数理统计与随机过程讲义

第四章 假设检验假设检验是一种重要应用价值的统计推断形式，是数理统计的分支。

从发展历史上有重要的节点为1 ：Pearson 的拟合优度的2χ检验 19002：Fisher 的显著性检验 19203：Neyman-Pearson 一致最优检验 1928 4：Wald 的判决理论 19505：Bayes 方法 （二战之后发展的学派） §4.1 基本术语关于随机变量的分布、数字特征等，每一种论断都称为统计假设，分为参数假设和非参数假设，例如),(~2σu N X ，假设1,1:==σu H 就称为参数假设；给定一组样本值，假设:H ~X 正态分布，对于分布进行论断，为非参数假设。

无论上面那种假设，都是给出一个对立的假设，比如),(~2σu N X ，那么假设1,1:0==σu H 的对立假设就是1,1:1≠≠σu H ，我们就把0H 称为基本假设，或者原假设，而1H 就称为对立（备选）假设。

为了分别那个假设是对的，需要判断假设真伪，就是对假设做出“否”还是“是”的程序就是检验，这个检验常用否定域形式给出，按照一定规则把样本值集合分成两个部分V V ⋃，当样本值落入子集V 认为0H 不真，那么V 是0H 的否定域，V 为0H 的接受域。

那么这样就产生了两种错误：第一类错误α ：本来0H 是真，但是却否定了，弃真； 第二类错误β ：本来0H 不真，但是却接受为真，叫取伪。

选定一种检验方法，我们希望上述两种错误概率都小。

但是给定样本容量，使得两种错误任意小是不可能的，我们主要研究两大类检验方法：1：样本容量给定，控制第一类错误，使得错误概率有一个上界α，叫做检验的显著性水平，根据这种原则建立的检验就是α水平显著性检验；2：样本容量给定，控制第一类错误α水平固定，还使得第二类错误最小，就是接受不真实假设的概率最小，否定不真实假设的概率就称为检验功效1-β，使得功效最大，，根据这种原则建立的检验就是α水平最大功效检验,或者最佳检验。

§4.2参数假设检验设X 符合分布),(θx F ，未知参数θΘ∈参数空间，空间分成两部分0Θ和Θ-0Θ，二者交集为空。

主要对于正态分布参数的统计假设的显著性检验方法。

1）针对不同问题，提出基本假设与备选假设0H ：θ0Θ∈ 1H ：θ0Θ-Θ∈如果参数空间仅仅是由0θθ=和1θθ=两个点组成的，那么我们称简单假设，否则是复合假设。

2）给定检验的显著性水平α，其大小依据不同问题不同，比如火箭、飞机等可靠性问题，α要越小越好，对于一般生产问题，太小了则意味着生产时间和成本的增加；3）建立对于基本假设的统计量和否定域；4）取样，计算统计量值，落入否定域则判读0H 为假，否则为真。

例子：某种药片制剂中国家规定成分A 的含量X 必须为10%，现在抽取5个片剂试样，测得A 的含量为10.9% 9.45% 10.38% 9.61% 9.92%假设)%,10(~20σ=u N X ，按照显著性水平α=0.05进行检验是否与规定10%相符？解：建立基本假设0H ：0u u =，这里显著性水平α=0.05，样本容量为5，样本值如上。

如何确定统计量呢？样本均值X 可以求出，但是这里方差未知，用无偏估计量*2n S 来代替2σ，那么统计量=t )1(~/*20--n t nS u X n这是我们以前推导过的，因此可以建立否定域为αα=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥2||t t P即落入区域2||αt t ≥则认为假，此区域之外就是真。

t-检验法。

回到我们的问题，X =1005.0，*2nS =25120059.0)(151=--∑=i i X x ，那么6949.1/*20=-=nS u X t n为统计量的值，由显著性水平α=0.05，我们查得7764.2)4(205.0=t 。

由于6949.1=t <7764.2)4(205.0=t ，这个统计量值落在否定域之外，就是说基本假设是真的，因此判断显著性水平α=0.05下规定成分A 的含量与规定10%相符的。

两样本t 检验法：有时为了比较两种方法、仪器、产品等的差异性，我们在相同条件下做对比试验，然后得到成对的数据，分析这些数据作出推断。

再次回顾第二章中定理定理：设121,,,n x x x 子样来自母体),(211σu N ，221,,,n y y y 子样来自母体),(222σu N ，各自的子样均值∑==1111n i i x n X ),(~1211n u N σ，∑==2121n i i y n Y ),(~2222n u N σ,那么),(~22212121n n u u N Y X σσ+--，那么一个新的变量)1,0(~)()(22212121N n n u u Y X U σσ+---=，若21μμ=，)1,0(~)(222121N n n Y X U σσ+-=*22222*2121111S n S n V σσ-+-=符合)1(12-n χ+ )1(22-n χ，即)2(212-+n n χ，加和性质 且上述两个变量相互独立。

