初三数学 分类讨论型问题

分类讨论型问题一、选择题1. 已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为(C )A ． 2 5 cmB ． 4 5 cmC ． 2 5 cm 或4 5 cmD ． 2 3 cm 或4 3 cm 【解析】 连结AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ， ∴AM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，OD ＝OA ＝OC ＝5 cm.当点C 位置如解图①所示时， ∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，CD ⊥AB ， ∴OM ＝OA 2－AM 2＝52－42＝3(cm)，∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)， ∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝45(cm)．,①) ,②)(第1题解)当点C 的位置如解图②所示时，同理可得OM ＝3 cm. ∵OC ＝5 cm ，∴CM ＝OC －OM ＝5－3＝2(cm)． ∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋22＝25(cm)．2. 在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，且AC ＝1.过点C 作直线l ∥AB ，P 为直线l 上一点，且AP ＝AB .则点P 到BC 所在直线的距离是(D )A ．1B ．1或－1＋32C ．1或1＋32D ．－1＋32或1＋32【解析】 ①如解图①，过点P 作PD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，作PE ⊥AC 交CA 的延长线于点E .∵CP ∥AB ，∴∠PCD ＝∠CBA ＝45°.∵∠PDC ＝∠DCA ＝∠PEC ＝90°， ∴四边形CDPE 是矩形． ∴∠DPC ＝90°－∠PCD ＝45°， ∴DC ＝DP ，∴矩形CDPE 是正方形． ∴CD ＝DP ＝PE ＝EC .在等腰直角三角形ABC 中，∵AC ＝BC ＝1，∴AB ＝2， ∴AP ＝AB ＝ 2.在Rt △AEP 中，∵AE 2＋EP 2＝AP 2， ∴(DP －1)2＋DP 2＝(2)2，解得DP ＝1±32(负值不合题意，舍去)．∴DP ＝1＋32.(第2题解)②如解图②，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，作PE ⊥AC 交AC 的延长线于点E . 同(1)可证四边形CDPE 是正方形， ∴CD ＝DP ＝PE ＝EC .在Rt △AEP 中，∵AE 2＋EP 2＝AP 2， ∴(PD ＋1)2＋PD 2＝(2)2，解得PD ＝－1±32(负值不合题意，舍去)，∴PD ＝3－12.(第3题)3. 如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，回到点A 后运动停止，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为(B )【解析】 不妨设线段AB 的长度为1个单位/s ，点P 的运动速度为1个单位/s ，则 ①当点P 在A →B 段运动时，PB ＝1－t ，S ＝π(1－t )2(0≤t ＜1)． ②当点P 在B →A 段运动时，PB ＝t －1，S ＝π(t －1)2(1≤t ≤2)．综上所述，在整个运动过程中，S 与t 的函数表达式为S ＝π(t －1)2(0≤t ≤2)， 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求．(第4题)4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长为1，AD 边的中点处有一动点P ，动点P 沿P →D →C →B →A →P 运动一周，则点P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是(D )【解析】 动点P 运动的过程中：①当0≤s ≤12时，动点P 在线段PD 上运动，此时y ＝2保持不变．②当12＜s ≤32时，动点P 在线段DC 上运动，此时y 由2到1逐渐减小．③当32＜s ≤52时，动点P 在线段CB 上运动，此时y ＝1保持不变．④当52＜s ≤72时，动点P 在线段BA 上运动，此时y 由1到2逐渐增大．⑤当72＜s ≤4时，动点P 在线段AP 上运动，此时y ＝2保持不变．故选D ．二、填空题5. 若函数y ＝mx 2＋4x ＋4的图象与x 轴只有一个公共点，则常数m 的值是__0或1__． 【解析】 ①若m ＝0，则函数y ＝4x ＋4是一次函数，与x 轴只有一个交点． ②若m ≠0，则函数y ＝mx 2＋4x ＋4是二次函数． 根据题意，得Δ＝16－16m ＝0，解得m ＝1. 综上所述，m 的值是0或1.(第6题)6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为(2，4)，(3，4)或(8，4)．【解析】由题意知，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：①如解图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.在Rt△PDE中，由勾股定理，得DE＝PD2－PE2＝52－42＝3，∴OE＝OD－DE＝5－3＝2，此时点P的坐标为(2，4)．,(第6题解①)),(第6题解②))②如解图②所示，OP＝OD＝5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.在Rt△POE中，由勾股定理，得OE＝OP2－PE2＝52－42＝3，此时点P的坐标为(3，4)．③如解图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．(第6题解③)过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.