第四章.质点组动力学

第四章 质点组动力学

【解题演示】

4.1在一半径为r 的圆圈上截取一段长为s 的圆弧，求出这段圆弧的质心位置。

解：如右图所示建立坐标系 。则：02s r

θ= 设c c c r x i y j =+ 有：

222

02

022*******

0022sin cos cos 0

cos sin 22sin sin sin

2s s c s s s s c s s r ds r d r x s

s

ds r ds r d r r r s

y s

s s s r

ds

θθθθ

ηθθθθθηηθθθθθθη-----

---=

=

==-=

=

===-⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

则质心位置为22(0,

sin )2r s

s r

距顶点o '的位置为2(1sin )2c r s r y r s r -=- 4.2求出半径为r 的匀质半球的质心位置。

解：如右图所示，取一截面元与底面相距sin d θ，则其质量： 2(sin )(sin )m d r d r ρπθθ=

则：质心与底面距离22

03(sin )(sin )

23

m

m

didm r r d r d m

r π

θρπθθρπ=

=

⎰⎰

2224203313cos sin (sin sin )224428

00

r r r d π

ππ

θθθθ==-=⎰

4.3两只质量均为m '的冰船，静止地放在光滑的冰面上。一质量为m 的人自第一

只船跳入第二只船，并立即自第二只船跳回第一只船。设所有的运动都在一条直线上。求两船最后的速度之比。

解：人在两船运动为人与船组成系统的内部作用，故此系统动量守恒， 有： 12()0m m m υυ''++= 得：

12m m m υυ'=-'

+ 4.4一船以速度υ 前进，船上某人以相对速度u

向船头抛出一质量为m 的铁球。已知船和人的总质量是m '。求人抛掷铁所作的功W 。

解：同上题。动量守恒得：()()m u m m m υυυ''''++=+

得：m u m m υυ''=-'

+

系统前后能量变化： 222111()()222

E m m u m m υυυ''''∆=

++-+ 2222111()()()222

2()

m u m u m m m m m m m m mm u m m υυυ''''=-++-+''++'=

'+

即：人做功2

2()

mm u W m m '='+

4．5一质量为3m 的粒子爆炸成质量相同的三小块。其中两块的飞行方向相互垂直。它们的速率分别是2υ和3υ。求出第三块的速度和动量的大小。

解：设三块的速度分别为123,,υυυ 且：122,3.i j υυυυ==

则依动量守恒 ：1230m m m υυυ++=

得：31233(),23p m m i m j υυυυυυ=-+==--

则：223(2)(3)13p m m m υυυ=+=

4.6重量为W 的大楔子放在光滑的水平面上，在它的斜面上放置一与它相似的小楔子。小楔了的重量是P 。大小楔子的水平边长分别为a 和b 。小楔子自大楔子顶部静止下滑，求小楔子完全下滑到水平面时，大小楔子完全下滑到水平面时，大小楔子分别移动了多少距离？

解：依图设大小楔子水平位移分别为,W P x x

且依水平方向动量守恒：

0W P

Wx Px += 对其积分得：0W P Wx Px += 且有()W P x x b a i -=-

代入上式得：(),()W P P W x a b i x a b i W P W P

=-

-=-++ 5.7一炮弹以仰角α发射，速率为υ

，当炮弹达到最高点时，爆炸成质量分别为1

m 和2m 的两块弹片。已知火药爆炸的能量是E 。爆炸后的瞬时，两弹片仍沿原方向飞行。求两弹片落地时相隔的距离s 。 解：炮弹从空中降下的时间sin t g

υθ

=

，在最高点处沿飞行方向动量守恒。 设

12,m m 炸后的速率分别为12,υυ。 则有：112212222

112212()cos 111()(cos )222

m m m m E m m m m υυυα

υυυα+=+⎧⎪⎨=+-+⎪⎩

可解得：1212122()m m E m m υυυ+=-=

则：1212

2()

sin m m s t E g

m m υθ

υ+==

4.8．重量为W 的人，手里拿着一个重量为w 的物体，以与地平线成α角度的速度0υ

向前跳出。当他达到最高点时，将手中的物体以速率u 向后抛去。问抛出物体后，人向前跳的距离增加多少？ 解：（同理）设抛去w 后，人的速率变为υ'，由于最高处水平方向动量守恒得：

0()()cos w u W w W υυυα''-+=+ 解得：0cos wu

w W

υυα'=+

+ 故人向前增加的距离：000sin sin cos ()wu s t g

w W g

υθ

υθ

υυυα'==

-=

+

4.9．质量为m 的物体沿一直角劈的光滑斜面下滑，直角劈的质量为m '倾角为θ，

置于光滑水平面上。求（1）物体水平方向的加速度m x ；（2）劈的加速度p x

；（3）劈对物体的反作用力1F 和水平面对劈的反作用力2F 。

解：如右图所示，建立各方向矢量，设劈与物体间的与反作用力为11,F F '

， 则： 1111sin sin ,m m F F F F x i i x i i M M m m θθ''==-==''''

1* 则物体相对于尖劈的水平加速度：1sin x m M m m a x x F mm θ'

+=-='

在z e

方向上，物体受1F ⊥ 与mg 的作用：(cos )cos F F g g m m

θθα⊥-=+=- 依几何关系：1cos ()tan (sin )x

F g m m m a F mm θαθθ⊥-==

'+' 解得：1cos sin n mm g F e m m θθ'='+ 代入1*式可得：1212sin cos sin sin sin cos sin sin m M F m g x m m m F mg x m m m θθθθθθθ

θ'==

'+=-=-

''+ 水平面对劈的反作用力21()cos ()z z F m g e F e θ''=-+- 22cos ()sin z m g m g e m m θθ

''=-+'+

2

()sin z m m mg e m m θ

'+=-

'+

4.10．质量为m '，半径为r 的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上。一质量为m 的质点沿此半球面下滑。设质点跟球心的连线与铅直轴之间的夹角为θ。已知

初始时系统是静止的，θα=求当θβ=时，θ 的值。

解：如右图所示，质点m 相对于半球的速度u r θ=⨯

满足：