那么依据定义)2(~)2/(2121-+-+n n t n n V U例子：设两种橡胶轮胎进行耐磨性试验对比，从中各自随机取8个，各取一个随机配对装在8架飞机上，经过一段时间测量磨损量如下（单位毫克）这里显著性水平α=0.05。

方法一：假设两个母体),(21σu N ， ),(22σu N 方差一样 原假设 0H ：21u u =， 对立假设为1H ：21u u ≠ 独立那么按照上述定理得到6145=X 1867312*1=S ；5825=Y 1204422*1=S 代入得到)14(~516.014/t V U= 查表145.2)2/(14=αt ，可见大于计算的统计量值，那么就不否定（接受）假设0H ，认为二者磨损量无显著差异。

方法二：我们采用配对实验Z=X-Y -30 320 360 320 -140 230 780 720 由于 d y x E z E i i i =-=-=21][][μμ，2][][][D i i i y D x D z D σ=+=那么，i z 是来自母体),(D d N σ的正态母体，此时假设0H ：21u u =等价于 0=d 的假设，设∑==n i i z n Z 11=320，∑=--=n i i n Z z n S 12*2)(11=102200,那么我们也可以构造 72*~83.2/t nS Z n=查表，显著性水平α=0.05下，365.2)2/(14=αt ，我们发现365.283.2>，说明落在了否定域，即否定原假设0H ，两种轮胎的耐磨性是有差异的。

讨论：同一显著性水平α=0.05下，相同的数据，为何两种方法得到完全不同的推断结论呢？这是因为，配对分析时，自由度下降了n=8-1，从而临界值提高了，即365.2)2/(14=αt ，增加了否定原假设的可能性，每架飞机突出两种轮胎之间差异，消除了飞机之间的数据影响，只要两个轮子耐磨性有一定差异，就可能否定假设0H ；而不做配对，自由度增加为8+8-2=14，临界值降低，减小了否定原假设的可能性。

什么时候用方法一还是方法二，还是得靠具体情况定。

其他不同的问题，构造不同的统计量，利用不同的分布进行检验，书上有基本的统计量表格，无非就是查表计算问题。

§4.3 非参数假设的2χ检验所谓非参数假设，就是不确切知道母体分布的数学形式的情况下，对于母体分布的各种论断，比如服从什么什么分布，相互独立，等等。

其特点是：A 不依赖与母体分布的具体形式，什么形式都适用的检验；B 由于缺乏母体分布的完全知识，所以使用的统计量精确分布难以求出，只能求出极限分布，一般需要大样本容量。

Pearson 提出了2χ检验法，步骤为：1）：将所有观测值X 进行分割不同子集 rk k A X 1==， j i A A j i ≠=,φ，子集的数目为r ；2）：统计观测值在每个子集k A 中出现的频数k n （出现的次数），当然满足n nrk k=∑=1；3）：在基本假设0H 真实的情况下，就是按照我们设定的分布概率密度函数，计算每个子集k A 中的理论期望频数，设落入概率为}|{0H A x P P k k ∈==dx H x f kA ⎰)|(0，r k ,,2,1 =，11=∑=rk k P 注意这是概率那么我们得到期望频数为 k n nP E k =，就是总共抽取n 个样本，那么每个子集k A 内理论上应该抽取了几个。

4）建立统计量∑∑==-=-=rk k k k rk n n k nP nP n E E n kk 12122)()(χ~)1(2-r χ符合)1(2-r χ分布，且表示了实际观察和理论结果之间相对差异的总和，当这个值大于某个临界值，则否定此假设。

否则接受假设。

Pearson 证明 为何上述统计量符合)1(2-r χ分布： 证明：1）当r=2两个子集，n n n =+21，121=+P P那么2112112122)1()()(ηχ=--=-=∑=P nP nP n nP nP n k k k k这里注意211211222)())1(()(nP n P n n n nP n -=---=-，代入即可那么由De Moirre-Laplace （隶莫弗）定理，二项分布)1(1111P nP nP n --=η的极限分布为标准正态分布，即)1,0(~N η，那么)12(~22-χη分布。

这是r=2时是符合的。

2）当2>r 的一般情况我们知道频数有n n rk k =∑=1，上面为二项分布，这里符合多项分布rn r n r r P P n n n n P P f 11211!*!*!*!),,(=同样由中心极限定理)1(j j j j P nP nP n --)1,0(~N ，那么jjj j nP nP n Y -=)1,0(~j P N -∑∑==-=-=rk k k k rk n n k nP nP n E E n kk 12122)()(χ就是r 个正态随机变量的平方和，但是由于这些变量之间有一个制约关系。

就像前面我们证明正态母体均值和方差的分布时一样证明方法，构造的正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ija P P P A 321使得AY Z =，我们会发现=-∑=jjj rj jnP nP n P 1∑∑∑====-=-rj j r j j rj jj P n n n n nP n 1110)(1∑∑∑=====-==rk k r k k rk k k k Z Y nP nP n 21122)(χ，只是1-r 正态变量的平方和，所以自由度为1-r 。