在Rt△PDE中，由勾股定理，得DE＝PD2－PE2＝52－42＝3，∴OE＝OD＋DE＝5＋3＝8，此时点P的坐标为(8，4)．综上所述，点P的坐标为(2，4)或(3，4)或(8，4)．(第7题)7. 如图，射线QN 与等边三角形ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM ＝MB ＝2 cm ，QM ＝4 cm.动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以1 cm/s 的速度向右移动，经过t (s)，以点P 为圆心， 3 cm 为半径的圆与△ABC 的边相切(切点在边上)，请写出t 可取的一切值：t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8(单位：s)．【解析】 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝AM ＋MB ＝4 cm ，∠A ＝∠C ＝∠B ＝60°，∴高为2 3 cm. ∵QN ∥AC ，AM ＝BM ， ∴MN 为△ABC 的中位线，∴MN ＝12AC ＝2 cm ，∠BMN ＝∠A ＝60°，∠BNM ＝∠C ＝60°，∴△BMN 的高线长为 3 cm ，∴MN 到AC 的距离为23－3＝3(cm)． 分为三种情况： ①如解图①，(第7题解①)当⊙P 切AB 于点M ′时，连结PM ′， 则PM ′＝ 3 cm ， ∠PM ′M ＝90°.∵∠PMM ′＝∠BMN ＝60°，∴M ′M ＝1 cm ，PM ＝2MM ′＝2 cm ， ∴QP ＝4－2＝2(cm)， 即t ＝2.②如解图②，(第7题解②)当⊙P切AC于点A时，连结P A，则∠CAP＝∠APM＝90°，∠PMA＝∠BMN＝60°，AP＝ 3 cm，∴PM＝1 cm，∴QP＝4－1＝3(cm)，即t＝3.当⊙P切AC于点C时，连结P′C，则∠CP′N＝∠ACP′＝90°，∠P′NC＝∠BNM＝60°，CP′＝ 3 cm，∴P′N＝1 cm，∴QP′＝4＋2＋1＝7(cm)，即t＝7.∴当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切．③如解图③，(第7题解③)当⊙P切BC于点N′时，连结PN′，则PN′＝ 3 cm，∠PN′N＝90°.∵∠PNN′＝∠BNM＝60°，∴N′N＝1 cm，PN＝2NN′＝2 cm，∴QP＝4＋2＋2＝8(cm)，即t＝8.三、解答题(第8题)8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝43，BD＝4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG 关于AC 对称．设菱形ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为S 1，未被盖住部分的面积为S 2，BP ＝x .(1)用含x 的代数式分别表示S 1，S 2. (2)若S 1＝S 2，求x 的值．(第8题解)【解析】 (1)①当点P 在BO 上(即0＜x ≤2)时，如解图所示． ∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝43，BD ＝4，∴AC ⊥BD ，BO ＝12BD ＝2，AO ＝12AC ＝23，且S 菱形ABCD ＝12BD ·AC ＝8 3.∴tan ∠ABO ＝AOBO ＝3，∴∠ABO ＝60°. 在Rt △BFP 中，∵∠BFP ＝90°，∠FBP ＝60°，BP ＝x ， ∴FP ＝BP ·sin ∠FBP ＝32x ，∴BF ＝x2. ∵四边形PFBG 关于BD 对称，四边形QEDH 与四边形PEBG 关于AC 对称， ∴S △BFP ＝S △BGP ＝S △DEQ ＝S △DHQ . ∴S 1＝4S △BFP ＝4×12×32x ·x 2＝32x 2，∴S 2＝83－32x 2. ②当点P 在OD 上(即2＜x ≤4)时，如题图所示． 同①可得，∠ABD ＝60°，BF ＝x2.∵AB ＝AO 2＋BO 2＝4，∴AF ＝AB －BF ＝4－x2.在Rt △AFM 中，∵∠AFM ＝90°，∠F AM ＝90°－∠ABD ＝30°，AF ＝4－x2，∴FM ＝AF ·tan30°＝33⎝⎛⎭⎫4－x 2. ∴S △AFM ＝12AF ·FM ＝12⎝⎛⎭⎫4－x 2×33⎝⎛⎭⎫4－x 2＝36⎝⎛⎭⎫4－x 22.同理可得， S 2＝4S △AFM ＝4×36⎝⎛⎭⎫4－x 22＝36(x －8)2，∴S 1＝83－S 2＝83－36(x －8)2. 综上所述，当0＜x ≤2时，S 1＝32x 2，S 2＝83－32x 2； 当2＜x ≤4时，S 1＝83－36(x －8)2，S 2＝36(x －8)2. (2)①当0＜x ≤2时， ∵S 1＝S 2，S 1＋S 2＝83， ∴S 1＝32x 2＝43，解得x 1＝22，x 2＝－2 2. ∵22＞2，－22＜0，∴当0＜x ≤2时，S 1＝S 2的情况不存在． ②当2＜x ≤4时， ∵S 1＝S 2，S 1＋S 2＝83， ∴S 2＝36(x －8)2＝43， 解得x 1＝8＋26，x 2＝8－2 6.∵8＋26＞4，2＜8－26＜4，∴x ＝8－2 6. 综上所述，若S 1＝S 2，则x 的值为8－2 6.(第9题)9．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，6)，动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以1个单位/s 的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以2个单位/s 的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造□PCOD ，在线段OP 的延长线上取点E ，使PE ＝AO ，设点P 运动的时间为t (s)．(1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标． (2)当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形．