垂线性质
垂线的主要概念
垂线的主要概念垂线是指与另一条线段或平面相交成90度（直角）的线段或线。
在几何学中，垂线是一个重要的概念，它在许多数学问题的研究中起着关键的作用。
本文将详细探讨垂线的主要概念，包括垂线的定义、性质和应用。
首先，垂线的基本定义是垂直于另一条线段或平面的线段或线。
当一条线与另一线段或平面相交时，如果它与该线段或线上的某一点的连线垂直（与该线段或线成90度），则这条线段或线就被称为垂线。
垂线具有许多重要的性质。
首先，垂线与被其所垂直的线段或线是相互垂直的。
这意味着两条垂线之间没有任何交角，它们是平行的。
垂线与其相交的线段或线的交点称为垂足。
垂足是垂线与被其所垂直的线段或线之间的最近点。
其次，垂线还具有独特的长度性质。
在平面几何中，垂线是从点到直线的最短距离。
也就是说，如果我们从一个点到一条直线上的任何一点的距离，那么垂线是将这两个点连接的最短线段。
此外，垂线还可以应用于解决几何问题。
其中一个常见的应用是求解两条直线之间的夹角。
如果两条直线相交，并且垂线是它们的交点所在的角的平分线，那么这个垂线就可以用来求解两条直线的夹角。
这种方法基于垂线的性质，通过计算相邻两个夹角的差异，可以得到所需的夹角。
另一个常见的应用是求解平行线与斜线的交点。
当给定一条平行线和一条斜线时，通过作斜线上一点的垂线，可以找到与平行线交点的位置。
这个方法可以用于构造与已知线段相垂直的线段。
垂线的概念也在三角学中有重要的应用。
例如，在直角三角形中，根据勾股定理可以得知，对于一个直角三角形来说，垂线的平方和等于其所在直角边的平方和。
这个性质被广泛应用于解决各种与直角三角形相关的问题，例如测量三角形的边长或角度。
除了平面几何中的应用外，垂线还在立体几何中有重要的作用。
在空间中，垂线被定义为与平面垂直的线段或直线。
在立体几何中，垂线可以用于解决垂直平面或者垂直直线的夹角问题。
垂线的性质同样适用于空间几何，例如垂线与其所垂直的平面之间是相互垂直的。
垂线的概念与性质
149垂线的概念与性质知识点：垂线的定义：两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直,a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：a⊥b或b⊥a. 垂线的性质：1.经过直线或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.2.连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，垂线段最短.注：⑴两条直线垂直是两直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角.⑵线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在的直线互相垂直.⑶垂线与垂线段的区别：垂线是一条直线，不可度量；垂线段是一条线段，可度量.经典例题：例题1．下列判断错误的是（）.A.一条线段有无数条垂线；B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直；C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；D.若两条直线相交，则它们互相垂直.答案：D.解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.故选：D.例题2 如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于（）A． 30°B． 34°C． 45°D． 56°答案：B．解析：根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．解：∵CO⊥AB，∠1=56°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，∴∠2=∠3=34°．故选B．例题3 如图，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ．则∠SQT等于（）A． 42°B． 64°C． 48°D． 24°答案：A．解析：利用垂直的概念和互余的性质计算．解：∵∠PQR等于138°，QT⊥PQ，∴∠PQS=138°﹣90°=48°，又∵SQ⊥QR，∴∠PQT=90°，∴∠SQT=42°．故选A．例题4如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）A． 2.5 cm B． 3 cm C． 4 cm D． 5 cm答案：A．解析：利用垂线段最短分析．解：已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，故选A．例题5已知如图，AO⊥BC，DO⊥OE,若∠COE=35°，则∠AOD的度数是（）．A．30° B．35° C．40°D． 45°答案：B．解析：已知AO⊥BC，DO⊥OE，就是已知∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，利用同角或等角的余角相等，从而得到相等的角．由（1）知，∠AOD=∠EOC，故可求解．解：（1）∵AO⊥BC，DO⊥OE，∴∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，∠BOD+∠AOD=90°，∠AOD+∠AOE=90°，∠AOE+∠COE=90°，∴∠DOA=∠EOC，∠DOB=∠AOE，∠AOB=∠AOC，∠AOB=DOE，∠AOC=∠DOE；∠AOD=∠EOC=35°．∴∠AOD的度数是35°．故选：B．。
垂线的基本性质
垂线的基本性质
垂线是几何形状中的一种，具有独特的特性。
它是从一定的一点连接到另一点
的直线，从而形成一个空间距离关系。
在实际生活中，垂线大多可以被用作实际做出计算或测量时的辅助工具，也是广泛应用在众多科学领域中的一种理论基础型工具，因此了解垂线的基本性质显得尤为重要。
首先，垂线的定义是空间中从一定的点到一个平面的直线，它的斜率和此点的
斜率相反，且两者的积等于负一。
垂线的测量也非常有价值，它中含有的足够的信息来表示一个实体或物体的平行运动。
