清华大学最优化 10.12及第五周作业(1)

10月12日作业：

,,2

3345

2..23max )5(3213213213213

21≥=++-≥++≤-+-+-x x x x x x x x x x x x t s x x x

答案：max (0,2,0), 4f =

,,8

321

32..23min )7(321213213

21≥≥+=+-+-x x x x x x x x t s x x x 答案：min 8110,,9,33

f ⎛

⎫= ⎪⎝⎭ 第五周作业（1）

1． 给定原问题

,,2

321

..34min 3213213213

21≥≥-+≥+-++x x x x x x x x x t s x x x 已知对偶问题的最优解⎪⎭⎫ ⎝⎛=37,35),(21w w ，利用对偶性质求原问题的最优解。 答案：41,,033⎛⎫ ⎪⎝⎭

2． 给定线性规划问题： 0

,,1

26..215min 3213211

3213

1≥≥++≥+-+x x x x x x b x x x t s x x 其中1b 是某一个正数，已知这个问题的一个最优解为⎪⎭

⎫ ⎝⎛=41,0,21

),,(321x x x 。

（1） 写出对偶问题。

（2） 求对偶问题的最优解。 答案：（2）119,44⎛⎫ ⎪⎝⎭

3. 考虑线性规划问题

min ..0

cx

s t Ax b x =≥

其中A 是m 阶对称矩阵，T c b =。证明若(0)x 是上述问题的可行解，则它也是最优解。 证明：对偶问题为

max ..wb

s t wA c

≤ 因为A 是对称矩阵，且T c b =，所以()(0)(0)T w

x =是对偶问题的可行解， 由于 (0)(0)cx

w b =，所以，(0)x 是原问题的最优解。