苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件
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勾股定理ppt课件
•
他们发现勾股定理的时间都比中国晚（中国是最早发现这一几何
宝藏的国家）。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵
爽弦图，证明使用青朱出入图。
•
勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题
的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
•
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c
•
实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民
族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、
中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可
查。相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有
留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转
传播的。可以说真伪难辨。这个现象的确不
太公平，其所以这样，是因为现代的数学和
科学来源于西方，而西方的数学及科学又来
• [1]如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边 和斜边，那么a²+b²=c².
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3
简介
• 勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理” （相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题），在 外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。（毕达哥拉斯发现 了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”）。
角度考察勾股定理的
意义。即，向量长度
的平方等于它在其所
在空间一组正交基上
投影长度的平方之和。
•
2．勾股定理是余ppt课件完整
6
勾股定理——定理
• 如果直角三角形两直 角边分别为a，b，斜 边为C，那么
a^2+b^2=c^2。
•
即直角三角形两
直角边长的平方和等
于斜边长的平方。
勾股定理课件
希腊1955年为纪念毕 达哥拉斯学派发行的纪念 邮票。
读一读
勾股历史（ 勾股历史（二）
我国是最早了解勾股定理的国家之一。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出， 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角三角形， 将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾 等于三，股等于四，那么弦就等于五， 等于三，股等于四，那么弦就等于五，即 勾三、股四、弦五” “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国 古代著名的数学著作《周髀算经》 古代著名的数学著作《周髀算经》中。最 早是由三国时期的数学家赵爽在为《 早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀 算经》注解时给出的。 算经》注解时给出的。
读一读
图是在北京召开的2002年国际数学家大会 年国际数学家大会 图是在北京召开的 （TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”， － ）的会标，其图案正是“弦图” 它标志着中国古代的数学成就. 它标志着中国古代的数学成就
一.勾股定理
发 现
们 ， 我 们 也 来 观 察 下 面 的 案 ， 看 看 你 能 图
（一）对勾股定理内容的直接应用 1. 求下列图中字母所代表的正方形的面积
A 32 60
81 B 225 B=________ 225-81=144
A=________ 32+60=92
求出下列直角三角形中未知边的长度. 2. 求出下列直角三角形中未知边的长度.
y
6 8
x 5 13
132 − 52 = 144 =12 y=_____________________
年一个周末的傍晚， 在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在 年一个周末的傍晚 在美国首都华盛顿的郊外， 散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。 散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着 走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去， 时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去， 想搞清楚两个小孩到底在干什么。 想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着 一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？ 一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地 请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和 ， 说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为 和4，那么斜边长为多 少呢？ 伽菲尔德答到： 小男孩又问道： 少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为 呀 5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到： 和 ，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？ 伽菲尔德不加思索地回答到： 那斜边的平方一定等于5的平方加上 的平方。 小男孩又说道： 先生， 的平方加上7的平方 “那斜边的平方一定等于 的平方加上 的平方。”小男孩又说道：“先生，你 能说出其中的道理吗？ 伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经 过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
勾股定理定理 课件
2m
A 1m B
AC2 = AB2+BC2= 12+22 =5
∴ AC
5
＞2.2m
答：薄木板能从门框内通过。
感受数学之美
图中，所有的四
边形都是正方形，所 A
有的三角形都是直角
B
三角形，正方形M,N
M
的面积的和是_1_0_0__.
N
100
勾股定理
2500年前，古希腊著名数学家 毕达哥拉斯非常善于观察和思 考，经常能从平淡的生活现象 中发现数学问题.
有一次他在朋友家做客 时,发现朋友家用砖铺成的 地面中隐藏着深刻的道理
观察：图中两个小正
方形与大正方形的面
积之间有什么关系？
aa
c
思考：直角三角形三 边之间有什么关系？
A
a B bc
a
a
b
cb
cb
cb
c
将纸片按虚线所示折叠裁剪成用4个 全等的直角三角形,并用它们拼图证明猜 想的结论.