通过垂线，我们可以在某一点处确定方位，这也使得投影成像变得比较方便。
其次，垂线满足一定几何形状时方程，也可以用斜截式表示其一般式 y = -
(1/k)*x + b，其中k为斜率，b为截距。
它的斜率和此次的斜率满足k1* k2 =-1 ，并且两者的交点处的x坐标必须满足X2 = (-b2/m2)*X1+b的条件。
在现代数学中，垂线的应用非常广泛，垂线在应用，如位运算，空间几何，旋转等领域都有广泛应用。
最后，垂线在计算机科学等领域也有重要作用。
它可以使用高效算法来投影成像，用于二维平面或三维空间图形的绘制，从而节省空间，提高计算速度。
也可以用垂线来处理曲线拟合和标定等等。
总之，垂线是几何形状中的一种，具有特殊的特性，它的不仅有广泛的应用于
传统的科学活动，也被经常用来实现计算机科学有效性处理。
它也得到了互联网行业的广泛应用，可以在旋转，位运算，投影成像和曲线拟合等科学计算应用中得到有效融入。
垂直线的性质
垂直线的性质在几何学中，直线是最基本的几何要素之一，也是我们日常生活中常见的线段形态。
垂直线是直线的一种特殊类型，具有独特的性质和特征。
本文将探讨垂直线的性质，并分析其在几何学中的应用。
一、垂直线的定义首先，我们需要了解垂直线的定义。
在平面几何中，两条直线互相垂直，意味着它们之间形成了一个直角。
换句话说，如果两条直线相交，且对应的四个角中有一个角为直角（即90度），则这两条直线互相垂直。
二、1. 直角性质：两条垂直线交叉形成的角度为直角。
这意味着垂直线之间的夹角恰好为90度。
2. 垂直角性质：对于一条直线和一条与之相交的垂直线，形成的角被称为垂直角。
根据垂直线的定义，垂直角是90度的。
3. 垂直线的倾斜度：垂直线没有倾斜度，与水平线相比，其斜率为无穷大。
这意味着垂直线上的任意两点的纵坐标之差是相同的，而横坐标之差为零。
4. 垂直平分线性质：一条直线被一条垂直平分线分成两个相等的部分。
垂直平分线将原始直线分割成相等长度的两段，同时形成两个相等的角。
5. 垂直线的唯一性：通过给定点，可以画出一条与给定线段垂直的唯一直线。
这可以通过作垂线的方法来实现。
三、垂直线的应用垂直线的性质在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 垂直线的判定：根据垂直线的定义和性质，我们可以通过判断角度是否为直角来确定两条直线是否垂直。
这在解题和证明几何学中非常常见。
2. 图形构造：如果我们需要构造一个垂直线，只需通过给定点作垂线即可。
这在建筑与设计等实际应用中非常常见。
3. 角度计算：当涉及到多个直线相交时，通过垂直线的性质，我们可以计算出各个角度的大小，以及它们之间的关系。
4. 地质勘探：在地质勘探中，垂直线的使用是至关重要的。
通过垂直线的引入，我们可以测量地层的倾角和地层的关系。
5. 建筑测量：在建筑测量中，垂直线的作用不可或缺。
在建筑规划、地理测量和土地测量等领域中，垂直线的性质被广泛应用。
总结：垂直线作为几何学中的一个基本要素，具有许多重要的性质和应用。
三角形中垂线定理
三角形中垂线定理三角形中垂线定理是三角形的重要性质之一，它描述了三角形中垂线的特性。
垂线是从一个点到另一条直线上的垂直线段，它与该直线交于一个垂足。
三角形中垂线定理指出：三角形的三条垂线交于一个点，且该点到三个顶点的距离相等。
让我们来看一下垂线的定义和性质。
在平面几何中，垂线是指从一个点到另一条直线上的垂直线段。
垂线的特点是与直线交于一个垂足，并且与直线垂直。
垂线可以用于解决很多几何问题，特别是在三角形中。
在一个三角形中，每条边都可以画出一条垂线。
根据三角形中垂线定理，这三条垂线交于一个点，我们称之为垂心。
垂心是三角形内部的一个特殊点，它到三个顶点的距离相等。
三角形中垂心的性质有很多，下面我们来详细讨论一下。
第一个性质是垂心到三个顶点的距离相等。
也就是说，垂心到三个顶点的线段长度相等。
这可以通过垂心的定义和垂线的性质得出。
第二个性质是垂心到三条边的距离乘积相等。
也就是说，垂心到三条边的距离之积等于垂心到三个顶点的距离之积。
这个性质可以通过相似三角形和垂线的性质证明。
第三个性质是垂心到三条边的距离之和最小。
也就是说，垂心到三条边的距离之和是最小的。
这个性质可以通过三角不等式和垂线的性质证明。
第四个性质是垂心到三个顶点的线段与三条边的交点分别在一条直线上。
也就是说，垂心到三个顶点的线段与三条边的交点分别在一条直线上。
这个性质可以通过共线性和垂线的性质证明。
三角形中垂线定理的应用非常广泛。
它可以用于解决各种与三角形有关的问题。
例如，可以利用垂心的性质来确定三角形的形状、大小和位置关系，计算三角形的面积和周长，以及解决一些几何问题。
除了垂心，三角形还有两个与垂心相关的特殊点，它们分别是重心和外心。
重心是三角形三条中线的交点，它到三个顶点的距离相等。
外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
总结起来，三角形中垂线定理是三角形的重要性质之一，它描述了三角形中垂线的特性。
垂线是从一个点到另一条直线上的垂直线段，它与该直线交于一个垂足。
三角形垂线定义
三角形垂线定义三角形垂线是指从三角形的顶点到对边上某一点的垂直线段。
它在三角形内部垂直于对边，且与对边有唯一交点。
垂线的性质在几何学中有着重要的应用和意义。
我们来探讨垂线的基本性质。
对于任意一个三角形ABC，如果从顶点A向边BC引一条垂线AD，那么垂线AD与边BC的交点D将成为三角形ABC的高。
垂线AD与边BC垂直相交，所以可以得出角BAD和角CAD都是直角。
这意味着垂线是三角形内部唯一一条与对边垂直的直线。
垂线的另一个重要性质是垂线的长度。
根据勾股定理，我们可以得出垂线的长度与三角形的边长有关。
设三角形ABC的底边为BC，高为AD，则根据勾股定理可以得到：AC^2 = AD^2 + CD^2AB^2 = AD^2 + BD^2BC^2 = CD^2 + BD^2其中，AC、AB、BC分别表示三角形的三条边长，AD表示垂线的长度，CD和BD分别表示三角形BC和AB的两条边长。
通过这些关系式，我们可以计算出垂线的长度。
垂线还有一个重要的性质是垂线的交点与三角形的重心和外心有关。
重心是指三角形三条垂线的交点，而外心是指三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
