tanα+11−tanα=−6，∴解得tanα=75．【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【答案】y=13x+113【考点】求解线性回归方程【解析】根据回归直线方程过样本中心点，结合题意得出关于a、b的方程组，求解即可．【解答】线性回归方程y=bx+a过样本中心点(4, 5)，所以4b+a＝5；又a+b＝4，解方程组{4b +a =5a +b =4 ，得b =13，a =113，所以线性回归方程为：y =13x +113． 【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题． 【答案】 −2【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 同角三角函数间的基本关系 【解析】【解答】解：sin 2A −sin 2B =2sin A sin B sin C =2sin A sin B sin [π−(A +B)] =2sin A sin B sin (A +B)=2sin 2A sin B cos B +2sin A sin 2B cos A =sin 2A sin 2B +sin 2B sin 2A ，sin 2A −sin 2A sin 2B =sin 2B +sin 2B sin 2A ， sin 2A(1−sin 2B)=sin 2B(1+sin 2A)，sin 2A(sin 2B +cos 2B −sin 2B)=sin 2B(sin 2A +cos 2A +sin 2A)， sin 2A(sin B −cos B)2=sin 2B(sin A +cos A)2,(sin B−cos B)2sin 2B=(sin A+cos A)2sin 2A,(1−1tan B )2=(1+1tan A )2，所以1−1tan B =1+1tan A ，或1−1tan B =−(1+1tan A )， 所以1tan A +1tan B =0，或1tan A −1tan B =−2， 因为sin 2A −sin 2B =2sin A sin B sin C >0， 所以sin 2A >sin 2B ， 即sin 2A sin 2A+cos 2A >sin 2B sin 2B+cos 2B，11+1tan 2A>11+1tan 2B，|1tan A |<|1tan B |，①当A ，B 都是锐角时，1tan A <1tan B ，1tan A −1tan B <0． ②当A 是锐角，B 是钝角时，1tan A <−1tan B ，1tan A +1tan B <0，③当A 是钝角，B 是锐角时，−1tan A<1tan B，1tan A+1tan B>0，所以1tan A−1tan B=−2.故答案为：−2. 【点评】本题考查三角恒等变换的应用，属于中档题． 【答案】 (1, +∞) 【考点】基本不等式及其应用 【解析】利用所给的关系式，二元换一元，再由0<x <1．解出y 的范围，进而求出1x +2y−2的取值范围． 【解答】由xy −y ＝1可知，x =y+1y ，所以1x +2y−2=y y+1+2y−2=y+1−1y+1+2y−2=1+1−1−y +1y−2=1+(1−1−y +1y−2)(−1−y +y −2)(−13) ＝1+(−13)(1+1+y−2−1−y +−1−y y−2)，由0<x <1，可得y <−1，所以令t =y−2−1−y<−1，所以y−2−1−y+−1−y y−2<−2，所以1+(−13)(1+1+y−2−1−y+−1−y y−2)>1，即1x +2y−2的取值范围为(1, +∞)，【点评】本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质、变形转化思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题（共6题，共计70分）.评分要求为：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】圆(x +1)2+(y −2)2＝4的圆心坐标为(−1, 2)，若直线l 将圆(x +1)2+(y −2)2＝4平分，则直线l 过圆心， 又l 过点M(3, 4)，则直线l 的斜率为4−23−(−1)=12；设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y −4＝k(x −3)，即kx −y −3k +4＝0． 由√k 2+1=2，解得k ＝0或k =43．【考点】 圆的切线方程直线与圆相交的性质【解析】（1）求出圆心坐标，再由两点求斜率公式求解；（2）设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径列式求解．【解答】圆(x +1)2+(y −2)2＝4的圆心坐标为(−1, 2)，若直线l 将圆(x +1)2+(y −2)2＝4平分，则直线l 过圆心， 又l 过点M(3, 4)，则直线l 的斜率为4−23−(−1)=12；设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y −4＝k(x −3)，即kx −y −3k +4＝0． 