5.2 量纲分析

当指数的矩阵表达式
物理量a 物理量a、b、c具有彼此独立量纲
3、无量纲乘积的完整集合 、
个参数组成的函数式， 个基本量， 由n个参数组成的函数式，如有 个基本量， 个参数组成的函数式 如有k个基本量 则存在有（ ）。这 则存在有（n-k）个无量纲乘积（π）。这 ）个无量纲乘积（ ）。 （n-k）个π为该函数的无量纲的完整集合 ） 为该函数的无量纲的完整集合 完整集合中无量纲乘积的数目： 完整集合中无量纲乘积的数目： n- k（基本量纲的数） n- r（量纲矩阵的秩）
逐项令待定量一项为1,其余为零 写出结果矩阵 逐项令待定量一项为 其余为零,写出结果矩阵： 其余为零 写出结果矩阵：
写出各无量纲乘积及准数方程： 写出各无量纲乘积及准数方程：
π = x x Lx
a a2 1 1 2
an n
例题:水流中物体的运动 例题 水流中物体的运动
例题:水流中物体的运动 例题 水流中物体的运动 F= f（µ、g、w、L、ρ） （ ） 写出量纲矩阵： 写出量纲矩阵： 矩阵的秩： 矩阵的秩：r =3 无量纲乘积数目n 无量纲乘积数目n-k=3 设 写出指数方程 n＞3 ，
5.2.2 π 定 理
描述某现象的n个物理量为a 描述某现象的n个物理量为a1、a2、a3… aK ….an k≤n） 其中a 个物理量的量纲 （k≤n） ，其中a1、a2、a3… aK k个物理量的量纲 彼此独立。 彼此独立。 描述该现象函数式： 描述该现象函数式： f(a1、a2、a3…ak、ak+1、ak+2…an)= 0 k+1 k+2 其余（ 其余（n-k）个物理量 的量纲可用这k 的量纲可用这k个独立 量纲的幂积形式表示： 量纲的幂积形式表示：
5.2.3 量纲分析的一般说明
1、量纲独立：K个物理量，其中任一个物理量的量纲均不能由 ： 个物理量， 其它物理量的量纲组合来表示，则称k 其它物理量的量纲组合来表示，则称k个物理量的量纲彼此 独立。 独立。 2、量纲独立条件： 量纲独立条件： 物理量a、b、c的量纲表达式为： 物理量a 的量纲表达式为：
y = cx x2 Lxn 1
a 1 a2wk.baidu.com
an
用基本量纲表示各个物理量的量纲， 用基本量纲表示各个物理量的量纲，并对基本量纲列出其指数的 代数方程 当n≤k，唯一解 n≤k， n＞k，无唯一解
[ y] =[x ] [x ]
a 1 1 2
a2
[ L xn ]
an
例题：研究湍流流动，流体流过一光滑管道时， 例题：研究湍流流动，流体流过一光滑管道时，每单位长度 的阻力损失△ 与流体流速 与流体流速u、管道直径D、重力加速度g、 的阻力损失△h/l与流体流速 、管道直径 、重力加速度 、 动力黏度µ、流体密度 有关 确定方程通用式。 有关， 动力黏度 、流体密度ρ有关，确定方程通用式。 列出影响过程的全部物理量的一般函数关系式 f（ △h/l ， u ， D ， g ， µ ， ρ ）=0 （
作业：粘性流体流过平壁时 壁面上局部粘性阻力 壁面上局部粘性阻力ι 作业：粘性流体流过平壁时,壁面上局部粘性阻力 ω(χ)与来流 速度ux、距平壁前缘距离x、动力黏度µ、流体密度ρ有关 速度 距平壁前缘距离 、动力黏度 、流体密度 有关. 有关 推导粘性流体流过平壁时粘性阻力的准数方程。 推导粘性流体流过平壁时粘性阻力的准数方程。
ak+1 π1 = α1 α2 α a1 a2 Lak k M
πn−k
an = γ1 γ2 γ a1 a2 Lak k
描述物理现象的函数关系式可写成： 描述物理现象的函数关系式可写成：
含有k个量纲的独立量的 个物理量之间的函数关系式 含有 个量纲的独立量的n个物理量之间的函数关系式， 个量纲的独立量的 个物理量之间的函数关系式， 简化为（ ）个无量纲乘积（ ）之间的关系式——无 简化为（n-k）个无量纲乘积（π）之间的关系式 无 量纲方程
1、量纲分析指数法
（1）柏金汉姆法（π定理法）（E.Buckingham） 柏金汉姆法（ 定理法） E.Buckingham） 列出影响现象的各个参量 f(x1、x2、x3…xn)=0 确定k个量纲彼此独立物理量为重复变量 确定k 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 量纲用重复变量量纲
5.2.4 量纲分析法
应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法， 应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法，称为量纲 分析法。 分析法。 基本思路： 基本思路： 1、列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 2、根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 3、再通过量纲分析和适当的组合，将上述不定函数式改写 再通过量纲分析和适当的组合， 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 指数法和矩阵法两大类
2、量纲分析的矩阵法
写出量纲矩阵，求出矩阵的秩（ 写出量纲矩阵，求出矩阵的秩（r） 无量纲乘积数= 无量纲乘积数= n – r 写出无量纲乘积的一般式
根据量纲和谐性原理， 根据量纲和谐性原理，由量纲矩阵写出线性齐次方程 求解 方程封闭： 方程封闭：直接求解 方程不封闭： 方程不封闭：以（n--3）个量为待定量 --3 逐项令待定量一项为1,其余为零,写出结果矩阵。 逐项令待定量一项为1,其余为零,写出结果矩阵。 1,其余为零 写出各无量纲乘积及准数方程。 写出各无量纲乘积及准数方程。
5.2
量纲分析
原理:1、 原理:1、量纲和谐性原则 :1 2、 Π定理 重点： 重点：量纲分析法
5.2.1 量纲和谐性
量纲和谐性原则 任何一个完整的物理方程， 各项量纲必定是和谐的。 任何一个完整的物理方程，其各项量纲必定是和谐的。 量纲必定是和谐的 量纲分析法的物理本质在于描述现象的微分方程中各项量纲的 一致性。 一致性。 量纲和谐性原则应用: 量纲和谐性原则应用: 可检验方程的正确性。 可检验方程的正确性。 物理量单位换算。 物理量单位换算。工程计算时常采用的经验公式中系数往往 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定，使用时单位制 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定， 改变，要注意单位系数换算。 改变，要注意单位系数换算。 推导相似准数和准数方程
[a ] =[a ] [a ] La ] [ β β β [a ] =[a ] [a ] La ] [
α1 α2
k+ 1 1 2 k
1 2
αk
k
k+2
1
2
k
M
[a ] =[a ] [a ]
γ1
n 1 2
γ2
[ Lak ]
γk
则有： 则有：
ak+1 α1 α2 αk =1 a a1 a2 L k M an =1 γ1 γ2 γk a a1 a2 L k
由π定理可得到（n-k）个无量纲量乘积 定理可得到（
无量纲方程： 无量纲方程：f(π1、π2、π3…πn-k)=0 描述现象的函数关系简化为含有（ 描述现象的函数关系简化为含有（n-k）个无量纲乘积的函数式。 个无量纲乘积的函数式。
（2）瑞利分析法 依据： 依据：量纲和谐性原理
将与现象有关的物理量的函数关系式写成幂积式： 将与现象有关的物理量的函数关系式写成幂积式： 由量纲和谐性原则： 由量纲和谐性原则：