对于任意一个三角形ABC，垂线的交点D将成为三角形ABC的重心，即AD、BD和CD三条垂线相交于一点。
而外心则是三角形ABC外接圆的圆心，即三角形的三个顶点到外心的距离相等。
这些特点使垂线在解决三角形相关问题时起到了重要的作用。
垂线还有一个重要的应用是求解三角形的面积。
根据垂线的定义，我们可以利用垂线将三角形分为两个直角三角形，然后计算两个直角三角形的面积再相加，即可得到整个三角形的面积。
设垂线的长度为h，底边的长度为b，则三角形的面积S可以表示为：S = (1/2) * b * h这个公式被广泛应用于计算三角形的面积。
除了以上的基本性质和应用，垂线还有许多其他有趣的性质。
例如，三角形ABC的顶点A到垂线的距离等于三角形BC的面积除以底边BC的长度。
这个性质可以用来计算三角形的面积。
垂线ppt课件
垂线的性质
垂线与给定直线相交于一点，这 一点称为垂足。
垂线与给定直线的夹角为90度， 这是垂线的唯一性。
垂线具有传递性，即如果直线a 垂直于直线b，直线b垂直于直线 c，那么直线a也垂直于直线c。
垂线的应用
在几何学中，垂线是解决许多问题的基础，如求点到直线的距离、判断两条直线是 否平行等。
利用垂线定理
垂线定理是几何学中的重要定理之一，它告诉我们一个点 到一条直线的距离是最短的，这个性质在解决几何问题时 非常有用。
利用垂线的性质
垂线有很多重要的性质，如垂直平分线定理、等腰三角形 性质等，这些性质都可以用来解决几何问题。
利用垂线解决实际问题的方法
利用垂线解决高度测量问题
在测量高度时，我们可以利用垂线的性质来计算高度，例如在建筑、地形测量 等领域。
在一些复杂的几何问题中，我们可以利用垂线定理和勾股定理来解决问题，这些 定理可以帮助我们找到解决问题的关键点。
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在工程学中，垂线也具有广泛的应用，如在建筑、道路、桥梁等工程中，需要用到 垂线来确定物体的位置和方向。
在物理学中，垂线也是非常重要的概念，如在重力学中，需要用到垂线来确定物体 的重心和平衡状态。
02 垂线的判定
直线与直线垂直的判定
01
02
03
判定定理
两条直线相交，所形成的 对角相等且互补，则这两 条直线互相垂直。
延长线段
将线段延长，使其与另一条线段 相交，形成垂足。
垂线的应用实例
建筑学
在建筑设计中，垂线用于确定建筑物的垂直方向 和垂直度。
工程学
在桥梁、隧道等工程设计中，垂线用于确定结构 的垂直度和稳定性。
垂线的知识点归纳总结
垂线的知识点归纳总结一、垂线的定义在平面几何中，如果一条线段和另一条直线相交时，交点与这条直线上的一点形成的线段叫做这两条线段的垂线。
在数学上，我们通常用符号“⊥”表示两条线段之间存在垂线关系。
垂直这个概念最早见于古希腊，阿基米德大约在公元前300年的《圆的测量》一书中提到垂直的概念，把垂线称为铅垂线。
在中国古代数学中，北宋李冶的《尺牍方程》中就有铅垂线及其应用。
二、垂线的性质1. 垂线与直线的关系：如果两条线段垂直，则它们的斜率乘积为-1。
2. 垂线的构造：可以通过已知一点和一直线来构造垂线，方法是作两个以该点为端点的相交弧，使得该弧的终点在直线上。
3. 垂线的判定：两个非垂直线段存在垂线关系的充分必要条件是它们的斜率乘积为-1。
4. 垂线的性质：垂线与平行线之间的关系较为复杂，具体情况需根据具体问题来论断。
三、垂线的应用1. 垂线的应用范围广泛，不仅在几何证明中起着重要的作用，而且在日常生活和工程测量中也有广泛的应用。
比如建筑工程中，设计一栋平稳结构的建筑物时，需要利用垂线来保证建筑物的垂直性。
又如几何图形的证明过程中，常常需要用到垂线的性质来证明两个角或线段的垂直关系。
2. 在物理学中，垂线也有着重要的作用。
比如在静力学中，物体受到的重力和支撑力通常是垂直于支撑面的。
四、相关定理1. 垂直平分线定理：设AB为一线段，M为AB的中点，则对于任何一点P在AB上，如果PM=PB，则AP⊥BP。
2. 垂线性质定理：如果直线l与两直线a和b垂直，那么a和b平行。
3. 两条垂线的交角定理：两条垂线的交角是90度。
4. 垂线与平行线定理：如果一条直线与一对平行线的交线垂直，那么这两条平行线互相垂直。
五、总结垂线是几何中的基础概念之一，它不仅有着丰富的性质和定理，而且在几何证明和日常生活中都有广泛的应用。
通过对垂线的定义、性质、应用和相关定理的总结，我们可以更好地理解和掌握垂线的知识，为解决具体的几何问题提供理论支持，并为日常生活中的工程测量和建筑设计提供帮助。
垂线的定义和性质垂直的判定定理和性质定理垂线的画法步骤
一、垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
二、垂线的定义：1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
2.直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB 垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
三、垂直的判定：垂线的定义。
四、垂线的画法1.画垂线有两种情况，一种是已知一条直线，过这个直线之外的一个点画这个直线的垂线；另一种情况是已知一条直线，过这个线上的某一点作这个直线的垂线。
这两种情况画垂线都需要用到工具，有直尺、直角三角尺还有笔。
2.第一种情况，首先把直尺放好，直尺的一条边要和已知的那条直线重合，然后把直角三角尺的其中一个直角边靠在直尺上，保持三角尺的另一个边和直尺垂直的情况下，慢慢移动直角三角尺，直到直线外的某一点和直尺三角尺的另一条边重合，最后沿着直角三角尺的另一条边过直线外的那一点画出来直线，这条直线就是那条已知直线的垂线。
3.第二种情况，也是要先把直尺作为一个标准放好，直尺的一条边要和已知的直线重合在一起，把直角三角形的一个直角边靠在直尺上，保持直尺不动，直角三角尺慢慢移动，直到直角三角尺的顶点和已知的那个点重合，沿着直角三角尺的另一条直角边过已知的点画一条直线，这条直线就是要画的垂线。
五、线线垂直的性质和判定定理如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。
线线垂直是指两条线是垂直关系，分为平面两直线垂直和空间两直线垂直两种。
平面两直线垂直：两直线垂直→斜率之积等于1；两直线斜率之积等于1→两直线垂直。
