(几何概型)课件

于是成功抛中阶砖的概率
A的面积 p S的面积 (a d ) 2 a
2
a
0<d<a
A
由此可见，当d接近a, p接近于0; 而当d接近0， p接近于1. 若d>a, 你还愿意玩这个游戏吗？
a
成功抛中阶砖的概率
(a d ) 2 p a2
0<d<a
a
若设r=d/a, 则 p=(1r)2
p
应用与试验
射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。从外 向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色。金 色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为 122cm，靶心直径为12.2cm。运动员在70m外射箭。 假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可 能的，那么射中黄心的概率为多少？ 解：记“射中黄心”为事件B，则 1 12.22 P( B ) 4 0.01 1 1222 . 4 答：射中黄心的概率为0.01
60 50 1 P( A) , 60 6
练：已知地铁列车每10min一班，在车站停 1min，求乘客到达站台立即能乘上车的概 率.
解：记“乘客到达站台立即能乘上车”为事件 A, 由于乘客随机地到达站台，故可以认为乘 客在10min内到达站台是等可能的. 当乘客在地 铁停留的1min内到达站台时，可以立即乘上车.
解: 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸,即时间A发生,所以
302 60 2 87.5%. P( A) 2 60
AM<AC”为事件A, 由于点M随机地落在线段AB上， 故可以认为点M落在线段AB上任一 B 点是等可能的，可将线段AB 看做区 M C’ 域D. 在AB上截取AC′=AC.当点M位于线段AC′内， AM<AC，故线段AC′即为区域d，于是
C
A
AC AC 1 P( A) AB AB 2 1 答：AM小于AC的概率为 2
正方形ABCD的内部(含边界)，满足
( x—2)2+(y—2)2≤4的点的区域为以(2,2) 为圆心，2为半径的圆面(含边界)．
玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用 “金币”来参加游戏. 那么要问：参加者 获奖的概率有多大？
显然，“金币”与阶砖的相对大小将决定 成功抛中阶砖的概率.
设阶砖每边长度为a , “金币”直径为d . 若“金币”成功地落 在阶砖上，其圆心必 位于右图的绿色区域 A内. a A
S
a 问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投 点（ “金币” 中心），求该点落在区域A内 的概率.
2
练 两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必 须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的， 在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人 在约定时间内相见的概率．
2 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即 小时， 3
定时间范围内相见，当且仅当—
设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约
解：记A={弦长超过圆内接正三角形边长}． 如图，取圆内接正三角形的顶点B作为弦的一个端点，当
另一个端点E在劣弧
恰为圆周长的
上时，|BE|＞|BC|，而
劣弧 长
由几何概型的概率公式有P(A)＝
已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．
(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；
积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应
的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率， 根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的 坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该 坐标系的点，便可构造出度量区域．
(2009· 山东高考)在区间[－1,1]上随机取一个数x，
cos 的值介于0到 之间的概率为 ( )
构成事件A的区域面积 P A 试验的全部结果所构成的区域面积
问题3 有一杯1升的水, 其中含有1个细菌, 用
一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水 中含有这个细菌的概率.
解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A,
事件A发生的概率 取出水的体积 0.1 P( A) 0.1 杯中所有水的体积 1
1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，
则其概率的计算公式为：
P(A)＝
2．“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中
常考的题型．
3．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示， 则其概率的计算公式为： P(A)＝
生活中的几何概型常见的有人约会问题、船停码头、 等车等问题，解决时要注意： (1)要注意实际问题中的可能性的判断； (2)将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体
转化成面积问题，利用几何概型求解.
2 ≤x—y≤ 3
2 ，因此 3
【解】
设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人
能在约定时间范围内相见，
当且仅当 2 ≤ x y ≤ 2 . 3 3
两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中
的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时
构成事件A的区域体积 P A 试验的全部结果所构成的区域体积
探究
（1）类比古典概型,说明以上三个试验有什么共 同点？ ① 试验中所有可能出现的基本事件有无限 多个； ② 每个基本事件的发生都是等可能的. （2）试验的概率是如何求得的？ 借助几何图形的长度、面积、体积的比 值分析事件A发生的概率.
d的测度 P( A) D的测度
数学理论：
古典概型的本质特征：
1、样本空间中样本点个数有限，
2、每一个样本点都是等可能发生的．
将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等 可能性，就得到几何概型．
几何概型的本质特征： 1、有一个可度量的几何图形S； 2、试验E看成在S中随机地投掷一点； 3、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中．
解：记“取出10mL麦种，其中含有病种子”为事件A， 麦锈病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机 的，取得的10mL种子可视为区域d，所有种子可视为 区域D. 则有 取出种子的体积 10 1 P ( A) 所有种子的体积 1000 100
