5.2 量纲分析
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量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是科学研究和工程实践中一种常用的方法，用于简化和分析复杂的物理方程。
通过引入合适的量纲和无量纲量，可以减少物理方程的数量和复杂性，从而更容易理解和应用。
量纲是衡量物理量的属性，可以理解为物理量的尺度或单位。
常见的量纲有长度、质量、时间、温度等。
在科学领域，量纲的统一是一项基本原则，它要求所有参与物理方程运算的物理量必须具有相同的量纲。
例如，在牛顿定律中，质量的量纲是质量，加速度的量纲是长度除以时间的平方，力的量纲是质量乘以加速度。
无量纲量是指除去量纲后的物理量。
通过合适的变量代换和无量纲化操作，可以将含有多个物理量的复杂方程转化为只涉及少数几个无量纲量的简化形式。
这样做的好处是降低了方程的复杂性，使得我们可以更清晰地理解和研究方程的行为。
量纲分析法的基本思想是通过量纲的统一和无量纲化的技巧，将物理方程从具体的数值问题转化为一般的函数关系问题。
这样一来，可以用较少的实验和计算来研究和验证一类问题的特性，从而节省时间和资源。
量纲分析法在研究新领域的物理学问题、模拟和优化工程设计等方面发挥了重要作用。
量纲分析法的步骤通常包括以下几个方面：第一步是选择物理量，并通过其量纲建立物理方程。
在建立方程时，需要确保所选物理量之间的关系是正确的，并符合基本的物理定律。
第二步是确定主要影响因素，即哪些物理量对方程起主导作用。
对于复杂的问题，这一步可能会需要经验和专业知识的支持。
第三步是进行量纲分析，即将方程中的各个物理量转化为无量纲形式。
这一步需要根据物理量的量纲关系进行变量代换和无量纲化运算。
第四步是根据无量纲方程进行简化和分析。
通过缩小问题的数量级和去除复杂的单位，我们可以更容易地理解方程，并得到问题的一般解。
第五步是进行数值模拟和实验验证。
通过选择合适的数值和实验条件，我们可以验证和应用无量纲方程，并得到具体问题的解。
总的来说，量纲分析法是一种简化和分析物理方程的有效方法。
通过量纲的统一和无量纲化的技巧，我们可以将复杂的问题转化为一般的函数关系问题，从而更容易理解和应用。
5.2 量纲分析
1、量纲分析指数法
（1）柏金汉姆法（π定理法）（E.Buckingham） 柏金汉姆法（ 定理法） E.Buckingham） 列出影响现象的各个参量 f(x1、x2、x3…xn)=0 确定k个量纲彼此独立物理量为重复变量 确定k 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 量纲用重复变量量纲
5.2
量纲分析
原理:1、 原理:1、量纲和谐性原则 :1 2、 Π定理 重点： 重点：量纲分析法
5.2.1 量纲和谐性
量纲和谐性原则 任何一个完整的物理方程， 各项量纲必定是和谐的。 任何一个完整的物理方程，其各项量纲必定是和谐的。 量纲必定是和谐的 量纲分析法的物理本质在于描述现象的微分方程中各项量纲的 一致性。 一致性。 量纲和谐性原则应用: 量纲和谐性原则应用: 可检验方程的正确性。 可检验方程的正确性。 物理量单位换算。 物理量单位换算。工程计算时常采用的经验公式中系数往往 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定，使用时单位制 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定， 改变，要注意单位系数换算。 改变，要注意单位系数换算。 推导相似准数和准数方程
5.2.4 量纲分析法
应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法， 应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法，称为量纲 分析法。 分析法。 基本思路： 基本思路： 1、列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 2、根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 3、再通过量纲分析和适当的组合，将上述不定函数式改写 再通过量纲分析和适当的组合， 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 指数法和矩阵法两大类
流体力学第五章 量纲分析和相似理论
第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1. 物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。
2. 物理量的单位：物理量的度量标准。
基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无 任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲，可由基本量 导出的量纲为导出量纲。
SI制中的基本量纲：
dim m = M , dim l = L , dim t = T ，dim θ=Θ
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
整理课件
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3
量纲分析与相似原理
设不可压缩牛顿粘性流体在一内壁粗糙直圆管中作定常流动， 试用量纲分析法分析沿管道的压强降低与相关物理量的关系。 解：按照量纲分析的一般步骤。
1. 列举物理量。 设本例中有关物理量为Δp（压强降低），V（平均速度）， d（圆管直径），ε（壁面粗糙度，即壁面上粗糙凸起的平 均高度），ρ（流体密度），μ（流体的粘度系数），l （管长度），共7个，组成关系式为
s s'
c c'
kl
(几何比数)
运动相似：所有对应点的速度方向一致，大小成比例。
v v'
U U'
kv
(速度比数)
B5.3.1 流动相似
动力相似：所有对应点上的对应力成比例。
在流场中存在惯性力、粘性力、重力、压力、阻力等，对 应力成比例要求：
Fi Fi '
Fv Fv'
Fg Fg '
...
kF
较早提议做量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh, 1877），而奠定量纲分析理论基础的是白金汉(E. Buckingham,1914），他提出了П定理。
B5.2.1 П定理
П定理指出： 若一方程包含 n 个物理量，每个物理量的 量纲均由 r 个独立的基本量纲组成，则这些物理量可以并 只可以组合成 n-r 个独立的无量纲量，称为 П数。 在流体力学中独立的基本量纲一般为r=3。设原来的方程为
物理量（单位）的类别称为量纲，用dim表示。 基本量的量纲称为基本量纲，在国际单位制中基本量纲有 三个，记为：
dim m M, dim l L, dim t T
任何导出量的量纲均可用基本量纲的幂次表示，称为量 纲幂次式。
虽然物理量的类别与单位制无关，但量纲幂次式却只有 在确定的单位制中才有意义。
1. 列举物理量。 设本例中有关物理量为Δp（压强降低），V（平均速度）， d（圆管直径），ε（壁面粗糙度，即壁面上粗糙凸起的平 均高度），ρ（流体密度），μ（流体的粘度系数），l （管长度），共7个，组成关系式为
s s'
c c'
kl
(几何比数)
运动相似：所有对应点的速度方向一致，大小成比例。
v v'
U U'
kv
(速度比数)
B5.3.1 流动相似
动力相似：所有对应点上的对应力成比例。
在流场中存在惯性力、粘性力、重力、压力、阻力等，对 应力成比例要求：
Fi Fi '
Fv Fv'
Fg Fg '
...