空间两直线垂直：所成角是直角，两直线垂直。
六、线面垂直的判定方法⑴定义(反证法);⑵判定定理:⑶b⊥α,a∥ba⊥α; （线面垂直性质定理）⑷α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）;⑸α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a β a⊥α（面面垂直性质定理）。
垂直线与垂直线性质的判定
垂直线与垂直线性质的判定一、垂直线的定义与性质1.垂直线的定义：在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
其中一条直线称为另一条直线的垂线。
2.垂直线的性质：（1）垂直线相交成直角；（2）垂线段的性质：垂线段是从一点到直线的最短距离；（3）垂线与直线的交点称为垂足；（4）在同一平面内，通过一点可以作一条且只能作一条垂线与已知直线垂直。
二、垂直线性质的判定1.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；2.如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等；3.在同一平面内，如果通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是唯一的；4.在同一平面内，如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。
三、垂直线的相关定理与公式1.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别垂直，那么这两条直线互相平行；2.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线互相垂直；3.公式：直线的斜率k与垂线的斜率k1满足k × k1 = -1。
四、垂直线在实际应用中的例子1.在建筑设计中，垂直线用于确定建筑物立面的垂直度；2.在机械制造中，垂直线用于保证零件的相互垂直度；3.在地理测绘中，垂直线用于确定地球表面上某一点的经度；4.在医学影像学中，垂直线用于诊断和分析患者的器官结构。
五、垂直线的相关练习题1.判断题：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
（对）2.判断题：在同一平面内，如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等。
（对）3.选择题：在同一平面内，通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是（唯一的一条）。
4.计算题：已知直线L的斜率为2，求与直线L垂直的直线的斜率。
（-1/2）5.应用题：建筑设计中，需要确定一座建筑物立面的垂直度，请问如何利用垂直线来实现？（答案：通过测量和绘制垂直线来确定建筑物的垂直度）习题及方法：1.习题：判断题。
垂线的性质
E
D
A
B
C
A
B
练习3、试用直尺或三角板量出： a、该图上学校A与医院B的距离； b、该图上学校A、医院B到小河m的距离。
A
·
m
B
2、分别量出点P到 OA、OB的距离
O p
B
p A
(2)
B
B
p
O
(1)
A
O
(3)
A
； / PCB抄板打样；
瞳孔壹缩,他还看到中年男子几次将要说话,但却没有任何の话语传来,让他心中壹凛,估计是阵法の缘故丶或许是他摸出了这系阵の壹些端倪,所以想要告诉自己,但又被阵法阻拦,心中壹定,就要冲向中年男子而去丶也就是在这时,那青袍声发现了他在疾冲,当即舍去中年男子直奔他而来, 要灭杀他!虽然这青袍声在他黄脸汉子看来有些怪异,但此时却不是思索の时候,当下他掐诀,眉心壹道激射出壹道潋滟の剑芒丶"咻!"剑芒疾驶,直奔青袍声の眉心,青袍声也不甘示弱,神链噢驰要将那剑芒磨灭!同时还有那名中年男子也疾驶而上,壹口长剑直至青袍声!"轰!"几乎是瞬间, 壹道剑芒洞穿青袍声の肩膀,同时数道恐怖の规则神链化作の长枪险些将黄脸男子洞穿胸口丶在同壹时刻,那又有数道规则神链守护在青袍声の身旁,以防中年男子の袭杀丶然而在最后の时刻中年男子却没有杀向青袍声,反而露出诡异の笑容,速度几乎是壹闪直奔毫无防备の黄脸汉子丶" 噗!"霎时,壹条手臂直接噢起,血流如注,吃痛之后の黄脸汉子另壹只手握起の拳头抛发出猛烈之芒,神色愤怒の轰向中年男子丶"轰!"然而那名中年男子壹击得手后就直接消散开来,使得黄脸男子壹拳落在空出,虚空直接在黄脸男子壹拳下化为虚无!"是师兄?"就在此时,壹手捂着肩膀の青 袍声对着黄脸男子叫道丶"
垂线的知识点总结
垂线的知识点总结一、垂线的定义垂线指的是两条线段或直线之间的垂直关系。
具体来说，如果一条线段或直线与另一条线段或直线交于一点，并且与后者所在的平面垂直，则这条线段或直线就称为与后者垂直，即为垂线。
二、垂线的性质1. 垂线的引理：垂线的引理是垂线的一个重要性质。
它指出，如果一条线段与另一条线段垂直，那么它们所在的两个平面也是垂直的。
这个引理在证明许多几何问题时经常使用。
2. 垂线的对称性：如果一条线段与另一条线段垂直，那么这两条线段在垂直平面内是对称的。
这个性质也是垂线的一个重要特点，它可以帮助我们简化几何问题的分析。
3. 垂线的垂直交角：如果两条直线相交于一点，并且它们分别与另一条直线垂直，那么它们之间的交角是直角。
这是垂线的一个重要性质，它直接体现了垂线的垂直关系。
4. 垂线的长度关系：如果两条垂线相交于一点，并且它们与另一条直线平行，那么它们的长度之比等于平行线之间的距离之比。
这个性质可以帮助我们计算垂线的长度，解决实际问题。
5. 垂线的平行性：如果一条线段与另一条线段垂直，那么它们的垂直平面内的相交线段互相平行。
这个性质在建筑设计和工程测量中有着广泛的应用。
三、垂线的定理1. 垂线定理：垂线定理是关于垂线性质的一个重要定理。
它指出，如果两条直线相交，那么它们的垂线相交的线段互相垂直。
这个定理在证明几何问题时经常使用。
2. 垂线分割定理：垂线分割定理是关于垂线长度关系的一个重要定理。
它表明，如果一条垂线将一个三角形的底边平分，那么它被底边分割的两个线段之比等于与底边垂直的两个高之比。
这个定理在计算三角形的边长和面积时非常有用。
3. 垂线延长定理：垂线延长定理是关于垂线的对称性的一个重要定理。