勾股定理 定理：直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
在Rt△ABC中，∵∠C=90° ∴a2 +b2 =c2
A
股弦
bc C 勾Biblioteka B《周髀算经》中记载： 勾三股四弦五
学以致用
A
1、Rt△ABC中∠C=90° c
C
图中每个小方格的 面积均为1，请分别
算出正方形A,B,C 的面积，利用面积 关系验证三边关系.
A a B bc
C
图1
SA
SB
SC
9 16 25
A
a B bc
C
SA SB SC 4 9 13
C c Aa
探索勾股定理ppt课件
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的 直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
自主探究 任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的 等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时， 易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑 高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦 勾
股
我国古代把直角三角形中 的直角边称为 ， 的直角 边称为 ， 称为 ，“勾股 定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学 任务二：熟练运用勾股定理进
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的 直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
自主探究 任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的 等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时， 易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑 高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦 勾
股
我国古代把直角三角形中 的直角边称为 ， 的直角 边称为 ， 称为 ，“勾股 定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学 任务二：熟练运用勾股定理进
苏教版高中数学选修3-1-1.3.2《九章算术》中的数学成就-课件(共19张PPT)
知识梳理
《九章算术》的内容是由周代 的“九数”发展而来的。刘徽称： “周公制礼而有九数，九数之流则 《九章》是矣”。
知识梳理
明代刊印的《九章算术注》
知识梳理
《九章算术》标志着中国传统 数学的知识体系已初步形成。代表 了中国传统数学体系和思想方法的 特点：注重实际问题的数值计算方 法，缺少抽象的理论和逻辑系统性， 使用算筹，形成世界上独有的计算 工具和程序化计算方法。
知识梳理
《九章算术注》对数学方法的贡献 开始了其独特的推理论证的尝试。 “析理以辞，解体用图。” 创立了 “出入相补”的方法，提出了“割圆 术”，上首次将极限概念用于近似计算； 引入十进制小数的记法和负整数的知识； 他试图建立球体积公式，虽然没有成功， 但为后人提供了科学的方法；
知识梳理
引入十进制小数的记法和负整数的 知识；他试图建立球体积公式，虽然没 有成功，但为后人提供了科学的方法； 他对勾股测量问题的深入研究，在几何 研究中，从少数几个原理出发，运用逻 辑手段推导出结果的方法 。
背景知识
《算数书》，1984年从湖北张家山古 墓中发掘出土的。据考证，《算数书》是 公元前206年－前179年的一部数学著作， 它以实际应用问题的形式编纂。
知识梳理
《九章算术》 是中国古代的一本传世数学 名著，一直作为中国传统数学的代表作，现在传 世的是三国时代刘徽于263年完成的注释本。刘 徽布衣出身，生平不详。从他的《九章算术注》 自序中可以知道：他早年系统地学习过《九章算 术》，并以“注”的形式将其研究成果记载下来， 完成了《九章算术注》。
知识梳理
提出“审辨名分”，不但对自己提 出的每一个新概念都给出界定《九章算 术注》丰富了《九章算术》的数学成果， 主要表现在算术、代数和几何诸方面。 诸如，割圆术与徽率“割之弥细，所失 弥少，割之又割，以至于不可割，则与 圆合体而无所失矣。”
苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张PPT)品质课件PPT
知识梳理
毕达哥拉斯
到了公元前540年，希腊数 学家毕达哥拉斯注意到了直角 三角形三边是3、4、5，或者是 5、12、13的时候，有这么个关 系,他想：是不是所有直角三角 形的三边都符合这个规律？反 过来，三边符合这个规律的， 是不是直角三角形？
知识梳理
他搜集了许多例子，结果都对这两 个问题作了肯定的回答。他高兴非常， 杀了一百头牛来祝贺。
注意“案”中的“弦图又可以”、 “亦成弦实”，“又”“亦”二字表示 赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法 证明，于是他给出了新的证明。
知识梳理
赵爽弦图
知识梳理
5000年前的埃及人，也知道这一定 理的特例，也就是勾3、股4、弦5，并用 它来测定直角。以后才渐渐推广到普遍 的情况。
知识梳理
金字塔的底部，四正四方，正对准 东西南北，可见方向测得很准，四角又 是严格的直角。而要量得直角，当然可 以采用作垂直线的方法，但是如果将勾 股定理反过来，也就是说：只要三角形 的三边是3、4、5，或者符合的公式，那 么弦边对面的角一定是直角。