由√k 2+1=2，解得k ＝0或k =43．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，考查计算能力，是基础题． 【答案】（1）若选择条件①，a →=(−cos A2,−sin A2),b →=(cos A2,−sin A2)，且a →⋅b →=−12，则cos 2A 2−sin 2A 2=cos A =12， ∵ 0<A <π，所以A =π3．若选择条件②，则(c −2b)cos A +a cos C ＝0由正弦定理可得，(sin C −2sin B)cos A +sin A cos C ＝0， 即sin (C +A)−2sin B cos A ＝0，解得cos A =12， ∵ 0<A <π，所以A =π3．若选择条件③，f(x)=cos x cos (x −π3)+34,f(A)=54．f(x)=12[cos (2x −π3)+cos π3]+34=12cos (2x −π3)+1由f(A)=54，可得cos (2A −π3)=12，又A 为三角形内角，∴ 2A −π3=π3，所以A =π3．无论选哪个条件，结果都是A =π3． （2）由正弦定理可得，a sin A=b sin B=c sin C=12√32=√33， 即b =√33sin B ，c =√33sin C ， 所以b +c =√33(sin A +sin B)=√33×2sin π3cosA−B 2=cos (A −π3)，而0<A <π2，0<B =2π3−A <π2，所以π6<A <π2，即−π6<A −π3<π6，cos (A −π3)∈(12, 1]，l ＝a +b +c ∈(1, 32]． 故周长l 的取值范围为(1, 32]．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 正弦定理【解析】根据选择的条件，即可选择对应的知识进行转化，即可求出周长的取值范围． 【解答】（1）若选择条件①，a →=(−cos A2,−sin A2),b →=(cos A2,−sin A2)，且a →⋅b →=−12，则cos 2A 2−sin 2A 2=cos A =12， ∵ 0<A <π，所以A =π3．若选择条件②，则(c −2b)cos A +a cos C ＝0由正弦定理可得，(sin C −2sin B)cos A +sin A cos C ＝0， 即sin (C +A)−2sin B cos A ＝0，解得cos A =12，∵ 0<A <π，所以A =π3．若选择条件③，f(x)=cos x cos (x −π3)+34,f(A)=54． f(x)=12[cos (2x −π3)+cos π3]+34=12cos (2x −π3)+1由f(A)=54，可得cos (2A −π3)=12，又A 为三角形内角，∴ 2A −π3=π3，所以A =π3．无论选哪个条件，结果都是A =π3． （2）由正弦定理可得，asin A =bsin B =csin C =12√32=√33， 即b =√33sin B ，c =√33sin C ， 所以b +c =√33(sin A +sin B)=√33×2sin π3cosA−B 2=cos (A −π3)，而0<A <π2，0<B =2π3−A <π2，所以π6<A <π2，即−π6<A −π3<π6，cos (A −π3)∈(12, 1]，l ＝a +b +c ∈(1, 32]．故周长l 的取值范围为(1, 32]．【点评】本题主要考查利用正弦定理解三角形，以及利用三角函数的性质求三角形周长的范围，属于中档题． 【答案】由题意得△ABC 外接圆半径R ＝2，∠BAC =π6，由正弦定理得BC ＝2R sin ∠BAC ＝4×12=2，故BC 的长为2．在△BCD 中，∵ ∠DBC ＝2∠BCD ，∴ sin ∠DBC ＝sin 2∠BCD ＝2sin ∠BCD cos ∠BCD ， 则由正弦定理，得CD ＝2BD ⋅cos ∠BCD ， 由余弦定理，得cos ∠BCD =BC 2+CD 2−BD 22⋅BC⋅CD，∴ CD =BD(BC 2+CD 2−BD 2)BC⋅CD，又BC ＝2，BD ＝3，解得CD 2＝15，由余弦定理，得cos ∠CBD =BD 2+BC 2−CD 22BD⋅BC =9+2−152×3×2=−16，∴ sin ∠CBD =√1−(−16)2=√356． ∴ △BCD 的面积S △BCD =12×BC ×BD ×sin ∠CBD =√352． 【考点】与圆有关的比例线段 【解析】（1）设△ABC 外接圆半径为R ，则由正弦定理可求得BC ＝2R sin ∠BAC ．（2）由∠DBC ＝2∠BCD 及正弦定理得CD ＝2BD ⋅cos ∠BCD ，再根据余弦定理得CD 2＝15，cos ∠CBD =−16，sin ∠CBD =√356，由此能求出△BCD 的面积．【解答】由题意得△ABC 外接圆半径R ＝2，∠BAC =π6，由正弦定理得BC ＝2R sin ∠BAC ＝4×12=2， 故BC 的长为2．