天津市南开中学高三第一次月考

2015~2016年度天津市南开中学高三第一次月考

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题纸上。答题时，务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共8题，共40分。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}1,3,5,7,9A =，{}1,2,5,6,8B =，则U A B I ð等

于

（A ）{}3,7,9（C ）{}2,6,8

（B ）{}1,5（D ）{}4

（2）集合{}|215A x x x =-++≥，16|B x x x ⎧⎫

=>⎨⎬⎩⎭

，则A B =I

（A ）()[),43,4-∞-U （B ）(][)4,23,4--U （C ）(][),23,-∞-+∞U

（D ）(](),24,-∞-+∞U

（3）若“x a <”是“254x -≤”的必要条件，则实数a 的取值范围是

（A ）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（B ）1,2⎛

⎤-∞ ⎥⎝

⎦

（C ）9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（D ）9,2⎡⎫

+∞⎪⎢⎣⎭

（4）如图，圆O 和圆'O 都经过点A 和点B ，PQ 切圆O 于点P ，

交圆'O 于,Q M ，交AB 的延长线于N ．若2PN =，1MN =，则MQ 等于

（A ）

7

2

（B ）3 （C

D

）（5）已知，0.3log 0.2a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为

（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b <<

（D ）c b a <<

（6）已知函数()()2ln (2)2f x x a b x b a =--+--为偶函数，且在区间[),a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是

（A ）()(),21,-∞-+∞U （B ）()0,+∞

（C ）()1,+∞（D ）()2,+∞

（7）已知函数()21

1,2log 1,

x x f x x x ⎧≤⎪

=⎨⎪->⎩则满足不等式()()211f a f a ->+的实数a 的取值

范围是

（A ）(),2-∞（B ）()0,1 （C ）()1,+∞（D ）()2,+∞

（8）如图，已知45CAB ∠=︒，15ACB ∠=︒

，AC =

CD =BD =

（A

（B

（C ）3或1 （D ）3

A

2015~2016年度天津市南开中学高三第一次月考

数学（理科）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12题，共110分。

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．

（9）复数2i

34i -+等于___________．

（10）10

2x

⎛- ⎝

的展开式中5

x 的系数是___________．

（11）已知tan 2α=，则332

sin 2cos sin cos αα

αα

-⋅的值为___________． （12）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 3 3 x t y t =+⎧⎨=-⎩

，

，（参数t ∈R ），在以x

轴非负半轴为极轴的极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=，则圆心到直线l 的距离为___________．

（13）若关于x 的不等式2420ax ax -->的解集与集合{}|34x x <<的交集不空，则实数a 的取值范围是___________．

（14）已知定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()1f x f x =-，当10,2x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

时，

()244f x x x =-+，则函数()()()ln 1g x f x x =-+的零点个数为___________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）

已知函数()πππsin 22sin sin 644f x x x x ⎛⎫⎛

⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭⎝⎭，x ∈R ．

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期、单调递增区间和图象的对称轴方程；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若0ππ,32x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，且()035f x =，求0cos2x 的值．

（16）（本小题满分13分）

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有2个红球、3个白球的甲箱和装有2个红球、2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．

（Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．

（Ⅲ）若只从甲箱中抽取3个球，记抽到的三个球中红球的数目是随机变量Y ，求Y 的分布列和数学期望．

（17）（本小题满分13分）

在ABC V 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =．

（Ⅰ）求b ；

（Ⅱ）若6a =，求ABC V 的面积．

（18）（本小题满分13分）

已知函数()()()

22log 1321f x ax a x a =+-+-，解答下列问题：

（Ⅰ）当1a =-时，写出函数()f x 的单调递增区间（不要求过程，只要写出结果即可）； （Ⅱ）讨论()f x 的定义域；