知识梳理
《周髀算经》，卷上记载了商高答 周公问，陈子答荣方问。前者有勾股定 理的特例32+42=52，后者有用勾股定理 及比例算法测太阳高远及直径的内容。
该书卷首记叙了一段精彩的对话：
昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫 善数也，请问昔者包牺立周天历度—— 夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度， 请问数安从出？”
《周髀算经》和勾股定理
背景简介
中国是世界文明古国之一。数学是 中国古代科学中一门重要学科，其发展 源远流长，成就辉煌。我们都知道，中 国古代的四大发明曾经极大地推动了世 界文明的进步。同样，作为中国文化的 一个重要组成部分----中国古代数学， 也是数学发展历史长河中一支不容忽视 的源头。
勾股定理课件
76年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏 的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个 小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好 奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男 孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德 便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直 角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道： “如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思 索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说 出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步 立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理 并给出了简洁的证明方法。 如下： 解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的的正方形 面积。 勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， a^2+b^2=c^2; 说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜 边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关 系。 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c的平方;= a的平方+b的平方 =9+16=25即c=5 则说明斜边为5。
勾股定理的来源 毕达哥拉斯树是一个基本的 是一个基本的几何定 毕达哥拉斯树是一个基本的几何定 理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉 斯所证明。 斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个 定理后，即斩了百头牛作庆祝， 定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又 称“百牛定理 在中国， 周髀算经》 在中国，《周髀算经》记载了勾股定理 的公式与证明， 的公式与证明，相传是在商代由商高发 故又有称之为商高定理； 现，故又有称之为商高定理；三国时代 赵爽对 周髀算经》 的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作 出了详细注释， 出了详细注释，又给出了另外一个证明 [1]。法国和比利时称为驴桥定理，埃及 。法国和比利时称为驴桥定理， 称为埃及三角形。 称为埃及三角形。我国古代把直角三角 形中较短的直角边叫做勾， 形中较短的直角边叫做勾，较长的直角 边叫做股，斜边叫做弦。 边叫做股，斜边叫做弦。 常用勾股数组 4 ,5);(6, 8, 10);(5, 常用勾股数组(3, 勾股数组 12 ,13);(8, 15, 17) ;(7,24,25)
勾股定理的来源 毕达哥拉斯树是一个基本的 是一个基本的几何定 毕达哥拉斯树是一个基本的几何定 理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉 斯所证明。 斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个 定理后，即斩了百头牛作庆祝， 定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又 称“百牛定理 在中国， 周髀算经》 在中国，《周髀算经》记载了勾股定理 的公式与证明， 的公式与证明，相传是在商代由商高发 故又有称之为商高定理； 现，故又有称之为商高定理；三国时代 赵爽对 周髀算经》 的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作 出了详细注释， 出了详细注释，又给出了另外一个证明 [1]。法国和比利时称为驴桥定理，埃及 。法国和比利时称为驴桥定理， 称为埃及三角形。 称为埃及三角形。我国古代把直角三角 形中较短的直角边叫做勾， 形中较短的直角边叫做勾，较长的直角 边叫做股，斜边叫做弦。 边叫做股，斜边叫做弦。 常用勾股数组 4 ,5);(6, 8, 10);(5, 常用勾股数组(3, 勾股数组 12 ,13);(8, 15, 17) ;(7,24,25)