(3)在线段PE 上取点F ，使PF ＝1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM ＝2，FN ＝1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD 的面积为S .①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值． ②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 的内部(不包括边界)时，直接写出S 的取值范围．【解析】 (1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3，∴2t ＝3，即t ＝32，∴OE ＝32＋3＝92，∴点E ⎝⎛⎭⎫92，0. (2)如解图①，连结CD 交OP 于点G . ∵在□PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ， 又∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG . ∴四边形ADEC 是平行四边形．(第9题解)(3)①当点C 在BO 上时，第一种情况：如解图②，当点M 在CE 边上时， ∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO . ∴MF CO ＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t ， 解得t ＝1，且符合题意．第二种情况：如解图③，当点N 在DE 边上时， ∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD ， ∴FN PD ＝EF EP ，即16－2t ＝23，解得t ＝94，且符合题意．(第9题解)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如解图④，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴△EMF ∽△EDP ， ∴MF DP ＝EF EP ，即22t －6＝23，解得t ＝92，且符合题意．(第9题解⑤)第二种情况：如解图⑤，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC .∴FN OC ＝EF EO ，即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5，且符合题意． 综上所述，满足题意的t 的值为1，94，92，5. ②当1≤t ＜94时，S ＝t (6－2t )＝－2⎝⎛⎭⎫t －322＋92， ∵t ＝32在1≤t ＜94范围内，∴278＜S ≤92. 当92＜t ≤5时，S ＝t (2t －6)＝2⎝⎛⎭⎫t －322－92， ∴272＜S ≤20. 综上所述，278＜S ≤92或272＜S ≤20. 10．如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过A (3，0)，B (4，4)两点．(1)求抛物线的函数表达式．(2)将直线OB 向下平移m 个单位后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标．(3)如图②，若点N 在抛物线上，且∠NBO ＝∠ABO ，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标(点P ，O ，D 分别与点N ，O ，B 对应)．(第10题)【解析】 (1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，0)，B (4，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＝0，16a ＋4b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3. ∴抛物线的函数表达式是y ＝x 2－3x .(2)设直线OB 的函数表达式为y ＝k 1x .将点B (4，4)的坐标代入，得4＝4k 1，解得k 1＝1.∴直线OB 的函数表达式是y ＝x .∴直线OB 向下平移m 个单位后的函数表达式为y ＝x －m .∵点D 在抛物线y ＝x 2－3x 上，∴可设点D (x ，x 2－3x )．又∵点D 在直线y ＝x －m 上，∴x 2－3x ＝x －m ，即x 2－4x ＋m ＝0.∵抛物线与直线只有一个公共点，∴Δ＝16－4m ＝0，解得m ＝4.此时x 1＝x 2＝2，y ＝x 2－3x ＝－2，∴点D 的坐标为(2，－2)．(3)∵直线OB 的函数表达式为y ＝x ，且点A (3，0)， ∴点A 关于直线OB 的对称点A ′的坐标是(0，3)． 设直线A ′B 的函数表达式为y ＝k 2x ＋3.∵直线A ′B 过点B (4，4)，∴4k 2＋3＝4，解得k 2＝14. ∴直线A ′B 的函数表达式是y ＝14x ＋3. ∵∠NBO ＝∠ABO ，∴点N 在直线A ′B 上．设点N ⎝⎛⎭⎫n ，14n ＋3， 又∵点N 在抛物线y ＝x 2－3x 上，∴14n ＋3＝n 2－3n ， 解得n 1＝－34，n 2＝4(不合题意，舍去)． ∴n ＝－34，14n ＋3＝4516. ∴点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫－34，4516. 如解图，将△NOB 沿x 轴翻折，得到△N 1OB 1.(第10题解)则点N 1⎝⎛⎭⎫－34，－4516，B 1(4，－4)， ∴O ，D ，B 1都在直线y ＝－x 上．∵△P 1OD ∽△NOB ，∴△P 1OD ∽△N 1OB 1，∴OP 1ON 1＝OD OB 1＝12， ∴点P 1的坐标为⎝⎛⎭⎫－38，－4532. 将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2⎝⎛⎭⎫4532，38.综上所述，点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫－38，－4532或⎝⎛⎭⎫4532，38.。