初三数学 分类讨论型问题

分类讨论型问题

一、选择题

1. 已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为(C )

A ． 2 5 cm

B ． 4 5 cm

C ． 2 5 cm 或4 5 cm

D ． 2 3 cm 或4 3 cm 【解析】 连结AC ，AO .

∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ， ∴AM ＝12AB ＝1

2×8＝4(cm)，OD ＝OA ＝OC ＝5 cm.

当点C 位置如解图①所示时， ∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，CD ⊥AB ， ∴OM ＝

OA 2－AM 2＝

52－42＝3(cm)，

∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)， ∴AC ＝

AM 2＋CM 2＝

42＋82＝45(cm)．

,①) ,②)

(第1题解)

当点C 的位置如解图②所示时，同理可得OM ＝3 cm. ∵OC ＝5 cm ，

∴CM ＝OC －OM ＝5－3＝2(cm)． ∴AC ＝

AM 2＋CM 2＝

42＋22＝25(cm)．

2. 在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，且AC ＝1.过点C 作直线l ∥AB ，P 为直线l 上

一点，且AP ＝AB .则点P 到BC 所在直线的距离是(D )

A ．1

B ．1或－1＋3

2

C ．1或1＋32

D ．－1＋32或1＋3

2

【解析】 ①如解图①，过点P 作PD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，作PE ⊥AC 交CA 的延长线于点E .

∵CP ∥AB ，

∴∠PCD ＝∠CBA ＝45°.

∵∠PDC ＝∠DCA ＝∠PEC ＝90°， ∴四边形CDPE 是矩形． ∴∠DPC ＝90°－∠PCD ＝45°， ∴DC ＝DP ，

∴矩形CDPE 是正方形． ∴CD ＝DP ＝PE ＝EC .

在等腰直角三角形ABC 中，∵AC ＝BC ＝1，∴AB ＝2， ∴AP ＝AB ＝ 2.

在Rt △AEP 中，∵AE 2＋EP 2＝AP 2， ∴(DP －1)2＋DP 2＝(2)2，

解得DP ＝1±3

2(负值不合题意，舍去)．

∴DP ＝1＋3

2

.

(第2题解)

②如解图②，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，作PE ⊥AC 交AC 的延长线于点E . 同(1)可证四边形CDPE 是正方形， ∴CD ＝DP ＝PE ＝EC .

在Rt △AEP 中，∵AE 2＋EP 2＝AP 2， ∴(PD ＋1)2＋PD 2＝(2)2，

解得PD ＝－1±3

2(负值不合题意，舍去)，

∴PD ＝

3－1

2

.

(第3题)

3. 如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，回到点A 后运动停止，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为(B )

【解析】 不妨设线段AB 的长度为1个单位/s ，点P 的运动速度为1个单位/s ，则 ①当点P 在A →B 段运动时，PB ＝1－t ，S ＝π(1－t )2(0≤t ＜1)． ②当点P 在B →A 段运动时，PB ＝t －1，S ＝π(t －1)2(1≤t ≤2)．

综上所述，在整个运动过程中，S 与t 的函数表达式为S ＝π(t －1)2(0≤t ≤2)， 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求．

(第4题)

4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长为1，AD 边的中点处有一动点P ，动点P 沿P →D →C →B →A →P 运动一周，则点P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是(D )

【解析】 动点P 运动的过程中：

①当0≤s ≤1

2时，动点P 在线段PD 上运动，此时y ＝2保持不变．

②当12＜s ≤3

2时，动点P 在线段DC 上运动，此时y 由2到1逐渐减小．

③当32＜s ≤5

2时，动点P 在线段CB 上运动，此时y ＝1保持不变．

④当52＜s ≤7

2时，动点P 在线段BA 上运动，此时y 由1到2逐渐增大．

⑤当7

2＜s ≤4时，动点P 在线段AP 上运动，此时y ＝2保持不变．故选D ．

二、填空题

5. 若函数y ＝mx 2＋4x ＋4的图象与x 轴只有一个公共点，则常数m 的值是__0或1__． 【解析】 ①若m ＝0，则函数y ＝4x ＋4是一次函数，与x 轴只有一个交点． ②若m ≠0，则函数y ＝mx 2＋4x ＋4是二次函数． 根据题意，得Δ＝16－16m ＝0，解得m ＝1. 综上所述，m 的值是0或1.

(第6题)

6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐

标为(2，4)，(3，4)或(8，4)．

【解析】由题意知，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：

①如解图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.

在Rt△PDE中，由勾股定理，得DE＝PD2－PE2＝52－42＝3，

∴OE＝OD－DE＝5－3＝2，

此时点P的坐标为(2，4)．

,(第6题解①)),(第6题解②))

②如解图②所示，OP＝OD＝5，点P在点D的左侧．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.

在Rt△POE中，由勾股定理，得OE＝OP2－PE2＝52－42＝3，

此时点P的坐标为(3，4)．

③如解图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．

(第6题解③)

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.

在Rt△PDE中，由勾股定理，得DE＝PD2－PE2＝52－42＝3，

∴OE＝OD＋DE＝5＋3＝8，

此时点P的坐标为(8，4)．

综上所述，点P的坐标为(2，4)或(3，4)或(8，4)．