kF
较早提议做量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh, 1877），而奠定量纲分析理论基础的是白金汉(E. Buckingham,1914），他提出了П定理。
B5.2.1 П定理
П定理指出： 若一方程包含 n 个物理量，每个物理量的 量纲均由 r 个独立的基本量纲组成，则这些物理量可以并 只可以组合成 n-r 个独立的无量纲量，称为 П数。 在流体力学中独立的基本量纲一般为r=3。设原来的方程为
物理量（单位）的类别称为量纲，用dim表示。 基本量的量纲称为基本量纲，在国际单位制中基本量纲有 三个，记为：
dim m M, dim l L, dim t T
任何导出量的量纲均可用基本量纲的幂次表示，称为量 纲幂次式。
虽然物理量的类别与单位制无关，但量纲幂次式却只有 在确定的单位制中才有意义。
5 量纲分析和相似原理
5.2.2 π定理（布金汉定理，Bucking ham）
由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物 理过程包含n个物理量，即 f (q1q2q3 qn ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出）， 则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲 项所表达的关系式来描述，即 F (1 nm ) 0 由于无量纲项用π表示，因此叫作π定理。
5.1.2 无量纲量
当量纲公式中α=0、β=0、γ=0时, 物理量q 为无量纲量。 vd Re 如 雷诺准数
LT 1L dim Re dim( ) 2 1 1 LT vd
无量纲量的特点： 客观性 不受运动规模的影响 可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理 方程，其各项的量纲一定是一致的。 如粘性流体总流的柏努利方程
4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之 间的桥梁。
5.3 相似理论基础
5.3.1 相似概念
几何相似：两个流动流场（原型和模型）的 几何形状相似，即相应的线段长度成比例、 夹角相等。 以p表示原型 (prototype) ， m表示模型 (model) ，有
l p1 lm1 l p2 lm2 lp lm l
I m mlm2vm 2 lmvm Tm mlmvm m
即
l pvp
p
lmvm
m
(Re) p (Re)m
lv
无量纲数 Re 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动 的雷诺准数相等，粘滞力相似。
此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏 斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
量纲分析与相似原理
B5 量纲分析与相似原理实验研究是流体力学研究方法中的重要组成部分。
量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。
主要内容：物理方程的量纲齐次性， π定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。
重点：（1）量纲齐次性原理；（2） π定理和量纲分析； （3）常用的相似准则； （4）相似原理与模型实验。
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性 1. 物理量的类别和量纲物理量（单位）的类别称为量纲，用dim 表示。
基本量的量纲称为基本量纲，在国际单位制中基本量纲（取三个）记为dim m = M ，dim l =L ,dim t =T任何导出量的量纲均可用基本量纲的幂次表示，称为量纲幂次式。
例如dim V = LT -1dim g =LT -213T L dim -=Q3ML dim -=ρ 22T ML dim --=γ 11T ML dim --=μ 12T L dim -=ν2MLT dim -=F21T ML dim dim dim --===K p τ△ 虽然物理量的类别与单位制无关，但量纲幂次式却只有在确定的单位制中才有意义。
2. 量纲齐次性原理物理方程中各项的量纲必须齐次，称为物理方程的量纲齐次性。
按量纲齐次性原理，单位质量流体元能量守恒形式的伯努利方程中++gz V 22（ρp）=常数。
第三项的形式应为B5.2 量纲分析与 П 定理量纲分析主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对相关的物理量做量纲幂次分析，将它们组合成无量纲量，揭示他们间内在关系，并降低变量数目。
较早提议做量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877），而奠定量纲分析理论基础的是白金汉(E.Buckingham,1914），他提出了П定理。
B5.2.1 П 定理△ П 定理指出：若一方程包含 n 个物理量，每个物理量的量纲均由 r 个独立的基本量纲组成，则这些物理量可以并只可以组合成 r n -个独立的无量纲量，称为 П数。
量纲分析法
L, T ;
而
[x] L [t] T [r] L [v] LT 1 [g] LT 2
所谓无量纲化是指，对(3.18)式中的 x 和 t 分别构造且有相同的参数组合 xc 和 tc ，使得
新变量
x x x0
t t t0
为无量纲量，其中 xc , tc 称为特征尺度或参考尺度；把方程（3.18）化为 x 对
q L M T I N J
量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体 的例子，再给出量纲分析的一般方法。
例 3—1： 单摆运动，质量为 m 的小球系在长度为 l 的线的一端，线的另一端固定， 小球偏离平衡位置后，在重力 mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期 t 的表达式。
--------------（3.2）
由量纲齐次原则应有 （3.3）
1 2
0 3
0
23 1
---------------
解得：1 0 ,
2
1 2
,
3
1 2
,
代入（3．1）得
t
l g
-------
（3.4） （3.4）式与单摆的周期公式是一致的 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，
