2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-5-2

－y)· (2－x，－y)＝4x2－x－5.令 f(x)＝4x2－x－5，则 f(x)在[1，＋∞)上单调递 → → 增，所以当 x＝1 时，函数 f(x)取最小值，即PA1· PF2取最小值，最小值为－2. 答案 －2 x2 y2 → → 6．已知 A(1,2)，B(－1,2)，动点 P 满足AP⊥BP.若双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0) 的渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点， 则双曲线离心率的取值范围是______． 解析 设 P(x，y)，由题设条件，得动点 P 的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－
第2讲
圆锥曲线中的定点、定值、最值、 范围问题
一、选择题 x2 y2 1．若双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)与直线 y＝ 3x 无交点，则离心率 e 的取值范 围是 A．(1,2) C．(1， 5) 解析 B.(1,2] D.(1， 5] ( )．
b 因为双曲线的渐近线为 y＝± ax，要使直线 y＝ 3x 与双曲线无交点，
答案
(0,1)
8． 直线 3x－4y＋4＝0 与抛物线 x2＝4y 和圆 x2＋(y－1)2＝1 从左到右的交点依次 AB 为 A，B，C，D，则CD的值为________．
解析
3x－4y＋4＝0， 由 2 得 x2－3x－4＝0， x ＝4y，
1 ∴xA＝－1，xD＝4，∴yA＝4，yD＝4. 直线 3x－4y＋4＝0 恰过抛物线的焦点 F(0,1)． 5 ∴AF＝yA＋1＝4，DF＝yD＋1＝5， AB AF－1 1 ∴CD＝ ＝ . DF－1 16 答案 1 16
x2 2)＝0，即 x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1 为半径的圆．又双曲线a2－ y2 b 2a b ＞ 0) 的渐近线方程为 y ＝ ± x ， 即 bx ± ay ＝ 0 ， 由题意， 可得 2＝1(a＞0， b a a2＋b2 2a c ＞1，即 c ＞1，所以 e＝a＜2，又 e＞1，故 1＜e＜2. 答案 (1,2)
2 当且仅当 sin α＝－3时取等号，所以|PQ|≤|CQ|＋r＝5 2＋ 2＝6 2，即 P，
Q 两点间的最大距离是 6 2，故选 D. 答案 D
二、填空题 y2 5．已知双曲线 x2－ 3 ＝1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点， → → 则PA1· PF2的最小值为________． 解析 → → 由已知得 A1(－1,0)，F2(2,0)．设 P(x，y)(x≥1)，则PA1· PF2＝(－1－x，
＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆 2b2 焦点的弦中，通径最短，即 a ＝3，可求得 b2＝3，即 b＝ 3. 答案 D
3．(2014· 湖北卷)已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共 π 点， 且∠F1PF2＝3， 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( )．
x2 y2 x2 y2 7．若椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)与双曲线a2－b2＝1 的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2 的取值范围为________． 解析 可知 a e2 1＝
2 2 2 －b2 b2 2 a ＋b b2 a2 ＝1－a2，e2＝ a2 ＝1＋a2，
2 所以 e2 1＋e2＝2＞2e1e2⇒0＜e1e2＜1.
4 3 A. 3 C．3 解析
2 3 B. 3 D.2 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1＞r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为 a1，双曲
2 线实半轴长为 a2，椭圆、双曲线的离心率分别为 e1，e2，则(2c)2＝r2 1＋ r 2－
π 2 2r1r2cos 3，得 4c2＝r2 1＋r2－r1r2. r1＋r2＝2a1， r1＝a1＋a2， 由 得 r1－r2＝2a2 r2＝a1－a2， 1 1 a1＋a2 r1 ∴e ＋e ＝ c ＝ c .
1 2
Baidu Nhomakorabea
r2 1 令 m＝c2＝
2 4r1 ＝ 2 r2 1＋r2－r1r2
4 r2 r2 1＋r 2－r 1 1
4 ＝r 1 ， 2 2 3 r －2 ＋ 1 4 r2 1 16 4 3 r1 当r ＝2时，mmax＝ 3 ，∴ c max＝ 3 ， 1 1 1 4 3 即e ＋e 的最大值为 3 .
b 则直线 y＝ 3x 应在两渐近线之间，所以有a≤ 3， 即 b≤ 3a，所以 b2≤3a2， c2－a2≤3a2，即 c2≤4a2，e2≤4，所以 1＜e≤2. 答案 B
x2 y2 2．已知椭圆 4 ＋b2＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 交椭 圆于 A，B 两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为 5，则 b 的值是 A．1 3 C.2 解析 B. 2 D. 3 由椭圆的方程， 可知长半轴长为 a＝2； 由椭圆的定义， 可知|AF2|＋|BF2| ( )．
1 2
答案
A
x2 4．(2014· 福建卷)设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭圆10＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是 A．5 2 C．7＋ 2 解析 B. 46＋ 2 D.6 2 ( )．
设圆的圆心为 C，则 C(0,6)，半径为 r＝ 2，
点 C 到椭圆上的点 Q( 10cos α， sin α)的距离|CQ|＝ 10cos α2＋sin α－62 ＝ 46－9sin2 α－12sin α ＝ 2 50－9sin α＋32≤ 50＝5 2，
三、解答题 1 9．(2014· 烟台一模)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于2， 它的一个顶点恰好是抛物线 x2＝8 3y 的焦点．
(1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，点 A，B 是椭圆上不同的两个动点， 且满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由． 解 x2 y2 (1)设椭圆 C 的方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)，