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X
古埃及人曾用下面的方法得到直角
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子 分成等长的12段,然后以3个结， 4个结，5个结的长度为边长， 用木桩钉成一个三角形，其中 一个角便是直角。
按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗？
1、了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性。 2、会通过三角形三边的数量关系来判断它是否为 直角三角形。
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
伽 菲 尔 德 证 法
c2 = a2 + b2
例1 小丁的妈妈买了一部34英寸 （86厘米）的电视机。小丁量了 电视机的屏幕后，发现屏幕只有 70厘米长和50厘米宽，他觉得一 定是售货员搞错了。你能解释这 是为什么吗？
我们通常所说的34英寸 解：∵702+502=7400 或86厘米的电视机，是指 862=7396 其荧屏对角线的长度
1、按要求作出53页的三角形，并观察是什么三 角形。 2、阅读教材53-54页，理解勾股定理的逆定理。
动手画一画
下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： 3，4，4； 2，3，4； 3，4，5
（1）这三组数都满足a b c
2 2 2 吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
勾股定理的逆定理
国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作
《周髀算经》中。 国家多年
小 结：
1、这节课你学到了什么知识？ 2 、运用“勾股定理”应注意什么问题？
3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
1、课本55页第2、3题。
2、查阅有关勾股定理的历史资料。
3.（选做） 已知等腰直角三角形 斜边的长为2cm，求这个三角形 的周长？
【数学课件】勾股定理(1)
同学们,再见
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间ห้องสมุดไป่ตู้人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
苏教版高中数学选修3-1-1.3.3 刘徽和祖冲之、祖暅父子在球体积计算方面的成就-课件(共20张P
③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算 原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对 “勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了 中国特色的相似理论。
人物简介
面积与体积理论
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术” 的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种 几何形、几何体的面积、体积计算问题。这 些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
人物简介
祖冲之（429~500）
祖冲之（429-500）， 字文远。祖籍范阳郡遒县 （今河北涞水县），中国南 北朝时期杰出的数学家、天 文学家。
人物简介
祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡 献在数学、天文历法和机械制造三方面。 他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法 的基础上，首次将“圆周率”精算到小 数第七位，即在3.1415926和3.1415927 之间，他提出的“祖率”对数学的研究 有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学 家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
《九章算术》约成书于东汉之初， 共有246个问题的解法。在许多方面： 如解联立方程，分数四则运算，正负数 运算，几何图形的体积面积计算等，都 属于世界先进之列。
人物简介
刘徽的数学成就大致为两方面：
一是整理中国古代数学体系并奠定 了它的理论基础，这方面集中体现在 《九章算术注》中。它实已形成为一个 比较完整的理论体系：
刘徽
人物简介
刘徽是中国最早明确主张用逻 辑推理的方式来论证数学命题的人。 他的一生是为数学刻苦探求的一生。 他虽然地位低下，但人格高尚。他 不是沽名钓誉的庸人，而是学而不 厌的伟人，他给我们中华民族留下 了宝贵的财富。
人物简介
他的主要著作有：《九章算术注》 10卷；《重差》1卷，至唐代易名为 《海岛算经》；《九章重差图》l卷。 可惜后两种都在宋代失传。
人物简介
面积与体积理论
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术” 的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种 几何形、几何体的面积、体积计算问题。这 些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