lv Fr ; 称为 Reynold 数，记为 Re , 因此（3.10）又可写为
f l 2v2 ( l h , Fr, Re)
------------------（3.11） 4. 下面我们利用物理模拟进一步确定航船在水中的阻力。
设: f、l、h、v、、、g 和 f 、l、h、v、 、、g 分别表示模型和原型中
量纲分析——精选推荐
量纲分析量纲分析量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建⽴数学模型的⼀种⽅法，它是在经验和实验的基础上, 利⽤物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
为了能够应⽤数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。
物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。
被测物理量的数值⼤⼩不仅取决于其本⾝，⽽且取决于所选⽤的单位。
例如为了描述⼀块地的范围，需要确定其⾯积的单位和数值的⼤⼩。
我们可以说这是块⼤⼩为1平⽅公⾥的地，也可以说这是块⼤⼩为1000000平⽅⽶的地。
离开了单位，仅根据数值我们⽆法判断⼀块地的⼤⼩。
单位的选取往往带有任意性，⽐如说度量长短可以选⽤⽶为单位，也可以选⽤厘⽶、分⽶、公⾥甚⾄光年为单位。
然⽽这些单位都是⽤来度量同⼀个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统⼀性。
我们把这种统⼀性称为量纲。
单位：物理量的⼤⼩；量刚：物理单位的种类。
m 、cm、mm 长度类⽤L表⽰分、⼩时、秒时间类⽤T表⽰公⽄、克质量⽤M表⽰⼀般来说，测量同⼀个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯⼀的。
例如，测量长度可以⽤厘⽶、分⽶、公⾥甚⾄光年为单位，量刚只能⽤L来表⽰。
通常⽤［量］来表⽰物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为L，时间的量纲记为T，质量的量纲记为M，⽆单位的物理量的量纲记为1。
⼀个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的⼀些看成是基本量，其他的是导出量。
基本量的量纲称为基本量纲，互不依赖，互相独⽴的，不能从其他量纲推导出来量纲。
在国际单位制中有7个基本量纲：质量[M]、长度[L]、时间[T] 、电流[I]、热⼒学温度[Θ]、物质的量[N]、发光强度[J]其他量的量纲可以由基本量纲导出。
导出量纲：可⽤基本量纲推导出来的量纲例如，我们取基本的量纲为L、T和M，那么⾯积的量纲为L2，速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为LT-2。
相似原理与量纲分析
1）解析方法：还远不能解决流体力学的许多实际问题 （1）一些流动现象的机理还不很清楚，难以建立起相应的物理数学模
型。 例如，我们正在建设中的汽车气动－声学风洞，在试验段，从喷口到
收集口之间的气体流动规律还不清楚，至今无法建立起流场的空气动力分 析模型，导致了风洞中出现的低频颤振现象无法准确地进行描述和解释， 为控制这种现象增加了难度。
算方法。这种方法的问题是，对于复杂的流体力学问题，它的计 算准确度、精度不能完全保证，计算结果的合理性还需要实验结 果进行验证。所以， CFD还有待进一步发展和成熟。
3）实验研究方法： 实验研究历来都是科学研究中的一种非常重要和有效的研究
手段。对于流体力学问题，由于解析方法、数值计算方法一方面 自身存在缺陷，另一方面他们的一些研究结果还有待实验检验， 再加上实验研究结果直观、真实、可靠等，所以，实验研究在解 决流体力学问题中就显得更为重要。
1、几何相似 2、运动相似 3、动力相似
§5.2 相似概念和相似定理
高速列车 模型
风洞试验
运动相似：
对试验流 场的要求
几何相似：
对试验对 象的要求
动力相似：
对试验对象 和流场相互 作用的要求
缩尺比例：1：8 原型长度：27m/节 三车编组
§5.2 相似概念和相似定理
1、几ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相似
若两个物体对应的角度相同（包括方位或姿态角）、而且对应的全部
相似原理与量纲分析
相似原理和量纲分析
§5.1 相似原理与量纲分析的提出 §5.2 相似概念和相似定理 §5.3 相似准则 §5.4 模型试验方法 §5.5 量纲分析
§5.1 相似原理与量纲分析的提出
1、流体力学问题的研究方法
目前，解决流体力学问题的方法很多，可归纳为三类： 解析方法，计算流体力学方法（CFD），实验研究方法
型。 例如，我们正在建设中的汽车气动－声学风洞，在试验段，从喷口到
收集口之间的气体流动规律还不清楚，至今无法建立起流场的空气动力分 析模型，导致了风洞中出现的低频颤振现象无法准确地进行描述和解释， 为控制这种现象增加了难度。
算方法。这种方法的问题是，对于复杂的流体力学问题，它的计 算准确度、精度不能完全保证，计算结果的合理性还需要实验结 果进行验证。所以， CFD还有待进一步发展和成熟。
3）实验研究方法： 实验研究历来都是科学研究中的一种非常重要和有效的研究
手段。对于流体力学问题，由于解析方法、数值计算方法一方面 自身存在缺陷，另一方面他们的一些研究结果还有待实验检验， 再加上实验研究结果直观、真实、可靠等，所以，实验研究在解 决流体力学问题中就显得更为重要。
1、几何相似 2、运动相似 3、动力相似
§5.2 相似概念和相似定理
高速列车 模型
风洞试验
运动相似：
对试验流 场的要求
几何相似：
对试验对 象的要求
动力相似：
对试验对象 和流场相互 作用的要求
缩尺比例：1：8 原型长度：27m/节 三车编组
§5.2 相似概念和相似定理
1、几ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相似
若两个物体对应的角度相同（包括方位或姿态角）、而且对应的全部
相似原理与量纲分析
相似原理和量纲分析
§5.1 相似原理与量纲分析的提出 §5.2 相似概念和相似定理 §5.3 相似准则 §5.4 模型试验方法 §5.5 量纲分析
§5.1 相似原理与量纲分析的提出
1、流体力学问题的研究方法
目前，解决流体力学问题的方法很多，可归纳为三类： 解析方法，计算流体力学方法（CFD），实验研究方法
量纲分析PPT资料(正式版)
在工程流体力学中，若不考虑温度变化，通常取3个相互独立的物理量作为基本量。
1/16
C.