它表明，如果一条线段与另一条线段垂直，那么它们所在的两个平面内的任意一点与对称点的连线垂直于两条垂直直线的交点。
这个定理在证明对称性问题时非常有用。
四、垂线的相关应用1. 在三角形中的应用：垂线在三角形中有着广泛的应用。
高中数学垂直线的性质及相关题目解析
高中数学垂直线的性质及相关题目解析在高中数学中，垂直线是一个重要的概念，它在几何图形的研究中起着至关重要的作用。
本文将介绍垂直线的性质，并通过具体的题目解析，帮助读者更好地理解和应用这些性质。
一、垂直线的定义和性质垂直线是指两条直线相交时，交点的两条相邻角都是直角的直线。
垂直线的性质包括以下几点：1. 垂直线的斜率乘积为-1：对于两条垂直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2，那么k1 * k2 = -1。
2. 垂直线的特殊情况：如果一条直线的斜率为k，那么与它垂直的直线的斜率为-1/k。
例如，如果一条直线的斜率为2/3，那么与它垂直的直线的斜率为-3/2。
二、垂直线的题目解析1. 题目：已知直线L1的斜率为2/3，求与L1垂直的直线L2的斜率。
解析：根据垂直线的性质，我们知道L2的斜率为-3/2。
因此，答案是-3/2。
2. 题目：已知直线L1过点A(1, 2)和点B(3, 4)，求与L1垂直且过点B的直线L2的方程。
解析：首先，我们计算L1的斜率。
根据斜率的定义，我们有k = (4 - 2) / (3 - 1) = 1。
因此，L1的斜率为1。
根据垂直线的性质，L2的斜率为-1/1 = -1。
由于L2过点B(3, 4)，我们可以使用点斜式来表示L2的方程，即y - 4 = -1(x - 3)。
化简得到y - 4 = -x + 3，进一步化简得到x + y - 7 = 0。
因此，L2的方程为x + y - 7 = 0。
通过以上两个题目的解析，我们可以看到垂直线的性质在解题中的应用。
在解题过程中，我们可以根据已知条件计算出直线的斜率，进而求得与之垂直的直线的斜率。
对于特定的问题，我们还可以使用点斜式等方法来表示垂直线的方程。
除了基本的垂直线性质外，垂直线还与其他几何概念密切相关。
例如，垂直线与平行线、垂线、角的关系等。
在解题过程中，我们可以通过运用这些关系来推导出更多的结论，从而解决更复杂的问题。
七年级上册垂线知识点总结
七年级上册垂线知识点总结垂线作为初中数学中的重要概念，出现在了七年级上册数学课本中。
掌握垂线的基本概念，理解垂线的性质和应用，对于学习初中数学以及今后的学习都具有重要的意义。
本文将从以下几个方面总结七年级上册垂线知识点。
1. 垂线的基本概念垂线是指从一点到一条直线，垂直于这条直线的线段。
可以说，垂线是直线的一种特殊情况。
在何时求一个点到一条直线的垂线时，需要先找到这个点到直线的距离，然后找到这个距离的中垂线即可。
我们称垂线所在的点为“垂足”。
2. 垂线的性质垂线与直线的交点是这条直线上距离垂足最近的点；两条互相垂直的直线交点，一定是由一个垂足到两条直线的垂线所组成的；垂线所在的位置是最短距离，也就是最短路径。
3. 垂线的应用(1) 垂线的求解在几何问题中，有很多情况需要求出垂线的位置和垂足的坐标。
这时，需要根据题目所给条件，利用垂线的性质，解方程求解。
例如：已知三角形ABC中，点D是BC边上的一点，且AD垂直于BC，若AB=3，AC=4，AD=5，求BC的长度。
解法：首先可以用勾股定理求出三角形ABC中AB、AC两边的长度，然后设BC长度为x，用垂线外心定理求出AD、BD、DC的长度，列出方程，再解出x。
(2) 垂线的应用在实际生活中，垂线也有很多应用，在建筑、工程、地质等领域都有广泛的应用。
比如，在建筑领域中，垂线常常被用来测量屋顶和地面之间的距离；在工程领域中，垂线能够帮助我们确定棱柱体的体积和表面积；在地质领域中，垂线被用来确定山谷、峡谷的深度和高度。
综上所述，垂线是初中数学中的一个重要概念，涵盖了垂线的基本概念、垂线的性质和垂线的应用。
学生们在学习垂线的过程中需要加强练习，逐渐掌握垂线的性质和垂线的应用，从而为更高水平的数学学习打下基础。
数学中垂线的主要性质
数学中垂线的主要性质
答：垂线有两个性质：
（l）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
（简说成：垂线段最短）。
垂线的第一条性质，是说垂线的存在性和唯一性，它是垂线作图的理论基础和保证。
以后在画一条线段或射线的垂线时，就是画它们所在直线的垂线，有时过线段外一点画这条线段的垂线，需要先延长线段，使垂足在这条线段的延长线上。
今后如果遇到两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直或线段、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线互相垂直。
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
（例1）如图1，画AE⊥BC，E为垂足，画CF⊥AD，F为垂足。
解：画AE与BC相交，并且有一个角是直角，可用三角板，画出∠AEC=90°。
在画CF⊥AD时，要先画AD的延长线，因为垂足F要在AD的延长线上。
图1中的AE、CF即所求。
[例2] 已知∠AOB，点D、E分别在OA和OB边上，如图2.画出DF⊥OB，F为垂足，EG⊥OA，G为垂足。
D到直线OB的距离指的是什么？
解：作∠DFO=90°，并且顶点F在OB上，作∠EGO=90°，并且G在OA上，
则DF⊥OB
EG⊥OA且F、G分别为垂足
点D到直线OB的距离指的是线段DF的长度。
七年级垂线知识点总结
七年级垂线知识点总结垂线是几何学中的基本概念之一，它与三角形紧密相关。
在七年级的学习中，垂线的相关知识点占据了很大的篇幅。
本文将从三个部分来总结七年级垂线的知识点。
一、垂线的基本定义在三角形中，如果从一个顶点引一条线段，使它与对边垂直相交，那么这个线段就被称为垂线。
垂线的另一端与对边的交点被称为垂足。
二、垂线的性质1.垂线与对边的关系从一个顶点引垂线，垂足与对边的距离为该点到对边所在直线的距离，可以等式表示为：MN = PA。
2.垂线的垂直性质垂线与对边的交点是一个直角，也就是说，垂线与对边垂直相交。
3.并且，如果两条直线相交，使得相交的四个角中有一个是直角，那么这两条直线一定是垂直的。