人物简介
祖冲之（429~500）
祖冲之（429-500）， 字文远。祖籍范阳郡遒县 （今河北涞水县），中国南 北朝时期杰出的数学家、天 文学家。
人物简介
祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡 献在数学、天文历法和机械制造三方面。 他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法 的基础上，首次将“圆周率”精算到小 数第七位，即在3.1415926和3.1415927 之间，他提出的“祖率”对数学的研究 有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学 家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
《九章算术》约成书于东汉之初， 共有246个问题的解法。在许多方面： 如解联立方程，分数四则运算，正负数 运算，几何图形的体积面积计算等，都 属于世界先进之列。
人物简介
刘徽的数学成就大致为两方面：
一是整理中国古代数学体系并奠定 了它的理论基础，这方面集中体现在 《九章算术注》中。它实已形成为一个 比较完整的理论体系：
刘徽
人物简介
刘徽是中国最早明确主张用逻 辑推理的方式来论证数学命题的人。 他的一生是为数学刻苦探求的一生。 他虽然地位低下，但人格高尚。他 不是沽名钓誉的庸人，而是学而不 厌的伟人，他给我们中华民族留下 了宝贵的财富。
人物简介
他的主要著作有：《九章算术注》 10卷；《重差》1卷，至唐代易名为 《海岛算经》；《九章重差图》l卷。 可惜后两种都在宋代失传。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修3-1 1.3.1 《周髀算经》和勾股定理》
《周髀算经和勾股定理》【学习目标】一．知识与能力：1了解中国最早的天文学著作《周髀算经》的学术价值；2熟悉我国古代数学家赵爽的杰出贡献；3了解中国古代用勾股弦图证明勾股定理二．过程与方法：通过《周髀算经》到赵爽发现“赵爽弦图”，了解中国勾股定理发现过程三．情感态度价值观：《周髀算经》是中国最早的天文学著作；赵爽是我国最先明确地证明勾股定理的人，通过学习古人对探索真理的孜孜不倦的求知的精神，树立对学习和对生活正确的观念，激发学生学习的热情和热爱现在美好生活的态度【学习重难点】重难点：《周髀算经》的数学内容，赵爽弦图的理解难点：学习我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，激发学生的学习兴趣【教学过程】问题情境：如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线杆折断之前有多高？设计意图：勾股定理学生在初中已经学习过，用此问题让学生简单回顾勾股定理的应用，引出本节课的主题师问：同学们了解关于勾股定理的历史吗？课前让学生查阅关于勾股定理的历史和相关材料，课堂上让学生展示学生展示 方式：口述关于勾股定理的历史和相关事例1. 加菲尔德和勾股定理的故事2. 大禹治水和勾股定理的故事1433182=⨯⨯⨯=c S 正方形c S 正方形18=2162=⨯3. 周公和商高关于勾股定理的故事师总结：对学生搜集的材料给予肯定和鼓励，对勾股定理的历史作简要说明，勾股定理是由赵爽编辑整理，并给出了“赵爽弦图”的证明方式，收录在最早的天文学著作《周髀算经》中，介绍《周髀算经》的历史地位师问：同学们知道我们的先人是如何证明勾股定理的吗？1. 给出加菲尔德证明勾股定理的图形，让学生分组讨论，并分享成果2. 引导学生探究“赵爽弦图”证明勾股定理：先用等腰直角三角形两直角边上的正方形的面积之和与斜边上的直角三角形面积间的关系，让学生大胆的去猜想，再过渡到一般的直角三角形的两直角边上的正方形面积和与斜边上的正方形面积间的关系，分组讨论，分享成果学生分享成果，给出方法和结论方法总结：2补行法 把斜边上的正方形补成大的正方形面积的一半结论：C B A S S S =+A B Cc S 正方形144312=⨯⨯⨯+25=c S 正方形）（17212+⨯=25= 1a b c 师问：对于一般的直角三角形是否成立呢？小组讨论，展示成果总结：C B A S S S =+师生共同分析：设直角三角形的两条直角边为a 和b 斜边为c ，则 ⇒===222,,c S b S a S C B A 222c b a =+勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么222c b a =+ 即 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．知识拓展：我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”因此就把这一定理称为勾股定理B B勾 股教学应用：1. 求下列图中表示边的未知数、的值2某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高2米，消防队员取来7米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是米，请问消防队能否进入三楼灭火师总结：通过本节课的学习，同学们了解了有关我国最早的天文学著作《周髀算经》的相关知识和勾股定理的历史，掌握了勾股定理的几种简单的证明方法，也感受到了我们古人对真理的孜孜不倦的探索精神，对大家有什么帮助吗？请同学们谈一谈感受--------学生各抒己见，谈从古人身上学习到的宝贵精神和自己以后的做法 169 144 625 576。
勾股定理教学课件
勾
b
弦