F (q,q,.q .). ,0 瑞利法一般用于影响流动的参数个数不超过3个时较为方便。
要§保4-5证原相型似流原动理和的模应型用流动的黏性力相似，则根据动力相1 似要求2 有：
n
尺λl＝60的模型（介质相同）进行实验研究，试求模型的流量Qm。
•流动相似的基本概念：几何相似、运动相似、
动力相似
•相似准则：雷诺准则、弗劳得准则、欧拉准则
•模型实验设计方法
•相似准则：雷诺准则、弗劳得准则、欧拉准则
•模型实验设计方法
§4-1 量纲分析的基本概念和原理
一、单位与量纲
•单位：表征物理量数值大小的标准。如长度单位
m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等。
故得欧拉准则方程：
p v2
1or(v p2)p(v p2)m
即要保证原型流动和模型流动的动压力相似，则要求两
者对应的欧拉数 Eup/(v2) 必须相等。
几点说明：
•弗劳德准则、雷诺准则和欧拉准则是工程流体力学的常用准则。 •一般弗劳德准则、雷诺准则为独立准则，而欧拉准则为导出准则。
§4-5 相似原理的应用
量式纲中：表征各为物绕理流量阻而单力位系这的数种，些类由。实变验确量定。中含有m个基本物理量，则可组合这些
即1/1要6保证原C型. 流动和变模型量流动成的重为力相（似，n则要-求m两者）对应个的弗无劳德量数纲π数必须的相等函。 数关系，即
即要保证原型流动和模型流动的动压力相似，则要求两者对应的欧拉数
•长度比尺：
l
lp lm
•面积比尺：
A
Ap Am
l2
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C.
F (q,q,.q .). ,0 瑞利法一般用于影响流动的参数个数不超过3个时较为方便。
要§保4-5证原相型似流原动理和的模应型用流动的黏性力相似，则根据动力相1 似要求2 有：
n
尺λl＝60的模型（介质相同）进行实验研究，试求模型的流量Qm。
•流动相似的基本概念：几何相似、运动相似、
动力相似
•相似准则：雷诺准则、弗劳得准则、欧拉准则
•模型实验设计方法
•相似准则：雷诺准则、弗劳得准则、欧拉准则
•模型实验设计方法
§4-1 量纲分析的基本概念和原理
一、单位与量纲
•单位：表征物理量数值大小的标准。如长度单位
m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等。
故得欧拉准则方程：
p v2
1or(v p2)p(v p2)m
即要保证原型流动和模型流动的动压力相似，则要求两
者对应的欧拉数 Eup/(v2) 必须相等。
几点说明：
•弗劳德准则、雷诺准则和欧拉准则是工程流体力学的常用准则。 •一般弗劳德准则、雷诺准则为独立准则，而欧拉准则为导出准则。
§4-5 相似原理的应用
量式纲中：表征各为物绕理流量阻而单力位系这的数种，些类由。实变验确量定。中含有m个基本物理量，则可组合这些
即1/1要6保证原C型. 流动和变模型量流动成的重为力相（似，n则要-求m两者）对应个的弗无劳德量数纲π数必须的相等函。 数关系，即
即要保证原型流动和模型流动的动压力相似，则要求两者对应的欧拉数
•长度比尺：
l
lp lm
•面积比尺：
A
Ap Am
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工程流体力学 第六版 第5章 相似理论与量纲分析
当F为阻力FD时,
牛顿数表示阻力系数：
CD
1
FD
2l 2
2
当F为升力FL时, 牛顿数表示升力系数：
CL
FL
1 2l 2
2
牛顿数的拓展 描述力矩M时,
可用牛顿数表示力矩系数：
CM
1
M
2l 3
2
描述功率P时, 可用牛顿数表示动力系数：
CP
P
3l 2
第5章 作业1：
工程流体力学（第6版）
第5章 习题：1、2、6、7
比值：
(
l 2 l
2
)m
l 2 2 l
(பைடு நூலகம்
l
)
m
l
(l
v
)m
l
v
定义雷诺数：
Re
l
l
v
（l为定型尺寸）
则比值为： Rem Re ——粘性力相似准则
Re的物理意义： 表征惯性力和黏性力的量级之比。
应用： 管道内有压流动； 绕流问题。
§5.2.2 压力相似准则
ma l 2 2
惯性力和压力之比：
§5.3 量纲分析法
5.3.1 量纲知识 5.3.2 瑞利法 5.3.3 π定理
5.3.1 量纲知识
单位：计量事物标准量的名称。 量纲：物理量单位的种类。
物理量
单位
量纲
质量 g、kg、t….
M
时间 长度
s、 min、 h、
T
mm、 cm、 m、km… L
温度 速度
oC、 K、oF m/s、 km/h……
Θ [υ] 或dim υ
单位因数：103 →千, k； 106 →兆, M； 109 →吉, G； 103→毫, m； 106 →微, μ； 109 →纳, n；
量纲分析法
下(g为重力加速度),做往复摆动. 忽略阻力, 求摆动周期t的表达式. 求解 考虑问题中出现的物理量t、m、l、g， 假设它们之间有关式
t m l
1 2 3
g
(1)
其中α1,α2,α3是待定常数,λ是无量纲的
比例常数.上式的量纲表达式为
t [m]
1
[l ] [ g ]
2
3
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量 纲
ds 例4.1.1 [速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ; dt [加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律
3.写出量纲矩阵
(f) (l) (h) (v) (ρ) (μ) (g)
1 1 1 1 3 1 1 ( L) A37 1 0 0 0 1 1 0 (M ) 2 0 0 1 0 1 2 (T )
4.求解齐次线性方程组 AY=0,因Rank (A)=r=3 方程有m－r=7－3=4个基本解, 可取为
f K
m1m 2 r
2
中的引力常数K的量纲为
fr 2 [ f ][ r 2 ] [K ] m1m2 [ m1 ][ m2 ]
LMT
2 2
L
M
2
L3 M 1T 2
部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如 ［角度］=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).
