天津市南开中学高三第一次月考

2015~2016年度天津市南开中学高三第一次月考
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题纸上。

答题时，务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8题，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}1,3,5,7,9A =，{}1,2,5,6,8B =，则U A B I ð等
于
（A ）{}3,7,9（C ）{}2,6,8
（B ）{}1,5（D ）{}4
（2）集合{}|215A x x x =-++≥，16|B x x x ⎧⎫
=>⎨⎬⎩⎭
，则A B =I
（A ）()[),43,4-∞-U （B ）(][)4,23,4--U （C ）(][),23,-∞-+∞U
（D ）(](),24,-∞-+∞U
（3）若“x a <”是“254x -≤”的必要条件，则实数a 的取值范围是
（A ）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（B ）1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
（C ）9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（D ）9,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
（4）如图，圆O 和圆'O 都经过点A 和点B ，PQ 切圆O 于点P ，
交圆'O 于,Q M ，交AB 的延长线于N ．若2PN =，1MN =，则MQ 等于
（A ）
7
2
（B ）3 （C
D
）（5）已知，0.3log 0.2a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为
（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b <<
（D ）c b a <<
（6）已知函数()()2ln (2)2f x x a b x b a =--+--为偶函数，且在区间[),a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是
（A ）()(),21,-∞-+∞U （B ）()0,+∞
（C ）()1,+∞（D ）()2,+∞
（7）已知函数()21
1,2log 1,
x x f x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪->⎩则满足不等式()()211f a f a ->+的实数a 的取值
范围是
（A ）(),2-∞（B ）()0,1 （C ）()1,+∞（D ）()2,+∞
（8）如图，已知45CAB ∠=︒，15ACB ∠=︒
，AC =
CD =BD =
（A
（B
（C ）3或1 （D ）3
A
2015~2016年度天津市南开中学高三第一次月考
数学（理科）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12题，共110分。

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
（9）复数2i
34i -+等于___________．
（10）10
2x
⎛- ⎝
的展开式中5
x 的系数是___________．
（11）已知tan 2α=，则332
sin 2cos sin cos αα
αα
-⋅的值为___________． （12）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 3 3 x t y t =+⎧⎨=-⎩
，
，（参数t ∈R ），在以x
轴非负半轴为极轴的极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=，则圆心到直线l 的距离为___________．
（13）若关于x 的不等式2420ax ax -->的解集与集合{}|34x x <<的交集不空，则实数a 的取值范围是___________．
（14）已知定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()1f x f x =-，当10,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，
()244f x x x =-+，则函数()()()ln 1g x f x x =-+的零点个数为___________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）
已知函数()πππsin 22sin sin 644f x x x x ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭，x ∈R ．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期、单调递增区间和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若0ππ,32x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且()035f x =，求0cos2x 的值．
（16）（本小题满分13分）
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有2个红球、3个白球的甲箱和装有2个红球、2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
（Ⅲ）若只从甲箱中抽取3个球，记抽到的三个球中红球的数目是随机变量Y ，求Y 的分布列和数学期望．
（17）（本小题满分13分）
在ABC V 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =．
（Ⅰ）求b ；
（Ⅱ）若6a =，求ABC V 的面积．
（18）（本小题满分13分）
已知函数()()()
22log 1321f x ax a x a =+-+-，解答下列问题：
（Ⅰ）当1a =-时，写出函数()f x 的单调递增区间（不要求过程，只要写出结果即可）； （Ⅱ）讨论()f x 的定义域；
（Ⅲ）若对于任意的实数1,12t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()f x t =都有四个不同的实数解，求实数a 的取值
范围．
（19）（本小题满分14分）
已知()()3211132
a
f x x x a x =++-+，x ∈R ，其中参数a ∈R ．
（Ⅰ）是否存在a ，使得()f x 在R 上单调递增，若存在求a 的取值集合，不存在说明理由；
（Ⅱ）若过点()0,1P 且与()y f x =相切的直线有且只有一条，求a 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设点(),Q m n ，且0m >，证明：若过Q 且与曲线()y f x =相切的直线有三条，则31
113
m n m m -+<<-+．
（20）（本小题满分14分）
已知函数()e e x x f x x -=⋅+，x ∈R ． （Ⅰ）求函数()e x y f x =⋅的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的0x >，总有()21f x ax ≥+，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）证明：对于任意的12,,x x h 其中12x x <，0h >，总有
()()()()1212f x f x f x h f x h +<-++．
2015~2016年度南开中学高三第一次月考
数学（理科参考答案）
一、选择题：
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．见后。