/view/d 26114c4aa00b52acfc7cab7.ht
股读Leabharlann 读勾股世界/view/c21b2e42a8956bec0975e3e6.html
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年 前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学 著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾 股定理的一般形式。 1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥 板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三 边的数，其年代远在商高之前。 相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了 勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。
b b
c
大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 4•ab/2+(b- a)2
c2
；
a
c a b b c a
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
c
∴a2+b2=c2
a
b
b
c
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
文山初中 马娟娟
勾股定理的历史背景：
• /question/12 379733.html
了解中国历史中的勾股定 理
• /gb/basic/szsx/ 3/3_24/3_24_1002.htm
学习目 标
•
• •
例1、已知△ABC中,∠C=90°,
b
弦
/view/d 26114c4aa00b52acfc7cab7.ht
股读Leabharlann 读勾股世界/view/c21b2e42a8956bec0975e3e6.html
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年 前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学 著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾 股定理的一般形式。 1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥 板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三 边的数，其年代远在商高之前。 相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了 勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。
b b
c
大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 4•ab/2+(b- a)2
c2
；
a
c a b b c a
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
c
∴a2+b2=c2
a
b
b
c
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
文山初中 马娟娟
勾股定理的历史背景：
• /question/12 379733.html
了解中国历史中的勾股定 理
• /gb/basic/szsx/ 3/3_24/3_24_1002.htm
学习目 标
•
• •
例1、已知△ABC中,∠C=90°,
苏教版高中数学选修3-3全套PPT课件
P
α
R O
（4）d>R时，平面α 与球面O没有公共点，它 们不相交，自然也不相切。
例题：已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们 位于球心的同一侧且相距1，求这个球的半径。
B
O2
O1
A
O
5
22
[解]如图，O1A、O2B分别是小圆半径，所以 O2B = 5 ， O1A=
，又OO1、
OO2=分别是球心到截面的距离，且O1O2=1，所以 R2 5 R2 8 1 解得
直线，分别与球面相交于Q、R、S、T四点， 则PQ·PS=PS·PT.
定理1、2、3统称为球幂定理。
平面与球面的位置关系
设α 是一个平面，球面O的半径为R，从球心O 向平面α 作垂线，垂足是P，线段OP的长d就是球心 O到平面α 的距离.平面α 与球面的关系由d决定， 可以分如下几种情况：
（1）d=0时，如图，平面α过球心O，这时平面α与 球面交于一个与球半径一样大的圆，截面圆最大， 这样的圆叫做球面上的大圆（great circle）。
相离、相切、相交
四、圆幂定理类比球幂定理
定理1：从球面外一点P向球面引割线，交
面于Q、R两点；再从点P引球面的任一切 线，切点为S，则PS2=PQ·PR.
定理2：从球面外一点P向球面引两条割线，
它们分别与球面相交于Q、R、S、T四点，则 PQ·PR=PS·PT.
定理3：设点P是球面内一点，过点P作两条
【知识与能力】
在回顾圆的知识的基础上，充分理解球 面的定义和概念.
熟悉球面的对称性，理解中心对称图形、 轴对称图形的、镜面对称图形、旋转对称 图形的性质.
【过程和方法】
观察身边的事物，讨论球面在生活中的 应用，认识研究球面的重要意义. 通过实例和应用计算机辅助学习来掌握 球面，球面对称性.
《勾股定理》PPT课件
AC 2 6
1.在△ABC中，∠C=90°.