(4) 式的量纲表达式为
L
y 3 y4
第五章量纲分析和相似原理
——称沿程阻力系数，具体由实验决定。
例3：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差△p与下列变量有关：
管径d,ρ ,υ ,l,μ ,管壁粗糙度△，试求△p的表达式。 解：（1）找出有关物理量 F（d,ρ,υ,l,μ,△,△p）=0
（2）选基本量，组成π 项。基本量d,ρ ,υ , n=7, m=3, π 数n-m=4个
几何相似是力学相似的前提，只有在几何相
似的流动中才能找到对应点，从而进一步探讨对
应点其它物理量之间的相似。
2、运动相似 —— 指两个流场对应点上同名的运动学量成比例。 （1）条件： 1> 几何相似： 2> 对应点上速度(加速度)的方向相对应， 大小成比例。
（2）表达式：
1> 时间比尺： 2> 速度比尺： 3> 加速度比尺： （3）意义： 运动相似是模型实验的真正目的。 λ t= t p / t m λv = vp / v m=λl /λt λa= ap / am=λl /λt2 =λv2 /λl
以角标p表示原型prototypem表示模型model二运动相似二运动相似两个流场对应点上的速度或加速度的方向相同大小成比例即三动力相似三动力相似两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同大小成比例粘性力粘性力重力重力压力压力弹性力弹性力表面张力表面张力惯性力惯性力四初始条件和边界条件相似四初始条件和边界条件相似1
3、量纲分析的具体应用： （1）量纲分析法 ——即应用量纲的和谐原理，来推求各物理量 之间的函数关系的方法。 （2）应用： 1> 检查所建立的物理方程是否正确； 2> 可用于同一量纲的单位换算； 3> 确定各物理量之间的合理形式； 4> 设计系统实验及分析实验结果。
三、量纲分析法 1、瑞利法： （1）特点： 可直接利用量纲一致原则进行量纲分析； （2）适用范围： 方程中物理量较少（一般4～5个），各量纲 间的关系较易确定。
流体力学-第5章
F ( x1 , x2 ,...xn ) = 0
而这些变量中含有m个基本量纲， 而这些变量中含有 个基本量纲，则这个物理过 个基本量纲 程可以由n个物理量组成的 个物理量组成的n-m个无量纲量（相似 个无量纲量（ 程可以由 个物理量组成的 个无量纲量 的函数关系来描述, 准则数πi）的函数关系来描述 即:
和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立vc的公式结构。 和管径 有关，试用瑞利量纲分析法建立 的公式结构。 有关 [解] 假定 vc = kρ α ⋅ µ β ⋅ d γ 式中k为无量纲常数。 式中 为无量纲常数。 为无量纲常数 将各物理量的量纲
dim vc = LT −1 , dim ρ = ML−3 dim µ = ML−1T −1 , dim d = L
F′ F = 2 2 ρ ′l ′2v′2 ρl v
——牛顿数 牛顿数
二、各单项力相似准则
1.基本量纲和导出量纲 1.基本量纲和导出量纲 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 导出量纲： 导出量纲：可以由基本量纲导出的量纲 基本量纲具有独立性、唯一性， 基本量纲具有独立性、唯一性，如： 具有独立性 质量（ ）、长度 长度（ ）、时间 时间（ ）、温度 温度（ 质量（M）、长度（L）、时间（T）、温度（Θ）
解上述三元一次方程组得： 解上述三元一次方程组得： α1 = −1, β1 = −2, γ 1 = −2 其中 同理： 同理：
π1 =
FD ρv 2 d 2
µ 1 π2 = = ρvd Re
并就F 解出， 代入 ϕ (π 1 , π 2 ) = 0 ，并就 D解出，可得
FD = f (Re) ρv 2 d 2 = C D ρv 2 d 2
流体力学B5 量纲分析与相似原理
1 1 1
(4)满足π为无量纲项, (4)满足π为无量纲项, 满足 定各π 定各π项基本量指数 a,b.c. (5)整理方程式 5)整理方程式
1. 量纲分析法一般步骤
量纲分析圆球在静止粘性流体中运动时所受到的阻力. 量纲分析圆球在静止粘性流体中运动时所受到的阻力. (1)列举所有相关的物理量(5个 列举所有相关的物理量(5 阻力), ),ρ (1)列举所有相关的物理量(5个):FD(阻力),ρ(流体 密度),V(圆球速度),d(圆球直径) ),V(圆球速度),d(圆球直径 流体粘度) 密度),V(圆球速度),d(圆球直径)μ(流体粘度) FD = ϕ ( ρ , V , d , µ ) 组成关系式: 组成关系式: (2)选择包含不同基本量纲的物理量为基本量( (2)选择包含不同基本量纲的物理量为基本量(取3个) 选择包含不同基本量纲的物理量为基本量 选取: 流体密度ρ 包含质量量纲; 选取:①流体密度ρ:包含质量量纲; 圆球速度V:包含时间量纲; V:包含时间量纲 ②圆球速度V:包含时间量纲; 圆球直径d:包含长度量纲; d:包含长度量纲 ③圆球直径d:包含长度量纲; (3)基本量依次与其余物理量组成π (3)基本量依次与其余物理量组成π项 基本量依次与其余物理量组成 π 1= ρ a V b d c FD π 2= ρ a V b d c µ
B5.2.2 Βιβλιοθήκη 纲分析法(1)找出 (1)找出物理量过程有关的 (3)基本量依次与其余 (3)基本量依次与其余
物理量 f (q1 , q2 , q3 ,..., qn ) = 0 (2)从 个物理量中选取m (2)从n个物理量中选取m个 物理量为基本量( 物理量为基本量(一般取 α β γ dim q1 = M 1 L1 T1 m=3) α β γ dim q2 = M 2 L2 T2 α β γ dim q3 = M 3 L3 T3 α1 β1 γ 1 α2 β2 γ 2 ≠ 0 α 3 β3 γ 3 对不可压流,取速度V, V,密度 对不可压流,取速度V,密度 特征长度L为基本量. ρ,特征长度L为基本量. 物理量组成π 物理量组成π项 q4 π 1= a b c q1 q2 q3 q5 π 2= a2 b2 c3 q1 q2 q3 ... qn π n −3= an−3 bn−3 cn−3 q1 q2 q3