1 答：含有麦锈病种子的概率是 . 100
例3 在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°. 在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概 率有多大？ 解：记“在斜边AB上任取一点，
例1 取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机 向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概 率。 解：记“豆子落入圆内”为事件A，
圆的面积 a2 P ( A) 2 正方形的面积 4a 4
例2 在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈 病的种子，从中取出10mL，含有麦锈病种子 的概率是多少？
间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的
阴影部分(包括边界)来表示． 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定 时间范围内相遇的可能性的大小，因此所求的概率为
课外拓展 抛阶砖游戏
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参 与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径 为 r）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出 的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为a的 正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠）， 便可获奖.
构成事件A的区域长度 P A 试验的全部结果所构成的区域长度
问题2
某列岛周围海域面积约为17万平方公里， 如果在此海域里有面积达0.1万平方公里的大 陆架蕴藏着石油，假设在这个海域里任意选 定一点钻探，则钻出石油的概率是多少？
解：记“钻出石油”为事件A，则 0.1 1 P A 17 170
练习：在上一题构造的直角三角形ABC的基础 上,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线 CM,与线段AB交于点M,那么这时AM<AC的概 率有多大？ 解：记“在∠ACB内部任作一条射线CM,
C
A
M
C’
与线段AB交于点M ，AM<AC”为事件A, 由于射线CM随机地落在∠ACB 内部,故可以认为射线CM落在∠ACB B 内部任一位置都是等可能的. 在AB上截取AC′=AC,则∠ACC′=60°. ACC 60 2 P( A) ACB 90 3
理 解 定 义
设D是一个可度量的区域（例如线段、平 面图形、立体图形等）. 每个基本事件可以视 为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点 被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以 视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点.
这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、 面积、体积等）成正比，与d的形状与位置无关. 我们把满足这种条件的概率模型称为几何概型. 在几何概型中，事件A的概率计算公式为
几 何wk.baidu.com概 型
创设情境 引入新课
问题：（1）若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 则从A中任取出一个数,这个数不大于 3 1 3的概率是多少？ P= = 9 3 （2）若A=(0,9],则从A中任意取出一
怎样求问题2的 它们的相同点和 概率？ 不同点分别是什 么？
个数,这个数不大于3的概率是多少？
1 虚线部分不适于计算 抛阶砖游戏的概率
A
a
据此，请你自行设计 不同难度的抛阶砖游 戏.
0
1
r
1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示， 则其概率的计算公式为：
P(A)＝
2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个 随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指 定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
【解析】
在区间[－1,1]上随机取一个实数x，cos
的值位于[0，
的
值位于[0,1]区间，若使cos
]区间，取
2 2 到的实数x应在区间 [1, ] [ ,1]内，根据几何 3 5
概型的计算公式可知P= 【答案】 A
1．在半径为1的圆周上任取两点，连结两点成一条弦，求 弦长超过此圆内接正三角形边长的概率．
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l0-1 1 P( A) l0-10 10
1 答：乘客到达站台能立即乘上车的概率是 . 10

例2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
(3)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．
本题第（1）问为几何概型，可采用数形结合的 思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式求 解，第（2）问为古典概型只需分别求出|x|≤2， |y|≤2内的点以及（x—2）2+(y—2) 2≤4的点的个 数即可.
【解】
(1)如图，点P所在的区域为
2 答：这时AM小于AC的概率为 . 3
生活应用
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开 收音机,想听电台整点报时,求他等待的 时间不多于10分钟的概率. 解：设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心 的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间 段内,因此由几何概型的求概率的公式得
1 答：“等待的时间不超过10分钟”的概率为 ． 6
几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型,简称为几何概型.

在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下: 几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. 构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) (2)每个基本事件出现的可能性相等. 实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
l0-3 3 1 P= = l0-9 9 3
问题情境
问题1 取一根长为9米的彩带，拉直后在任意位置 剪断，那么剪得两段的长度都不小于3米的概率 是多少?
解：记“剪得两段彩带都不小于3m” 为事件A. 把彩带三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时, 事件A发生.由于绳子上各点被剪断是等可能的，且中间 1 . 即P A 1 一段的长度等于彩带的 3 3