在△BCD 中，∵ ∠DBC ＝2∠BCD ，∴ sin ∠DBC ＝sin 2∠BCD ＝2sin ∠BCD cos ∠BCD ， 则由正弦定理，得CD ＝2BD ⋅cos ∠BCD ， 由余弦定理，得cos ∠BCD =BC 2+CD 2−BD 22⋅BC⋅CD，∴ CD =BD(BC 2+CD 2−BD 2)BC⋅CD，又BC ＝2，BD ＝3，解得CD 2＝15，由余弦定理，得cos ∠CBD =BD 2+BC 2−CD 22BD⋅BC=9+2−152×3×2=−16，∴ sin ∠CBD =√1−(−16)2=√356． ∴ △BCD 的面积S △BCD =12×BC ×BD ×sin ∠CBD =√352． 【点评】本题考查三角形的边长、三角形面积的求法，正弦定理、余弦定理的应用等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 【答案】由题意得：{0.4a =b0.04+0.08+a +0.2+0.26+a +b +0.04+0.02=1，解得a ＝0.15，b ＝0.06．由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07． 由频率分布直方图得：全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1−0.04−0.08＝0.88， ∴ 全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 400000×(1−0.04−0.08)＝352000．∵ 前6组的频率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88>0.85， 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73<0.85， ∴ 5≤x <6，由0.15×(x −5)＝0.85−0.73，解得：x ＝5.8，因此，估计月用水量标准为5.8吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．【考点】频率分布直方图 【解析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，列出方程组，能求出a ，b ．由频率分布直方图能估计该市居民用水的平均数．（2）由频率分布直方图先求出全市居民中月均用水量不低于2吨的频率，由此能求出全市居民中月均用水量不低于2吨的人数．（3）前6组的频率之和是0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.73<0.85，从而5≤x <6，由0.15×(x −5)＝0.85−0.73，能估计月用水量标准为5.8吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 【解答】由题意得：{0.4a =b0.04+0.08+a +0.2+0.26+a +b +0.04+0.02=1，解得a ＝0.15，b ＝0.06．由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07． 由频率分布直方图得：全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1−0.04−0.08＝0.88， ∴ 全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 400000×(1−0.04−0.08)＝352000．∵ 前6组的频率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88>0.85， 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73<0.85， ∴ 5≤x <6，由0.15×(x −5)＝0.85−0.73，解得：x ＝5.8，因此，估计月用水量标准为5.8吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．【点评】本题考查平均数、频数、用水量标准的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【答案】因为以M 为圆心的圆M:x 2+y 2+12x +14y +60＝0的圆心坐标为(−6, −7)，半径r 为 5，由题意设圆N 的圆心的坐标为(a, −7)，a <0由题意可得半径为−a ，且|a +6|＝−a +5，解得：a =−12， 所以圆N 的方程为：(x +12)2+(y +7)2=14；由题意可得k OA =−4−2=2，且|OA|=√(−2)2+(−4)2=2√5，所以由题意可得直线l 的斜率为−12， 设直线l 的方程为：y =−12x +m ，即x +2y −2m ＝0，圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d =5，所以弦长|BC|＝2√r 2−d 2=2√25−(5)2， 因为BC =15OA ，所以2√25−(√52=15⋅2√5，解得m ＝−20±√31，所以直线l 的方程为：y =−12x −20+√31或y =−12x −20−√31． 