(4)满足π为无量纲项, (4)满足π为无量纲项, 满足 定各π 定各π项基本量指数 a,b.c. (5)整理方程式 5)整理方程式
1. 量纲分析法一般步骤
量纲分析圆球在静止粘性流体中运动时所受到的阻力. 量纲分析圆球在静止粘性流体中运动时所受到的阻力. (1)列举所有相关的物理量(5个 列举所有相关的物理量(5 阻力), ),ρ (1)列举所有相关的物理量(5个):FD(阻力),ρ(流体 密度),V(圆球速度),d(圆球直径) ),V(圆球速度),d(圆球直径 流体粘度) 密度),V(圆球速度),d(圆球直径)μ(流体粘度) FD = ϕ ( ρ , V , d , µ ) 组成关系式: 组成关系式: (2)选择包含不同基本量纲的物理量为基本量( (2)选择包含不同基本量纲的物理量为基本量(取3个) 选择包含不同基本量纲的物理量为基本量 选取: 流体密度ρ 包含质量量纲; 选取:①流体密度ρ:包含质量量纲; 圆球速度V:包含时间量纲; V:包含时间量纲 ②圆球速度V:包含时间量纲; 圆球直径d:包含长度量纲; d:包含长度量纲 ③圆球直径d:包含长度量纲; (3)基本量依次与其余物理量组成π (3)基本量依次与其余物理量组成π项 基本量依次与其余物理量组成 π 1= ρ a V b d c FD π 2= ρ a V b d c µ
B5.2.2 Βιβλιοθήκη 纲分析法(1)找出 (1)找出物理量过程有关的 (3)基本量依次与其余 (3)基本量依次与其余
物理量 f (q1 , q2 , q3 ,..., qn ) = 0 (2)从 个物理量中选取m (2)从n个物理量中选取m个 物理量为基本量( 物理量为基本量(一般取 α β γ dim q1 = M 1 L1 T1 m=3) α β γ dim q2 = M 2 L2 T2 α β γ dim q3 = M 3 L3 T3 α1 β1 γ 1 α2 β2 γ 2 ≠ 0 α 3 β3 γ 3 对不可压流,取速度V, V,密度 对不可压流,取速度V,密度 特征长度L为基本量. ρ,特征长度L为基本量. 物理量组成π 物理量组成π项 q4 π 1= a b c q1 q2 q3 q5 π 2= a2 b2 c3 q1 q2 q3 ... qn π n −3= an−3 bn−3 cn−3 q1 q2 q3
相似理论和量纲分析
动力相似包括运动相似，而运动相似又包括几何相 似。所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物 理量相似。两系统的其它物理量由它们决定，也必 然相似。以密度相似为例说明如下：
系数、 升力系数和阻力系数） 相等。
在 动力相似的条件下，对应的流体动力系数（压力
无因次的 流体动力系数CP数定义如下： P CP = 1 ρv2 S 2 对两动力相似系统：
v 粘性力 Fµ µ 2 ρL
局部惯性力
v Ft t
v2 迁移惯性力 Fl L
由动力相似条件得 ：
( Fp ) m ( Fµ ) m ( Fg ) m ( Ft ) m ( Fl ) m = = = = = CF ( Fp ) p ( Fµ ) p ( Fg ) p ( Ft ) p ( Fl ) p
可见，一切运动学比尺都是长度比尺和速度 比尺的函数。 速度比尺是基本比尺。
动力相似示意图
动力相似
3.动力相似 ——两系统对应位置处各作用力方向相同， 大小成同一比例。 密度比尺是基本比尺 ρm Cρ = 密度比尺 ρp mm = = C 质量比尺 m mp Fm 力的比尺 C = = F Fp
ρ mVm = Cρ Cl3 ρ pV p
Cv = 1 Cl
（II）
(三)压力相似准则欧拉数准则
将压力比
CF = F ' p ' A' 2 = = C p Cl F pA
2 v
代入式(A)得：
Eu 称为欧拉数，它 是总压力与惯性力 的比值。
Cp Cρ C
=1
或: 令:
p' p = ρ ' v' 2 ρv 2
p = Eu 2 ρv
当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦 然。这就是压力相似准则（欧拉准则）。
流动相似原理
相似的流动。
5.2 动力相似准则
在几何相似的条件下，两种物理现象保证相似的 条件或准则 。
动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间 保持固定不变的比例关系。
流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力 相互作用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系 应以惯性力为一方来相互比较。
根据： 可得：
'l'3 v'
几何条件 边界条件（进口、出口的速度分布等） 物性条件（密度、粘度等） 初始条件（初瞬时速度分布等）
由单值条件中的物理量所组成的相似准则称为“定性 准则”，而将包含被决定量的相似准则称为“非定性准 则”。
1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型， 选择流动介质； 在什么条件下进行实验？ 在相似的条件下进行实验
CλF 1 Cλρ Cλl2l2Cλv22
Cλll 1 λCvv Cλtt
l' l v't' vt
St 称为斯特劳哈
l Srt vt
尔数，它是当地惯 性力与迁移惯性力
的比值。
t
弹性力相似准则
弹性力比： λF
λ CFCc2CCl2
2 c
λρ λl2
若流场中的流 体为气体，则
K c2
（ c为声速）
几何现状不完全相似的近似模化
正态模型
形状相同，维数相同，比例一致，大小不同。
变态模型
比例变化 形状变化 维数变化
长径比 长宽比 三改二
输水渠道的模拟实验
自模化
在一定条件下自行相似的现象
在圆管流动中，当 Re ≤2320 时，管内流动的速度分 布都是一轴对称的旋转抛物面。当 Re>4×105管内流动状 态为紊流状态，其速度分布基本不随 Re 变化而变化，故 在这一模拟区域内，不必考虑模型的 Re 与原型的 Re 相 等否，只要与原型所处同一模化区即可。