三、垂线的应用1.垂线的求法在计算有关三角形的面积、角度等问题时，经常需要求出一个三角形的垂线长度。
垂线长度的求法有很多种，通常可以利用三角函数来求解。
2.垂线的角度问题在计算三角形的角度时，垂线也经常被用到。
例如，在计算外角时，可以利用垂线的性质来简化计算。
3.垂线的应用案例在现实生活中，垂线也有很多应用。
例如，在建筑方面，设计师需要计算房屋的垂线长度来决定各部分的位置和角度；在工程领域，垂线的知识也被广泛应用，例如在设计桥梁和隧道时，需要计算垂线长度、角度等问题。
总结垂线是三角形中很重要的一个概念，对于七年级的学生来说也是必须掌握的知识点。
在学习垂线的过程中，我们需要注意垂线的基本定义和性质，以及在实际应用中的运用。
我相信，只要我们认真学习并掌握了这些知识点，就一定可以在以后的学习和实际生活中灵活运用。
垂线及其性质
垂线及其性质垂线是几何学中的一个基本概念，它在我们日常生活和数学研究中都起着非常重要的作用。
垂线有许多特性和性质，理解并掌握这些性质对于深入研究几何学非常重要。
本文将介绍垂线的定义、性质以及相关应用。
一、垂线的定义在几何中，垂线指的是一个与给定线段或直线相交的线段或直线，并且与给定线段或直线的交点成直角。
垂线可以理解为垂直于给定线段或直线的线段或直线。
二、垂线与垂直关系垂直是几何学中一个非常重要的概念，与垂线密切相关。
当两条线段或直线的夹角为90度时，我们称它们为相互垂直或互相垂直。
垂线与给定线段或直线垂直相交，因此可以说垂线与给定线段或直线垂直。
三、垂线的性质1. 垂线的长度：垂线长度等于两点之间的距离。
根据勾股定理，在平面几何中，如果A、B两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则垂线AB的长度可以通过勾股定理计算，即d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
2. 垂线交点的唯一性：给定一条线段或直线和一个点，通过这个点可以作一条唯一的垂线与给定线段或直线相交。
3. 垂线的方向：垂线始终垂直于所给定的线段或直线，在二维平面几何中，与给定线段或直线的夹角为90度。
4. 垂线的对称性：通过某点可以引出的垂线与通过该点的直线互相垂直，并且垂线与直线关于该点对称。
5. 垂线的应用：垂线可以应用于求解几何图形的性质，如求解三角形的高、中位线等，也可以用于实际生活问题的解决，如建筑设计、地理测量等。
四、垂线的应用举例1. 三角形内心：对于任意一个三角形ABC，如果以三角形的三条边为直径作圆，这三个圆的交点就是三角形的内心。
内心到三角形的三边上的点可以通过作垂线来求解。
2. 平行线的判定：当两条直线与一条第三线相交，且交点处的对应角相等时，可以判定两条直线平行。
可以通过作垂线来判断两条直线是否平行。
3. 同类四边形的证明：对于一个四边形ABCD，如果有两组对边互相平行，并且对应边的长度相等，则可以证明该四边形为同类四边形。
过一点做直线垂线求垂线的函数
直线垂线的求法属于初等数学中的几何部分，是一种基本的几何知识。
通过对这一知识点的深入理解和掌握，不仅可以丰富学生的数学知识，还可以培养他们的逻辑思维能力和数学推理能力。
本文将从直线垂线的定义、性质，以及求直线垂线的函数等方面展开探讨，以期帮助读者对这一知识点有更深入的了解。
一、直线垂线的定义与性质1.1 直线垂线的定义直线垂线是指两条相交直线中，其中一条直线与另一条直线的交点的角度为90度的直线。
具体来说，如果一条直线斜率为k，那么它的垂线的斜率为-1/k。
1.2 直线垂线的性质（1）垂直直线斜率的乘积为-1。
这是直线垂线的重要性质之一，也就是说如果两条直线互为垂线，则它们的斜率的乘积为-1。
（2）垂线的交点处的角度为90度。
也就是说，两条直线在它们的交点处相交成的角度为90度。
二、求直线垂线的函数2.1 已知两直线的方程，求其垂线的方法假设我们已知一条直线的方程为y=ax+b，另一条直线的方程为y=cx+d，现在要求这两条直线的垂线的方程。
我们可以通过对一条直线斜率的倒数取负数得到该直线的垂线的斜率。
两条直线的垂线的斜率之积为-1，即a*(-1/c)=-1，解得c=-1/a，这样就得到了垂线的斜率。
通过将交点的坐标代入垂线的方程，我们就可以得到垂线的方程。
假设垂线的方程为y=kx+m，交点的坐标为(x0,y0)，则我们有y0=k*x0+m，代入垂线的斜率和交点的坐标即可解出垂线的方程。
2.2 求直线垂线的具体例题【例题】已知直线L1的方程为y=2x+3，求直线L1的垂线的方程，并且过点(1,4)。
解：直线L1的斜率为2，因此直线L1的垂线的斜率为-1/2。
所以直线L1的垂线方程为y=-1/2x+m。
因为垂线过点(1,4)，所以代入点(1,4)，得到4=-1/2*1+m，解得m=9/2。
直线L1的垂线方程为y=-1/2x+9/2。
三、总结与展望通过本文对直线垂线的定义、性质，以及求直线垂线的函数的探讨，我们了解到直线垂线是指两条相交直线中，其中一条直线与另一条直线的交点的角度为90度的直线。
垂线垂直垂足的概念
垂线垂直垂足的概念垂线是与另一条线段或平面相交，并且与相交的线段、平面所在的线或面的切线垂直的直线。
简而言之，垂线是与其他线或平面相交的线段的直线，且与相交线段或平面垂直。
垂线的性质如下：1. 垂线与相交的线段或平面垂直，即两者的夹角为90度。
这是垂线的最基本性质。
2. 垂线从相交点到被相交的线段或平面的距离最短。
如果我们希望从一个点到达一条线段或平面上，且希望所经过的路径最短，那么这条路径就是垂线。
3. 如果两条直线垂直，而另一条直线与其中一条直线垂直，那么这两条直线互相平行。
这是垂线的一个重要性质，它与平行线的特性相关。
垂线的应用广泛。
在几何学中，垂线常被用来确定两条直线的关系以及计算角度和距离等数值。
举一个简单的例子，我们可以通过构造垂线来确定两个平行线之间的夹角。
我们只需构造一条垂直于其中一条平行线的垂线，然后测量这条垂线与另一条平行线之间的夹角，就能得到这两条平行线之间的夹角。
垂线垂足是指垂线与相交线段或平面的交点。
当我们构造一个垂线时，它将与相交的线段或平面形成一个交点，这个交点被称为垂足。
简单地说，垂足是指垂线与被垂线相交的线段或平面的交点。
垂足的性质如下：1. 垂足位于垂线上。
也就是说，垂足是垂线上唯一的点。
2. 垂足到相交线段的两个端点的距离相等。
这是垂线的另一个重要性质。