因为TQ →−TP →=TA →，所以PQ →=TA →， 即|PQ →|＝|TA →|=√(t +4)2+22，又|PQ →|≤10，即√(t +4)2+22≤10，解得−4−4√6≤t ≤−4+4√6， 故实数t 的取值范围为[−4−4√6, −4+4√6]． 【考点】 圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】（1）根据题意得圆M 的圆心坐标为(−6, −7)，半径r 为 5，设圆N 的圆心的坐标为(a, −7)，a <0由题意可得半径为−a ，且|a +6|＝−a +5，解得a ，进而得到圆N 的方程；（2）由题意可得k OA ，且|OA|，设直线l 的方程为：y =−12x +m ，圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d ，得弦长|BC|＝2√r 2−d 2，代入BC =15OA ，所以2√25−(√52=15⋅2√5，解得m ，进而得直线l 的方程．（3）根据题意得PQ →=TA →，|PQ →|＝|TA →|=√(t +4)2+22，因为|PQ →|≤10，即√(t +4)2+22≤10，解得实数t 的取值范围． 【解答】因为以M 为圆心的圆M:x 2+y 2+12x +14y +60＝0的圆心坐标为(−6, −7)，半径r 为 5，由题意设圆N 的圆心的坐标为(a, −7)，a <0由题意可得半径为−a ，且|a +6|＝−a +5，解得：a =−12，所以圆N 的方程为：(x +12)2+(y +7)2=14；由题意可得k OA =−4−2=2，且|OA|=√(−2)2+(−4)2=2√5，所以由题意可得直线l 的斜率为−12， 设直线l 的方程为：y =−12x +m ，即x +2y −2m ＝0，圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d =5，所以弦长|BC|＝2√r 2−d 2=2√25−(√5)2， 因为BC =15OA ，所以2√25−(52=15⋅2√5，解得m ＝−20±√31，所以直线l 的方程为：y =−12x −20+√31或y =−12x −20−√31．因为TQ →−TP →=TA →，所以PQ →=TA →， 即|PQ →|＝|TA →|=√(t +4)2+22，又|PQ →|≤10，即√(t +4)2+22≤10，解得−4−4√6≤t ≤−4+4√6， 故实数t 的取值范围为[−4−4√6, −4+4√6]．【点评】本题考查直线，圆的方程，以及直线与圆的相交问题，属于中档题． 【答案】 ∵ tan α=43，∴ cos 2α＝cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−1691+169=−725，∵ α，β为锐角，即α,β∈(0,π2)，∴ 2α∈(0, π)，α+β∈(0, π)． ∴ sin 2α=√1−cos 22α=2425，∴ tan 2α=sin 2αcos 2α=−247， ∵ f(x)＝cos x ，∴ f(α+β)＝cos (α+β)=−√55， ∴ sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55，∴ tan (α+β)=sin (α+β)cos (α+β)=−2，∴ tan (β−α)＝tan (α+β−2α)=tan (α+β)−tan 2α1+tan (α+β)tan 2α=−2+2471+2×247=211．综上，cos 2α=−725，tan (β−α)=211．g(x)＝f(2x)−3＝cos 2x −3，∵ 对任意x 都有g 2(x)≤(2+a)g(x)−2−a 恒成立，∴ (cos 2x −3)2≤(2+a)(cos 2x −3)−2−a 恒成立，即(cos 2x −4)a ≥(cos 2x −3)2−2(cos 2x −3)+2恒成立，第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页设cos 2x −4＝t ，则t ∈[−5, −3]，∴ at ≥(t +1)2−2(t +1)+2＝t 2+1，则a ≤t +1t ．设y ＝t +1t，由对勾函数的性质可知，函数y 在区间[−5, −3]上为增函数，∴ y ＝t +1t ≥−5−15=−265，∴ a ≤−265， 故a 的最大值为−265．∵ f(α)+f(β)−f(α+β)=32， ∴ cos α+cos β−cos (α+β)=32，∵ α，β∈(0, π)，∴ α＝β=π3． 【考点】二倍角的三角函数 两角和与差的三角函数 三角函数的最值 【解析】（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想，可得cos 2α＝cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α，代入已知数据计算即可；由于α，β为锐角，所以2α∈(0, π)，α+β∈(0, π)，再结合同角三角函数的平方关系和商数关系，可依次求得tan 2α=−247，tan (α+β)＝−2，然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知tan (β−α)＝tan (α+β−2α)=tan (α+β)−tan 2α1+tan (α+β)tan 2α，代入已得数据进行计算即可；（2）g(x)＝f(2x)−3＝cos 2x −3，原问题可转化为(cos 2x −4)a ≥(cos 2x −3)2−2(co2x −3)+2恒成立，设cos 2x −4＝t ，则t ∈[−5, −3]，所以at ≥(t +1)2−2(t +1)+2＝t 2+1，则a ≤t +1t ．