5.2 动力相似准则
在几何相似的条件下，两种物理现象保证相似的 条件或准则 。
动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间 保持固定不变的比例关系。
流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力 相互作用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系 应以惯性力为一方来相互比较。
根据： 可得：
'l'3 v'
几何条件 边界条件（进口、出口的速度分布等） 物性条件（密度、粘度等） 初始条件（初瞬时速度分布等）
由单值条件中的物理量所组成的相似准则称为“定性 准则”，而将包含被决定量的相似准则称为“非定性准 则”。
1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型， 选择流动介质； 在什么条件下进行实验？ 在相似的条件下进行实验
CλF 1 Cλρ Cλl2l2Cλv22
Cλll 1 λCvv Cλtt
l' l v't' vt
St 称为斯特劳哈
l Srt vt
尔数，它是当地惯 性力与迁移惯性力
的比值。
t
弹性力相似准则
弹性力比： λF
λ CFCc2CCl2
2 c
λρ λl2
若流场中的流 体为气体，则
K c2
（ c为声速）
几何现状不完全相似的近似模化
正态模型
形状相同，维数相同，比例一致，大小不同。
变态模型
比例变化 形状变化 维数变化
长径比 长宽比 三改二
输水渠道的模拟实验
自模化
在一定条件下自行相似的现象
在圆管流动中，当 Re ≤2320 时，管内流动的速度分 布都是一轴对称的旋转抛物面。当 Re>4×105管内流动状 态为紊流状态，其速度分布基本不随 Re 变化而变化，故 在这一模拟区域内，不必考虑模型的 Re 与原型的 Re 相 等否，只要与原型所处同一模化区即可。
第5章_量纲分析与相似原理
第5章量纲分析和相似原理§5.1 量纲和谐原理
量纲公式
二、无量纲量三、量纲和谐原理
§5.1 量纲和谐原理
一、瑞利法（Rayleigh）应用范围：一般情况下，要求相关物理量个数
二、布金汉（π定理的解题步骤：
应用范围：对相关物理量个数n 没有限制，应用例用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式
知τ0与液体的密度ρ，液体的动力沾滞系数µ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度
同理求得管中紊流，单位管长沿程水头损失进行量纲分析，则有
1. 几何相似
2. 运动相似
3.动力相似（
du
T=
2.弗劳德（重力）准则
3. 欧拉（压力）准则
4. 韦伯（表面张力）准则
5. 马赫准则（马赫数）
思考题：
二、模型设计
例长度比
进时，测得波浪阻力为0.02N。
求（1）原型中的波浪阻力；
）原型中船舶航行速度；（
1. 量纲分析的意义和量纲和谐原理2）相似准则。
第五章——量纲分析和相似原理
（3）运动相似 ——速度（加速度）场相似 在不同的流动空间中，对应点、对应时刻上的速度（加 速度）方向一致，大小成比例
速度比例常数
CV
V' V
基本比例常数
加速度比例常数
Ca
a ' V '/ t ' CV a V / t Ct
CV2 Cl
流量比例常数
CQ
Q' Q
l '3/ t ' l3 /t
'
不可压定常流相似，他们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必相等
这些无量纲数组称为相似准则或相似判据
相似原理可表述为：两种流动现象相似的充分必要条件是：能 够用同一微分方程描述同一种类的现象；并且满足单值条件相 似；有单值条件中的物理量组成相似准则相等
19
5.2 相似原理与模型实验
3. 相似原理的应用 应用相似原理进行试验研究的步骤： （1）分析导出的相似准则，判断决定性准则 （2）根据选定的相似准则设计实验方案 （3）确定实验中要测量的物理量，测定相似准则中的物理量 （4）将实验结果换算到实物系统中
p
g
V2 2g
l d
F2
Vd
,
d
令
F2
Vd
,
d
则
p V 2 l g 2g d
——达西公式。为沿程阻力系数。
8
5.1 量纲分析
3. Π定理的几点说明 （1）无量纲数组的特性 ① 对于确定的物理现象，无量纲数组个数是固定的 但是形式上不是唯一的 ② 无量纲数的算术运算的结果仍是无量纲数
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作业：粘性流体流过平壁时 壁面上局部粘性阻力 壁面上局部粘性阻力ι 作业：粘性流体流过平壁时,壁面上局部粘性阻力 ω(χ)与来流 速度ux、距平壁前缘距离x、动力黏度µ、流体密度ρ有关 速度 距平壁前缘距离 、动力黏度 、流体密度 有关. 有关 推导粘性流体流过平壁时粘性阻力的准数方程。 推导粘性流体流过平壁时粘性阻力的准数方程。
5.2
量纲分析
原理:1、 原理:1、量纲和谐性原则 :1 2、 Π定理 重点： 重点：量纲分析法
5.2.1 量纲和谐性
量纲和谐性原则 任何一个完整的物理方程， 各项量纲必定是和谐的。 任何一个完整的物理方程，其各项量纲必定是和谐的。 量纲必定是和谐的 量纲分析法的物理本质在于描述现象的微分方程中各项量纲的 一致性。 一致性。 量纲和谐性原则应用: 量纲和谐性原则应用: 可检验方程的正确性。 可检验方程的正确性。 物理量单位换算。 物理量单位换算。工程计算时常采用的经验公式中系数往往 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定，使用时单位制 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定， 改变，要注意单位系数换算。 改变，要注意单位系数换算。 推导相似准数和准数方程
5.2.4 量纲分析法