练 习
(1)若a=6，c=10，则b=
;
(2)若a=12，b=9，则c= (3)若c=25，b=15，则a=
; ;
2.等边三角形边长为10，求它的高及面积。 C 3.如图，在△ABC中，C=90°，
CD为斜边AB上的高，你可以得 b 出哪些与边有关的结论？ A m h
c2
；
a c
c a
b a
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
a
b
b c
b c
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 c2 +4•ab/2
a b
a
b
c
c
a
b
c
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
a
B D n
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD
证明：过A作AE⊥BC于E ∵AB=AC，∴BE=CE D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) B E C
a b
c
勾股定理的证明
证明方法3：赵爽弦图，动手拼图
勾股定理的证明
证明方法4：美国总统加菲尔德的证明方法
a b
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苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张P PT)
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知识梳理
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赵爽弦图
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知识梳理
毕达哥拉斯
到了公元前540年，希腊数 学家毕达哥拉斯注意到了直角 三角形三边是3、4、5，或者是 5、12、13的时候，有这么个关 系,他想：是不是所有直角三角 形的三边都符合这个规律？反 过来，三边符合这个规律的， 是不是直角三角形？
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知识梳理
图解为：
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知识梳理
其实不然，摘录赵爽注释《周髀算 经》时所做的《句股圆方图》[2]—— “句股各自乘, 并之为弦实, 开方除之 即弦。案: 弦图又可以句股相乘为朱实 二, 倍之为朱实四, 以句股之差自相乘 为中黄实, 加差实亦成弦实。”
注意“案”中的“弦图又可以”、 “亦成弦实”，“又”“亦”二字表示 赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法 证明，于是他给出了新的证明。
知识梳理
5000年前的埃及人，也知道这一定 理的特例，也就是勾3、股4、弦5，并用 它来测定直角。以后才渐渐推广到普遍 的情况。
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《周髀算经》和勾股定理
背景简介
中国是世界文明古国之一。数学是 中国古代科学中一门重要学科，其发展 源远流长，成就辉煌。我们都知道，中 国古代的四大发明曾经极大地推动了世 界文明的进步。同样，作为中国文化的 一个重要组成部分----中国古代数学， 也是数学发展历史长河中一支不容忽视 的源头。
背景简介
知识梳理
《周髀算经》，卷上记载了商高答 周公问，陈子答荣方问。前者有勾股定 理的特例32+42=52，后者有用勾股定理 及比例算法测太阳高远及直径的内容。
该书卷首记叙了一段精彩的对话：
昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫 善数也，请问昔者包牺立周天历度—— 夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度， 请问数安从出？”
知识梳理
由于年代久远，周公弦图失传，传 世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代 才发明）。所以某些学者误以为商高没 有证明（只是说了一段莫名其妙的话）， 后来赵爽才给出证明。
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知识梳理
金字塔的底部，四正四方，正对准 东西南北，可见方向测得很准，四角又 是严格的直角。而要量得直角，当然可 以采用作垂直线的方法，但是如果将勾 股定理反过来，也就是说：只要三角形 的三边是3、4、5，或者符合的公式，那 么弦边对面的角一定是直角。
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知识梳理
《ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ髀算经》中勾股定理的公式： “若求邪至日者，以日下为句，日高为 股，句股各自乘，并而开方除之，得邪 至日。”
即： 弦= 勾2 股2 .
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知识梳理
商高回答说：“数的产生来源于对 方和圆这些形体的认识，其中有一条原 理：当直角三角形的一条直角边‘勾’ 等于3，另一条直角边‘股’等于4的时 候，那么它的斜边‘弦’就必定是5.这 个原理是大禹治水的时候就总结出来的 呵。”
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知识梳理
商高曰：“数之法出于圆方，圆出 于方，方出于矩，矩出于九九八十一。 故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。 既方之，外半其一矩，环而共盘，得成 三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。 故禹之所以治天下者，此数之所生也。”
《周髀算经》原名《周髀》，是算 经的十书之一。中国最古老的天文学和 数学著作，约成书于公元前1世纪，主要 阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规 定它为国之监明算科的教材之一，故改 名《周髀算经》。
背景简介
《周髀算经》在数学上的主要成就 是介绍了勾股定理及其在测量上的应用 以及怎样引用到天文计算。《周髀算经》 记载了勾股定理的公式与证明，相传是 在商代由商高发现，故又有称之为商高 定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》 内的勾股定理作出了详细注释，又给出 了另外一个证明引。