令y ＝t +1t ，结合对勾函数的性质即可得函数y 的最小值，从而得解；（3）由题可知，cos α+cos β−cos (α+β)=32，因为α，β∈(0, π)，所以α＝β=π3．【解答】 ∵ tan α=43，∴ cos 2α＝cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−1691+169=−725，∵ α，β为锐角，即α,β∈(0,π2)，∴ 2α∈(0, π)，α+β∈(0, π)． ∴ sin 2α=√1−cos 22α=2425，∴ tan 2α=sin 2αcos 2α=−247， ∵ f(x)＝cos x ，∴ f(α+β)＝cos (α+β)=−√55， ∴ sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55，∴ tan (α+β)=sin (α+β)cos (α+β)=−2，∴ tan (β−α)＝tan (α+β−2α)=tan (α+β)−tan 2α1+tan (α+β)tan 2α=−2+2471+2×247=211．综上，cos 2α=−725，tan (β−α)=211．g(x)＝f(2x)−3＝cos 2x −3，∵ 对任意x 都有g 2(x)≤(2+a)g(x)−2−a 恒成立，∴ (cos 2x −3)2≤(2+a)(cos 2x −3)−2−a 恒成立，即(cos 2x −4)a ≥(cos 2x −3)2−2(cos 2x −3)+2恒成立，设cos 2x −4＝t ，则t ∈[−5, −3]，∴ at ≥(t +1)2−2(t +1)+2＝t 2+1，则a ≤t +1t ．设y ＝t +1t ，由对勾函数的性质可知，函数y 在区间[−5, −3]上为增函数， ∴ y ＝t +1t≥−5−15=−265，∴ a ≤−265，故a 的最大值为−265．∵ f(α)+f(β)−f(α+β)=32，∴ cos α+cos β−cos (α+β)=32， ∵ α，β∈(0, π)，∴ α＝β=π3．【点评】本题主要考查三角恒等变换的混合运算，还涉及函数的恒成立问题，用到了拼凑角和弦化切的思想、参变分离法、对勾函数的性质等，覆盖的知识面非常广，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．。
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无锡市大桥实验学校2019—2020学年度第二学期期中考试
高一数学试卷
2020．5
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．直线10x ++=的倾斜角是
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
2．已知m 为实数，直线l 1：10mx y +-=，l 2：(32)20m x my -+-=，若l 1∥l 2，则实数m 的值
A ．2
B ．1
C ．1或2
D ．0或13
3．过点A(1，﹣1)、B(﹣1，1)且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是 A ．2
2
(3)(1)4x y -++= B ．2
2
(3)(1)4x y ++-= C ．2
2
(1)(1)4x y -+-= D ．2
2
(1)(1)4x y +++= 4．在△ABC ，已知a cosA ＝b cosB ，则△ABC 的形状是
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若m ∥n ，n ∥α，则m ∥n B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n
C ．若α⊥β＝m ，n ⊂α，则n ⊥β
D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂
β，则α⊥β
6．已知直线10x y +-=与圆C ：2
2
(1)(2)3x y -+-=交于A ，B 两点，则弦AB 的长为
A ．1
B
C ．2
D ． 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ：b ：c ＝4：3：2，则2sin A sin B
sin 2C
-
＝ A ．
37 B ．57 C ．97 D ．107
8．已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积
为
433
π
，则该三棱柱的高为 A ．
32 B ．3 C ．4 D ．52
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项