应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法， 应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法，称为量纲 分析法。 分析法。 基本思路： 基本思路： 1、列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 2、根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 3、再通过量纲分析和适当的组合，将上述不定函数式改写 再通过量纲分析和适当的组合， 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 指数法和矩阵法两大类
[a ] =[a ] [a ] La ] [ β β β [a ] =[a ] [a ] La ] [
α1 α2
k+ 1 1 2 k
1 2
αk
k
k+2
1
2
k
M
[a ] =[a ] [a ]
γ1
n 1 2
γ2
[ Lak ]
γk
则有： 则有：
ak+1 α1 α2 αk =1 a a1 a2 L k M an =1 γ1 γ2 γk a a1 a2 L k
5.2.3 量纲分析的一般说明
1、量纲独立：K个物理量，其中任一个物理量的量纲均不能由 ： 个物理量， 其它物理量的量纲组合来表示，则称k 其它物理量的量纲组合来表示，则称k个物理量的量纲彼此 独立。 独立。 2、量纲独立条件： 量纲独立条件： 物理量a、b、c的量纲表达式为： 物理量a 的量纲表达式为：
5.2.2 π 定 理
描述某现象的n个物理量为a 描述某现象的n个物理量为a1、a2、a3… aK ….an k≤n） 其中a 个物理量的量纲 （k≤n） ，其中a1、a2、a3… aK k个物理量的量纲 彼此独立。 彼此独立。 描述该现象函数式： 描述该现象函数式： f(a1、a2、a3…ak、ak+1、ak+2…an)= 0 k+1 k+2 其余（ 其余（n-k）个物理量 的量纲可用这k 的量纲可用这k个独立 量纲的幂积形式表示： 量纲的幂积形式表示：
2、量纲分析的矩阵法
写出量纲矩阵，求出矩阵的秩（ 写出量纲矩阵，求出矩阵的秩（r） 无量纲乘积数= 无量纲乘积数= n – r 写出无量纲乘积的一般式
根据量纲和谐性原理， 根据量纲和谐性原理，由量纲矩阵写出线性齐次方程 求解 方程封闭： 方程封闭：直接求解 方程不封闭： 方程不封闭：以（n--3）个量为待定量 --3 逐项令待定量一项为1,其余为零,写出结果矩阵。 逐项令待定量一项为1,其余为零,写出结果矩阵。 1,其余为零 写出各无量纲乘积及准数方程。 写出各无量纲乘积及准数方程。
ak+1 π1 = α1 α2 α a1 a2 Lak k M
πn−k
an = γ1 γ2 γ a1 a2 Lak k
描述物理现象的函数关系式可写成： 描述物理现象的函数关系式可写成：
含有k个量纲的独立量的 个物理量之间的函数关系式 含有 个量纲的独立量的n个物理量之间的函数关系式， 个量纲的独立量的 个物理量之间的函数关系式， 简化为（ ）个无量纲乘积（ ）之间的关系式——无 简化为（n-k）个无量纲乘积（π）之间的关系式 无 量纲方程
1、量纲分析指数法
（1）柏金汉姆法（π定理法）（E.Buckingham） 柏金汉姆法（ 定理法） E.Buckingham） 列出影响现象的各个参量 f(x1、x2、x3…xn)=0 确定k个量纲彼此独立物理量为重复变量 确定k 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 量纲用重复变量量纲
逐项令待定量一项为1,其余为零 写出结果矩阵 逐项令待定量一项为 其余为零,写出结果矩阵： 其余为零 写出结果矩阵：
写出各无量纲乘积及准数方程： 写出各无量纲乘积及准数方程：
当指数的矩阵表达式
物理量a 物理量a、b、c具有彼此独立量纲
3、无量纲乘积的完整集合 、
个参数组成的函数式， 个基本量， 由n个参数组成的函数式，如有 个基本量， 个参数组成的函数式 如有k个基本量 则存在有（ ）。这 则存在有（n-k）个无量纲乘积（π）。这 ）个无量纲乘积（ ）。 （n-k）个π为该函数的无量纲的完整集合 ） 为该函数的无量纲的完整集合 完整集合中无量纲乘积的数目： 完整集合中无量纲乘积的数目： n- k（基本量纲的数） n- r（量纲矩阵的秩）
y = cx x2 Lxn 1
a 1 a2
an
用基本量纲表示各个物理量的量纲， 用基本量纲表示各个物理量的量纲，并对基本量纲列出其指数的 代数方程 当n≤k，唯一解 n≤k， n＞k，无唯一解
[ y] =[x ] [x ]
a 1 1 2
a2
[ L xn ]
an
例题：研究湍流流动，流体流过一光滑管道时， 例题：研究湍流流动，流体流过一光滑管道时，每单位长度 的阻力损失△ 与流体流速 与流体流速u、管道直径D、重力加速度g、 的阻力损失△h/l与流体流速 、管道直径 、重力加速度 、 动力黏度µ、流体密度 有关 确定方程通用式。 有关， 动力黏度 、流体密度ρ有关，确定方程通用式。 列出影响过程的全部物理量的一般函数关系式 f（ △h/l ， u ， D ， g ， µ ， ρ ）=0 （
π = x x Lx
a a2 1 1 2
an n
例题:水流中物体的运动 例题 水流中物体的运动
例题:水流中物体的运动 例题 水流中物体的运动 F= f（µ、g、w、L、ρ） （ ） 写出量纲矩阵： 写出量纲矩阵： 矩阵的秩： 矩阵的秩：r =3 无量纲乘积数目n 无量纲乘积数目n-k=3 设 写出指数方程 n＞3 ，
由π定理可得到（n-k）个无量纲量乘积 定理可得到（
无量纲方程： 无量纲方程：f(π1、π2、π3…πn-k)=0 描述现象的函数关系简化为含有（ 描述现象的函数关系简化为含有（n-k）个无量纲乘积的函数式。 个无量纲乘积的函数式。
（2）瑞利分析法 依据： 依据：量纲和谐性原理
将与现象有关的物理量的函数关系式写成幂积式： 将与现象有关的物理量的函数关系式写成幂积式： 由量纲和谐性原则： 由量纲和谐性原则：