垂足到线段两个端点的距离相等意味着垂足到线段两个端点的线段长度相等。
3. 如果两条直线相交，那么它们与垂线的垂足连成的线段互相垂直。
这是垂足的另一个性质。
它与垂线和直线的相交关系相关。
垂足的应用也很广泛。
在几何学中，我们经常使用垂足来构造平行线、计算角度和距离等。
例如，我们可以通过连接两个垂足来构造平行线。
我们只需选取一条线段上的任意一点作为垂足，然后通过绘制与另一条直线垂直的线段，连接两个垂足，就能得到一条平行于这两个直线的直线。
总之，垂线和垂足是几何学中基本的概念和工具。
它们能够帮助我们理解和解决与线段、平面和角度等有关的问题。
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ABCDO 课题：5.1.2 垂线（1）一、学习目标：1．理解垂线的概念,掌握“过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线”的基本事实. 2．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 二、重点难点：重点：垂线的定义及性质. 难点：垂线的画法.三、 导学过程（一）预习导引1．如图，若∠1=60°，那么∠2= 、∠3= 、∠4= 2．改变上图中∠1的大小，若∠1=90°，请画出这种图形，并求出此时∠2、∠3、∠4的大小。
（二）自读深思1．阅读教材P 3的内容，导入2所画图形中两条直线的关系是__________，两条直线互相________是两条直线相交的特殊情形。
2．用语言概括垂直定义3．垂直的表示方法：垂直用符号“⊥”来表示，若“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O ”，记为__________，并在图中任意一个角处作上直角记号,如下图。
4.垂直的推理应用：（1）∵∠AOD=90° （ 已知 ）∴AB ⊥CD （ 垂直定义 ）由两条直线交角为直角，可知两条直线互相垂直 （2）∵ AB ⊥CD （ 已知 ）∴ ∠AOD=90°（ 垂直定义 ） 由两条直线垂直，可知四个角为直角5.注意：①垂直是相交的一种特殊情况.②垂直是一种相互关系，即a ⊥b ，同时b ⊥a .③当提到线段与线段，线段与射线，射线与射线，射线与直线的垂直情况时，是指它们所在的直线互相垂直.（三）小组讨论1.完成教材P 4探究提出的问题E (3)OD CBA(1)ODC B经过探索，我们可以发现：在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直． 2.变式训练,请完成教材P 5练习第2题的画图（在教材上画）.画完图后，归纳总结:画一条射线或线段的垂线, 就是画它们所在______的垂线. （四）评讲总结本节课你你有那些收获？还有什么疑难需老师或同学帮助解决？ （五）检测反馈 判断题.1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直.( )4.两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.( ). 填空题.1.如图,直线AB 与直线CD 的位置关系是_______, 记作_______,此时,•∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°.2.如图（1）,OA ⊥OB,OD ⊥OC,O 为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.3.如图（3）,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB的位置关系是_________.画图题如图，P 为∠AOB 的边OA 上一点，过P 点分别画OA,OB 的垂线四、课后练习课时练P4 五、课后反思l A l BODCA 第1题图ODCA 第1题图课题：5.1.2 垂线（2）一、学习目标：1．了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质.2．了解点到直线的距离的意义并会度量点到直线的距离.二、重点难点：对点到直线的距离的概念的理解.三、导学过程（一）预习导引1.将弯曲的河道改直依据的几何知识是 .2.思考教材P5图5.1-8中提出问题.（二）自读深思阅读教材P5-P6内容1.如果把小河看成是直线l，把要挖的渠道看成是一条线段，则该线段的一个端点自然是农田P，另一个端点就是直线l上的某个点,那么最短渠道问题会变成是怎样的数学问题？（提示：用数学眼光思考:在连接直线l外一点P与直线l上各点的线段中,哪一条最短?）回答P5探究提出的问题归纳结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， .简单说成: .2.(1)垂线段与垂线有何区别联系？(2)垂线段与线段有何区别与联系？3.此时你会解决教材P5图5.1-8中提出的问题吗？在图形中画出“最短渠道”的位置.4. 叫做点到直线的距离．．．．．．．.注意：垂线是，垂线段是一条，点到直线的距离是一个数量，不能说“垂线段”是距离（三）小组讨论例1 教材P6练习解：例2 如图，直线AB,CD相交于O,OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠OFEDCBAAOC 的度数.（四）评讲总结（六）检测反馈1．如图所示，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，AC =5cm ，BC =12cm ，AB =13cm ，则点B 到AC 的距离是________，点A 到BC 的距离是_______，点C 到AB •的距离是_______，•AC ﹥CD •的依据是_ _ _．2．如图，AOB 为直线，∠AOD ：∠DOB =3：1，OD 平分∠COB ． （1）求∠AOC 的度数； （2）判断AB 与OC 的位置关系．四、课后练习课时练P 5-6 五、课后反思课题：5.1.3同位角、内错角、同旁内角一、学习目标：会识别同位角、内错角、同旁内角.二、重点难点：能准确在各种图形中找出同位角、内错角、同旁内角. 三、导学过程 （一）预习导引在前面我们学习了两条直线相交于一点，得到四个角，即“两线四角”，这四个角里面，有 对对顶角，有 对邻补角.如果是一条直线分别与两条直线相交，结果又会怎样呢？（二）自读深思第2题图第1题图阅读教材第6页，并思考下列问题（写出来）：1.哪些是有公共点的角？哪些是没有公共点的角？什么叫被截直线？2.同位角的位置关系具有哪几个限定条件？第6页图中有几组同位角？3.内错角的位置关系具有哪几个限定条件？第6页图中有几组内错角？4.同旁内角的位置关系具有哪几个限定条件？第6页图中有几组同旁内角？（三）小组讨论1.教材第6页图是“直线，被直线所截”形成的图形（1）∠1与∠5这对角在两被截线AB,CD的，在截线EF的，具有这种位置关系的一对角叫同位角。