中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若A ＝6
π
，2a =，c =，则角C 大小是 A ．
6π B ．3
π
C ．56π
D ．23π
10．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为 A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --= 11．如图，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，若
平面SAD I 平面SBC ＝l ．以下四个结论中正确的是 A ．AD ∥平面SBC B ．l ∥AD
C ．若E 是底面圆周上的动点，则△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积
D ．l 与平面SCD 所成的角为45°
12．P ，Q 分别为圆M ：2
2
(6)(3)4x y -+-=与圆N ：2
2
(4)(2)1x y ++-=上的动点，A
为x 轴上的动点，则AP AQ +的值可能是
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知两点M(0，2)，N(2，﹣2)，以线段MN 为直径的圆的方程为 ．
14．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为h ＝40的楼AB 的底部A 处和楼顶
B 处分别测得仰角为β＝60°，α＝30°，若山坡高为a ＝32，则灯塔高度是 ．
第11题 第14题
15．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、
CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是 ．
16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a sinA ﹣4b sinC ＝0，A 为
锐角，则
sin B sin C
2sin A
+的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
已知直线310mx y m +--=恒过定点A ．
（1）若直线l 经过点A 且与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程； （2）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程． 18．（本小题满分12分）
如图，已知点C 是圆心为O 半径为1的半圆弧上从点A 数起的第一个三等分点，AB 是直径，CD ＝1，直线CD ⊥平面ABC ．
（1）证明：AC ⊥BD ；
（2）若M 为BD 的中点，求证：OM ∥平面DAC ； （3）求三棱锥D —ABC 的体积．
19．（本小题满分12分）
设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b cosB ＝a cosC ＋c cosA ． （1）求B ；
（2）若b ，求a ＋c 的取值范围．
20．（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF ＝DE ，点M 为棱AE 的中点．
（1）求证：BD//EF ；
（2）求证：平面BMD ∥平面EFC ；
（3）若AB ＝1，BF ＝2，求E 点到平面ACF 的距离．
21．（本小题满分12分）
如图，在某商业区周边有两条公路l 1和l 2，在点O 处交汇；该商业区为圆心角
3
π
、半径3km 的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与l 1，l 2分别交于A ，B ，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在l 1，l 2上．
（1）设OA ＝a km ，OB ＝b km 试用a ，b 表示新建公路AB 的长度，求出a ，b 满足的关系式，并写出a ，b 的范围；
（2）设∠AOT ＝α，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定A ，B 的位置，使得新建公路AB 的长度最短．
22．（本小题满分12分）
如图，圆C 与x 轴相切于点T(1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且AB ＝2．
（1）求圆C 的标准方程；
（2）过点A 任作一条直线与圆O ：2
2
1x y +=相交于M ，N 两点．①求证：MA
MB
为定值，并求出这个定值；②求△BMN 的面积最大值．
参考答案
1．D 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．D 8．B 9．BD 10．ABC 11．ABD 12．CD
13．2
2
(1)5x y -+= 14．28 15．2
π
16．(42)
17．
18．
19．
20．
21．
22．。