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知识梳理
翻译为： 周公问：“我听说您对数学非常精 通，我想请教一下：天没有梯子可以上 去，地页没法用尺子一段段的丈量，那 么怎么才能得到关于天地的数据呢？”
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赵爽弦图
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知识梳理
毕达哥拉斯
到了公元前540年，希腊数 学家毕达哥拉斯注意到了直角 三角形三边是3、4、5，或者是 5、12、13的时候，有这么个关 系,他想：是不是所有直角三角 形的三边都符合这个规律？反 过来，三边符合这个规律的， 是不是直角三角形？
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图解为：
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知识梳理
其实不然，摘录赵爽注释《周髀算 经》时所做的《句股圆方图》[2]—— “句股各自乘, 并之为弦实, 开方除之 即弦。案: 弦图又可以句股相乘为朱实 二, 倍之为朱实四, 以句股之差自相乘 为中黄实, 加差实亦成弦实。”
注意“案”中的“弦图又可以”、 “亦成弦实”，“又”“亦”二字表示 赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法 证明，于是他给出了新的证明。
知识梳理
5000年前的埃及人，也知道这一定 理的特例，也就是勾3、股4、弦5，并用 它来测定直角。以后才渐渐推广到普遍 的情况。
苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张P PT)
苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张P PT)
《周髀算经》和勾股定理
背景简介
中国是世界文明古国之一。数学是 中国古代科学中一门重要学科，其发展 源远流长，成就辉煌。我们都知道，中 国古代的四大发明曾经极大地推动了世 界文明的进步。同样，作为中国文化的 一个重要组成部分----中国古代数学， 也是数学发展历史长河中一支不容忽视 的源头。
背景简介
知识梳理
《周髀算经》，卷上记载了商高答 周公问，陈子答荣方问。前者有勾股定 理的特例32+42=52，后者有用勾股定理 及比例算法测太阳高远及直径的内容。
该书卷首记叙了一段精彩的对话：
昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫 善数也，请问昔者包牺立周天历度—— 夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度， 请问数安从出？”
知识梳理
由于年代久远，周公弦图失传，传 世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代 才发明）。所以某些学者误以为商高没 有证明（只是说了一段莫名其妙的话）， 后来赵爽才给出证明。
苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张P PT)
苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张P PT)
知识梳理
金字塔的底部，四正四方，正对准 东西南北，可见方向测得很准，四角又 是严格的直角。而要量得直角，当然可 以采用作垂直线的方法，但是如果将勾 股定理反过来，也就是说：只要三角形 的三边是3、4、5，或者符合的公式，那 么弦边对面的角一定是直角。
苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张P PT)
苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张P PT)
苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张P PT)
知识梳理
《ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ髀算经》中勾股定理的公式： “若求邪至日者，以日下为句，日高为 股，句股各自乘，并而开方除之，得邪 至日。”
即： 弦= 勾2 股2 .
苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张P PT)
苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张P PT)
知识梳理
商高回答说：“数的产生来源于对 方和圆这些形体的认识，其中有一条原 理：当直角三角形的一条直角边‘勾’ 等于3，另一条直角边‘股’等于4的时 候，那么它的斜边‘弦’就必定是5.这 个原理是大禹治水的时候就总结出来的 呵。”
苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张P PT)
知识梳理
商高曰：“数之法出于圆方，圆出 于方，方出于矩，矩出于九九八十一。 故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。 既方之，外半其一矩，环而共盘，得成 三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。 故禹之所以治天下者，此数之所生也。”
《周髀算经》原名《周髀》，是算 经的十书之一。中国最古老的天文学和 数学著作，约成书于公元前1世纪，主要 阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规 定它为国之监明算科的教材之一，故改 名《周髀算经》。
背景简介
《周髀算经》在数学上的主要成就 是介绍了勾股定理及其在测量上的应用 以及怎样引用到天文计算。《周髀算经》 记载了勾股定理的公式与证明，相传是 在商代由商高发现，故又有称之为商高 定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》 内的勾股定理作出了详细注释，又给出 了另外一个证明引。
苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张P PT)
苏教版高中数学选修3-1-1.3.1 《周髀算经》和勾股定理-课件(共18张P PT)
知识梳理
翻译为： 周公问：“我听说您对数学非常精 通，我想请教一下：天没有梯子可以上 去，地页没法用尺子一段段的丈量，那 么怎么才能得到关于天地的数据呢？”