（2）∠3与∠5这对角在两被截线AB,CD的，在截线EF的，具有这种位置关系的一对角叫内错角。
（3）∠3与∠6这对角在两被截线AB,CD的，在截线EF的，具有这种位置关系的一对角叫同旁内角。
2.找出教材第6页图中所有的同位角、内错角、同旁内角.3.教材第7页例2（四）检测反馈1. 如图∠1与∠2，∠3与∠4, ∠1与∠4分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的什么角？（五）评讲总结四、课后练习课时练P7-9一、课后反思课题：5.2.1平行线一、学习目标：1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的两种位置关系；2．理解并掌握平行公理及其推论的内容；3．会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线；二、重点难点：对平行公理的理解三、导学过程（一）预习导引阅读教材第11页思考并回答问题（二）自读深思阅读教材第11页至第12页（a）平行线a CAB·P CD EF 1.平行线定义及表示方法：在同一平面内．．．．．．， 是平行线.（我们说的两条直线是指不重合的两条直线） 直线a 与b 平行，记作 . 2.对平行线概念的理解：（1）定义中去掉“在同一平面内”，可以吗？ （2）在同一平面内,两条直线有几种位置关系? 在空间中，是否存在既不平行又不相交的两条直线? （提示：用长方体来说明 ） 3.总结：在同一平面内．．．．．．两条直线的位置关系有两种：（1） （2） . （b ）画平行线1.工具：直尺、三角板2.方法：一“落”；二“靠”；三“移”；四“画”。
3.请你根据此方法练习画平行线：已知:直线a ,点B ,点C .(1)过点B 画直线a 的平行线,能画几条?(2)过点C 画直线a 的平行线,它与过点B 的平行线平行吗?（c ）平行公理及推论1.思考：上图中，①过点B 画直线a 的平行线，能画 条； ②过点C 画直线a 的平行线，能画 条； ③你画的直线有什么位置关系？ .2.平行公理①公理内容： . ②比较平行公理和垂线的第一条性质：共同点:都是“___________”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的. 不同点:平行公理中所过的_________,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外.3.推论： .①符号语言：∵b ∥a ，c ∥a （已知）∴b ∥c （平行公理推论）②探索：如图,P 是直线AB 外一点,CD 与EF 相交于P .若CD 与AB 平行,则EF 与AB 平行吗?为什么?（三）检测反馈1．在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一条必__________. 2．判断题（1）不相交的两条直线叫做平行线.( )（2）在同一平面内，不相交的两条射线是平行线.( )（3）如果一条直线与两条平行线中的一条平行, 那么它与另一条也互相平行.( ) 3．如图所示，∵AB ∥CD （已知），经过点F 可画EF ∥AB∴EF ∥CD （ )（五）评讲总结四、课后练习 课时练P 10-12 五、课后反思课题：5.2.2平行线的判定一、学习目标：掌握直线平行判定的方法及其规范应用格式二、重点难点：重点：平行线的三种判定方法，并运用这三种方法判断两直线平行. 难点：运用平行线的判定方法进行简单的推理.三、导学过程 （一）预习导引还知道“三线八角”吗？请画一画，找出一组同位角、一组内错角、一组同旁内角.（二）自读深思阅读教材第12页思考并回答问题1.两条直线平行判定方法1:_________________________规范应用：∵ （ ） ∴ （ 同位角相等，两直线平行）2. 阅读教材第13页思考.如图,如果∠1=∠3，直线AB 与CD 还平行吗？ 证明： ∵∠1=∠3（ ）∠2=∠3 （ ） ∴∠1=∠2 （ ）∴AB ∥CD （ ）A B C DFFE DCB A 21 DB E CF132A第2题图4cb a321ABCDE123结论：两条直线平行判定定理2： 规范应用：∵ （ ）∴ （ ）（三）小组讨论活动一：阅读教材第14页探究，思考：如图2,如果∠4+∠3=180°，直线AB 与CD 还平行吗？证明：∵∠4+∠3=180°（ ）∠4+∠1= °（ ） ∴∠ =∠ （ ）∴ （ ）结论：两条直线平行判定定理3: 规范应用：∵ （ ）∴ （ ）还有其它证明方法吗？写出证明过程.活动二：如图所示，已知∠1＝120°,∠2＝60°．试说明a 与b 的关系？（四）结果展示1.如图1,若∠2=∠6,则______∥_______,如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°,那么____∥_______,如果∠9=_____,那么AD ∥B C;如果∠9=_____,那么AB ∥CD . 2. 教材第14页练习1.3.已知直线a 、b 被直线c 所截,且∠1+∠2=180°,求证：a ∥b4.如右图所示,下列条件中,不能判定AB ∥CD 的是( ) A.AB ∥EF ,CD ∥EF B .∠5=∠A ; C.∠ABC +∠BCD =180° D.∠2=∠35. 如图：（1）∵12∠=∠,（ ）∴ // （ ） （2）∵180DAB ABC ∠+∠=︒（ ）∴ // .（ ） （3）∵∠A =∠3 （ ）∴ // （ ） （4）∵∠C =∠3 （ ）∴ // （ ）（五）评讲总结 四、课后练习 课时练P13-151 2a b 3 c图1五、课后反思。